combinatoria com resolução

7/26/2019 Combinatoria Com Resoluo

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RESOLUO DA PROVA DE MATEMTICA DO VESTIBULAR 2014-1

INSPER.

POR PROFA. MARIA ANTNIA C. GOUVEIA

ANLISE QUANTI TATI VA E LGICA

1.Por um terminal de nibus passam dez diferentes linhas. A mais movimentada delas a linha 1: quatroem cada sete usurios do terminal viajam nessa linha. Cada uma das demais linhas transporta cerca de1.300 usurios do terminal por dia. Considerando que cada passageiro utiliza uma nica linha, a linha 1transporta por dia cerca dea) 5 200 usurios do terminal. d) 15 600 usurios do terminal. e) 18 200 usurios do terminal.

b) 9 100 usurios do terminal. c) 13 000 usurios do terminal.

RESOLUO:

Se cada uma das 9 demais linhas que passam pelo terminal, transportam 1.300 usurios por dia, ento,

91.300 = 11.700 usurios o total de passageiros transportados diariamente por essas linhas.

Como quatro em cada sete usurios do terminal viajam na linha 1, isto , de 7 usurios do terminal, 4utilizam a linha 1 e 3 as demais linhas, considerando como x o nmero total de usurios transportados

p/dia pela linha 1:

600.15800.463700.113

4 xx

x.

RESPOSTA: Alternativa d.

2.Considere o produto abaixo, cujos fatores so os cossenos de todos os arcos trigonomtricos cujasmedidas, em graus, so nmeros inteiros pertencentes ao intervalo [91, 269].P = cos 91o cos 92o cos 93o cos 268o cos 269o

Nessas condies, correto afirmar que

a)4

11 P c) P = 0 e) 1

4

1P

b) 04

1 P d)

4

10 P

RESOLUO:

Todos os cossenos dos arcos pertencentes ao intervalo [91, 269] so valores pertencentes ao intervalo

0,1 , ou seja so valores negativos com valores absolutos menores ou iguais a 1.

Entre os fatores do produto P = cos 91o cos 92o cos 93o cos 268o cos 269o, destaque-se aqueles

que tm valores racionais:2

1120cos ,

2

1240cos e 1180cos .

180cos240cos120cos .4

11

2

1

2

1


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2

Considerando como q o valor do produto dos outros (2693) = 366 fatores, tem-se 0 < q < 1 ento,

P = 1q0comq,4

1 .

Multiplicando por4

1 os trs termos da desigualdade 1q0 tem-se:

.411

41q

410

Ao multiplicar-se os termos de uma desigualdade por um nmero negativo, ela muda de sentido:

0P4

10

4

1q

4

1

RESPOSTA: Alternativa b.

Texto para as questes 3 e 4

Em um curso de computao, uma das atividades consiste em criar um jogo da memria com as seiscartas mostradas a seguir.

Inicialmente, o programa embaralha as cartas e apresenta-as viradas para baixo. Em seguida, o primeirojogador vira duas cartas e tenta formar um par.

3.A probabilidade de que o primeiro jogador forme um par em sua primeira tentativa

a) 2

1

b) 3

1

c) 4

1

d) 5

1

e) 6

1

RESOLUO:

O nmero de maneiras diferentes de se virar duas das seis cartas : 152

562,6

C .

O nmero de maneiras de virando duas cartas formar um par 3.Logo, a probabilidade de que o primeiro jogador forme um par em sua primeira tentativa :

5

1

15

3p



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3

4.Suponha que o primeiro jogador tenha virado as duas cartas mostradas abaixo.

Como no foi feito par, o programa desvira as duas cartas e a vez do segundo jogador, que utiliza aseguinte estratgia: ele vira uma das quatro cartas que no foi virada pelo primeiro jogador. Se a cartavirada for um quadrado ou um tringulo, ele certamente forma um par, pois sabe onde esta a cartacorrespondente.Caso contrrio, ele vira uma das outras trs cartas que ainda no foram viradas. A probabilidade de que osegundo jogador forme um par usando a estratgia descrita

a)2

1. b)

8

5. c)

3

2. d)

4

3. e)

6

5.

