02- combinatoria e probabilidade

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Mtodos de Contageme Probabilidade

Paulo Cezar Pinto Carvalho


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Texto j revisado pela nova ortografia.


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Sobre o Autor

Paulo Cezar Pinto Carvalho formado em Engenharia pelo Insti-tuto Militar de Engenharia, Mestre em Estatstica pelo IMPA e PhDem Pesquisa Operacional pela Universidade Cornell. Atualmente pesquisador do IMPA, na rea de Viso Computacional e ComputaoGrfica. Divide o tempo devotado pesquisa com atividades ligadas melhoria do ensino em todos os nveis. Desde 1991 professor doPrograma de Aperfeioamento de Professores, promovido pelo IMPA. autor de diversos livros da Coleo do Professor de Matemtica,publicada pela SBM. Tambm tem se dedicado s Olimpadas deMatemtica, participando da organizao da Olimpada Brasileira deMatemtica, desempenhando a funo de lder em vrias olimpadasinternacionais e, mais recentemente, servindo no Comit Executivoda OBMEP.


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Antes de comear

Este livro dedicado a um tema que, paradoxalmente, extrema-mente simples, mas muitas vezes considerado difcil por alunos eprofessores. Talvez isto se deva ao fato de que, diferentemente doque ocorre com outros assuntos da matemtica secundria, cujo en-sino muitas vezes fortemente baseado na aplicao de frmulas erepetio de problemas-modelo, preciso pensar para resolver pro-blemas, mesmo os mais simples, de contagem. Isto faz com que otema seja especialmente apropriado para este estgio, contribuindopara desenvolver a imaginao dos alunos e a sua confiana para re-solver problemas.

Durante muitos anos, o estudo de problemas de contagem (e maisrecentemente de probabilidade) fez parte, exclusivamente, do EnsinoMdio. Entretanto, o tema perfeitamente acessvel aos alunos doEnsino Fundamental, o que tem sido reconhecido, por exemplo, pelosParmetros Curriculares editados pelo MEC.

Esta apostila possui 5 captulos. O primeiro destinado a ambosos grupos. desejvel que os alunos, principalmente os do grupo 1,resolvam todos os problemas propostos e que os instrutores encora-jem a exposio de solues diferentes e, principalmente, de solueserradas. Como em outras reas da Matemtica, muitas vezes apren-demos mais com os erros do que com os acertos ao resolver problemasde contagem. Os Captulos 2 e 3 contm essencialmente o mesmo

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material (uma introduo noo de probabilidade), escritos paradiferentes nveis de maturidade, sendo, em princpio, indicados paraos grupos 1 e 2, respectivamente. Os Captulos 4 e 5 foram escritoscom os alunos do grupo 2 em mente, mas tambm so acessveis aosdo grupo 1, caso haja tempo.

Solues para todos os problemas podem ser encontradas no final.Mas claro que s devem ser consultadas aps uma tentativa sriade resoluo dos problemas.

Gostaria de terminar com dois agradecimentos. O primeiro paraa Profa. Maria Lcia Villela, pela reviso extremamente benfeita domaterial, tendo contribudo com diversas sugestes que foram incor-poradas ao texto. Mas o agradecimento mais especial vai para o Prof.Augusto Csar Morgado. Se os leitores acharem que estas notas soparecidas com os seus escritos e suas aulas, isto no mera coincidn-cia. Tive a sorte de ter sido aluno do Prof. Morgado no 3o ano doEnsino Mdio, quando tive ocasio de aprender sobre contagem domodo exposto nesta apostila. At hoje continuo aprendendo com ele,como colega e coautor. Espero que cada um de vocs, alunos, tenhaa oportunidade de ter um professor de Matemtica to inspiradorquanto ele.

O autor

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Sumrio

1 Mtodos de Contagem 1

2 Probabilidade (grupo 1) 16

3 Probabilidade (grupo 2) 21

4 Mais Permutaes e Combinaes (grupo 2) 30

5 Probabilidade Condicional (grupo 2) 40

Exerccios Adicionais 47

Solues dos Exerccios 55

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Captulo 1

Mtodos de Contagem

Problemas de contagem so, muitas vezes, considerados difceis en-tre alunos e professores, apesar de as tcnicas matemticas necessriasserem bastante elementares: essencialmente, o conhecimento das ope-raes aritmticas de soma, subtrao, multiplicao e diviso. Oobjetivo deste material habituar o aluno a trabalhar com proble-mas de contagem e a ver que, afinal de contas, tais problemas podemser resolvidos com raciocnios simples na grande maioria dos casos,sem exigir o uso de frmulas complicadas. isto o que procuramosmostrar nos exemplos a seguir.

Exemplo 1. Uma bandeira com a forma abaixo vai ser pintadautilizando duas das cores dadas.

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2 CAP. 1: MTODOS DE CONTAGEM

(a) Liste todas as possveis bandeiras. Quantas so elas?

Soluo: importante ter um procedimento sistemtico para listartodas as possveis bandeiras, sem repeti-las. Para tal, devemos iden-tificar as diferentes decises a serem tomadas e examinar todas aspossibilidades para cada uma delas. No caso deste problema, umaforma natural para planejar o preenchimento da bandeira :

escolher a cor a ser utilizada para a parte externa; a seguir, escolher a cor para o crculo interno.A primeira deciso pode ser feita de 3 modos diferentes, j que a corexterna pode ser qualquer uma das disponveis. Uma vez tomada estadeciso, a cor escolhida no pode mais ser usada para o crculo interno.Por exemplo, se a cor preta for escolhida para a parte externa, a corinterna dever ser cinza ou branca.

Podemos, ento, listar todas as possveis bandeiras, que so 6, deacordo com a figura abaixo.

Com a cor externa preta:

Cor a cor externa cinza:

Cor a cor externa branca:

Um fato importante, que pode ser explorado na contagem eficiente do


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nmero possvel de bandeiras, o seguinte: as cores disponveis parapintar o crculo mudam de acordo com a escolha da parte externa,mas a sua quantidade sempre a mesma, j que, qualquer que seja acor externa escolhida, h sempre duas cores restantes para o crculo.Portanto, poderamos ter empregado o seguinte raciocnio para contaro nmero de possveis bandeiras, sem list-las:

A cor externa pode ser escolhida de trs modos diferentes. Qualquerque seja essa escolha, a cor do crculo pode ser escolhida de dois mo-dos. Logo, o nmero total de possibilidades 2 + 2 + 2 = 3 2 = 6.O procedimento acima ilustra o Princpio Multiplicativo ou PrincpioFundamental da Contagem:

Se uma deciso D1 pode ser tomada de p modos e, qualquer que sejaessa escolha, a deciso D2 pode ser tomada de q modos, ento onmero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decises D1e D2 igual a pq.

O Princpio Multiplicativo pode ser ilustrado com o auxlio de umarvore de enumerao como a da figura a seguir.

Cor

externa

Cordo

crculo


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(b) Quantas so as possveis bandeiras no caso em que 4 cores estodisponveis?

Soluo: As decises a serem tomadas so exatamente as mesmas docaso anterior, tendo mudado apenas o nmero de possibilidades deescolha. Para a cor externa, temos agora 4 possibilidades. Uma vezescolhida a cor externa, a cor do crculo pode ser qualquer uma dasoutras 3. Logo, pelo Princpio Multiplicativo, o nmero de modosdiferentes para pintar a bandeira 4 3 = 12.

Exemplo 2. Quantas so as formas de pintar a bandeira a seguirutilizando 3 cores diferentes dentre 4 dadas?

Soluo: Agora, temos 3 decises consecutivas a tomar: a cor externa,a do retngulo e a do crculo. A cor externa pode ser qualquer umadas 4 cores; uma vez escolhida a cor externa, o retngulo pode serpintado de trs modos distintos. Logo, a escolha combinada da corexterna e do retngulo pode ser feita de 4 3 = 12 modos. Paracada um destes 12 modos, o crculo pode ser pintado com uma dasduas cores que sobraram. Logo, o nmero total de possibilidades 4 3 2 = 24.


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O raciocnio acima mostra que o Princpio Multiplicativo pode, narealidade, ser aplicado quando temos diversas etapas de deciso: desdeque o nmero de possibilidades em cada etapa no dependa das de-cises anteriores, basta multiplic-los para achar o nmero total depossibilidades.

Exemplo 3. Para pintar a bandeira abaixo, h 4 cores disponveis.De quantos modos ela pode ser pintada de modo que faixas adjacentestenham cores distintas?

Soluo: O primeiro passo escolher em que ordem vamos pintara bandeira. Podemos, por exemplo, pintar as faixas de cima parabaixo (veja, no exerccio 16, o que ocorre quando escolhemos mal aordem de preenchimento). A cor da primeira faixa pode ser qualqueruma das 4 cores. Qualquer que seja a cor escolhida, para a segundafaixa temos 3 cores para escolher. Escolhida a cor da segunda faixa,a terceira pode ser pintada de qualquer cor, exceto a usada para asegunda faixa. Assim, temos novamente 3 possibilidades de escolha.


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O nmero total de possibilidades , ento:

4 3 3 = 36

1a faixa 2a faixa 3a faixa

Exemplo 4. Quantos so os nmeros de trs algarismos distintos?

Soluo: Vamos escolher, sucessivamente, os trs algarismos,comeando com o da esquerda (isto importante, como veremosabaixo). O primeiro algarismo pode ser escolhido de 9 modos, poisno pode ser igual a 0. O segundo algarismo pode ser escolhido de9 modos, pois no pode ser igual ao primeiro algarismo. O terceiroalgarismo pode ser escolhido de 8 modos, pois no pode ser igual nemao primeiro nem ao segundo algarismo.

A resposta 9 9 8 = 648.

Exemplo 5. O cdigo Morse usa duas letras, ponto e trao, e aspalavras tm de 1 a 4 letras. Quantas so as palavras do cdigoMorse?

Soluo: H palavras de 1, 2, 3 e 4 letras, em quantidades diferentes.Assim, nossa estratgia a de usar o Princpio Multiplicativo paracontar separadamente estas palavras e, depois, somar estas quanti-dades. H 2 palavras de uma letra; h 2 2 = 4 palavras de duasletras, pois h dois modos de escolher a primeira letra e dois modosde escolher a segunda letra; analogamente, h 2 2 2 = 8 palavrasde trs letras e 2 2 2 2 = 16 palavras de 4 letras. O nmero


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total de palavras 2 + 4 + 8 + 16 = 30.

Voc j deve ter percebido nesses exemplos qual a estratgia pararesolver problemas de contagem:

1. Postura: Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa quedeve fazer a ao solicitada pelo problema e ver que decises devemostomar. Nas diversas situaes dos Exemplos 1 a 3, ns nos colocamosno papel da pessoa que deveria colorir a bandeira; no Exemplo 4,colocamo-nos no papel da pessoa que deveria escrever o nmero.

