03 matematica

7/16/2019 03 Matematica

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41

MATEMÁTICA

OPERAÇÕES COM NÚMEROSREAIS

CONJUNTO DOSNÚMEROS REAIS (R)

Define-se o conjunto dos números reais como:

R=Q {irracionais {x | x é racional oux é irracional}

Assim, são números reais:

- os números naturais.

- os números inteiros.

- os números racionais.

- os números irracionais.

Como subconjuntos importantes deR, temos :

R*=R - {0}

R+= conjunto dos números reais não-negativos.

R– = conjunto dos números reais não-positivos.

O CONJUNTO DOS NÚMEROSNATURAIS (N)

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Um subconjunto importante de N é o conjunto N*:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}— o zero foi excluído doconjunto N.

Podemos considerar os números naturais ordena-dos sobre uma reta, conforme o gráfico a seguir:

CONJUNTO DOSNÚMEROS INTEIROS (Z)

Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Além do conjunto Z, convém destacar os seguintessubconjuntos de Z:

Z* = Z - {0}

Z+=conjunto dos números inteiros não-negativos ={0, 1, 2, 3, 4, ...}

Z– = conjunto dos números inteiros não-positivos ={0, -1, -2, -3, -4,...}

Observe que Z+ =N

Podemos considerar os números inteiros ordenados so-bre uma reta, conforme o gráfico a seguir:

CONJUNTO DOS NÚMEROS

RACIONAIS (Q)

Vamos acrescentar as frações positivas e negativasaos números inteiros e teremos os números racionais.

Então: 2,54

, 1 ,13

, 0 ,35

, 1 ,32

, por

exemplo, são números racionais.

Todo número racional pode ser colocado em forma

ab

, com a Z, b Z e b 0 .

Exemplos:

221

42

63

001

02

03

54

54

111

22

33

Assim, podemos escrever:

Q { }x | xab

,com a Z, b Z e b 0

É interessante considerar a representação decimal

de um número racionalab, que se obtém dividindo-se a

porb:

12

05 125 37 , , ,-5

7520

Estes exemplos se referem às decimais exatasou finitas.

13

0333 11666 0857142857142 , ... , ... , .... 76

67



42

MATEMÁTICAEstes exemplos se referem às decimais periód i-

cas ou infinitas.

Então, toda decimal exata ou periódica pode ser

representada na forma de número racionalab

.

055

1012

13

, 0,333...=39

Podemos representar geometricamente os núme-ros racionais sobre uma reta, conforme o gráfico:

Observamos no gráfico que:

- entre dois inteiros nem sempre existe outro inteiro.

- entre dois racionais sempre existe outro racional.

Exemplos:

Entre 1 e5

4existe

6

5, entre

6

5e

3

2existe

5

4.

Dizemos que o conjunto dos números racionais édenso. Isso não significa que preencha todos os pontosda reta, conforme veremos a seguir.

CONJUNTO DOS NÚMEROSNATURAIS

Os conjuntos cujos elementos são números cha-mam-se conjuntos numéricos.

Existem conjuntos numéricos que recebem nomesespeciais.

O CONJUNTO NComeçando por zero e acrescentando sempre na unida-

de obtemos os chamados números naturais.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .....}

Todo número natural tem um sucessor, o conjuntodos números naturais, não tem fim, isto é, não é possívelcontar seus elementos. Também falamos em antecessorde um número.

Dizemos que N tem infinitos elementos

Exemplo: 6 é o sucessor de 5.

4 é o antecessor de 5.

Dentro do conjunto N podemos identificar algunssubconjuntos:

a) Retirando de N o número zero, temos o conjunto:

N* = {1,2,3,4,5,6,7,8.....}

b) O conjunto dos números naturais pares:

P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,.....}

c) O conjunto dos números naturais ímpares:

I = {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,.....}

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DOCONJUNTO N

Os números naturais podem ser representadosnuma reta do seguinte modo:

a) consideramos m ponto (0), que fazemoscorresponder ao número zero:

0

0

b) Escolhida uma unidade (cm) e marcamos na retaos pontos A,B,C,D,E, etc,... do mesmo lado de 0 e taisque:

0 A B C D E

0 1 2 3 4 5

Os pontos A,B,C,D,E correspondem aos números

naturais 1,2,3,4,5.....A essa representação geométrica doamos o nome

de reta numerada.

FORMAS DE REPRESENTAÇÃODado o conjunto K ={0,1,2,3,4}pode ser descrito como

segue:

K x N x leia x N tal que / :5 ( 5)

A seguir os sinais e seus significados indicados na tabela:

m > n -->m é maior que n

m < n -->m é menor que nm n-->m é menor ou igual a n

m n-->m é maior ou igual a n

EXERCÍCIOS1) Dê o sucessor e o antecessor, no conjunto N de:

a) 285 b) 24 c) 7682 d) 8

2) Escreva na ordem crescente os números parescompreendidos entre 641 e 659.

3) Escreva cada conjunto dando seus elementos:

a x N x é par e) { /b) {x N / x<4}

x 8}

c) {x N / 3<x 9}

d) {x N / x é ímpar e 30 < x < 40}

4 ) Sendo dados A {x N/ x 7}, B {x N 2 x 9 e C {x N/3 x 8}, descreva os seguintes conjuntos no-meando seus elementos entre chaves:

a) A b) B c) C d) A –B



43

MATEMÁTICA

e) B C f) A B

5) Qual é o antecessor de n+4, quando n=3

6) Quais são os números naturais, maiores que 20e menores que 80, em que o algarismo das unidades é osucessor do das dezenas?

RESPOSTAS1) a) 286, 284 b) 23 e 25

c) 7681 e 7683 d) 7 e 92) {642, 644, 646, 648, 650, 652, 654, 656, 658 }

3) a) {0,2,4,6} b) {0,1,2,3}c) {4,5,6,7,8,9} d) {31,33,35,37,39}

4) a) A={0,1,2,3,4,5,6,7}

b) B={3,4,5,6,7,8} c) C={3,4,5,6,7,8}

d) A – B={0,1,2}e) BC={3,4,5,6,7,8} f) AB={3, 4, 5, 6, 7}

5) 6

6) {23,34,45,56,67,78}

ADIÇÃO DE NÚMEROSNATURAIS

Adição é a operação que determina um número na-tural para representar o total de objetos de duas ou maiscoleções.

No exemplo, as parcelas são 5 e 4 e a soma 5 + 4é igual a 9. Indicamos:

5 + 4 = 9 ou 4

5 +

parcelas soma 9

PROPRIEDADES DA ADIÇÃOSendo a,b e c números naturais, podemos escre-

ver:

a) • a + b = b + a

propriedade comutativa

b) • 0 + a = a + 0 = a

propriedade do elemento neutro

c) • (a + b) + c = a+(b+c)

propriedade associativa

d) • a + b é um número natural

propriedade do fechamento

Exemplos:

a) Propriedade Comutativa

24 + 23 = 23 + 24 = 47

b) Propriedade do Elemento Neutro

0 + 1 = 1 + 0 = 1

c) Propriedade Associativa

(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9

2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)

d) Propriedade do fechamento

4 + 3 = 7 , a soma N

EXERCÍCIOS1) Calcule

a) 2700 + 2550 + 42 + 32 =

b) 66 + 166 + 266 =

c) 1300 + 245 =d) 22 + 33 + 42 + 24 =

e) 8449500 + 28618830 + 246408 + 24644 =

2) Qual é a soma do número 142 com o seu suces-sor?

3)Calcule o valor da expressão:

a) (72 + 18) + 26 = b) 820 + 142 + 121=

c) (34 + 15) + (71 + 11)= d) 42 + 201 + 110 + 97=

4) Substitua os ( ) de modo que as adições fiquemcorretas.

a) 3 ( ) 1 b) ( ) 9 ( ) 6+ ( ) 7 8 +5 ( ) 7 ( )

6 0 9 12 3 1 6

c) 4 ( ) 7 ( )

+( ) 8 ( ) 9

10 7 8 2

5) Encont re o valor de x:

a) x + 32 = 64 b) x + 768 = 953

c) x + 100 = 343 d) 57 + x = 100

RESPOSTAS1) a) 5324 b) 498 c) 1545

d) 121 e) 37339382

2) 285

3) a) 116 b) 1083 c) 131d) 450



44

MATEMÁTICA4) a) 331 + 278 b) 6946 + 5370

c) 4973 + 5809

5) a) x=32 b) x=185 c) x=243

d) x=43

SUBTRAÇÃO DE NÚMEROSNATURAIS

Quando dois números naturais a e b e realizamos asubtração, o resultado é indicado por a - b e chama-sediferença entre a e b.

No exemplo, o minuendo é 20, o subtraendo é 4 e adiferença 20 - 4 é igual a 16. Indicamos:

20 - 4 = 16

minuendo subtraendo diferença

ou 20 minuendo

-4 subtraendo16 diferença ou resto

Obs: A diferença é o número que somado ao

subtraendo dá o minuendoa - b = d d + b = a

O sinal significa equivale a

Essa equivalência é a propriedade fundamental dasubtração.

EXERCÍCIOS1) Calcule as diferenças e verifique se acertou o cálculo

usando a propriedade fundamental da subração.

a) 548 - 237 = b) 72224 - 2555 =

c) 1138 - 279 =

d) 1996 - 1985 = e) 173 - 88 =2) Numa operação, o minuendo é 111 e o subtraendo

27. Qual é a diferença?

3) Numa subtração o minuendo é 2007 e a diferen-ça é 939. Qual é o subtraendo.

4) Calcule o valor desconhecido (use as equivalên-cias entre as operações adição e subtração)

a) 10 - x = 2

b) x - 2 = 10

c) 8 + x = 20

d) (5 + x) + 15 = 30e) 5 + (x + 10) = 20

f) (3 + x) + 8 = 20

g) (x + 2) + 20 = 24

h) 12 + (x + 4) = 24

i) (x + 9) + 15 = 31

5) Copie substituindo as interrogações por núme-

ros:

a) 111 - 40 = ____? Porque ____ + ____ = ____

b) 218 - 10 = ____? Porque ____ + ____ = ____

c) 115 - 113 = ____? Porque ____ + ____ = ____

d) 21 - 21 = ____? Porque ____ + ____ = ____

RESPOSTAS

1) a) 311 b) 69669 c) 859d) 11 e) 85

2) 84 (diferença)

3) 1068 (subtraendo)

4) a) x=8 b) x=12 c) x=12 d) x=10

e) x=5 f) x=9 g) x=2 h) x=8 i) x=7

5) a) 111 - 40=71? Porque 40 + 71 = 111

b) 218 - 10=208? Porque 10 + 208 = 218

c) 115 - 113=2? Porque 113 + 2 = 115

d) 21 - 21= 0? Porque 21 + 0 = 21

EXPRESSÕES ARITMÉTICASCOM ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

No cálculo de uma expressão aritmética lembre-seque:

1o) as adições e subtrações devem serem feitas naordem em que aparecem.

2o) devemos calcular seguindo esta ordem: parên-teses, colchetes e as chaves.

Exemplos:

a) 13 - [(10 - 4) + 7] =

= 13 - [(6) + 7] =

= 13 - [13]

= 13 - 13 = 0

b) 3 + {17 + [(16 - 10) + 20] - 3}=

= 3 + {17 + [6 + 20] - 3}

= 3 + {17 + [26] - 3}

= 3 + {17 + 26 - 3}

3 + {40}= 43

1) Calcule

a) 20 - 8 - 3 + 4 - 1 =

b) 20 - 8 - [(3 + 4) - 1] =

c) [45 + (32 - 20)] - [(50 - 30) + 25] =

d) 57 - [64 - (23 + 7 - 8) + 15] =



45

MATEMÁTICA

e) 17 + {42 + [26 - (9 + 5)] - 10}=

f) 72 - {25 + [34 -(18 + 9 - 5)] + 15}=

g) (891 - 360) + (286 - 56) - (112 +8) =

h) 251 +{348 - [127 +(439 - 182 - 145)]}=

2) Copie substituindo as interrogações por númerode modo que as somas nas linhas horizontais e tambémnas verticais sejam todas iguais a 100.

? ? 10

? 15 25

20 ? ?

3) Copie e complete de modo que as somas, naslinhas horizontais e nas verticais, sejam sempre iguais a200.

40 ? ?

? 55 75

? ? 60

RESPOSTAS1) a) 12 b) 6 c) 12 d) 0

e) 61 f) 20 g) 641 h) 360

2) 20 70 10

60 15 25

20 15 65

3) 40 95 65

70 55 75

90 30 60

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSNATURAIS

Quando temos dois números naturais a e b, reali-zamos a multiplicação, o resultado é indicado por a.b a ax b. Chama-se produto a.b e fatores os números a e b.

No exemplo, os fatores são 3 e 4 e o produto é 3 . 4é igual a 12. Indicamos:

3 x 4 = 12

ou 3 . 4 = 12

ou 3

x4

12

Observações:

a) O produto a.b é igual à soma de a parcelas iguaisa b. Exemplo: 3.5 = 5 + 5+ 5 = 15

b) Quando o primeiro fator é 1, o produto é igual aosegundo fator.

Exemplo: 1 . 2 = 2

c)Qualquer número multiplicado por zero, terá o produto

zero.Exemplo: 0 . 4 = 0

Propriedades:

a) Comutativa: A ordem dos fatores não altera oproduto

Exemplo: 2 x 5 = 5 x 2 a x b = b x a

10 = 10

b) Associativa: Na multiplicação de três ou maisfatores, podemos agrupar os fatores de maneiras dife-rentes que o produto não se altera.

(a x b) x c = a x (b x c)

Exemplo:

(1 . 3) . 4 = 1 . (3 . 4) 12 = 12

c) Distributiva: O produto de um número por umasoma indicada é obtida multiplicando-se cada um dostermos da soma por esse número.

a . (b + c) = a . b + a . c

Exemplo:

2 . (4 + 3) = 2 . 4 + 2 . 3 = 8 + 6 = 14

d) Elemento Neutro: O número 1 é o elementoneutro da multiplicação.

Exemplo: 1 . a = a . 1 = a

Exemplo: 1 . 2 = 2 . 1 = 2

EXPRESSÕES NUMÉRICASPara calcular expressões numéricas que envolvam adi-

ção, subtração e multiplicação, existem duas regras:

1o) Efetuam-se as multiplicações, na ordem em queaparecem.

2o) As adições e subtrações, na ordem em queaparecem.