RESOLUO:

Ele tem 4 modos de virar a primeira carta, e de ser tringulo ou quadrado, dois modos. Logo a

probabilidade de formar um par com uma dessas figuras 2

1

4

2 .

A probabilidade de a primeira carta virada ser um crculo tambm2

1

4

2 .

Sendo um crculo a primeira carta virada, restam 3 cartas, entre as quais apenas uma um crculo, entre

estas a possibilidade de virar um crculo de3

1

Ento a probabilidade de que o segundo jogador forme um par usando a estratgia descrita

3

2

6

4

6

13

6

1

2

1

3

1

2

1

2

1

P .

RESPOSTA: Alternativa c.

5.A figura mostra o grfico da funo f, dada pela lei f(x) = (sen x + cos x)4 (sen x cos x)4

O valor de a, indicado no eixo das abscissas, e igual a

a)12

5. b)

9

4. c)

8

3. d)

6

5. e)

3

2.


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4

RESOLUO:

.2.4)(

22.2cos2.4senxcosxcos22.2senxcosx2senxcosx)(

xcossen xxcossen x.xcossen xxcossen xxcossen xxcossen x)(

2222

222244

xsenxf

xsenxxsenxxsenxf

xf

Sendo .2

1212.222.42)( xsenxsenxsenxf

Analisando o grfico percebe-se que no intervalo ao qual apertence existem duas solues paraa equao 2)( xf , sendo que a a maior delas.

Sendo12

5

6

52ou

1262ento,,

2

12

xxxxxsen

Sendo12

5

1212

5 a . RESPOSTA: Alternativa a.

6.A figura mostra um tabuleiro de um jogo Batalha Naval, em que Andr representou trs navios nasposies dadas pelas coordenadas B2, B14 e M3. Cada navio esta identificado por um quadrado

sombreado.

Andr deseja instalar uma base em um quadrado do tabuleiro cujo centro fique equidistante dos centrosdos trs quadrados onde foram posicionados os navios. Para isso, a base devera estar localizada noquadrado de coordenadasa) G8. b) G9. c) H8. d) H9. e) H10.

RESOLUO:

Como a base deve ser instalada no quadrado do tabuleirocujo centro equidistante dos centros dos trs quadradosonde foram posicionados os navios, o centro desse

quadrado o circuncentro do tringulo determinado peloscentros dos quadrados onde esto posicionados os navios.Traando os segmentos contidos nas mediatrizes de doisdos lados do tringulo, o ponto P que a intercessodesses segmentos o circuncentro localizado no quadradode coordenadas G8.

RESPOSTA: Alternativa a.


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5

7. Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma hexagonal regular, com uma tampa noformato de pirmide regular, como mostrado na figura.

As faces laterais do porta-joias so quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa tambm vale 6cm. A parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa so revestidas com um adesivoespecial, sendo necessrio determinar a rea total revestida para calcular o custo de fabricao do produto.A rea da parte revestida, em cm2, e igual a

a) 3372 . c) 52108 . e) 7454 .

b) 5636 . d) 7827 .

RESOLUO:

O total da rea revestida igual soma das reas dos 6tringulos issceles e congruentes, que constituem a tampa,com a rea dos 6 quadrados que formam a rea lateral.

O segmento HO o aptema do hexgono ABCDEF cujo lado

mede 6cm, ento, 332

36HO .

No tringulo retngulo VOH: 73632736 VH .

792

7362

ABVHreaABV .

A rea revestida : 475436796 .

RESPOSTA: Alternativa e.

8. Considere o retngulo ABCD da figura, de dimenses AB = b e AD = h, que foi dividido em trs

regies de reas iguais pelos segmentos EFe GH.

As retas EF, BD e GHso paralelas. Dessa forma, sendo AE = x e AF = y, a razob

x igual a

a)3

22. b)

2

2. c)

2

3. d)

4

6. e)

3

6.


