analise matematica i ana sa

Indice

1 Nocoes Topologicas, Inducao Matematica e Sucessoes 1

1.1 Nocoes topologicas em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Inducao matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Sucessoes de numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Funcoes Reais de Variavel Real: Limites e Continuidade 13

2.1 Generalidades sobre funcoes reais de variavel real . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Limites. Limites relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Continuidade: propriedades das funcoes contnuas. Teorema de Bolzano . . 23

2.4 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Funcoes Reais de Variavel Real: Calculo Diferencial 37

3.1 Derivadas. Regras de derivacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. . . . . . . . 46

3.3 Indeterminacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5 Aplicacoes da formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Funcoes Reais de Variavel Real: Primitivacao 67

4.1 Primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Primitivacao por partes e por substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3 Primitivacao de funcoes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4 Primitivacao de funcoes algebricas irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.5 Primitivacao de funcoes transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5 Funcoes Reais de Variavel Real: Calculo Integral 95

5.1 Integral de Riemann: Definicao e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2 Classes de funcoes integraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.3 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4 Areas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.5 Integrais improprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

ii INDICE

6 Exerccios 1396.1 Funcoes Trigonometricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.2 Nocoes Topologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.3 Inducao Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.4 Sucessoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.6 Continuidade Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.7 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy . . . . . . . . . 1576.8 Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.9 Estudo de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.10 Primitivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.11 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.12 Calculo de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.13 Integrais Improprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Captulo 1

Nocoes Topologicas, InducaoMatematica e Sucessoes

1.1 Nocoes topologicas em RDefinicao 1.1.1 Sejam a R, > 0. Chama-se vizinhanca de a ao conjunto V(a) =]a , a+ [.

Definicao 1.1.2 Sejam a R e A um conjunto de numeros reais. Diz-se que a e inte-rior a A se existir uma vizinhanca de a contida em A. Diz-se que a e fronteiro a A setoda a vizinhanca de a intersecta A e R \A. Diz-se que a e exterior a A se existir umavizinhanca de a contida em R \ A.

NOTA: Um ponto e exterior a A se, e so se, e interior a R \ A.Definicao 1.1.3 O conjunto dos pontos interiores a A chama-se interior de A e repre-senta-se por int(A). O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A erepresenta-se por ext(A). O conjunto dos pontos fronteiros a A chama-se fronteira deA e representa-se por fr(A).

NOTA: Qualquer que seja A R tem-se: int(A) ext(A) = , int(A) fr(A) = ,fr(A) ext(A) = e int(A) fr(A) ext(A) = R.

EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. Entao int(A) =int(B) = int(C) = int(D) =]0, 1[, fr(A) = fr(B) = fr(C) = fr(D) = {0, 1}, ext(A) =ext(B) = ext(C) = ext(D) =], 0[]1,+[.

EXEMPLO 2: Seja A =

{1

n, n N

}. Entao int(A) = , ext(A) = R \ (A {0}) e

fr(A) = A {0}.

EXEMPLO 3: Seja A = Q. Entao int(A) = ext(A) = , fr(A) = R.

2 1. Nocoes Topologicas, Inducao Matematica e Sucessoes

Definicao 1.1.4 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A e aberto se A = int(A).

Definicao 1.1.5 Seja A um subconjunto de R. Chama-se fecho ou aderencia de A aoconjunto A = A fr(A). Diz-se que x e aderente a A se x A. A diz-se fechado seA = A.

NOTAS:

1. Das definicoes, conclui-se facilmente que A = int(A) fr(A).

2. A e fechado se, e so se, fr(A) A.

3. A e fechado se, e so se, R \ A e aberto, isto e, R \ A = int(R \ A) = ext(A).

EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. B e fechado, D eaberto, A e C nao sao fechados nem abertos.

EXEMPLO 2: A =

{1

n, n N

}nao e fechado nem aberto (note que fr(A) = A {0}).

EXEMPLO 3: A =

{1

n, n N

} {0} e fechado.

Definicao 1.1.6 Sejam a R e A um subconjunto de R. Diz-se que a e ponto deacumulacao de A se toda a vizinhanca de a intersecta A \ {a}. Ao conjunto dos pontosde acumulacao de A chama-se derivado de A. Diz-se que a e ponto isolado de A sea A e existe uma vizinhanca de a que nao intersecta A \ {a}.

EXEMPLO 1: Seja A =

{1

n, n N

}. 0 e ponto de acumulacao de A. Todos os pontos

de A sao isolados.

EXEMPLO 2: Seja A = [0, 1[{2}. O conjunto dos pontos de acumulacao de A e [0, 1].2 e ponto isolado de A.

NOTA: Se a int(A), entao a e ponto de acumulacao de A.

Definicao 1.1.7 Sejam x R e A um subconjunto de R. Diz-se que x e majorante deA se x a, a A. Diz-se que x e minorante de A se x a, a A.

Definicao 1.1.8 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A e majorado se admitirmajorantes. Diz-se que A e minorado se admitir minorantes. Se A for majorado eminorado, diz-se que A e limitado.

1.1 Nocoes topologicas em R 3

EXEMPLO 1: A = {x R : x2 < 1} e limitado.

EXEMPLO 2: ], 1[ e majorado.

EXEMPLO 3: [1,+[ e minorado.

EXEMPLO 4: A = {x R : |x| > 1} nao e majorado nem minorado.

Teorema 1.1.1 A e limitado se, e so se, M > 0, |x| M, x A.

Demonstracao: Se A for limitado, sejam um minorante de A e um majorante de A; seM for o maior dos dois numeros || e ||, entao |x| M, x A (se = = 0, toma-seM > 0, qualquer).Reciprocamente, se M > 0, |x| M, x A, isto e, M x M, x A, entao Me majorante de A e M e minorante de A.

Definicao 1.1.9 Seja A um subconjunto majorado de R. Diz-se que e o supremo deA se for majorante de A e for menor que todos os outros majorantes de A (isto e, se for o menor dos majorantes de A); representa-se por = sup(A). Se , supremo de A,pertencer a A, diz-se que e o maximo de A; neste caso, representa-se por = max(A).

Definicao 1.1.10 Seja A um subconjunto minorado de R. Diz-se que e o nfimo deA se for minorante de A e for maior que todos os outros minorantes de A (isto e, se for o maior dos minorantes de A); representa-se por = inf(A). Se , nfimo de A,pertencer a A, diz-se que e o mnimo de A; neste caso, representa-se por = min(A).

EXEMPLO 1: Seja A = {x R : x2 < 1}. Entao inf(A) = 1 e sup(A) = 1. A nao temmaximo nem mnimo.

EXEMPLO 2: Seja A =] 1, 1]. Entao inf(A) = 1 e sup(A) = max(A) = 1.

EXEMPLO 3: sup(], 1[) = 1. Nao existe nfimo deste conjunto.

Teorema 1.1.2 Em R, todo o conjunto majorado tem supremo e todo o conjunto mino-rado tem nfimo.

Nao daremos aqui a demonstracao do Teorema. Isso levar-nos-ia a um estudo maisprofundo do conjunto dos numeros reais, que nao esta nos propositos deste curso.

Teorema 1.1.3 Seja A um subconjunto de R. Entao = sup(A) se, e so se, e majo-rante de A e > 0, x A : x > . Analogamente, = inf(A) se, e so se, eminorante de A e > 0, x A : x < + .


Demonstracao: Demonstraremos a propriedade para o supremo. Para o nfimo proceder--se-ia de modo analogo.

Vamos primeiro demonstrar que se = sup(A) entao e majorante de A e > 0, x A : x > . Fa-lo-emos pela contra-recproca, isto e, negando atese chegaremos a` negacao da hipotese (trata-se da bem conhecida proposicao da logicaformal A B equivalente a B A). Se nao for majorante de A, nao e o supre-mo de A (definicao de supremo) e o problema fica resolvido. Se > 0, x A, x ,entao nao e o supremo de A visto que e majorante de A e < .

Reciprocamente, vamos mostrar que se e majorante de A e > 0, x A : x >, entao = sup(A). Usamos, de novo, a contra-recproca. Se nao for o supremo deA, entao ou nao e majorante ou e majorante mas existe, pelo menos, outro majorante deA menor que . No ultimo caso, seja esse majorante. Entao, fazendo = (> 0)temos x A, x = , que e a negacao da hipotese.

1.2 Inducao matematica 5

1.2 Inducao matematica

Para demonstrar que certas propriedades sao validas no conjunto dos numeros natu-rais, N, usa-se o Princpio de Inducao Matematica que passamos a enunciar:

Uma propriedade e valida para todos os numeros naturais se:

1. A propriedade e valida para n = 1,

2. Para todo o n natural, se a propriedade e valida para n, entao ela e valida paran+ 1.

EXEMPLO 1:Vamos mostrar, usando o Princpio de Inducao Matematica, a formula dasoma de uma progressao geometrica:

se a 6= 1 entaon

p=1

ap = a1 an1 a , n N

1. Se n = 1, a formula e trivial: a = a1 = a1 a1 a .

2. Se admitirmos que a propriedade e valida para n, entao:

n+1p=1

ap =n

p=1

ap + an+1 = a1 an1 a + a

n+1 = a

(1 an1 a + a

n

)=

= a1 an + an an+1

1 a = a1 an+11 a

EXEMPLO 2: Usando o Princpio de Inducao Matematica, vamos demonstrar a seguinteigualdade (Binomio de Newton):

(a+ b)n =n

p=0

nCp anp bp, a, b R, n N

1) Se n = 1, a propriedade e valida: a+ b = 1C0 a+1C1 b.

2) Vamos agora admitir que a propriedade e valida para n; entao

(a+ b)n+1 = (a+ b) (a+ b)n = (a+ b)n

p=0

nCp anp bp =

=n

p=0

nCp an+1p bp +

np=0

nCp anp bp+1 =

(fazendo p+ 1 = s)

=n

p=0

nCp an+1p bp +

n+1s=1

nCs1 ans+1 bs =


(como s e variavel muda, podemos substitu-la por p)

=n

p=0

nCp an+1p bp +

n+1p=1

nCp1 anp+1 bp =

= an+1 +n

p=1

nCp an+1p bp + bn+1 +

np=1

nCp1 anp+1 bp =

= an+1 + bn+1 +n

p=1

( nCp +nCp1) an+1p bp =

= an+1 + bn+1 +n

p=1

n+1Cp an+1p bp =

=n+1p=0

n+1Cp an+1p bp

1.3 Sucessoes de numeros reais 7

1.3 Sucessoes de numeros reais

Definicao 1.3.1 Chama-se sucessao de numeros reais a toda a aplicacao de N em R. Oselementos do contradomnio chamam-se termos da sucessao. Ao contradomnio chama-seconjunto dos termos da sucessao.

NOTA: E usual designarem-se os termos da sucessao por un, em detrimento da notacaou(n), habitual para as aplicacoes em geral.

Definicao 1.3.2 A expressao designatoria que define a sucessao chama-se termo geralda sucessao.

EXEMPLO 1: un = n2

EXEMPLO 2: un = cos(n).

NOTA: Podem-se definir sucessoes sem explicitar o termo geral. E o caso da definicaopor recorrencia. Exemplo: u1 = 1, u2 = 2, un+2 = un+1 + un (sucessao dos numeros deFibonacci).

Por vezes dao-se apenas alguns termos da sucessao que induzem o leitor a inferir osrestantes. Exemplo: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, . . .

Definicao 1.3.3 Uma sucessao diz-se limitada superiormente se o conjunto dos seustermos for majorado; diz-se limitada inferiormente se o conjunto dos seus termos forminorado; diz-se limitada se o conjunto dos seus termos for limitado.

EXEMPLO 1: un = n2 e limitada inferiormente, mas nao superiormente.

EXEMPLO 2: un = n e limitada superiormente, mas nao inferiormente.

EXEMPLO 3: un = (n)n nao e limitada superiormente nem inferiormente.

EXEMPLO 4: un = cos(n) e limitada.

Definicao 1.3.4 Dadas duas sucessoes de numeros reais u e v, chama-se soma, dife-renca e produto de u e v a`s sucessoes u+v, uv e uv de termos gerais, respectivamente,un + vn, un vn e un vn. Se vn 6= 0, n N, chama-se sucessao quociente de u e v a`sucessao u/v de termo geral un/vn.

