combinatoria e probabilidade

i

UFPR – UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAPET – PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL

Tutor: Eduardo Outeiral Correa Hoefel

Petianos: Bruno SuzukiCarlos Alberto Rezende de Carvalho JúniorCarolina de Almeida Santos PinottiDuarte Kenyu MurakamiÉrika Sathie TakatsukiIsabella Cordeiro BruzJânio Jesus de CardosoLarissa KovalskiLuana LealLucas de SiqueiraMatheus Augusto Bannack DinizThamara Petroli

Site: http://petmatufpr.wordpress.com/

Telefone: (41) 3361-3672

Data do Curso: 11 a 14 de Julho de 2011

Horários: das 9h às 12h30 (turma da manhã)das 14h às 17h30 (turma da tarde)

Local de Realização: Centro Politécnico - UFPR

Curitiba, 2011.

Sumário

I Matemática Básica 1

1 Frações 31.1 Adição e Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Multiplicação e Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Potenciação 92.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Príncipio da Contagem 113.1 Princípio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Princípio Aditivo da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Fatorial 134.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

II Probabilidade 15

5 História 17

6 Conceito de Probabilidade 196.1 Definicões Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Regras “e” e “ou” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.2.1 Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2.2 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7 Curiosidade 25

8 Exercícios Complementares 27

III Análise Combinatória 35

9 Introdução 37

iii

iv SUMÁRIO

9.1 Princípio da Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.2 Arranjos com repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.3 Arranjos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

10 Permutação simples 45

11 Combinações 47

12 Jogo da Senha 4912.1 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4912.2 Como funciona o jogo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4912.3 Analisando o jogo matematicamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

IV Matrizes 53

13 Matrizes 5513.1 Propriedades de Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

13.1.1 Adição e Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5613.1.2 Multiplicação por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713.1.3 Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

14 Probabilidades 59

15 Cadeias de Markov 63

16 Exercícios 67

17 Cubo Mágico 71

V Polinômios e suas Aplicações 73

18 Polinômios 7518.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7518.2 Identidade de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7618.3 Soma e Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7618.4 Valor numérico - Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7818.5 Divisão de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

18.5.1 Método 1: Método da Chave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7918.5.2 Método 2: Identidade de Polinômios (Descartes) . . . . . . . . . . 8018.5.3 Método 3: Algoritmo de Briot-Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . 81

18.6 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

19 Binômio de Newton 8519.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8519.2 O binômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8519.3 O termo geral de um binômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

SUMÁRIO v

20 Exercícios 89

21 Aplicações 9321.1 Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9321.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Referências Bibliográficas 97

vi SUMÁRIO

Parte I

Matemática Básica

1

Capítulo 1

Frações

Antes de iniciar o estudo de Análise Combinatória e Probabilidade, devemos nos recor-dar de alguns conteúdos que são a base necessária para o estudo daquelas duas áreas.Esses conteúdos são: Frações e Fatorial. Nos dois capítulos a seguir iremos tratar dessesdois assuntos da matemática com o intuito de relembrar suas propriedades básicas, quesão primordiais para o pleno aprendizado de combinações, arranjos, probabilidade e per-mutações.

Muitas pessoas pensam que determinados assuntos da Matemática não são tão im-portantes quanto outros, como as Frações, por exemplo. Mas as frações são um conteúdobase da matemática, que será revisto diversas vezes e muitas dessas vezes não será relem-brado, apenas cobrado. Então faz-se importante o bom aprendizado quando é ensinado,no Ensino Fundamental. Como esse assunto muitas vezes não é muito bem passado aosalunos nessas séries, vamos relembrar para que não haja dúvidas quanto a isso nesse curso.

As frações estão sempre presentes no dia-a-dia das pessoas. Muitos acham que não,mas na realidade estão. É fácil encontrar um problema que precisamos resolver somandoalgumas frações de algum produto ou alimento, ou então dividir um chocolate, umapizza, entre diversas pessoas, por exemplo. A seguir vamos introduzir as propriedades defrações, como devemos proceder no caso de querermos somar ou subtrair, multiplicar oudividir fração por fração. Mas, antes, vamos introduzir um problema para ver o quantosabemos sobre frações.

Problema 1.1. Na classe de Marcos, Josué e Lígia há 30 alunos, dos quais 18 são meni-nos. Como indicar a quantidade de meninos em relação ao total de alunos da classe?Podemos responder a essa questão de três maneiras diferentes:1

a) Na forma de fração:

18 em 30→ 18

30

÷2

÷2=

9

15

÷3

÷3=

3

5

1Problema tirado da referência [2]

3

4 CAPÍTULO 1. FRAÇÕES

b) Na forma decimal:

18 em 30→ 18

30

÷3

÷3=

6

10= 0, 6

c) Na forma de porcentagem:

18 em 30→ 18

30

÷2

÷2=

6

10

·10

·10=

60

100= 60%

1.1 Adição e SubtraçãoPara somar e subtrair frações devemos utilizar o seguinte algoritmo:

a

b± c

d=

mmc(b,d)·ab

± mmc(b,d)·cd

mmc(b, d)

Ou seja, para entendermos melhor, vamos resolver alguns exercícios:2

Exercício 1.1.1. Dados x = −1

5, y = −1

2e z =

1

3, calcule:

a) x+ y

b) x+ z

c) x− y

d) x− z

e) −x+ y

f) −x+ z

g) x+ y + z

h) −x− y − z

i) −x− y

j) −y − z

Exercício 1.1.2. Dados x = −1

2, y = −1

3e z = −1

4, calcule:

a) x+ (y + z)

b) x− (y + z)

c) y − (x+ z)

2Exercícios retirados da referência [3]

1.2. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 5

d) (z − x) + y

e) (x+ y)− z

f) z − (−x− y)

Temos então, pelo Exercício 1.1.2 que as propriedades associativas e comutativas quesão válidas para os números inteiros, serão também válidas para os racionais.

1.2 Multiplicação e DivisãoAgora que já pudemos relembrar bem como somar e subtrair frações, vamos relembrara multiplicação e divisão. Da mesma forma que somar e dividir, introduziremos umalgoritmo para essas outras duas operações:

- Multiplicação:a

b· cd

=a · cb · d

- Divisão:a

b:c

d=a

b· dc

=a · db · c

Resolva os exercícios a seguir:3

Exercício 1.2.1. Calcule o produto:

a)1

2· 1

3·(−8

5

)

b)(−2

3

)·(−1

4

)·(−3

7

)c)

1

5· 3

7· 10

9

d)(−3

4

)· 6

16· 0

e) (−1) ·(−8

9

)·(−6

5

)

f) 0 ·(−5

7

)· 1

6

Exercício 1.2.2. Determine o valor das expressões:

a)(−5 +

1

2

)· 6

3Exercícios tirados da referência [3]


b) 8 +

(−5

4

)· 1

2

c) 6−(−1

2

)· 8

3

d)(− 4

25

)·(− 5

12

)− 3

4

e)3

4−(−1

4

)·(−16

3

)− 5 ·

(−1

9

)·(−3

5

)

f)(

1

5+

1

2

)· 5

2−(−1

2− 1

4

)

Exercício 1.2.3. Efetue as seguintes divisões:

a) −5 :1

30

b)3

5:

(− 9

20

)

c) −4 :

(−4

7

)

d)(−2

5

):

(−5

2

)

e) 1 :

(−5

8

)f) (1, 6) :

2

3

g)5

4: (−3)

h) (−0, 5) :1

10

i)6

5:

36

45

j)3

16: (−1)

Para terminar de relembrar sobre as frações, resolva este desafio:4

Desafio 1.2.1. O gráfico de setores ao lado mostra o faturamento mensal de um pequenoshopping. Observe:

4Desafio retirado da referência [4]

1.2. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 7

- Alimentação:1

8do faturamento

- Eletrodomésticos:1

4do faturamento

- Roupas:7

16do faturamento

- Brinquedos: (?) do faturamento

Encontre a fração correspondente ao faturamento do setor de brinquedos.

Capítulo 2

Potenciação

2.1 DefiniçãoDefinição 2.1 (Potência de expoente inteiro). Sendo a um número real e n um númerointeiro, tem-se que:

an = a · a · . . . · a︸︷︷︸nfatores

, se n > 1

a1 = aa0 = 1

a−n =1

an

Exemplo 2.1. a) (−2)3 = (−2) · (−2) · (−2) = −8

b) 53 = 5 · 5 · 5

2.2 PropriedadePropriedade 2.1. Dados os números reais a e b e os números inteiros m e n, obedecidasas condições de existência, temos:

I. am · an = am+n (conserva-se a base e adicionam-se os expoentes)

II. am : an = am−n (conserva-se a base e subtraem-se os expoentes)

III. (am)n = amn (conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes)

IV. (ab)m = am · bm (distributiva da potenciação em relação à multiplicação)

V.(ab

)m=am

bm(distributiva da potenciação em relação à divisão)

Exemplo 2.2. a) 53 · 54 = 53+4 = 57

b) 36 : 34 = 36−4 = 32

9

10 CAPÍTULO 2. POTENCIAÇÃO

Exercício 2.1. Calcule os valores das potências:

a) 62

b) (−6)2

c) −62

d) (−2)3

e) −23

f) 50

g) (−8)0

h)3

4

4

i) −3

4

4

j) 028

l) 132

m) (−1)20

n) (−1)17

o) 4−2

Capítulo 3

Príncipio da Contagem

3.1 Princípio Fundamental da Contagem

“Se um experimento E apresenta n resultados distintos e um experimento F apresentak resultados distintos, então o experimento composto de E e F , nessa ordem, apresentan · k resultados distintos”.

De forma geral, podemos dizer:“Se k experimentos E1, E2, . . . , Ek tem n1, n2, . . . , nk resultados distintos, então o expe-rimento composto de E1, E2, . . . , Ek, nessa ordem, apresenta n1 · n2 · . . . · nk resultadosdistintos”.

Sobre essa parte de contagem, vamos resolver alguns exercícios para fixar bem a ideia.1

Exercício 3.1.1. Um experimento consiste em lançar um dado e uma moeda sobre umamesa. Um resultado desse experimento é o par (5, cara), por exemplo, isto é, face 5 nodado e face cara na moeda. Quantos são os possíveis resultados desse experimento?

Exercício 3.1.2. Um experimento consiste em lançar um dado e uma moeda e reti-rar uma etiqueta de uma urna que contém quatro etiquetas de cores diferentes: azul,vermelha, preta e branca. Um resultado desse experimento é, por exemplo, o terno(5, cara,A), isto é, face 5 no dado, face cara na moeda e cor azul na etiqueta. Quantossão os possíveis resultados desse experimento?

Exercício 3.1.3. Quantos números naturais pares, de quatro algarismos, podem serformados com os algarismos 1,2,3,5,7 e 9?

3.2 Princípio Aditivo da Contagem

Temos que alguns resultados da teoria dos conjuntos são importantes aplicações na análisecombinatória. Vamos então introduzir o cálculo do número de elementos da união de doisconjuntos finitos, como:

1Exercícios da referência [1]

11

12 CAPÍTULO 3. PRÍNCIPIO DA CONTAGEM

“Sendo A e B conjuntos finitos, o número de elementos da união de A E B é dadopor:

n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)

em que o símbolo n(. . .) representa o número de elementos do conjunto indicado entreparênteses”.2

Observação 3.2.1. Se A e B forem conjuntos disjuntos, ou seja, A ∩ B = φ. Dessaforma, teremos: n(A ∪B) = n(A) + n(B).

Resolva os exercícios a seguir:3

Exercício 3.2.1. Dois conjuntos, A e B, são tais que n(A) = 25, n(B) = 29 e n(A∩B) =10. Determine o número de elementos de A ∪B.

Exercício 3.2.2. Quantos números naturais pares, menores que 4.000, com quatro al-garismos distintos, podem ser formados com os algarismos 0,1,2,3,4,5 e 7?

Exercício 3.2.3. Um jornal terá 12 páginas. O diagramador deve distribuir 6 fotosdiferentes em 6 páginas do jornal, de modo que não apareçam duas dessas fotos empáginas consecutivas. De quantas maneiras diferentes o diagramador pode distribuiressas fotos?

2Definição da referência [1]3Tirados da referência [1]

Capítulo 4

Fatorial

Adotamos o símbolo n! (lê-se: “fatorial de n”) quando queremos indicar o produto dosnúmeros naturais consecutivos n · (n− 1) · (n− 2) . . . 2 · 1, onde n ≥ 2. O fatorial surgiuquando houve a necessidade de multiplicar diversos números consecutivos de maneiramais simplificada. A notação auxilia em problemas que envolvem cálculos trabalhosos,permitindo apresentar soluções mais abreviadas.

4.1 DefiniçãoSeja n um número natural, com n ≥ 2. Define-se o fatorial de n, que indicamos por n!,como o produto dos números naturais consecutivos:

n, (n− 1), (n− 2), . . . , 1

isto é:n! = n · (n− 1) · (n− 2) · . . . · 1

Essa definição1 nos permite entender os seguintes exemplos:

Exemplo 4.1.1. a) 2! = 2 · 1 = 2

b) 3! = 3 · 2 · 1 = 6

c) 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

d) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

4.2 PropriedadeQuando calculamos o fatorial de um número natural, podemos perceber que 10! = 10 ·9!.Generalizando, temos a seguinte propriedade:

Propriedade 4.2.1.

n! = n · (n− 1)! = n · (n− 1) · (n− 2)! = . . .

para n ∈ N, com n ≥ 3.1Definição da referência [1]

13

14 CAPÍTULO 4. FATORIAL

Podemos, entretanto, estender a definição de fatorial definindo para n = 0 e n = 1. Dessaforma, definindo

1! = 1 e 0! = 1,

temosn! = n · (n− 1)!,∀n ∈ N∗

4.3 ExercíciosNesta seção temos mais alguns exercícios para resolver:2

Exercício 4.3.1. Simplificar as frações:

a)8!

7!

b)8!

6!

c)3!

5!

d)7! · 9!

8! · 5!

Exercício 4.3.2. Resolver a equação(n+ 1)!

(n− 1)!= 20.