2. Diviso: Devemos, sempre que possvel, dividir as decises aserem tomadas em decises mais simples, correspondentes s diversasetapas do processo de deciso. Colorir a bandeira foi dividido emcolorir cada regio; formar um nmero de trs algarismos foi divididoem escolher cada um dos trs algarismos. Formar a palavra no cdigoMorse foi dividido em escolher o nmero de letras e, a seguir, emescolher cada letra.

A ordem em que as decises so tomadas pode ser extremamente im-portante para a simplicidade do processo de resoluo. Vamos voltarao Exemplo 4 (Quantos so os nmeros de trs algarismos distintos?)para ver como uma estratgia equivocada pode levar a uma soluodesnecessariamente complicada.

Comeando a escolha dos algarismos pelo ltimo algarismo, h 10modos de escolher o ltimo algarismo. Em seguida, h 9 modos deescolher o algarismo central, pois no podemos repetir o algarismo jusado. Agora temos um impasse: de quantos modos podemos esco-lher o primeiro algarismo? A resposta depende. Se no tivermos


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usado o 0, haver 7 modos de escolher o primeiro algarismo, pois nopoderemos usar nem o 0 nem os dois algarismos j usados nas demaiscasas; se j tivermos usado o 0, haver 8 modos de escolher o primeiroalgarismo.

Para evitar, na medida do possvel, impasses como o acima, uma outrarecomendao importante :

3. No adiar dificuldades. Pequenas dificuldades adiadas costu-mam se transformar em imensas dificuldades. Se uma das decisesa serem tomadas for mais restrita que as demais, essa a decisoque deve ser tomada em primeiro lugar. No Exemplo 4, a escolha doprimeiro algarismo era uma deciso mais restrita do que as outras,pois o primeiro algarismo no pode ser igual a 0. Essa , portanto, adeciso que deve ser tomada em primeiro lugar, e, conforme acabamosde ver, posterg-la s serve para causar problemas.

Exemplo 6. Quantos so os nmeros pares de trs algarismos dis-tintos?

Soluo: H 5 modos de escolher o ltimo algarismo. Note que come-amos pelo ltimo algarismo, que o mais restrito; o ltimo algarismos pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8.

Em seguida, vamos ao primeiro algarismo. De quantos modos sepode escolher o primeiro algarismo? A resposta depende: se notivermos usado o 0, haver 8 modos de escolher o primeiro algarismo,pois no poderemos usar nem o 0 nem o algarismo j usado na ltimacasa; se j tivermos usado o 0, haver 9 modos de escolher o primeiroalgarismo, pois apenas o 0 no poder ser usado na primeira casa.


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Assim, apesar de termos procurado atacar inicialmente a escolha maisrestrita, chegamos a um impasse no uso do Princpio Multiplicativo.Esse tipo de impasse comum na resoluo de problemas e h doismtodos para venc-lo.

O primeiro mtodo consiste em voltar atrs e contar separadamente.Contaremos separadamente os nmeros que terminam em 0 e os queno terminam em 0. Comecemos pelos que terminam em 0. H 1modo de escolher o ltimo algarismo, 9 modos de escolher o primeiroe 8modos de escolher o algarismo central. H, portanto, 198 = 72nmeros de trs algarismos distintos terminados em 0.

Para os que no terminam em 0, h 4 modos de escolher o ltimoalgarismo, 8 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher oalgarismo central. H 488 = 256 nmeros pares de trs algarismosdistintos que no terminam em 0.

A resposta 72 + 256 = 328.

O segundo mtodo consiste em ignorar uma das restries do pro-blema, o que nos far contar em demasia. Depois descontaremos oque houver sido contado indevidamente.

Primeiramente fazemos de conta que o 0 pode ser usado na primeiracasa do nmero. Procedendo assim, h 5 modos de escolher o ltimoalgarismo (s pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8), 9 modos de escolher o primeiroalgarismo (no podemos repetir o algarismo usado na ltima casa note que estamos permitindo o uso do 0 na primeira casa) e 8 modosde escolher o algarismo central. H 5 9 8 = 360 nmeros, ainclusos os que comeam por 0.


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Agora vamos determinar quantos desses nmeros comeam por zero;so esses os nmeros que foram contados indevidamente. H 1 modode escolher o primeiro algarismo (tem que ser 0), 4 modos de escolhero ltimo (s pode ser 2, 4, 6 ou 8 lembre-se de que os algarismosso distintos) e 8 modos de escolher o algarismo central (no podemosrepetir os algarismos j usados). H 148 = 32 nmeros comeadospor 0.

A resposta 360 32 = 328.

Exemplo 7. De quantos modos diferentes 6 pessoas podem ser colo-cadas em fila?

Soluo: Este um problema clssico de contagem, chamado de pro-blema das permutaes simples, que facilmente resolvido pelo Princ-pio Multiplicativo. De fato, basta escolher sucessivamente as pessoascolocadas em cada posio da fila. Para escolher o primeiro da fila,temos 6 possibilidades; o segundo pode ser qualquer uma das 5 pessoasrestantes, e assim por diante. Logo, o nmero total de possibilidades 6 5 4 3 2 1 = 720. De um modo geral, o nmero de modosde ordenar n objetos igual a n (n1) 1, que representadopor n! (l-se: n fatorial).

Exemplo 8. De quantos modos podem-se escolher trs dos jogadoresde um time de futebol para represent-lo em uma cerimnia de pre-miao?

Soluo: Este um outro problema clssico de contagem, chamadode problema das combinaes simples. primeira vista, parece sersimples resolv-lo pelo Princpio Multiplicativo: basta escolher umrepresentante de cada vez. O primeiro pode ser escolhido de 11 mo-dos, o segundo, de 10 e o terceiro, de 9. Logo, o nmero total de


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possibilidades parece ser 11 10 9 = 990. Esta soluo est incor-reta, mas podemos consert-la para chegar resposta certa. Suponhaque tivssemos escolhido, sucessivamente, os jogadores A, B e C. Acomisso de representantes assim formada seria exatamente a mesmase tivssemos selecionado, por exemplo, primeiro B, depois A, de-pois C. No entanto, as duas escolhas foram contadas por ns comose fossem distintas. O que nos permite corrigir o resultado da con-tagem o fato de que todas as possveis comisses so repetidas omesmo nmero de vezes, correspondente a todas as suas possveis or-denaes. Por exemplo, A, B e C vo surgir, em nosso processo deenumerao, 3 2 1 = 6 vezes, o mesmo ocorrendo com todas aspossveis comisses. Logo, o nmero correto de comisses igual a990/6 = 165.

De modo geral, o nmero de modos de escolher p dentre n objetos representado por Cpn (l-se: combinao de n tomados p a p) e igual

an(n 1) (n p+ 1)

p(p 1) 1 .

Exerccios

1) Um grupo de 4 alunos (Alice, Bernardo, Carolina e Daniel) temque escolher um lder e um vice-lder para um debate.

(a) Faa uma lista de todas as possveis escolhas (use a ini-cial de cada nome, para facilitar). Organize a sua listado seguinte modo: primeiro, escreva todas as possibili-dades em que Alice a presidente, depois, aquelas em queBernardo presidente, e assim por diante.

(b) Conte o nmero de possveis escolhas e verifique que oPrincpio Multiplicativo fornece a mesma resposta.


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2) Um restaurante possui um cardpio que apresenta escolhas desaladas (salada verde, salada russa ou salpico), sopas (caldoverde, canja ou de legumes) e pratos principais (bife com fritas,peixe com pur, frango com legumes ou lasanha).

(a) De quantos modos se pode escolher um prato deste card-pio?

(b) De quantos modos se pode escolher uma refeio completa,formada por uma salada, uma sopa e um prato principal?

3) Quantos algarismos so escritos ao se escreverem os nmerosinteiros de 1 a 100?

4 ) Joo e Isabel lanam, cada um, um dado.

(a) Quantas so as possveis combinaes de resultado?

(b) Quantas so as possveis somas que eles podem obter?

5) Cada dgito de uma calculadora mostrado no visor acendendofilamentos dispostos como mostra a figura a seguir. Quantossmbolos diferentes podem ser representados? (No inclua ocaso em que nenhum filamento aceso.)

6) Para pintar a bandeira abaixo esto disponveis as seis coresdadas, sendo que regies adjacentes devem ser pintadas de coresdiferentes.

(a) Qual o nmero mnimo de cores a serem usadas?


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(b) De quantos modos a bandeira pode ser pintada?

7) Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modos podemoscolorir os quatro quadrantes de um crculo, cada quadrante comuma s cor, se quadrantes cuja fronteira uma linha no podemreceber a mesma cor?

8) Quantos so os gabaritos possveis de um teste de 10 questes demltipla escolha, com 5 alternativas por questo? Em quantosdestes gabaritos a letra A aparece exatamente uma vez? Emquantos a letra A no aparece?

9) Liste todos os subconjuntos de {1, 2, 3}. Quantos so eles? Demodo geral, quantos so os subconjuntos de um conjunto quetem n elementos?

10) De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras emfila?

11) De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em5 bancos de 2 lugares, se em cada banco deve haver um homeme uma mulher?

12) De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casasno adjacentes de um tabuleiro 88? E se os reis fossem iguais?

13) De quantos modos podemos formar uma palavra de 5 letras deum alfabeto de 26 letras, se a letra A deve figurar na palavra


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mas no pode ser a primeira letra da palavra? E se a palavradevesse ter letras distintas?

14) As placas dos veculos so formadas por trs letras (de um alfa-beto de 26) seguidas por 4 algarismos. Quantas placas poderoser formadas?

15) Um vago do metr tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frentee 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem se sentar de frente,3 preferem se sentar de costas, e os demais no tm preferncia.De quantos modos eles podem se sentar, respeitadas as prefe-rncias?

16) Escrevem-se os inteiros de 1 at 2 222.

(a) Quantas vezes o algarismo 0 escrito?

(b) Em quantos nmeros aparece o algarismo 0?

17) Quantos so os inteiros positivos de 4 algarismos nos quais oalgarismo 5 figura?

18) Em uma banca h 5 exemplares iguais da Veja, 6 exemplaresiguais da poca e 4 exemplares iguais da Isto . Quantascolees no vazias de revistas dessa banca podem ser formadas?

19) Tendo 4 cores disponveis, de quantos modos se pode pintar umabandeira com 3 listras, tendo listras adjacentes de cores distin-tas? Um aluno deu a seguinte soluo: Primeiro, eu vou pintaras listras extremas; para cada uma, eu tenho 4 possibilidadesde escolha. Depois, eu pinto a listra central; como ela tem queter cor diferente das duas vizinhas, eu posso escolher sua cor deapenas 2 modos. Logo, o nmero total de modos de pintar abandeira 4 4 2 = 32. A soluo est certa ou errada? Seestiver errada, onde est o erro?


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20) Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode for-mar um casal? Este problema foi resolvido por um aluno domodo a seguir: A primeira pessoa do casal pode ser escolhidade 10 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida aprimeira pessoa, a segunda pessoa s poder ser escolhida de 5modos, pois deve ser de sexo diferente do da primeira pessoa.H, portanto, 10 5 = 50 modos de formar um casal.A soluo est certa ou errada? Se estiver errada, onde est oerro?