Definicao 1.3.5 Uma sucessao u diz-se crescente se un un+1, n N; diz-se estri-tamente crescente se un < un+1, n N; diz-se decrescente se un un+1, n N;diz-se estritamente decrescente se un > un+1, n N; diz-se monotona se for cres-cente ou decrescente; diz-se estritamente monotona se for estritamente crescente ouestritamente decrescente.


EXEMPLO 1: un = n2 e estritamente crescente.

EXEMPLO 2: un = n e estritamente decrescente.

EXEMPLO 3: un = (n)n nao e monotona.

Dadas duas sucessoes u e v, se v e uma sucessao de numeros naturais, a composicaou v ainda e uma sucessao, de termo geral uvn . Por exemplo, se u e a sucessao 1, 2, 1,3, 1, 4, . . . e vn = 2n 1, entao uvn = 1; se zn = 2n, entao uzn = n + 1; se sn = 4, entaousn = 3.

Definicao 1.3.6 Dadas duas sucessoes u e w, dizemos que w e subsucessao de u seexistir v, sucessao de numeros naturais, estritamente crescente, tal que w = u v.EXEMPLOS: Das sucessoes consideradas anteriormente, u v e u z sao subsucessoes deu, mas u s nao e subsucessao de u.

NOTAS:

1. Toda a subsucessao de uma sucessao limitada e limitada.

2. Uma sucessao pode nao ser limitada e ter subsucessoes limitadas. Exemplo:

un =

{n, se n par1

n, se n mpar

3. Toda a subsucessao de uma sucessao monotona e monotona.

Definicao 1.3.7 Diz-se que a sucessao u e um infinitamente grande (ou que tendepara +), e representa-se un +, se

L R+, p N : n > p un > L.Diz-se que u e um infinitamente grande em modulo se |un| +, isto e,

L R+, p N : n > p |un| > L.Diz-se que u tende para , e representa-se un , se

L R+, p N : n > p un < L.

EXEMPLO 1: un = n2 +.

EXEMPLO 2: un = n .

EXEMPLO 3: Seja un = (n)n. Entao |un| = nn +.


NOTAS:

1. Se u e tal que un +, un ou |un| + entao u e nao limitada. Arecproca nao e verdadeira. Por exemplo, a sucessao

un =

{n, se n par1

n, se n mpar

e nao limitada e un 6 +, un 6 , |un| 6 +2. O facto de un + nao implica que u seja crescente (nem que exista uma ordem

a partir da qual seja crescente). Exemplo: un = n+ (1)n.Das definicoes, conclui-se imediatamente que

Teorema 1.3.1 Sejam u e v sucessoes tais que, a partir de certa ordem, un vn. Entao,a) un + vn +,b) vn un .

Definicao 1.3.8 Sejam u uma sucessao e a R. Diz-se que u converge para a (outende para a ou, ainda, que o limite da sucessao e a), e representa-se un a, se

> 0 p N : n > p |un a| < .

EXEMPLO: un =1

n 0. De facto, seja > 0, qualquer; se tomarmos p = Int

(1

)(se

x R, chamamos parte inteira de x ao maior inteiro menor ou igual a x e representamo-lapor Int(x)) entao, para n > p tem-se

1

n 1p+ 1

< .

NOTAS:

1. Em linguagem de vizinhancas, a definicao e equivalente a:

> 0 p N : n > p un V(a).

2. Poderamos escrever ainda, de forma equivalente,

> 0 p N : |un a| < , n > p.

3. Consideremos o conjunto R = R{,+}, em que e + sao dois objectosmatematicos, nao reais e distintos um do outro. Podemos introduzir, neste conjunto,a relacao de ordem:i) se x, y R, x < y em R se, e so se, x < y em R.ii) < x < +, x R.


O conjunto R, com esta relacao de ordem, designa-se por recta acabada.Podemos estender a nocao de vizinhanca a R. Seja R, > 0. Se a R, chama--se vizinhanca de a ao conjunto V(a) =]a , a + [ (que coincide, pois, com avizinhanca em R). Chama-se vizinhanca de + ao conjunto V(+) =

]1,+].

Chama-se vizinhanca de ao conjunto V() =[,1

[.

Com as definicoes dadas atras, podemos unificar, do ponto de vista formal, as defi-nicoes 1.3.7 e 1.3.8:

xn a (a R) se, e so se, > 0 p N : n > p un V(a).

Definicao 1.3.9 Diz-se que a sucessao u e um infinitesimo se un 0.NOTA: E evidente, a partir das definicoes, que un a e equivalente a un a e uminfinitesimo.

Teorema 1.3.2 (Unicidade do limite) Se un a e un b entao a = b.Teorema 1.3.3 Se un 0 e v e uma sucessao limitada, entao un vn 0.Demonstracao: Seja M > 0 tal que |vn| M, n N. Dado > 0, qualquer, seja p N,tal que |un| < /M, n > p. Entao |un vn| < , n > p.Teorema 1.3.4 Toda a sucessao convergente e limitada.

NOTA: A recproca nao e verdadeira. Por exemplo, a sucessao un = cos(npi) e limitada,mas nao e convergente.

Teorema 1.3.5 (Teorema das sucessoes enquadradas) Se un a, vn a e, a partir decerta ordem, un wn vn, entao wn a.Demonstracao: Seja > 0, qualquer. Entao

p1 N : n > p1 a < un < a+ ,p2 N : n > p2 a < vn < a+ ,p3 N : n > p3 un wn vn.

Seja p = max{p1, p2, p3}. Se n > p, entaoa < un wn vn < a+ .

Teorema 1.3.6 Toda a subsucessao de uma sucessao convergente e convergente para omesmo limite.

Teorema 1.3.7 Sejam u e v duas sucessoes convergentes, un a, vn b. Entao u+ v,u v e uv sao convergentes e un + vn a + b, un vn a b e un vn a b. Sevn 6= 0, n N e b 6= 0, entao u/v e convergente e un/vn a/b.Teorema 1.3.8 Um conjunto X R e fechado se, e so se, todos os limites das sucessoesconvergentes, de elementos de X, pertencem a X.


Teorema 1.3.9 Toda a sucessao monotona limitada e convergente.

NOTA: A recproca nao e verdadeira, isto e, ha sucessoes nao monotonas que sao con-

vergentes. Exemplo: a sucessao un = (1)n 1n

converge para 0 e nao e monotona.

Teorema 1.3.10 Toda a sucessao limitada tem subsucessoes convergentes.

Definicao 1.3.10 Diz-se que a R e sublimite da sucessao u se existir uma subsucessaode u que converge para a.

EXEMPLO: 1 e 1 sao sublimites da sucessao un = (1)n + 1n.

NOTAS: Seja S o conjunto dos sublimites da sucessao u.

1. Pelo Teorema 1.3.10, se u e limitada, S 6= ;2. S pode ser vazio; exemplo: un = n;

3. Se u for convergente, S e um conjunto singular (isto e, so com um elemento).

4. S pode ser singular e u nao ser convergente; exemplo:

un =

{ 1n, se n par

n, se n mpar.

5. S pode ser um conjunto infinito; por exemplo, dada a sucessao

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

entao S = N.

Teorema 1.3.11 O conjunto dos sublimites de uma sucessao limitada tem maximo emnimo.

Definicao 1.3.11 Sejam u uma sucessao limitada e S o conjunto dos sublimites de u.Chama-se limite maximo ou limite superior de u ao maximo de S e representa-selim un = lim sup un = max(S). Chama-se limite mnimo ou limite inferior de uao mnimo de S e representa-se lim un = lim inf un = min(S). Se u nao for limitadasuperiormente, define-se lim un = +. Se u nao for limitada inferiormente, define-selim un = . Se un + define-se lim un = lim un = +. Se un define-selim un = lim un = .

Teorema 1.3.12 Uma sucessao limitada e convergente se, e so se, lim un = lim un.


Definicao 1.3.12 Uma sucessao u diz-se de Cauchy (ou fundamental) se

> 0 p N : m,n > p |un um| < .

EXEMPLO: un =1

ne sucessao de Cauchy. De facto, sejam m,n > p; entao

1n 1m

1

n+

1

m 0, qualquer; para concluir, basta tomarmos p >

2

.

NOTA: Na definicao de sucessao convergente, introduzimos um elemento externo a` su-cessao, o limite. A sucessao converge se, a partir de certa ordem, todos os elementos dasucessao estao perto do limite. Na definicao de sucessao de Cauchy apenas comparamosos elementos da sucessao uns com os outros. Dizemos que a sucessao e de Cauchy se, apartir de certa ordem, todos os elementos da sucessao estao perto uns dos outros.

Teorema 1.3.13 Uma sucessao real e convergente se, e so se, for de Cauchy.

NOTA: Este teorema permite-nos mostrar que uma sucessao e convergente sem ter quecalcular o seu limite. Consideremos a sucessao:

un = 1 +1

22+

1

32+ + 1

n2

Podemos tomar, sem perda de generalidade, n > m; entao

|un um| = 1(m+ 1)2

+1

(m+ 2)2+ + 1

n2 = 1

(m+ 1)2+

1

(m+ 2)2+ + 1

n2

1m(m+ 1)

+1

(m+ 1)(m+ 2)+ + 1

(n 1)n =

=

(1

m 1m+ 1

)+

(1

m+ 1 1m+ 2

)+

(1

n 1 1

n

)=

1

m 1n 1m

Se p >1

e n m > p, obtemos |un um| < pelo que a sucessao e de Cauchy, portanto

convergente.

Captulo 2

Funcoes Reais de Variavel Real:Limites e Continuidade

2.1 Generalidades sobre funcoes reais de variavel real

Definicao 2.1.1

a) Dados dois conjuntos A e B chama-se funcao definida em A com valores em B, atoda a correspondencia entre A e B que a cada elemento de A faca corresponder ume um so elemento de B. Ao conjunto A chama-se domnio da funcao.

b) Representa-se a funcao por y = f(x) em que x e a variavel independente e tomavalores em A (x A) e y e a variavel dependente, pois os seus valores dependemdos valores que toma a variavel x, que toma valores em B (y B).

c) A` expressao ou formula que traduz o modo como a variavel y depende da variavel xchama-se expressao analtica ou representacao analtica da funcao f .

d) Uma funcao f diz-se real de variavel real quando A R e B R.

Definicao 2.1.2 Seja f uma funcao real de variavel real.

a) Chama-se domnio de definicao ou de existencia de f ao conjunto dos valoresreais que tem imagem pela funcao f , isto e, ao conjunto dos numeros reais para osquais a expressao analtica de f esta bem definida.

b) Chama-se contradomnio de f ao conjunto dos valores reais que sao imagem pelafuncao f dos elementos do domnio.

Definicao 2.1.3 Dada uma funcao f : D R R, chama-se grafico da funcao f aoconjunto

{(x, y) : x D, y R, y = f(x)}.

14 2. Funcoes Reais de Variavel Real: Limites e Continuidade

Definicao 2.1.4 Uma funcao f : D R R diz-se:a) crescente se x < y = f(x) f(y).b) estritamente crescente se x < y = f(x) < f(y).c) decrescente se x < y = f(x) f(y).d) estritamente decrescente se x < y = f(x) > f(y).

Definicao 2.1.5 Uma funcao diz-se

a) monotona se e crescente ou decrescente.

b) estritamente monotona se e estritamente crescente ou estritamente decrescente.

Definicao 2.1.6 Uma funcao f : D R R diz-se:a) par se f(x) = f(x), x D.b) mpar se f(x) = f(x), x D.

Definicao 2.1.7 Sejam f : D R R e c D. Diz-se que f(c) e um maximo de fse f(x) f(c), x D. A c chama-se ponto de maximo.

Definicao 2.1.8 Sejam f : D R R e c D. Diz-se que f(c) e um mnimo de fse f(x) f(c), x D. A c chama-se ponto de mnimo.

Estes valores tem a designacao comum de extremos de f . A Figura 2.1 ilustra asdefinicoes anteriores.

Figura 2.1: Extremos de uma funcao.

2.1 Generalidades sobre funcoes reais de variavel real 15

Definicao 2.1.9 Uma funcao f : D R R diz-se limitada se

M R+ : |f(x)| M, x D.