Exemplos:

a) 15 + (4 x 2 + 8 x 4) =

= 15 + (8 + 32) =

= 15 + 40 = 55

b) 6 . {3 + [2 . (6 + 2 . 3)]}=

= 6 . {3 + [2 . (6 + 6)]}=



46

MATEMÁTICA= 6 . {3 + [2 . 12]}=

= 6 . {3 + 24} 6 . 27 = 162

EXERCÍCIOS1) Determine os produtos :

a) 1273 x 16 = b) 982 x 324 =

c) 14578 x 3245 =

2) Determine:

a) o dobro de 26 = b) o dobro de 1200 =c) o triplo de 400 =

d) o triplo de 32 = e) o quádruplo de 120 =

f) o quíntuplo de 12 =

3) Determine o valor das expressões aritméti-cas:

a) 4 + (2 . 3 - 2) = b) (9 - 5) . 2 - 2 . 3 =

c) 3 . (9 + 4) + 2 . 2 - 1 =

d) 5 . (3 . 12 - 20 + 3) + 4 . (4 . 12 + 23 - 3 . 2) =

e) 120 - {60 +[(9 . 2 +30 - 2 . 3) - (16 . 2 - 15 +2)] +6}=

4) Aplicando a p ropriedade distribu tiva da mul-tiplicação:

a) 4 . (6 + 2) = b) 5 . (3 + 4) =

c) 2 . (1 + 3 ) = d) 20 . (10 + 2) =

e) 5 . (7 - 2) = f) 4 . (8 - 2) =

g) (4 + 2) + 5 . (8 - 3) =

5) Calcule:

a) 2 - 4 + 3 . 2 = b) 8 . 3 - 4 . 6 =

c) 15 - 4 . 1 + 2 = d) 12 - 2 . 4 =e) 9 . 6 + 7 . 2 - 3 . 3 =

f) 5 . 8 - 9 . 4 + 6 . 7 - 7 =

g) 5 . 7 - 8 . 3 + 9 . 9 - 4 . 14 + 12 . 0 =

h) 3 . 4 + 5 . 3 - 2 . 3 + 4 =

RESPOSTAS1) a) 20368 b) 318168 c) 47305610

2) a) 52 b) 2400 c) 1200

d) 96 e) 480 f) 60

3) a) 8 b) 2 c) 42d) 355 e) 31

4) a) 32 b) 35 c) 8

d) 240 e) 25

f) 24 g) 31

5) a) 4 b) 0 c) 13 d) 4

e) 59 f) 39 g) 36 h) 25

DIVISÃO DOS NÚMEROS NATURAIS Tendo dois números naturais a e b realizamos a

divisão, o resultado é indicado por a : b ou a b, chama-se quociente de a por b.

O número a é o dividendo e o b é o divisor

60 2

0 30

60 : 2 = 30

60 2 = 30

Dividendo = quociente . divisor

Dividendo = quoci ente . divisor + resto

1235 17

45 72 resto < divisor

11

Não existe a divisão por zero

Exemplo:

4 : 0 e 0 : 0 não tem sentido.

EXERCÍCIOS1) Se numa divisão exata o divisor é 8 e o dividendo

é 64, qual é o quociente?

2) Se numa divisão exata o quociente é 12 e o divisoré 16, qual é o dividendo?

3) Se numa divisão exata o quociente é 81 e o divi-dendo 729, qual é o divisor?

4) Numa divisão o divisor é 24, o quociente é 9 e o

resto 10. Qual é o dividendo?5) Se numa divisão o resto é 7, o quociente é 8 e o

divisor é 9, qual é o dividendo?

RESPOSTAS1) 8 2) 192 3) 9 4) 226 5) 79

EXPRESSÕES ARITMÉTICASPara calcular expressões que envolvam adição, sub-

tração, multiplicação e divisão existem duas regras.

1o) Efetuam-se as multiplicações e as divisões, na

ordem em que aparecem.2o) As adições e subtrações, na ordem em que apa-

recem. Obedecendo a ordem parênteses, depois os col-chetes e por fim as chaves.

Exemplo:

a) 15 . 9 : 5 + 32 : 4 =

= 135 : 5 + 8 =

= 27 + 8 = 35



47

MATEMÁTICA

EXERCÍCIOS1) Determine o valor da expressão:

a) 14 + [(8 . 9 - 6 . 5) + ( 24 : 6 - 32 : 16)] =

b) [9 + 2 . (6 - 4) - (15 : 5 + 7)] : 3 =

c) 38 - {7 . (6 - 3) + [(22 + 8) : 5 - 1]+ 2 . (19 - 13)}=

d) 327 - {4914 : 54 + [42 - (448 : 32 + 16)]}=e) 8 : 2 . 4 + {[(9 - 8) . 16 - 1] . 4}=

f) [100 - (25 - 9)] : 2 =

RESPOSTAS1) a) 58 b) 1 c) 0

d) 224 e) 76 f) 42

PROBLEMAS ENVOLVENDO AS

QUATRO OPERAÇÕESOs problemas com números naturais podem seremtraduzidos da linguagem comum para a linguagem mate-mática de forma que se possa entender claramente oenunciado proposto.

Deve-se determinar os cálculos necessários para aresolução do problema e achar o número desconhecido.

Exemplos:

1) O senhor João deu aos seus 3 filhos a quantia deR$ 4.400,00. Deu a Maria R$400,00 mais que Paulo, eà Cristina deu R$ 200,00 menos que a Paulo. Quando

recebeu cada um?Como as quantias de Maria e Cristina estão relaci-

onadas com a de Paulo, vamos chamar P a quantia quePaulo recebeu. Assim:

Paulo P

Maria P + 400,00

CristinaP - 200, 00

P + (P + 400) + (P - 200) = 4.400

(P + P + P + P) + (400 - 200) + 4.400

3P + 200 = 4.400

3P = 4.400 - 2003P = 4.200

P = 1.400

Paulo = P = 1.400,00

Maria = P + 400 = 1.400,00 + 400,00 = 1.800,00

Cristina = P - 200 = 1.400,00 - 200,00 = 1.200,00

2) Pensei em um número e somei 45. Depois dupliqueio resultado e obtive 500. Em que número pensei.

No pensado x

Somei x + 45

2 . (x + 45) = 500

500 : 2 = x + 45

250 = x + 45

250 - 45 = x

x = 205

3) Represente dois números consecutivos

n e n + 1 são consecutivos

m - 1 e m são consecutivos

O dobro do sucessor de um número é igual a40. Qual é o número?

NO pensado x

dobro sucessor 2(x + 1) = 40

2x + 2 = 40

2x = 38 x = 19NÚMEROS INTEIROS

PROPRIEDADES E OPERAÇÕESOs números inteiros fazem parte do conjunto dos núme-

ros reais, assim como os naturais e racionais ou fracionários.Vejamos, então, o conjunto dos números inteiros:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

MÓDULO DE UM NÚMERO INTEIROChama-se “módulo” de um número inteiro a distân-

cia ou afastamento desse número até o zero, na retanumérica inteira, e se representa por . Exemplo:

a) O módulo de +6 é 6 e indica-se |+6| = 6

b) O módulo de -4 é 4 e indica-se |-4| = 4

NÚMEROS INTEIROS OPOSTOS

OU SIMÉTRICOSNa linguagem matemática, o oposto de um número

também é chamado de simétrico desse número.

- O oposto ou simétrico de 5 é -5

- O oposto ou simétrico de -3 é 3- O oposto ou simétrico de 100 é -100

Obs. O oposto de zero é o próprio zero

COMPARAÇÃO DE NºS INTEIROSRepresentando Z em uma reta, pode-se perceber

que:

- Entre dois nºs inteiros positivos, o maior é o quetem maior módulo.



48

MATEMÁTICAEx.: esta afirmação significa comparar os números

inteiros +10 e +15, ou seja, +15 > +10

- Entre dois números inteiros negativos, o maior é oque tem o menor módulo.

Ex.: Esta afirmação significa c2omparar os númerosinteiros -5 e -15 da seguinte maneira

-5 > -15

* Qualquer número inteiro positivo é maior que zero.

* Qualquer número inteiro negativo é menor que zero.

Ex.:

. +5 > +2 —> +5 está à direita de -2

. +4 > 0 —> +4 está à direita de 0

. -1 > -4 —> -1 está à direita de -4

. 0 >-3 —> 0 está à a direita de -3

. +2 >-4 —> +2 está à direita de -4

* De dois números inteiros quaisquer, o maior éaquele que está mais à direita na reta numérica inteira.Exemplos:

1) Usando os símbolos >ou <, compare os númerosinteiros:

a) 0 e +7 ( 0 < +7 ) b) +11 e 0 (+11 >0 )

c) 0 e -9 ( 0 > -9 ) d) -13 e 0 ( -13 < 0 )

e) +2 e -19 ( +2 > -19 ) f) -30 e +6 ( -30 < +6 )

g) +7 e +20 ( +7 < +20 ) h) -1 e +5 ( -1 < +5 )

ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSA adição é uma operação usada para juntar quan-

tidades. Na adição de números inteiros iremos juntar quan-tidades positivas e negativas.

I - Adição de números inteiros de mesmo sinal.

1º exemplo: Calcular (+2) + (+3)

Os números dados são positivos.

Daí partindo do zero, “vamos andar” no sentido dosinteiros positivos, duas unidades, e a partir daí mais trêsunidades.

... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...

* Quando os dois números são positivos a soma éum número positivo

(+2) + (+3) = +5 (+4) + (+16) = +20

(+7) + (+6) = +13

2º exemplo:

(-3) + (-4)

Os números dados são negativos.

Daí, partindo do zero, vamos “andar”, no sentidodos inteiros negativos, três unidades, e a partir daí maisquatro unidades.

... -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Dessa forma, atingimos o ponto correspondente aonúmero -7

(-3) + (-4) = -7

- Quando os dois números são negativos, a soma éum número negativo:

(-2) + (-6) = -8

(-5) + (-7) = -12

II - Adição de números inteiros de sinais dife-rentes.

Exemplo: (+5) + (-8)

O primeiro número é positivo e o segundo é negati-vo. Daí, vamos “andar”, partindo do zero, inicialmente cincounidades no sentido dos inteiros positivos, e a partir daí oito unidades no sentido dos inteiros negativos.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Dessa forma atingimos o ponto correspondente donúmero -3

(+5) + (-8) = -3

- Quando os dois números têm sinais diferentes, osinal do resultado corresponde ao sinal do número queestá mais distante da origem, ou seja, o sinal do maiornúmero.

- O módulo do resultado é igual à diferença entre osmódulos das parcelas.

Exemplos:

. (-2) + (+6) = +4 (+4) + (-7) = -3

. (+9) + (-3) = +6 (-6) + (+1) = -5

Outros exemplos:

1) (-16) + (+20) = +4

diferença entre os módulos dos números positivo,pois +20 está mais distante do zero do que -16.

2) (-100) + (+42) = -58

diferenca entre os módulos dos números negativo,pois -100 está mais distante do zero do que +42

3) Durante a noite, os termômetros de uma cidademarcaram uma temperatura de -5 graus. Durante a ma-nhã a temperatura subiu 5 graus. Que temperatura ostermômetros marcaram durante a manhã?

Resolução: Neste problema devemor calcular (-5) +(+5), para isso vamos usar a reta numérica inteira:

* A soma de dois números inteiros opostos ou si-métricos é igual a zero.

Exemplos:

1) Vamos calcular:

a) (+11) + 0 =11

b) 0 + (-13) = -13

c) (+9) + (+31) =+40

d) (+28) + (+2) =+30



49

MATEMÁTICAe) (-34) + (-3) =-37

f) (-50) + (+9) =-41

g) (+40) + (-7) =+33

h) (-50) + (+9) =-41

i) (+21) + (21) =+42

j) (-32) + (-36) =-68

l) (-63) + (+41) =-22

m) (+6) + (-6) =0

ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS

NÚMEROS INTEIROS- Consideramos as seguintes situações:

1) Ivo tinha R$ 300,00 de saldo bancário. Se du-rante o dia ele deu um cheque de R$ 480,00 efez um depósito de R$ 210,00, qual foi seusaldo no final do dia?

Resolução:

Para resolver o problema, devemos:

Calcular:

(+300) + (-480) + (+210)

(+300) + (-480) + (+210) =

(-180) + (+210) = + 30

Podemos também chegar a esse resultado da se-guinte maneira:

- Somando o saldo existente , que é positivo, com odepósito feito

- Somando os dois resultados.

(+300) (+210) =+510

- Somando os dois resultados(+510) + (-480) = + 30

2) (+60) + (-45) + (-18) + (+30) =

- Somando as quantidades positivas

(+60) + (+30) = (+90)

- Somando as quantidades negativas

(-45) + (-18) = (-63)

- Somando os resultados obtidos:

(+90) + (-63) = + 27

Exemplos:a) (-11) + (+20) + (+35) + (-27)

- Somando as quantidades positivas:

+ 20 + (+35) = (+55)

- Somando as quantidades negativas:

(-11) + (-27) = -38

- Somando os resultados obtidos:

(+55) + (-38) = (+17)

b) (+32) + (-68) + (-22) + (+48)

+32 + 48 = 80

(-68) + (-22) = -90

(+80) + (-90) = -10

EXERCÍCIOS

1) Calcul ar:

a) (-130) + (+25) + (+200) + (-195) + (+42)

b) (+99) + (-100) + (-100) + (+98) + (-10)c) (-73) + (-22) + (-45) + (-92) + (+250)

d) (+77) + (+45) + (+81) + (-300) + (+116)

Veja :

Adição Ind icada Notação Simplificada

(+11) + (-6) +11 - 6

(-30) + (-8) - 30 - 8

(+17) + (-15) + (+10) + 17 - 15 + 10

(-21) + (+16) + (+9) + (-1) - 21 +16 + 9 - 1

(+20) + (-18) + 20 - 18

(+17) + (-37) + (-6) + (+18) +17 - 37 - 6 + 18

2) Calcule:

a) 140 + 30 - 72 -58

b) -75 +70 +50 -61

c) 84 - 79 - 81 + 86

d) -64 - 96 - 77 +200

e) - 18 + 12 + 20 - 34 + 51

RESPOSTAS

1) a) -58 b) -13 c) +18 d) +192) a) +40 b) -16 c) 10 d) -37 e) +31

PROPRIEDADES DA ADIÇÃOA adição de dois números inteiros é sempre possível:

(+3) + (+5) = +8 e 8 Z

(-7) + (-3) = -10 e -10 Z

(+11) + (-8) = +3 e +3 Z

(+7) + (-13) = -6 e -6 Z

- A adição de dois números inteiros é comutativa:

(+11) + (-9) = + 2

(-9) + (+11) = 2

-A adição de dois números inteiros é associativa:

(-8) + (-2) + (+7) = (-10) + (+7) = -3(-8) + (-2) + (+7) = (-8) + (+5) = -3

- O número 0 (zero) é elemento neutro da adiçãoem Z.

(+8) + 0 = 0 + (+8) = 8



50

MATEMÁTICA(-7) + 0 = 0 + (-7) = -7

Além dessas propriedades, que são válidas para oconjunto N, o conjunto Z apresenta uma nova proprieda-de: o elemento oposto.

(-8) + (+8) = 0 e -8 é o elemento oposto ou simé-trico de +8, e vice-versa

(+13) + (-13) = 0 e +13 é o elemento oposto ousimétrico de -13, e vice-versa.

SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSA subtração é definida como a operação oposta (ou

inversa) da adição. Assim subtrair dois números inteiros “a”e “b”nessa ordem, significa adicionar “a”ao oposto de “b”

Exemplos:

. (+9) - (+6) = (+9) + (-6) = +3

. (+6) - (+10) = (+6) + (-10) = -4

. (+3) - (-5) = (+3) + (+5) = +8

. (-35) - (-20) = (-35) + (+20) = -15

Exemplos de Exercícios:1) Calcule:

a) 0 - (-17) = 0 + 17 =17

b) (+13) - (+20)= 13 - 20 =-7

c) (-1) - (-19) = -1 + 19 =18

d) (-100) - (+200) = -100 - 200 =-300

e) (+36) - (-36) = 36 + 36 =72

f) (-7200) - (-1750)= -7200 + 1750 =-5450

g) (+8104) - (-3376)= 8104 + 3376 =11.480

PROPRIEDADESNo conjunto Z a operação subtração é sempre possível.

Exemplos:

(-6) - (+10) = (-6) + (-10) = - 16 Z

(+18) - (+3) = (+18) + (-3) = +15 Z

No entanto no conjunto Z não valem as proprieda-des comutativa, associativa bem como não existe ele-mento neutro em relação a subtração.

ADIÇÃO ALGÉBRICA Toda expressão numérica que contém adição e sub-tração representa uma adição algébrica.

