analise combinatoria

5/10/2018 analise combinatoria - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/analise-combinatoria-559dff74c3c44 1/31

ESTATÍSTICA

PROBABILIDADEANÁLISE COMBINATÓRIA

Prof. Ms. Antonio Carlos de Oliveira Capitão



E3 1

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Definição: Análise de situações que envolvem acaso.

O estudo da probabilidade e análise combinatória teve como seus precursores osingleses Isaac Newton (1.642-1.727) e Abraham de Moivre (1.667-1.754), no séculoXVII; após este período so houve novos avanços científicos no início do século XX,quando Georg Cantor desenvolveu a teoria dos números transfinitos e Albert Eistein eJohn Von Neumann desenvolveram o estudo de técnicas

de contagem, física e eletrônica que culminaram no desenvolvimento da era dacomputação eletrônica.




E3 2

FATORIAL

Definição: O fatorial de “n”, representado por n! (lê-se ene fatorial) é representado por:n! = n(n-l).(n-2).(n-3).............l

ex. 4!= 4.(4-l).(4-2).(4-3)

4!= 4. 3 .2 .l = 24

OBS: 0!= 1

1!=1

OPERACÕES:

Regra geral deve-se proceder à resolucão dos fatoriais isoladamen te esomente após resolver as operacões.

ADICÃO:

2! + 3!

(2+l)+ (3.2.1)

2 + 6

= 8




E3 3

SUBTRACÃO:

5! - 3!

(5.4.3.2.1) - (3.2.1)

120 - 6

= 114

MULTIPLICACÃO:

2! . 3!

(2.1) . (3.2.1)

2 . 6

=l2

DIVISÃO3!/2! = (3.2.1)/(2.1) = 6/2 = 3 “ou” 3.2!/2! = 3

EXERCÍCIOS: Calcule o resultado dos seguintes fatoriais:

a) 5!b) 8!c) 13!d) 8!/5!e) 5!/2!f) 12!/9! 3!g) 3! . 4!h) 5! + 3!i) 8! - 6! j) 10! - 7!




E3 4

ANALISE COMBINATÓRIA

ORDEM E NATUREZA1)NATUREZA: Dois agrupamentos diferem pela natureza de seus elementos,quando ano possuem os mesmos elementos.

ex: 28 e 27 (os elementos dos 2 números aso diferentes)

28 e 27 ( 8 e 7 aso diferentes)

ANA E JOSÉ casais diferentes, apesar de terem um elementoANA E FLAVIO comum (ANA)

ex: 75 e 57 (mesmos números formando valores diferentes)128 e 812

EXERCÍCIOS: Analise se ha mudança de ordem ou de natureza nos seguintesconjuntos:

a) 1758 e 7851b) 9483 e 8395c) (Ana e José) e (José e Ana)

d) (0,1,2,3,5,7,4,7,3,6,3,9) e (0,1,2,3,5,7,4,7,3,6,3,2)e) 171613 e 716131




E3 5

ARRANJOS SIMPLES O numero de arranjos simples tomados k a k (k n), que podemos formar com “n”elementos distintos; onde cada elemento difere dos outros, tanto pela ordem, quantopela natureza de seus elementos, e dado por:

Onde: n= numero de elementos do conjunto

k= numero de elementos do grupo

obs: Nos arranjos simples se caracterizam pelas seguintes condições:

• Ano ha repetição de números.• Diferem tanto pela ordem quanto pela natureza simultaneamente.

Exemplo: quantos números de três algarismos diferentes (distintos)

podemos formar com os elementos do conjunto:

A= (2,3,4,5,6,7,9)----------------7 elementos=n

Solução:3

A7 = 7 ! = 7 ! = 7x 6x5x4! = 7x6x5 = 210

_____ ____ ________(7-3)! 4! 4!

Exercícios: Calcule os seguintes arranjos:

1) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os elementos doconjunto B= (2,3,4,5,6)?

2) Quantos números de 2 algarismos podemos formar com os elementos do conjuntoR= (1,2,3,4,5,6,7,8,9)?

3) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os elementos doconjunto B= (0,2,3,4,5,6)?

4) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os elementos doconjunto S= (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)?




E3 6

CURIOSIDADE: As placas de automóveis, ainda em uso no Brasil, utiliza um sistema alfanumérico

composto por 2 letras e 4 algarismos, que permitem uma infinidade de combinações(placas diferentes), para calcularmos o numero de placas possíveis podemos utilizar ocalculo por arranjos (que neste caso e complexo) ou utilizarmos uma técnica derivadada “Teoria Geral da Probabilidade”, segundo a qual o “numero de possibilidades entreduas variáveis (ou mais) e o produto destas mesmas variáveis.