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6

RESOLUO:

Como o retngulo foi dividido em trs regies de reas iguais pelos segmentos EFe GH, tem-se

SreaSrearearea BEFDCGHBEFDHGAEF 2 , logo, SreaSrea AEFABD 2e3

Sendo EF// BD , os tringulos ABD e AEF so semelhantes, assim,

3

6

33

32

3

2

3

2

3

2222

b

x

b

x

b

x

b

x

b

x

S

S

b

x

rea

rea

ABD

AEF


9. As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octgonos regularescom lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como Octgonos. Medindo ocomprimento exato de seus lados, pode-se calcular a rea de um Octgono decompondo-o, comomostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retngulos e quatro tringulos retngulos e issceles.

A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura e igual medida a do lado do Octgono.

Se a rea desse quadrado S, ento a rea do Octgono vale

a) S 122 . b) S 22 . c) 2S 12 . d) 2S 22 . e) 4S 12 .


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7

RESOLUO:

Da figura ao lado: 2

22 22 SxSxSx que a rea

dos quatros tringulos retngulos :

22

24

2

Sx .

A rea dos quatro retngulos de lados x e S :

2

24

24

244

SSS

SSx .

Ento a rea do Octgono vale: 12222 SSSS .


Q 10

De acordo com estimativa do Fundo Monetrio Internacional, o Produto Interno Bruto (PIB) da China em2012 foi de 8 trilhes e 227 bilhes de dlares. Considerando que a populao desse pas em 2012 era deaproximadamente 1 bilho e 357 milhes de habitantes, pode-se concluir que o PIB por habitante daChina em 2012 foi da ordem dea) 6 dlares. b) 60 dlares. c) 600 dlares. d) 6 mil dlares. e) 60 mil dlares.

RESOLUO:

606010.. .06,6101357

108227/ 3

6

9

habPIB


Q 11Um leitor enviou a uma revista a seguinte anlise de um livro recm-lanado, de 400 paginas:O livro eletrizante, muito envolvente mesmo! A cada pgina terminada, mais rpido eu lia a prxima!

No conseguia parar!Dentre os grficos apresentados abaixo, o nico que poderia representar o nmero de pginas lidas peloleitor (N) em funo do tempo (t) de modo a refletir corretamente a anlise feita


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RESOLUO:

O leitor informa: O livro eletrizante, muito envolvente mesmo! A cada pgina terminada, mais rpidoeu lia a prxima! No conseguia parar!Essa informao nos leva a concluir que a velocidade com que leu o livro foi sempre crescente em funodo tempo. Na verdade uma funo estritamente crescente.Logo dentre os grficos apresentados, o nico que poderia representar o nmero de pginas lidas peloleitor (N) em funo do tempo (t) de modo a refletir corretamente a anlise feita o da alternativa b.


Q 12Desde o dia da partida inaugural at o dia da final de um torneio de futebol, tero sido transcorridos 32dias.Considerando que sero disputados, ao todo, 64 jogos nesse torneio, pode-se concluir que,necessariamente,a) ocorrero duas partidas por dia no perodo de disputa do torneio.

b) haver um nico jogo no dia em que for disputada a final.c) o numero mdio de jogos disputados por equipe ser, no mximo, 2.

d) ocorrer pelo menos um dia sem jogos no perodo de disputa do torneio.e) haver duas partidas do torneio que ocorrero no mesmo dia.

RESOLUO:

Como so 64 jogos em 32 dias, haver dias em que ocorrero dois ou mais jogos no mesmo dia.


Q 13Em um jogo, cada participante recebe 12 fichas coloridas, devendo dividi-las em quatro grupos de trs

fichas cada, de modo a tentar obter a mxima pontuao possvel. Cada trio de fichas formado pontuadoda seguinte maneira:

trs fichas da mesma cor 8 pontos; duas fichas de uma mesma cor e uma ficha de cor diferente 6 pontos; trs fichas de cores diferentes 1 ponto.