Exemplo: calcular a soma algébrica - 17+40+21-16-33

Resolução: -17+40+21-16-33 = +61-66 = -5

Observe, agora, as seguintes situações:

1) 10 + (-6) = 10-6 = +4

2) -7 +(-5+4) = -7-5+4 = -12+4 = -8

* Quando uma adição algébrica contém pa-rênteses precedidos do sinal +, podemoseliminar esses parênteses, bem como o si-nal que os precede escrevendo cada nú-mero que está no interior dos parêntesescom o seu próprio sinal.

Ex.: 1) 10 +(-6) = 10 - 6 = + 4

2) - 7+(-5+4) = -7 - 5 +4 = -12 + 4 =-8

* Quando uma adição algébrica contém pa-rênteses precedidos do sinal -, podemoseliminar esses parênteses, bem como o si-nal que os precede, escrevendo cada nú-mero que está no interior dos parêntesescom o sinal trocado.

Ex.: 1) 10 -(-6) =10 +(+6) = 10 + 6 =16

2) - 7-(-5+4) = -7 + (+5 - 4 ) = -7 + 5 - 4 = + 5 -11 = -6

As mesmas regras valem para as adições algébri-cas onde aparecem colchetes e chaves além dos parên-teses.

1º Exemplo: Calcular o valor da expressão: 20 + [-1-(-9+21) +3] =

= 20+[-1+9-21+3]=

=20-1+9-21+3=

=+32-22=

=+10

2º Exemplo: Calcular a soma algébrica 2 - {-11 +[17-(-12+10) -3]}=

Resolução:

= 2-{-11+[+17 - (-12+10) -3]}== 2 - {-11 + [+17+12-10-3]}=

= 2 - {-11+17+12-10-3}=

= 2+11-17-12+10+3=

=+26-29=

=-3

EXERCÍCIOS1) Escrever sem parenteses cada uma das expres-

sões:

a) - (+9) b) - (-11) c) + (-13)d) + (+21) e) + (+5) f) 5 + (-7)

g) - (-1 + 10) h) 7 + (6 - 3) i) 1 - (-1+5)

j) - (1 + 1 - 4)

2) Eliminando os parênteses, calcu le as somasalgébricas:

a) 6 + (-9 +1)

b) 8 - (-6 + 10)



51

MATEMÁTICAc) - 10 + (6 - 4)

d) 2 + (2 + 5 - 7)

e) - 5 + ( 2 - 4) - ( 7 -1 )

f) (-5 + 3) - (5 - 9) + (8-1) - 11

g) 10 + (-10 + 5) - (1 + 11 - 4)

h) 2 - ( - 1 - 5 + 8) + (7 - 3) -4

RESPOSTAS1) a) -9 b) +11 c) -13

d) +21 e) +5 f) 5 - 7

g) +1 -10 h) 7 + 6 - 3

i) 1 + 1 - 5 j) -1 -1 +4

2) a) - 2 b) +4c) -8 d) +2

e) -13 f) -2 g) -3 h) 0

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSA idéia do número negativo só foi plenamente acei-

ta a partir do século XVII. A partir desse século, o homemcomeçou a usar estruturas semelhantes às dos núme-ros negativos e passou a entender a adição e a subtra-ção de números inteiros como parte de sua vida.

Entretanto, a multiplicação com números negativosapresentou sérias dificuldades para época. Foi aplicandoconhecimentos sobre os números naturais e sobre a mul-tiplicação de números naturais que os matemáticos do sé-culo XVI e XVII puderam dar um resultado para a multiplica-ção de dois nºs inteiros.

Vamos considerar os seguintes casos:1º caso: os dois fatores são números positivos.

a) (+6) . (+4) = 6.4 = 24 ou +24

—> +4 = 4

—> +6 =6

b) (8).(+12) = 96 ou +96

c) (+20) . (+13) = 260 ou +260

* A multiplicação de dois números inteiros positi-vos, dá um número inteiro positivo.

2º caso: Um fator é um número inteiro positivo e o

outro negativo.Observe:

(+6).(-4) =6.(-4) =(-4) +(-4)+(-4)+(-4) +(-4)+(-4) =-24

Consideramos agora a multiplicação:

(-6) . (+4) = -(+6) . (+4) = -(+24) = -24

Então (+6) . (-4) = -24

(-6) . (+4) = -24

* A multiplicação de um número inteiro positivo por umnúmero inteiro negativo, em qualquer ordem resulta em umnúmero inteiro negativo.

3º caso: Os dois fatores são nºs inteiros negativos:

. (-6) . (-6) = +36

. (-5) . (-5) = +25

. (-4) . (-6) = +24

* A multiplicação de 2 nºs inteiros negativos resulta

em um número inteiro positivo.Observação:

* Usando o oposto de um número inteiro podemoschegar ao mesmo resultado

(-6) . (-2) = -(+6). (-2) = -(-12) = +12

(-6) . (-4) = -(+6.(-4) = -(-24) = +24

Das situações apresentadas, podemos estabe-lecer a seguinte regra:

* Para determinar o produto de dois números in-teiros (diferentes de zero), devemos:

* Calcular o produto dos módulos dos fatores;

* Se os dois fatores têm o mesmo sinal, o produtoé um número positivo.

(+7). (+3) = +21

(+9). (+12) = +108 (-13). (-6) = +78

* Se os dois fatores têm sinais diferentes, o pro-duto é um número negativo.

(+7). (-3) = -21

(-9) . (+12) = -108 (-13). (+6) = -78

MULTIPLICAÇÃO COM MAIS

DE DOIS FATORESQuando se trata da multiplicação de três ou mais

números inteiros, utilizamos as mesmas regras dos nú-meros naturais.

Asim, observe as multiplicações:

1) (-7). (+2). (-5) = (-14) . (-5) = +70

2) (+2) . (-15) . (-3) . (-6) = (-30) . (+18) = -540

AS PROPRIEDADES DAMULTIPLICAÇÃO

- A multiplicação de dois números inteiros é semprepossível:

. (+7) . (+9) = + 63 e +63 Z

. 0 . (-41) = 0 e 0 Z

. (-2) . (+16) = -32 e -32 Z

. (-7) . (-11) = +77 e 77 Z

- A multiplicação de dois números inteiros apresen-ta a propriedade comutativa:



52

MATEMÁTICA(-9). (+12) =-108 (-9).(+12) =(+12). (-9)

(+12). (-9) =-108

- A multplicação de 3 números inteiros apresenta apropriedade associativa:

(-10). (+8). (+5) = (-80) . (+5) = - 400 (-10) .(+8). (+5) = (-10) . (+40) = - 400

Então: [(-10) . (+8)] . (+5) = (-10) . [(+8) . (+5)]

- O número +1 é o “elemento neutro” da multiplica-

ção de números inteiros.(+8) . (+1) = (+1) . (+8) = +8

(-10) . (+1) = (+1) . (-10) = -10

- A multiplicação de números inteiros apresenta a propri-edade distributiva, ou seja, para multiplicar um número inteiropor uma soma algébrica, podemos multiplicar o número porcada uma das parcelas e adicionar, a seguir, os resultadosobtidos.

(+6) . [(+3) + (-5)] = (+6) . (+3) + (+6). (-5) =

(+18) + (-30) = 18 - 30 = -12

-(-9) . (-3+7) = -9 . (-3) + (-9) . (+7) =(+27) + (-63) = 27 - 63 = -36

EXERCÍCIOS1) Calcule:

a) (-3) . (-2) . (+8) =b) (-4) . (-5) . (-3)=

c) (+9). (-2) . (+3) = d) (-4) . (-4) . (+2) . (-10)=

e) (-5) . (-10). (-4) . (-7) =

2) Determine o valor das seguintes expressões nu-méricas:

a) 25 - (-8) . (+2)= b) (-3) . (+9) - (-24)=

c) -12 - (-6).(+2)= d) (-7) . (+4) - (-3) . (+9)=

e) 70 - 5.(+11)= f) 5. (-8) - 3 . (+10) +63=

RESPOSTAS1) a) +48 b) -60 c) -54

d) -320 e) 1400

2) a) 41 b) -3 c) 0

d) -1 e) +15 f) -7

EXPRESSÕES NUMÉRICASVamos calcular o valor de algumas expressões nu-

méricas simples, para isso, observe o exemplo:

1º exemplo:

Calcular o valor da expressão numérica 12 - (-3) . (-5)

12 - (+15) —> efetuamos a multiplicação

12 - 15 = -3 ——> eliminamos os parênteses

2º exemplo:

Determinar o valor da expressão numérica 20+3 . (-4) -2 .(-5)

20 + 3 . (-4) -2. (-5)

=20 +(-12) - (-10) =——> efetuamos a multiplica-ção

= 20 - 12 + 10 = ——> eliminamos os parênteses

= 30 - 12 = +18

3º exemplo:

Qual é o valor numérico da expressão 5x - xy, quan-do x = -3 e y = +6

Vamos primeiro estabelecer que:

5x é o mesmo que 5 . x

xy é o mesmo que x.y

5.x - xy =

5.(-3) - (-3). (+6) —>substituímos cada letra pelovalor dado

= (-15) - (-18) =

-15 + 18 = +3

EXERCÍCIOS

1) Calcule o valor das seguintes expressões numéri-cas:

a) 2 . (-13) + 3 . (-8) - 7 . (-7)

b) 20 - 2. (-17) + (-12) . (+4)

2) Dada a expressão 3a - 2b, determine o seu valorpara a = -9 e b= -15.

3) Sendo x =-12, qual é o valor numérico da expres-são 4x +50?

4) Determine o valor numérico da expressão 2x - xy- 7y quando x = +10 e y = -4

5) Dê o valor da expressão ab - a + 2b, quando a =-5 e b = +2.

RESPOSTAS

1) a) -1 b)6

2) + 3 3) 2

4) 88 5) -1



53

MATEMÁTICA

FRAÇÕES E OPERAÇÕESCOM FRAÇÕES

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ALGÉBRICADE NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Para adicionarmos algébricamente dois números ra-cionais escritos na forma fracionária:

1ºReduzimos as frações ao mesmo denominador positivo.

2ºAdicionamos algébricamente aos numeradores:1º exemplo:

103

85

Resolução:

4013

401225

4012

4025

103

85

2º exemplo:

61297

Resolução:

1819

1833614

183

1836

1814

61

297

3º exemplo:

4,165

Vamos inicialmente, passar 1,4 para a formafracionária:

1014

4,1

3017

304225

3042

3025

1014

65

4,165

4º exemplo:

Determinar o valor da expressão:

65

143

21

31

Eliminando os parêntesesFrações equivalentes que têm o mesmo denomina-

dor.

1210

1212

129

126

124

65

143

21

31

121

121012964

5º exemplo:

Calcular o valor da expressão:

1,6 - (-2,8) + [ 1,9 - (-5,6+8,1)]=

Resolução

1,6 - (-2,8) +[1,9 - (-5,6 + 8,1)] =

1,6 + 2,8 + [1,9 + 5,6 - 8,1] = eliminando osparênteses

1,6 + 2,8 + 1,9 + 5,6 - 8,1 = eliminando os col-

chetes

+ 11, 9, -8,1 = +3,8

6º exemplo:

Qual é o valor numérico da expressão a-b-cquando:

211

e2,37

cba

Resolução: a - b - c =

Substituindo cada letra pelo valor dado

211

237

211

237

633

612

614

67

6331214

EXERCÍCIOS1) Calcule:

a) 76

54

b) 25

07,

c) 494

d) 0,27 - 1,48

2) Calcule:

a)0145

14

, b)175

412

c)5

9

3

5

2

3

7

15 d) 0,7 - 3,21 - 0,8 + 1,31

e) 175

23

16,

RESPOSTAS

1) a)1

12b)

310

c) 74

d) -1,21

2)a)1920

b) 1

10c)

745



54

MATEMÁTICA

d) -2 e)43

Multipl icação de nú meros fracionáriosPara multiplicarmos dois números racionais escri-

tos na forma fracionária:

1) Multiplicamos os numeradores entre si:

2) Multiplicamos os denominadores entre si:

3) Escrevemos o sinal do produto "+" se as fraçõestêm o mesmo sinal, e "-" se as frações têm sinais diferentes

Exemplos:

163

8015

10.83.5

3,0.85

185

3610

9.42.5

92

.45

356

7.52.3

72

.53

5:

5:

2:

2:

Calcu lar (+2,8) . (-3,7)

Resolução:

- Os dois fatores têm sinais diferentes, logo, o pro-duto é um número negativo.

- Calculamos o produto dos módulos

3,7 ---> 1 casa decimal

.2,8 ---> 1 casa decimal

296

74 +10,36 ---> 1+1 = 2 casas decimais

(+2,8) . (-3,7) = 10,36

- Determinar o valor da expressão:

151

302

302527

3025

3027

65

109

23

.95

1012

.73

23

.95

1,2.73

1

3

3

1

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1) Calcule:

a) (+5) .

37

537

157

.

b)

23

23

2233

49

...

c)

54

411

5 1111

511

..( ).

d) ( , ). .0613

610

13

630

15

EXERCÍCIO1) Calcule:

a)

78

314

43

. .

b)

05

1625

18

, . .

c)

9

83

716

. .

d)

02

512

65

, . .

e)

6

23

23

6. . .

RESPOSTAS

1) a)14

b)1

25c)

212

d)1

10e) +

16

Divisão de números fracionários

Consideremos os números racionais relativos:

13.31

observe 3e31

)

141

.4 observe 41

-e4)

135

.53

observe 35

e53

)

c

b

a

Dois números racionais relativos cujo produto dá +1são chamados denúmeros inversos.

Assim:

inversosnúmerosão 3e31

)

inversosnúmerosão 41

-e4)

inversosnúmerosão 35

e53

)

sc

sb

sa



55

MATEMÁTICAVamos agora tratar da divisão de números racio-

nais relativos.

1º exemplo:

Calcular:

34

:92

Resolução:

Como os nºs estão na forma fracionária, esta divi-são pode ser representada pela multiplicação do 1º peloinverso do 2º.

Assim, temos:

61

43

.92

34

:92

2

1

3

1

2º exemplo:

Calcular (-9,25) : (-3,7)

Resolução: Como os nºs estão escritos na forma

decimal, devemos multiplicar por 10:x10

(-9,25) : (-3,7) = (-92,5) : (-37) = +2,5

x10

92,5 37

18,5

00

3º exemplo:

Calcular:

5

3

:5,1

25

35

.0151

:53

:1015

53

:5,11

1

2

5

4º exemplo:

Determinar o valor da expressão:

2

2187

Resolução:

Como toda fração representa uma divisão, temos:

121

122

:87

221

:87

22187

3

1

4

1

EXERCÍCIOS1) Vamos calcular:

a)

35

:91

b)

94

:911

c)

310

:2 d) 20:85

2) Vamos calcular:

a) (-7) : (-3,5)= b) (+2,1) : (-0,7)=

c) (+1,2) : (+0,8)=

3) Calcule o valor de cada uma das expressões:

a)

2615

133

b)

2221117

c)

227

89

RESPOSTAS

1) a)151

b)4

11c)

53

d)321

2) a) 2 b) -3 c) 1,5

3) a)25

b)23

c) 1

12

Frações Ordinárias eDecimais : Operações

Quando tomamos uma unidade, aqui representadapor um círculo, e a dividimos em 4 partes iguais, cadaparte é chamada de um quarto.

um quarto ( 1/4 )

Chama-se fração todo par a/b de números naturais,com o segundo diferente de zero, onde :

- o 1º número (a) é chamado numerador, indicaquantas partes tomamos da unidade;

- o 2º número (b), chamada denominador, indica emquantas partes iguais a unidade foi dividida.

O numerador e o denominador são os termos da fra-ção.