A B - 1 2 3 4

26 . 26 10. 10. 10. 10

676 x 10.000

6.760.000 placas diferentes

Exercício:

Calcule o numero de placas diferentes que podem ser formadas com 3 letras e quatroalgarismos (sistema que esta sendo adotado no Brasil a partir de 1991).

ex: F A M




E3 7

PERMUTAÇÃO

Definição: seja um conjunto com “n” elementos distintos, ao total de grupos,agrupados n a n, denominados de permutação de n elementos.

Na permutação, um grupo difere do outro apenas pela mudança de “ordem” deseus elementos.

Na permutação, n=k.n

Pn = An = n ! = n! = n!

_____ ___(n-n) ! 0 !

Logo, Temos:

Pn = n ! onde n=k

Exemplo: Quantos números distintos de 5 algarismos podemos formar com oselementos do conjunto: A (1,2,3,4,5)

Exercícios: calcule as permutações:

1) Quantos números distintos de 8 elementos podemos formar com o conjuntoW= (1,2,3,4,5,6,7,8)?

2) De quantas maneiras 5 pessoas podem ficar em fila indiana?




E3 8

COMBINAÇÃO Definição: seja M um conjunto com m elementos, isto e, M= (A,A,A....A)denominamos de combinação de m elementos, tomados r a r, aos conjuntos de Mconstituídos de r elementos na combinação, os agrupamentos diferem entre si“unicamente” pela natureza de seus elementos.

É dada por:k

Cn = n !

____________

K ! (n-k)!

Exemplo:

Quantos agrupamentos com 2 elementos podemos formar com o conjunto Q=(A,M,N)?

.

EXERCÍCIOS

1) Quantos números distintos de 6 algarismos podemos formar com os elementos doconjunto A=(1,2,3,4,5,6,7,8,9) ?

2) Quantos números distintos de 6 algarismos podemos formar com os lelementos doconjunto F=(1,2,3,5,6,7) ?

3) Quantos números distintos de 6algarismos podemos formar com os elementos doconjunto B=(0,1,2,3,4,5,6)?

4) Quantos números distintos de 4 algarismos podemos formar com os elementos do

conjunto G=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) ?

5) De quantas formas podemos formar uma fila indiana com turistas, sendo 2Portugueses, 3 Americanos, 1 Francês e 1 Russo ?




E3 9

6) De quantas maneiras 3 homens e 3 mulheres podem se sentar ao redor de uma mesaredonda ?

7) Seis cavalos disputam o páreo no jóquei clube. Qual o número de resultados possíveis

nas seguintes condições:a)Para os seis proimeiros colocados;b)Para os três primeiros colocados;c)Para os dois primeiros colocados.

8) A uma festa, compareceram oito pessoas (5 mulheres e 3 homens), quantos casaishetero-sexuais podemos formar ?

9) Vinte carros disputam o Grande Prêmio de Fórmula I; Quantos resultados diferentespodemos ter nas três primeiras colocações ?

10)Uma jovem tem 5 saias e 8 blusas. Qauntos dias poderá sair sem repetir a mesmaroupa?

11)Um executivo tem 3 ternos, 6 camisas, 12 gravatas. Quantos dias poderá sair semrepetir a mesma indulmentária ?

12)A diretoria da empresa w concorrem 3 candidatos a presidência e 5 a vice-presidência.Quantas chapas diferentes poddem ser formadas ?

13)Uma prova de estatística tem 15 questões, e o aluno deve escolher 10 para resolver.De quantas formas diferentes o aluno pode escolher ?

14)Quantos automóveis podem licenciados na Alemanha, cujo sistema de placas écomposto por 3 letras e 3 algarismos ?

15)Para irmos de uma cidade “A” para “B”, dispomos de 3 caminhos; parsa irmos dacidade “B”para “C”, dispomos de 4 caminhos; de quantas formas podemos viajar de “A”para “C”, passando por “B” ?

16)Uma pessoa tem 5 moedas (De valores diferentes entre si). quantas somas diferentespodem ser efetuadas ?




E3 10

17)Vinte e quatro equipes disputam a Copa do Mundo. quais as possibilidades diferentespara Campeão e Vice ?

18)Dispomos de 10 pessoas para formar uma comissão de negociação salarial naempresa. quantas chapas diferentes podemos formar com 3 membros cada ?