21) Cada pea de um domin apresenta um par de nmeros de 0 a6, no necessariamente distintos. Quantas so essas peas? Ese os nmeros forem de 0 a 8?

22) Quantos retngulos h formados por casas adjacentes em umtabuleiro de xadrez 8 8? Por exemplo, em um tabuleiro 2 2h 9 retngulos, como mostra a figura abaixo.

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Captulo 2

Probabilidade (grupo 1)

Uma das principais aplicaes das tcnicas de contagem a re-soluo de problemas simples de Probabilidade. O interesse dosmatemticos no estudo sistemtico de probabilidades relativamenterecente e tem suas razes no estudo dos jogos de azar.

No estudo desses jogos, normalmente ocorre a seguinte situao:todos os possveis resultados tm a mesma chance de ocorrer. Porexemplo, ao lanar um dado honesto (quer dizer, construdo deforma perfeitamente cbica e homognea), todas as faces tm a mesmachance de sair. Como as faces so 6, esperamos que cada uma delasocorra em aproximadamente 1/6 dos lanamentos. Dizemos, ento,que cada uma delas tem probabilidade 1/6 de sair.

Tambm atribumos probabilidades a conjuntos de resultados pos-sveis, chamados de eventos. A probabilidade de um evento simples-mente a soma das probabilidades dos resultados que o compem.

Exemplo 1. Qual a probabilidade de se obter um resultado maiorque 4 ao se lanar um dado honesto?

Soluo: Dizer que sai resultado maior do que 4 equivalente a dizer

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que sai 5 ou 6. Como cada uma destas faces tm probabilidade16de

ocorrer, a probabilidade de sair um nmero maior do que 4 igual a16+16=

26=

13.

De um modo geral, quando todos os resultados tm a mesmachance de ocorrer, a probabilidade de um evento a razo entre onmero de resultados relativos ao evento e o nmero total de resulta-dos. Em outras palavras, a razo entre o nmero de casos favorveis ocorrncia do evento e o nmero total de casos.

Exemplo 2. Ao lanar um dado duas vezes, qual a probabilidadede se obter soma 5?

Soluo: Como em cada lanamento h 6 possibilidades, o nmerode casos possveis 6 6 = 36, todos com a mesma probabilidade deocorrncia. Destes, aqueles em que a soma 5 so (1, 4), (2, 3), (3, 2)e (4, 1). Logo, o nmero de casos favorveis ao evento 4, e suaprobabilidade 4/36 = 1/9.

Exemplo 3. Em uma urna h 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas demesmo tamanho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolassucessivamente da urna, sem rep-las. Qual a probabilidade de quesejam retiradas duas bolas vermelhas?

Soluo: Precisamos, antes de mais nada, identificar quais so os pos-sveis resultados. Como tudo o que observamos a cor de cada bola re-tirada (as bolas de mesma cor so indistinguveis entre si), poderamosser tentados a dizer que temos apenas 4 casos: vv, vp, pv, pp. O pro-blema que estes casos no tm a mesma chance de ocorrer ( bvio,por exemplo, que duas bolas vermelhas saem com mais frequncia queduas bolas pretas, j que h mais bolas vermelhas). A soluo con-


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18 CAP. 2: PROBABILIDADE (GRUPO 1)

siste em considerar individualmente as 9 bolas presentes na urna. Ouseja, os resultados possveis so todos os pares de bolas distintas, cujaquantidade 9 8 = 72. Como todas as bolas so iguais (a menosda cor), todos estes pares tm a mesma probabilidade de sair. Paracalcular o nmero destes pares em que ambas as bolas so vermelhas,devemos observar que a primeira bola vermelha pode ser escolhida de5 modos, enquanto a segunda pode ser qualquer uma das 4 restantes.Logo, o nmero de casos favorveis igual a 5 4 = 20. Portanto, aprobabilidade de que sejam retiradas duas bolas vermelhas igual a20/72 = 5/18.

Exemplo 4. Pedro e Joo combinaram de lanar uma moeda 4 vezes.Pedro apostou que, nesses 4 lanamentos, no apareceriam 2 caras se-guidas; Joo aceitou a aposta. Quem tem maior chance de ganhar aaposta?

Soluo: Vamos considerar todas as sequncias possveis de resul-tados. Como em cada lanamento sai cara (C) ou coroa (K), h2 possibilidades; logo, o nmero total de possibilidades igual a2 2 2 2 = 16. Todas essas sequncias tm a mesma probabili-dade de ocorrncia, j que o resultado de um lanamento no afetaos demais e h a mesma chance de sair cara ou coroa. Vamos agoraverificar quais dessas sequncias levam vitria de Pedro.

Se s sarem coroas (KKKK), claro que Pedro vence.

Se s sair uma cara (CKKK,KCKK,KKCK,KKKC), Pe-dro tambm vence.

Com duas caras, Pedro vence nos casos KCKC, CKCK eCKKC.

Quando saem trs ou mais caras, Pedro perde.


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Logo, o nmero de sequncias favorveis a Pedro igual a 8, e suaprobabilidade de vitria igual a 8/16 = 1/2. Portanto, Pedro e Jootm a mesma chance de vitria.

Exerccios

1) Dois dados so lanados e observa-se a soma de suas faces.

(a) Quais so os possveis resultados para esta soma?

(b) Esses resultados so equiprovveis? Caso contrrio, queresultado mais provvel? Com que probabilidade? E omenos provvel?

(c) Qual a probabilidade de cada resultado possvel?

2) Uma moeda lanada 3 vezes. Qual a probabilidade de quesaiam 2 caras?

3) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. O que mais provvel:que tenham dois casais ou trs filhos de um sexo e um de outro?

4) Laura e Telma retiram um bilhete cada de uma urna em que h100 bilhetes numerados de 1 a 100. Qual a probabilidade deque o nmero retirado por Laura seja maior do que o de Telma?E se elas, depois de consultarem o nmero, devolvem o bilhete urna?

5) Duas peas de um domin comum so sorteadas. Qual aprobabilidade de que tenham um nmero em comum?

6) Ana, Joana e Carolina apostam em um jogo de cara-e-coroa.Ana vence na primeira vez que sarem duas caras seguidas;Joana vence na primeira vez que sarem duas coroas seguidas;Carolina vence quando sair uma cara seguida de uma coroa.Qual a probabilidade que cada uma tem de vencer?


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7) O trecho a seguir foi obtido em um site de internet que se propea aumentar as chances de vitria no jogo da Sena (que consisteem sortear 6 dentre 60 dezenas). Quando afirmamos, por exem-plo, que as dezenas atrasadas so importantes, porque j obser-vamos, em nossos estudos, que todas as dezenas so sorteadasa cada quarenta testes, portanto, seria til voc acompanhar eapostar em dezenas atrasadas; voc estaria assim aumentandomuito suas chances. Voc concorda que apostar em uma dezenaatrasada aumenta as chances de vitria na Sena?

8) Suponhamos que voc tenha duas escolhas para apostar na Sena.Na primeira escolha aposta nas dezenas 1 3 5 7 9 11,e na segunda escolha nas dezenas 8 17 31 45 49 55.Qual voc acha que tem maiores chances de ser vitoriosa?

9) (O Problema do Bode) Este problema foi proposto em um pro-grama de rdio nos Estados Unidos e causou um enorme debatena internet.

Em um programa de prmios, o candidato tem diante de si trsportas. Atrs de uma dessas portas, h um grande prmio; atrsdas demais h um bode. O candidato escolhe inicialmente umadas portas. O apresentador (que sabe qual a porta que contmo prmio) abre uma das portas no indicadas pelo candidato,mostrando necessariamente um bode. A seguir, ele pergunta seo candidato mantm sua escolha ou deseja trocar de porta. Ocandidato deve trocar ou no? (Uma forma de voc guiar suaintuio consiste em simular o problema.)


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Captulo 3

Probabilidade (grupo 2)

Uma das principais aplicaes das tcnicas de contagem a re-soluo de problemas simples de Probabilidade. O interesse dosmatemticos no estudo sistemtico de probabilidades relativamenterecente e tem suas razes no estudo dos jogos de azar. Um problemaclssico, que tem origem em autores do sculo XV e que despertou ointeresse de autores como Pascal e Fermat, o

Problema dos pontos: Dois jogadores apostaram R$ 10,00 cada umem um jogo de cara-e-coroa, combinando que o primeiro a conseguir 6vitrias ficaria com o dinheiro da aposta. O jogo, no entanto, precisaser interrompido quando um dos jogadores tem 5 vitrias e o outrotem 3. Qual a diviso justa da quantia apostada?

(Para um clsssico moderno, veja o exerccio 9, que provocou grandediscusso na internet alguns anos atrs). Parece razovel que a quan-tia apostada seja dividida de forma proporcional chance (ou proba-bilidade) de vitria de cada jogador. O clculo dessas probabilidadesse baseia, como veremos mais adiante, na hiptese de que a moeda

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seja honesta, ou seja, de que haja iguais chances, em um lanamento,de sair cara ou coroa. Esta crena, por sua vez, corresponde seguinteideia intuitiva: em uma sequncia longa de lanamentos, esperamosobservar, aproximadamente, o mesmo nmero de caras e coroas.

De modo mais geral, suponhamos que um determinado experimentotenha n resultados possveis 1, 2, . . . , n; o conjunto desses pos-sveis resultados chamado de espao amostral. Suponhamos, ainda,que julguemos que, ao repetir o experimento um grande nmero devezes, esperemos que o resultado i ocorra em uma certa frao pidas realizaes do experimento. Dizemos, ento, que a probabilidadede se observar i igual a pi. Evidentemente, devemos ter pi 0para cada i e, alm disso, p1+ +pn = 1. Uma vez estabelecidos osvalores para as probabilidades de cada resultado possvel, podemosdefinir a probabilidade de qualquer evento A (ou seja, de qualquersubconjunto de ) como a soma das probabilidades dos resultadosem A.

Mas como encontrar os valores das probabilidades pi? No caso geral,esses valores so obtidos de forma experimental. Mas h certos ca-sos em que razovel supor que todos os resultados so igualmenteprovveis e que, portanto, a probabilidade de cada um deles iguala 1/n. Por exemplo, ao lanar um dado perfeitamente cbico no hnenhuma razo para esperar que uma face aparea com mais frequn-cia que qualquer das outras. Logo, a probabilidade associada a cadaface igual a 1/6. Modelos probabilsticos que tm esta caracters-tica so chamados de equiprovveis e esto frequentemente associadosa jogos de azar. Nos modelos probabilsticos equiprovveis, a proba-

bilidade associada a um evento A com p elementos igual a p 1n=

p

n.

Muitas vezes se exprime este fato dizendo que a probabilidade de umevento igual razo entre o nmero de casos favorveis ao evento


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e o nmero de casos possveis.

Exemplo 1. Qual a probabilidade de se obter um resultado maiorque 4 ao se lanar um dado honesto?