Se um participante recebeu 4 fichas verdes, 4 amarelas, 2 brancas, 1 preta e 1 marrom, ento a mximapontuao que ele poder obter a) 23. b) 24. c) 25. d) 26. e) 27.

RESOLUO:


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Q 14As trs afirmaes abaixo, todas verdadeiras, foram feitas por Lus para descrever o que pretendia fazerem relao as suas economias e planos de viagem.

Se o preo do dlar cair no final do ano, ento eu vou investir em poupana e viajar para oexterior. Se eu viajar para o exterior, ento vou comprar um equipamento de esqui. Se eu alugar ou comprar um equipamento de esqui, ento vou esquiar em Bariloche.

A partir das trs afirmaes e da informao de que Lus no esquiou em Bariloche, pode-se tiraralgumas concluses que so, necessariamente, verdadeiras. Dentre as concluses abaixo, a nica que no, necessariamente, verdadeira ea) o preo do dlar no caiu no final do ano.

b) Lus no investiu em poupana.c) Lus no viajou para o exterior.d) Lus no comprou um equipamento de esqui.e) Lus no alugou um equipamento de esqui.

RESOLUO:

As 4 proposies abaixo so verdadeiras:

Se Lus no esquiou em Bariloche, ento, o preo do dlar no caiu no final do ano.

Se Lus no esquiou em Bariloche, ento, Lus no viajou para o exterior.

Se Lus no esquiou em Bariloche, ento, Lus no comprou um equipamento de esqui.

Se Lus no esquiou em Bariloche, ento, Lus no alugou um equipamento de esqui.

A nica proposio que no , necessariamente, verdadeira

Se Lus no esquiou em Bariloche, ento, Lus no investiu em poupana.

RESPOSTA: Alternativa b.Q 15A figura abaixo mostra o grfico do polinmio P(x), de 5ograu e coeficientes reais, que apresenta umanica raiz real.


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O nmero de razes reais do polinmio Q(x), dado, para todo x real, pela expresso Q(x) = 2 P(x), igual a

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

RESOLUO:


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RESOLVENDO GRAFICAMENTE:

Com um primeiro movimento determina-se o grficodeP(x) (em azul).P(0) = 3;P(0) =3;P(0,5) 1,5;P(0,5) 1,5;...

Movimentando este ltimo grfico, 2 unidades paracima tem-se o grfico de2P(x) ( em vermelho).

Analisando este grfico, verifica-se que ele interceptao eixo Ox em 3 pontos: (x1, 0), (x2, 0) e (x3, 0).Logo Q(x) = 2P(x) so 3.

ALGEBRICAMENTE:

Para determinar as razes de Q(x) faz-se Q(x) = 0,logo, 2P(x) = 0 P(x) = 2.

Analisando o grfico ao lado conclui-se que a retaP(x) = 2 intercepta o grfico de P(x) em 3 pontosdistintos.


Q 16Um retngulo tem comprimento X e largura Y, sendo X e Y nmeros positivos menores do que 100.Se o comprimento do retngulo aumentar Y% e a largura aumentar X%, ento a sua rea aumentar

a) %100

XY

YX c) %100

XYYX e) %XY b) %

100

YXXY d) %YX

RESOLUO:

A rea do retngulo original S0= XY.

Se o comprimento do retngulo aumentar Y%, o novo comprimento ser100

XYX .

Se A largura do retngulo aumentar X%, o novo comprimento ser100

XYY .

A rea do novo retngulo :

%.100

%.100100

1.

100

1001001001001

100001001001

defoiaumentooQue001

221

XYYX

XYYXSS

XYYXXYXYS

XYYXXYXY

XYYXXY

XYYXXYS

RESPOSTA: Alternativa a


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Q 17Considere o quadriltero convexo ABCD mostrado na figura, em que AB = 4 cm, AD = 3 cm em() = 90o.