19)Uma urna contém 5 bolas pretas e 3 bolas brancas. De quantas maneiras podemosretirar 3 bolas simultaneamente, sendo 2 bolas brancas e 1 bola preta ?

20)Uma classe tem 18 alunas e 5 delas tem olhos azuis. quantos grupos diferentes de 4pessoas podemos formar, sendo que cada grupo deve ter 1 aluna de olho azul ?

21)De quantas maneiras podem sentar-se em uma fila de 12 carreiras, 5 brasileiros, 4americanos e 3 alemãs, de forma quew os de mesma nacionalidade fiquem juntos ?

22)Temos 7 cadeiras numeradas de 1 a 7 e desejamos escolher 4 lugares. De quantas

formas isso pode ser feito ?




E3 11

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

Variáveis Aleatórias

A variável aleatória é uma função com valores discretos, cujo valor édeterminado por fatores de chance.Podem ser discretas ou contínuas.Variável Aleatória Discreta : é considerada discreta se tem valores quepodem ser contados.Variável Aleatória Contínua : quando pode assumir qualquer valor de

determinado intervalo.

EXEMPLO:Um Empreiteiro fez as seguintes estimativas :

Prazo de execução Probabilidade

10 dias 0,315 dias 0,222 dias 0,5

SOMA = 1,0

• prazo para a execução da obra é :

0,3(10) + 0,2(15) + 0,5 (22) = 17 dias




E3 12

Distribuição de Probabilidades

Uma distribuição de probabilidades é uma distribuição de frequênciasrelativas para os resultados de um espaço amostral ; mostra a proporção devezes em que a variável aleatória tende a assumir cada um dos diversosvalores.

Exemplo:Número de acidentes no estacionamento de um Shoping

Número de Acidentes Frequência0 21 52 23 1

2

Soma = 30

Em um dia , a probabilidade de :

a) Não ocorrer acidentes é:22

P = _______= 0,7330

b) Ocorrer 1 acidente é:

5

P = ______ = 0,1730




E3 13

c) Ocorrer 2 acidentes é:2

P = _______ = 0,0730

d) Ocorrer 3 acidentes é :

1P = ______= 0,03

30

Logo....

Tabela de Distribuição de Probabilidades

Número de Acidentes Probabilidade0 0,731 0,172 0,073 0,03

Soma = l,00

PROBABILIDADE

Introdução Histórica

As técnicas de cálculo de probabilidades surgiu ainda no século XVI, pôrincrível que possa parecer, surgiu em decorrência dos jogos de azar (dados,roleta, cartas, etc...).




E3 14

Seus precursores foram Cardano e Galileu Galilei no século XVI e Fermat ePascal no século XVII, Laplace, Bernouille, Leibnitz. no século XVIII.Como curiosidade vale mencionar que Cardano (Matemático que viveu noséculo XVI) era “viciado”em jogos de azar (de onde tirava o seu sustento) ,

editou no século XVI a obra “Livro dos Jogos de Azar”, onde ensinavatécnicas matemáticas aplicadas á jogos e inclusive ensinava a trapacear.Atualmente, alem dos jogos, a probabilidade tem ampla aplicação emmedicina, genética, agricultura, engenharia, administração, etc...

DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE

As probabilidades são utilizadas para exprimir as chances de ocorrência de um determinado evento.

Experimento Aleatório

Em qualquer situação, nos deparamos com o äcaso”. Assim, como exemplo,tomemos um jogo de futebol entre Corinthians e Palmeiras ( onde oCorinthians é favorito) , pode ocorrer:

a) Que o Corinthians ganheb) Que (apesar do favoritismo) o Corinthians perca. c) Que ocorra empate.

Logo;




E3 15

Experimento Aleatório são aqueles que, mesmo repetidos nas mesmascondições diversas vezes, apresentam resultados imprevisíveis.

Espaço Amostral (S)

É o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório.

Exemplo:Jogando um dado, podemos ter 6 resultados (1,2,3,4,5,6) , logo

S = ( 1,2,3,4,5,6)

Jogando uma moeda temos

S = (cara, coroa)

EVENTOS ( E )

Em um experimento aleatório, chamamos de evento ( E ) , a qualquer sub-conjunto do espaço amostral ( S ).

Exemplo : Ao jogarmos um dado, quais as hipóteses de ocorrer resultadopar.

E = ( 2,4,6 )

PROBABILIDADE ( P )




E3 16

A probabilidade P ( E ) de ocorrência de um evento E, é a razão entre onúmero de casos favoráveis ao evento E e o número total de possibilidades

do espaço amostral S.

