FACULDADE DE TENOLOGIA DO ESTADO

DE SÃO PAULO

PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO

Curso de Analise de Sistema e Tecnologia da Informação

Autor:

Ronaldo Garcia Ferreira Leite

TRABALHO ESCRITO SOBRE O CALCULO INTEGRAL.

Americana/SP

2010

1

Autor:

Ronaldo Garcia Ferreira Leite

TRABALHO ESCRITO SOBRE O CALCULO INTEGRAL.

Americana/SP

2010

2

Trabalho apresentado para aprovação parcial na disciplina de calculo diferencial e integral

Este trabalho foi realizado sob a orientação do Professor: Adriano Luas Alves

SUMARIO

1. INTRODUÇÃO......................................................................................................4

2. DEFINIÇÃO DE CALCULO INTEGRAL E FUNÇÕES.........................................5

2.2 2.1. FUNÇÃO LOGARITMICA.......................................................................5

2.3 2.1.2 FUNÇÃO TRIGONOMETRICA.............................................................5

2.4 2.1.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL....................................................................6

2.5 2.1.3 DEFINIÇÃO DE CALCULO INTEGRAL................................................6

3. INTEGRAL DEFINIDA..........................................................................................7

4. Notação, propriedades e unidades para a integral definida.................................8

5. TEOREMAS SOBRE INTEGRAIS DEFINIDAS E INDEFINIDAS.......................10

6. APLICAÇÃO DO CALCULO EM EXERCICIOS.................................................14

7. CONCLUSÃO FINAL..........................................................................................16

8. BIBLIOGRAFIA...................................................................................................17

3

1. INTRODUÇÃO

O calculo integral foi criado a partir das necessidades que os povos

antigamente principalmente os gregos tinham de efetuar a medição de suas terras

esse tipo de problema era chamado quadratura, pois quando os geômetras

efetuavam a medição de áreas planas eles relacionavam com a forma geométrica

do quadrado por ser a forma mais simples, porém eles não conseguiam calcular

outras formas como o circulo ou formas curvilíneas após vários estudos pelos

gregos e por outros pesquisadores de outras épocas posteriores os mesmos

chegaram a uma formula para calcular tanto esse problema de geometria como

outros, conforme o passar das épocas o resultado dessas pesquisas foi o calculo

integral.

O calculo integral e uma função matemática que é utilizada atualmente por

varias ciências como a ciência física, ciência da computação, estatística,

engenharia, economia e medicina entre outras ciências que possuem um problema

que pode ser modelado matematicamente e exige uma solução prática. Essa função

também possui outra vantagem na matemática podendo ser utilizada em conjunto

com outras funções ou disciplinas para se localizar o resultado. Em relação

acadêmica o ensino desta disciplina desenvolve o raciocínio logico do aluno e

formulam uma base dependendo da graduação do aluno para sua profissão. Neste

trabalho irei demonstrar como a função foi criada, aplicações praticas com

exercícios resolvidos, sua utilização e definição e pontuar a relação entre a função

de calculo integral e a área de informática.

4

2. DEFINIÇÃO DE CALCULO INTEGRAL E FUNÇÕES.

O calculo e um ramo importante da matemática para desenvolver soluções

exatas e concretas através de operações sendo estas as funções matemáticas

como logarítmicas, trigonométricas e exponenciais. Uma função é uma regra que

aceita certos números como entrada e associa a cada um deles um numero de

saída definido (resultado), o conjunto de todos os números de entrada e

denominado domínio da função e o conjunto de todos os números de saídas

resultantes e denominado imagem da função. Irei resumir brevemente cada função,

pois não e o foco deste trabalho pontuar detalhadamente as funções.

2.2 2.1. FUNÇÃO LOGARITMICA.

 Em termos simples o logaritmo tem por sua definição ser um expoente que

uma dada base deve ter para produzir certa potência. Uma função logb(x) é definida

quando x é um número real positivo e b é um número real positivo diferente de um.

No contexto da computação é utilizado  log2(x) por motivos binários.

Para inteiros b e x, o número logb(x) é irracional (i.e., não é um quociente de dois

inteiros) se b ou x possui um fator primo que o outro não possui (e em particular se

eles são co-primos e ambos maiores que 1). Em alguns casos este fato pode ser

provado rapidamente: por exemplo, se log23 fosse racional, ter-se-ia log= n/m para

alguns inteiros positivos n e m, implicando que 2n. Mas essa última identidade é

impossível, uma vez que 2n é par e 3m é ímpar.

2.3 2.1.2 FUNÇÃO TRIGONOMETRICA.