Exercício 4.3.3. Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:

I. 3! + 2! = 5!

II. 3! · 2! = 6!

III. 4! + 4! = 2 · 4!

IV. n! = n(n− 1)(n− 2)!, para todo n ∈ N e n ≥ 2

V. n! = n(n− 1)(n− 2)!, para todo n ∈ N∗

Exercício 4.3.4. Resolva as equações:

a)(n+ 2)!

n!= 12

b)(n+ 1)!

(n+ 3)!=

1

20

c)(n− 2)!

(n− 1)!=

1

5

Exercício 4.3.5. Determine o conjunto dos valores de n, tais quen! + (n+ 1)!

(n− 1)!= 15.

2Retirados da referência [1]

Parte II

Probabilidade

15

Capítulo 5

História

“No ano de 1654, um jogador da sociedade parisiense, Chevealier de Mére, propôs aomatemático Blaise Pascal algumas questões sobre possibilidade de vencer em jogos. Umadas questões foi: “Um jogo de dados entre dois adversários chega ao fim quando um dosjogadores vence três partidas em primeiro lugar. Se esse jogo for interrompido antes dofinal, de que maneira cada um dos jogadores deverá ser indenizado?

As reflexões as respeito dos problemas propostos por De Mére levaram Pascal acorresponde-se com Pierre de Fermat, o que desencadeou discussões a respeito dos princí-pios de uma nova teoria que veio ser chamada de Teoria das Probabilidades”.

17

18 CAPÍTULO 5. HISTÓRIA

Capítulo 6

Conceito de Probabilidade

“Um automóvel será sorteado entre os clientes de um shopping center. Paulo de-positou 50 cupons em uma das urnas espalhadas pelo shopping, e Janete depositou 20cupons. Hoje, dia de sorteio, os conteúdos de todas as urnas foram juntados, formandoum monte com 10.000 cupons. Um representante do shopping vai sortear um cupom.

É possível medir a possibilidade de cada um ganhar o automóvel. Como Paulo tem

50 cupons dentre os 10.000 que participam do sorteio, indicamos por50

10.000a medida

da possibilidade de Paulo ganhar; de maneira análoga, a medida da possibilidade de

Janetee ganhar é20

10.000. As frações

50

10.000e

20

10.000são chamadas de probabilidade

de Paulo e Janete ganharem, respectivamente.

Esse exemplo ajuda a entender que a probabilidade é um número que mede a possi-bilidade de ocorrer — ou não — um resultado”.1

Entendendo o problema acima podemos entender o que é de fato probabilidade.A chance de um evento ocorrer em um certo problema, como “Qual a chance de choverhoje?” poderia ser trocado por “Qual a probabilidade de chover hoje?”. Então podemosver que a probabilidade é mais comum no nosso cotidiano do que parece.

6.1 Definicões BásicasDefinição 6.1.1 (Experiência Aleatória). Consiste em observar uma amostra de umavariável aleatória. Por exemplo: lançamento de uma moeda — observar a face da moeda,cara ou coroa. Temos duas condições para que a experiência seja aleatória:

1. Deve ser possível repetir indefinidamente a experiência;

2. Não deve ser possível influenciar no resultado. Os resultados podem apresentarvariações de modo que sejam repetidos em condições uniformes (equiprováveis)onde se possa ter o controle dos resultados.

1Problema tirado da referência [1]

19

20 CAPÍTULO 6. CONCEITO DE PROBABILIDADE

Definição 6.1.2 (Expaço amostral (Ω)). É o conjunto de todos os resultados possíveisde uma experiência aleatória. Esses podem ser de natureza QUALITATIVA ou QUAN-TITATIVA.

Definição 6.1.3 (Evento (E)). É qualquer subconjunto de Ω, isto é, qualquer resultadopossível da experiência aleatória.

Definição 6.1.4 (Clássica de Probabilidade). Dada uma experiência aleatória uniformee equiprovável, tem-se

P (E) =#E

#Ω

onde #E: número de casos favoráveise #Ω: número total de casos no experimento.

Definição 6.1.5 (Axiomática). Dado uma experiência aleatória definida em Ω, chama-seP (E) a probabilidade de ocorrência o evento E desde que sejam satisfeitas as seguintescondições:

(i) 0 ≤ P (E) ≤ 1

(ii) P (Ω) = 1

(iii) Se E1 e E2 forem mutualmente exclusivos, então P (E1 ∪ E2) = P (E1) + P (E2)

Propriedade 6.1.1. 1. Sendo ∅ um evento impossível, P (∅) = 0

2. Se E é o complementar de E, então P (E) + P (E) = 1

3. Dado um evento E qualquer, então P(E) = 1.

4. Sejam E1 e E2 eventos quaisquer no mesmo espaço Ω. Se E1 ⊂ E2, então P (E1) ≤P (E2)

Veja os exemplos a seguir:2

Exemplo 6.1.1. No experimento aleatório “lançamento de uma moeda”, temos com es-paço amostral o conjunto E = c, k, em que c representa a face cara e k a face coroa.Indicamos o número elemento de E pelo símbolo n(E) assim: n(E) = 2.

O conjunto A = c é um evento de E. Note que n(A) = 1

Exemplo 6.1.2. No experimento “lançamento de um dado” temos como espaço amostralo conjunto E = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Portanto: n(E) = 6.

O conjunto B = 1, 2 é um evento de E. Note que n(B) = 2.

2Exemplos tirados da referência [1]

6.2. REGRAS “E” E “OU” 21

Exemplo 6.1.3. No experimento “lançamento de dois dados”, temos como espaço amostralo conjunto:

E = (1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . , (1, 6),(2, 1), (2, 2), (2, 3), . . . , (2, 6),(3, 1), (3, 2), (3, 3), . . . , (3, 6),

...(6, 1), (6, 2), (6, 3), . . . , (6, 6)

Logo: n(E) = 36.

Agora resolva os exercícios a seguir:3

Exercício 6.1.1. No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de se obter a facecara?

Exercício 6.1.2. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter, na facevoltada para cima, o número de pontos igual a três?

Exercício 6.1.3. Uma urna contém exatamente 1000 etiquetas, numeradas de 1 a 1000.Retirando uma etiqueta dessa urna qual é a probabilidade de obtermos um número menorque 51?

Exercício 6.1.4. Um dado é lançado três vezes.

a) O espaço amostral E desse experimento é formado por termos ordenados, que indicamo número de pontos obtidos em cada lançamento, por exemplo: (6,6,3). Usandoo princípio fundamental de contagem, calcule o número de elementos desse espaçoamostral.

b) Calcule a probabilidade de se obter nos três lançamentos o mesmo número de pontos.

Exercício 6.1.5. Uma urna contém bolas coloridas. Retirando-se um bola dessa urna, aprobabilidade de se obter uma bola vermelha é 0, 64. Qual é a probabilidade de se obteruma bola que não veja vermelha?

6.2 Regras “e” e “ou”

6.2.1 Propriedade

Propriedade 6.2.1.1. Sejam E1, E2 dois eventos aleatórios.

1. Se queremos que a probabilidade de E1 e E2 ocorrerem é de:

P (E1) · P (E2).

2. Se queremos que a probabilidade de E1 ou E2 ocorrerem é de:

P (E1) + P (E2).

3Exercícios da referência [1]


Exercício 6.2.1.1. No lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de se obteremuma cara e uma coroa?

Exercício 6.2.1.2. No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter, nasfaces voltadas para cima, a soma dos pontos igual a cinco?

6.2.2 Definições e Exemplos

Definição 6.2.2.1 (Adição de Probabilidades). Sejam A e B eventos de um espaçoamostral E finito e não vazio. A probabilidade de ocorrer um elemento de A ou umelemento de B, indicada por: P (A ∪B), é:

P (A ∪B) =n(A ∪B)

n(E)

Exemplo 6.2.2.1. Uma urna contém 5 bolas vermelhas, 3 bolas azuis e 4 bolas brancas.Retira-se ao acaso uma bola da urna. Qual é a probabilidade de sair uma bola vermelhaou uma bola azul?

Resolução:

E = x; x é a bola da urna, n(E) = 12.

Consideremos dois eventos:

A = y ∈ E; y é bola vermelha, n(A) = 5 e B = z ∈ E; z é bola azul, n(B) = 3.

Observa-se que A e B são mutuamente exclusivos, isto é, A ∩B = ∅. Logo, temos:

P (A ∪B) = P (A) + P (B)→ P (A ∪B) =5

12+

3

12=

2

3

Definição 6.2.2.2 (Probabilidade Condicional). A probabilidade de ocorrer o evento B,dado que ocorreu o evento A, é indicada por: P (B/A), lê-se: “probabilidade de B dadoA”, e é calculada por:

P (B/A) =n(A ∩B)

n(A)

Exemplo 6.2.2.2. Uma moeda é lançada duas vezes. Vamos calcular a probabilidadede obtermos cara no segundo lançamento sabendo que obtivemos cara no primeiro lança-mento.

Resolução:Temos dois eventos a considerar: cara no primeiro lançamento, B = (C,C)(C,K) ecara no segundo lançamento, A = (C,C)(K,C).Como sabemos que ocorreu o evento B, temos que o evento A só pode ter ocorrido nainterseção de A e B:

P (A/B) =n(A ∩B)

n(B)=

1

2.

6.3. EXERCÍCIOS 23

Definição 6.2.2.3 (Multiplicação de Probabilidade). Se A e B forem eventos indepen-dentes, então

P (A ∩B) = P (A) · P (B)

Exemplo 6.2.2.3. Uma urna contém exatamente 7 bolas: 4 azuis e 3 vermelhas. Retira-se ao acaso, uma bola da urna registra-se sua cor e repõe-se a bola na urna. A seguir retira-se, novamente ao acaso, uma bola da urna registra-se sua cor. Qual é a probabilidade desair uma bola azul e depois uma vermelha?

Resolução:Queremos que a primeira bola retirada seja azul e a segunda vermalha. A probabilidade

da primeira bola ser azul é4

7, e a probabilidade de e a segunda bola ser vermelha é

3

7.

Assim, a probabilidade de obtermos a sequência azul e vermelha é: P =4

7· 3

7=

12

49.

6.3 ExercíciosExercício 6.3.1. Na gôndola de um supermercado há somente sabonetes azuis ou damarca Tux, num total de 140 unidades, sendo 80 azuis e 100 na marca Tux. Retirando-seao acaso um sabonete desta góndola, qual a probabilidade de se obter um sabonete azulda marca Tux?

Exercício 6.3.2. Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 azuis. Retirando-seao acaso uma bola da urna, qual é a probabilidade de se obter uma bola branca ou umabola verde?

Exercício 6.3.3. Uma pesquisa feita com 70 pessoas revelou que 35 já consumiram oproduto A, 50 já consumiram o produto B e 5 ainda não consumiram nem A nem B.Escolheu-se uma dessas 70 pessoas, ao acaso, constatando-se que ela já havia consumidoo produto A. Qual é a probabilidade que essa pessoa também tenha consumido o produtoB?

Exercício 6.3.4. Uma moeda é lançada 8 vezes. Considera-se como resultado a sequênciaformada pelas faces da moeda voltada para cima, cara (C) ou coroa (K), na ordem doslançamentos. Qual é a probabilidade de ocorrer uma sequência com 5 caras e 3 coroas?

Capítulo 7

Curiosidade1 - O aniversário de alguémversus um certo aniversário

“As surpreeendentes semelhanças das coincidências são perfeitamente ilustradas como seguinte resultado probabilístico, aliás, bastante conhecido: como o ano tem trezentose sessenta e seis dias (se contarmos o dia 29 de Fevereiro), teriam de se reunir trezentase sessenta e sete pessoas para podermos ter a certeza absoluta de que pelo menos duasdelas partilham a mesma data de aniversário. Por quê?

Suponhamos que nos contentávamos com um grau de certeza de cinquenta por cento.Quantas pessoas teríamos de ter no grupo para que a probabilidade de haver duas delascom a mesma data de aniversário se concretizasse? Uma primeira suposição apontariapara cento e oitenta e três, isto é, perto de metade de trezentos e sessenta e cinco. Aresposta, surpreendente, é de que só precisamos de vinte e três pessoas. Dito de outraforma, em metade das ocasiões em que se reúnem vinte e três pessoas escolhidas ao acaso,duas ou mais compartilharão a mesma data de nascimento.

Para os leitores que não quiserem aceitar este fato do pé para a mão, aqui deixo umacurta derivação. De acordo com o princípio da multiplicação, o número de maneiras emque cinco datas podem ser escolhidas (permitindo-se repetições) é de (365× 365× 365×365 × 365). De todas estas 3655 maneiras, contudo, só (365 × 364 × 363 × 362 × 361)podem coexistir de modo a que não haja duas datas iguais; qualquer dos trezentos esessenta e cinco dias pode ser escolhido em primeiro lugar, o mesmo sucedendo com osretantes trezentos e sessenta e quatro para o segundo lugar, e assim por diante. Destemodo, se dividirmos este último produto (365×364×363×362×361) por 3655, obtemosa probabilidade de cinco pessoas escolhidas ao acaso não terem em comum a data denascimento. Ora bem, se subtrairmos esta probabilidade a umn (ou a cem por cento,se estivermos a trabalhar com percentagens), obtemos uma probabilidade complementarem que pelo menos duas das cinco pessoas têm a mesma data de nascimento. Um cálculo

semelhante, mas usando vinte e três pessoas no lugar de cinco, dá-nos1

2, ou cinquenta

por cento, como probabilidade para que pelo menos duas das vinte e três pessoas tenhama mesma data aniversária.

1Texto tirado integralmente da referência [5]

25

26 CAPÍTULO 7. CURIOSIDADE

Aqui há dois anos atrás, um convidado do programa de Johnny Carson tentou explicarestes fatos. Johnny Carson não acreditou no que o convidado disse; no entanto, depoisde observar que havia cerca de cento e vinte pessoas no estúdio a assistirem ao programa,perguntou quantas delas faziam anos num dia qualquer, neste caso em 19 de Março.Ninguém levantou o braço, e o convidado, que não era um matemático, disse qualquercoisa incompreensível em sua defesa. Aquilo que devia ter dito é que são necessáriasvinte e três pessoas para termos cinquenta por cento de certeza em como há algum diade nascimento em comum, e não um certo aniversário específico em comum, como o dia19 de Março proposto por Carson. Para termos cinquenta por cento de certeza de quealguém no grupo compartilha o dia 19 de Março como data de nascimento, precisamosde um número maior de pessoas, duzentos e cinquenta e três para sermos exatos.