E_______

P ( E ) = S

Se quisermos a probabilidade expressa em porcentagem, bastamultiplicarmos o resultado por 100

E_______ x 100

P ( E ) = S

Exemplo:

Ao jogarmos uma moeda, consideremos o evento E (obter cara);

S = ( cara, coroa ) = 2E = ( coroa ) = 1

1P(E) = ______ = 0,5 x 100 = 50%

2

Exemplo 2 -

Ao jogarmos um dado ( com 6 faces ) não viciado , temos :

a-) Possibilidade de ocorrer o evento face ímpar




E3 17

S = ( 1,2,3,4,5,6 ) = 6E = ( 1, 2, 3 ) = 3

3 1P (E) = _______ = ________ = 0,5 x 100 = 50%6 2

REGRAS DE CÁLCULO DAS PROBABILIDADES

1 - ) 0 ≤ P (E) ≤ 1 A probabilidade de ocorrer um evento deve sermaior ou igual a zero e menor ou igual a hum.

2 -) P ( E ) = 1 A probabilidade de um evento certo é igual a 1.

3 - ) P ( ∅ ) = 0 A probabilidade de um evento impossível é igual azero

EXERCÍCIOS

1-) Qual a probabilidade de se tirar um ás de ouro ao tirarmos 1 carta de umbaralho de 52 cartas ?

2-) Qual a probabilidade de se tirar um valete ao tirarmos uma carta de umbaralho de 52 cartas ?

3-) Em um lote de 10 peças , 4 são defeituosas ; sendo retirada 1 peçaaleatóriamente , analise :

a) De esta peça ser defeituosab) De esta peça não ser defeituosa




E3 18

4-) Em uma roleta (com 37 posições numeradas de 1 a 37), qual é aprobabilidade de a bola cair em um número:

a) ímparb) maior que 28 c) menor que 10

5-) Num grupo de pessoas. 32 tem sangue tipo A, 46 tem sangue tipo B, 25tem sangue tipo AB e 5 tem sangue tipo ºQual é a probabilidade de que umapessoa escolhida ao acaso tenha sangue do tipo AB?

6 - ) Segundo o serviço metereológico, , há 35% de chances de não choverem um determinado dia.Determine a probabilidade de que chova neste dia.

EVENTOS COMPLEMENTARES

Um evento pode ocorrer ou não. Sendo P a probabilidade de que ele ocorra eq a probabilidade de que ele não ocorra, para o mesmo evento, existe arelação:

p + q = 1 ⇒ q = 1 − p

Exemplo:




E3 19

A probabilidade de tirar um 6 no lançamento de um dado é 1 / 6 , logo aprobabilidade de que não ocorra o 6 é :

1 5q = 1 − ___ = _____

6 6

EVENTOS INDEPENDENTES

Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não

realização de um dos eventos não afeta a realização do outro.Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que se realizemsimultâneamente é igual ao produto das probabilidades de realização de cadaum.

P = P1 x P2

Exemplo :Lançamos dois dados :A probabilidade de que ocorra 3 no 1.o dado é :

1P 1 = _______

6

A probabilidade de que ocorra 5 no segundo dado é:

1P 2 = ________

6

Logo, a probabilidade de obtermos , simultâneamente 3 e 5 ao jogarmos osdois dados é :




E3 20

1 1 1

P = ________ x _______ = _______6 6 36

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

Dizemos que dois eventos são mutuamente exclusivos quando a realização

de um exclui a realização do outro.Se dois eventos são mutuamente exclusivos,, a probabilidade de que um ououtro se realize é igual soma das probabilidades de cada um deles.

P = P1 + P2

Exemplo :

Ao lançarmos um dado , a probabilidade de se tirar 1 ou 6 é:

1 1 2 1P = ______ + ________ = _______ = _____

6 6 6 3

EXERCÍCIOS

1 - ) De dois baralhos de 52 cartas, retiram-se, simultâneamente 1 carta decada. Qual a probabilidade de que a carta do primeiro baralho seja um valetee a carta do segundo baralho seja um ás de ouro.

2 - ) No lançamento de um dado , qual a probabilidade de se obter umnúmero não superior a 2 ?




E3 21

3 - ) Um casal planeja ter 3 filhos,qual a probabilidade de nascerem :

a -) 3 mulheres

b -) 2 mulheres e 1 homem4 - ) Numa classe de 60 alunos, apenas 12 foram reprovados. Escolhendo 3alunos ao acaso, qual a probabilidade de os tres terem sido aprovados.