Na matemática as funções trigonométricas são funções angulares, importantes

no estudo dos triângulos e na modelação de fenómenos periódicos. Podem ser

definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um

ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos

no unitário. Na análise matemática, estas funções recebem definições ainda mais

gerais, na forma de séries infinitas ou como soluções para certas equações

diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas estão definidas não só

para ângulos reais como também para ângulos complexos.

5

2.4 2.1.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL.

A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência

e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra

no expoente da equação utilizando das propriedades da potenciação e sua lei de

formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x

precisa ser maior que zero e diferente de um.

2.5 2.1.3 DEFINIÇÃO DE CALCULO INTEGRAL.

O calculo integral e uma disciplina da matemática que foi desenvolvido

através de outras disciplinas como álgebra e a geometria e a mesma esta contida

em um dos ramos do calculo diferencial, que consiste do integral que iremos ver

nesse trabalho e o diferencial. O calculo integral tem como foco o estudo das

propriedades, definições e aplicações de dois conceitos técnicos por operadores

lineares sendo dois tipos de integral sendo uma a indefinida e a seguinte como

definidas.

As duas formas de integral descritas acima nesse trabalho serão separadas

por capítulos e tratadas individualmente cada capitulo terá sua definição mais

detalhada aplicações e exemplos de aplicações e exercícios resolvidos, sendo que

abaixo irei demonstrar uma pequena introdução nos dois tipos de calculo integral.

Lembrando que no calculo dependendo da ferramenta que é utilizada para realizar

as operações matemáticas pode ter seu resultado alterado dependendo do

arredondamento por esse motivo todos os cálculos nesse trabalho serão

arredondados para cima.

A integral indefinida é a anderivada, o processo inverso da derivada. F é

uma integral indefinida de f quando f é uma derivada de F.

A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual fornece a

área entre o gráfico da função e o eixo do x. A definição técnica da integral definida

é o limite da soma das áreas dos retângulos, chamada Soma de Riemann.

No calculo integral para a denominação de funções e utilizado o caractere S

(∫) de forma alongada para simbolizar a integração, que significa também soma.

6

3. INTEGRAL DEFINIDA

A integral definida ela tem por finalidade calcular a variação total de uma função

a partir de sua taxa de variação, ela pode ser utilizada para calcular distancias

percorridas, área debaixo de uma curva, o valor médio da função e a integral

definida possibilita obter informações sobre uma função a partir de sua derivada.O

calculo integral comparando com o calculo derivado são de certo modo processos

inversos um do outro.

A operação de soma do calculo integral foi desenvolvida a partir do calculo de

distancia sobre uma velocidade não constante através do tempo percorrido como

função um demonstrada abaixo:

Função 1.

Δt = b – a

n

Onde a determinação das variáveis são o Δt seria a variação do tempo, a

variável b representa o tempo inicial t°, sendo que a variável a o tempo final e a

variável n a distancia percorrida em todo o processo. A partir desse conceito um

matemático chamado Riemann criou uma formula para se calcular a distancia

tomando como parte do calculo o limite para se obter a integral definida conforme a

figura dois.

Figura 2.

7

4. Notação, propriedades e unidades para a integral definida.

Como vimos na figura dois vale lembrar que a derivada é o limite de um

quociente de diferenças e sua notação para a integral definida nos ajuda a lembrar o

conceito de integral.

Figura 3.

Conforme figura três ajuda-nos a lembrar de que a integral é um limite de somas

(o sinal de integral é um S alongado) de parcelas da forma “f(x) vezes uma diferença

pequena de x”. De fato dx não e uma entidade separada, mas parte da notação da

integral, desta maneira pode considerar que o ∫ de dx como um único símbolo que

tem por significado “a integral de... em relação a x”. No entanto muitos especialistas

na área de matemática pensam de uma maneira informal em dx como sendo um

pequeno pedaço “infinitesimal” de x, que será multiplicado por f(x).

Conforme função demonstrada na figura dois a integral definida da função f,

sendo   no intervalo  , é igual ao limite da soma das áreas dos n, quando

o número desses retângulos tende ao infinito. Nesse caso a integral fornece a área

da região compreendida entre o eixo horizontal e o gráfico da função f,

para x percorrendo o intervalo  . A integral definida dispõe de algumas

propriedades a partir do conceito do calculo da área para se concluir a resolução do

seguinte problema:

Se f é uma função contínua em [a,b] e tal que  , para todo  ,

então a área da região compreendida entre o eixo x e o gráfico de f, para x variando

em [a,b], é dada por:  .