Uma breve derivação deste último aspecto: como a probabilidade do aniversário de

uma dada pessoa não cair no dia 19 de Março é de364

365, e como as datas de nascimento

são independentes, a probabilidade de duas pessoas não terem ambas nascido a 19 de

Março é de364

365× 364

365. Assim, a probabilidade de N pessoas não compartilharem o dia

19 de Março como data de nascimento é igual a(

364

365

)N, o que, quando N = 253, nos

dá um valor muito próximo do1

2. Portanto, a probabilidade complementar de que pelo

menos uma dessas duzentas e cinquenta e três pessoas tenha nascido a 19 de Março é

também de1

2, ou cinquenta por cento”.

Capítulo 8

Exercícios Complementares

Exercício 8.1. Uma moeda é lançada três vezes.

a) Indicando por C e K as faces cara e coroa, respectivamente, contrua o espaçoamostral E desse experimento

b) Qual é a probabilidade de se obterem pelo menos duas caras?

c) Qual é a probabilidade de se obterem no máximo duas caras?

Exercício 8.2. Formam-se todos os números naturais de cinco algarismos distintos comos algarismos, 1, 2, 3, 4, e 5. Sorteando-se um desses números, qual é a probabilidade dese obter um número par?

Exercício 8.3. Uma urna contém precisamente nove bolas: 3 brancas, 2 pretas e 4 azuis.Retirando-se três bolas da urna, uma de cada vez e com reposição, calcule a probabilidadede saírem:

a) A primeira bola branca, a segunda bola preta e a terceira bola azul;

b) Três bolas de cores diferentes;

c) Três bolas azuis.

Exercício 8.4. Considerando todas as retas determinadas pelos oitos vértices do cuboABCDEFGH abaixo. Sorteando-se uma dessas retas, qual é a probabilidade de que elapasse pelo vértice G?

27

28 CAPÍTULO 8. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

Exercício 8.5. No lançamento de cinco dados, calcule a probabilidade de que a somados pontos obtidos nas faces voltadas para cima não ultrapasse o valor 30.

Exercício 8.6. O segmento AB é o diâmetro da circunferência ao lado. Sorteando-se umtriângulo com vértices em três dos pontos, A, B, C, D, E, F e G, calcule a probabilidadede que esse triângulo não seja retângulo.

Exercício 8.7. Um dado é lançado três vezes. O resultado do experimento é o ternoordenado (x, y, z) em que x, y e z são os números de pontos obtidos no primeiro, segundoe terceiro lançamento, respectivamente.

a) Qual é a probabilidade de se obter um termo em que o produto de três númerosseja ímpar?

b) Qual é a probabilidade de se obter um termo em que o produto de três númerosseja par?

Exercício 8.8. A probabilidade de um piloto vencer uma corrida é o triplo da probabi-lidade de perder. Qual é a probabilidade de que esse piloto vença a corrida?

Exercício 8.9. (UFPE) Uma prova de Matemática é constituída de 16 questões do tipomúltipla escolha, tendo cada questão 5 alternativas, das quais deve ser assinalada comoresposta apenas uma. Respondendo ao acaso todasas questões, o número de maneirasdiferentes que se pode preencher o cartão de resposta é?

29

Exercício 8.10. Cada linha telefônica de uma cidade é identificada por uma sequênciade sete algarismos, com os três primeiros não nulos e distintos entre si, podendo haverrepetições dentre os demais algarismos. A partis do próximo mês, cada linha será identi-ficada por uma sequência de oito algarismos, com os três primeiros não nulos e distintosentre si, podendo haver repetição dentre os demais algarismos. Com essa mudança, oacréscimo no número de linhas telefônicas dessa cidad será?

Exercício 8.11. Uma urna contém quatro bolas azuis, numeradas de 1 a 4, e cinco bolasamarelas, numeradas de 1 a 5. Sorteando-se um bola dessa urna, qual é a probabilidadede que seja azul ou tenha número ímpar?Dica: Resolva esse problema de dois modos diferentes: primeiro aplicando o teorema daadição de probabilidade; depois, aplicando apenas a definição de probabilidade.

Exercício 8.12. Um número será sorteando dentre os números naturais de 1 a 1.000. Aprobabilidade de que saia um número par ou um número de dois algorismos é . . .?

Exercício 8.13. Dentre os automóveis estocados o pátio de uma montadora, escolhe-se

um, ao acaso. A probabilidade de que o automóvel escolhido tenha freio ABS é5

8, a

probabilidade de que ele tenha direção hidráulica é2

3e a probabilidade de que ele tenha

freio ABS e direção hidráulica é11

24. A probabilidade de que esse automóvel tenha freio

ABS ou direção hidráulica é?

Exercício 8.14. Dois eventos, A e B, de um espaço amostral E são mutuamente exclu-

sivos. Sabendo que P (A ∪B) =2

3e que P (A) =

P (B)

4, calcule P (B).

Exercício 8.15. Um dado foi lançado sobre uma mesa, considerando-se como resultadoo número de pontos de face voltada para cima. Considere E o espaço amostral desseexperimento, e os eventos A = x ∈ E|x < 5 e B = y ∈ E|y > 2

a) Represente em um diagrama os conjuntos E, A e B.

b) Calcule a probabilidade de, nesse lançamento, ter ocorrido um número maior que2, sabendo que ocorreu um número menor que 5.

Exercício 8.16. Calcule:

a) 7!

b) 3! · 2!

c) 4!− 2!


d)0!

3!

Exercício 8.17. Dois eventos, A e B, de um espaço amostral equiprovável E, finito, são

tais que P (A ∪B) =3

5e P (A) =

2

3. Calcule P (B/A).

Exercício 8.18. De uma urna com exatamente 5 bolas de cores diferentes, azul, ver-melha, verde, marrom e preta são sorteadas 2 bolas, uma de cada vez.

a) Sabendo que na primeira retirada saiu uma bola vermelha e que esta foi reposta naurna, calcule a probabilidade de a segunda bola retirada se vermelha.

b) Sabendo que na primeira retirada saiu uma bola vermelha e que esta não foi repostana urna, calcule a probabilidade de a segunda bola retirada ser vermelha.

Exercício 8.19. Uma urna contém exatamente 7 bolas: três brancas, e quatro pretas.Retirando-se sucessivamente e sem reposição três bolas; qual é a probabilidade de:

a) Saírem as duas primeiras bolas pretas e terceira branca?

b) Saírem duas bolas pretas e uma branca?

c) Sair pelo menos uma bola branca?

Exercício 8.20. Uma urna contém 6 bolas de cores diferentes entre si, sendo que umadelas é vermelha. Retiram-se 4 bolas dessa urna, uma de cada vez e sem reposição.Considerando a ordem de retirada, quantas sequências de cores são possíveis de modoque a primeira bola retirada não seja vermelha?

Exercício 8.21. (UFC - CE) Considere os números inteiros ímpares maiores que 64.000que possuem cinco algarismos, todos distintos, e que não contêm os dígitos 3 e 8. Aquantidade desses números é?

Exercício 8.22. Dispõe-se de 6 cores de tinta, sendo uma delas amarela. De quantasmaneiras diferentes pode-se pintar um painel composto de quatro quadradinhos consecu-tivos, de modo que cada quadradinho tenha uma só cor, não haja dois quadradinhos adja-centes com a mesma cor e o primeiro quadradinho da esquerda seja amarelo, podendo-serepetir uma ou mais cores tantas vezes quantas forem possíveis?

Exercício 8.23. (UEL - PR) Devido à ameaça de uma epidemia de sarampo e rubéola,os 400 alunos de uma escola foram consultados sobre as vacinas que já haviam tomado.Do total, 240 haviam sido vacinados contra sarampo e 100 contra rubéola, sendo que 80não haviam tomado nenhuma dessas vacinas. Tomando - se ao acaso um aluno dessaescola, a probabilidade de ele ter tomado as duas vacinas e?

31

Exercício 8.24. (Cesgranrio) O dispositivo que aciona a abertura do cofre de umajoalheria apresenta um teclado com nove teclas, sendo cinco algarismos (0, 1, 2, 3, 4)e quatro letras (X, Y, Z, W). O segredo do cofre é uma sequência de três algarismosseguidos de duas letras. Qual é a probabilidade de uma pessoa, numa única tentativa,ao acso abrir o cofre?

Exercício 8.25. (Enem - Mec) Um município de 628 km2 é atendido por duas emissorasde rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10 km do município, conforme mostraa figura abaixo. Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a pro-babilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-sena área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproxi-madamente?

Exercício 8.26. (Unopar - PR) Cada uma das dez questões de uma prova apresentauma única afirmação, que deve ser classificada com V (verdadeira) ou F (falsa). Umaluno. que nada sabe sobre a matéria, vai responder a todas as questões ao acaso. Aprobabilidade que ele tem de não tirar zero é?

Exercício 8.27. Em uma conferência estão reunidos cinco mulheres e sete homens,matemáticos; quatro mulheres e oito homens, físicos; seis mulheres e quarto homens,químicos. Uma pessoa é escolhida, ao acaso, para presidir a conferência. Qual é aprobabilidade de que essa pessa seja mulher ou matemático(a)?

Exercício 8.28. Uma pesquisa é realizada entre 50 leitores de jornais. Conclui-se que35 pessoas lêem o jornal A, 34 lêem o jornal B e 3 lêem outro jornal. Escolhida ao acasouma dessas 50 pessoas, qual é a probabilidade de que ela seja leitora dos jornais A e B?

Exercício 8.29. Ums pesquisa realizadaa em dois bancos A e B, revelou que 40% dosfuncionários do banco A e 30% dos funcionários do banco B têm nível universitário.Escolhendo-se, aleatoriamente, um funcionário de cada banco, a probabilidade de quepelo menos um dos escolhidos tenha nível universitário é?


Exercício 8.30. Duas linhas de ônibus ligam duas cidades A e B, e três linhas de ônibusligam as cidades B e C, conforme mostra o esquema abaixo

a) De quantas modos diferentes um usuário pode escolher uma sequência dessas linhas,indo de A para C, passando por B?Dica: Esse experimento é composto de dois outros: primeiro ir de A para B, edepois de B para C.

b) De quantos modos diferentes um usuário pode escolher uma sequência dessas linhas,fazendo o trajeto de ida e volta de A para C, passando por B, na ida e na volta, demoso que na volta ele não possa usar a mesma linha que usou na ida?

Exercício 8.31. Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados comos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6?

Exercício 8.32. Um hacker sabe que a senha de acesso a um arquivo secreto é umnúmero natural de cinco algarismos distintos e não-nulos. Com o objetivo de acessaresse arquivo o hacker programou o computador para testar esses números um a um,demorando 5 segundos em cada tentativa. O tempo máximo para que o arquivo sejaaberto é . . .?

Exercício 8.33. Considere placas de automóvel formadas por três letras seguidas dequatro algarismos.

a) Quantas placas diferentes podem ser formadas com as letras A,B, C, D, e com osalgarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

b) Quantas placas diferentes podem ser formadas com as letras A, B, C, D, e com osalgarismos 1, 2, 3, 4, e 5 sem repetir as letras e os números?

c) Quantas placas diferentes podem ser formadas, com pelo menos um algarismo nãonulo, dispondo-se das 26 letras do alfabeto e dos 10 algarismos do sistema decimal(incluímos Y, W e K)?

Exercício 8.34. (Uespi)Em um prédio, o número de apartamentos habitados é o triplo donúmero de apartamentos desabitados. Escolhendo-se, aleatoriamente, um apartamentodesse prédio, a probabilidade de que ele esteja desabitado é . . .?

Exercício 8.35. Dois conjuntos, A e B são tais que n(A) = 25, n(B) = 29 e n(A∩B) = 10.Determine o número de elementos de A ∪B?

33

Exercício 8.36. Calcule a quantidade de números naturais compreendidos entre 300 e3.000 que podemos representar utilizando somente os algarismos 1, 2, 3, 5, 7, e 8, demodo que não figurem algarismos repetitivos.

Exercício 8.37. Quantos números naturais maiores que 4.50 e de quatro algarismosdistintos podemos representar com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, e 7?

Exercício 8.38. Simplifique as frações:

a)6!

3!

b)4!

6!

c)5! · 8!

4! · 7!

d)n!

(n− 1)!

e)n!

(n+ 2)!

f)(n− 3)!

(n− 5)!

Exercício 8.39. Em um programa de audiório, o apresentador explica a um participanteque três etiquetas, numeradas de 1 a 3, foram distribuídas em três envelopaes, sendo quecada envelope está lacrado e contém uma única etiqueta. O participante deve colocaros envelopes sobre uma mesa, tentando formar, da esquerda para a direita, a sequênciacrescente: 1, 2 e 3.

a) Calcule a probabilidade de que os três envelopes sejam colocadas nas posiçõescorretas, isto é, o primeiro da esquerda com o algarismo 1, o segundo 2, e o terceirocom o 3.

b) Calcule a probabilidade de que sejam colocados apenas dois envelopes nas posiçõescorretas.

Exercício 8.40. (UnB - DF) Um fazendeiro dispõe de um terreno dividido em regiões,como na figura ao lado, e pretende cultivá-las de forma que as regiões com uma fronteiracomun tenham plantios diferentes. De quantas formas ele pode fazer o plantio, se podeoptar entre milho, feijão, arroz e trigo para cultivar?

Exercício 8.41. Quantos números de 7 dígitos, maiores que 6.000.000 podem ser for-mados com os algarismos 0, 1, 3, 4, 6, 7 e 9, sem repeti-los?


Exercício 8.42. Ao atirar num alvo, a probabilidade de um pessoa acertá-lo é3

5. Qual

a probabilidade de ela errar?

Exercício 8.43. Quantos números naturais pares e múltiplos de 5, com 4 algarismosdistintos, podem ser formados com os algarismos 0, 2, 3, 5, e 9?

Exercício 8.44. (Enem - MEC) Um fabricante de cosméticos decide produzir três dife-rentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtosestarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazeruma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1,C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cadacatálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginasem comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais também estarão em C1. Efe-tuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos trêscatálogos, necessitará de um total de originais de impressão iguais a . . .?