Se a diagonal BD esta contida na bissetriz do ngulo CBA e BD = BC, ento a medida do lado

CD , em centmetros, vale

a) 22 . b) 10 . c) 11 . d) 32 . e) 15 .

RESOLUO:

Q 18No plano cartesiano da figura, feito fora de escala, o eixo x representa uma estrada j existente, os pontosA(8,2) e B(3, 6) representam duas cidades e a reta r, de inclinao 45o, representa uma estrada que serconstruda.

Para que as distancias da cidade A e da cidade B ate a nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a novaestrada intercepta a existente, devera ter coordenadas

a)

0,2

1. b) (1, 0). c)

0,2

3

d) (2, 0). e)

0,2

5

RESOLUO:


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Como tg45 = 1 e a reta r passa pelo ponto (0, c), a suaequao y = xc ou na forma geral, xyc = 0.As distncias dos pontos A e B reta r igual a d, logo:

2

3c32cc3c6ou)(noexistec3c6

c3c62

c3

2

c6

11

c63

11

c28

RESPOSTA: Alternativa C.

Q 19Em um sistema de coordenadas cartesianas no espao, os pontos A(3, 2, 5), B(5, 2, 5),C(5, 4, 5) e D(3, 4, 5) so os vrtices da base de uma pirmide regular de volume 8. O vrtice V dessa

pirmide, que tem as trs coordenadas positivas, esta localizado no pontoa) (2, 1, 5). c) (3, 2, 6). e) (4, 3, 11).

b) (3, 2, 2). d) (4, 3, 7).

RESOLUO:

Sendo a pirmide quadrangular regular, sua base um quadrado, de lado 2, e a sua altura interceptaesta base no seu centro que o ponto H(4, 3, 5) eseu vrtice o ponto V(4, 3, h + 5).O volume da pirmide 8, logo

624483

28

3

2

hhhBh

V(4, 3, h + 5) = V(4, 3, 11),


Q 20Uma pessoa ira escolher dois nmeros reais positivos A e B. Para a maioria das possveis escolhas, ologaritmo decimal da soma dos dois nmeros escolhidos no ser igual soma de seus logaritmosdecimais. Porm, se forem escolhidos os valores A = 4 e B = r, tal igualdade se verificara. Com essasinformaes, pode-se concluir que o numero r pertence ao intervaloa) [1,0; 1,1]. c) ]1,2; 1,3]. e) ]1,4; 1,5].

b) ]1,1; 1,2]. d) ]1,3; 1,4].

RESOLUO:

Pelos dados da questo, log(4 + r) = log 4 + log r log(4 + r) = log(4r) 4r = 4 + r 3r = 4 r = 1,33333... r ]1,3; 1,4].



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Q 21A partir do momento em que ativado, um vrus de computador atua da seguinte forma:

ao longo do primeiro minuto, ele destri 40% da memria do computador infectado; ao longo do segundo minuto, ele destri 40% do que havia restado da memria aps o primeiro

minuto; e assim sucessivamente: a cada minuto, ele destri 40% do que havia restado da memria no

minuto anterior.Dessa forma, um dia apos sua ativao, esse vrus ter destrudo aproximadamentea) 50% da memoria do computador infectado.

b) 60% da memoria do computador infectado.c) 80% da memoria do computador infectado.d) 90% da memoria do computador infectado.e) 100% da memoria do computador infectado.

RESOLUO:

24h = 24 60min = 1440minConsidere-se que um computador no infectado tem memria x.De acordo com as informaes sobre a ao destruidora do vrus as memrias restantes a partir de cada

minuto:1ominuto: destri 0,4x e resta 0,6x;2ominuto: destri 0,40,6x e resta 0,6 0,6x = 0,62x;3ominuto: destri 0,4 0,62x e resta 0,6 0,62x = 0,63x ;4ominuto: destri 0,40,63x = e resta 0,6 0,63x = 0,64x ;................................................................................................;1440ominuto destri 0,40,61439x.A sequncia de destruio da memria do computador a progresso geomtrica:(0,4x; 0,40,6x; 0,4 0,62x; 0,40,63x; ........)