Leitura de uma FraçãoNa tabela abaixo indicamos, para cada número de

partes iguais em que foi dividida aunidade, o nome decada parte :



56

MATEMÁTICANúmero de partes Nome de cada parte

2 meio

3 terço

4 quarto

5 quinto

6 sexto

7 sétimo

8 oitavo9 nono

10 décimo

11 onze-avos

12 doze-avos

100 centésimo

1.000 milésimo

Para efetuar a leitura de uma fração devemos ler onumerador e, em seguida, o nome de cada parte. Assim:

21 lê-se "um meio".

18

lê-se "um meio".

Tipos de fraçõesFrações Próprias - o numerador é menor que o

denominador76

,54

,32

Frações Impróprias - quando o numerador é mai-

or que o denominador. etc,46

,35

Note que5

3é o mesmo que uma unidade inteira

3

3e mais

2

3da unidade. Por isso dizemos que

5

3é o

mesmo que 1 inteiro e2

3e indicamos por :

35

=12

3

A forma 12

3

, composta de uma parte inteira e outra

fracionária, é chamada forma mista para representar a

fração imprópria5

3.

Podemos passar uma fração imprópria para a for-ma mista da seguinte maneira : vamos passar a fração

18

7para a forma mista dividindo 18 por 7 :

Então,18

7

24

7

Frações Aparentes - são as frações imprópriasem que o numerador é múltiplo do denominador. Podemser escritas na forma de número natural. Exemplos :

010

224

236

Frações Equivalentes - são duas ou mais fraçõesque representam a mesma parte da unidade.

Ex :4

6e

2

3ambas são frações que apresentam a

mesma unidade.

4

6

2

3

ReconhecimentoPara verificar se as duas frações são equivalentes

devemos proceder assim :

1º ) multiplique o numerador da 1ª fração pelo deno-minador da 2ª.

2º) multiplique o denominador da 1ª fração pelo nu-merador da 2ª.

3º) se os produtos forem iguais, as frações sãoequivalentes.

Exemplo :3264

e

Numerador x Denominador = 4 x 3 = 12

Denominador x Numerador = 6 x 2 = 12

Propriedade FundamentalQuando multiplicamos ou dividimos os termos de

uma fração por um mesmo número natural, diferente dezero, obtemos uma fração equivalente à fração inicial.



57

MATEMÁTICA

Ex: vamos partir da fração32

e multiplicar seus ter-

mos por 2, por 7 e por 10, obtemos :

3020

103102

2114

7372

64

2322

x

x

x

x

x

x

Podemos notar que aplicando a propriedade funda-mental das frações podemos construir uma infinidade defrações equivalentes à fração inicial.

Simplificação de FraçõesSimplificar uma fração é dividir seus termos por um

mesmo número e obter termos menores que os iniciais.

Ex: vamos dividir os termos da fração72

108por 2 e 3

72

108

72

1082

36

5472

108

72

1083

24

36

Quando simplificamos uma fração podemos obteruma nova fração que ainda pode ser simplificada. Quandosimplificamos uma fração e obtemos uma fração que nãopode mais ser simplificada, dizemos que foi obtida a for-ma irredutível da fração dada. Há dois modos de obtera forma irredutível de uma fração :

1º modo : dividimos os termos da fração por um fatorcomum; repetimos o processo até obter uma fração cujostermos são primos entre si . Ex:

32

3:96

3:2718

2:5436

2:10872

2º modo : dividimos os termos da fração pelo seu máxi-

mo divisor - comum. Ex:10872

m.d.c. ( 72, 108 ) = 3632

36:10872

10872

Redução de Frações a um MesmoDenominador

Para reduzirmos duas ou mais frações ao menordenominador comum :

1º) Calculamos o m.m.c. dos denominadores, essem.m.c. será o menor denominador comum ;

2º) Multiplicamos o numerador de cada fração pelo

quociente entre o denominador comum e o denominadorinicial da fração.

Exemplo:

35

21

e m.m.c ( 2,3 ) = 6

610

63

e

Comparação de Frações

Comparar duas frações significa estabelecer se elassão iguais ou não. Se não forem iguais, estabelecer qualdelas é a maior.

Quando vamos comparar duas frações, podem ocor-rer as seguintes situações :

1ª situação - as frações tem denominadores iguais.

Compare, por exemplo, as frações54

52

e

52

54

52

54

Portanto, quando duas frações tem denominadores iguaisa maior delas é a que tem maior numerador.

2ª situação : as frações tem denominadores diferentes

Compare, por exemplo, as frações3

5e

4

7

O primeiro passo é reduzi-las ao mesmo denominador :

m.m.c. ( 5,7) = 353520

74

e3521

53

Aplicando a regra anterior às frações3520

e3521

3520

3521 e, portanto,

53 é maior que

74

53:

74

Quando vamos comparar duas frações que tem de-nominadores diferentes, reduzimos ao mesmo denomi-nador e aplicamos a regra anterior.

Ad ição e Subtraç ão

Quando vamos somar ou subtrair frações podemocorrer, uma das seguintes situações :



58

MATEMÁTICA

1ª situação - as frações tem denominadores iguais.

Exemplo :75

72

73

; a soma de frações com de-

nominadores iguais é uma fração cujo denominador é igualao das parcelas e cujo numerador é a soma dos numera-dores das parcelas.

2ª situação - as frações tem denominadores dife-

rentes. Vamos calcular por4352

O 1º passo é reduzi-las ao mesmo denominador :m.m.c. ( 5,4 ) = 20

203

12023

2015

208

43

52

Quando vamos somar ou subtrair frações que temdenominadores diferentes, devemos primeiro reduzi-lasao mesmo denominador e, depois, aplciar a regra anteri-

or.Multipl icação

O produto de duas frações é uma fração cujo nume-rador é o produto dos numeradores e cujo denominador éo produto dos denominadores das frações dadas.

3580

207

.54

103

2513

21

.53

x

x

Divisão

a) Inverso ou Recíproco

Chama-se inverso ou recíproco da fração32

a fra-

ção23

; isto é, a fração que se obtém trocando entre si o

numerador e o denominador de32

.

b) Quociente de Frações

O quociente de uma fração por outra é igual aoproduto da 1ª fração pelo inverso da 2ª.

Exemplo :2021

47

53

74

:53

x

Fração Decimal

É toda fração em que o denominador é uma potên-cia de 10 com o expoente natural.

Ex:000.10

21;

10007

;1003

;105

NÚMEROS DECIMAIS

NOÇÕES DE ORDEM DENÚMEROS DECIMAIS

Número decimal é o número referente a décimo;que procede por dezenas. A noção de número decimalinfinito, tem representação de um real sob a forma A,a

1a

2a

3.....a

n...., onde a parte decimal a

1a

2a

3.....a

né infini-

ta. (O desenvolvimento real infinito do real 1/3 é1,33...3...).

Os sistemas de numeração em que se adota oconceito de ordem, a primeira delas é sempre a dasunidades, cada unidade representada por um símbolodiferente. No sistema decimal arábico, a primeira or-dem contém dez símbolos de 0 a 9. Esgotada a cole-ção de símbolos inicia-se outra ordem, ao lado. O nú-mero 10, portanto, inaugura uma segunda ordem, a dasdezenas, e traduz-se por uma ordem de dez unidades,acrescida de zero ordem de unidades. A inovação, por-tanto, é repetir os símbolos toda vez que se inicia outraordem e manter símbolos distintos para cada grandezadentro de uma mesma ordem. Egípcios, romanos e

babilônios adotavam o enfoque oposto: repetiam símbo-los dentro de uma mesma ordem e introduziam um sím-bolo diferente na ordem seguinte.

E por que justamente 10 símbolos, e não 7, ou 3?Provavelmente, é ainda resultado da tradição de se con-tar com os dez dedos da mão, tradição mantida, talvez,por fatores de ordem prática; uma coleção de dez sím-bolos não é difícil de se memorizar e a variedade permi-te representar grandezas de certa amplitude com nú-meros não muito extensos.

No sistema unitário, ou lunar o número 1984, porexemplo, teria de ser representado por 184 sinais.

No sistema decimal, bastam três sinais, ou seja1, 8 e 4. Como quer que seja, o número de símbolos dosistema puramente convencional é condicionado ape-nas pela tentativa de se encontrar um equilíbrio entreduas conveniências: não haver muita variedade, parafacilitar a memorização dos símbolos; possibilitar varie-dade bastante para representar grandezas por númerosque não sejam demasiadamente extensos.

Elementos históricos sobreos números Decimais

Hoje em dia é comum o uso de frações. Houve tem-po, porém que as mesmas não eram conhecidas. O ho-mem introduziu o uso de frações quando começou a me-dir e representar medidas.

Os egípcios usavam apenas frações que possuíamo número 1 dividido por um número inteiro, como por exem-plo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... Tais frações eram denominadasfrações egípcias e ainda hoje têm muitas aplicações prá-ticas. Outras frações foram descobertas pelos mesmosegípcios as quais eram expressas em termos de fraçõesegípcias, como: 5/6=1/2+1/3.



59

MATEMÁTICAOs babilônios usavam em geral frações com deno-

minador 60. É provável que o uso do número 60 pelosbabilônios se deve ao fato que é um número menor doque 100 com maior quantidade de divisores inteiros. Osromanos, por sua vez, usavam constantemente fraçõescom denominador 12. Provavelmente os romanos usa-vam o número 12 por ser um número que embora peque-no, possui um número expressivo de divisores inteiros.Com o passar dos tempos, muitas notações foram usa-das para representar frações. A atual maneira de repre-

sentação data do século XVI.Os números decimais têm origem nas frações de-

cimais. Por exemplo, a fração 1/2 equivale à fração 5/10que equivale ao número decimal 0,5.

Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585ensinou um método para efetuar todas as operações pormeio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escreviaos números naturais ordenados em cima de cada alga-rismo do numerador indicando a posição ocupada pelavírgula no numeral decimal. A notação abaixo foiintroduzida por Stevin e adaptada por J ohn Napier, gran-de matemático escocês.

A representação dos algarismos decimais, provenien-tes de frações decimais, recebia um traço no numeradorindicando o número de zeros existentes no denominador.

Este método foi aprimorado e em 1617 Napier pro-pôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar aparte inteira da parte decimal.

Por muito tempo os números decimais foram empre-gados apenas para cálculos astronômicos em virtude daprecisão proporcionada. Os números decimais simplifica-ram muito os cálculos e passaram a ser usados com maisênfase após a criação do sistema métrico decimal.

Frações DecimaisDentre todas as frações, existe um tipo especial

cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é de-nominado fração decimal.

Exemplos: Frações decimais

1/10

3/100

23/100

1/1000

1/103

Números Decimais Toda fração decimal pode ser representada por um

número decimal, isto é, um número que tem uma parteinteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.

A fração:

pode ser escrita como: 1,27

onde 1 representa a parte inteira e 27 representa aparte decimal. Esta notação subentende que a fração127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:

A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos

que este número decimal é menor do que 1 porque onumerador é menor do que o denominador da fração.

Leitura de númerosdecimais

Para ler números decimais é necessário primeira-mente, observar a localização da vírgula que separa aparte inteira da parte decimal.

Um número decimal pode ser colocado na formagenérica:

Exemplo:

Exemplos:

Transfo rmação de fraçõ es decimais em

números decimaisPodemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1.

Esta fração é lida “um décimo”. Notamos que a vírgulasepara a parte inteira da parte fracionária:

Uma outra situação nos mostra que a fração deci-mal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lê da



60

MATEMÁTICAseguinte maneira: “dois inteiros e trinta e um centési-mos”. Novamente observamos que a vírgula separa a par-te inteira da parte fracionária:

Em geral, transforma-se uma fração decimal em umnúmero decimal fazendo com que o numerador da fração

tenha o mesmo número de casas decimais que o núme-ro de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se adivisão do numerador pelo denominador.

Exemplos:

130/100 = 1,30

987/1000 = 0,987

5/1000 = 0,005

Transfo rmação de números dec imais emfrações decimais

Também é possível transformar um número decimal

em uma fração decimal. Para isto, toma-se como nume-rador o número decimal sem a vírgula e como denomina-dor a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas foremas casas decimais do número dado.

Exemplos:

0,5 = 5/10

0,05 = 5/100

2,41 = 241/100

7,345 = 7345/1000

Propriedades dos números decimais1. Acréscimo de zeros após o último algarismo

significativo

Um número decimal não se altera quando se acres-centa ou se retira um ou mais zeros à direita do últimoalgarismo não nulo de sua parte decimal.

Exemplo:

0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000

1,0002 = 1,00020 = 1,000200

3,1415926535 =3,141592653500000000

2.Multiplicação por uma potência de 10Para multiplicar um número decimal por 10, por 100,

por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma,duas, ou três casas decimais.

Exemplos:

7,4 x 10 = 74

7,4 x 100 = 740

7,4 x 1000 = 7400

3. Divisão por uma potência de 10

Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000,etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas,três, ... casas decimais.

Exemplos:

247,5 ÷10 = 24,75

247,5 ÷100 = 2,475

247,5 ÷1000 = 0,2475

Operações comnúmeros decimais

1. Adição e Subtração

Para efetuar a adição ou a subtração de númerosdecimais temos que seguir alguns passos:

a. Igualar a quantidade de casas decimais dos nú-meros decimais a serem somados ou subtraídos acres-centando zeros à direita de suas partes decimais.

Exemplos:

2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723

2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723b. Escrever os numerais observando as colunas da

parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de for-ma que o algarismo das unidades de um número deveráestar embaixo do algarismo das unidades do outro nú-mero, o algarismo das dezenas de um número deveráestar em baixo do algarismo das dezenas do outro nú-mero , o algarismo das centenas deverá estar em baixodo algarismo das centenas do outro número, etc), a vír-gula sob a outra vírgula e a parte decimal (décimos, cen-tésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob dé-cimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob mi-

lésimos, etc. Exemplos:

a. Realizar a adição ou a subtração.

2. Multiplicação de números decimais

Podemos multiplicar dois números decimais trans-formando cada um dos números decimais em fraçõesdecimais e realizar a multiplicação de numerador por nu-merador e denominador por denominador.

Exemplo:

Podemos também multiplicar os números decimaiscomo se fossem inteiros e dar ao produto tantas casasquantas forem as casas do multiplicando somadas às domultiplicador.



61

MATEMÁTICAExemplo:

1. Divisão de números decimais

Como visto anteriormente, se multiplicarmos tan-to o dividendo como o divisor de uma divisão por 10,100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizandoessas informações poderemos efetuar divisões entrenúmeros decimais como se fossem divisões de nú-meros inteiros.

Exemplo: 3,6 / 0,4 = ?

Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa de-cimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quo-ciente não se altere. Assim tanto o dividendo como odivisor serão números inteiros. Na prática, dizemos que“cortamos” a vírgula.

Exemplo: 0,35 ÷ 7 = ?

Aqui, o dividendo tem duas casas decimais e odivisor é um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100para que o quociente não se altere. Assim tanto o divi-dendo como o divisor serão inteiros.

Problema: Uma pessoa de bom coração doou 35

alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros qua-drados, qual será a área que cada um receberá?

Divisão quando o di videndo é menor doque o divisor

Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por700(divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-sepor 10, 100, ..., para obter 350 décimos, 3500 centési-mos, ... até que o novo dividendo fique maior do que o

divisor, para que a divisão se torne possível. Neste caso,há a necessidade de multiplicar por 100.

Assim a divisão de 35 por 700 será transformadanuma divisão de 3500 por 700. Como acrescentamos doiszeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois ze-ros, colocando-se uma vírgula após o primeiro zero. Istopode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos odividendo por 100, o quociente ficará dividido por 100.

Efetua-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5.