Exercício 8.45. Simplifique as frações:

a)8!

10!

b)3! · 9!

5! · 7!

c)(n+ 4)!

(n+ 2)!

d)(n− 5)!

(n− 7)!

e)(n− 5)!

(n− 3)!

Exercício 8.46. O conjunto solução da equação(x+ 2)!

3! · x!=

x!

(x− 1)!é?

Exercício 8.47. Sabendo que 8n! =(n+ 2)! + (n+ 1)!

n+ 1, o valor de n é . . .?

Exercício 8.48. Um congresso sobre doenças psicossomáticas reúne 48 psiquiatras, dosquais 18 são mulheres; 72 psicólogos, dos quais 53 são mulheres; e 27 neurologistas,dos quais 10 são mulheres. Um dos participantes foi sorteado para coordenar os traba-lhos. Sabendo-se que a pessoa sorteada é mulher, qual é a probabilidade de que ela sejapsiquiatra?

Exercício 8.49. Em uma classe de vinte alunos, apenas dois são irmãos. Sorteando-sedois alunos nessa classe, qual é a probabilidade de os sorteados serem irmãos?

Parte III

Análise Combinatória

35

Capítulo 9

Introdução

A análise combinatória é a parte da matemática onde estudamos as técnicas de con-tagem de agrupamentos que podem ser feitos com elementos de um dado conjunto. Sãobasicamente dois tipos de agrupamentos que podemos formar: um em que se leva emconta a ordem dos elementos dentro do agrupamento e outro onde a ordem dos elementosé irrelevante.

Por exemplo, se desejamos contar quantas placas de licença de automóveis podem serfeitas, constituídas por três letras seguidas de quatro algarismos, devemos levar em contaa ordem das letras e dos algarismos:

Figura 9.1: São placas diferentes

Já se nosso problema for contar quantas quinas são possíveis de serem sorteadas naloteria de números (loto), observamos que a ordem dos números que compõem a quinanão importa:

01 11 13 91 00 e 91 11 01 00 13 são quinas iguais

Suponhamos a seguinte situação: “Uma pessoa pode beber água, refrigerante oucerveja; em qualquer caso pode escolher entre gelo e sem gelo. Quais as possibilidadesque tem pra beber algo?”

Árvore de Possibilidade ou Diagrama de Árvore:

37

38 CAPÍTULO 9. INTRODUÇÃO

Água

com gelo

sem gelo

Refrigerante

com gelo

sem gelo

Chá

com gelo

sem gelo

No primeiro evento, são três possibilidades; no segundo evento, são duas possibili-dades. O número de possibilidades do evento composto tomar uma bebida e com gelo ousem gelo será dado pelo produto do número de possibilidades do primeiro evento pelonúmero de possibilidades do segundo evento.

Se A é o primeiro evento, n(A) = 3 e B é o segundo evento, n(B) = 2. O eventocomposto por A e B será n(A)× n(B) ou 3× 2 = 6 Afinal, posso beber:

1. Água sem gelo

2. Água com gelo

3. Refrigerante sem gelo

4. Refrigerante com gelo

5. Chá sem gelo

6. Chá com gelo

Se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes de talmodo que a seja o número de possibilidades da primeira etapa e b seja o número depossibilidades da segunda etapa, então a× b é o número total de possibilidades do eventoocorrer.

Exemplo 9.1. Quantos são os números de cinco algarismos que podemos formar com ossímbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

9.1 Princípio da MultiplicaçãoSuponha que você está se arrumando para sair, mas você está em dúvida sobre qual parde meia e qual par de tênis você vai calçar dentre quatro pares de meia (branca, verde,amarela e roxa) e dois pares de tênis (preto e cinza). De quantas maneiras diferentes

9.2. ARRANJOS COM REPETIÇÃO 39

você poderá se vestir usando um par de meia e um par de tênis?

Há quatro possibilidades de você escolher um par de meia e para cada uma delas háduas para escolher um par de tênis. Então, você pode se vestir de 4 · 2 = 8 maneirasdiferentes.

De modo geral, o princípio multiplicativo diz que se um acontecimento ocorrer porvárias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que

p1 é o número de possibilidades da etapa 1p2 é o número de possibilidades da etapa 2...pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa

então o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer é p1 · p2 · . . . · pk.Observação 9.1. Isso não é nada mais do que uma aplicação do princípio fundamentalda contagem.

9.2 Arranjos com repetiçãoImaginem uma caixa com uma bola vermelha, uma branca e outra azul, que chamaremosde V , B e A respectivamente. Tiramos uma bola da caixa, observamos a sua cor, eentão a colocamos de volta na caixa. Daí, de novo, tiramos uma bola e observamos suacor. Quantas possíveis sequências de cores poderíamos ter observado, levando em contaa ordem?

Resposta: VV, VB, VA, BB, BV, BA, AA, AV, AB = 9 sequências

Nesse caso tínhamos um conjunto C = V,B,A de três elementos, e duas ocasiõesem que poderiam ser retirados qualquer um dos três elementos, isto é, em cada um doseventos que tiramos uma bola temos a mesma chance de tirar qualquer uma delas. Logo,pelo princípio da multiplicação, o número possível de sequências é 3 · 3 = 32 = 9.

De modo geral, se temos um conjunto C = a1, a2, a3, . . . , an de n elementos (n ∈ N)e fazemos um arranjo com r repetições temos que o número possível de sequências é

An,r = n · n · n · . . . n = nr

Note que esse caso resolve apenas aquelas ocasiões em que todos os eventos tem omesmo número de possibilidades.

Veja outros exemplos a seguir:

Exemplo 9.2.1. Se jogamos um dado três vezes, quantas combinações possíveis podemoster?

Solução: Lembre que um dado tem seis faces, cada uma com um número diferente.O dado é jogado três vezes e em cada um desses eventos podemos obter seis númerosdiferentes. Então o número de combinações possíveis é:

6 · 6 · 6· = 63 = 216.


Exercícios 9.2.1. Suponha que uma senha de e-mail seja formada por oito dígitos sendotodos eles números de 0 a 9. Quantas senhas diferentes podemos ter?

Exercícios 9.2.2. Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.O segredo do cofre é formado por uma sequência de quatro dígitos. Se uma pessoa tentarabrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer, no máximo, para conseguir abrí-lo?

Exercícios 9.2.3. Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, nãosendo necessário que as listras sejam todas de cores distintas. De quantas formas issopode ser feito?

9.3 Arranjos simples

Suponha que você esteja assistindo uma corrida de tartarugas. O nome das tartarugassão Walter, Josh, Carter e Billy. Vamos representá-los porW , J , C e B respectivamente.Queremos saber quantos possíveis três primeiros lugares podemos ter. Podemos fazeruma árvore de possibilidades:

9.3. ARRANJOS SIMPLES 41

Contando, o resultado é 24, que é o mesmo que 4 · 3 · 2 e logo veremos o porquê.

Antes vamos generalizar esse caso. Note que no exemplo anterior tínhamos um con-junto C = W,J,C,R de quatro tartarugas disputando os três primeiros lugares.

A isso chamamos de um arranjo simples de 4 elementos 3 a 3, e pode ser indicado porA4,3 ou A3

4 que, como já vimos, deu 24 possibilidades. Para primeiro lugar podíamos terquatro tartarugas diferentes. Supondo que um desses fosse o primeiro colocado, teríamosoutros três para ser o segundo colocado. Ainda supondo que um desses fosse o segundo,teríamos outros dois para ser o terceiro. Pelo princípio fundamental da contagem, temosque A4,3 = 4 · 3 · 2 = 24.

Agora, então, suponha que tenhamos um conjunto C = a1, a2, a3, . . . , an de n ele-mentos, n ∈ N. Chamamos de um arranjo simples dos n elementos de C, p a p, isto é,An,p com p ∈ N e p ≤ n, toda sequência ou agrupamento de p elementos distintos de C.

Pergunta: como calculamos esse arranjo de n elementos p a p, isto é, An,p?Resposta: seguindo o mesmo princípio usado com as tartarugas:

Se nós temos uma combinação de p elementos distintos dentre n elementos distintos,usaremos o seguinte raciocínio para calcular as combinações possíveis:

• Na primeira escolha, isto é, no primeiro evento, podemos escolher dentre n elemen-tos. No segundo evento podemos escolher n elementos menos o que foi escolhido no


primeiro evento, ou seja, n − 1 elementos. No terceiro evento podemos escolher nelementos menos os que foram escolhidos no primeiro e no segundo evento, ou seja,n− 2 elementos. Seguindo esse processo até completarmos os p elementos, teremosque o p-ésimo elemento será n− (p− 1) ou n− p+ 1

Então, pelo princípio fundamental da contagem, temos

An,p = n(n− 1)(n− 2) . . . (n− p+ 1)

Se multiplicarmos e dividirmos o lado direito da igualdade por (n− p)! obteremos

An,p = n(n− 1)(n− 2) . . . (n− p+ 1)(n− p)!(n− p)!

=n!

(n− p)!

E finalmente, usando as propriedades de fatorial obtemos

An,p =n!

(n− p)!.

Exemplo 9.3.1. Calcule:

a) A7,3

b)A5,4 + A3,2

A4,2 − A2,1

Solução: Pela fórmula dada An,p =n!

(n− p)!temos

a)

A7,3 =7!

(7− 3)!=

7!

4!=

7 · 6 · 5 · 4!

4!= 7 · 6 · 5· = 240

b)A5,4 + A3,2

A4,2 − A2,1

=5 · 4 · 3 · 2 + 3 · 2

4 · 3− 2=

126

10=

63

5

Exemplo 9.3.2. Um anagrama é um código formado pela transposição (troca) de todasas letras de uma palavra, podendo ou não ter significado na língua de origem. Porexemplo, LOBO e OLOB são anagramas da palavra BOLO. Agora considere a palavraLISTA.

a) Quantos anagramas são formados com as letras dessa palavra?

b) Quantos deles começam por P e terminam por A?

c) Quantos contêm as letras ST juntas e nessa ordem?

9.3. ARRANJOS SIMPLES 43

Solução:

a) Queremos saber quantas palvras diferentes de cinco letras podemos formar com asletras L, I, S, T, A. Note que para a primeira letra de cada palavra existem cincopossibilidades, para a segundda existem cinco menos a que foi escolhida na primeira,para a terceira existem cinco menos as que foram escolhidas na primeira e na segunda,e assim por diante. Logo temos que o número de anagramas é

A5,5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

b) Como a primeira e a última letra já estão fixas, temos uma variação com apenas trêsletras (I, S, T). Agora, seguindo o mesmo raciocínio do exercício anterior temos queo número de anagramas possíveis para esse caso é

A3,3 = 3! = 3 · 2 · 1· = 6.

c) Se as letras ST ficarem juntas, nessa ordem, então as letras ST podem ser consideradascomo uma só letra e, junto com as três letras restantes, teremos um total de quatroletras para serem agrupadas 4 a 4. Portanto, o número de anagramas possíveis paraesse caso é

A4,4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1· = 24.

Exercícios 9.3.1. Calcule

a) A6,3

b) A10,4

c) A20,1

d) A12,2

Exercícios 9.3.2. Calcule:

a)A6,2 + A4,3 − A5,2

A9,2 + A8,1

b)A5,2 + A6,1 − A5,3

A10,2 − A7,3

Exercícios 9.3.3. Quantos números de 5 algarismos distintos formamos com os algaris-mos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Exercícios 9.3.4. Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos resul-tados são possíveis para os três primeiros lugares?


Exercícios 9.3.5. Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras,cada listra com uma cor diferente. De quantas formas isso pode ser feito?

Exercícios 9.3.6. Considere a palavra FELINO.

a) Quantos são os anagramas dessa palavra?

b) Quantos começam com a letra N?

c) Quantos terminam por vogal?

d) Quantos apresentam as letras ELI juntas e nessa ordem?

e) Quantos apresentam as letras ELI juntas e em qualquer ordem?

Capítulo 10

Permutação simples

Lembre-se do caso dos anagramas. Se tomamos a palavra MITO, por exmplo, vimosque podemos calcular o número de anagramas da seguinte forma:

Para a primeira letra há quatro possibilidades, na segunda há três (as quatro letrasmenos a que foi escolhida na primeira), na terceira há duas (as quatro letras menos asque foram escolhidas na primeira e na segunda) e na quarta há uma (a que restou).

Veremos que esse caso é uma permutação simples.

Seja E um conjunto com n elementos.Chama-se permutação simples dos n elementos, qualquer agrupamento (sequência)

de n elementos distintos de E. Podemos, também, interpretar cada permutação de nelementos como um arranjo simples de n elementos tomados n a n, ou seja, p = nobtendo An,n.

O número de permutações simples de n elementos é indicado por Pn.

Pn = An,n ⇒ Pn =n!

(n− n)!⇒ Pn =

n!

0!=n!

0!

entãoPn = n!

As permutações simples de n elementos distintos diferem entre si somente pela ordemdos elementos.

Exemplo 10.1. Quantos anagramas tem a palavra BANCO?Solução: Como a palvra BANCO tem 5 letras, vamos formar anagramas de 5 letras

com B, A, N, C, O.P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1· = 120

A palavra BANCO tem 120 anagramas.

45

46 CAPÍTULO 10. PERMUTAÇÃO SIMPLES

Exemplo 10.2. Considere os números obtidos do número 12345, efetuando-se todas aspermutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual olugar ocupado pelo número 43521?

Solução:

Exercício 10.1. Quantos são os anagramas da palavra CAFÉ?

Exercício 10.2. Quantos anagramas da palavra EDITORA:

a) Começam com a letra A?

b) Começam com A e terminam com E?

Exercício 10.3. Calcule o número de anagramas da palvra CLARA em que as letrasAR aparecem juntas e nessa ordem?

Exercício 10.4. De quantos modos difeentes podem sentar-se nove pessoas:

a) Se todas ficarem em fila?

b) Se ficarem todas em fila, mas os lugares extremos forem ocupados pelo mais velho epelo mais novo?

Capítulo 11

Combinações

Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimosantes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhaspode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos emordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se falacasal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há anecessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Paraevitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos,introduziremos o conceito de combinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é umacombinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não temos mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p deelementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetiçãodo mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m, p) arranjos com p elementos, existem p! dessesarranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementostomados p a p, deveremos dividir o número A(m, p) por m! para obter apenas o númerode arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:

C(m, p) =A(m, p)

p!