Soluo: O espao amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, com todos os resul-tados tendo probabilidade 1/6. Desejamos calcular a probabilidade

do evento A = {5, 6}, que dada por P (A) = 2 16=

13.

Exemplo 2. Ao lanar um dado duas vezes, qual a probabilidadede se obter soma 5?

Soluo: O espao amostral formado por todos os pares de resul-tados possveis. Como em cada lanamento h 6 possibilidades, onmero de casos possveis 6 6 = 36, todos com a mesma pro-babilidade de ocorrncia. Destes, aqueles em que a soma 5 so(1, 4), (2, 3), (3, 2) e (4, 1). Logo, o nmero de casos favorveis aoevento 4, e sua probabilidade 4/36 = 1/9.

Exemplo 3. Em uma urna h 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas demesmo tamanho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolassucessivamente da urna, sem rep-las. Qual a probabilidade de quesejam retiradas duas bolas vermelhas?

Soluo: Precisamos, antes de mais nada, encontrar um espaoamostral apropriado para descrever os resultados dos experimentos.Como tudo o que observamos a cor de cada bola retirada (as bolasde mesma cor so indistinguveis entre si), poderamos ser tentadosa escolher o espao amostral {vv, vp, pv, pp}, formado pelos pares decores observadas. Essa escolha no est errada, mas no convenientepara a soluo do problema. O que ocorre que o modelo probabils-tico baseado nesse espao amostral no equiprovvel ( bvio, porexemplo, que duas bolas vermelhas saiam com mais frequncia que


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duas bolas pretas, j que h mais bolas vermelhas). Para obter umespao equiprovvel, devemos considerar individualmente as 9 bolaspresentes na urna. Ou seja, o espao amostral o conjunto de todosos pares de bolas distintas, que tem 98 = 72 elementos. Como todasas bolas so iguais (ao menos na cor), todos esses pares tm a mesmaprobabilidade de sair. Para calcular o nmero desses pares em queambas as bolas so vermelhas, devemos observar que a primeira bolavermelha pode ser escolhida de 5 modos, enquanto a segunda podeser qualquer uma das 4 restantes. Logo, o nmero de casos favorveis igual a 54 = 20. Portanto, a probabilidade de que sejam retiradasduas bolas vermelhas igual a 20/72 = 5/18.

Exemplo 4. Pedro e Joo combinaram de lanar uma moeda 4 vezes.Pedro apostou que, nesses 4 lanamentos, no apareceriam 2 caras se-guidas; Joo aceitou a aposta. Quem tem maior chance de ganhar aaposta?

Soluo: O espao amostral apropriado formado por todas as se-quncias possveis de resultados. Como em cada lanamento sai cara(C) ou coroa (K), h 2 possibilidades; logo, o nmero total de possi-bilidades igual a 2 2 2 2 = 16. Todas essas sequncias tm amesma probabilidade de ocorrncia, j que o resultado de um lana-mento no afeta os demais e h a mesma chance de sair cara ou coroa.Vamos verificar quais dessas sequncias levam vitria de Pedro.

Se s sarem coroas (KKKK), claro que Pedro vence.

Se s sair uma cara (CKKK,KCKK,KKCK,KKKC), Pe-dro tambm vence.

Com duas caras, Pedro vence nos casos KCKC, CKCK eCKKC.

Quando saem trs ou mais caras, Pedro perde.


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Logo, o nmero de sequncias favorveis a Pedro igual a 8, e suaprobabilidade de vitria igual a 8/16 = 1/2. Portanto, Pedro e Jootm a mesma chance de vitria.

Exemplo 5. Qual a forma justa de dividir os R$ 20,00 apostadosno problema dos pontos?

Soluo: O jogador I tem 5 vitrias, faltando apenas uma paravencer o jogo. O jogador II tem apenas 3 vitrias, necessitandode mais 3 para vencer. Portanto, para que II vena, ele tem quevencer trs partidas seguidas. H 2 2 2 = 8 possibilidadespara os resultados dessas partidas, e apenas um destes favorvel vitria de II. Logo, II vence com probabilidade 1/8, enquantoa probabilidade de vitria de I 7/8. Logo, I deve ficar comR$ 17,50 e II com R$ 2,50.

Uma possvel objeo quanto soluo acima o fato de construirmosnosso espao amostral com base nas trs partidas restantes, quandoo jogo pode, na verdade, terminar em uma, duas ou trs partidas.Fizemos isto para obter um espao amostral para o qual o modelo equiprovvel. Note que usar esse espao amostral equivalente a su-por que, mesmo que I tenha vencido na primeira ou segunda partida,eles continuam a disputar, como amistosos, as partidas seguintes. claro que isso no modifica em nada as chances de vitria de cadajogador.

Vimos acima que a ideia intuitiva de probabilidade de um evento estligada frequncia observada desse evento quando o experimento realizado um grande nmero de vezes. Essa relao pode ser esta-belecida de modo preciso, atravs de um teorema conhecido como aLei dos Grandes Nmeros. Embora, por vezes, ela no seja muitobem entendida (veja, por exemplo, o exerccio 7), a Lei dos Grandes


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Nmeros um instrumento fundamental para estabelecer uma via demo dupla entre modelos probabilsticos tericos e os experimentosaleatrios.

Consideremos, novamente, o exemplo 5. Uma forma de se ter umaideia da resposta do problema seria utilizar uma simulao da situaopretendida. Essa simulao repetida um grande nmero de vezes e,atravs da frequncia de vitrias de cada jogador, estimaramos suaprobabilidade de vitria. A simulao pode ser feita manualmente,usando uma moeda ( uma atividade apropriada para sala de aula:cada aluno repete o experimento algumas poucas vezes e, reunindotodos os resultados, temos uma quantidade razovel de repeties). possvel, tambm, fazer a simulao com auxlio de um computador,atravs da gerao de nmeros aleatrios. A tabela abaixo mostra oresultado obtido simulando 100 realizaes do jogo.

I ganha na primeira partida 52 vezesI ganha na segunda partida 20 vezesI ganha na terceira partida 13 vezesII ganha (na terceira partida) 15 vezes

Os resultados obtidos mostram, ao mesmo tempo, o poder e a limi-tao do mtodo de simulao. Por um lado, permite estimar que IItem uma chance de vitria muito menor do que a de I. Na simu-lao que fizemos, II ganhou em apenas 15% das vezes (o que estrazoavelmente prximo da probabilidade exata, que 1/8 = 0,125).Por outro lado, o valor obtido na simulao sempre uma aproxi-mao, cujo erro diminui com o nmero de repeties.


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Exerccios

1) Dois dados so lanados e observa-se a soma de suas faces.

(a) Quais so os possveis resultados para essa soma?

(b) Esses resultados so equiprovveis? Caso contrrio, queresultado mais provvel? Com que probabilidade? E omenos provvel?

(c) Qual a probabilidade de cada resultado possvel?

2) Uma moeda lanada 3 vezes. Qual a probabilidade de quesaiam 2 caras?

3) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. O que mais provvel:que tenham dois casais ou trs filhos de um sexo e um de outro?

4) Laura e Telma retiram um bilhete cada de uma urna em que h100 bilhetes numerados de 1 a 100. Qual a probabilidade deque o nmero retirado por Laura seja maior do que o de Telma?E se elas, depois de consultarem o nmero, devolvem o bilhete urna?

5) Duas peas de um domin comum so sorteadas. Qual aprobabilidade de que tenham um nmero em comum?

6) Ana, Joana e Carolina apostam em um jogo de cara-e-coroa.Ana vence na primeira vez que sarem duas caras seguidas;Joana vence na primeira vez que sarem duas coroas seguidas;Carolina vence quando sair uma cara seguida de uma coroa.Qual a probabilidade que cada uma tem de vencer?

7) O trecho a seguir foi obtido em um site de internet que se propea aumentar as chances de vitria no jogo da Sena (que consiste


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em sortear 6 dentre 60 dezenas). Quando afirmamos, por exem-plo, que as dezenas atrasadas so importantes, porque j obser-vamos, em nossos estudos, que todas as dezenas so sorteadasa cada quarenta testes, portanto, seria til voc acompanhar eapostar em dezenas atrasadas; voc estaria assim aumentandomuito suas chances. Voc concorda que apostar em uma dezenaatrasada aumenta as chances de vitria na Sena?

8) Suponhamos que voc tenha duas escolhas para apostar na Sena.Na primeira escolha aposta nas dezenas 1 3 5 7 9 11,e na segunda escolha nas dezenas 8 17 31 45 49 55.Qual voc acha que tem maiores chances de ser vitoriosa?

9) (O Problema do Bode) Este problema foi proposto em um pro-grama de rdio nos Estados Unidos e causou um enorme debatena internet.

Em um programa de prmios, o candidato tem diante de si trsportas. Atrs de uma dessas portas, h um grande prmio; atrsdas demais h um bode. O candidato escolhe inicialmente umadas portas. O apresentador (que sabe qual a porta que contmo prmio) abre uma das portas no indicadas pelo candidato,mostrando necessariamente um bode. A seguir, ele pergunta seo candidato mantm sua escolha ou deseja trocar de porta. Ocandidato deve trocar ou no? (Uma forma de voc guiar suaintuio consiste em simular o problema.)

10) Suponha que 16 selees, entre as quais Brasil e Argentina, voparticipar de um torneio. Sero formados quatro grupos dequatro selees, atravs de sorteio. Qual a probabilidade deque Brasil e Argentina fiquem no mesmo grupo?

11) A China tem um srio problema de controle de populao.Vrias polticas foram propostas (e algumas colocadas em efeito)


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visando proibir as famlias de terem mais de um filho. Algu-mas dessas polticas, no entanto, tiveram consequncias trgi-cas. Por exemplo, muitas famlias de camponeses abandonaramsuas filhas recm-nascidas, para terem uma outra chance de terum filho do sexo masculino. Por essa razo, leis menos restriti-vas foram consideradas. Uma das leis propostas foi a de que asfamlias teriam o direito a um segundo (e ltimo) filho, caso oprimeiro fosse do sexo feminino. Deseja-se saber que consequn-cias isso traria para a composio da populao, a longo prazo.Haveria uma maior proporo de mulheres? De homens?

(a) Com auxlio de uma moeda, simule a prole de um con-junto de 10 famlias (jogue a moeda; se obtiver cara, um menino, e a famlia para por a; se der coroa, umamenina; jogue a moeda mais uma vez e veja se o segundofilho menino ou menina).

(b) Rena os resultados obtidos pelos integrantes do grupo eproduza estatsticas mostrando o nmero mdio de crian-as por famlia, a proporo de meninos e meninas na po-pulao e a proporo de famlias que tm um filho homem.O que esses resultados sugerem?

(c) Qual a probabilidade de que uma famlia tenha um filhodo sexo masculino? Qual o nmero mdio de filhos porfamlia? Dentre todas as crianas nascidas, qual a pro-poro de meninos e meninas?