Depois de um dia apos sua ativao, esse vrus ter destrudo aproximadamente, xxx

4,0

4,0

6,01

4,0, ou

seja 100% da memria do computador.


Q 22Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS esta inscrito na circunferncia trigonomtrica, os arcos e

tem medidas iguais a e , respectivamente, com 0 < < < .

Sabendo que cos = 0,8, pode-se concluir que o valor de cos a)0,8. b) 0,8. c)0,6. d) 0,6. e)0,2.

RESOLUO:


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15

Dado: cos = 0,8.Como cos2 + sen2 = 1, ento 0,64 + sen2 = 1 sen2 = 0,36.Sendo < 90, sem = 0,6.Pela figura v-se que o arco PQ mede 90 (PQRS um quadrado).Ento 90 . Logo, )90cos(cos

.6,0coscos)90cos(cos sen


Q 23Analisando o comportamento das vendas de determinado produto em diferentes cidades, durante um ano,um economista estimou que a quantidade vendida desse produto em um ms (Q), em milhares deunidades, depende do seu preo (P), em reais, de acordo com a relao Q = 1 + 4 (0,8)2P

No entanto, em Economia, mais usual, nesse tipo de relao, escrever o preo P em funo daquantidade Q.

Dessa forma, isolando a varivel P na relao fornecida acima, o economista obtevea)

4

1QlogP 0,8

. c) 0,8

4

1Q.5,0P

. e)

1

4

Qlog.5,0P 8,0 .

b)8

1QlogP 0,8

. d) 0,8

8

1QP

.

RESOLUO:

4

1log

4

1)8,0(1)8,0.(4)8,0.(41 8,0

22

Q

pQ

QQ ppp , com Q > 1.

RESPOSTA: Alternativa a

Q 24Sendo k uma constante real positiva, considere o grfico do polinmio de 3o grau P(x), mostrado nafigura.

Dentre as figuras a seguir, a nica que pode representar o grfico da funo Q(x), definida, para todo

x 0, pela leixxPxQ )()(


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16

RESOLUO:

Analisando o grfico dopolinmio de 3o grau P(x), v-se que suasrazes so k,k e 0, pode-se

ento escrever: P(x) = ax(x + k)(xk).))(()(

))(()(

)()( kxkxaxQ

x

kxkxaxxQ

x

xPxQ

A nica figura que pode representar o grfico da funo Q(x), definida, para todo x 0 a da alternativaa.


Q 25Um polgono regular possui n lados, sendo n um nmero par maior ou igual a 4. Uma pessoa uniu doisvrtices desse polgono por meio de um segmento de reta, dividindo-o em dois polgonos convexos P1 eP2, congruentes entre si. O numero de lados do polgono P1 e igual a

a) 22

n . b) 1

2

n . c)

2

n. d) 1

2

n . e) 2

2

n .

RESOLUO:

Se opolgono regular possui n lados, sendo n um nmero par, e uma pessoa unindo dois vrtices dessepolgono por meio de um segmento de reta, dividiu-o em dois polgonos convexos P1 e P2, congruentes

entre si, ento, P1 e P2possuem o mesmo nmero de lados, ou seja, 12

n .

O segmento que divide o polgono de n lados em dois polgonos congruentes sempre uma das diagonaisque passa pelo centro.



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Q 26A equao 0573 23 xxx possui uma raiz real r e duas razes complexas e no reais z1e z2. Omdulo do nmero complexo z1 igual a

a) 2 . b) 5 . c) 22 . d) 10 . e) 13 .

RESOLUO:

Como no polinmio 573)( 23 xxxxp , 05731)1( 3 p , a raiz real dessepolinmio igual a 1.

1 1 3 7 51 2 5 0

)52)(1()(573)( 223 xxxxpxxxxp .

Fazendo 052ou0)1(0)(2 xxxxp

Resolvendo a equao 0522 xx

izizixi

xxx 21ou21212

42

2

162

2

204221

.