Por outras palavras, f e funcao limitada se o seu contradomnio e um conjunto limi-tado.

Definicao 2.1.10 Chamam-se zeros da funcao f os elementos x do domnio tais quef(x) = 0.

Definicao 2.1.11 Sejam f : D R R e A D. A restricao de f a A, designadapor f|A, e a aplicacao de A em R tal que f|A(x) = f(x) para cada x A.

Definicao 2.1.12 Uma funcao f : D R B R diz-se:a) injectiva se x 6= y = f(x) 6= f(y).b) sobrejectiva se y B, x D : f(x) = y.c) bijectiva se e injectiva e sobrejectiva.


2.2 Limites. Limites relativos

Definicao 2.2.1 Seja f : D R R e a um ponto aderente ao domnio de f . Diz-seque b e limite de f no ponto a (ou quando x tende para a), e escreve-se lim

xaf(x) = b,

se > 0 > 0 : x D |x a| < |f(x) b| < .

Em termos de vizinhancas:

limxa

f(x) = b > 0 > 0 : x V(a) D f(x) V(b).A Figura 2.2 sugere a interpretacao geometrica de lim

xaf(x) = b.

x

y

a

b-

b+b

a- a+

Figura 2.2: Interpretacao geometrica de limxa

f(x) = b.

Definicao 2.2.2 Seja f : D R R e suponhamos que D nao e majorado. Diz-se queo limite de f quando x + e b se

> 0 > 0 : x D x > 1 |f(x) b| <

e escreve-se limx+

f(x) = b.

Definicao 2.2.3 Seja f : D R R e suponhamos que D nao e minorado. Diz-se queo limite de f quando x e b se

> 0 > 0 : x D x < 1 |f(x) b| <

e escreve-se limx

f(x) = b.

2.2 Limites. Limites relativos 17

Definicao 2.2.4 Seja f : D R R e a um ponto aderente ao domnio de f . Diz-seque o limite de f em a e + se

> 0 > 0 : x D |x a| < f(x) > 1

e escreve-se limxa

f(x) = +.Definicao 2.2.5 Seja f : D R R e a um ponto aderente ao domnio de f . Diz-seque o limite de f em a e se

> 0 > 0 : x D |x a| < f(x) < 1

e escreve-se limxa

f(x) = .NOTA: As definicoes de lim

x+f(x) = +, lim

xf(x) = +, lim

x+f(x) = e

limx

f(x) = , podem dar-se de forma analoga. Em todo o caso, se tivermos emconta a definicao de vizinhanca em R (ver pagina 9), podemos unificar todas as definicoesdo seguinte modo: se a, b R, diz-se que lim

xaf(x) = b se

> 0 > 0 : x V(a) D f(x) V(b).Teorema 2.2.1 Se f : D R R e a R e um ponto aderente a D, entao lim

xaf(x) = b

se, e so se, para cada sucessao (xn) de limite a, (xn) D, a sucessao (f(xn)) tem porlimite b.

NOTA: Observe-se que nao exigimos que a seja ponto de acumulacao de D. Se a e pontoisolado de D entao f tem limite igual a f(a) quando x a. De facto, as unicas sucessoesde pontos do domnio que tendem para a sao as sucessoes que, a partir de certa ordem,sao constantemente iguais a a.

Teorema 2.2.2 O limite de f em a, quando existe, e unico.

NOTAS:

1. Este teorema permite-nos usar a expressao b e o limite de f(x) quando x tendepara a, em vez de b e limite de f(x) quando x tende para a e permite que se usea notacao lim

xaf(x) = b.

2. Se a D (isto e, f esta definida em a), o limite b, se existe, coincide com f(a).Com efeito, neste caso, a verifica as condicoes a D e |a a| < > 0, o queimplica que |f(a) b| < , > 0, ou seja, f(a) = b.

EXEMPLO: Consideremos a funcao f : R R definida por

f(x) =

{x2, se x 6= 01, se x = 0

(ver Figura 2.3).


Figura 2.3

Nao existe limx0

f(x). Como o domnio de f e R o limite, se existisse teria de ser iguala f(0), como vimos na observacao anterior. Teramos entao de provar que

> 0 > 0 : |x| < |f(x) 1| < .

Mas, se = 12, qualquer que seja > 0, existe sempre x tal que |x| < e f(x) < 1

2, o

que implica que |f(x) 1| > 12.

Teorema 2.2.3 Se limxa

f(x) = b e limxa

g(x) = c entao:

a) limxa

[f(x) + g(x)] = b+ c;

b) limxa

[f(x) g(x)] = b c;

c) limxa

[f(x)g(x)] = b c;

d) Se c 6= 0, limxa

f(x)

g(x)=b

c.

Teorema 2.2.4 Se limxa

f(x) = 0 e g e uma funcao limitada numa vizinhanca de a entao

limxa

[f(x)g(x)] = 0.

NOTA: O facto de g ser limitada e essencial. Por exemplo, se f(x) = x e g(x) =1

x,

limx0

f(x)g(x) = 1 6= 0, o que nao contradiz o teorema, visto g nao ser limitada.

Teorema 2.2.5 Sejam f : D R R e g : E R R tais que g(E) D. Selimxa

g(x) = b e limxb

f(x) = c entao limxa

(f g)(x) = c.


Definicao 2.2.6 Sejam f : D R R e B um subconjunto proprio de D (isto e,B D e B 6= D). Suponhamos que a e um ponto aderente a B. Diz-se que f tem limiteb, quando x tende para a, segundo B, ou que b e o limite relativo a B de f quando xtende para a, se o limite da restricao de f a B quando x tende para a e b. Designa-seeste limite por

limx ax B

f(x) = b ou limxa, xB

f(x) = b.

Sao importantes os limites relativos que se seguem:

1. B = D \ {a}. Diz-se entao que f(x) tende para b quando x tende para a porvalores diferentes de a:

limx ax 6= a

f(x) = b.

2. B = {x : x D x < a}. Neste caso escreve-selimx ax < a

f(x) = b ou limxa

f(x) = b ou f(a) = b

e diz-se limite a` esquerda de f no ponto a.

3. B = {x : x D x > a}. Neste caso escreve-selimx ax > a

f(x) = b ou limxa+

f(x) = b ou f(a+) = b

e diz-se limite a` direita de f no ponto a.

Os limites a` esquerda e a` direita recebem a designacao comum de limites laterais.Para se poderem definir estes limites, o ponto a tem que ser ponto de acumulacao de B.

NOTAS:

1. limxa

f(x) = limxa+

f(x) = b limx ax 6= a

f(x) = b. Mas pode existir so um dos limites

laterais (ou os dois com valores distintos) sem que exista limx ax 6= a

f(x).

2. limxa

f(x) = limxa+

f(x) = b nao implica que limxa

f(x) = b a nao ser que f(a) = b. No

exemplo da pagina 17, f(0) = f(0+) = 0 e f(0) = 1.

3. limx ax 6= a

f(x) nao se distingue de limxa

f(x) quando a 6 D, devendo entao a ser ponto

de acumulacao de D.


EXEMPLO 1: Consideremos a funcao f : R R definida por

f(x) =

{0, se x < 21, se x 2

(ver Figura 2.4)

Figura 2.4

Verifica-se que limx2

f(x) = 0 e limx2+

f(x) = 1. Portanto, limx 2x 6= 2

f(x) nao existe, e

consequentemente, tambem nao existe limx2

f(x).

Se a < 2 entao limxa+

f(x) = limxa

f(x) = limxa

f(x) = limx ax 6= a

f(x) = 0.

Se a > 2 entao limxa+

f(x) = limxa

f(x) = limxa

f(x) = limx ax 6= a

f(x) = 1.


f(x) =

{ |x 4|, se x 6= 42, se x = 4

(ver Figura 2.5)

Figura 2.5


Verifica-se que limx4

f(x) = 0 e limx4+

f(x) = 0. Portanto, limx 4x 6= 4

f(x) = 0, mas nao

existe limx4

f(x) porque f(4) = 2 6= 0.

EXEMPLO 3: Em R temos:

a) limxa

1

x a = e limxa+1

x a = +; limxa1

x a nao existe.

b) limxa

1

(x a)2 = + e limxa+1

(x a)2 = +; limxa1

(x a)2 = +.

c) limx+

1

x= 0 = lim

x1

x.

d) limx0+

(1 + x)1x = lim

y+

(1 +

1

y

)y= e.

Teorema 2.2.6 Seja f : D R R uma funcao monotona limitada. Entao existem oslimites laterais f(a) e f(a+) em todo o ponto a onde esses limites possam ser definidos.

Demonstracao: Suponhamos, por exemplo, que f e crescente. Seja

A = {x : x D x < a}.Se a A queremos provar que existe f(a), isto e, queremos provar que existe um

b R tal que > 0 > 0 |xa| < x < a |f(x)b| < . Como, por hipotese, fe limitada, isto e, f(D) e um conjunto limitado e A D, temos que f(A) e um conjuntolimitado. Pelo Teorema 1.1.2, f(A) tem supremo. Seja b = sup f(A) = sup

xAf(x). Pelo

Teorema 1.1.3, > 0 x0 A : f(x0) > b .

Como f e crescentef(x) f(x0) > b x ]x0, a[ A.

Podemos entao escrever

|f(x) b| < x : x A |x a| < a x0.Fazendo = a x0, conclumos que

> 0 > 0 : x A |x a| < |f(x) b| < ,isto e, lim

xaf(x) = b.

Para provar que existe f(a+) considera-se o infx Dx > a

f(x) e conclui-se que f(a+) =

infx Dx > a

f(x).


Teorema 2.2.7 E condicao necessaria e suficiente para que f tenha limite finito no pontoa que

> 0 > 0 x, y V(a) |f(x) f(y)| < .

2.3 Continuidade: propriedades das funcoes contnuas. Teorema de Bolzano 23

2.3 Continuidade: propriedades das funcoes cont-

nuas. Teorema de Bolzano

Definicao 2.3.1 Sejam f : D R R e a D. Diz-se que f e contnua em a seexistir lim

xaf(x).

Como vimos anteriormente, o facto de a D implica que limxa

f(x) = f(a). Podemos

escrever f e contnua em a se

> 0 > 0 : x D |x a| < |f(x) f(a)| < ,ou, em termos de vizinhancas

> 0 > 0 : x V(a) D f(x) V(f(a)).Os pontos em que uma funcao nao e contnua dizem-se pontos de descontinuidade.

Definicao 2.3.2 Sejam f : D R R e a D.a) f e contnua a` esquerda em a se f(a) = lim

xaf(x) = f(a).

b) f e contnua a` direita em a se f(a+) = limxa+

f(x) = f(a).

NOTAS:

1. Se f for contnua a` esquerda e a` direita no ponto a entao f e contnua em a.

2. Se a for um ponto isolado, resulta da definicao que f e contnua em a.

Teorema 2.3.1 Toda a funcao constante e contnua em todos os pontos do seu domnio.

Do Teorema 2.2.3, conclui-se facilmente:

Teorema 2.3.2 Se f e g sao contnuas no ponto a entao f + g, f g e fg sao contnuasnesse ponto; se g(a) 6= 0 entao tambem f

ge contnua em a.

Analogamente, do Teorema 2.2.5 se deduz:

Teorema 2.3.3 Sejam f : D R R e g : E R R tais que g(E) D. Se g econtnua no ponto t0 e f e contnua no ponto x0 = g(t0), entao f g e contnua em t0.

Definicao 2.3.3 Uma funcao f diz-se contnua no conjunto B D se e contnuaem todos os pontos de B.


Teorema 2.3.4 (Teorema do valor intermedio de Bolzano)Seja f uma funcao contnua num intervalo I, a e b dois pontos de I tais que f(a) 6=

f(b). Entao, qualquer que seja o numero k estritamente compreendido entre f(a) e f(b),existe pelo menos um ponto c, estritamente compreendido entre a e b, tal que f(c) = k.

Demonstracao: Podemos supor, sem perda de generalidade, que a < b. Consideremos ointervalo [a, b]. Como f(a) 6= f(b) teremos f(a) < f(b) ou f(a) > f(b). Admitamos quef(a) < f(b). Seja k tal que f(a) < k < f(b).