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Captulo 4

Mais Permutaes eCombinaes (grupo 2)

Como vimos anteriormente, possvel resolver um grande nmerode problemas interessantes de contagem sem utilizar frmulas, apenasempregando apropriadamente as quatro operaes. H, no entanto,certos problemas que ocorrem com frequncia e que no so imediatos,como o problema das combinaes simples, para os quais interes-sante conhecer a frmula que expressa sua soluo, para empreg-laem outros problemas. Neste material adicional, veremos alguns pro-blemas que utilizam permutaes e combinaes em sua soluo etravaremos contato com algumas outras frmulas combinatrias quepodem ser teis.

Exemplo 1. De quantos modos 4 crianas podem formar uma roda?

Soluo: primeira vista, pode parecer que para formar uma rodacom as 4 crianas basta escolher uma ordem para elas, o que podeser feito de 4! = 24 modos. Entretanto, as rodas ABCD, BCDA,CDAB e DABC mostradas na figura abaixo so iguais, j que cada

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uma resulta da anterior por uma virada de 1/4 de volta.

B D

C

A

C A

D

B

D B

A

C

A C

B

D

Para calcular o nmero de maneiras possveis de formar uma roda,podemos raciocinar de dois modos diferentes. Um deles consiste empartir do resultado anterior (4! = 24) e perceber que cada roda estsendo contada 4 vezes. Logo, o nmero correto de rodas que podemser formadas 244 = 6. Alternativamente, podemos comear por fixara criana A na posio esquerda (j que em qualquer roda A podeficar nesta posio). Agora, temos 3 lugares para as 3 crianas querestaram, para um total de 3! = 6 possibilidades.

De modo geral, o nmero de modos de colocar n objetos emcrculo, considerando-se iguais disposies que coincidam por ro-tao (ou seja, o nmero de permutaes circulares de n objetos) PCn = (n 1)!.

Exemplo 2. Considere um grupo formado por 7 homens (entre osquais Jos) e 5 mulheres (entre as quais Maria), do qual se quer extrairuma comisso constituda por 4 pessoas. Quantas so as comisses:

(a) Possveis?

Soluo: Devemos escolher 4 das 12 pessoas, o que pode ser feito deC412 modos, que igual a

12111091234 = 495 comisses.

(b) Formadas por 2 homens e 2 mulheres?


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32 CAP. 4: MAIS PERMUTAES E COMBINAES (GRUPO 2)

Soluo: Para formar uma comisso, devemos escolher os 2 homens,o que pode ser feito de C27 modos, e, a seguir, as 2 mulheres, o quepode ser feito de C25 maneiras. O nmero total de possibilidades deescolha, pelo princpio multiplicativo, C27 C25 = 21 10 = 210comisses.

(c) Em que haja pelo menos 2 mulheres?

Soluo: H 3 tipos de comisso possveis: com 2 homens e 2 mu-lheres, com 1 homem e 2 mulheres e com 4 mulheres. Para obter onmero total de comisses, contamos separadamente as comisses decada tipo e somamos os resultados, obtendo

C27 C25 + C17 C35 + C45 = 210 + 70 + 5 = 285 comisses.

Uma tentativa de contagem que leva a um erro muito comum aseguinte: como a comisso deve ter pelo menos 2 mulheres, inicial-mente escolhemos 2 mulheres, o que podemos fazer de C25 = 10modos.A seguir, basta escolher 2 pessoas quaisquer entre as 10 que sobraram,o que pode ser feito de C210 = 45 modos. Logo, por este raciocnio,teramos 10 45 = 450, que difere do resultado (correto) encontradoacima. Essa soluo, portanto, est errada. Voc sabe explicar ondeest o erro no raciocnio?

(d) Em que Jos participe, mas Maria no?

Soluo: Como Jos deve participar da comisso, resta escolher ape-nas 3 outras pessoas, entre as 10 restantes (j que Jos j foi escolhidoe Maria no pode ser escolhida). Logo, o nmero de possibilidades igual a C310 = 120.

(e) Formadas por 2 homens, entre os quais Jos, e 2 mulheres, massem incluir Maria?


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Soluo: Temos que escolher 1 homem entre 6 (Jos j est escolhido)e 2 mulheres entre 4 (Maria no pode ser escolhida). O nmero decomisses 6 C24 = 6 6 = 36.

Exemplo 3. Quantos anagramas podemos formar com a palavraMATEMATICA?

Soluo: Um anagrama uma palavra (no necessariamente fazendosentido) formada com as mesmas letras, mas em uma ordem qualquer.Quando as n letras de uma palavra so todas distintas, o nmero deanagramas igual ao nmero de permutaes de n, que, como vimos, igual a n!. Mas a palavra MATEMATICA tem letras repetidas: h3 A, 2 M e 2 T, alm de E, I e C, que aparecem uma vez cada.

Uma soluo (consistente com o princpio de atacar o mais com-plicado antes) , antes de mais nada, decidir o que fazemos com asletras repetidas. Para colocar os A, temos que escolher 3 dentre os 10lugares possveis, o que pode ser feito de C310 modos. Para colocar osM, restam agora 7 lugares, dos quais devemos escolher 2, o que podeser feito de C27 maneiras. Agora s restam 5 lugares, dos quais deve-mos escolher 2 para colocar os T; temos C25 possibilidades. Agora, srestam 3 lugares, nos quais devem ser colocadas as 3 letras restantes,o que pode ser feito de 3 2 1 modos. Logo, o nmero total deanagramas C310C27C25 6 = 151 200.

Mas h um outro modo de pensar, partindo do nmero depermutaes de 10 letras distintas (igual a 10!). Esta contagemno est correta, porque consideramos letras iguais como se fos-sem distintas. Ou seja, como se considerssemos as permutaesde A1, A2, A3,M1,M2, T1, T2, E, I e C. Para corrigir a contagem,basta contar quantas vezes cada anagrama foi contado. Por exem-plo, o anagrama AAAMMTTEIC foi contado vrias vezes: umcomo A1A2A3M1M2T1T2EIC, outro como A2A1A3M1M2T1T2EIC


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etc. Na verdade, ele foi contado tantas vezes como os modos de or-denar os 3 A, os 2 M e os 2 T, que igual a 3! 2! 2!. O nmero deanagramas , ento, 10!3!2!2! = 151 200, como encontrado anteriormente.

O segundo raciocnio pode ser facilmente estendido para uma si-tuao geral. O nmero de permutaes de n objetos nem todosdistintos, em que um deles aparece n1 vezes, outro n2 vezes, e assimpor diante, Pn1,n2,...n = n!n1!n2!... .

Exemplo 4. De quantos modos 6 pessoas (Joo, Maria, Pedro,Janete, Paulo e Alice) podem ser divididas em 3 duplas?

Soluo: O problema mais sutil do que parece a princpio. primeira vista, pode parecer que a situao a mesma do problemaanterior. Uma maneira de dividir as 6 pessoas em duplas colocar aspessoas em fila e formar uma permutao de AABBCC. Como vistono exemplo anterior, isto pode ser feito de 6!2!2!2! = 90 modos. Masisto no est correto, pois atribuiu nomes especficos (A, B e C) sduplas formadas. Note que colocar Joo e Maria na dupla A e Pedroe Janete na dupla B equivalente a colocar Joo e Maria na dupla Be Pedro e Janete na dupla A. Portanto, uma mesma distribuio emduplas est sendo contada vrias vezes. Mais precisamente, cada dis-tribuio em duplas est sendo contada tantas vezes quanto o nmerode modos de ordenar A, B e C, ou seja, 3! = 6 vezes. Logo, o nmerode possveis distribuies em duplas 906 = 15.

Exemplo 5. Uma professora tem 3 bolas de gude para distribuirpara 5 meninos (digamos, Alfredo, Bernardo, Carlos, Diogo e Eduar-do). De quantos modos ela pode fazer essa distribuio:

(a) Supondo que ela d as bolas para 3 alunos distintos?

Soluo: Neste caso, ela deve escolher 3 dentre os 5 meninos para


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receber as bolas, o que pode ser feito de C35 = 10 modos.

(b) Supondo que os contemplados possam ganhar mais de uma bola?(Por exemplo, Carlos pode receber todas as bolas.)

Soluo: Listamos abaixo algumas possveis escolhas dos contempla-dos:

Alfredo, Bernardo, Eduardo

Alfredo, Alfredo, Diogo

Alfredo, Diogo, Diogo

Carlos, Carlos, Carlos

Esses grupamentos so chamados de combinaes completas (oucom repetio) dos 5 meninos tomados 3 a 3. Note que o que dis-tingue as diferentes distribuies o nmero de bolas que cada alunorecebe. Portanto, o nmero de possibilidades igual ao nmerode listas (x1, x2, x3, x4, x5) de nmeros inteiros no negativos (re-presentando o nmero de objetos dados a Alfredo, Bernardo, Car-los, Diogo e Eduardo, respectivamente) que satisfazem a equaox1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 3.

Neste caso simples, podemos resolver o problema separando a con-tagem em casos. A primeira possibilidade a de que haja trs premia-dos, cada um ganhando uma bola. Como vimos acima, isto pode serfeito de C35 = 10 modos. A segunda possibilidade de que haja doispremiados, um ganhando 1 bola e outro 2 bolas. O primeiro meninopode ser escolhido de 5 modos, e o segundo, de 4; logo, h 4 5 = 20maneiras de distribuir as bolas para dois dos meninos. Finalmente, asbolas podem ir todas para um s menino, que pode ser escolhido de 5modos. Portanto, o nmero total de possibilidades 10+20+5 = 35.

No entanto, dividir a contagem em casos, como fizemos acima, no


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vai ser prtico caso o nmero de bolas e meninos seja maior. Paracontar de modo eficiente o nmero de distribuies, vamos recorrera um truque, que nos permite transformar este problema em outromais simples. Para formar as diferentes distribuies, colocamos asbolas em fila e as separamos em cinco lotes (correspondentes a cadaum dos meninos), atravs de traos verticais. claro que, neste caso,alguns desses lotes estaro vazios.

Vejamos alguns exemplos:

0||0|0| corresponde a dar 1 bola para Alfredo, para Carlos e paraDiogo, enquanto Bernardo e Eduardo no ganham bolas.

||00||0 corresponde a dar 2 bolas para Carlos e 1 para Eduardo,enquanto Alfredo, Bernardo e Carlos no ganham bolas.

Note que h uma correspondncia perfeita entre as possveis dis-tribuies e as listas formadas por 3 bolas e 4 traos. Mas estasltimas ns j sabemos contar! Basta escolher 3 das 7 posies paracolocar as bolas, o que pode ser feito de C37 = 35 maneiras, comoencontramos acima.

Naturalmente, podemos aplicar esta soluo para o problema geralde contar o nmero de maneiras de distribuir p objetos para n pessoas(ou seja, de calcular o nmero de solues inteiras e no negativasde x1 + x2 + . . . + xn = p, ou ainda, de calcular o nmero CR

pn de

combinaes completas de n elementos tomados p a p). Temos p bolas,que devem ser separadas por n 1 tracinhos. Ou seja, precisamosescolher p das n+ p 1 posies para as bolas. A resposta, portanto, CRpn = Cpn+p1.

