UNIVERSIDADE UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE ESTADUAL VALE

DO ACARAÚDO ACARAÚ

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DO ACARAÚDO ACARAÚ

História da MatemáticaHistória da Matemática

Análise CombinatóriaAnálise CombinatóriaAluno: Geneflides Torres Aluno: Geneflides Torres

CoelhoCoelho

Professora: Luzia Professora: Luzia HipólitoHipólitoUruburetama Uruburetama

Março / 2008Março / 2008

Apresentação

O trabalho que apresentarei irá obordar o estudo da História

da Analise Combinatória como um importante ramo da

Matemática, desde os tempos antigos, até os dias atuais.

ObjetivoMostrar a evolução do processo de

contagem, através do estudo da Analise Combinatória,

ressaltando:O conceito;

O surgimento;Os principais matemáticos;

As partes da Analise Combinatória; E exemplos práticos no cotidiano

ConceitoRamo da Matemática que

estuda COLEÇÕES FINITAS de objetos que satisfaça certos CRITÉRIOS ESPECÍFICOS, e se preocupa em particular, com

a CONTAGEM.

Como surgiu a Analise

Combinatória?Da necessidade que os homens tiveram em

calcular maneiras seguras de ganharem em certos jogos de azar.

Tais como: Baralho, Dados e Moedas

Grande precursor Arquimedes

Século III a.C Jogo Stomachion

Objetivo Saber de quantas formas suas partes menores poderiam formam o mesmo

quadrado? Resposta = 17152 vezes

Outra descoberta Que o quociente entre a

área de cada peça e a área do quadrado total é um número racional

Estudiosos do Stomachion

Historiador: Reviel NetzAmigos: Persi Diaconis,

Susan Holmes, Ronald Grahan e Fan Chung

• Resposta confirmada: 17152

vezes

•Tempo:6 semanas

Outros Matemáticos

que contribuirão

para a evolução do estudo da

Analise Combinatória

Niccollo FontanaItalianoNasceu em

1499Morreu em

1557Conhecido

como Tartaglia = Gago

Pierre de FermatFrancês Nasceu em

1601Morreu em 1665Fundou a teoria

matemática das probabilidades, com base na Analise Combinatória.

Blaise PascalFrancês Nasceu em 1623Morreu em 1662Inventou a

Calculadora Criou o "Triângulo

aritmético",ou triangulo de Pascal, publicado em 1654, usando diversas propriedades do triângulo e aplicando-as no estudo das probabilidades.

Percy Alexander MacMahon

InglêsNasceu em 1854Morreu em1929O assunto ganhou

notoriedade após a publicação de dois trabalhos sobre “Analise Combinatória” um em 1915 e o outro no ano seguinte.

Gian Carlo Rota

• Italiano• Nasceu em 1932• Morreu em 1999• Na década de

1960 ajudou a formalizar o assunto da Analise Combinatória

Paul Erdos•Húngaro•Nasceu 1913•Morreu 1996• Os problemas que

mais o atraiam eram problemas de análise combinatória, teoria dos grafos e teoria dos números

Parte da Analise

Combinatória

Combinatória Enumerativa

•Se preocupa em particular,

com a contagem de

objetos em coleções

especificas

Combinatória Extrema

•Se preocupa em particular, com a decisão

se certo objeto ótimo

existe

Combinatória Algébrica

•Se preocupa em particular,

com as estruturas

algébricas que esses objetos possam ter

Exemplos práticos de

Analise Combinatóri

a

Caso você resolva sair p/ uma festa e precise escolher que

roupa usar, você separa duas calças e três camisas, que considera próprias para

a ocasião. De quantas maneiras diferentes você

consegue se vestir?Quantos conjuntos você pode formar?

1º Ex: Saída para uma festa

Como temos: 2 cal. e 3 Cam.

• Cada calça forma 3 conjuntos, uma com cada camisa, como são duas calças temos:

2x3=6 conjuntos

• Se você se dispõe de 2 pares de sapatos, o número ainda vai ficar multiplicado por 2.2 calças x 3 camisas x 2

pares de sapatos.2x3x2=12 maneiras de se

vestir

– Imagine um saque num caixa eletrônico, no valor de R$ 100,00. De quantas formas diferentes a maquina pode efetuar o pagamento, admitindo que só existam notas de R$ 5,00 e R$ 10,00

2º Ex: No Caixa eletrônico

Casos R$ 10 R$ 5,00

1º 1 18

2º 2 16 3º 3 14 4º 4 12 5º 5 10

° ° ° ° ° ° ° ° ° 10º 10 Ñ 11º Ñ 20

A importância da ordem

• Vamos fazer dois sorteios, 1º de um carro e depois de uma bicicleta, entre 10 pessoas.

10 possíveis ganhadores p/ o carro9 possíveis ganhadores p/ a bicicleta

Como são prêmios distintos, temos:

10x9=90 possíveis duplas de ganhadores

OBS: Neste caso a ordem importa e chamamos de Arranjos.

Quando a ordem não importa

• Se o sorteio fosse de dois carros.

Teríamos:

10x9=45 possíveis duplas de ganhadores

2

3º Ex: No Ônibus • Num ônibus, ficaram vagos 5 lugares

e há 7 pessoas em pé, entre elas uma gestante. Por educação, um dos lugares vagos foi cedido à senhora gestante. De quantas maneiras diferentes os outros passageiros podem ocupar os demais lugares vagos, ficando, obviamente, 2 em pé?

• Neste caso a ordem importa, então teremos:

6x 5x 4x 3=360 maneiras

Usando a Formula do Arranjo:

A6,4 => Arranjos de 6 pessoas em grupo de 4.

Temos:A 6,4 = 6! => 6x5x4x3x2! =360

(6-4)! 2!

Formula: An,k = n! .(n-k)!

•E se for 5 pessoas em 5 lugares?

Temos:5x4x3x2x1 = 5! = 120 maneiras

Obs: Arranjos como esse são chamados de Permutação

Ex: Combinação•O setor de emergência de

um hospital conta, para plantões noturnos, com 3 pediatras, 4 Clínicos gerais e 5 enfermeiros. As equipes de plantão deverão ser constituídas por 1 pediatra, 1 clínico geral e 2 enfermeiros.

C5,2 = 5x4 = 5x4 = 20 = 10 duplas

a) Quantos pares distintos de enfermeiros podem ser formados;

C5,2 => Combinação de 5 enfermeiros em grupos de 2.

P2 2!

b) Quantos equipes de plantão distintas podem ser formadas.

Temos: 3 pediatras, 4 clínicos e 5 enfermeiros.Cada equipe deve ter: 1 pediatra, 1 clínico e 2 enfermeiros

R= 3x4xC5,2 =3x4x10 = 120 equipes

2

Obs: As combinações são os Arranjos descontando as permutações. E as combinações a ordem não importa.

FIM