Concluímos que 0,35/7 = 35/700 = 0,05

Divisão de números naturais comquociente decimal

A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro noquociente. Como 10 <16, o quociente da divisão não seráum inteiro, assim para dividir o número 10 por 16, monta-mos uma tabela semelhante à divisão de dois números in-

teiros.

Efetua-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5.

Concluímos que 0,35/7 = 35/700 = 0,05

Divisão de números naturais comquociente decimal

A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro noquociente. Como 10 <16, o quociente da divisão não seráum inteiro, assim para dividir o número 10 por 16, monta-mos uma tabela semelhante à divisão de dois números in-teiros.

Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficarádividido por 10. Isto justifica a presença do algarismo 0seguido de uma vírgula no quociente.

1. Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultadoserá 6 e o resto será 4.



62

MATEMÁTICA1. O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centési-

mos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita donúmero 4.

Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e onovo resto será 8.

1. O resto 8 corresponde a 8 centésimos =80 milé-simos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direitado número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente5 e o resto igual a 0.

Logo, a divisão 10/16 é igual a 0,625. Note que o quo-ciente é um número decimal exato, embora não seja uminteiro.

Comparação de números decimaisA comparação de números decimais pode ser feita

analisando-se as partes inteiras e decimais desses nú-meros. Para isso, faremos uso dos sinais: > (maior); <(menor) ou = (igual).

1. Números com partes inteiras diferentes

O maior número é aquele que tem a parte inteira maior.Exemplos:

4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.

3,7 < 5,4, pois 3 é menor do que 5.

2.Números com partes inteiras iguaisIgualamos o número de casas decimais acrescentandozeros tantos quantos forem necessários. Após esta ope-ração, teremos dois números com a mesma parte inteiramas com partes decimais diferentes. Basta comparar es-tas partes decimais para constatar qual é o maior deles.

Exemplos:

12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.

8,032 < 8,47 pois 8,47 = 8,470 e 032 < 470.

4,3 = 4,3 pois 4 = 4 e 3 = 3.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM EMÁXIMO DIVISOR COMUM

MDC - MÁXIMO DIVISOR COMUMDois números naturais sempre têm divisores co-

muns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamosm.d.c.(12,18) = 6.

PROPRIEDADE DO M.D.C.Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor

dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Ob-

serve:6 = 2 x 3

18 = 2 x 32

30 = 2 x 3 x 5

Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisorde todos os outros, então ele é o m.d.c. dos númerosdados.

O maior divisor comum de dois ou mais números é

chamado de máximo divisor comum desses números.Usamos a abreviação m.d.c.

Alguns exemplos:

mdc (6,12) = 6

mdc (12,20) = 4

mdc (20,24) = 4

mdc (12,20,24) = 4

mdc (6,12,15) = 3

CÁLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais nú-meros é utilizar a decomposição desses números emfatores primos.

1) decompomos os números em fatores primos;

2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:

36 = 2 x 2 x 3 x 3

90 = 2 x 3 x 3 x 5



63

MATEMÁTICAO m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns

=> m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3

Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de po-tência temos:

36 = 22 x 32

90 = 2 x 32 x 5

Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatora-

dos, é o produto dos fatores comuns a eles, cada umelevado ao menor expoente.

CÁLCULO DO M.D.C. PELOPROCESSO DAS DIVISÕES

SUCESSIVASNesse processo efetuamos várias divisões até che-

gar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c.Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

REGRA PRÁTICA:1º) dividimos o número maior pelo número menor;

48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisãoanterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assimsucessivamente;

30 / 18 = 1 (com resto 12)

18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Entãom.d.c.(48,30) = 6.

Definição: dados dois números inteiros a e b nãonulos, define-se o máximo divisor comum - MDC, comosendo o maior inteiro que divide simultaneamente a e b.

O MDC de dois números será indicado por MDC (a,b).

Óbvio que se tivermos o MDC de n números inteirosa

1, a

2, a

3, ... , a

n, indicaremos por

MDC (a1, a

2, a

3, ... , a

n)

Exemplos:1 - Determine o MDC dos inteiros 10 e 14.

Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10.

Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14.

Os divisores comuns, são, portanto: 1 e 2.

Portanto, o máximo divisor comum é igual a 2 e,indicamos: MDC(10,14) = 2.

2 - Determine MDC (4, 10, 14, 60)

Os divisores positivos de 4 são: 1, 2, 4

Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10

Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14

Os divisores positivos de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6,10, 12, 15, 60

Os divisores comuns são, portanto: 1 e 2.

Portanto o MDC é igual a 2, ou seja: MDC (4, 10, 14,

60) = 2Notas:

1.1 - um número inteiro positivo p ¹ 1 é denominadonúmero primo, se e somente se os seus divisores positi-vos são 1 e p. Pode-se provar que o conjunto dos núme-ros primos é um conjunto infinito.

Sendo P o conjunto dos números primos, podemosescrever:

P ={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,53, 61, ... }

Observa-se que 2 é o único número par que é pri-mo.

1.2 - todo número inteiro maior do que 1, que não éprimo, pode ser decomposto num produto único de fato-res primos. Esta afirmação é conhecida como o TeoremaFundamental da Aritmética - TFA.

Exemplos:

15 = 5.3

40 = 5.8 = 5.2.2.2 = 5.23

120 = 40.3 = 5.2.2.2.3 = 5.23.3

240 = 2.120 = 2.5.2.2.2.3 = 5.24.3

Na prática, podemos usar o seguinte esquema:

Seja o caso de 240 acima. Teremos:

240 2120 260 230 215 35 5

1

Então: 240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5

A decomposição de um número em fatores primos,é conhecida também como fatoração , já que o número édecomposto em fatores de uma multiplicação.

Usando o dispositivo prático acima, vamos fatorar onúmero 408.

Teremos:



64

MATEMÁTICA

408 2204 2102 251 317 17

Então: 408 = 2.2.2.3.17 = 23.3.17

1.3 - O método de decomposição de um númeronum produto de fatores primos, sugere uma nova formapara o cálculo do MDC de dois números inteiros não nu-los, a e b, ou seja, para o cálculo de MDC (a,b).

Assim, seja calcular o MDC de 408 e 240.

Como já vimos acima, temos:

408 = 2.2.2.3.17 = 23.3.17

240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5

Tomando os fatores comuns elevados aos menores

expoentes, teremos:MDC (408, 240) = 23.3 = 8.3 = 24 , que é o MDC

procurado.

Portanto, MDC (408, 240) = 24.

1.4 - o MDC do exemplo anterior, poderia ser tam-bém determinado pelo método das divisões sucessivas,cujo dispositivo prático é mostrado a seguir:

Para entender o dispositivo prático acima, basta ob-servar que:

408:240 = 1 com resto 168

240:168 = 1 com resto 72

168:72 = 2 com resto 24

72:24 = 3 com resto zero.

Portanto o MDC procurado é igual a 24, conforme játínhamos visto antes.

1.5 - se o MDC de dois números inteiros a e b forigual à unidade, ou seja, MDC (a,b) = 1, dizemos que a eb são primos entre si, ou que a e b são co-primos.

Ou seja:

MDC (a, b) = 1 Û a e b são primos entre si (co-primos).

Û a e b são primos entre si (co-primos).

Exemplo: MDC (7, 5) = 1 \ 5 e 7 são primos entresi.

MMC - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUMDefinição: dados dois números inteiros a e b não

nulos, define-se o mínimo múltiplo comum - MMC, indi-cado por MMC (a,b) , como sendo o menor inteiro positi-vo, múltiplo comum de a e b.

Exemplo:

Determine o MMC dos inteiros 10 e 14.

Os múltiplo positivos de 10 são: 10, 20, 30, 40, 50,60, 70, 80, 90, 100, 110, ...

Os múltiplos positivos de 14 são: 14, 28, 42, 56,70, 84, 98, 112, 126, 140, ...

Portanto, o mínimo múltiplo comum é igual a 70 e,indicamos: MMC(10,14) = 70.

Dos exemplos anteriores, vimos que: MDC (10,14)= 2 e MMC(10,14) = 70. Observe que:

10.14 = 2.70 = 140 = MDC(10,14) . MMC(10,14)

Pode-se provar que, dados dois números inteirospositivos a e b, teremos sempre que o produto dessesnúmeros é igual ao produto do MDC pelo MMC dessesnúmeros, ou seja:

MDC(a,b) . MMC(a,b) = a . b

Observe que se dois números inteiros positivos a eb são primos entre si

(co-primos), o MDC entre eles é igual a 1, ou sejaMDC (a, b) = 1 e, portanto, teremos:

1.MMC(a,b) = a . b \ MMC(a, b) = a . b , ou seja:

O Mínimo Múltiplo Comum de dois números primosentre si é igual ao produto deles.

Exemplos:

MMC(3, 5) = 3.5 = 15

MMC(7, 5, 3) = 7.5.3 = 105

Dois exercícios simples:

1 - O máximo divisor de dois números é igual a 10 eo mínimo múltiplo comum deles é igual a 210. Se um

deles é igual a 70, qual o outro?Solução:

Ora, pelo que vimos acima, 10.210 = 70.n \ n = 30.

2 - Encontre um par ordenado (m,n) de númerosinteiros, que verifique a relação

MDC(180, 1200) = 180m + 1200n.

Solução:



65

MATEMÁTICAInicialmente, vamos determinar o MDC entre 180 e

1200:

Os divisores positivos de 180 são:

1, 2, 3, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 60, 90 , 180.

Os divisores positivos de 1200 são:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 40, 50, 60,80, 100, 120, 150, 200, 300, 400, 600, 1200.

Portanto, o máximo divisor comum - MDC - de 180e 1200 é igual a 60, ou seja:

MDC(180, 1200) = 60

Nota: poderíamos, é claro, determinar o MDC porqualquer um dos métodos indicados neste texto.

Observe agora, que:

1200 = 180.7 - 60

1200 - 180.7 = - 60

Multiplicando ambos os membros por ( - 1), fica:

- 1200 + 180. 7 = 60180.7 - 1200 = 60

180.7 + 1200( - 1) = 60

Comparando com os dados do enunciado da ques-tão, teremos:

MDC (180, 1200) = 180m + 1200n = 60

Logo, vem imediatamente que m = 7 e n = -1, e

portanto, o par ordenado (7, -1) é uma solução inteira daequação 180m + 1200n = 60.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SICONCEPÇÃO PITAGÓRICA

DE NÚMERO PRIMOA noção de número primo foi, muito provavelmente,

introduzida por Pythagoras, c. 530 AC, sendo que a mes-ma desempenhou um papel central tanto na matemáticacomo no misticismo pitagórico.

A escola pitagórica dava grande importância ao nú-mero um, que era chamada de unidade (em grego:monad). Os demais números inteiros naturais - o 2, 3, 4,etc - tinham um carácter subalterno, sendo vistos comomeras multiplicidades geradas pela unidade e por isso

recebiam a denominação número ( em grego: arithmós ).Era como se tivéssemos uma família, onde a “mãe”

era a monad ( unidade ) e os “filhos” os arithmói ( os nú-meros ):

• a monad:

• a unidade ou um

• os arithmói ( os números ) dois, três, quatro,etc, ou seja:

TODAS AS COLEÇÕES DE UNIDADESEntre os pitagóricos, a preocupação com a gera-

ção dos números não parava aí. J á o próprio Pythagorasteria atinado que existem dois tipos de arithmói:

•os protoi arithmói (números primários ou primos)

que são aqueles que não podem ser gerados - viamultiplicação - por outros arithmói, como é o caso de 2,3, 5, 7, 11, ...

• os deuterói arithmói ( números secundários )

que são os que podem ser gerados por outrosarithmói, como é o caso de 4 = 2.2, 6 = 2.3, 8 = 2.4,9 = 3.3, etc

Assim que os primeiros matemáticos gregos dividi-am o que hoje chamamos de números inteiros naturaisem três classes:

• a monad ( ou unidade, ou 1 )

• os protói arithmói ( números primos ) ouasynthetói arithmói ( números incompostos ):

2, 3, 5, 7, 11, etc

• os deuterói arithmói ( números secundários )ou synthetói arithmói ( números compostos ):

4, 6, 8, 9, 10, etc

OBSERVAÇÃO:

Ainda por influência dos pitagóricos, por muitos sé-culos houve polêmica acerca da primalidade do númerodois. Os primeiros pitagóricos chamavam-lhe dyad,atribuiam-lhe carácter especial - embora bem menos im-portante do que o da monad - e alguns deles não o inclu-

íam entre os arithmói. Conseqüente, muitos pitagóricosnão consideravam o dois como primo. É só pela épocade Aristóteles c. 350 AC que passou a ser comum consi-derar o dois tanto como número como primo, sendo queesse costume foi consagrado pelo livro Elementos deEuclides c. 300 AC.

OBSERVAÇÃO:

Entre os gregos, principalmente entre gregospitagóricos de várias gerações depois de Pythagoras, sur-giram outras denominações para os números primos,como: retilíneos, lineares e eutimétricos. Contudo, elastiveram uso muito restrito e caíram no desuso.

QUESTÕES DOCUMENT AISGREGAS

Acima, dissemos que “a noção de número primofoi, muito provavelmente, introduzida por Pythagoras”.Com efeito, é impossível ter completa segurança nessaatribuição, pois Pythagoras não deixou nenhum escritoe os documentos mais antigos que temos falando de suasidéias resumem-se a pequenos fragmentos de textos es-critos várias gerações depois dele.



66

MATEMÁTICAContudo, esses fragmentos, apesar de conterem

muito escassas informações, são unânimes em afirmarque Pythagoras iniciou o estudo dos números primos.

O mais antigo livro de matemática que chegou com-pleto aos nossos tempos e que desenvolve sistematica-mente o estudo dos números primos é o Elementos deEuclides c. 300 AC. Como é sabido, Euclides seguiu muitode perto a orientação matemática dos pitagóricos. As-sim, não é surpreendente que, no capítulo em que trata

da Teoria dos Números, ele defina número primo de ummodo absolutamente compatível com as idéias pitagóricasexpostas acima. Com efeito ( Elementos, VII, def.11 , naversão de Heath ):

protós arithmós estin monadi mone metroymenosou seja:

número primo é todo aquele que só pode ser medi-do através da unidade

SURGIMENTO DA DENOMINAÇÃOLATINA : PRIMUS

A Arithmetiké do grego Nikomachos, c. 100 dC, é omais antigo livro de Teoria dos Números, posterior ao Ele-mentos de Euclides, que chegou até nossos dias. Trata-se de uma visão de filósofo e letrado do Elementos, sen-do que não há uma única demonstração entre os poucostópicos abordados. Apesar disso, teve grande repercus-são na época e foi a base do primeiro livro em latim quese escreveu sobre Teoria dos Números: o De InstitutioneArithmetica, do romano Boethius c. 500 dC.

No livro de Boethius é onde aparece, pela primeiravez, a denominação numerus primus como tradução datradicional protós arithmós preservada de Euclides por

Nikomachos. Ademais, Boethius, sempre seguindoNikomachos, usa a velha classificação pitagórica dos nú-meros naturais: primos ou incompostos versus secundá-rios ou compostos.

O Livro de Boethius foi, durante cerca de seiscen-tos anos, a única fonte de estudos de Teoria dos Núme-ros disponível na Idade Média.

Em torno de 1 200 dC iniciou o renascimento cien-tífico e matemático do Mundo Cristão, com o afluxo dasobras árabes e a tradução das obras gregas preservadasno Mundo Islamita. É dessa época um dos mais influen-tes livros de todos os tempos: o Liber Abacci, deFibonacci. Esse grande matemático, que havia estudadoentre os muçulmanos do Norte da África, diz que achamelhor dizer primus em vez do incomposto preferido pe-los árabes e outras pessoas. Ficou assim, definitivamente,consagrada a denominação número primo na Europa Cris-tã.