Seja o conjunto C = {x : x [a, b] f(x) < k}. Como f(a) < k, a C, pelo queC 6= . Visto que b e um majorante de C podemos afirmar, pelo Teorema 1.1.2 que existec = supC. Como C [a, b], c [a, b]. Dado que f e contnua em [a, b] e c e aderente aC, existem todos os limites relativos tendo-se, em particular,

limxc

f(x) = limx cx C

f(x) = f(c).

Mas se x C, f(x) < k, o que implica que limxc

f(x) = limx cx C

f(x) k, donde

f(c) k (2.1)

Por outro lado, c e um ponto aderente a [a, b] \C. Como b [a, b] \C este conjunto enao vazio e

limxc

f(x) = limx c

x [a, b] \ C

f(x) = f(c).

Mas se x [a, b] \ C, entao f(x) k, o que implica que

limxc

f(x) = limx c

x [a, b] \ C

f(x) k,

dondef(c) k. (2.2)

De (2.1) e (2.2) conclui-se que f(c) = k.

NOTA: Se f nao for contnua em [a, b], pode existir k [f(a), f(b)] tal que 6 c [a, b] :f(c) = k (ver Figura 2.6).

EXEMPLO: Seja f(x) = x3 x2 + x. Usando o teorema anterior podemos provar queexiste c tal que f(c) = 10. De facto, como f e contnua em R podemos considerar a suarestricao ao intervalo [0, 3] e facilmente se verifica que f(0) = 0 < 10 < f(3) = 21.


xba

f(a)

f(b)

k

y

Figura 2.6

Corolario 1 Se f e contnua em [a, b] e f(a) f(b) < 0, entao existe c ]a, b[ tal quef(c) = 0.

Demonstracao: Podemos supor, sem perda de generalidade, que f(a) < 0 e f(b) > 0.Entao f(a) < 0 < f(b). Como f e contnua em [a, b], o teorema anterior permite afirmarque c ]a, b[: f(c) = 0.

Corolario 2 A imagem de um intervalo, por uma funcao contnua, e tambem um inter-valo.

Demonstracao: Seja f : I R R. Se f(x) = c, x I, isto e, se f e constante, o seucontradomnio reduz-se a um ponto, intervalo do tipo [c, c], nao havendo, portanto, nadamais a provar.

Como facilmente se verifica, um conjunto J que contenha, pelo menos, dois pontos, eum intervalo se, e so se, verifica a propriedade:

, J < = [, ] J

que e ainda equivalente a:

, J < k < = k J.

Suponhamos que f nao e constante, que , f(I) e < k < ; por definicao,existem a, b I tais que = f(a) < k < f(b) = . Pelo Teorema de Bolzano existe c,estritamente compreendido entre a e b (portanto, c I), tal que f(c) = k, isto e, k f(I).

NOTA: O intervalo f(I) pode ser de tipo diferente do intervalo I como se pode ver nosseguintes exemplos:


1) f :],+[ [1, 1], f(x) = sen(x)

2) f :],+[]0, 1], f(x) = 1x2 + 1

3) f :] pi2, pi

2[],+[, f(x) = tg(x)

Teorema 2.3.5 (Teorema de Weierstrass)Se f e uma funcao contnua num intervalo fechado e limitado I, entao f(I) e tambem

um intervalo fechado e limitado.

Demonstracao: Pelo Corolario 2 do Teorema de Bolzano sabemos que f(I) e um intervalo.Resta-nos entao provar que e fechado e limitado. Dividimos a demonstracao em duaspartes.


a) f(I) e limitado.

b) f(I) e fechado.

a) Suponhamos que f(I) nao e limitado. Entao para cada n N existe xn I tal que|f(xn)| n. Como I e limitado a sucessao (xn) tambem e limitada, portanto, (xn) temuma subsucessao (xnk) convergente (Teorema 1.3.10). Seja x = limn

f(xnk); x I porqueI e fechado. Visto que f e contnua, lim

nf(xnk) = f(x), mas esta conclusao e incompatvel

com a suposicao |f(xn)| n n N (Teorema 1.3.4)b) Temos de provar que existem x0 e x1 I tais que f(x0) = sup

xIf(x) e f(x1) =

infxI

f(x).

Suponhamos que nao existe x0 I tal que f(x0) = supxI

f(x), isto e, L = supxI

f(x) nao

e atingido. Entao L f(x) 6= 0, x I. Portanto,

g(x) =1

L f(x)e uma funcao contnua em I. Provamos em a) que toda a funcao contnua num intervalolimitado e limitada o que implica que g e limitada.

Pelo Teorema 1.1.3 temos que

> 0 c I : f(c) > L > 0 c I : L f(c) < > 0 c I : g(c) = 1

L f(c) >1

o que contradiz o facto de g ser limitada. Analogamente, se prova a existencia de x1 Ital que f(x1) = inf

xIf(x). Portanto, f(I) e fechado.

Corolario 1 Toda a funcao contnua num intervalo fechado e limitado tem, nesse inter-valo, um maximo e um mnimo.

NOTAS:

1. Os dois resultados anteriores mantem-se validos se substituirmos intervalo fechadolimitado por conjunto fechado limitado nao vazio.

2. A hipotese intervalo (ou conjunto) fechado e necessaria como se pode ver pelosexemplos seguintes:

1) Seja f(x) = x. f e contnua em ] 1, 1[ e nao tem nesse intervalo maximo nemmnimo.

2) A funcao g(x) =

{ 1x, se x 6= 0

0, se x = 0e contnua em ]0, 1], mas nao tem maximo

nesse intervalo.


3) A funcao h(x) =1

xsen

(1

x

)e contnua em ]0, 1] e nao tem maximo nem mnimo

nesse intervalo.

Teorema 2.3.6 Se f e uma funcao contnua e injectiva num intervalo I, entao a funcaoinversa e tambem contnua.

Definicao 2.3.4 Sejam F e f duas funcoes de domnios DF e Df , respectivamente. Diz--se que F e um prolongamento de f se Df DF e F (x) = f(x), x Df .

Definicao 2.3.5 Seja a um ponto aderente a D (domnio de f). Diz-se que f e pro-longavel por continuidade ao ponto a se existir um prolongamento F de f , comdomnio D {a}, sendo F contnua em a.

Teorema 2.3.7 Para que uma funcao f seja prolongavel por continuidade ao ponto a, enecessario e suficiente que tenha limite nesse ponto.

Existindo o limite, o prolongamento por continuidade e a funcao

g : Df {a} Rg(x) =

{f(x), se x Dflimxa

f(x), se x = a

EXEMPLO: Consideremos a funcao f : R \ {0} R definida por f(x) = sen(x)x

(ver

Figura 2.7). Sabemos que limx0

f(x) = 1.

Figura 2.7

Pelo teorema anterior f e prolongavel por continuidade ao ponto 0 e o prolongamentoe a funcao g : R R definida por:

g(x) =

{sen(x)

x, se x 6= 0

1, se x = 0

Definicao 2.3.6 Diz-se que f tem uma descontinuidade removvel no ponto a seexistir uma funcao g contnua em a, que apenas difere de f em a.


EXEMPLO: Seja

f(x) =

x2 2x 3x 3 , se x 6= 3

3, se x = 3

Como limx 3x 6= 3

f(x) = 4, f tem uma descontinuidade removvel em x = 3. A funcao

g(x) =

x2 2x 3x 3 , se x 6= 3

4, se x = 3

e contnua no seu domnio.


2.4 Continuidade uniforme

Seja f uma funcao definida e contnua em D R. Por definicao de continuidade sabemosque para cada x0 D se tem

> 0 > 0 x D |x x0| < |f(x) f(x0)| < .

Sabemos tambem que para um > 0 e x0 D o > 0 que existe nao e unico, pois se0 < 1 < entao |x x0| < 1 |x x0| < e, portanto,

|x x0| < 1 |f(x) f(x0)| < .

Seja > 0 um numero fixo. Consideremos o subconjunto de D formado pelospontos x1, x2, . . . , xk. Por definicao de continuidade sabemos que existe um conjunto{1, 2, . . . , k}, i > 0, i = 1, 2, . . . , k, tais que

x D |x x1| < 1 |f(x) f(x1)| < x D |x x2| < 2 |f(x) f(x2)| <

...x D |x xk| < k |f(x) f(xk)| < .

Dado que e finito, o conjunto {1, 2, . . . , k} tem mnimo > 0. Para este valor saoverdadeiras as implicacoes:

x D |x xi| < |f(x) f(xi)| < , i = 1, 2, . . . , k,

isto e, conseguimos arranjar vizinhancas uniformes (de amplitude 2) dos pontos x1,x2, . . . , xk de tal modo que as imagens dos pontos dessas vizinhancas estao a uma distanciainferior a do f(xi) correspondente.

E se o conjunto dos pontos escolhido fosse infinito? Seria ainda possvel, dado > 0,escolher um numero > 0 nas condicoes anteriores? A resposta e, em geral, negativa.Vejamos um exemplo.

Seja f(x) =1

xe D =]0, 2[ (veja-se a Figura 2.8).

Figura 2.8

2.4 Continuidade uniforme 31

Figura 2.9


Consideremos o conjunto {xn : xn = 1n, n = 1, 2, 3, . . .} e seja > 0. Observando

a definicao de limite, para cada n, o maior n que podemos tomar e n =

n(n+ )

(Figura 2.9). Ora inf{n : n = n(n+ )

} = 0, pelo que nao existe > 0 tal que

|x xn| < |f(x) f(xn)| < , n = 1, 2, 3, . . .Conclumos assim que dado > 0 nao podemos escolher > 0 que, na definicao de

limite, seja valido simultaneamente para todos os xi, i = 1, 2, 3, . . ..

Definicao 2.4.1 Sejam f : D R R e A D. Diz-se que f e uniformementecontnua em A se

> 0 > 0 x, y A, |x y| < |f(x) f(y)| < .

EXEMPLO 1: A funcao f(x) = sen(x) e uniformemente contnua em R, isto e, e verda-deira a proposicao

> 0 > 0 x, y R, |x y| < |sen(x) sen(y)| < .De facto, sendo > 0 bastara escolher = e sabendo que |sen(x)| |x| x R

temos:

|sen(x) sen(y)| =2 cos

(x+ y

2

)sen

(x y

2

)= 2

cos(x+ y

2

)sen

(x y

2

) 2

sen(x y

2

) 2

x y2 = |x y|.

EXEMPLO 2: A funcao f(x) =1

xnao e uniformemente contnua em ]0, 2[, como vimos

atras.

EXEMPLO 3: A funcao f(x) = x2 (Figura 2.10) nao e uniformemente contnua em R,isto e, e falsa a proposicao

> 0 > 0 x, y R, |x y| < |x2 y2| < .Da igualdade |x2 y2| = |x y||x + y| podemos concluir que x e y podem estar tao

proximos quanto se queira e a diferenca entre as suas imagens ser arbitrariamente grande


Figura 2.10

(basta pensar em pontos x e y cuja diferenca seja sempre inferior a , mas que estejamarbitrariamente longe da origem).

Os graficos da Figura 2.11 procuram ilustrar esta situacao.

Figura 2.11


EXEMPLO 4: Provemos, a partir da definicao, que a funcao f(x) = 7 x2 e uniforme-mente contnua em [10, 1], isto e, que e verdadeira a proposicao

> 0 > 0 x, y [10, 1], |x y| < |7 x2 (7 y2)| < .Seja > 0. Como

|7 x2 (7 y2)| = | x2 + y2| = |x y||x+ y| 20|x y|,teremos

|x y| < |7 x2 (7 y2)| <

se 0 : |f(x) f(y)| M |x y|, x, y A.

Teorema 2.4.1 Sejam f : D R R e A D. Se f e lipschitziana em A, entao f euniformemente contnua em A.

Demonstracao: Usando a definicao, basta tomar =

M.

EXEMPLO 1: A funcao f(x) = x2 e lipschitziana em [0, 1]. De facto,

|x2 y2| = |x+ y| |x y| (|x|+ |y|) |x y| 2 |x y| x, y [0, 1].A funcao e pois uniformemente contnua em [0, 1]. Vimos atras que f(x) = x2 nao euniformemente contnua em R.

O facto da funcao ser uniformemente contnua depende do conjunto. E claro que seuma funcao for uniformemente contnua num conjunto C e uniformemente contnua emtodos os subconjuntos de C.