Exerccios

1) De quantos modos podemos formar uma roda com 5 meninos


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e 5 meninas de modo que crianas de mesmo sexo no fiquemjuntas?

2) De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com6 crianas, de modo que duas delas, Vera e Isadora, no fiquemjuntas?

3) De quantos modos possvel dividir 15 atletas em trs times de5 atletas, denominados Esporte, Tupi e Minas?

4) De quantos modos possvel dividir 15 atletas em trs times de5 atletas?

5) De quantos modos possvel dividir 20 objetos em 4 grupos de3 e 2 grupos de 4?

6) Um campeonato disputado por 12 clubes em rodadas de 6jogos cada. De quantos modos possvel selecionar os jogos daprimeira rodada?

7) Quantos so os anagramas da palavra ESTRELADA?

8) Quantos so os nmeros naturais de 7 algarismos nos quais o al-garismo 4 figura exatamente 3 vezes e o algarismo 8 exatamente2 vezes?

9) Quantos so os subconjuntos de {a1, a2, . . . , an}, com p elemen-tos, nos quais:

(a) a1 figura?

(b) a1 no figura?

(c) a1 e a2 figuram?

(d) pelo menos um dos elementos a1, a2 figura?

(e) exatamente um dos elementos a1, a2 figura?


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10) Considere um conjunto C de 20 pontos do espao que tem umsubconjunto C1 formado por 8 pontos coplanares. Sabe-se quetoda vez que 4 pontos de C so coplanares, ento, eles so pontosde C1. Quantos so os planos que contm pelo menos trs pontosde C?

11) Quantos so os anagramas da palavra PARAGUAIO que nopossuem consoantes juntas?

12) De quantos modos podemos selecionar p elementos do conjunto{1, 2, . . . , n} sem selecionar dois nmeros consecutivos?

13) Depois de ter dado um curso, um professor resolve se despedir deseus 7 alunos oferecendo, durante 7 dias consecutivos, 7 jantarespara 3 alunos cada, de modo que o mesmo par de alunos nocomparea a mais de um jantar.

(a) Prove que cada aluno deve comparecer a exatamente 3jantares.

(b) De quantos modos o professor pode fazer os convites paraos jantares?

14) Em uma escola, um certo nmero de professores se distribuemem 8 bancas examinadoras de modo que cada professor participade exatamente duas bancas e cada duas bancas tm exatamenteum professor em comum.

(a) Quantos so os professores?

(b) Quantos professores h em cada banca?

15) Quantas so as solues inteiras e positivas de x+ y + z = 7?

16) Quantas so as solues inteiras e no negativas da desigualdadex+ y + z 6?


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17) Uma indstria fabrica 5 tipos de balas, que so vendidas emcaixas de 20 balas, de um s tipo ou sortidas. Quantos tiposdiferentes de caixa podem ser fabricados?


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Captulo 5

Probabilidade Condicional(grupo 2)

Veremos a seguir exemplos de situaes em que a probabilidadede um evento modificada pela informao de que um outro eventoocorreu, levando-nos a definir probabilidades condicionais.

Exemplo 1. Em uma urna h duas moedas aparentemente iguais.Uma delas uma moeda comum, com uma cara e uma coroa. Aoutra, no entanto, uma moeda falsa, com duas caras. Suponhamosque uma dessas moedas seja sorteada e lanada.

(a) Qual a probabilidade de que a moeda lanada seja a comum?

Soluo: A resposta 1/2, j que ambas as moedas tm a mesmachance de serem sorteadas.

(b) Qual a probabilidade de que saia uma cara?

Soluo: H quatro possveis resultados para o sorteio da moeda e oresultado do lanamento, todos com a mesma probabilidade:

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a moeda sorteada a comum, e o resultado cara;

a moeda sorteada a comum, e o resultado coroa;

a moeda sorteada a falsa, e o resultado cara;

a moeda sorteada a falsa, e o resultado tambm cara, massaindo a outra face.

Como em 3 dos 4 casos acima o resultado cara, a probabilidade

de sair cara 34.

(c) Se o resultado do lanamento cara, qual a probabilidade deque a moeda sorteada tenha sido a comum?

Soluo: No item (a) verificamos que a probabilidade de sair cara 1/2. Mas a situao diferente agora: temos uma informao adi-cional, a de que, aps o lanamento da moeda, o resultado foi cara.Com esta informao, podemos rever o clculo da probabilidade damoeda honesta ter sido sorteada. Dos quatro resultados possveis parao experimento, listados acima, o segundo deve ser excludo. Restam,assim, trs possibilidades igualmente provveis. Delas, apenas naprimeira a moeda sorteada a comum. Logo, com a informao deque o lanamento resultou em cara, a probabilidade de que a moedasorteada tenha sido a comum se reduziu a 1/3.

A probabilidade que calculamos no exemplo anterior uma pro-babilidade condicional. De um modo geral, a probabilidade condicio-nal de um evento A, na certeza da ocorrncia de um evento B (deprobabilidade no nula) denotada por P (A|B) e definida como

P (A|B) = P (A B)P (B)

.

No caso do exemplo anterior, chamemos de A o evento sortear a


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42 CAP. 5: PROBABILIDADE CONDICIONAL (GRUPO 2)

moeda comum, e de B o evento obter resultado cara. O eventoA B sortear a moeda comum e tirar cara. Temos:

P (A B) = 1/4, P (B) = 3/4 e, assim, P (A|B) = 1/43/4

=13,

como encontramos anteriormente.

Exemplo 2. Uma carta sorteada de um baralho comum, que possui13 cartas (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe (ouros,copas, paus e espadas).

(a) Qual a probabilidade de que a carta sorteada seja um A?

Soluo: Como o baralho tem 13 4 = 52 cartas e 4 delas so ases,a probabilidade de tirar um A

452

=113

.

(b) Sabendo que a carta sorteada de copas, qual a probabilidadede que ela seja um A?

Soluo: O fato de que a carta sorteada de copas restringe os casospossveis s 13 cartas de copas, das quais exatamente uma A. Logo,a probabilidade de ser sorteado um A, dado que a carta sorteada de

copas, permanece igual a113

. Mais formalmente, designando por A oevento sortear A e, por B, sortear copas, o evento AB sortearo A de copas, e a probabilidade pedida

P (A|B) = P (A B)P (B)

=1/5213/52

=113.

O exemplo acima ilustra uma situao importante: aquela na quala probabilidade condicional de A na certeza de B igual probabili-dade de A (ou seja a ocorrncia de B no influi na probabilidade de

ocorrncia de A). Esta condio implica emP (A B)P (B)

= P (B), ou


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seja, P (A B) = P (A)P (B). Dizemos, ento, que dois eventos A eB tais que P (A B) = P (A)P (B) so independentes.

Exemplo 3. Um sistema de segurana tem dois dispositivos quefuncionam de modo independente e que tem probabilidades iguais a0,2 e 0,3 de falharem. Qual a probabilidade de que pelo menos umdos dois componentes no falhe?

Soluo: Como os componentes funcionam independentemente, oseventos A = o primeiro dispositivo falha e B = o segundo dis-positivo falha so independentes. Logo, o evento A B = ambosfalham tem probabilidade P (AB) = P (A)P (B) = 0, 2 0,3 = 0,06e, assim, a probabilidade de que pelo menos um no falhe igual a1 0,06 = 0,94.

Exemplo 4. Uma questo de mltipla escolha tem 5 alternativas.Dos alunos de uma turma, 50% sabem resolver a questo, enquantoos demais chutam a resposta. Um aluno da turma escolhido aoacaso.

(a) Qual a probabilidade de que ele tenha acertado a questo?

Soluo: Neste caso, vamos utilizar probabilidades condicionais co-nhecidas para calcular a probabilidade de dois eventos ocorrerem si-

multaneamente. Observe que, da expresso P (A|B) = P (A B)P (B)

decorre P (AB) = P (B)P (A|B). Se o aluno sabe resolver a questo,ele tem probabilidade 1 de acert-la, enquanto, se ele no sabe, suaprobabilidade de acerto 1/5 = 0,2. Portanto, P (acerta|sabe) = 1,enquanto P (acerta|no sabe) = 0,2. Podemos, ento, obter asseguintes probabilidades:

P (sabe e acerta) = P (sabe) P (acerta|sabe) = (0,5) 1 = 0,5


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P (no sabe e acerta) = P (no sabe) P (acerta|no sabe)= 0,5 0,2 = 0,1.

Finalmente,

P (acerta) = P (sabe e acerta) + P (no sabe e acerta)= 0,5 + 0,1 = 0,6.

(b) Dado que o aluno acertou a questo, qual a probabilidade deque ele tenha chutado?

Soluo: O que desejamos calcular a probabilidade condicional deque o aluno no saiba resolver a questo, dado que ele a acertou.Temos:

P (no sabe|acerta) = P (no sabe e acerta)P (acerta)

=0,10,6

=16.

Exerccios

1) Joga-se um dado viciado duas vezes. Determine a probabilidadecondicional de obter 3 na primeira jogada sabendo que a somados resultados foi 7.

2) Um juiz de futebol meio trapalho tem no bolso um cartoamarelo, um carto vermelho e um carto com uma face amarelae uma face vermelha. Depois de uma jogada violenta, o juizmostra um carto, retirado do bolso ao acaso, para um atleta.Se a face que o jogador v amarela, qual a probabilidade daface voltada para o juiz ser vermelha?


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3) Um exame de laboratrio tem eficincia de 95% para detec-tar uma doena quando ela de fato existe. Alm disso, o testeaponta um resultado falso positivo para 1% das pessoas sadiastestadas. Se 0,5% da populao tem a doena, qual a proba-bilidade de que uma pessoa, escolhida ao acaso, tenha a doena,sabendo que o seu exame foi positivo?

4) Quantas vezes, no mnimo, se deve lanar um dado para que aprobabilidade de obter algum 6 seja superior a 0,9?

5) Em uma cidade, as pessoas falam a verdade com probabilidade1/3. Suponha que A faz uma afirmao e D diz que C diz queB diz que A falou a verdade. Qual a probabilidade de que Atenha falado a verdade?

6) 2n jogadores de igual habilidade disputam um torneio. Eles sodivididos em grupos de 2, ao acaso, e jogadores de um mesmogrupo jogam entre si. Os perdedores so eliminados, e os vence-dores so divididos novamente em grupos de 2 e assim por dian-te, at restar apenas um jogador, que proclamado campeo.

(a) Qual a probabilidade de os jogadores A e B se enfrentaremdurante o torneio?

(b) Qual a probabilidade de o jogador A jogar exatamente kpartidas?

7) Duas mquinas A e B produzem 3 000 peas em um dia. Amquina A produz 1 000 peas, das quais 3% so defeituosas. Amquina B produz as restantes 2 000, das quais 1% so defei-tuosas. Da produo total de um dia, uma pea escolhida aoacaso e, examinando-a, constata-se que ela defeituosa. Qual a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela mquinaA?