Dois ou mais números são primos entre si quandoo máximo divisor comum desses números é 1.

Exemplos:

Os números 35 e 24 são números primos entre si,pois mdc (35,24) = 1.

Os números 35 e 21 não são números primos entresi, pois mdc (35,21) = 7.

Devemos antes de tudo lembrar o que são númerosprimos. Definimos como números primos aqueles quesão divisíveis apenas por 1 e ele mesmo.

Exemplos:

2 é divisível apenas por 1 e ele m esmo.

3 é divisível apenas por 1 e ele m esmo.

Conjunto do números primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13,

17, 19, 23, 29, 31,....}

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

O máximo divisor comum entre dois ou mais nú-

meros naturais não nulos (números diferentes de zero) éo maior número que é divisor ao mesmo tempo de todoseles.

Não vamos aqui ensinar todos as formas de se cal-cular o mdc, vamos nos ater apenas a algumas delas.

Regra das divisões sucessivas

Esta regra é bem prática para o calculo do mdc,observe:

Exemplo:

Vamos calcular o mdc entre os números 160 e 24.

1º:Dividimos o número maior pelo menor.

2º: Como não deu resto zero, dividimos o divisorpelo resto da divisão anterior.

3º: Prosseguimos com as divisões sucessivasaté obter resto zero.

O mdc (64; 160) = 32

Para calcular o mdc entre três ou mais números, deve-mos coloca-los em ordem decrescente e começamos a cal-cular o mdc dos dois primeiros. Depois, o mdc do resultadoencontrado e o terceiro número dado. E assim por diante.

Exemplo:

Vamos calcular o mdc entre os números 18, 36 e 63.



67

MATEMÁTICA

Observe que primeiro calculamos o mdc entre osnúmeros 36 e 18, cujo mdc é 18, depois calculamos omdc entre os números 63 e 18(mdc entre 36 e 18).

O mdc (18; 36; 63) = 9.

Regra da decomposição simultâneaEscrevemos os números dados, separamos uns dos

outros por vírgulas, e colocamos um traço vertical ao ladodo último. No outro lado do traço colocamos o menordos fatores primos que for divisor de todos os númerosde uma só vês.

O mdc será a multiplicação dos fatores primos queserão usados.

Exemplos:

mdc (12; 6)

mdc (80; 40; 72; 124)

Propriedade:

Observe o mdc (4, 12, 20), o mdc entre estes nú-

meros é 4. Você deve notar que 4 é divisor de 12, 20 edele mesmo.

Exemplo

mdc (9, 18, 27) = 9, note que 9 é divisor de 18 e 27.

mdc (12, 48, 144) =12, note que 12 é divisor de 48 e144.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais nú-meros naturais não nulos(números diferente de zero), éo menor número que múltiplo de todos eles.

REGRA DA DECOMPOSIÇÃOSIMULTÂNEA

Devemos saber que existe outras formas de calcu-lar o mmc, mas vamos nos ater apenas a decomposiçãosimultânea.

OBS: Esta regra difere da usada para o mdc, fiqueatento as diferenças.

Exemplos:mmc (18, 25, 30) = 720

1º: Escrevemos os números dados, separados porvírgulas, e colocamos um traço vertical a direita dos nú-meros dados.

2º: Abaixo de cada número divisível pelo fator primocolocamos o resultado da divisão. O números não divisí-veis pelo fator primo são repetidos.

3º: Continuamos a divisão até obtermos resto 1 paratodos os números

Observe o exemplo ao lado.

mmc (4, 8, 12, 16) = 48

mmc (10, 12, 15) = 60



68

MATEMÁTICA

Propriedade:

Observe, o mmc (10, 20, 100) , note que o maior

deles é múltiplo dos menores ao mesmo tempo, logo ommc entre eles vai ser 100.

Exemplo:

mmc (150, 50 ) = 150, pois 150 é múltiplo de 50 e delemesmo

mmc (4, 12, 24) = 24, pois 24 é múltiplo de 4, 12 e delemesmo.

Muitas pessoas acham que a palavra primo - paradenotar os números primos - está associada a algumaanalogia de parentesco. Como veremos, isso é totalmen-te falso. Esse “primo” refere-se à idéia de primeiro, e tem

sua origem numa velha concepção numérica dospitagóricos.

NÚMEROS PAR E ÍMPARNÚMERO PAR

Definição

Um número inteiro é dito par se e somente se elefor múltiplo de 2 ou seja, ele pode ser escrito na forma 2nonde nZ.

NÚMERO IMPAR

DefiniçãoUm número inteiro é dito ímpar quando ele não pode

ser escrito como múltiplo de dois. Neste caso ele é re-presentado na forma 2n + 1 n Z.

Ex:

13 é impar pois 13 = 2 . 6 + 1

- 8 = 2 . (-4), portanto é par.

NÚMERO COMPOSTO J á sabes como determinar os divisores de um nú-

mero.D

1= {1}

D2= {1, 2}

D3= {1, 3}

D4= {1, 2, 4}

D5= {1, 5}

D6= {1, 2, 3, 6}

D7= {1, 7}

D8= {1, 2, 4, 8}

D9= {1, 3, 9}

D10

= {1, 2, 5, 10}

D11

= {1, 11}

D12

= {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D13

= {1, 13}

Da = {divisores de a}

De entre estes, selecionamos os números: com umsó divisor 1 com dois divisores

2, 3, 5, 7, 11, 13... são números primos com maisde dois divisores 4, 6, 8, 9, 10, 12... são números com-postos

Observas que: 2, 3, 5, 7, 11 e 13 são números pri-mos.

Descobre quais são os números primos menoresque 49.

Número primo:Um número primo é um número natural maior que

1, que tem só dois divisores, o 1 e o próprio número.

5 é número primo porque os divisores de 5 são só 1 e5.

Número composto :

Um número natural, maior que 1, que tem mais dedois divisores é um número composto.

9 e 12 são números compostos porque têm maisde 2 divisores.

CRITÉRIO PARA RECONHECER SE UMNÚMERO É PRIMOQuando o número a estudar é grande, não é prático

utilizar o «crivo de Erastótenes». Neste caso, recorre-mos ao processo das divisões sucessivas.

Dividimos o número dado pelos sucessivos núme-ros primos 2 , 3 , 5 , 7 , 11, ... até obter

• resto zero - dizendo, neste caso, que o núme-ro é composto. ou

• quociente menor ou igual ao divisor - dizendo,neste caso, que o número é primo.

Exemplo 1: 151 é número primo?151 não é divisível por 2, 3 e 5.

Vejamos o que acontece com os números primosseguintes:



69

MATEMÁTICANão encontramos nenhum resto igual a zero, até

obtermos um quociente menor que o divisor. Concluímosque 151 é um número primo.

Exemplo 2: 221 é número primo? 221 não é divisívelpor 2, 3 e 5. Vejamos, então:

Concluímos que 221 é um número composto.

DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EMFATORES PRIMOS

fatores {3 x 8 = 24 }produto

Há números cujo produto é 24.

Descobre-os.

Escreve todas as respostas possíveis.

Entre as respostas encontradas escolhe aquela emque todos os fatores são números primos.

Obtiveste:

24 = 1 x 24

24 = 2 x 12

24 = 3 x 8

24 = 4 x 6

24 = 2 x 3 x 4

24 = 2 x 2 x 6

24 = 2 × 2 × 2 × 3

ou

24 = 23 × 3

Diz-se que 24 está decomposto num produto defatores primos.

A um produto de fatores iguais chama-se:

POTÊNCIA2 × 2 × 2 = 23

3 - expoente2 - base

Todo o número natural, maior que um, ou é primoou pode ser decomposto num produto de fatores primos.

Para decompor um número num produto de fatoresprimos podes usar os processos:

DIVISÕES SUCESSIVAS• Divide-se o número dado pelo seu menor divisor

primo.

• Procede-se de igual modo com o quociente ob-tido até encontrar o quociente 1.

Em árvore

• Escrever o número como produto de outros dois.

• Continuar a escrever cada número como pro-duto de outros dois até encontrar só númerosprimos.

24 = 2 × 2 × 2 × 3

= 3 3

Bibliografia: Mat 7 - 7.º Ano, Elza Gouveia Durãoe Maria Margarida Baldaque - Texto Editora

RAZÃO E PROPORÇÃO

RazãoSendo a e b dois números racionais, com b 0,

denomina-se razão entre a e b ou razão de a para b o

quocienteb

aoua : b.

Observações: 1) A razãob

aoua : b pode ser lida

das seguintes maneiras: “razão de a para b” ou "a estáparab”ou simplesmente "a parab”.

2) Em toda razão o primeiro número denomina-seantecedente e o segundo número, conseqüente

econsequentb

eantecedenta



70

MATEMÁTICA

Ex: • A razão de 3 para 5 é53

• A razão de 10 para 20 é21

0201

2º exemplo: numa partida de basquete Rafael fez15 arremessos, acertando 9 deles.

a) Qual a razão do número de acertos para o nú-

mero total de arremessos de Rafael?

5para353

3:153:9

5:9 para cada 5 arremes-

sos dados, Rafael acertou 3.

b) Qual a razão entre o número de arremessos queRafael acertou e o número de arremessos que ele errou?

15-9=6 -> nº de arremessos errados.

969363

32

:::

3 para 2,para cada 3 arremessos

acertados, Rafael errou 2.

3º) Calcular a razão da área do primeiro retângulopara a área do segundo retângulo.

21

1,5m60 cm

1m40cm

área do retângulo 1 : A1=60 cm . 40 cm = 2400 cm2

área do retângulo 2 : A2= 1,2 m . 1 m = 1,2 m2

Para calcular a razão entre as áreas, devemos an-tes passá-las para a mesma unidade. Assim:

A1= 2.400 cm2 =>A

2= 1,2 m2 = (1,2 x 10.000) cm2 =

12.000 cm2

5para151

000.12400.2

2

1 A

Arazão

a área do retângulo 2 é cinco vezes a área do retân-gulo 1.

* Razão de duas grandezas de mesma espécie é oquociente dos números que exprimem as suas medidas

racionais, tomadas na mesma unidade.4º) O peso de Paulo é 100 Kg e o de Márcio 50.000

g. Qual a razão entre os pesos de Paulo e Márcio?

Como 50.000 g = 50 Kg

250100

kg

kg

R: Paulo é duas vezes mais pesado que Márcio.

EXERCÍCIOS1) Calcule a razão entre as grandezas (as grande-

zas devem ser reduzidas a mesma unidade, se necessá-rio):

a) 10m e 15m b) 5m e 120 cm

c) 20 e 80 d) 2Kg e 6000g

2) Dois terrenos quadrados tem, respectivamente,

10m e 20m de lado. Qual é a razão da área do segundoterreno?

3) A razão entre as terras cultivadas e as terras não

cultivadas de uma fazenda é de3

2. Pergunta-se: há mais

terra cultivadas ou não cultivadas nesta fazenda?

RESPOSTAS

1) a)2

3b)

500

120

50

12

25

6 c)

1

4d)

1

3

2) Resp.:1

4

3) Resp.: Há mais terras cultivadas.

RAZÕES INVERSASDuas razões são inversas entre si quando seu produto é a

unidade.

1240120

.120240

240120 e

120240

Neste caso, dizemos que240120 e

120240

são razões

inversas. Exemplos:

inversasrazõessão 32

e23

)

inversasrazõessão 52

e25

)

b

a

Algumas razões especiais

•Velocidade Média:

Denomina-sevelocidade médiaa razão entre a dis-tância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la.

Velocidade Média = distância percorrida

tempo gasto

Ex.: Um automóvel percorreu 294 Km em 4 horas.Qual foi a velocidade média desse automóvel?

hKmh

kmMédiaVelocidade /5,73

4294

(lê-se: 73,5 quilômetros por hora).



71

MATEMÁTICA

ESCALADenomina-se escala de um desenho a razão entre

o comprimento considerado no desenho e o correspon-dente comprimento real, medidas com a mesma unidade.

escala = comprimento no desenho

comprimento real

* As escalas são usadas nos esboços de objetos(móveis, automóveis, etc.), nas plantas de casas e terre-nos, nos mapas e cartas geográficas.

Exemplo.: No desenho de uma casa, o comprimen-to de sala, que é de 8 m, está representado por um seg-mento de 2 cm. Qual foi a escala utilizada no desenho?

comprimento no desenho: 2cm

comprimento no real: 8m = 800 cm

400:1ou4001

8002

escala

Significado: cada centímetro no desenho

corresponde a 400cm, ou 4m no real.2º)Ao desenhar a sua sala de aula, Paula traçou

um segmento de 12cm, que corresponde ao comprimen-to da sala. Sabendo-se que a escala utilizada foi 1:60,qual o comprimento real da sala?

O comprimento 12cm no desenho corresponde aum comprimento de 720cm = 7,20m no real.

R = O comprimento real da sala é 7,2m.Exemplos

1) A distância entre duas cidades, A e B é de 400Km. Num mapa, essa distância corresponde a 10 cm.Qual foi a escala utilizada no mapa?

Resolução:

Comprimento no mapa: 10 cm

Comprimento real: 400 Km = 40.000.000 cm

Escala =10

40.000.0001

4.000.000ou14 000 000= : . .

2) Qual a escala utilizada num desenho onde umcomprimento real de 10m foi representado por um com-primento de 20 cm?

Comprimento no desenho: 20 cm

Comprimento real: 10m = 1.000 cm

Escala =20

1000

1

50ou 1 : 50

3) Num mapa, a escala utilizada é de 1 :1.000.000. Se a distância real entre duas cidades é de800 Km, qual a distância entre as cidades no mapa?

800 Km = 80.000.000 cm

x 80

Escala=1

1000 000

80

80 000 000. . . .

x 80

80 cm = 0,8 m

PROPORÇÃOQuando duas razões representam o mesmo quoci-

ente, elas são chamadas razões iguais.

25

10 e 224

510 e

24

:.

Ex

* A igualdade entre duas razões é chamada pro-porção

Ex.:159

53

é uma proporção, pois159

53

são ra-

zões iguais.

Assim, dizemos que:

Quatro números racionais a, b, c, d, diferentes dezero, nessa ordem, formam uma proporção quando a ra-zão do 1º para o 2º é igual à razão do 3º para o 4º.

d:cb:aou dc

b

a

Numa proporçãodc

b

a

• os números a, b, c e d são denominados termosda proporção.

• O primeiro e o quatro termo são chamados extre-mos, enquanto o segundo e o terceiro termos são cha-

mados meios.a : b = c : d

meios

extremos

ou

dc

b

a



72

MATEMÁTICA

Propriedades das proporções

Em toda proporção, o produto dos extremos é igualao produto dos meios, e vice-versa.

b.ca.ddc

b

a

produto produto dos meiosdos extremos

Exemplos: Na proporção

10.32.15temos1510

32

) a

• na proporção

8.94.18temos188

94

) b

Usando a propriedade fundamental, podemos cal-cular valores desconhecidos em uma proporção.

Ex. 1 : Calcular o valor de x, sabendo que 3, 5, 2 e

x + 1 formam, nessa ordem, uma proporção.

1x

253

3 (x+1) = 2.5 ——> propriedade fundamental

3x+3 = 10

3x = 10-3

3x = 7

3

7x

Ex. 2: Calcular o valor de x, sabendo que x+3, x+1,3 e 5 formam, nessa ordem, uma proporção

-1)(x 53

13

x

xdefinição fundamental

5 (x + 3) = 3 (x + 1) —> propriedade fundamental

5x + 15 = 3x + 3

5x - 3x = 3 - 15

2x = - 12

212-

x

x = - 6

Ex. 3: Sabendo-se que os números 6, 24, 5 e xformam, nessa ordem, uma proporção, determinar o va-lor de x.