EXEMPLO 2: Os calculos efectuados atras permitem-nos concluir que f(x) = 7 x2 elipschitziana em [10, 1].

Teorema 2.4.2 Sejam f : D R R e A D. f e uniformemente contnua em A se,e so se, para quaisquer sucessoes (xn) e (yn) de elementos de A tais que lim

n(xn yn) = 0

se tem tambem limn

(f(xn) f(yn)) = 0.

EXEMPLO 1: Consideremos novamente a funcao f(x) =1

xno intervalo ]0, 1]. Sejam

xn =1

ne yn =

1

2n, n N. Sao sucessoes de elementos do intervalo ]0, 1] e lim(xn yn)


= lim

(1

n 1

2n

)= lim

1

2n= 0. No entanto, lim(f(xn) f(yn)) = lim(n 2n) =

lim(n) = , o que implica, pelo teorema anterior, que f nao e uniformemente contnuano intervalo considerado.

EXEMPLO 2: Seja f(x) = x2. Considerando as sucessoes de numeros reais xn =n+ 1

e yn =n temos

lim(xn yn) = lim(n+ 1n)

= lim(n+ 1n)(n+ 1 +n)

(n+ 1 +

n)

= limn+ 1 nn+ 1 +

n

= 0

elim(f(xn) f(yn)) = lim

((n+ 1)2 (n)2)

= lim (n+ 1 n) = 1,portanto, f nao e uniformemente contnua em R como tnhamos visto.

E evidente que se f e uniformemente contnua em A entao a restricao de f a A econtnua em A. A recproca nao e verdadeira, tendo-se, no entanto, o seguinte teorema:

Teorema 2.4.3 (Teorema de Cantor)Toda a funcao contnua num conjunto fechado limitado e uniformemente contnua.

Demonstracao: Suponhamos que f e contnua, mas nao uniformemente contnua, em X,fechado limitado. Sendo falsa a proposicao

> 0 > 0 x, y X, |x y| < |f(x) f(y)| <

podemos afirmar que existe > 0 tal que, para qualquer > 0, existem x, y X, paraos quais se verifica

|x y| < |f(x) f(y)| .Fixemos nos valores 1 = 1, 2 =

12, . . . , n =

1n. Teremos entao

x1, y1 X : |x1 y1| < 1 |f(x1) f(y1)| x2, y2 X : |x2 y2| < 12 |f(x2) f(y2)| . . .xn, yn X : |x2 y2| < 1n |f(xn) f(yn)| .

Como (xn) e uma sucessao de elementos de X e este conjunto e limitado podemosconcluir que (xn) e limitada. Pelo Teorema 1.3.10, (xn) tem uma subsucessao (xnk)


convergente para um certo x R; alem disso, x X porqueX e fechado. Mas |xnkynk | 0.

EXEMPLO: Seja f uma funcao contnua em R. Provemos que f e uniformementecontnua em todo o subconjunto limitado de R.

Seja A R um conjunto limitado. Se A for fechado, estamos nas condicoes do Teoremade Cantor. Suponhamos que A nao e fechado e l = inf(A) e L = sup(A). Consideremos ointervalo [l, L]. E um subconjunto fechado limitado de R. Como f e contnua em R, f econtnua em [l, L]. Pelo Teorema de Cantor, f e uniformemente contnua nesse intervalo,sendo, portanto, uniformemente contnua em A [l, L].

Captulo 3

Funcoes Reais de Variavel Real:Calculo Diferencial

3.1 Derivadas. Regras de derivacao.

Definicao 3.1.1 Sejam f : D R R e a um ponto interior a D. Chama-se derivadade f no ponto a ao limite, se existir (em R),

limxa

f(x) f(a)x a

ou, fazendo x a = h, limh0

f(a+ h) f(a)h

Designa-se a derivada de f no ponto a por f (a) oudf

dx(a). Se f tem derivada finita no

ponto a, diz-se que f e diferenciavel em a.

Designando por P e Qi, i = 1, 2, 3, 4, respectivamente, os pontos do grafico de f quetem abcissas a e xi, a razao

f(xi) f(a)xi a

e o declive da recta PQi, secante ao grafico de f (veja-se a Figura 3.1).Se f e diferenciavel no ponto a, chama-se tangente ao grafico de f no ponto (a, f(a))

a` recta que passa por este ponto e tem declive igual a f (a); a recta tangente tera entaoa equacao:

y = f(a) + f (a)(x a).

Definicao 3.1.2 Sejam f : D R R e a um ponto interior a D. Chama-se derivadaa` esquerda de f no ponto a ao limite, se existir (em R),

limxa

f(x) f(a)x a

38 3. Funcoes Reais de Variavel Real: Calculo Diferencial

Figura 3.1: Interpretacao geometrica da derivada.

ou, fazendo x a = h,limh0

f(a+ h) f(a)h

,

e designa-se por f (a).Chama-se derivada a` direita de f no ponto a ao limite, se existir (em R),

limxa+

f(x) f(a)x a

ou, fazendo x a = h,limh0+

f(a+ h) f(a)h

,

e designa-se por f (a+).

NOTA: E evidente que f (a) existe se, e so se, existem e sao iguais f (a+) e f (a).


f(x) = |x| ={

x, se x 0x, se x < 0

cujo grafico se apresenta na Figura 3.2.

f (0+) = limx0+

f(x) f(0)x 0 = limx0+

x

x= 1;

f (0) = limx0

f(x) f(0)x 0 = limx0

xx

= 1.

Como f (0+) 6= f (0), f nao tem derivada no ponto 0.

3.1 Derivadas. Regras de derivacao. 39

Figura 3.2

EXEMPLO 2: A funcao f : R R definida por

f(x) =

{x sen

(1x

), se x 6= 0

0, se x = 0

nao tem derivadas laterais em x = 0 (ver Figura 3.3). De facto, a funcao definida por

f(x) f(0)x 0 =

x sen(

1x

)x

= sen

(1

x

)nao tem limite quando x 0, nao existindo sequer limites laterais.

Figura 3.3

EXEMPLO 3: A funcao f : R R definida por f(x) = 3x (ver Figura 3.4) tem derivada+ em x = 0, pois


f (0+) = limx0+

3x

x= lim

x0+3

x

x3= lim

x0+1

3x2

= +

f (0) = limx0

3x

x= lim

x03

x

x3= lim

x01

3x2

= +

f nao e, pois, diferenciavel em 0.

Figura 3.4

EXEMPLO 4: A funcao f : R R definida por f(x) = 3x2, e cujo grafico se apresentana Figura 3.5, nao tem derivada em 0. De facto,

f (0+) = limx0+

3x2

x= lim

x0+3

x2

x3= lim

x0+13x

= +

f (0) = limx0

3x2

x= lim

x03

x2

x3= lim

x013x

=

Figura 3.5


Teorema 3.1.1 Sejam f : D R R e a um ponto interior a D. Se f e diferenciavelno ponto a, entao f e contnua em a.

Demonstracao: Podemos escrever f(x) = f(a) + (x a) f(x) f(a)x a x D \ {a}.

Entao

limxa

f(x) = limxa

(f(a) + (x a) f(x) f(a)

x a)

= f(a) + 0.f (a) = f(a),

ou seja, f e contnua no ponto a.

NOTAS:

1. Uma funcao pode ser contnua num dado ponto e nao ter derivada nesse ponto (vero exemplo anterior).

2. Se a derivada for infinita, a funcao pode nao ser contnua.

Teorema 3.1.2 Se f e g sao funcoes diferenciaveis em a, entao f + g e f g sao funcoesdiferenciaveis em a, e

(f + g)(a) = f (a) + g(a)

(f g)(a) = f (a) g(a) + f(a) g(a).Se, alem disso, g(a) 6= 0, entao f/g e diferenciavel em a e(

f

g

)(a) =

f (a) g(a) f(a) g(a)(g(a))2

.

Demonstracao: Sendo finitas as derivadas f (a) e g(a), teremos no caso da soma:

(f + g)(a) = limxa

(f + g)(x) (f + g)(a)x a

= limxa

f(x) + g(x) f(a) g(a)x a

= limxa

(f(x) f(a)

x a +g(x) g(a)

x a)

= limxa

f(x) f(a)x a + limxa

g(x) g(a)x a

= f (a) + g(a)

o que mostra que f + g e diferenciavel em a.


Para o produto, temos

(f g)(a) = limxa

(f g)(x) (f g)(a)x a

= limxa

f(x) g(x) f(a) g(a)x a

= limxa

f(x) g(x) f(a) g(x) + f(a) g(x) f(a) g(a)x a

= limxa

(f(x) f(a)) g(x) + f(a) (g(x) g(a))x a

= limxa

(g(x) f(x) f(a)

x a + f(a) g(x) g(a)

x a)

= limxa

g(x) limxa

f(x) f(a)x a + f(a) limxa

g(x) g(a)x a

= g(a) f (a) + f(a) g(a)onde se usou o facto de a diferenciabilidade de g em a implicar a sua continuidade nomesmo ponto.

Finalmente, para o quociente podemos comecar por considerar o caso particular de fser a funcao constante com o valor 1 em todos os pontos do seu domnio. Obtemos entao:

(1

g

)(a) = lim

xa

(1

g

)(x)

(1

g

)(a)

x a = limxa

1

g(x) 1g(a)

x a

= limxa

g(a) g(x)g(x) g(a)x a = limxa

g(x) g(a)x a

( 1g(x) g(a)

)

= 1g(a)

limxa

1

g(x) limxa

g(x) g(a)x a =

1

g(a) 1g(a)

g(a)

= g(a)

(g(a))2.

Portanto, notando quef

g= f 1

g, temos:


(f

g

)(a) = f (a)

(1

g

)(a) + f(a)

(1

g

)(a)

=f (a) g(a) f(a) g(a)

(g(a))2.

Corolario 1 Se f1, f2, . . . , fp sao funcoes diferenciaveis no ponto a, a sua soma e o seuproduto tambem o sao e verificam-se as igualdades:

(f1 + f2 + + fp)(a) = f 1(a) + f 2(a) + + f p(a)

(f1 f2 fp)(a) =pi=1

f1(a) f i(a) fp(a).

Em particular, se p N e f e diferenciavel em a tambem o e a funcao h(x) = (f(x))pe tem-se

h(a) = p (f(a))p1 f (a).

Teorema 3.1.3 Se g : E R e diferenciavel no ponto a e f : D R e diferenciavel noponto b = g(a), entao f g e diferenciavel em a e

(f g)(a) = f (b) g(a) = f (g(a)) g(a).

Teorema 3.1.4 Sejam I um intervalo, f : I R uma funcao estritamente monotona econtnua, g : J = f(I) R a sua inversa. Se f e diferenciavel no ponto a e f (a) 6= 0,entao g e diferenciavel em b = f(a) e

g(b) =1

f (a)=

1

f (g(b)).

EXEMPLO 1: Consideremos a funcao g(x) = arc sen(x), funcao inversa da funcao f(x) =sen(x) no intervalo [pi

2, pi

2]. Teremos entao

g(x) =1

f (g(x))=

1

cos(g(x))=

1

cos(arc sen(x))=

11 sen2(arc sen(x)) =

11 x2 .

EXEMPLO 2: Consideremos a funcao g(x) = arc cos(x), funcao inversa da funcao f(x) =cos(x) no intervalo [0, pi]. Teremos entao

g(x) =1

f (g(x))= 1

sen(g(x))= 1

sen(arc cos(x))

= 11 cos2(arc cos(x)) =

11 x2 .


De forma analoga se pode mostrar que

(arc tg(x)) =1

1 + x2

e

(arc cotg(x)) = 11 + x2

.

Se f : D R R e uma funcao diferenciavel em todos os pontos de A D, podemosdefinir a funcao que a cada x de A faz corresponder f (x). Obtemos, assim, uma novafuncao, de domnio A, que representamos por f e a que chamamos funcao derivada (ouapenas derivada) de f em A.

De modo analogo, se f for diferenciavel em A, definimos f = (f ) (segunda derivada);se f for diferenciavel em A, definimos f = (f ), . . . se f (n1) (derivada de ordem n1)for diferenciavel em A, definimos f (n) = (f (n1)), derivada de ordem n de f em A.

Definicao 3.1.3 Se f for contnua em A, dizemos que f e de classe C1 em A erepresentamos por f C1(A).