5 - ) João tem dois automóveis. Nos dias frios, há 20% de probabilidade deum deles não pegar, e 30% de o outro carro não pegar.a) Qual a probabilidade de nenhum deles pegarb) Qual a probabilidade de apenas 1 pegar.

6 - )Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 bolas pretas ; outra urna contem 2bolas brancas, 6 bolas pretas e 3 bolas azuis.Extrai-se uma bola de cada uma. Qual a probabilidade de que sejam damesma cor ?

A DISTRIBUIÇÃO NORMAL ( CURVA DE GAUS )

Entre as várias distribuições (binomial, Poisson, Normal, etc...)a normal édas mais importantes, pois se adapta a análise da maioria dos problemassócio-econômicos.A maioria das distribuições corresponde a curva normal ou dela seaproximam.

Características da curva normal

É simétrica em relação a média aritmética A média aritmética é igual a mediana e a moda.




E3 22

É assíntota em relação ao eixo “x”

A área delimitada pela curva da função e o eixo do “x”é igual a 1 .

A principal aplicação da curva normal é calcular a área de um sub-conjunto

( X < Z < X1 )

Como o cálculo da área delimitada é complexo, exigindo o uso de integrais,usaremos uma técnica alternativa, que inclui o cálculo do coeficiente “Z “, eo uso de uma tabela para calcular a sub-área, simplificando os cálculosmatemáticos , que denominaremos distriobuição Normal Reduzida, onde :

__X − X

Z = ____________S

As probabilidades associadas á curva normal padrão é encontrada em umatabela ( anexa)

Exemplo :Uma distribuição tem média aritmética igual a 2 e desvio padrãoigual a 0,04 , queremos calcular o valor de Z = 2,05

P ( 2 < Z < 2,05)

__ X − X 2,05 - 2 0,05Z = ____________ = _________ = ______ = 1,25

S 0,04 0,04




E3 23

Decompomos o resultado 1,25 em 1,2 e 5 , e localizamos na tabela,a intersecção de 5 na horizontal e 1,2 na vertical , e achamos 0,3944

logo:

P ( 2<

Z<

2,05) = 0,3944

logo a área da figura hachurada corresponde á 0,3944 ou multiplicando por100, achamos a porcentagem :

0,3944 x 100 = 39,44 %

EXEMPLO:

OS SALÁRIOS MENSAIS DE UM GRUPO DE OPERÁRIOS DE UMGRUPO DE TRABALHADORES SUBMARINOS DA PETROBRASSÃO DISTRIBUIDOS NORMALMENTE EM TORNO DA MÉDIA DEr$ 2.000,00 , COM DESVIO PADRÃO DE R$ 160,00.QUAL É APROBABILIDADE DE UM OPERÁRIO TER SALÁRIO MENSALENTRE R$1960,00 E R$ 2.080,00 ?

1960,00 - 2000,00 2080,00 - 2000,00Z1 = _________________ Z2 = __________________

160,00 160,00

Z1 = 0,25 Z2 = 0,5

Procurando na tabela achamos os correspondentes entre Z1 e Z2

0,0987 e 0,1915

somando os dois valores temos 0,2902 ou x 100 = 29,02 %




E3 24

EXERCÍCIOS :

1 - ) Suponha que a renda média em uma empresa seja de R$ 1.000,00 e odesvio padrão de R$ 200,00. Qual a porcentgem de funcionários que temrenda entre R$700,00 e R$ 1.350,00, supondo-se uma distribuição normal .

2 - ) O Pêso médio de 150 estudantes é de 68 KG, com desvio padrão de6,8 KG. Supondo os pêsos distribuidos normalmente , determine:

a - Quantos estudantes pesarão entre 68kg e 80 kg..

b - Quantos estudantes pesarão entre 50 kg e 75 kg .

3 - ) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelasproduzidas por uma determinada máquina é 0,502 polegadas e o desviopadrão é 0,005 polegadas. A finalidade para as quais as arruelas sãoproduzidas permite uma tolerância de (erro) máximo para o diâmetro de0,006 polegadas , caso contrário, as arruelas serão defeituosas.Determine a porcentagem de arruelas defeituosas produzidas por esta

máquina, supondo uma distribuição normal.

4 - ) Um restaurante atende no almoço uma clientela com distribuiçãonormal; com média de 250 e desvio de 20 por dia. Determine ;

a) Qual a probabilidade de aparecerem entre 225 e 275 clientes num dia.b) Qual a probabilidade de haver pelo menos 200 clientes num dia.