Como:A(m, p) = m · (m− 1) · (m− 2) · (m− p+ 1)

Então:C(m, p) =

m · (m− 1) · (m− 2) · . . . · (m− p+ 1)

p!

Que pode ser reescrito:

C(m, p) =m · (m− 1) · (m− 2) · (m− p+ 1)

1 · 2 · 3 · 4 . . . (p− 1)·Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por:

(m− p)(m− p− 1)(m− p− 2) . . . 3 · 2 · 1

47

48 CAPÍTULO 11. COMBINAÇÕES

Que, como já sabemos, é o mesmo que multiplicar por (m− p)!, o numerador da fraçãoficará:

m · (m− 1) · (m− 2) · . . . · (m− p+ 1) · (m− p) · (m− p− 1) · . . . · 3 · 2 · 1 = m!

E o denominador ficará: p!(m− p)!Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p,

será uma das seguintes:

C(m, p) =

(m

p

)=

m!

p!(m− p)!Exemplo: M = a, b, c, d. As combinações dos 4 elementos, tomados dois a dois, são

os conjuntos: (a, b); (a, c); (a, d); (b, c); (b, d); (c, d)Note que a, b = b, a, pois combinação é um conjunto, portanto não depende da ordem

dos elementos.Logo, aplicando a fórmula ao exemplo, teríamos que as combinações simples desses

4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquerelemento nem podem aparecer na ordem trocada.

Exemplo 11.1. Sobre uma reta marcam-se 8 pontos e sobre outra reta, paralela àprimeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 pontos quaisquerdo total desses pontos?

Solução: Três desses pontos vão determinar um triângulo se dois deles pertencem a r1e um pertencer a r2, ou dois deles pertencerem a r2 e um a r1. Assim, podemos escolherdois pontos em r1 e um ponto em r2 de C8,2 ·C5,1 maneiras, e dois pontos em r2 e um emr1 de C5,2 · C8,1 maneiras. Logo, o número total de triângulos será:

C8,2 · C5,1 + C5,2 · C8,1 = 28 · 5 + 10 · 8 = 140 + 80 = 220

Serão obtidos 220 triângulos.

Exercício 11.1. De quantas maneiras diferentes é possível escalar um time de futebolde salão dispondo de 8 jogadores?

Exercício 11.2. Com 10 espécies de fruta, quantos tipos de salada, contendo 6 espéciesdiferentes, podem ser feitas?

Exercício 11.3. Numa sala temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos de 2 rapazes e3 moças podemos formar?

Exercício 11.4. Um campeonato de futebol de salão é disputado por várias equipes,jogando entre si, turno e returno. Sabendo-se que foram jogadas 272 partidas, determineo número de equipes participantes.

Capítulo 12

Jogo da Senha

12.1 Material- 1un. Foam paper (podendo ser substituído por isopor);

- 7un. Papel ColorSet (cores diferentes);

- Estilete, lápis e régua para a montagem do tabuleiro;

- Plástico para plastificação.

12.2 Como funciona o jogo?O jogo foi desenvolvido para duplas, mas pode ser feito em trios também. Inicialmenteconsideremos o jogo para uma dupla:

Um dos jogadores recebe uma senha, o outro jogador tem que tentar acertar a senhanum número máximo de jogadas. Neste jogo de senha em especial, temos 5 cores diferen-tes para uma senha de 3 cores (diferentes sempre) sendo 8 o número máximo de jogadas.Assim sendo, começamos com um tabuleiro da seguinte forma:

49

50 CAPÍTULO 12. JOGO DA SENHA

As três primeiras casas de cada linha serão preenchidas por que está tentando acertara senha (jogador 1). As outras três por quem está com a senha (jogador 2). Para melhorentender o funcionamento do jogo, vamos supor que a senha seja:

Se na primeira tentativa o jogador 1 escolheu a seqüência:

O que o jogador 2 deverá marcar em suas três casa?

O jogador 2 terá que se perguntar duas coisas:

- Quantas cores o jogador 1 escolheu que estão certas e no lugar certo? (Neste casofoi 1 cor só, a laranja.)

12.3. ANALISANDO O JOGO MATEMATICAMENTE 51

- Quantas cores o jogador 1 escolheu que estão certas mas no lugar errado? (Nestecaso foi só uma também, a verde.)

Para cada peça naquela linha que tem a cor certa no lugar certo, o jogador 2 marcaráuma peça marrom. Para cada peça naquela linha que tem a cor certa mas no lugarerrado, o jogador 2 marcará uma peça cinza.

IMPORTANTE: Na hora de marcar, sempre se começa da esquerda, não marcandono lugar que está a cor correta, por exemplo:

Não marcar assim:

(Pensando em colocar o marrom no segundo, pois o jogador 1 acertou o laranja na segundae o marrom na terceira pois é o verde que está na terceira que está certo no lugar errado.)

Mas marcar assim:

Sempre começando da esquerda a marcação.

Agora o jogador 1 deve fazer sua segunda jogada, usando as informações que elerecebeu. Ou seja, por tentativa, tentar descobrir qual é a cor que está certa no lugarcerto, ou tentar colocar a que estava no lugar errado agora no lugar certo, ou ainda tentardescobrir qual a cor que está totalmente errada pra daí mudar as peças de lugar.

12.3 Analisando o jogo matematicamente- Quantas senhas diferentes são possíveis formar no jogo?

Como a ordem das cores da senha altera a senha, ou seja, há senhas diferentes comas mesmas cores, logo a contagem de senhas recaí em um problema de arranjo. Assimtemos o número total de senhas dado por: Arranjo de 3 em 5

5!

(5− 3)!=

5!

2!=

5 · 4 · 3 · 2 · 12 · 1

= 5 · 4 · 3 = 60 senhas diferentes

52 CAPÍTULO 12. JOGO DA SENHA

Parte IV

Matrizes

53

Capítulo 13

Matrizes

Com frequência encontramos em jornais e revistas por exemplo, informações numéricasorganizadas na forma de tabelas, com linhas e colunas, como segue no exemplo a seguir:

Tabela 1: Produção de grãos (em milhares de toneladas) de um determinado estadodurante o ano de 2007:

soja feijão arroz milhoRegião A 2900 200 420 680Região B 720 350 720 90Região C 1030 120 550 800

Tabela 2: Produção de grãos (em milhares de toneladas) de um determinado estadodurante o ano de 2008:


Se quisermos então uma tabela que dê a produção por produto e por região nos doisanos conjuntamente, teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas.Então, a tabela resultante será:

Tabela 3: Produção de grãos (em milhares de toneladas) de um determinado estadodurante os anos de 2007 e 2008 conjuntamente:


Essa terceira tabela foi obtida através de:

55

56 CAPÍTULO 13. MATRIZES

2900 200 420 680720 350 720 901030 120 550 800

+

4800 100 220 202100 150 300 3002000 120 550 700

=

7700 300 640 7002820 500 1020 3903030 240 1100 1500

Ou seja, somamos os elementos correspondentes de cada tabela (dos anos de 2007 e

2008).

Podemos considerar agora que devido a pesquisas climáticas, estima-se que a produçãodo ano de 2009 seja o dobro da produção da resultante dos dois anos anteriores. Assim:

2

7700 300 640 7002820 500 1020 3903030 240 1100 1500

=

15400 600 1280 14005640 1000 2040 7806060 480 2200 3000

Esse tipo de tabela que foi construído para obter os resultados da produção dos anos

de 2007 e 2008 conjuntamente e a estimativa da produção de 2009 é chamado de matriz.Diremos que uma matriz é i× j se ela apresenta i linhas e j colunas.

13.1 Propriedades de Operações com Matrizes

13.1.1 Adição e Subtração

Como já visto, para somar duas matrizes, basta somar os elementos correspondentes,como já visto no primeiro exemplo. Porém, essa soma só será válida se as duas (ou mais)matrizes em questão tenham o mesmo número de linhas e colunas. Assim, não é possívelsomar a matriz A com a matriz B, se

A =

1 3 72 5 00 2 1

e B =

2 8 0 51 4 0 32 2 4 1

Já no caso de C e D duas matrizes 3x3 conforme a seguir, existe a matriz C +D, que

também é uma matriz 3x3

C =

0 2 1−1 3 0

2 −2 0

e D =

1 3 −4−2 1 0

0 −1 0

Assim, sendo M e N duas matrizes quaisquer de mesmo “tamanho”, ou seja, mesmonúmero de linhas e colunas, M +N e M −N terão o mesmo “tamanho” também.

Observação 13.1. O processo para realizar a subtração de matrizes é o mesmo para asoma. Segue um exemplo: 3 −1

√2

7 −2 0

−1 π 5√

3

− −3 1 2

0 −1 1/3

7√π 2√

3

=

6 −2√

2− 27 −1 −1/3

−8 π −√π 3

√3

13.1. PROPRIEDADES DE OPERAÇÕES COM MATRIZES 57

13.1.2 Multiplicação por Escalar

Para multiplicar uma matriz por um escalar, multiplicamos cada elemento da matriz peloescalar em questão como o exemplo da estimativa da produção de 2009.

13.1.3 Produto de Matrizes

Seja A uma matriz m × n e B uma matriz p × q. Existirá o produto entre essas duasmatrizes se n = p. A nova matriz A · B será da forma m × q, ou seja, apresentará mlinhas e q colunas. Apresentaremos agora o método para a multiplicação de duas matizesA e B através de um exemplo. Sejam

A =

1 3−2 2

0 4

e B =

[−2 1 0 3−1 5 −4 4

]

Dessa maneira,

A ·B =

1 · (−2) + 3 · (−1) 1 · 1 + 3 · 5 1 · 0 + 3 · (−4) 1 · 3 + 3 · 4(−2) · (−2) + 2 · (−1) (−2) · 1 + 2 · 5 (−2) · 0 + 2 · (−4) (−2) · 3 + 2 · 4

0 · (−2) + 4 · (−1) 0 · 1 + 4 · 5 0 · 0 + 4 · (−4) 0 · 3 + 4 · 4

A ·B =

−5 16 −12 152 8 −8 −4−4 20 −16 16

Observação 13.2. Perceba que, apesar de existir a matriz A ·B, como mostrado acima,a matriz B ·A não existe. Porém, sempre que duas matrizes tiverem o mesmo número decolunas e linhas, existirá tanto A ·B quanto B ·A, mas isso não significa que A ·B = B ·A.

Observação 13.3. Dadas duas matrizes A e B, diremos que A = B se cada elementoda matriz A for igual ao seu correspondente na matriz B.

58 CAPÍTULO 13. MATRIZES

Capítulo 14

Probabilidades

A teoria de probabilidades passou a ser mais estudada na história com o surgimentodos jogos de azar. Hoje é um ramo da Matemática muito importante e é usado em váriosramos, como Economia, Genética, Marketing, entre outros. Vamos ver as propriedadesprincipais das probabilidades através de exemplos.

Exemplo 14.1. Uma roleta de cassino tem 37 números (de 0 a 36). Se você apostou nonúmero 28, qual é a chance de você ganhar?

Intuitivamente, sabemos que essa probabilidade é de 1/37. Vamos ver como escreve-mos isso matematicamente.Chamamos o conjunto Ω = 0, 1, 2, 3, . . . , 35, 36 dos possíveis resultados de espaçoamostral e qualquer subconjunto E de Ω de evento. Então a probabilidade de ocorrero evento E é o número de elementos do evento (casos favoráveis) dividido pelo númerode elementos do espaço amostral Ω (casos possíveis). Escrevemos isso como:

p(E) =n(E)

n(Ω)

Qual é a probabilidade de você ganhar na roleta, se você apostou:

• em todos os números pares (a regra da roleta não considera 0 como número par ouímpar)?

• em todos os números primos?

• em todos os números que não são múltiplos de 3?

Exemplo 14.2. Em uma classe há 30 alunos, todos nascidos em 1993. Se forem sorteadosdois deles ao acaso, qual a probabilidade desses alunos terem nascido:

• no mesmo mês?

• em meses de número par?

• no mesmo dia da semana?

• no mesmo dia?

59

60 CAPÍTULO 14. PROBABILIDADES

Exemplo 14.3. Num programa de auditório, há uma caixa com três bolas, uma com aletra S, outra com a letra I e a outra com a letra M. Sorteando as bolas, sem reposição,deseja-se formar a palavra SIM. Para cada letra na posição correta da palavra, o parti-cipante ganha R$ 200,00. No caso de as bolas terem sido sorteadas na ordem ISM, porexemplo, ganha-se R$ 200,00 Qual é a chance do participante ganhar:

• R$600,00?

• R$400,00?

• R$200,00?

• R$0,00?

Se fizermos o sorteio das bolas com reposição, a chance de ganhar o prêmio máximo émaior?

Um evento que tem 100% de chance de ocorrer chama-se evento certo. Um eventoque tem 0% de chance de ocorrer chama-se evento impossível.

Exemplo 14.4. Para jogar na Mega-Sena, marca-se pelo menos seis números na cartelanumerada de 00 a 59. Para ganhar algum prêmio, é necessário que entre os seis númerossorteados, pelo menos quatro deles sejam iguais aos que foram escolhidos pelo apostador.O prêmio máximo vai para quem acertar os seis números. Qual é a chance de ganhar oprêmio máximo apostando em

• seis números?

• sete números?

• oito números?

O valor da aposta em seis números é de R$2,00 e em sete número esse valor vaipara R$14,00. Você sabe como é calculado esse valor? Apostando em sete números,paga-se o valor de quantos jogos de seis números podem ser feitos. Assim, com setenúmeros podemos fazer C6

7 = 7, ou seja, pagamos por sete apostas em seis núemros(7×R$2, 00 = R$14, 00).

Quanto custaria uma aposta na Mega-Sena em que foi apostado em todos os números?Quantos números têm uma aposta em que há 50% de chance de acertar:

• quatro números?

• seis números?

Quanto custariam essas apostas?

Exemplo 14.5. Num grupo de 12 alunos , 4 usam óculos. Sorteando-se 5 deles, semreposição, qual é a chance de no grupo haver:

61

• exatamente duas pessoas que usam óculos?

• pelo menos duas pessoas que usam óculos?