Se n N e f (n) e contnua em A, dizemos que f e de classe Cn em A e representamospor f Cn(A).

Se f Cn(A), n N, dizemos que f e de classe C e representamos por f C(A).

EXEMPLO 1: As funcoes f(x) = cos(x), g(x) = sen(x) e h(x) = ex sao de classe C emR.

EXEMPLO 2: A funcao

f(x) =

x

2 sen

(1

x

), se x 6= 0

0, se x = 0

e diferenciavel em R,

f (x) =

2x sen

(1

x

) cos

(1

x

), se x 6= 0

0, se x = 0

e f nao e contnua em 0. Temos, assim, f / C1(R).

EXEMPLO 3: Se f (n)(x) e g(n)(x) existem, tem-se obviamente,

(f + g)(n)(x) = f (n)(x) + g(n)(x).


EXEMPLO 4: A derivada de ordem n do produto de duas funcoes obtem-se pela formulade Leibnitz:

(f g)(n)(x) =n

p=0

nCp f(p)(x) g(np)(x),

onde se convenciona f (0)(x) = f(x). A demonstracao desta propriedade faz-se facilmente,por inducao em n, usando a regra de derivacao do produto.

Definicao 3.1.4 Seja f : D R R, diferenciavel num ponto a interior a D. Chama-se diferencial da funcao f no ponto a a` aplicacao linear df(a) : R R dada pordf(a)(h) = f (a) h.

Teorema 3.1.5 Sejam f e g duas funcoes diferenciaveis. Entao:

a) d(f + g) = df + dg

b) d(f g) = g df + f dg

c) d(fn) = n fn1 df

d) d(f

g) =

g df f dgg2

e) d((g f)(x)) = g(f(x)) df(x)


3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, La-

grange e Cauchy.

Definicao 3.2.1 Seja f : D R R.a) Diz-se que f tem um mnimo local (ou relativo) em a D (ou que f(a) e um

mnimo local, ou relativo, de f) se existir uma vizinhanca V de a tal que f(x) f(a), x V D.

b) Diz-se que f tem um maximo local (ou relativo) em a D (ou que f(a) e ummaximo local, ou relativo, de f) se existir uma vizinhanca V de a tal que f(x) f(a), x V D.

Aos maximos e mnimos relativos da-se a designacao comum de extremos relativos(ver Figura 3.6).

Figura 3.6: Extremos relativos.

Teorema 3.2.1 Seja f : D R R. Se f(a) for mnimo relativo e existirem derivadaslaterais em a, entao f (a) 0 e f (a+) 0. Se f for diferenciavel em a, entao f (a) = 0.

Demonstracao: Se f(a) e um mnimo relativo entao, por definicao, > 0 : f(x) f(a)x V(a) D. Mas

f(x) f(a)x a 0 x ]a , a[ D,

o que implica que

limxa

f(x) f(a)x a 0,

isto e, f (a) 0.

3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. 47

Analogamente,f(x) f(a)

x a 0 x ]a, a+ [ D,o que implica que

limxa+

f(x) f(a)x a 0,

isto e, f (a+) 0.

Teorema 3.2.2 Se f(a) for maximo relativo e existirem derivadas laterais em a, entaof (a) 0 e f (a+) 0. Se f for diferenciavel em a, entao f (a) = 0.

NOTA: Se f e diferenciavel, a condicao f (a) = 0 e necessaria, mas nao suficiente paraque f tenha um extremo em a. Consideremos, por exemplo, a funcao f(x) = x3; f (0) = 0e f nao tem extremo em 0.

Teorema 3.2.3 (Teorema de Rolle)Seja f uma funcao contnua no intervalo [a, b] (a, b R, a < b) e diferenciavel em

]a, b[. Se f(a) = f(b), entao existe c ]a, b[ tal que f (c) = 0.

Demonstracao: Pelo Teorema de Weierstrass, a funcao f , contnua no intervalo [a, b], temmaximo M e mnimo m neste intervalo. Se M = m entao f e constante em [a, b] e,portanto, f (x) = 0 x ]a, b[, nao havendo mais nada a provar.

Se M 6= m, a hipotese f(a) = f(b) implica que ou o maximo ou o mnimo e atingidonum ponto c ]a, b[. Entao, pelos teoremas anteriores, f (c) = 0.

Geometricamente, o teorema afirma que na representacao grafica da funcao ha pelomenos um ponto em que a tangente e paralela ao eixo dos xx (ver Figura 3.7).

Figura 3.7: Interpretacao geometrica do Teorema de Rolle.

Corolario 1 Entre dois zeros de uma funcao diferenciavel num intervalo ha, pelo menos,um zero da sua derivada.


Corolario 2 Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma funcao diferenciavel numintervalo existe, no maximo, um zero da funcao.

Teorema 3.2.4 (Teorema de Darboux)Seja I R um intervalo aberto, f : I R uma funcao diferenciavel em I. Se

existirem a, b I, a < b, tais que f (a) 6= f (b) entao, para todo o k entre f (a) e f (b),existe c ]a, b[ tal que f (c) = k.

Demonstracao: Comecamos por fazer a demonstracao num caso especial e, usando este,passaremos ao caso geral.

Suponhamos quef (a) < k = 0 < f (b). (3.1)

Como f e diferenciavel em I, e contnua em I, pelo que e contnua em [a, b] e, portanto,

f tem um ponto de mnimo em [a, b]. Visto que f (a) = limxa

f(x) f(a)x a < 0, existe

1 > 0 tal quef(x) f(a)

x a < 0, x ]a, a + 1[, pelo que f(x) < f(a), x ]a, a + 1[.Analogamente se mostra que existe 2 > 0 tal que f(x) < f(b), x ]b2, b[. Conclui-se,assim, que nem a nem b sao ponto de mnimo de f em [a, b], isto e, existe c ]a, b[ onde fatinge o seu mnimo em [a, b]; como f e diferenciavel, f (c) = 0. Fica assim demonstradoo teorema no caso especial de (3.1).

Obviamente, a demonstracao no caso

f (a) > k = 0 > f (b) (3.2)

seria semelhante (mostrar-se-ia, neste caso, que existe um ponto de maximo diferente dea e b).

Passemos ao caso geral. Suponhamos que

f (a) < k < f (b). (3.3)

A funcao g(x) = f(x)kx e diferenciavel em I (g(x) = f (x)k) e g(a) = f (a)k k > f (b) (3.4)

resolve-se com a mesma tecnica, usando (3.2).


NOTAS:

1. Apenas com a condicao de diferenciabilidade no intervalo (nao se pede que a derivadaseja contnua!), mostra-se que a derivada verifica uma propriedade semelhante a` doTeorema de Bolzano.

2. A derivada pode nao ser contnua. Por exemplo, a funcao:

f(x) =

x2 sen

(1

x

), se x 6= 0

0, se x = 0

e diferenciavel em R:

f (x) =

2 x sen

(1

x

) cos

(1

x

), se x 6= 0

0, se x = 0

e f nao e contnua em 0.

Teorema 3.2.5 (Teorema de Lagrange)Seja f uma funcao contnua no intervalo [a, b] (a, b R, a < b) e diferenciavel em

]a, b[. Entao existe c ]a, b[ tal que

f (c) =f(b) f(a)

b a .

Demonstracao: A funcao

(x) = f(x) f(b) f(a)b a x

e contnua em [a, b] e diferenciavel em ]a, b[. Alem disso, (a) = (b). Pelo Teorema deRolle existe c ]a, b[ tal que (c) = 0. Mas

(x) = f (x) f(b) f(a)b a ,

o que implica

(c) = 0 f (c) f(b) f(a)b a = 0 f

(c) =f(b) f(a)

b a .

Geometricamente, o teorema anterior afirma que na representacao grafica da funcaoha pelo menos um ponto em que a tangente e paralela a` corda que une os pontos (a, f(a))e (b, f(b)) (ver Figura 3.8).

NOTA: O Teorema de Rolle e um caso particular deste teorema. Trata-se do caso emque f(a) = f(b).


Figura 3.8: Interpretacao geometrica do Teorema de Lagrange.

Corolario 1 Se f tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo, entao e cons-tante nesse intervalo.

Corolario 2 Se f e g sao duas funcoes diferenciaveis num intervalo I e se f (x) =g(x), x I, entao a diferenca f g e constante em I.Corolario 3 Se I e um intervalo e f (x) 0 (respectivamente, f (x) 0), x I,entao f e crescente (respectivamente, decrescente) em I; se f (x) > 0 (respectivamente,f (x) < 0) x I, entao f e estritamente crescente (respectivamente, decrescente) em I.Teorema 3.2.6 (Teorema do valor medio de Cauchy)

Se f e g sao funcoes contnuas em [a, b], diferenciaveis em ]a, b[ e g (x) nao se anulaem ]a, b[, entao existe c ]a, b[ tal que

f (c)g(c)

=f(b) f(a)g(b) g(a) .

Demonstracao: Consideremos a funcao

(x) = f(x) f(b) f(a)g(b) g(a) g(x).

Pelo Teorema de Rolle, g(a) 6= g(b) visto que g(x) 6= 0 x ]a, b[, pelo que esta bemdefinida; alem disso, e contnua em [a, b] e diferenciavel em ]a, b[. Como (a) = (b),pelo Teorema de Rolle existe c ]a, b[ tal que (c) = 0. Mas

(x) = f (x) f(b) f(a)g(b) g(a) g

(x)

o que implica

(c) = 0 f (c) f(b) f(a)g(b) g(a) g

(c) = 0 f (c) = f(b) f(a)g(b) g(a) g

(c).


Como g(x) 6= 0 x ]a, b[ e c ]a, b[ temosf (c)g(c)

=f(b) f(a)g(b) g(a) .

NOTA: O Teorema de Lagrange e um caso particular deste teorema com g(x) = x.


3.3 Indeterminacoes

A partir do Teorema de Cauchy pode-se demonstrar a seguinte regra que e muito usada

no calculo do limite de um quocientef

gquando assume a forma

0

0ou .

Teorema 3.3.1 (Regra de Cauchy)Sejam f e g duas funcoes diferenciaveis em ]a, b[ (a < b) tais que

a) g(x) 6= 0, x ]a, b[,b) lim

xaf(x) = lim

xag(x) = 0 ou lim

xaf(x) = lim

xag(x) = +;

entao, se existir limxa

f (x)g(x)

, tambem existe limxa

f(x)

g(x)e estes limites sao iguais.

Corolario 1 Sejam I um intervalo aberto, c I, f e g duas funcoes diferenciaveis emI \ {c}. Se g(x) 6= 0, x I \ {c}, e lim

xcf(x) = lim

xcg(x) = 0 ou lim

xcf(x) = lim

xcg(x) =

+, entaolimxcx6=c

f(x)

g(x)= lim

xcx6=c

f (x)g(x)

sempre que o segundo limite exista (em R).

NOTA: Convem notar que pode existir limxa

f(x)

g(x)e nao existir lim

xaf (x)g(x)

. E o que

acontece com as funcoes

f(x) = x2 cos

(1

x

), g(x) = x.

De facto, limx0

f(x)

g(x)= lim

x0x cos

(1

x

)= 0 e

f (x)g(x)

= 2x cos

(1

x

)+ sen

(1

x

)pelo que nao

existe limx0

f (x)g(x)

.

EXEMPLO 1: Consideremos a funcao h definida porsen(x)

x. Ao calcular lim

x0h(x) en-

contramos a indeterminacao0

0. Sendo f(x) = sen(x) e g(x) = x, estamos nas condicoes

da regra de Cauchy. Como

limx0

f (x)g(x)

= limx0

cos(x) = 1,

podemos concluir que limx0

h(x) = 1.

3.3 Indeterminacoes 53

EXEMPLO 2: Seja h(x) =ex 1x

. No calculo de limx0

ex 1x

surge a indeterminacao0

0.

Tomando f(x) = ex 1 e g(x) = x estamos nas condicoes da regra de Cauchy. Como

limx0

(ex 1)(x)

= limx0

ex = 1

podemos concluir que limx0

ex 1x

= 1.