Entretanto, a definição de integral definida de uma função contínua num intervalo

pode ser naturalmente estendida, sem a condição a respeito do sinal da função no

intervalo dado. Assim

8

Voltamos a frisar que esse resultado somente representa a área da região

compreendida entre o eixo x e o gráfico de f, em determinado intervalo,

quando   nesse intervalo.

Se   no intervalo [a,b] então  é o valor do

negativo da área da região compreendida entre o eixo x e o gráfico def, e as

retas   e  .

E conforme a solução deste problema a integral adquiriu algumas propriedades

para sua função:

:

Propriedade 1:

Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função f+g é

integrável em [a,b] e a função se torna conforme abaixo.

.

Propriedade 2:

 Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b], então a

função k.f é integrável em [a,b] e a função se torna conforme abaixo.

  .

Propriedade 3:

Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e   em [a,b] então ] e a

função se torna conforme abaixo.

.

9

Propriedade 4.

Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto qualquer do

intervalo [a,b], então] e a função se torna conforme abaixo.

.

5. TEOREMAS SOBRE INTEGRAIS DEFINIDAS E INDEFINIDAS.

Vimos nos capítulos anteriores que a integral definida de uma taxa fornece a

variação total>Esse resultado é um dos mais importantes em calculo, pois faz a

ligação entre a derivada e a integral definida este teorema e conhecido como o

teorema fundamental e é enunciado, muitas vezes, da seguinte forma:

Se f e continua no intervalo [a,b] e f(t)

.

Em palavras a integral definida de uma taxa de variação fornece a variação total,

existem outras propriedades que a função pode obter dependendo da situação.

Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo

fechado [a, b]. Se F é uma função tal que

 para todo x em [a, b]

Então:

E:

10

É dado que conforme modelo de função.

Considere dois números x1 e x1 + Δx em [a, b]. Então temos

E:

.

Subtraindo as duas equações

.

Pode ser mostrado que

.

(A soma das áreas de duas regiões adjacentes é igual à área das duas regiões

combinadas.)

Manipulando esta equação obtemos

.

Substituindo a equação acima em (1) resulta em

.

De acordo com o teorema do valor médio para a integração, existe um c em

[x1, x1 + Δx] tal que:

.

Substituindo a equação acima em (2) temos que

.

Dividindo ambos os lados por Δx temos

.

11

Note que a expressão do lado esquerdo da equação é o coeficiente

diferencial de Newton para F em x1.

Considere o limite com Δx → 0 em ambos lados da equação.

A expressão do lado esquerdo da equação é a definição da derivada de F em x1.

.

Para encontrar o outro limite, usaremos o teorema do sanduíche. O

número c está no intervalo [x1, x1 + Δx], então x1 ≤ c ≤ x1 + Δx.

Também,   e  .

Assim, de acordo com o teorema do sanduíche,

.

Substituindo em (3), temos:

.

A função f é contínua em c, então o limite pode ser inserido na função. Assim,

temos

.

Que completa a prova, outra maneira de se provar a definição e pelo método de

soma de Riemman.

A Soma de Riemann é algumas vezes tratada como o segundo teorema

fundamental do cálculo [1] ou axioma de Newton-Leibniz.

Considere f contínua no intervalo [a, b], e F a anderivada de f. Comece com a

quantidade.

.

Considere os números x1 a xn tal que,

. Que leva a

.

12

Agora, somamos cada F(xi) juntamente com sua inversa aditiva, de forma que a

quantidade resultante é igual:

A quantidade acima pode ser escriva como a seguinte soma:

Aqui, aplicamos o teorema do valor médio. Como anteriormente, é o seguinte:

Considere f contínua no intervalo fechado [a, b] e diferençável no intervalo aberto

(a, b). Então existe um c em (a, b) tal que:

.

Segue que

.

A função F é diferençável no intervalo [a, b]; logo, ela é também diferençável em

cada intervalo xi-1. Logo, de acordo com o teorema do valor médio (acima),

.

Substituindo a equação acima em (1), temos.

.

Esta consideração implica que F'(ci) = f(ci). Também, xi − xi − 1 pode ser

expressado como Δx de partição i.

Lembrando que ambas as propriedades podem ser visualizadas considerando-

se a integral definida como o limite de uma soma de áreas de retângulos, e por esse

motivo todas as propriedades contidas nas funções são validas.

13

6. APLICAÇÃO DO CALCULO EM EXERCICIOS.

1)-Calcule exatamente, a integral definida de ∫2/0 (1+3x)dx.