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8) Um prisioneiro recebe 50 bolas brancas e 50 bolas pretas. Oprisioneiro deve distribuir, do modo que preferir, as bolas emduas urnas, mas de modo que nenhuma das duas urnas fiquevazia. As urnas sero embaralhadas e o prisioneiro dever, deolhos fechados, escolher uma urna e, nesta urna, uma bola. Sea bola for branca, ele ser libertado; caso contrrio, ele sercondenado. De que modo o prisioneiro deve distribuir as bolasnas urnas para que a probabilidade de ele ser libertado sejamxima? Qual essa probabilidade?


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Exerccios Adicionais

Para os alunos dos Grupos 1 e 2

1) Um grupo de 4 alunos (Alice, Bernardo, Carolina e Daniel) temque escolher um lder e um vice-lder para um debate.

(a) Faa uma lista de todas as possveis escolhas (use a ini-cial de cada nome, para facilitar). Organize a sua listado seguinte modo: primeiro, escreva todas as possibili-dades em que Alice a presidente, depois aquelas em queBernardo presidente, e assim por diante.

(b) Usando agora o princpio multiplicativo, ache quantas soas escolhas possveis de lder e vice-lder em que os alunostm sexos diferentes.

2) De quantos modos possvel colocar 8 pessoas em fila de modoque duas dessas pessoas, Vera e Paulo, no fiquem juntas e duasoutras, Helena e Pedro, permaneam juntas?

3) Permutam-se de todas as formas possveis os algarismos 1, 2,4, 6, 7 e escrevem-se os nmeros assim formados em ordemcrescente. Determine:

(a) Que lugar ocupa o nmero 62 417?

(b) Que nmero que ocupa o 66o lugar?

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48 EXERCCIOS ADICIONAIS

(c) Qual o 166o algarismo escrito?

4) De um baralho comum de 52 cartas, sacam-se, sucessivamentee sem reposio, duas cartas. De quantos modos isso pode serfeito se a primeira carta deve ser de copas, e a segunda no deveser um rei?

5) Uma turma tem aulas s segundas, quartas e sextas, das 13hs 14h e das 14h s 15h. As matrias so Matemtica, Fsica eQumica, cada uma com duas aulas semanais em dias diferentes.De quantos modos pode ser feito o horrio dessa turma?

6) De quantos modos podemos colocar uma torre branca e outrapreta em um tabuleiro de xadrez, sem que uma ameace a outra?(Ou seja, as duas torres no devem estar na mesma linha oucoluna.)

7) Um anagrama de uma palavra uma nova palavra obtida reor-denando suas letras (essa nova palavra pode no fazer sentido).

(a) Quantos so os anagramas da palavra SAVEIRO?

(b) Quantos deles comeam com S?

(c) Quantos deles terminam com vogal?

(d) Quantos apresentam o pedao VEIR?

8) Em uma festa h 5 homens e 5 mulheres, que vo formar 5casais para uma dana de quadrilha. Quantas so as maneirasde formar esses casais? E se houvesse 5 homens e 8 mulheres?

9) De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em5 bancos de 2 lugares, se em cada banco deve haver um homeme uma mulher?


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10) Para pintar a bandeira abaixo, esto disponveis as seis coresdadas, sendo que regies adjacentes devem ser pintadas de coresdiferentes.

(a) Qual o nmero mnimo de cores a serem usadas?

(b) De quantos modos a bandeira pode ser pintada?

11) Supondo que as mesmas 6 cores estejam disponveis, de quantosmodos pode-se pintar o smbolo abaixo de modo que quadrantesadjacentes no tenham a mesma cor (quadrantes opostos podemter a mesma cor)?

12) Quantos dados diferentes possvel formar gravando nmerosde 1 a 6 sobre as faces de um cubo?

(a) Suponha uma face de cada cor.

(b) Suponha as faces iguais.

(c) Suponha que as faces so iguais e que a soma dos pontosde faces opostas deva ser igual a 7.

13) Um estacionamento, inicialmente vazio, tem 10 vagas adja-centes. O primeiro carro pode parar em qualquer vaga. A partir


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do segundo carro, porm, cada carro deve parar em uma vagavizinha a uma vaga j ocupada. De quantos modos diferentesas vagas podem ser preenchidas? [Sugesto: passe o filme aocontrrio; de onde sai o ltimo carro? E o penltimo?]

14) Para sortear uma vaga em uma reunio de condomnio, da qualparticiparam 12 pessoas, foram colocados 12 pedaos de papelidnticos, todos em branco, exceto um, no qual foi escrita apalavra vaga. Cada pessoa retira, na sua vez, um papel daurna. O que melhor: ser o primeiro ou o ltimo a sortear seupapel?

15) Considere uma turma de 20 alunos.

(a) Quantas so as maneiras de escolher um representante, umsecretrio e um tesoureiro?

(b) Considere agora que desejemos escolher trs dos alunospara formar uma comisso. Por que a resposta no amesma do item anterior?

(c) O que necessrio fazer com a resposta do item a paraobter a resposta do item b?

16) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. Qual a probabilidade deque:

(a) Tenham pelo menos um menino?

(b) Tenham filhos de ambos os sexos?

(c) Tenham dois filhos de cada sexo?

17) Os alunos de um certo curso fazem 4 matrias, entre as quaisClculo e lgebra Linear. As provas finais sero realizadas emuma nica semana (de segunda a sexta). Admitindo que cada


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professor escolha o dia da sua prova ao acaso, qual a probabi-lidade de que:

(a) As provas de lgebra Linear e Probabilidade sejam mar-cadas para o mesmo dia?

(b) No haja mais do que uma prova em cada dia?

18) 24 times so divididos em dois grupos de 12 times cada. Qual a probabilidade de dois desses times ficarem no mesmo grupo?

19) Em um armrio h 6 pares de sapatos. Escolhem-se 2 ps desapatos. Qual a probabilidade de se formar um par de sapatos?

Para os alunos do Grupo 2

20) Em uma turma h 12 rapazes e 15 moas. Quantos so os modosde escolher uma comisso de 4 pessoas:

(a) Sem restries?

(b) Que incluam Jos (que um dos alunos)?

(c) Que no incluam Mrcia (que uma das alunas)?

(d) Com 2 rapazes e 2 moas?

(e) Que tenham pelo menos um rapaz e uma moa?

21) No jogo da Megassena so sorteados, a cada extrao, 6 dosnmeros de 1 a 60.

(a) Quantos so os resultados possveis da Megassena?

(b) Um apostador aposta nos nmeros 2, 7, 21, 34, 41 e 52.Qual a sua chance de ganhar? E se ele tivesse apostadonos nmeros 1, 2, 3, 4, 5 e 6?


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(c) Quantas vezes maiores so as chances de ganhar de quemaposta em 8 nmeros?

(d) Suponha que o nmero 17 no sorteado h muito tempo.Isso modifica as chances de ele ser sorteado da prximavez?

22) Cinco dados so jogados simultaneamente. Determine a proba-bilidade de se obter:

(a) um par;

(b) dois pares;

(c) uma trinca;

(d) uma quadra;

(e) uma quina;

(f) uma sequncia;

(g) um full hand, isto , uma trinca e um par.

23) Em um grupo de 4 pessoas, qual a probabilidade de:

(a) Haver alguma coincidncia de signos zodiacais?

(b) Haver exatamente trs pessoas com um mesmo signo e umapessoa com outro signo?

(c) As quatro pessoas terem o mesmo signo?

(d) Haver duas pessoas com um mesmo signo e duas outraspessoas com outro signo?

24) Em um torneio h 16 jogadores de habilidades diferentes. Elesso sorteados em grupos de 2, que jogam entre si. Os perdedoresso eliminados, e os vencedores jogam entre si, novamente divi-didos em grupos de 2, at restar s um jogador, que declarado


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campeo. Suponha que no haja zebras (ou seja, o jogador dehabilidade superior sempre vence).

(a) Qual a probabilidade de o segundo melhor jogador service-campeo do torneio?

(b) Qual a probabilidade de o quarto melhor jogador ser vice-campeo do torneio?

(c) Qual o nmero mximo de partidas que o dcimo melhorjogador consegue disputar?

(d) Qual a probabilidade de ele disputar esse nmero mximode partidas?

25) Um dado honesto tem duas de suas faces pintadas de vermelhoe as demais, de azul. O dado lanado trs vezes, anotando-sea cor da face obtida.

(a) Qual a probabilidade de que a cor obtida no 1o lana-mento seja igual obtida no 3o?

(b) Dado que a mesma cor foi obtida nos 1o e 2o lanamentos,qual a probabilidade de que no 3o lanamento saia estamesma cor?

26) Sejam Im = {1, 2, ...,m} e In = {1, 2, ..., n}, com m n. Quan-tas so as funes f : Im In estritamente crescentes? E nodecrescentes?

27) Quantos so os nmeros naturais de 7 dgitos nos quais o dgito4 figura exatamente 3 vezes, e o dgito 8, exatamente 2 vezes?

28) O conjunto A possui p elementos, e o conjunto B possui n ele-mentos. Determine o nmero de funes f : A B sobrejetivaspara:

(a) p = n;


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(b) p = n+ 1;

(c) p = n+ 2.

29) Considere um conjunto C de 20 pontos do espao que tem umsubconjunto C1 formado por 8 pontos coplanares. Sabe-se quetoda vez que 4 pontos de C so coplanares, ento, eles so pontosde C1. Quantos so os planos que contm pelo menos trs pontosde C?

30) Onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por questesde segurana, os planos so guardados em um cofre protegidopor muitos cadeados, de modo que s possvel abri-los todosse houver pelo menos 5 cientistas presentes.

(a) Qual o nmero mnimo possvel de cadeados?

(b) Na situao do item a, quantas chaves cada cientista deveter?


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Solues dos Exerccios

Captulo 1

1) (a) As possveis escolhas de lder e vice-lder so (usando so-mente as iniciais): A-B, A-C, A-D, B-A, B-C, B-D, C-A,C-B, C-D, D-A, D-B, D-C. Portanto, no total h 12 esco-lhas possveis.

(b) H 4 maneiras de escolher o lder. Para cada uma dessasescolhas, o vide-lder pode ser escolhido de 3 modos (j quea mesma pessoa no pode, ao mesmo tempo, ser lder evice-lder). Logo, pelo Princpio Multiplicativo, o nmerode possibilidades 4 3 = 12, que foi o que obtivemoscontando diretamente.

2) (a) Como h 3 opes de saladas, 3 de sopas e 4 de pratosprincipais, h 3 + 3 + 4 = 20 modos de escolher um pratodo cardpio.

(b) O nmero de possveis refeies

3 (saladas) 3 (sopas) 4 (pratos principais) = 36.

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3) So escritos 9 nmeros de 1 algarismo, 90 nmeros de 2 algaris-mos (de 10 a 99) e 1 nmero de 3 algarismos. Logo, o total dealgarismos escritos 9 + 2 90 + 3 = 192.