EXEMPLO 3: Ao calcular limxpi

2

h(x) = limxpi

2

tg(x) 5sec(x) + 4

obtemos a indeterminacao

Considerando f(x) = tg(x) 5 e g(x) = sec(x) + 4, estamos nas condicoes da regra deCauchy. Como

limxpi

2

f (x)g(x)

= limxpi

2

sec2(x)

sec(x) tg(x)= lim

xpi2

sec(x)

tg(x)= lim

xpi2

1

sen(x)= 1,

podemos concluir que

limxpi

2

tg(x) 5sec(x) + 4

= 1.

EXEMPLO 4: Seja h(x) =3x 2x

x. Ao calcular lim

x03x 2x

xencontramos a indetermi-

nacao0

0. Considerando f(x) = 3x 2x, g(x) = x e aplicando a regra de Cauchy obtemos

limx0

3x 2xx

= log

(3

2

),

pois

limx0

f (x)g(x)

= limx0

(3x log(3) 2x log(2)) = log(3) log(2) = log(3

2

).

EXEMPLO 5 : A indeterminacao 0 surge ao calcularmos limx0+

h(x) = limx0+

x log(x),

com > 0. Como

limx0+

h(x) = limx0+

x log(x) = limx0+

log(x)1x

e

limx0+

(log(x))(1x

) = limx0+

1x

x+1

= limx0+

x

= 0,

podemos concluir que limx0+

h(x) = 0.


NOTAS:

1. Pode-se demonstrar a partir da Regra de Cauchy o seguinte resultado, util quando sepretende estudar a diferenciabilidade de uma funcao: Sejam f uma funcao contnuanum intervalo I e a um ponto de I. Se f e diferenciavel num intervalo ]a, b[ I eexiste lim

xa+f (x) entao f tem derivada a` direita no ponto a e f (a+) = lim

xa+f (x).

Para tal basta notar que f (a+) = limxa+

f(x) f(a)x a e aplicar a regra de Cauchy.

Obviamente, existe um resultado analogo para a derivada a` esquerda.

2. Os smbolos 0 e que podem surgir no calculo do limite de um produtof g ou de uma soma f + g reduzem-se a 0

0ou pelas transformacoes:

f g = f1

g

=g1

f

e f + g =

1

f+

1

g1

f g

Outra regra importante no estudo de limites, mas que e aplicavel somente ao smbolo0

0, e a seguinte:

Teorema 3.3.2 (Regra de lHospital)Sejam f e g duas funcoes definidas num intervalo I, diferenciaveis em a I e

g(x) 6= 0, x I \ {a}. Se f(a) = g(a) = 0 e g(a) 6= 0, entao f(x)g(x)

tem limite

no ponto a e

limxa

f(x)

g(x)=f (a)g(a)

.

As indeterminacoes 1, 00 e0 surgem do calculo de limites de funcoes f g e reduzem-se a`s indeterminacoes do tipo 0 fazendo:

f g = e log(f)g= e g log(f).

Da continuidade da funcao exponencial conclui-se que:

limxa

[(f(x)) g(x)

]= e

limxa g(x) log(f(x)).

EXEMPLO 1: Consideremos a funcao h(x) = xx. A indeterminacao que surge ao calcularlimx0+

h(x) e do tipo 00 que podemos converter numa do tipo 0:

3.3 Indeterminacoes 55

limx0+

xx = elimx0+

x log(x)= e0 = 1,

tendo em conta o que mostramos atras (exemplo 5 da pagina 53).

EXEMPLO 2: Vimos num exemplo anterior que limx0

sen(x)

x= 1, portanto, ao calcular

limx0

(sen(x)

x

) 1x2 surge a indeterminacao 1.

limx0

(sen(x)

x

) 1x2 = e

limx0

1

x2log

(sen(x)

x

);

neste ultimo limite surge a indeterminacao 0 que podemos converter em 00

fazendo

elimx0

1

x2log

(sen(x)

x

)= e

limx0

log(

sen(x)x

)x2 .

Como

elimx0

(log(

sen(x)x

))(x2) = e

limx0

(sen(x)x

)sen(x)x

2x = elimx0

x cos(x)sen(x)x2

xsen(x)

2x = elimx0

x cos(x) sen(x)2x2sen(x) ,

temos novamente a indeterminacao0

0. Considerando f(x) = x cos(x) sen(x) e g(x) =

2x2sen(x) obtemos

limx0

f (x)g(x)

= limx0

sen(x)4 sen(x) + 2x cos(x)

aparecendo ainda a indeterminacao0

0. Tendo em conta que

limx0

(sen(x))(4 sen(x) + 2x cos(x))

= limx0

cos(x)6 cos(x) 2x sen(x) =

1

6,

podemos concluir que

limx0

(sen(x)

x

) 1x2

= e16 .


EXEMPLO 3: No calculo de limx0+

(1

x

)tg(x)surge a indeterminacao 0. Como

limx0+

(1

x

)tg(x)= e

limx0+

tg(x) log

(1

x

)= e

limx0+

log(

1x

)cotg(x)

e neste limite a indeterminacao e primeiro do tipo 0 e depois do tipo temos queo limite pedido e 1 pois

elimx0+

(log(

1x

))(cotg(x)) = e

limx0+

1x

cosec2(x) = elimx0+

sen2(x)

x = e0 = 1.

3.4 Teorema de Taylor 57

3.4 Teorema de Taylor

Teorema 3.4.1 (Teorema de Taylor)Seja f uma funcao definida num intervalo [a, b] (a < b), com derivadas contnuas ate

a` ordem n 1 em [a, b] e com derivada de ordem n definida em ]a, b[. Entao, existe umponto c ]a, b[ tal que

f(b) = f(a)+(ba) f (a)+(b a)2

2!f (a)+ +(b a)

n1

(n 1)! f(n1)(a)+

(b a)nn!

f (n)(c) ()

Demonstracao: Consideremos a funcao

(x) = f(b) [f(x) + (b x)f (x) + (b x)2

2!f (x)+

+ + (b x)n1

(n 1)! f(n1)(x) +

(b x)nn!

A],

sendo A uma constante escolhida por forma que (a) = 0. esta nas condicoes do Teorema de Rolle: por construcao, e uma funcao contnua em

[a, b], diferenciavel em ]a, b[ e (a) = 0 = (b). Entao existe c ]a, b[ tal que (c) = 0.Mas

(x) = [ f (x) f (x) + (b x)f (x) (b x)f (x) + (b x)n2

(n 2)! f(n1)(x)+

+(b x)n1(n 1)! f

(n)(x) (b x)n1

(n 1)! A ]

= [(b x)n1(n 1)! f

(n)(x) (b x)n1

(n 1)! A]

=(b x)n1(n 1)!

[A f (n)(x)]

Entao

(c) = 0 (b c)n1

(n 1)![A f (n)(c)] = 0 (b c)n1 = 0 f (n)(c) A = 0.

Como c ]a, b[ vem f (n)(c) = A. Por construcao de temos (a) = 0, portanto,

0 = (a) = f(b) [f(a) + (b a)f (a) + (b a)2

2!f (a)+

+ + (b a)n1

(n 1)! f(n1)(a) +

(b a)nn!

f (n)(c)],

e obtemos assim ().


NOTA: A hipotese a < b e desnecessaria, como facilmente se observa na demonstracao.Apenas foi introduzida para facilitar o enunciado.

A expressao () chama-se formula de Taylor de ordem n de f . Fazendo noenunciado do teorema b = a+ h, vem

f(a+ h) = f(a) + h f (a) +h2

2!f (a) + + h

n1

(n 1)! f(n1)(a) +

hn

n!f (n)(a+ h),

sendo 0 < < 1.

Ao termohn

n!f (n)(a+h) ou

(b a)nn!

f (n)(c) chama-se resto de Lagrange da formula

de Taylor.No caso em que a = 0, a formula de Taylor e conhecida por formula de MacLaurin:

f(x) = f(0) + f (0) x+ f (0)x2

2!+ + f (n1)(0) x

n1

(n 1)! + f(n)(c)

xn

n!,

sendo 0 < c < x ou x < c < 0.

EXEMPLO 1: Vamos escrever a formula de MacLaurin, com resto de ordem 4, da funcao

f(x) = ex sen(x).

Como f e uma funcao de classe C(R) podemos escrever a sua formula de MacLaurin dequalquer ordem. Em particular, para n = 4 existe c entre 0 e x tal que

f(x) = f(0) + f (0) x+ f (0)x2

2!+ f (0)

x3

3!+ f (IV )(c)

x4

4!.

Calculemos as derivadas de f .

f (x) = ex (sen(x) + cos(x)) f (0) = 1f (x) = 2ex cos(x) f (0) = 2f (x) = 2ex(cos(x) sen(x)) f (0) = 2f (4)(x) = 4exsen(x) f (4)(c) = 4ecsen(c)

Logo,

exsen(x) = x+ 2x2

2!+ 2

x3

3! 4ecsen(c) x

4

4!= x+ x2 +

x3

3 ecsen(c) x

4

6

com c entre 0 e x.

EXEMPLO 2: Calculemos, usando a formula de Taylor, o limite

limxpi

log(| cos(x)|) + (x pi)2

2(x pi)2

3.4 Teorema de Taylor 59

Consideremos a funcao f(x) = log(| cos(x)|). E uma funcao de classe C em D ={x R : cos(x) 6= 0}. Como pi D, podemos escrever a formula de Taylor de ordem 3 def em potencias de x pi: existe c entre x e pi tal que

f(x) = f(pi) + f (pi) (x pi) + f (pi) (x pi)2

2!+ f (c)

(x pi)33!

Como f(pi) = 0 e

f (x) = sen(x)cos(x)

= tg(x) f (pi) = 0

f (x) = 1(cos(x))2

f (pi) = 1

f (x) = 2 sen(x)(cos(x))3

f (c) = 2 sen(c)(cos(c))3

temos

f(x) = (x pi)2

2! 2 sen(c)

(cos(c))3 (x pi)

3

3!= (x pi)

2

2 sen(c)

(cos(c))3 (x pi)

3

3

Calculemos o limite pedido.

limxpi

log(| cos(x)|) + (x pi)2

2(x pi)2 = limxpi

(x pi)2

2 sen(c)

(cos(c))3 (x pi)

3

3+

(x pi)22

(x pi)2

= limxpi

sen(c)(cos(c))3

(x pi)3

3

(x pi)2 = limxpi( sen(c)

(cos(c))3 x pi

3

)= sen(pi)

(cos(pi))3 pi pi

3= 0

visto que quando x pi tambem c pi.

EXEMPLO 3: Escrevamos a formula de Taylor de ordem 2 da funcao

f(x) =1

1 + log(x)

em torno do ponto 1 e mostremos que

f(x) < 1 (x 1) + 3 (x 1)2

2x > 1.

A funcao f e de classe C em D = {x R+ : 1 + log(x) 6= 0}. Como 1 D podemosescrever a formula de Taylor de ordem 2 de f em potencias de x 1: existe c entre x e 1tal que

f(x) = f(1) + f (1) (x 1) + f (c) (x 1)2

2!


Como f(1) = 1 e

f (x) = 1x (1 + log(x))2

f (1) = 1

f (x) =3 + log(x)

x2 (1 + log(x))3 f (c) = 3 + log(c)

c2 (1 + log(c))3

temos

f(x) = 1 (x 1) + 3 + log(c)c2(1 + log(c))3

(x 1)2

2!

Podemos escrever

3 + log(c)

c2(1 + log(c))3=

2 + 1 + log(c)

c2(1 + log(c))3=

2

c2(1 + log(c))3+

1

c2(1 + log(c))2

Se x > 1 entao 1 < c < x, pelo que 1 + log(c) > 1 + log(1) = 1, c2 (1 + log(c))3 > 1 ec2 (1 + log(c))2 > 1. Entao

2

c2(1 + log(c))3< 2 e

1

c2(1 + log(c))2< 1

portanto,

f(x) < 1 (x 1) + 3 (x 1)2

2x > 1.

3.5 Aplicacoes da formula de Taylor 61

3.5 Aplicacoes da formula de Taylor a` determinacao

de extremos, sentidos de concavidade e pontos

de inflexao

Sabemos que os maximos e os mnimos de uma funcao diferenciavel podem ser calculadosrecorrendo a` primeira derivada, tendo em atencao que derivada positiva implica funcaocrescente e derivada negativa implica funcao decrescente.