Se o primeiro aluno sorteado usa óculos, qual é a chance de que no grupo final de 5alunos

• exatamente duas pessoas que usam óculos?

• pelo menos duas pessoas que usam óculos?

62 CAPÍTULO 14. PROBABILIDADES

Capítulo 15

Cadeias de Markov1

Muitos processos naturais são estudados a partir de aproximações em que a passagemde um estado para outro ocorre segundo uma probabilidade. Se a probabilidade detransição para o próximo estado depende apenas da situação corrente do fenômeno, oprocesso de chama de processo de Markov e uma sequência de estados envolvendoestes processos é chamada de cadeia de Markov. As probabilidades calculadas comeste processo fornecem, a longo prazo, apenas aproximações, visto que é muito comumque nos processos estudados as probabilidades mudem ao longo do tempo. Vamos verum exemplo de aplicação deste processo:

Suponha que, numa determinada região, observa-se que se chover bastante duranteo ano, a probabilidade de que chova bastante no ano seguinte é de 0,25, e que a proba-bilidade que de faça seca é de 0,75. Ainda, se houver seca em um ano, no ano seguintea probabilidade de haver seca ou chuva suficiente será a mesma, de 0,50. Vamos suportambém que estas probabilidades não mudem no decorrer do tempo.

Veja que

p(2)C =

1

4p(1)C +

1

2p(1)S

p(2)S =

3

4p(1)C +

1

2p(1)S

que é o mesmo que [p(2)C

p(2)S

]=

1

4p(1)C +

1

2p(1)S

3

4p(1)C +

1

2p(1)S

Note que 1

4p(1)C +

1

2p(1)S

3

4p(1)C +

1

2p(1)S

=

1

4

1

2

3

4

1

2

.[p(1)C

p(1)S

]

1Mais detalhes em Álgebra Linear, Boldrini/Costa, referência [6].

63

64 CAPÍTULO 15. CADEIAS DE MARKOV

Chamando de T a matriz

1

4

1

2

3

4

1

2

, temos que:

[p(2)C

p(2)S

]= T

[p(1)C

p(1)S

]Da mesma forma, vemos que as probabilidades para o terceiro ano são:[

p(3)C

p(3)S

]= T

[p(2)C

p(2)S

]= T 2.

[p(1)C

p(1)S

]Após n anos, então:[

p(n)C

p(n)S

]= T

[p(n−1)C

p(n−1)S

]= T n−1.

[p(1)C

p(1)S

]

Se as potências da matriz T (T , T 2, T 3, . . ., T n, . . . ), se aproximam de uma matrizfixa P , podemos prever as probabilidades para o clima dessa região a longo prazo:

[pCpS

]= P.

[p(1)C

p(1)S

].

Chamamos a matriz T de matriz de probabilidades de transição ou matrizestocástica. Se a matriz de probabilidades de um processo de Markov possui algumapotência com todos os termos não nulos, então ela é chamada de regular. Uma matrizdo tipo [

p(n)C

p(n)S

]onde cada linha possui uma probabilidade é chamada de vetor de probabilidades. Aimportância de haver uma matriz regular num processo de Markov está no teorema aseguir:

Teorema 15.1. Se a matriz Tr×r de probabilidades de transição é regular, então:

i) Para valores cada vez maiores de n, a matriz T n se aproxima de uma matriz P .

ii) Para valores cada vez maiores de n e um vetor de probabilidades inicial V1, o vetorde proabilidades T nV1 se aproxima de um vetor de probabilidades V .

iii) O vetor de probabilidades V dado no item anterior é o único que satisfaz V = TV

Voltando ao exemplo, temos que a primeira potência de T tem todos os termos nãonulos, logo T é uma matriz regular. O vetor de probabilidades V descrito no teorema é o

65

vetor que nos diz sobre as probabilidades a longo prazo. Podemos encontrá-lo resolvendoa equação: [

pCpS

]=

1

4

1

2

3

4

1

2

[pCpS

]

que é equivalente a: pC =

1

4pC +

1

2pS

pS =3

4pC +

1

2pS

Resolvendo esse sistema, chegamos à equação:

pS =3

2pC

Lembrando quepC + pS = 1,

chegamos que pC =2

5e pS =

3

5. Assim, a longo prazo, a probabilidade de um ano com

muita chuva é de2

5= 40% e de um ano com seca é

2

5= 60% e, portanto, a região tende

a uma ligeira aridez.Veja como estão arranjados os termos da matriz T :

Chuva SecaChuva 1

412

Seca 34

14

66 CAPÍTULO 15. CADEIAS DE MARKOV

Capítulo 16

Exercícios1

Exercício 16.1. Um dado comum é lançado duas vezes sucessivamente. Qual é a pro-babilidade de:

1. Ocorrer 5 no primeiro lançamento e um número par no segundo?

a) 4,16%

b) 8,33%

c) 10,50%

d) 16,66%

e) 91,66%

2. O produtos obtidos ser maior que 12?

a) 12%

b) 24%

c) 36,11%

d) 41,66%

e) 63,89%

Exercício 16.2. Na tabela seguinte está representada a distribuição por turno de todosos alunos do curso de Matemática de uma faculdade:

Manhã NoiteHomens 20 23Mulheres 25 12

Escolhendo ao acaso um aluno desse grupo, qual é a probabilidade de que seja:

1. Homem?1Os exercícios 16.1 a 16.6 foram tirados da referência [13]. Os exercícios 16.7 a 16.9 são de vestibular.

67

68 CAPÍTULO 16. EXERCÍCIOS

a) 15,00%b) 31,25%c) 43,00%d) 46,25%e) 53,75%

2. Do curso diurno?

a) 37,00%b) 43,75%c) 45,00%d) 56,25%e) 63,00%

3. Mulher do Noturno?

a) 15,00%b) 31,25%c) 43,75%d) 56,25%e) 85,00%

Exercício 16.3. Em um grupo de 80 pessoas, todas de Minas Gerais, 53 conhecem oRio de Janeiro, 38 conhecem São Paulo e 21 já estiveram nas duas cidades. Uma pessoado grupo é escolhida ao acaso. Quantas pessoas não conhecem nenhuma cidade? Qual éa probabilidade de que ela tenha visitado exatamente uma dessas cidades?

Exercício 16.4. Uma moeda é viciada de tal modo que, com ela, obter cara (H) é trêsvezes mais provável que obter coroa (T). Qual é a probabilidade de se conseguir cara emum único lançamento dessa moeda?

Exercício 16.5. Oito pessoas, incluindo um casal e seu filho, são colocadas aleatoria-mente em fila. Qual é a probabilidade de que a família fique junta?

Exercício 16.6. Os dados da tabela seguinte referem-se a uma pesquisa realizada com155 moradores de um bairro e revelam seus hábitos quanto ao uso de TV e internet pagas.

Só TV aberta TV pagaInternet Gratuita 76 44Internet Paga 14 21

Um dos entrevistados é selecionado ao acaso. Qual é a probabilidade (aproximada)de que ele use TV ou Internet pagas?

69

a) 21%

b) 44%

c) 51%

d) 63%

e) 79%

Exercício 16.7 (UFPR-2010). Em uma população de aves, a probabilidade de um ani-mal estar doente é 1

25. Quando uma ave está doente, a probabiliade de ser devorada por

predadores é 14e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores

é 140. Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida aleatóriamente,

ser devorada por predadores é de:

a) 1,0%

b) 2,4%

c) 2,5%

d) 3,4%

e) 4,0%

Exercício 16.8 (UFPR-2009). A linha de produção de uma fábrica produz milharesde peças por dia e apresenta, em média, quatro peças defeituosas a cada cem peçasproduzidas. Um inspetor de qualidade sorteia cinco peças de modo aleatório e verificaa quantidade de peças defeituosas. De acordo com as informações acima, considere asseguintes afirmativas:

1. A probabilidade de o inspetor encontrar no máximo uma peça defeituosa é (0, 040×0, 965) + (5× 0, 041 × 0, 964)

2. A probabilidade de o inspetor encontrar pelo menos uma peça defeituosa é 1 −(0, 040 × 0, 965)

3. É impossível o inspetor encontrar 5 peças defeituosas.

Assinale a alternativa correta:

a) Apenas a afirmativa 1 é verdadeira.

b) Apenas as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.

c) Apenas as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

d) Apenas as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.


e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Exercício 16.9 (PUC/SP-2010). Um aluno prestou vestibular em duas Universidades.Suponha que, em uma delas, a probabilidade de que ele seja aprovado é de 30%, enquantona outra, pelo fato de a prova ter sido mais fácil, a probabilidade de sua aprovação sobepara 40%. Nessas condições, a probabilidade de que esse aluno seja aprovado em pelomenos uma dessas universidades é de:

a) 58%

b) 60%

c) 52%

d) 68%

e) 70%

Capítulo 17

Cubo Mágico

A históriaO Cubo Mágico é um dos símbolos dos anos 80. Foi inventado pelo arquiteto e profes-

sor Ernõ Rubik na tentativa de criar um modelo para explicar geometria tridimensional.Seu primeiro protótipo foi feito em 1974. Já foram vendidas mais de 300 milhões deunidades do cubo mágico. Nos anos 80 foi estimado que aproximadamente um quinto dapopulação tenha brincado com o cubo. Ainda hoje ele é muito vendido e inspirou váriosoutros brinquedos.

As combinaçõesPodemos calcular quantas são as posições possíveis para o Cubo Mágico. A conta

não é fácil porque temos que lidar com números grandes. O raciocínio não é difícil, masé necessário que saibamos algumas propriedades do cubo. O resultado é um númerodifícil até de se falar: 43.252.003.274.489.856.000. Como você acha que foi calculado essenúmero? Que raciocínio foi feito? Uma dica: esse número é igual a 8!.12!.37.212.

O “número de Deus”Uma pergunta sempre instigou quem já brincou com o cubo: para uma combinação

qualquer, qual o número mínimo de movimentos para resolvê-lo? Esse número é chamadode “número de Deus”, pois se Deus fosse resolver o cubo, o faria da maneira mais sim-ples possível. Foi calculado em 2010 que esse número é 20, ou seja, a combinação maiscomplicada do Cubo Mágico pode ser resolvida com 20 movimentos. Tendo em vista aquantidade de combinações possíveis, foi necessário usar programas de computador paraverificar todos os casos. Um computador comum demoraria cerca de 1,1 bilhão de segun-dos para fazer todas essas contas.

Resolvendo o CuboO criador do quebra-cabeça, Ernõ Rubik, demorou cerca de um mês para resolvê-lo

pela primeira vez. Existem vários métodos para resolver o cubo; os mais rápidos são osque exigem mais memorização e treino, pois dividem a resolução em muitas partes. Oatual recorde é de 6,24 segundos.

71

72 CAPÍTULO 17. CUBO MÁGICO

Parte V

Polinômios e suas Aplicações

73

Capítulo 18

Polinômios

18.1 Introdução

A palavra “polinômios” vem do grego — poli=muitos e nômios=termos, ou seja muitostermos ou vários monômios (mono=um, um termo)—. Já na matemática, podemosencontrar várias definições para polinômios, desde as mais simples até as mais complexas.Por exemplo:

Definição 18.1.1. Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantesreduzidos.

Mas a definição que usaremos aqui é a seguinte:

Definição 18.1.2. Seja p : R→ R. p é dito um polinômio de grau n se:

i) p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0;

ii) an, an−1, · · · , a1, a0 ∈ R, an 6= 0 e

iii) n ∈ N.

Exemplo 18.1.1. Diga se as expressões abaixos são polinômios e, se afirmativo, qual éo grau (denotamos gr(p) como grau de p).

a) x2 + 3x+ 43 é um polinômio de grau 2

b) x27 − x45 + 37 + x10 + x15 + x é um polinômio de grau 45

c) x2 −√

2 é um polinômio de grau 2

d) x2 + ix, onde i =√−1, não é um polinômio, pois i /∈ R

Observação 18.1.

i) O grau de um polinômio constante é zero;

ii) Por convenção1, dizemos que o grau do polinômio nulo (p(x) = 0,∀x ∈ R) é menosinfinito (−∞)

1Ver referência [10]

75

76 CAPÍTULO 18. POLINÔMIOS

18.2 Identidade de PolinômiosSejam p(x) = anx

n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0

e q(x) = bmxm+ bm−1x

m−1 + · · ·+ b1x+ b0, polinômios com graus n e m respectivamente.p(x) = q(x) se, e somente se, n = m e a0 = b0, a1 = b1, · · · , am = bm.

18.3 Soma e MultiplicaçãoVamos agora definir a soma e a multiplicação de dois polinômios.

Definição 18.3.1. (Soma) Sejam p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 eq(x) = bmx

m + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x+ b0 com n ≥ m. Então,

p(x) + q(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ am+1xm+1 + (am + bm)xm

+(am−1 + bm−1)xm−1 + · · ·+ (a1 + b1)x+ a0 + b0

Ou seja,

Ao somarmos dois polinômios, agrupamos seus termos semelhantes.

Em termos de somatório, temos:

p(x) =n∑k=0

akxk

q(x) =m∑k=0

bkxk

para n > m, p(x) + q(x) =n∑k=0

akxk +

m∑k=0

bkxk

=n∑

k=m+1

akxk +

m∑k=0

akxk +

m∑k=0

bkxk

=n∑

k=m+1

akxk +

m∑k=0

(ak + bk)xk.

para n = m, p(x) + q(x) =m∑k=0

akxk +

m∑k=0

bkxk

=m∑k=0

(ak + bk)xk.

Exemplo 18.3.1. Some os polinômios a seguir:

a) p(x) = 3x3 + 2x+ 1q(x) = 2x2 + 3x− 5

p(x) + q(x) = (3x3 + 2x+ 1) + (2x2 + 3x− 5)

= 3x3 + 2x2 + (2 + 3)x+ (1− 5)

= 3x3 + 2x2 + 5x− 4

18.3. SOMA E MULTIPLICAÇÃO 77

b) p(x) = 5x3 + 2x2 − 4x− 5q(x) = 2x4 − 5x3 + 4x2 + 7x

p(x) + q(x) = (5x3 + 2x2 − 4x− 5) + (2x4 − 5x3 + 4x2 + 7x)

= 2x4 + 5x3 − 5x3 + 2x2 + 4x2 − 4x+ 7x− 5

= 2x4 + 6x2 + 3x− 5

Propriedade 18.3.1. Sejam p e q polinômios de grau n e m, com n ≥ m. Então o graudo polinômio p+ q é n.