Resolução

5

246

x

6x = 24.5

6x = 120

6

120x

x = 20

Resposta: x = 20

O número 20 assim determinado chama-se quartaproporcional dos números 6, 24 e 5.

Dados três números racionais a, b e c, denomina-sequarta porpo rcional desses números um número x

tal quecxb

a

Ex. 4: Calcular o valor de x na proporção

2)x(com

2

1

2

1

x

x

2)-1(x1)x2(21

21

x

x

2x + 2 = x - 2

2x - x = - 2 - 2

x = - 4

Resposta = x = - 4

EXERCÍCIOS

1) Numa residência, a razão entre a área construída

e a área livre é de2

3. Sabe-se que a área construída é de

90 m2. Qual é a área livre?

2) Sabe-se que a razão entre os gols sofridos e osgols feitos por uma equipe num campeonato de futebol é

13

. Se essa equipe sofreu 12 gols no campeonato, quantos

gols ela marcou?

RESPOSTAS1) Resp.: 135 m2

2) Resp.: 36 gols

Outras propriedades das propor çõesUma proporção qualquer pode ser transformada em

uma nova porporção, a partir das seguintes proprieda-des.

1ª propriedade: Numa proporção, a soma dos doisprimeiros termos está para o primeiro termo, assim comoa soma dos dois últimos termos está para o terceiro ter-mo.



73

MATEMÁTICA

c

dca

bac

db

a

Ex.: 6

1035

646

323

46

23

2ª propriedade: numa proporção, a soma dos doisprimeiros termos está para o segundo termo, assim comoa soma dos dois últimos termos está para o quarto ter-mo.

c

dca

bac

db

a

Ex.: 4

1025

446

223

46

23

3ª propriedade: numa proporção, a diferença dosprimeiros termos está para o primeiro termo, assim comoa diferença dos dois últimos termos está para o terceirotermo.

c

dc

a

bac

db

a

Ex.: 62

31

646

323

46

23

4ª propriedade: numa proporção a diferença dos doisprimeiros termos está para o segundo termo, assim comoa diferença dos dois últimos termos está para o quartotermo.

c

dca

bac

db

a

Ex.: 42

21

446

223

46

23

5ª propriedade: numa proporção, a soma dos ante-cedentes está para a soma dos conseqüentes, assimcomo cada antecedente está para o seu conseqüente.

d

c

b

a

db

a

dbba

edbbac

Ex.:23

69

23

4263

46

23

46

69

46

4263

46

23

6ª propriedade: numa proporção, a diferença dosantecedentes está para a diferença dos conseqüentes,assim como cada antecedente está para o seu conse-qüente.

d

c

b

a

db

a

dbba

edbbac

Ex.:23

23

23

4263

46

23

Exemplo:

Aplicando as propriedades das proporções, es-creva, para cada proporção dada, outras oito proporções:

a)86

43

1)8 6

84 3

4

2)

8 66

4 33

3)8 6

84 3

4

4)

8 66

4 33

5)8 46 3

86

6)8 46 3

43

7)8 46 3

86

8)8 46 3

43

APL ICAÇÃO DAS PROPRIEDADESNA RESOLUÇÃO DE PROBL EMAS

1º exemplo: Determinar x e y na proporçãox

y

3

4, sabendo-se x + y = 28

Resolução:

37

3

4343

x

yx

x

yx

y

x

como x + y = 28 ——> 3728 x

7x = 3 . 28

7x = 84

784

x

x = 12

x + y = 28

como x = 12

12 + y = 28y = 16

2º exemplo: A diferença entre dois números é 20.Sabendo-se que eles são proporcionais aos números 4 e3, determinar esses números.

Resolução:

Indicar por x e y os dois números.



74

MATEMÁTICADiferença entre os numeros => x - y = 20

x e y porporcionais a 4 e 3 => 34

y

x

Aplicando a propriedade

434

34

x

yx

y

x

Como x - y = 20 =>yx

120

80 = x

x - y = 20 => 80 - y = 20

- y = 20 - 80

- y = -60 (-1)

y = 60

resposta: Os números são 80 e 60

3º exemplo: Resolver a proporção 25b3 ca , sa-bendo-se a + b + c = 200

Resolução:

325325b

3acbaca

a b c a

10 3como a + b + c = 200,

20010 3

a

200 . 3 = 10 a

600 = 10 a

10600

= a

a = 60

tomando as igualdades duas a duas:

5.60353

605b

3 b

ba

3b = 300

1003

300 bb

403

120

1203

5.60323

602c

3

c

c

c

cca

Resposta: a = 60; b = 100; c = 40

EXERCÍCIOS1) Aplicando as propriedades, calcule x e y nas

proporções:

a)x

y

1

3(Sabendo que x + y = 60)

b)xy

52 (Sabendo que x - y = 45)

c)x y

5 4(Sabendo que x + y = 189)

RESPOSTAS1) a) x=15 e y=45

b) x=75 e y=30

c) x=105 e y=84

PORCENTAGEM.

A expressão por cento vem do latim “per centum”,que quer dizer "por um cento" assim quando você lê ouescuta uma afirmação como grande liquidação de verãona loja x : 40 por cento de desconto em todos os artigos,significa que você tem um desconto de 40 reais para cada100 reais do preço de um artigo. Isso nos leva, então, a

estabelecer a razão40

100. Podemos, então dizer que:

Toda razãoa

b, na qual b = 100, chama-se percen-

tagem. Assim : 40 por cento é o mesmo que40

100

Em lugar da expressão porcento, podemos usar o

símbolo %. Assim : 40% =40

100ou

40

100= 40%

Observação:

Uma razãoa

bcom b = 100, também pode ser

escrita forma de %. Vejamos alguns exemplos:

1º exemplo: Escrever1

2na forma de %

Resolução



75

MATEMÁTICAVamos escrever uma razão equivalente à razão dada

e que tenha denominador 100.

%5021

%5010050

21

2º exemplo: Escrever a razão3

8na forma de %.

Resolução:

Observando que o 8 não e fator de 100, vamos es-

crever a forma decimal de3

8(dividindo 3 por 8):

%5,37100

5,371000

375,0375,0

83

3º exemplo: Um desconto de 7 mil reais sobre umpreço de 25 mil reais representa quanto % de desconto?

Resolução: Inicialmente, temos a razão7

25Usando razões equivalentes.

%2810028

257

Escrevendo a forma decimal.

%2810028

28,0257

4º exemplo: Um lucro de 12 mil reais sobre um preço

de 150 mil reais representa quanto % de lucro?Resolução: Inicialmente, escrevemos a razão

12

150

252

15012

--------->forma irredutível da razão.

Usando razões equivalentes: %81008

252

Escrevendo a forma decimal: %8100

8

08,025

2

Resposta: Representa um lucro de 8%.

Observação:

Uma quantidade expressa em % pode também serescrita na forma decimal. Observe:

1) 51% =51

100=0,51

2) 165% =65

100=1,65

3) 7,2% =72

100

,=7,2 . 0,01 = 0,072

4) 16,28% =1628

100

,= 16,28 . 0,01 =0,1628

* dividir por cem é o mesmo que multiplicar por 0,01.

Resolvendo pr oblemas co m por centagemConsideremos as seguintes situações:

1º)Em um jogo de basquete, Oscar cobrou 20 lan-ces livres, dos quais acertou 65%. Quantos lan-ces livres ele acertou?

Resolução:

Este problema se resume em calcular 65% de 20.

Sabemos que 65% =

65

100= 0,65

Representando por x o número de acertos, temos aequação:

x = 65% de 20 cálculo 0,65

x = 0,65 . 20x 20

x = 1313,00

Resposta: Oscar acertou 13 lances livres.

2º)Durante o ano de 1992, uma equipe de basquetedisputou 75 jogos dos quais venceu 63. Qual é aporcentagem correspondente aos jogos que essa equipevenceu?

Resolução:

Vamos indicar por x% o número que representa essaporcentagem. De acordo com o problema, podemos es-crever.

x% de 75 é igual a 63.

Temos, daí, a equação:

x . 75 = 63 cálculo:

75 x = 63

x = 63 300 0,84

75 x = 0,84 00

Passando para a forma de % temos:



76

MATEMÁTICA

0,84 =84

100= 84%

Resposta: A equipe venceu 84% dos jogos que dispu-tou.

3º)Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45em meu álbum. As restantes eram repetidas.Qual foi a porcentagem de figurinhas repetidas?

Resolução:

Vamos calcular quantas figurinhas repetidas.

60 - 45 = 15

Representando por x o número que indica a porcen-tagem procurada, montamos a equação:x % de 60 é iguala 15, ou seja:

x . 60 = 15

60 x = 15

x =15

60

x = 0,25cálculo:

120 0,25

0300 Udc

000

Passando para a forma de percentagem, temos: x

= 0,25 =25

100= 25%

Resposta: 25 % das figurinhas que comprei eramrepetidas.

4º) Em um colégio, 1400 alunos estudam no perío-do da manhã. Esse número representa 56% do númerode alunos que estudam nesse colégio. Quantos alunosestudam, ao todo, nesse colégio?

Resolução: Vamos representar por x o número to-tal de alunos do colégio.

Sabendo que 56% =56

100

= 0,56, podemos escrever

a equação: 56% de x é igual a 1400, ou seja:

0,56 . x = 1400

0,56 x = 1400

x = 1400

0,56

x = 2500

cálculo

1400 : 0,56 = 140.000 : 56

280 2500

0000

Resposta: No colégio, estudam ao todo 2500 alu-nos.

EXERCÍCIOS1) Uma multa de 800 reais sobre um valor de 8.000reais corresponde a quantos % sobre o valor? Resp: 10%

2) Um prejuízo de 40 mil reais sobre o valor de 200mil reais representa % de prejuízo? Resp: 20%

3) Uma pesquisa foi realizada para verificar a audi-ência de televisão no horário nobre ( 20h às 22h). Foramentrevistadas 1640 residências e verificou-se 45% des-sas residências tinham a sua televisão ligada no canalA. Quantas residências estavam com a televisão ligadanesse canal?

Resp: 738 residências tinham suas televisões liga-das no canal A.

4) O preço de uma aparelho de som é de 150 reais.Para pagamento à vista é feito um desconto de 30%.Nessas condições:

a) Qual a quantia que corresponde ao desconto?

b) Qual o preço à vista desse aparelho de som?

Resp: a quantia do desconto é de R$ 45,00 e opreço à vista do aparelho é de R$ 105,00.

5) A população da Argentina corresponde a 21,5%,

aproximadamente, da população do Brasil. Se o Brasiltem, pelo Censo de 1991, uma população de aproxi-madamente 150 milhões de habitantes, qual é, aproxi-madamente, a população da Argentina? (Sugestão: nasua resposta faça a aproximação para número inteirode milhões).

Resp: A população da Argentina é de 33 milhões dehabitantes, aproximadamente.

REGRA DE TRÊS SIMPLES E

COMPOSTA

REGRA DE TRÊS SIMPLESÉ uma técnica de cálculo mediante a qual são re-

solvidos problemas que envolvem duas grandezas diretaou inversamente proporcionais. Conhecido um par de va-lores correspondentes das duas grandeza, procura-se umsegundo valor de uma delas que corresponda a um se-gundo valor assinalado na outra.



77

MATEMÁTICASe as grandezas são diretamente proporcionais a re-

gra de três diz-sedireta. Sendo as grandezas inversamen-te proporcionais,a regra de três é denominada inversa.

A técnica para resolver problemas consiste em ob-ter com os três dados e a incógnita procurada uma pro-porção e dela tirar o valor desejado.

Exemplos:

1) Se 15m de certo tecido custam R$ 90,00, quan-

to custarão 32m deste tecido?Resolução:

Indicando por x o preço dos 32m de tecido, temos aseguinte dispos ição prática:

METROS VALOR

15 m 90

32 m X

Como nesse exemplo as grandezas comprimentoe custo são diretamente porporcionais assinalamos essavariação na disposição prática mediante flechas no mes-mo sentido.

A proporção resultante é:

00,19215

00,9032

90003215

x

xx

x

Resposta: Os 32m de tecido custarão R$ 192,00.

2) Na extremidade de uma mola é colocado um cor-po massa de 10kg e verifica-se que o comprimento damola é de 42cm. Se colocarmos um peso de 15kg naextremidade dessa mola, qual será o comprimento damola?

Resolução:

Vamos representar pela letra x o comprimento pe-dido.

Pelo problema temos:Estamos relacionando dois valores da grandeza

massa (10kg e 15kg) com dois valores da grandeza com-primento

(42cm e x cm).

Queremos determinar um desses quatro valores, co-nhecidos os outros três.

Para isso, vamos organizar os dados numa tabela:

MASSA COMPRIMENTO

10 kg 42 cm

15 kg X

Se duplicarmos a massa do corpo, o comprimentoda mola também duplicará; logo, as grandezas sãodire-

tamente proporcionais. Assim, os números 10 e 15são diretamente proporcionais aos números 42 e x.

Daí temos:

6310630

6301042151042

1510

x

x

xxx

Resposta: O comprimento da mola será de 63cm.

3) Ao participar de um treino de Fórmula 1 para adisputa da pole position, um competidor, imprimindo ve-locidade média de 200 km/h faz o percurso em 18 segun-dos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempoque ele teria gosto no percurso?

Resolução:

Vamos representar pela letra x o tempo procurado.

Pelo problema temos:

Estamos relacionando dois valores da grandezave-locidade (200 km/h e 240 km/h) com dois valores da

grandeza tempo (18 e x s).Queremos determinar um desses valores, conheci-

dos os outros três.

Para isso, vamos organizar os dados na seguintestabela:

VELOCIDADETEMPO GASTO P/

FAZER O PERCURSO

200 km/h 18 s

240 km/h X

Se duplicarmos a velocidade do carro, o tempo gas-to para fazer o percurso cairá para a metade; logo, asgrandezas são inversamente proporcionais. Assim, osnúmeros 200 e 240 são inversamente proporcionais aosnúmeros 18 e x.

Daí temos:

200.18 = 240.x



78

MATEMÁTICA3600 = 240x

240x = 3600

x =3600

240

x = 15 s

Resposta: O corredor teria gasto 15 segundos nopercurso.

4) Uma máquina funcionando durante 5 horas, pro-duz 120 peças. Quantas peças ela produzirá se funcio-nasse durante 8 horas?

TEMPO DEFUNCIONAMENTO

PRODUÇÃO

5 120

8 X

5

8

120

x

5x = 8.120

5x = 960

x = 960 : 5

x = 192

Resp.: A máquina produzirá 192 peças.

5) Três torneiras completamente abertas enchem

um tanque em 90 minutos. Quantas torneiras iguais aessas encheriam o mesmo tanque em 54 minutos?

NÚMERO DETORNEIRAS

TEMPO

3 90 min.

X 54 min.

3.90 = x. 54

54 x = 270

x =270

54

x = 5

Resp.: Seriam necessárias 5 torneiras.

6) Em uma prova que valia 8 pontos, J únior obteve

nota 6,0. Se a prova valesse 10 pontos qual seria a notade Júnior.

VALOR DA PROVA NOTA

8 6

10 X

8

10

60

,

x

8 x = 6. 10

8 x = 60

x = 60 : 8

x = 7,5

7) Sabemos que a carga máxima de um elevador é

de 7 adultos com 80 kg cada um. Quantas crianças, pe-sando 35 kg cada uma, atingiriam a carga máxima des-se elevador?

NÚMERO DE PESSOAS PESO DE CADA PESSOA

7 80

X 35

7.80 = x. 35

35 x = 560x = 560 : 35

x = 16

Resp.: 16 crianças.