A formula de Taylor tambem nos permite calcular os extremos de uma funcao a partirdas derivadas de ordem superior.

Teorema 3.5.1 Seja f : D R uma funcao contnua num ponto a, interior a D.

a) Se f(a) > 0, entao existe uma vizinhanca V de a tal que f(x) > 0, x V .

b) Se f(a) < 0, entao existe uma vizinhanca V de a tal que f(x) < 0, x V .

Demonstracao: Faremos apenas a demonstracao da alnea a).Se f e contnua em a entao, por definicao,

> 0 > 0 : |x a| < |f(x) f(a)| < .

Como f(a) > 0, fazendo = f(a), obtemos

> 0 : |x a| < |f(x) f(a)| < f(a).

Mas|f(x) f(a)| < f(a) f(a) < f(x) f(a) < f(a)

f(a) + f(a) < f(x) < f(a) + f(a) 0 < f(x) < 2f(a),

ou seja, f(x) > 0 x V(a).

Definicao 3.5.1 Diz-se que a e um ponto de estacionaridade de f se f (a) = 0.

Teorema 3.5.2 Seja f uma funcao classe Cn num intervalo I e a um ponto interior aI. Se

f (a) = f (a) = = f (n1)(a) = 0 e f (n)(a) 6= 0entao

a) se n e mpar, f nao tem extremo relativo em a;

b) se n e par, f tem maximo relativo em a se f (n)(a) < 0 e tem mnimo relativo em ase f (n)(a) > 0.


Demonstracao: Se queremos provar a existencia de extremo relativo no ponto a, temosde estudar o sinal de f(x) f(a). Sabemos que se existir uma vizinhanca de a ondef(x) f(a) mantem o sinal entao f(a) e extremo relativo de f , e que se tal nao acontecerentao f(a) nao e extremo relativo.

Como f (n)(x) e contnua e f (n)(a) 6= 0, existe uma vizinhanca V de a, V I, ondef (n)(x) toma o sinal de f (n)(a), isto e, se f (n)(a) > 0 entao f (n)(x) > 0 x V , sef (n)(a) < 0 entao f (n)(x) < 0 x V .

Seja x V . Visto que f e n vezes diferenciavel em I e V I, pelo Teorema de Taylorexiste c V tal que

f(x) = f(a)+f (a) (xa)+f (a) (x a)2

2!+ +f (n1)(a) (x a)

n1

(n 1)! +f(n)(c)

(x a)nn!

.

Por hipotese, f (a) = f (a) = = f (n1)(a) = 0, portanto,

f(x) = f(a) + f (n)(c)(x a)n

n!,

ou seja,

f(x) f(a) = f (n)(c) (x a)n

n!

Se n e mpar e f (n)(a) > 0 entao f(x) f(a) < 0 se x < a, x V , e f(x) f(a) > 0se x > a, x V , ou seja, f(a) nao e extremo relativo.

Se n e mpar e f (n)(a) < 0 obtemos relacoes analogas, com as desigualdades invertidas.Se n e par e f (n)(a) > 0 entao f(x) f(a) > 0 x V \ {a}, o que implica que f(a)

e mnimo relativo.Se n e par e f (n)(a) < 0 entao f(x) f(a) < 0 x V \ {a}, o que implica que f(a)

e maximo relativo.

EXEMPLO 1: Seja f(x) = x3 32x2.

f (x) = 0 3x2 3x = 0 3x(x 1) = 0 x = 0 x = 1.

Como f (x) = 3(2x1) temos f (0) = 3 e f (1) = 3. Pelo teorema anterior conclumosque f(0) e um maximo relativo e f(1) e um mnimo relativo.

EXEMPLO 2: Seja f(x) =1

2x sen(x).

f (x) = 0 12 cos(x) = 0 cos(x) = 1

2 x = pi

3+ 2kpi x = pi

3+ 2kpi, k Z.

Como f (x) = sen(x) temos f (pi3+ 2kpi) =

3

2e f (pi

3+ 2kpi) =

3

2. Pelo teorema

anterior conclumos que f(pi3+ 2kpi) e mnimo relativo k Z e f(pi

3+ 2kpi) e maximo

relativo, k Z.


EXEMPLO 3: Seja f(x) =x4 + 1

x2.

f (x) = 0 2(x4 1)x3

= 0 x4 1 = 0 x = 1 x = 1.

Como f (x) = 2x4 + 3

x4> 0, x R \ {0} temos que f(1) = f(1) e mnimo relativo.

EXEMPLO 4: Seja f(x) = x2(x 1)3.

f (x) = 0 x(x 1)2(5x 2) = 0 x = 0 x = 1 x = 25

Como f (x) = 2(x 1)(10x2 8x + 1) temos f (0) = 2 e f (25) = 18

25 Pelo teorema

anterior conclumos que f(0) e um maximo relativo e f( 25) e um mnimo relativo. Mas

f (1) = 0, portanto, temos de calcular f . Como f (x) = 6(10x2 12x+ 3), f (1) = 6o que implica que f(1) nao e extremo de f .

EXEMPLO 5: Seja f(x) = 2 cos(x) + sen(2x).

f (x) = 0 2 (2 sen2(x) + sen(x) 1) = 0 4 (sen(x) + 1)(sen(x) 1

2) = 0

sen(x) = 1 sen(x) = 12

x = 32pi + 2kpi x = pi

6+ 2kpi x = 5

6pi + 2kpi, k Z.

Como f (x) = 2 cos(x)(4sen(x)+1) temos f (pi6+2kpi) = 33 e f (5

6pi+2kpi) = 3

3,

o que implica que f(pi6+2kpi) e maximo relativo de f e f( 5

6pi+2kpi) e mnimo relativo de f ,

qualquer que seja k Z. Mas f (32pi + 2kpi) = 0 pelo que recorremos a` terceira derivada:

f (x) = 16 sen2(x) + 2 sen(x) 8, portanto, f (32pi + 2kpi) = 6, podendo concluir-se que

f(32pi + 2kpi) nao e extremo.

Definicao 3.5.2 Dadas duas funcoes f e g, definidas num intervalo I, diz-se que o graficode f fica acima do grafico de g num ponto a I se f(a) > g(a) e fica abaixo do graficode g num ponto b I se f(b) < g(b).

Se J I e f(x) > g(x), x J , diz-se que o grafico de f fica acima do grafico de gem J e se f(x) < g(x), x J , diz-se que o grafico de f fica abaixo do grafico de g emJ .

Seja f uma funcao definida e diferenciavel num intervalo I. Queremos determinara posicao do grafico de f em relacao a` tangente a esse grafico num ponto a int(I).Trata-se, portanto, de estudar a diferenca

r(x) = f(x) (f(a) + f (a) (x a)).


x

y

b a

ff(a)

f(b)

f(a)+f (a) (x-a)

f(b)+f (b) (x-b)

Figura 3.9

Definicao 3.5.3 Seja f uma funcao definida num intervalo I, diferenciavel em a I eseja r(x) = f(x) (f(a) + f (a) (x a)).a) Se existir uma vizinhanca V de a, V I, tal que r(x) > 0, x V \ {a}, diz-se que

f tem a concavidade voltada para cima em a;

b) Se existir uma vizinhanca V de a, V I, tal que r(x) < 0, x V \ {a}, diz-se quef tem a concavidade voltada para baixo em a.

c) Se existir uma vizinhanca V = ]a , a+ [ I de a tal quer(x) > 0 x ]a , a[ e r(x) < 0 x ]a, a+ [ our(x) < 0 x ]a , a[ e r(x) > 0 x ]a, a+ [,

diz-se que o grafico de f tem um ponto de inflexao em (a, f(a)).

A Figura 3.9 sugere a interpretacao grafica das definicoes anteriores.

Teorema 3.5.3 Sejam I um intervalo e f C2(I). O grafico de f tem a concavidadevoltada para cima (respectivamente, para baixo) em todos os pontos x, interiores a I, taisque f (x) > 0 (respectivamente, f (x) < 0).

Demonstracao: Seja a um ponto interior a I tal que f (a) 6= 0. Como f C2(I) ef (a) 6= 0, existe uma vizinhanca V de a, V I, onde f (x) toma o sinal de f (a), istoe, se f (a) > 0 entao f (x) > 0, x V , se f (a) < 0 entao f (x) < 0, x V .

Seja x V . Pelo Teorema de Taylor, existe c V tal que

f(x) = f(a) + f (a) (x a) + f (c) (x a)2

2!

Queremos estudar o sinal de r(x):


r(x) = f(x) (f(a) + f (a) (x a))= f(a) + f (a) (x a) + f (c) (x a)

2

2! (f(a) + f (a) (x a))

= f (c)(x a)2

2!

O sinal de r(x) depende apenas do sinal de f (c) que, por sua vez, tem o sinal def (a).

Se f (a) > 0 entao r(x) > 0, o que significa que f tem a concavidade voltada paracima.

Se f (a) < 0 entao r(x) < 0, o que significa que f tem a concavidade voltada parabaixo.

Corolario 1 Se f C2(I) e tem um ponto de inflexao num ponto a, interior a I, entaof (a) = 0.

Teorema 3.5.4 Sejam I um intervalo e f Cn(I), n > 2. Se a e um ponto interior aI tal que

f (a) = f (a) = = f (n1)(a) = 0 e f (n)(a) 6= 0entao

a) se n e par, f tem a concavidade voltada para cima se f (n)(a) > 0 e tem a concavidadevoltada para baixo se f (n)(a) < 0;

b) se n e mpar, a e ponto de inflexao.

Demonstracao: Como f (n)(x) e contnua e f (n)(a) 6= 0, existe uma vizinhanca V de a,V I, onde f (n)(x) toma o sinal de f (n)(a), isto e, se f (n)(a) > 0 entao f (n)(x) > 0,x V , se f (n)(a) < 0 entao f (n)(x) < 0, x V .

Seja x V . Como f e n vezes diferenciavel em I e V I, pelo Teorema de Taylorexiste c V tal que

f(x) = f(a)+f (a) (xa)+f (a) (x a)2

2!+ +f (n1)(a) (x a)

n1

(n 1)! +f(n)(c)

(x a)nn!

Por hipotese, f (a) = f (a) = = f (n1)(a) = 0, portanto,

f(x) = f(a) + f (a) (x a) + f (n)(c) (x a)n

n!

Queremos estudar o sinal de r(x):

r(x) = f(x) (f(a) + f (a) (x a))= f(a) + f (a) (x a) + f (n)(c) (x a)

n

n! (f(a) + f (a) (x a))

= f (n)(c)(x a)n

n!


a) Se n e par entao (x a)n > 0, x V \ {a}, o que implica que o sinal de r e o sinalde f (n)(c). Assim, se

f (n)(a) > 0, r(x) > 0 e f tem a concavidade voltada para cima;f (n)(a) < 0, r(x) < 0 e f tem a concavidade voltada para baixo.

b) Se n e mpar entao (x a)n > 0, x > a e (x a)n < 0, x < a.Mas isto implica que o sinal de r muda quando se passa de valores menores do que a

para valores maiores do que a. Portanto, a e ponto de inflexao.

EXEMPLO 1: Seja f(x) = x+ sen(x). Como f (x) = 1 + cos(x) temos

f (x) = 0 sen(x) = 0 x = kpi, k Z.Mas f (x) = cos(x), portanto, f (kpi) = 1 se k e mpar e f (kpi) = 1 se k e par.Conclumos, pelo teorema anterior, que kpi, k Z e ponto de inflexao.

EXEMPLO 2: Consideremos novamente a funcao f(x) = x2(x 1)3. Como f (x) =2(x 1)(10x2 8x+ 1) temos

f (x) = 0 x = 1 x = 4 +6

10 x = 4

6

10

Mas f (x) = 6(10x2 12x+ 3), portanto,

f (x) = 0 x = 66

10 x = 6 +

6

10,

o que implica que f (1) 6= 0, f (4

610

) 6= 0 e f (4+

610

) 6= 0. Pelo teorema anteriorconclumos que estes tres pontos sao pontos de inflexao.

Captulo 4

Funcoes Reais de Variavel Real:Primitivacao

4.1 Primitivas imediatas

Definicao 4.1.1 Sejam f e F duas funcoes definidas num intervalo I. Diz-se que F euma primitiva de f em I se F (x) = f(x), x I.

analise matematica i ana sa

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