5412121 izz .


Q27

No plano cartesiano, a reta r, de coeficiente angular 10, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada a. Ja reta s, de coeficiente angular 9, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada b. Se as retas r e sinterceptam-se em um ponto de abscissa 6, entoa) b = a. c) b = a 6. e) b = a + 6.

b) b = a 9. d) b = a + 9.

RESOLUO:Equao da reta r: f(x) = 10x + a f(6) = 60 + a.Equao da reta s: g(x) = 9x + bg(6) = 54 + b.

54 + b = 60 + a b = 6 + a.



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Q 28Um dirigente sugeriu a criao de um torneio de futebol chamado Copa dos Campees, disputado apenas

pelos oito pases que j foram campees mundiais: os trs sul-americanos (Uruguai, Brasil e Argentina) eos cinco europeus (Itlia, Alemanha, Inglaterra, Frana e Espanha). As oito selees seriam divididas emdois grupos de quatro, sendo os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em SoPaulo. Considerando os integrantes de cada grupo e as cidades onde sero realizados os jogos, o nmero

de maneiras diferentes de dividir as oito selees de modo que as trs sul-americanas no fiquem nomesmo grupo a) 140. b) 120. c) 70. d) 60. e) 40.

RESOLUO:

Nmero de opes para a escolha da cidade: C2,1= 2.

Ao se constituir o grupo com 2 times sul-americanos e 2 europeus, automaticamente , ficaconstitudo o grupo com 1 time sul-americano e 3 europeus. Esses grupos podem ser formados

de C3,2 C5,2= 3010312

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modos diferentes.

Ento, o nmero de maneiras diferentes de dividir as oito selees de modo que as trs sul-americanasno fiquem no mesmo grupo C2,1 (C3,2 C5,2) = 2 30 = 60.


Q 29Para fazer parte do time de basquete de uma escola, e necessrio ter, no mnimo, 11 anos. A mdia dasidades dos cinco jogadores titulares desse time 13 anos, sendo que o mais velho deles tem 17 anos.Dessa forma, o segundo mais velho do time titular pode ter, no mximo,a) 17 anos. b) 16 anos. c) 15 anos. d) 14 anos. e) 13 anos.

RESOLUO:

Se a mdia das idades dos cinco jogadores titulares desse time 13 anos, ento, a soma de suas idades 13 5 = 65.Como a idade do mais velho 17 anos, a soma das idades dos outros 4 : 65 17 = 48.Supondo que 3 destes quatro jogadores tenha 11anos, a idade do mais velho entre estes 4 jogadores, nomximo: 4833 = 15.


Q 30Sendo x e y dois nmeros reais no nulos, a expresso 122 yx equivalente a

a)22

22

yx

yx

. b)

2

yx

xy. c)

2

22 yx . d) 2yx . e) 22 yx .

RESOLUO:

22

221

22

221

22

122 11

yx

yx

yx

yx

yxyx

.



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31. Trs amigos foram a uma papelaria para comprar material escolar. As quantidadesadquiridas de cada produto e o total pago por cada um deles so mostrados na tabela.

Amigo Quantidades compradas de Total pago(R$)cadernos canetas lpis

Jlia 5 5 3 96,00Bruno 6 3 3 105,00Felipe 4 5 2 79,00

Os preos unitrios, em reais, de um caderno, de uma caneta e de um lpis, so,respectivamente, x, y e z. Dessa forma, das igualdades envolvendo matrizes fornecidas a seguir,a nica que relaciona corretamente esses preos unitrios com os dados da tabela

a) 7910596

254

336

355

.zy

x . d)

79

105

96

z

y.

254

336

355 x

.

b)

79

105

96

254

336

355

.

z

y

x

. e)

254

336

355

79

105

96

.

z

y

x

c) 7910596zy.254

336

355

x .