E3 25

5 - ) Constatou-se que o tempo médio para se fazer uma prova de Estatísticaé de 80 minutos e o desvio médio de 15 minutos, com distribuição normal;determine:

a- ) Que porcentagem de alunos levará menos de 80 minutos para fazer aprova.b- ) Que porcentagem de alunos levará mais de 80 minutos para fazer a

prova.

6 - ) Um componente eletrônico tem, duração média de 850 dias e desviopadrão de 40 dias. Supondo que a duração é normalmente distribuida,calcule a probabilidade deste componente durar :

a - Entre 700 e 1.000 diasb - Mais de 800 diasc - Menos de 850 dias

As probabilidades associadas á curva normal padrão é encontrada em umatabela ( anexa)

Exemplo :Uma distribuição tem média aritmética igual a 2 e desvio padrãoigual a 0,04 , queremos calcular o valor de Z = 2,05

P ( 2 < Z < 2,05)__




E3 26

____

X − X 2,05 - 2 0,05Z = ____________ = _________ = ______ = 1,25

S 0,04 0,04

Decompomos o resultado 1,25 em 1,2 e 5 , e localizamos na tabela,a intersecção de 5 na horizontal e 1,2 na vertical , e achamos 0,3944

logo:P ( 2 < Z < 2,05) = 0,3944




E3 27

logo a área da figura hachurada corresponde á 0,3944 ou multiplicando por100, achamos a porcentagem :

0,3944 x 100 = 39,44 %

EXEMPLO:

OS SALÁRIOS MENSAIS DE UM GRUPO DE OPERÁRIOS DE UMGRUPO DE TRABALHADORES SUBMARINOS DA PETROBRASSÃO DISTRIBUIDOS NORMALMENTE EM TORNO DA MÉDIA DEr$ 2.000,00 , COM DESVIO PADRÃO DE R$ 160,00.QUAL É A

PROBABILIDADE DE UM OPERÁRIO TER SALÁRIO MENSALENTRE R$1960,00 E R$ 2.080,00 ?

1960,00 - 2000,00 2080,00 - 2000,00Z1 = _________________ Z2 = __________________

160,00 160,00

Z1 = 0,25 Z2 = 0,5

Procurando na tabela achamos os correspondentes entre Z1 e Z2

0,0987 e 0,1915

somando os dois valores temos 0,2902 ou x 100 = 29,02 %

EXERCÍCIOS :




E3 28

1 - ) Suponha que a renda média em uma empresa seja de R$ 1.000,00 e odesvio padrão de R$ 200,00. Qual a porcentgem de funcionários que temrenda entre R$700,00 e R$ 1.350,00, supondo-se uma distribuição normal .

2 - ) O Pêso médio de 150 estudantes é de 68 KG, com desvio padrão de6,8 KG. Supondo os pêsos distribuidos normalmente , determine:

a - Quantos estudantes pesarão entre 68kg e 80 kg..b - Quantos estudantes pesarão entre 50 kg e 75 kg .

3 - ) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas

produzidas por uma determinada máquina é 0,502 polegadas e o desviopadrão é 0,005 polegadas. A finalidade para as quais as arruelas sãoproduzidas permite uma tolerância de (erro) máximo para o diâmetro de0,006 polegadas , caso contrário, as arruelas serão defeituosas.Determine a porcentagem de arruelas defeituosas produzidas por estamáquina, supondo uma distribuição normal.

4 - ) Um restaurante atende no almoço uma clientela com distribuiçãonormal; com média de 250 e desvio de 20 por dia. Determine ;

a) Qual a probabilidade de aparecerem entre 225 e 275 clientes num dia.b) Qual a probabilidade de haver pelo menos 200 clientes num dia.




E3 29

5 - ) Constatou-se que o tempo médio para se fazer uma prova de Estatísticaé de 80 minutos e o desvio médio de 15 minutos, com distribuição normal;determine:

a- ) Que porcentagem de alunos levará menos de 80 minutos para fazer aprova.b- ) Que porcentagem de alunos levará mais de 80 minutos para fazer a

prova.6 - ) Um componente eletrônico tem, duração média de 850 dias e desviopadrão de 40 dias. Supondo que a duração é normalmente distribuida,calcule a probabilidade deste componente durar :

a - Entre 700 e 1.000 diasb - Mais de 800 dias

c - Menos de 850 dias




E3 30


analise combinatoria

Documents