4) (a) Cada um dos dois jogadores pode obter qualquer dosnmeros de 1 a 6. Logo, o nmero de possveis combi-naes de resultados 6 6 = 36.

(b) A soma pode ser qualquer nmero inteiro de 1+ 1 = 2 at6 + 6 = 12. H, portanto, 11 somas possveis.

5) So 7 filamentos. Para cada um, h duas possibilidades (acesoou apagado). Logo, o nmero total de configuraes possveis

2 2 2 2 2 2 2 = 27 = 128.

Excluindo aquela em que esto todos apagados, obtemos 127smbolos diferentes.

6) (a) So necessrias pelo menos 3 cores.

(b) A faixa vertical pode ser pintada de 6 modos. Pintandoa faixa vertical de cima para baixo, temos que a primeirapode ser pintada de 5 modos (no pode usar a cor da faixavertical), a segunda de 4 (no pode usar a cor da faixavertical e a da 1a faixa horizontal) e a terceira tambm de4 (no pode usar a cor da faixa vertical e a da 2a faixahorizontal). Logo, o nmero total de bandeiras

6 5 4 4 = 480.

7) Vamos contar separadamente os casos em que os quadrantes 1e 3 tm cores iguais e cores diferentes. Pondo cores iguais nos


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quadrantes 1 e 3, temos 5 4 4 = 80 possibilidades, pois h5 modos de escolher a cor nica para os quadrantes 1 e 3, h 4modos de escolher a cor do quadrante 2 e h 4modos de escolhera cor do quadrante 4. Pondo cores diferentes nos quadrantes 1e 3, h 5 4 3 3 = 180 possibilidades, pois h 5 modos deescolher a cor para o quadrante 1, h 4 modos de escolher a cordo quadrante 3, h 3 modos de escolher a cor do quadrante 2e h 3 modos de escolher a cor do quadrante 4. A resposta 80 + 180 = 260.

8) H 510 gabaritos possveis. Para ter a letra A aparecendo exata-mente uma vez, devemos escolher a questo em que ela aparece(10 possibilidades) e, a seguir, escolher a alternativa das demais(4 para cada, para um total de 49). Logo, o nmero total depossibilidades 10 49. Se a letra A no aparece, temos so-mente 4 possibilidades de escolha para cada questo, para umtotal de 410 possibilidades.

9) Os subconjuntos de {1, 2, 3} so 8 :

, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.

De um modo geral, um subconjunto de um conjunto de n ele-mentos formado decidindo se cada elemento entra ou no nosubconjunto. Para cada elemento h 2 possibilidades; o nmerototal de possibilidades 2n.

10) A primeira pessoa pode escolher sua cadeira de 5 modos; a se-gunda, de 4; a terceira, de 3. A resposta 5 4 3 = 60.

11) A primeira mulher pode escolher sua posio de 10 modos. A


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segunda, de 8 modos. As outras, de 6, de 4 e de 2 modos. Oprimeiro homem, de 5 modos. Os demais, de 4, de 3, de 2 e de1. A resposta 10 8 6 4 2 5 4 3 2 1 = 460 800.

12) O tabuleiro de 64 casas possui 4 casas de canto (vrtices), 24casas laterais que no so vrtices e 36 casas centrais. Cadacasa de canto possui 3 casas adjacentes; cada lateral possui 5casas adjacentes e cada central possui 8 casas adjacentes. Vamoscontar separadamente os casos que ocorrem conforme o rei negroocupe uma casa de canto, lateral ou central. Se o rei negroocupar uma casa de canto, haver 4 posies para o rei negro e60 posies para o rei branco, pois das 64 casas do tabuleiro umaestar ocupada, e as 3 a ela adjacentes no podero ser ocupadaspelo rei branco. Haver, portanto, 460 = 240 modos de disporos reis.

Se o rei negro ocupar uma casa lateral que no seja de canto,haver 24 posies para o rei negro e 58 posies para o reibranco, pois das 64 casas do tabuleiro uma estar ocupada eas 5 a ela adjacentes no podero ser ocupadas pelo rei branco.Haver, portanto,

24 58 = 1 392

modos de dispor os reis.

Se o rei negro ocupar uma casa central, haver 36 posies parao rei negro e 55 posies para o rei branco, pois das 64 casasdo tabuleiro uma estar ocupada, e as 8 a ela adjacentes nopodero ser ocupadas pelo rei branco. Haver, portanto,

36 55 = 1 980


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modos de dispor os reis. Portanto, a resposta

240 + 1 392 + 1 980 = 3 612.

Se os reis fossem iguais, a resposta seria a metade da respostaanterior, 1 806.

13) Note que no caso em que so permitidas repeties, a condiode a letra A figurar na palavra terrvel, pois ela pode figuraruma s vez, ou duas etc... Por isso, melhor contar todasas palavras do alfabeto e diminuir as que no tm A e as quecomeam por A. A resposta 265 255 264 = 1658 775.No caso sem repetio, pode-se contar diretamente: h 4 modosde escolher a posio do A, 25 modos de escolher a letra daprimeira casa restante, 24 para a segunda casa restante etc. Aresposta 4 25 24 23 22 = 1 214 400. Pode-se tambmrepetir o raciocnio do caso com repetio:

26252423222524232221125242322 =1 214 400.

14) H 26 modos de escolher cada letra e 10 modos de escolher cadaalgarismo. A resposta 263 104 = 175 760 000.

15) Os passageiros que preferem se sentar de frente podem faz-lode 5432 = 120 modos; os que preferem se sentar de costaspodem faz-lo de 5 4 3 = 60 modos; os demais podem secolocar nos lugares restantes de 321 = 6 modos. A resposta 120 60 6 = 43 200.

16) (a) O algarismo 0 aparece nas unidades 222 vezes, nos nmeros10, 20, 30, . . . , 2 200. Aparece nas dezenas 220 vezes, nos


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nmeros 10x, 20x, . . . , 220x. Aparece nas centenas 200vezes, nos nmeros 10xy e 20xy. A resposta

222 + 220 + 200 = 642.

(b) Contamos os nmeros com algum algarismo igual a 0,descontando do clculo anterior o que houver sido con-tado indevidamente. O 0 aparece nas unidades 222 vezes,nos nmeros 10, 20, 30, . . . , 2 200. Das 220 vezes em queaparece nas dezenas devemos descontar o total dos nmerosdo conjunto

{10x, 20x, . . . , 220x ; x = 0},

que 22. Das 200 vezes em que aparece nas cente-nas devemos descontar o total dos nmeros do conjunto{10xy, 20xy ; x = 0 ou y = 0}, que 2 (9 + 9 + 1) = 38.A resposta

222 + (220 22) + (200 38) = 222 + 198 + 162 = 582.

Outra soluo: O algarismo 0 aparece nas unidades222 vezes, nos nmeros 10, 20, 30, . . . , 2 200. Faltam osnmeros dos conjuntos {10x, 20x, . . . , 220x ; x 6= 0} e{10xy, 20xy ; x 6= 0 e y 6= 0}. O primeiro tem 229 = 198nmeros, e o segundo, 299 = 162 nmeros. A resposta 222 + 198 + 162 = 582.

17) O mais simples fazer todos os nmeros menos aqueles em queo 5 no figura. A resposta 91010108999 = 3 168.

18) Para formar uma coleo, voc deve decidir quantas Veja faro


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parte da coleo etc. A quantidade de revistas Veja pode serescolhida de 6 modos (0, 1, 2, 3, 4, 5). A de poca, de 7 modos.A de Isto , de 5 modos. O nmero de colees 675 = 210.O nmero de colees no vazias 209.

19) A soluo est errada. possvel que a mesma cor tenha sidoescolhida para as faixas extremas. Neste caso, o nmero depossibilidades de escolha para a cor da faixa central 3, e no2. Logo, para esta ordem de pintura no possvel aplicardiretamente o Princpio Multiplicativo.

20) O casal Joo e Maria foi considerado diferente do casal Maria eJoo. Isso devido ao fato de termos trabalhado com o conceitode primeira pessoa do casal. Por isso a resposta encontrada odobro da resposta real.

21) H dois tipos de peas: as formadas por nmeros iguais (queso 7: de 0 0 at 6 6) e as formadas por um par de nmerosdistintos. Destas, h 7 6/2 = 21 peas. O total 28. Se osnmeros forem at 8, o nmero de peas 9 + 9 8/2 = 45.

22) Cada retngulo corresponde a escolher 2 linhas e 2 colunas entreas 9 linhas e colunas de separao das casas. As duas linhaspodem ser escolhidas de 9 8/2 = 36 modos. O nmero depossibilidades para as colunas o mesmo. Logo, o nmero totalde retngulos 36 36 = 1 296.


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Captulo 2

1) (a) Os resultados possveis so 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12.

(b) As probabilidades so diferentes, porque o nmero de ca-sos favorveis varia. O resultado mais provvel o 7, quepode ocorrer de 6 modos diferentes e que tem, portanto,probabilidade 6/36 = 1/6. Os menos provveis so 2 e 12,que s podem ocorrer de um modo e que tm, cada um,probabilidade 1/36.

(c) A tabela abaixo tem todos os resultados possveis s + t,onde s resultado do lanamento do primeiro dado e t, dosegundo. Colocamos os valores de s na primeira linha e osde t na primeira coluna.

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

A probabilidade dos resultados 2, 12 e 7 j foi calcu-lada. O resultado 3 tem probabilidade 2/36 = 1/18, assimcomo o resultado 11. O resultado 4 tem probabilidade3/36 = 1/12, assim como o resultado 10. O resultado 5tem probabilidade 4/36 = 1/9, assim como o resultado9. O resultado 6 tem probabilidade 5/36, assim como oresultado 8.


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2) Vamos considerar todas as sequncias possveis de resultados.Como em cada lanamento sai cara C ou coroa K, h 2 possi-bilidades; logo, o nmero de possibilidades igual a 222 = 8.Todas as sequncias tm a mesma probabilidade de ocorrnciaigual a 1/8. Com duas caras temos CCK, CKC e KCC. Logo,a probabilidade de que saiam duas caras 3/8.

3) So 2222=16 possveis sequncias para os sexosdas crianas, todas equiprovveis. Em 6 delas h 2 ca-sais (HMHM , MHMH, HHMM , MMHH, MHHM ,HMMH). Em 8 delas h 3 filhos de um sexo e um de outro(MHHH,HMHH,HHMH,HHHM,MMMH,MMHM,MHMM,HMMM). Logo, mais provvel ter trs filhos deum sexo e um de outro.

4) Em ambos os casos, Laura e Telma tm a mesma probabilidadede tirar um nmero maior que o da outra. Se no h devoluo,no pode haver empate, e a probabilidade de que Laura tenhao maior nmero 50%. Se h devoluo, h possibilidade deempate, e a probabilidade de que isso ocorra igual a 100 casosde empate dividido por 100 100 casos possveis, que igual a0, 01, ou seja,

100100 100 = 0, 01. Logo, neste caso a probabili-

dade de que Laura tenha um nmero maior do que o de Telma (1

02- combinatoria e probabilidade

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