RESOLUO:

Amigo Quantidades compradas de Total pago(R$)cadernos canetas lpis

Jlia 5 5 3 96,00Bruno 6 3 3 105,00Felipe 4 5 2 79,00

Pelos dados da questo e da tabela, tem-se o sistema:

79254

105336

96355

zyx

zyxzyx

79

105

96

z

y.

254

336

355 x.



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32. A figura abaixo mostra o fluxograma do processo que utilizado em uma cooperativaagrcola para definir o destino das frutas enviadas a ela pelos produtores da regio.

De acordo com o fluxograma, se o peso de uma fruta recebida pela cooperativa 320 gramas,ento essa fruta, necessariamente,(a) ser enviada para exportao.(b) ser enviada para a fbrica de geleias.(c) no ser enviada para comercializao no mercado interno.(d) no ser enviada para compostagem.(e) no ser enviada para a fbrica de geleias.

RESOLUO:

A nica informao dada sobre a fruta recebida pela cooperativa que seu peso de 320

gramas.Como seu peso maior que 300g, poder ser enviada para exportao, somente se a aparnciada sua casca e sua rigidez estiverem normais, mas no para o mercado interno.Se estiver podre poder ser enviada para compostagem, mas no para a fbrica de geleias.Ela ir para a fbrica de gelia, se a aparncia da casca e a rigidez no estiverem normais, afruta no estiver podre e tiver um peso menor que 200g.Ir para a compostagem se a aparncia da casca e a rigidez no estiverem normais, e ela estiverpodre.A nica garantia que se tem de que ela no vai para o mercado interno.


33. Os organizadores de uma festa previram que o pblico do evento seria de, pelo menos,1.000 pessoas e que o nmero de homens presentes estaria entre 60% e 80% do nmero demulheres presentes. Para que tal previso esteja errada, basta que o nmero de(a) homens presentes na festa seja igual a 360.(b) homens presentes na festa seja igual a 500.(c) homens presentes na festa seja igual a 1.000.(d) mulheres presentes na festa seja igual a 650.(e) mulheres presentes na festa seja igual a 1.000.


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RESOLUO:

Seja x o nmero de mulheres e y o de homens.0,6x < y < 0,8x 0,6x + x < x + y < 0,8x + x 0,6x + x < 1000 < 0,8x + x 1,6x < 1000 < 1,8x x < 625 e x > 555,55

444

556

555,555

10008,11000

ou375

625

625

10006,11000

y

x

x

xyx

y

x

x

xyx

Como se v a quantidade menor de homens 375.


34. Dentro de um grupo de tradutores de livros, todos os que falam alemo tambm falamingls, mas nenhum que fala ingls fala japons. Alm disso, os dois nicos que falam russotambm falam coreano. Sabendo que todo integrante desse grupo que fala coreano tambm falajapons, pode-se concluir que, necessariamente,

(a) todos os tradutores que falam japons tambm falam russo.(b) todos os tradutores que falam alemo tambm falam coreano.(c) pelo menos um tradutor que fala ingls tambm fala coreano.(d) nenhum dos tradutores fala japons e tambm russo.(e) nenhum dos tradutores fala russo e tambm alemo.

RESOLUO:

Representando a situao-problema pelo diagrama de VENN.

V-se que a afirmao verdadeira : nenhum dos tradutores fala russo e tambm alemo.


35. Considere, no plano cartesiano, o tringulo retngulo determinado pelos eixos coordenadose pela reta de equao 12x + 5y = 60. A medida do raio da circunferncia inscrita nessetringulo igual a(a) 1. (b) 2. (c) 3. (d) 4. (e) 5.

RESOLUO:

Na reta de equao 12x + 5y = 60Para x = 0: 5y = 60 y = 12 A = (0, 12).Para y = 0: 12x = 60 x = 5 B = (5, 0).O tringulo ABC retngulo de catetos 12 e 5, logo sua

hipotenusa mede: AB = 1316925144 .Na figura v-se que FB = BD e EA = AD.Ento, AB = 12r + 5r 13 = 172r 2r = 4 r = 2.



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combinatoria com resolução

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