Definição 18.3.2. (Produto) Sejam

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 =∑n

k=0 akxk e

q(x) = bmxm + bm−1x

m−1 + · · ·+ b1x+ b0 =∑n

k=0 bkxk com n ≥ m.

Então,

p(x)× q(x) =∑n

i=0

∑mj=0 aibjx

i+j

Ou seja,

Ao multiplicarmos dois polinômios, apenas fazemos a distributiva entre os monômios

Exemplo 18.3.2. Multiplique os polinômios a seguir:

a) p(x) = 3x3 + 2x+ 1q(x) = 2x2 + 3x− 5

p(x)× q(x) = (3x3 + 2x+ 1)(2x2 + 3x− 5)

= 3x3(2x2 + 3x− 5) + 2x(2x2 + 3x− 5) + 1(2x2 + 3x− 5)

= 6x5 + 9x4 − 15x3 + 4x3 + 6x2 − 10x+ 2x2 + 3x− 5

= 6x5 + 9x4 − 11x3 + 8x2 − 7x− 5

b) p(x) = x2 − 3x+ 1q(x) = 2x2 − 1

p(x)× q(x) = (x2 − 3x+ 1)(2x2 − 1)

= x2(2x2 − 1)− 3x(2x2 − 1) + 1(2x2 − 1)

= 4x4 − x2 − 6x3 + 3x+ 2x2 − 1

= 4x4 − 6x3 + x2 + 3x− 1

Propriedade 18.3.2. Sejam p e q polinômios tais que gr(p) = n e gr(q) = m. Então,em geral, temos gr(p · q) ≤ gr(p) + gr(q) = n+m. No nosso contexto, teremos sempregr(p · q) = gr(p) + gr(q) = n+m.


18.4 Valor numérico - RaizDefinição 18.4.1. Dados o número real a e o polinômio f(x) = a0+a1x+a2x+· · ·+anxn,chama-se valor numérico de f em a a imagem de a pela função f , isto é:

f(a) = a0 + a1a+ a2a2 + · · ·+ ana

n

Exemplo 18.4.1. Seja f(x) = 2 + x+ x2 + 3x3. Então:

a) f(2) = 2 + 2 + 22 + 3 · 23 = 32

b) f(−1) = 2 + (−1) + (−1)2 + 3 · (−1)3 = −1

Definição 18.4.2. Se a é um número real e f é um polinômio tal que f(a) = 0, dizemosque a é uma raiz ou um zero de f .

Exemplo 18.4.2. Observe as raízes:

a) x = 0 é raiz de p(x) = 4x3 − 2x2 + x√

2 poisp(0) = 4× 03 − 2× 02 + 0×

√2 = 0

b) x = −2 é raiz de q(x) = 4x2 − 3x− 22 poisq(−2) = 4× (−2)2 − 3× (−2)− 22 = 16 + 6− 22 = 0

18.5 Divisão de polinômiosAgora que sabemos o que é um valor numérico de um polinômio ou melhor sabemostambém o que é uma raiz, podemos estender um pouco mais nosso estudo com novasidéias interessantíssimas, vamos agora trabalhar com alguns resultados algébricos que nosajudaram a compreender melhor os polinômios:

Teorema 18.5.1. (Divisão de polinômios) Seja p(x) = a0 + a2x + · · · + anxn e h(x) =

b0 + · · ·+ bnxn polinômios não identicamente nulos, então se bn 6= 0, existem únicos q(x)

e r(x) polinômios tais que:

i) p(x) = h(x) · q(x) + r(x);

ii) gr(h) > gr(r);

iii) gr(q) = gr(p)− gr(h).

Observação 18.2.

i) Chamamos de q(x) de quociente e r(x) de resto;

ii) O processo para encontrar q(x) e r(x) é análogo ao conhecido algoritmo da divisão,isto é:

18.5. DIVISÃO DE POLINÔMIOS 79

p(x) h(x)r(x) q(x)

iii) Quando r(x) = 0, dizemos que h(x) divide ou está na fatoração de p(x) (ver seçãosobre fatoração).

Agora, para facilitar as contas, vamos mostrar alguns métodos práticos de se encontrarq(x) e r(x).

18.5.1 Método 1: Método da Chave

Como o título sugere, iremos utilizar o mesmo método utilizado na aritmética: Defato, seja p(x) = 4x3 + x4 + 9 + 4x2 um polinômios. Vamos dividi-lo pelo polinômioh(x) = x2 + x− 1, sabemos - pelo teorema 18.5.1 - que q(x) e r(x) existem e são únicos.Logo, o processo para encontrá-los nos sugere os seguintes passos:

Passo 1: Escrevemos ambos os polinômios em ordem crescente, isto é,

p(x) = x4 + 4x3 + 4x2 + 0x+ 9 e h(x) = x2 + x− 1

Observação 18.3. Completamos com zero os expoentes que estão faltando.

Passo 2: Dividimos o termo maior do dividendo pelo termo de maior grau do divisor,assim obtemos o primeiro termo de quociente:

x4 + 4x3 + 4x2 + 0x+ 9 x2 + x− 1−x4 − x3 + x2 x2

0x4 + 3x3 + 5x2

Passo 3: Como a diferença obtida gerou um polinômio de maior grau do dividendo,repetimos o processo análogo ao passo 2 e assim sucessivamente até que o resto seja demenor grau que o divisor:

x4+ 4x3 + 4x2 +0x+ 9 x2 + x− 1

−x4− x3 + x2...

... x2 + 3x+ 2

0x4+ 3x3 + 5x2 +0x...

−3x3− 3x2 +3x...

2x2 +3x+ 9−2x2−2x+ 2

x + 11

Logo, q(x) = x2 + 3x+ 2 e r(x) = x+ 11


18.5.2 Método 2: Identidade de Polinômios (Descartes)

Sejam os polinômios p(x) = 4x3 − 3x + 2 e h(x)x2 − x, vamos mostrar outro métodointeressantíssimo para encontrar q(x) e r(x), utilizando o método de Descartes temos asseguintes considerações:

i) p(x) = q(x)·h(x)+r(x), onde gr(q) = gr(p)−gr(h) = 1. Logo, q(x) necessariamentedeve ser da forma q(x) = ax+ b;

ii) O resto é identicamente nulo se e somente se a divisão for exata. Caso contrário,pelo teorema 18.5.1 (pág. 78), temos necessariamente gr(r) ≤ 1, isto é r(x) = px+m.

Logo:

4x3 − 3x+ 2 x2 − xpx+m ax+ b

Com efeito:

4x3 − 3x+ 2 = (ax+ b)(x2 − x) + px+m

4x3 − 3x+ 2 = ax3 − ax2 + bx2 − bx+ px+m

4x3 − 3x+ 2 = ax3 + (−a+ b)x2 + (−b+ p)x+m

Como os polinômios são idênticos, temos:a = 4

−a+ b = 0−b+ p = −3

m = 2

Assim, resolvendo o sistema, temos a = 4; b = 4; p = 1;m = 2.Portanto, q(x) = 4x+ 4 e r(x) = x+ 2

Exercício: Deixamos a cargo do leitor verificar que, utilizando o método 1,as respostas irão coincidir.

Antes de enunciarmos o nosso terceiro e último método conhecido por algoritmo deBriot - Ruffini, vamos enunciar os seguintes resultados:

Teorema 18.5.2. (do Resto) O resto da divisão de um polinômio p(x) por um binômio(x− a) é o próprio valor numérico do polinômio em x = a, que indicamos anteriormentepor p(a).

Teorema 18.5.3. (de D’Alembert) A divisão de um polinômio p(x) por um binômio(x− a) é exata se, e somente se, p(a) = 0

18.5. DIVISÃO DE POLINÔMIOS 81

Observação 18.4.

i) Através desses dois últimos resultados e com o teorema 18.5.1 da pág. 78, prova-seque, sendo o polinômio p(x) divisível por (x − a) e por (x − b) com a 6= b, entãop(x) é divisível por (x− a).(x− b), ao leitor fica o desafio de provar o resultado.

ii) Sobre os teoremas que estamos enunciando, dos quais omitimos as demonstrações,recomendamos fortemente para aqueles que gostam das provas matemáticas aleitura dos seguintes títulos:Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 6 - Gelson Iezzie para aqueles mais “íntimos” com a matemática:Introdução a Álgebra - Adilson Gonçalves

18.5.3 Método 3: Algoritmo de Briot-Ruffini

Sejam os polinômiosf(x) = a0x

n + a1xn−1 + · · ·+ an, (a0 6= 0)

g(x) = x− aVamos encontrar o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f(x) por g(x). O algoritmode Briot - Ruffini nos sugere a seguinte construção:

Exemplo 18.5.1. Divida f(x) = 2x4 − 7x2 + 3x− 1 por g(x) = x− 3

Portanto, q(x) = 2x3 + 6x2 + 11x+ 36 e r(x) = 107

Exercício: Fica a cargo do leitor verificar que utilizando o método 1 e 2as respostas irão coincidir.


Observação 18.5. Existe um outro modo de se “escrever” o algoritmo de Briot-Ruffini.Seja p(x) = anx

n + an−1xn−1 + · · ·+ a0 e h(x) = (x− a).

a an an−1 · · · a1 a0an aqn + an−1 · · · aq2 + a1 aq1 + a0

= qn = qn−1 = q1 = q0

Assim, q(x) = qnxn−1 + qn−1x

n−2 + · · ·+ q2x+ q1 e r(x) = q0.

Considerações: Naturalmente existem mais métodos para se dividir polinômios, emparticular métodos específicos para determinados graus de polinômios como é o caso depolinômios de grau 2 e 3, Bhaskara e chute respectivamente, sobre os quais acreditamosque o leitor já tem um conhecimento prévio. Ambos são facilmente encontrados emqualquer livro de ensino básico.

18.6 Fatoração

Como vimos o que são raízes e a divisão de polinômios, agora podemos aprender afatorá-los. Vocês, leitores, já devem ter visto que nem todo polinômio admite raízes real.Fatorar, aqui, significar escrever um polinômio como uma multiplicação de polinômiosde grau 1, ou então de grau 2 só se não for possível escrever do primeiro modo.

Exemplo 18.6.1. Diga se os polinômios estão na sua forma fatorada:

a) p(x) = (x+ 2)2 está na sua forma fatorada

b) p(x) = 2(x+ 3)(x− 2)2 está na sua forma fatorada

c) p(x) = −4(x+2)3(x2−4) não está na sua forma fatorada pois, (x2−4) = (x−2)(x+2)(faça a distributiva e confira!)

d) p(x) = −4(x+ 2)3(x2 + 4) está na sua forma fatorada (ainda veremos o porquê)

Muito bem. Agora que temos uma ideia do que é um polinômio fatorado, temos queaprender a como fatorar.

Teorema 18.6.1. Sejam

i) p(x) = a(x− x1)α1(x− x2)α2 · · · (x− xk)αk · q(x) a forma fatorada de um polinômioque possui k raízes reais distintas, com 0 ≤ k ≤ n, e

ii) q(x) é um polinômio mônico (coeficiente do termo de maior grau igual a 1) de graum, com:

18.6. FATORAÇÃO 83

• 0 ≤ m ≤ n se n é par, ou

• 0 ≤ m < n se n é ímpar.

Então:

i) m = n+ kii) m é pariii) x1, x2, · · · , xk são suas raízes reais distintas

iv) αi é a multiplicidade da raiz xi, i = 1, · · · , k

v) a = an, ou seja, o coeficiente do termo de maior grau

vi) q(x) não possui raízes reais

Exemplo 18.6.2. (m = 0) Fatore os polinômios a seguir:

a) p(x) = x2 + x− 2p(x) = 0

x2 + x− 2 = 0

x =(−1±

√12 − 4(1)(−2)

)/(2(1))

x =(−1±

√9)/2

x = (−1± 3) /2x′ = 1 e x′′ = −2 (raízes reais)

Portanto, como an = 1, temos p(x) = 1(x− 1)(x− (−2))p(x) = (x− 1)(x+ 2)

b) q(x) = x3 − 2x2 − 11x+ 12q(x) = 0

x3 − 2x2 − 11x+ 12 = 0

x = 1 é solução pois 1 + (−2) + (−11) + 12 = 0 (soma dos coeficientes é igual a zero)Então, por Briot-Ruffini, temos

1 1 −2 −11 121 1 + (−2) = −1 −1 + (−11) = −12 −12 + 12 = 0

Assim, Nossa nova equação é: q2(x) = (1)x2 + (−1)x+ (−12) ⇒ q2(x) = x2 − x− 12

q2(x) = 0x2 − x− 12 = 0

x =(−(−1)±

√(−1)2 − 4(1)(−12)

)/(2(1))

x =(1±√

49)/2

x = (1± 7) /2x′ = 4 e x′′ = −3 (raízes reais)

Portanto, como an = 1, temos q(x) = 1(x− 1)(x− 4)(x− (−3))q(x) = (x− 1)(x− 4)(x+ 3)


Exemplo 18.6.3. (m > 0) Fatore os polinômios a seguir:

a) p(x) = x3 − x2 + x− 1p(x) = 0

x3 − x2 + x− 1 = 0

x = 1 é solução pois 1 + (−1) + 1 + (−1) = 0 (soma dos coeficientes é igual a zero)Então, por Briot-Ruffini, temos

1 1 −1 1 −11 1 + (−1) = 0 0 + 1 = 1 1 + (−1) = 0

Assim, Nossa nova equação é: p2(x) = (1)x2 + (0)x+ (1) ⇒ p2(x) = x2 + 1

p2(x) = 0x2 + 1 = 0

x =(−0±

√02 − 4(1)(1)

)/(2(1))

x =(±√−4)/2√

−4 /∈ R ⇒ @x ∈ R / p2(x) = 0Portanto, como an = 1, temos p(x) = 1(x− 1) · p2(x)

p(x) = (x− 1)(x2 + 1)

b) q(x) = x2+2x+2

q(x) = 0x2 + 2x+ 2 = 0

x =(−2±

√22 − 4(1)(2)

)/(2(1))

x =(−2±

√−4)/2√

−4 /∈ R ⇒ @x ∈ R / q(x) = 0Portanto, como an = 1, temos q(x) = 1 · q(x)

q(x) = x2 + 2x+ 2

c) p(x) = 2x2 + 4p(x) = 2(x2 + 2)

p2(x) = 0x2 + 2 = 0

x2 = −2x = ±

√−2√

−2 /∈ R ⇒ @x ∈ R / p2(x) = 0Portanto, como an = 2, temos p(x) = 2 · p2(x)

p(x) = 2(x2 + 2)

Capítulo 19

Binômio de Newton

19.1 Motivação

Aprendemos em produtos notáveis que (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a mais b, ao quadrado éigual ao primeiro ao quadrado, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o segundoao quadrado). Essa é basicamente a “fórmula”. No entanto, o que faríamos para calcular(a+ b)3. Bom, poderiamos fazer o seguinte:

(a+ b)3 = (a+ b)2(a+ b)

= (a2 + 2ab+ b2)(a+ b)

= a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

Bom, mas e se for elevado a quarta? Podemos aplicar o mesmo processo anterior,mas e se quisermos elevar a 10? Ou a um n determinado? É pra isso que serve, então,nosso objeto de estudo, o binômio de Newton.