Solução:

Esta integral pode ser quebrada da seguinte maneira:

∫ 2/0(1+3x)=∫1dx +∫2/0 3xdx=∫1dx+ 3∫2/0x dx.

Essa quebra expressa a ideia original em termos de duas integrais mais

simples. Da interpretação da integral como área vemos que:

∫2/0 1sx =2

Já que ela representa a área debaixo da reta horizontal y=1 entre x=0 e x =2.

Analogamente:

∫2/0 x dx =1/2*2*2=2

Portanto

∫2/0(1+3x)dx=∫2/0 1 dx + 3∫2/0 x dx =2+3.(2)=8.

Solução do exercício é igual a oito.

2)-Suponha que F(t) representa uma população de bactérias que é de 5

milhões no instante t =0. Depois de t horas,a população esta crescendo a uma taxa

instantânea de 2^t milhões de bactérias durante a primeira hora e a população em

t=1.

Solução:

Como a taxa de crescimento da população é F(t)=2^t temos a variação na

população = F(1)-F(0)=∫1/0 2^t.

Variação na população =∫ f1/0 2^t =1,44 milhões de bactérias.

Como F(0)=5,a população em t=1 é dada por :

População =F(1)=F(0) +∫1/0 2^t dt = 5 +1,44 milhões= 6,44 milhões.

A quantidade da população será de aproximadamente 6,44 milhões de

bactérias.

14

3)- Suponha que C(t), representa o custo diário para refrigerar sua casa,

medido em reais por dia, onde t é o tempo medido em dias e t=0 corresponde a 1°

de janeiro de 2001.Interprete ∫ 90/0 C(t) dt e 1/90-0C(t) dt.

Solução:

As unidades para a integral ∫ 90/0 dt são (reais /dias)x (dias)=reais. A integral

representa o custo total em reais para refrigerar sua casa durante os 90 primeiro

dias de 2001, isto é, durante os meses de janeiro, fevereiro e março.A segunda

expressão é medida em (1/dias)(reais), ou reais por dia, as mesmas unidades de

C(t). Ela representa o custo médio por dia para refrigerar sua casa durante os 90

primeiros dias de 2011

4)-Calcule ∫ 3/1 2x dx por dois métodos diferentes.

Solução:

Usando o método de somas a esquerda e a direita podemos aproximar essa

integral com qualquer precisão desejada. Com n=100, por exemplo, a soma

esquerda é 7,6 e a soma a direita é 8,04.Usando n=500, vemos que:

7,992< ∫3/1 2x dx < 8,008

Agora utilizando o teorema fundamental, por outro lado, nos permite calcular

a integral precisamente. Seja f(x)=2x, sabemos que se F(x)=x², então F(x)=2x.

Logo utilizando a função F(x)=2x e F(x)= x² para se obter o resultado preciso:

∫3/1 2x dx =F(3)-F(1) = 3² -1²= 9 – 1=8.

5)- Mostre que 2 ≤ ∫² (1+x (1+x³)^-1/2 ≤ 6.

Solução:

Note que a função é crescente, já que x³ torna-se maior quando x aumenta.

Isso significa que f(0) ≤F(x)≤ f(2). Para essa função ,f(0)=1 e f(2)=3.Podemos, então

imaginar a área debaixo do gráfico de f entre a área debaixo da reta y=1 e a área

debaixo da reta y=3 no intervalo 0≤x≤2.

15

7. CONCLUSÃO FINAL

O Projeto proposto ofereceu de recursos para desenvolver o conhecimento

sobre a disciplina matemática de calculo integral e suas propriedades melhorando

assim o raciocínio logico do aluno e a calcular valores mais aproximados de

derivadas definidas ou não. A relação desta disciplina para com a área da

tecnologia da informação além de conforme dito no projeto que na área da

computação se utiliza a função logarítmica que e uma das funções base do calculo

integral, por possuir outras disciplinas que exigem um raciocino logico apurado

como programação, estrutura de banco de dados e compiladores a disciplina ajuda

em muito a desenvolver essa capacidade mental para facilitar o desempenho de

outras matérias.

16

8. BIBLIOGRAFIA

Fontes: Livro academicoCalculo de uma variávelAutor: Hughes –Hallet /Gleason /mcCallum et .alEditora:LTCAno: 2009

Fonte: Enciclopédia

http://pt.wikipedia.org

Fonte:Artigo:

http://ecalculo.if.usp.br/

Fonte:Artigo:

http://www.crossroad.jp/mathnavi-en/integral/formula/integral_formula.html

Fonte: Artigo

http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais.php

17