19.2 O binômio

Definição 19.2.1. Todo binômio da forma (a + b)n, sendo n ∈ N é denominado debinômio de Newton.

Teorema 19.2.1. (do binômio de Newton)

(x+ y)n =n∑k=0

(nk

)xn−kyk

onde (nk

)=

n!

k!(n− k)!= Cn

k

são chamados de coeficentes binomiais

85

86 CAPÍTULO 19. BINÔMIO DE NEWTON

Podemos montar uma tabela (chamada também de triângulo de Pascal) dos coefi-cientes binomiais.

n

k0 1 2 3 4 5 6 7 8 · · ·

0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 17 1 7 21 35 35 21 7 18 1 8 28 56 70 56 28 8 1...

Mas, o que tudo isso tem a ver com polinômios?Bom, vamos às seguintes propriedades:i) a soma dos coeficientes de (a+ b)n é igual a 2n;ii) os coeficientes que equidistam dos extremos são numericamente iguais;iii) o desenvolvimento de um binômio de Newton pode ser um polinômio de (n + 1)

termos eiv) Cn

0 = Cnn = 1, e Cn

1 = Cnn−1 = n.

Exemplo 19.2.1. Desenvolva o binômio a seguir:

(a+ c)3 =

(30

)a3−0c0 +

(31

)a3−1c1 +

(32

)a3−2c2 +

(33

)a3−3c3

= 1 · a3 · 1 + 3 · a2c+ 3 · ac2 + 1 · c3

= a3 + 3a2c+ 3ac2 + c3

19.3 O termo geral de um binômio

A fórmula para o termo geral do binômio (a+ b)n é dado pela seguinte fórmula:

Tp+1 =

(np

)an−pbp

Assim, se eu quero, por exemplo, o 3º termo do desenvolvimento do binômio (x + y)6,basta calular T3.

Exemplo 19.3.1. Calcule o que se pede:

Calcule o 5º termo do binômio (x+ 3)7

Tp+1 = T5 ⇒ p+ 1 = 5⇒ p = 4

19.3. O TERMO GERAL DE UM BINÔMIO 87

Assim, T5 =

(74

)x7−434

Vamos então calcular C74

C74 =

7!

4!(7− 4)!

=7 · 6 · 5 · 4!

4! · 3!

=7 · 6 · 53 · 2 · 1

= 7 · 5= 35

Portanto, T5 = 35 · 81x3 = 2835x3

88 CAPÍTULO 19. BINÔMIO DE NEWTON

Capítulo 20

Exercícios1

Exercício 20.1. Determine o grau dos polinômios a seguir:

a) 5x3 + x2 + 3x+ 2

b) a4 + a5 + aaa+ a3

c) 12x2 + x3

Exercício 20.2. Dados os polinômios F (x) = 2 + 3x − 4x2, G(x) = 7 + x2 e H(x) =2x− 3x2 + x2, calcule:

a) H(x) ·G(x)

b) F (x) ·G(x)

c) F (x) +H(x)

d) H(x)−G(x)

Exercício 20.3. Se P (x) = xn − xn−1 + xn−2 − · · ·+ x2 − x+ 1 e P (−1) = 19, entãoquando vale n?

Exercício 20.4. Encontre a(s) raiz(es) dos polinômios a seguir:

a) 18x3 + 9x2x− 1 = 0

b) b2 + 1 = 0

Exercício 20.5. Determinar a sabendo que 2 é raiz da equação x4−3x3+2x2+ax−3 = 0.

Exercício 20.6. Obter um polinômio do terceiro grau cujas raízes são 2,1 e −2.

1Os exercícios 20.1, 20.2 e 20.3 são das seções 18.1, 18.3 e 18.4, respectivamente. Os exercícios 20.4 a20.15 são da seção 18.5. O exercício 20.16 faz referências aos conteúdos da seção 18.6 e do capítulo 19.

89


Exercício 20.7. Resolver a equação x3 − 3x2 − 3x + 3 = 0, sabendo-se que a soma deduas raízes é zero.

Exercício 20.8. Calcule as raízes do polinômio p(x) = 2x3 − 3x2 − 3x+ 2 utilizando-seo método de Briot-Ruffini.

Exercício 20.9. Verifique se p(x) = x3 − 2x2 + 1 é divisível por:

a) x− 1

b) x− 2

c) x+ 1

Exercício 20.10. Calcular p para que o polinômio 4x4− 8x3 + 8x2− 4(p+ 1)x+ (p+ 1)2

seja o quadrado perfeito de um polinômio inteiro (seus coeficientes são inteiros) em x.

Exercício 20.11. Determinar o resto e o quociente de f(x) = xn + an por g = x− a.

Exercício 20.12. Determinar p e q reais de modo que f(x) = x2 + (p − q)x + 2p eg = x3 + (p+ q) sejam ambos divisíveis por 2− x.

Exercício 20.13. Determinar a e b de modo que o polinômio f(x) = x3 + 2x2 + ax+ bapresente as seguintes propriedades: f(x) + 1 divisível por x + 1 e f(x) − 1 é divisívelpor x− 1.

Exercício 20.14. O lucro de uma fábrica na venda de determinado produto é dado pelafunção L(x) = −5x2 + 100x − 80, onde x representa o número de produtos vendidos eL(x) é o lucro em reais. Determine:

a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desse produto.

b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo?

Exercício 20.15. Dada a função f(x) = 3x2 − 4x+ 1, determine se ela possui ponto demáximo ou mínimo absoluto.

Exercício 20.16. Fatore os polinômios a seguir:

a) a2 − b2

b) 16a2 − 1

c) a2 + 2ab+ b2

d) 4x2 − 12xy + 9y2

e) x2 − 10x+ 25

f) 5x3 + 5x5 − 5x2

g) 12a2x3 + 6a4x5 − 30a6x4

91

Figura 20.1: Figura 20.2:

Desafio 20.1. Cortando-se quadrados em cada canto de uma folha de papelão quadrada(Figura 20.1), com 18cm de lado, e dobrando-a (Figura 20.2), obtem-se uma caixaretangular sem tampa. Qual deve ser o lado do quadrado a ser recortado para que ovolume da caixa seja igual a 400cm3?

Capítulo 21

Aplicação dos polinômios - DistribuiçãoBinomial

21.1 Distribuição Binomial

Comecemos com um exemplo.Suponha que 100 pacientes foram submetidos a um teste no qual se observou que 35foram aprovados. Tomando 2 pacientes, quais as probabilidades de aprovação?Bom, para começar temos três opções: (a) Os dois são aprovados, (b) um é aprovado, ou(c) nenhum é aprovado.

(a) Como queremos que os dois sejam aprovados, temos que ter aprovado e aprovado.Usando a regra do “e”, temos que a probabilidade de os dois serem aprovados é iguala multiplicação da probalidade de um ser aprovado pela probabilidade do outro.Portanto temos 35

100× 35

100= 0, 1225

(b) Como queremos que seja aprovado apenas um paciente, temos que ter aprovado ereprovado, ou reprovado e aprovado. Assim, aplicamos a regra do “e” e a regra do“ou”. Uma observação antes é que a probabilidade de ser reprovado é 1− 35

100= 65

100.

Portanto temos(

35100× 65

100

)+(

65100× 35

100

)= 0, 455.

(c) Como queremos que os dois sejam reprovados, temos que ter reprovado e reprovado.Usando a regra do “e”, temos que a probabilidade de os dois serem reprovados é iguala multiplicação da probalidade de um ser reprovado pela probabilidade do outro.Portanto temos 65

100× 65

100= 0, 4225

Podemos perceber que 0, 1225 + 0, 455 + 0, 4225 = 1. Mas isso é óbvio, pois existemapenas essas três possibilidades, nenhuma a mais. Assim a soma das três tem que dar ototal, ou seja 100%

Mas o que isso tem a ver com polinômio? Bom, primeiro precisamos pensar queesse exemplo pôde ser resolvido de maneira bem simples utilizando-se de conhecimentosbásicos sobre probabilidade. Mas, se no exemplo em vez de tomarmos dois pacientes,tomarmos 30 paciemtes? Vamos, então, à definição.

Definição 21.1.1. Seja X (variável aleatória) o número de resultados favoráveis em Ω.

93

94 CAPÍTULO 21. APLICAÇÕES

Dizemos que X tem distribuição binomial com parametros n e p, se

P (X = y) =

(ny

)pyqn−y (21.1)

Em quei) n = #Ω;

ii) y ∈ 0, 1, 2, · · · , n, y é o evento que você quer;

iii) p é a probabilidade dada;

iv) q = 1− p.

Observação 21.1. Repare que o lado direito da equação (21.1) é o termo geral dobinômio (p+ q)n, com p ≤ 1. Veja também que y vai de 0 a n. Assim,n∑y=0

(ny

)pyqn−y = (p+q)n (pelo teorema de binômio de Newton. Ver Teorema 19.2.1)

(21.2)Observe que (p+ q)n = (p+ (1− p))n = 1n = 1, como deveria ser, pois a soma de todasas possibilidades tem que dar 100%.

Exemplo 21.1.1. Peguemos o exemplo dado no início. Temos que:#Ω = n = 2, pois escolhemos 2 pacientes;p = 35/100 = 0, 35;q = 65/100 = 0, 65.

a) Qual a probabilidade de escolher dois que passaram no teste?Temos que y = 2, pois queremos que os dois tenham passado.

P (X = 2) =

(22

)0, 352.0, 652−2

= 0, 352

= 0, 1225

b) Qual a probabilidade de que apenas um tenha passado?y = 1

P (X = 1) =

(21

)0, 351.0, 652−1

= 2 · 0, 35 · 0, 65

= 0, 455

c) Qual a probabilidade de que nenhum tenha passado?y = 0

P (X = 0) =

(20

)0, 350.0, 652−0

= 0, 652

= 0, 4225

21.2. EXERCÍCIOS 95

21.2 ExercíciosPara as questões 1 e 2, utilize a tabela abaixo:

Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Sexo F F M M F F M F F F M F M M FIdade 21 20 19 20 23 21 22 20 20 20 22 21 20 20 24

1. Se tomar uma amostra, aletoriamente , de 5 alunos, qual a probabilidade de nenhumser do sexo feminino?

2. Se tomar aletoriamente 5 alunos, qual a probabilidade de:

a) Dois ter mais que 20 anos?

b) De pelo menos 2 ter mais que 20 anos?

3. Em um carregamento de notebooks, sabe-se que 1% apresenta qualquer problema.Se comprarmos 30, qual a probabilidade de duas ou mais apresentarem problemas?

96 CAPÍTULO 21. APLICAÇÕES

Referências Bibliográficas

[1] PAIVA, Manoel. Matemática. 1ª Edição. São Paulo, 2005. Volume Único. EditoraModerna.

[2] DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática - 6ª série. 1ª Edição. São Paulo, 2007.Editora Ática.

[3] ISOLANI, Clélia Maria M.; MIRANDA, Diair Terezinha L.; ANZZOLIN, Vera LúciaA.; MELÃO, Walderez S.. Matemática - 6ª série. 2ª Edição. Curitiba, 2002. EditoraConstruindo o Conhecimento.

[4] LONGEN, Adilson. Matemática em Movimento — 6ª série. Livro do Professor.Editora do Brasil.

[5] PAULOS, John Allen. Inumerismo — O analfabetismo matemático e suas conse-quências. Portugal, 1988. Publicações Europa-América.

[6] BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli I. Rodrigues; FIGUEIREDO, Vera Lúcia;WETZLER, Henry G. Álgebra Linear. 3ª Edição. São Paulo. Editora Harbra.

[7] LIMA, Elon L.; CARVALHO P. C., Paulo; WAGNER, Eduardo; MORGADO C.,Augusto. A matemática do ensino médio. Volume 3, Sexta edição. Rio de Janeiro,1998.

[8] IEZZI, Gelson. Fundamentos da matemática elementar. Volume 6, sétima edição,Editora ATUAL.

[9] GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5ª edição, IMPA, 1999.

[10] PICADO, Jorge. Apontamentos de álgebra II. Universidade de Coimbra, 2006.

[11] XAVIER da S., Claudio; BARRETO F., Benigno. Matemática aula por aula. 3ªsérie, Segunda edição. Editora FTD. São Paulo, 2005.

[12] NOBILONI, Giusepe. Álgebra 1 — Coleção objetivo, sistemas de métodos e apren-dizagem. Editora Sol.

[13] IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto; deALMEIDA, Nilze. Matemática: Ciência e Aplicações. Ensino Médio. Volume 2. 4ªEdição. Editora Atual. São Paulo, 2006.

97

98 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[14] GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy.Matemática Fundamental — Uma nova abordagem. Volume Único. Editora FTD.São Paulo, 2002.

[15] III Brincando de Matemático.

[16] CHURCHILL, Ruel V. Variáveis Complexas e suas aplicações. Editora McGraw-Hilldo Brasil.

[17] HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar — Combinatória e Pro-babilidade. Volume 5.

combinatoria e probabilidade

Documents