RESOLVA

1) A água do mar contém 2,5g de sal para cada100g de água. Quantos gramas de sal teremos com 5 kgde água do mar?

2) Usando telha francesa, precisamos de 15 telhas

para cobrir 1,5 m

2

de telhado. Quantas telhas serão ne-cessárias para cobrir 85 m2 de telhado?

3) Uma máquina impressora faz certo serviço em 8horas e meia, trabalhando numa velocidade de 5000 pá-ginas por hora. Se a velocidade da máquina mudassepara 6000 páginas por hora, em quanto tempo o mesmoserviço seria feito?

RESPOSTAS1) Resp.: Teremos 125g de sal.



79

MATEMÁTICA2) Resp.: Serão necessárias 850 telhas.

3) Resp.: O mesmo serviço seria feito em 425

min. ou 7 h 05 min.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Uma grandeza que varia dependendo de duas ou maisgrandezas é chamadograndeza composta.

Exemplo:

1º Trabalhando durante 6 dias 5 operários produ-zem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo se-rão produzidas por 7 operários, trabalhando durante 9 dias?

Resolvendo:

Organizar os dados do seguinte quadro:

NÚMERO DEOPERÁRIOS

NÚMERO DE DIAS NÚMERO DE PEÇAS

5 6 400

7 9 X

A B C

Fixando a grandeza A, vamos relacionar as grande-zas B e C:

* Se dobrarmos o nº de dias o número de peças tam-bém dobrará; logo, as grandezas B e C são diretamenteproporcionais.

Fixando a grandeza B, vamos relacionar as grandesasA e C:

* Se dobrarmos o número de operários, o númerode peças também dobrará; logo, as grandezas A e C sãodiretamente proporcionais.

Então, a grandeza C é diretamente proporcional asgrandezas A e B; logo seus valores serão diretamenteproporcionais aos produtos dos valores das grandezas Ae B, ou seja:

84030200.25

200.2530

4006030

40096

.75

x

x

x

x

x

Resp.: produzirão 840 peças

2º Um motociclista percorre 200 Km em 2 dias, serodar durante 4 horas por dia. Em quantos dias esse mo-

tociclista percorrerá 500 Km, se rodar 5 horas por dia?

Resolução:

Indicando o nº de dias pela letra x, vamos colocaros dados do problema no quadro:

NÚMERO DE KM NÚMERO DE H/DIA NÚMERO DE DIAS

200 4 2

500 5 X

A B C

Fixando a grandeza A, vamos relacionar as grande-zas B e C:

* Dobrando-se o número de horas que ele roda pordia, o número de dias cairá para a metade; logo, as gran-dezas B e C são inversamente proporcionais.

Fixando a grandeza B, vamos relacionar as grande-za A e C:

* Dobrando-se o número de Km percorrido, o núme-ro de dias também dobrará; logo, as grandezas A e Csão diretamente proporcionais

A grandeza, C é diretamente proporcional à grande-za A e inversamente proporcional à grandeza B; isso nosleva a escrever a razão inversa dos valores que represen-tam a grandeza B.

410004000

40001000

220001000

245

.500200

x

x

x

x

x

Resp.: O motociclista levará 4 dias

3º Duas máquinas produzem 32 peças de um certoproduto em 4 dias. Quantas peças produzirão 5 máqui-nas iguais às primeiras em 3 dias?

A

NÚMERO DE MÁQUINAS

B

NÚMERO DE H/DIA

C

NÚMERO DE DIAS

2 4 32

5 3 X

* Supondo A constante, C e B são diretamente pro-porcionais



80

MATEMÁTICA* Supondo B constante, C e A diretamente proporcionais

Então:

480815.328

3215832

34

.52

xx

xx

x =4808

=> x = 60 peças

Resp.: 60 peças

EXEMPLOS

1) Em uma tecelagem, 12 teares produzem 600 mde tecido em 5 dias. Em quantos dias 15 teares deverãoproduzir 1200 m do mesmo tecido?

NÚMERO DE TEARESQUANTIDADE DE

TECIDOTEMPO (EM DIAS)

12 600 5

15 1200 X

A B C

As grandezas A e C são inversamente proporci-onais.

As grandezas B e C são diretamente proporcionais.

15

12

600

1200

5

x

5

4

1

2

5.

x

5

8

5

x

5 x = 40

x =40

5=> x = 8

Resp.: Em 8 dias.

2) Em 3 horas, 4 torneiras despejam 4.200 litros deágua. Em quantas horas 5 dessas torneiras despejam

7.000 litros de água?

TEMPO (EM H)NÚMERO DETORNEIRAS

QUANTIDADE DE ÁGUA(EM LITRO)

3 4 4200

X 5 7000

A B C

As grandezas A e B são inversamente proporcionais.

As grandezas A e C são diretamente proporcionais.

3 5

4

4200

7000

3 5

4

3

5

3 3

4

x

x

x

.

.

3x = 12

x = 4

Resp.: Em 4 horas.

3) Uma pilha de 50 jornais iguais, com 30 páginascada um, pesa 7,5 Kg. Quantos Kg pesaria uma pilha de100 jornais, com 20 páginas cada um?

NÚMERO DE J ORNA IS NÚMERO DE PÁ GINA S PESO EM K G

50 30 7,5

100 20 X

A B C

As grandezas A e C são diretamente proporcio-nais. As grandezas B e C são diretamente proporcio-nais.

50

100

30

20

75.

,

x

3x = 7,5 . 4

1

2

3

2

75.

,

x

3

4

75

,

x

3x = 7,5 . 4

3x = 30

x = 30 : 3

x = 10

Resp.: A pilha pesaria 10 Kg.



81

MATEMÁTICA

MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES EPONDERADA

MÉDIA SIMPLES E PONDERADAMedidas de posição - estatísticas que representam

uma série de dados orientado-nos quanto à posição dadistribuição em relação ao eixo horizontal.

As medidas de posição mais importantes são asmedidas de tendência central, que recebem tal denomi-nação pelo fato de os dados observados tenderem, emgeral, a se agrupar em torno dos valore centrais. Dentreas medidas de tendência central, destacamos:

a- a média aritmética;

b- a mediana;

c- a moda.

As outras medidas de posição são as separatrizes,que englobam:

a- a própria mediana;

b- os quartis;

c- os percentis.

MÉDIA ARITMÉTICA x Em um conjunto de dados, podemos definir vários

tipos de médias. Porém em nossos estudos iremos noslimitar a mais importante: a média aritmética

Média aritmética é o quociente da divisão da somados valores da variável número deles

X = xi n

sendo:

x a média aritmética;

xios valores da variável

n o número de valores.

PROPRIEDADES DA MÉDIA1ª propriedade - a soma algébrica dos desvios

tomados em relação à média é nula:

k

i

id

1

0

2ª propriedade à somando-se (ou subtraindo-se)uma constante (c ) de todos os valores de uma variável, amédia do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessaconstante:

c x yc x yii

3ª propriedade à multiplicando-se (ou dividindo-se)todos os valores de uma variável por uma constante ( c),a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) poressa constante:

x y

x yc

c x yc x y i

iii

CÁLCULO SIMPLIFICADODA MÉDIA

Quando desejamos conhecer a média dos dados

não – agrupados, determinamos a média aritmética sim-ples.

Exemplo:

Sabendo-se que a produção leiteira diária da vacaA, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16,18 e 12litros, temos, para produção média da semana:

X = 10 +14+13+15+16+18+12 = 98 = 14

7 7

Logo: x = 14 litros

DADOS AGRUPADOSSEM INTERVALOS DE CLASSEConsiderando a distribuição relativa a 34 famílias

de quatro filhos, tomando a variável o número de filhos dosexo masculino:

Tabela

Nº Meninos f i

0 2

1 6

2 10

3 124 4

34

Neste caso, como as freqüências são números daintensidade de cada valor da variável, elas funcionam comofatores de ponderação, o que nos leva a calcular a médiaaritmética ponderada, dada pela fórmula:

i

ii

f

f x x

O modo mais prático de obtenção da média ponde-

rada é abrir na tabela uma coluna correspondente aosprodutos x1f 1:

Tabela

Nº Meninos f i x1f 1

0 2 2

1 6 6

2 10 20

3 12 364 4 16

= 34 = 78

Temos então : xif i= 78 e f

1= 34

Logo: 3,229,234

78

x x f

f x x

i

ii

EMPREGO DA MÉDIAÉ utilizada quando:

a- desejamos obter a medida de posição que pos-sui a maior estabilidade;



82

MATEMÁTICAb- houver necessidade de um tratamento algébri-

co ulterior

EQUAÇÃO DO 1.º E 2.º GRAUS

EQUAÇÕES DO 1º GRAUCOM UMA INCÓGNITA

IGUALDADENas sentenças matemáticas, os verbos são nor-malmente representados pelos símbolos = (é igual a), ¹(é diferente de), > (é maior que) e < (é menor que).

Uma sentença matemática onde se usa o símbolo= representa uma igualdade.

Exemplos:

2+5 = 7 —> a soma de dois e cinco é igual a sete.

23-5 = 3 —> o cubo de dois diminuindo de cinco éigual a três.

32+42 = 52 —> a soma dos quadrados de três e dequatro é igual ao quadrado de cinco.

De um modo igual podemos representar uma igual-dade por a = b, onde a e b são nomes diferentes para ummesmo número.

2 + 5 = 7 23 - 5 = 3 32 + 42 = 52

--------------- -------------- -----------------

a b a b a b

Em uma igualdade:

• A expressão matemática situada à esquerdado símbolo =é denominada 1º membro da igual-dade.

• A expressão matemática situada à direita dosímbolo = é denominada 2º membro da igual-dade.

PROPRIEDADES DA IGUALDADEUma igualdade apresenta as seguintes proprieda-

des:

Propriedade reflexiva

2 = 2 a = a, para qualquer número racional a

23

23

Propriedade simétrica

2+5 = 7 —> 7 = 2+5 a = b —> b=a

23-5 = 3 —> 3 = 23-5 para quaisquer

32+42 = 52—> 52 = 32+42 a e b.

Propriedade transitiva.

2+5 = 7 e 7 = 8-1 —> 2+5 = 8-1

23-5 = 3 e 3 = 2+20 —> 23-5 = 2+20

32+42 = 52 e 52 = 25 —> 32+42 = 25

a = b e b = c —> a = c para quaisquer a, b e c.

PRINCÍPIOS DE EQUIVALÊNCIA.

Vamos conhecer os princípios de equivalência deuma igualdade, que serão muito úteis na resolução de

equações.PRINCÍPIO ADITIVO

5+3 = 8 —> (5+3) +2 = (8)+2 —> adicionamos +2aos dois membros.

5+3 = 8 —> (5+3) -2 = (8)-2 —> adicionamos -2aos dois membros.

Adicionando um mesmo número dos dois membrosde uma igualdade, obtemos uma nova igualdade, ou seja:

a = b —> a + c = b + c

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

5+3 = 8 —> (5+3).2 = 8.2 —> multiplicamos osdois membros por 2.

5+3 = 8 —> (5+3).12

= (8).12

—> multiplicamos os

dois membros por12

.

Multiplicando os dois membros de uma igualdadepor um mesmo número, diferente de zero, obtemos umanova igualdade, ou seja:

a=b —> a.c = b.c, com c ¹ 0

EQUAÇÕES

Toda sentença matemática que representa uma igual-dade e na qual existem uma ou mais letras que se refe-rem a números desconhecidos dessa sentença é deno-minadaequação.

Cada letra que se refere a um número desconheci-do chama-se incógnita.

Exemplos:

1) A sentença matemática 2x+1=19 é uma equa-ção que tem uma incógnita representa pela le-tra x.

2) A sentença matemática x-y=20 é uma equa-ção que tem duas incógnitas representadaspelas letras x e y.

3) A sentença 5m+2 = 2m - 19 é uma equaçãoque tem uma incógnita representada pela letram.

Como toda equação é uma igualdade, temos:



83

MATEMÁTICA

25x

+ 40 =12x

1º membro 2º membro

y + 3y = 100

1º membro 2º membro

Não são equações as sentenças matemáticas:

32 + 1 = 2 + 23 —> Embora seja igualdade, nãoapresenta elemento desconhecido

x + 3 < 20 —> Embora apresente elemento desco-nhecido, não representa uma igualdade

Como verificar se um número dado é raiz de umaequação.

Para verificar se um número dado é raiz ou não deuma equação, devemos proceder da seguinte maneira:

•Substituímos a incógnita pelo número dado

•Calculamos o valor númerico de cada membro daequação, separadamente.

•Se a igualdade obtida for verdadeira, o número dadoé raiz da equação; se for falsa não o é.

Exemplo:

1) Verificar se o número -6 é raiz da equação:

3x - 5 = 5x + 7.

3.(-6) - 5 = 5.(-6) +7 —> substituímos a incógnitax pelo nº -6.

-18-5 = -30+7

-23 = - 23 —> sentença é verdadeira

R= O número -6 é raiz da equação: 3x -5 = 5x +72) Verificar se o número 2 é raiz da equação:

y2 - 5y= 3y +6

y2 - 5y = 3y + 6

(2)2 - 5.2 = 3.2 + 6 —> substituímos a incógnita ypelo número 2.

4 - 10 = 6 + 6

- 6 = 12 —> sentença é falsa

Resp: O número 2 não é raiz da equação y2 - 5y =3y + 6.

RESOLVENDO UMA EQUAÇÃO DO 1ºGRAU COM UMA INCÓGNITA

Resolver uma equação do 1º grau com uma incóg-nita, dentro de um conjunto universo, significa determi-nar a solução ou raiz dessa equação, caso exista.

PROCESSO PRÁTICO1º exemplo : Resolver a equação

5x + 1 = 36, sendo È = Q

5x + 1 = 36

5x = 36 - 1

5x = 35

x =355

x = 7 S = {7}

2º exemplo : Resolver a equação 7x = 4x + 5, sen-do È = Q

7x = 4x + 5

7x - 4x = 5

3x = 5

x =53

35

S

3º exemplo: 9x - 7 = 5x + 13

Pelos exemplos dados, vimos que devemos isolar,

no primeiro membro, os termos da equação que apre-sentam a incógnita x e, no 2º membro, os termos quenão apresentam a incógnita.

Processo prático:

9x - 7 = 5x + 13

9x - 5x = 13+7

4x = 20

x =204

x = 5 S = {5}4º exemplo: 2. (2x-1) -6. (1-2x) = 2.(4x-5), sendo

È = Q.

Resolução:

Inicialmente, vamos aplicar a propriedade distributivada multiplicação para eliminar os parênteses:

2.(2x-1) -6.(1-2x) = 2.(4x-5)

4x -2-6+12x = 8x-10

4x+12x-2-6 = 8x-10

16x-8 = 8x-10

16x-8x = -10+8

8x=-2

x =28

x =14



84

MATEMÁTICA

5º exemplo: Qsendo25

32

43

xx

Processo prático

34

23

x = x-

52

9

12

8

12

12

12

30

12

x x reduzindo ao mes-

mo denominador

9x-8 = 12x-30 —> cancelando os denominadores

9x = 12x-30+8 —> aplicando o processo aditivo

9x = 12x-22

9x-12x = -22 —> aplicando o princípio aditivo

-3x = -22

3x = 22

x =22

3Observação:

Consideramos, agora, a resolução das seguintesequações:

7x+6 = 7x+10, sendo È =Q

7x-7x = 10-6

0x = 4 —> não é uma equação do 1º grau com umaincógnita, pois pela definição a ¹ 0

S = {f}

Pois não existe número racional que multiplicado

por zero dá como resultado 4.5-2x = 5-2x

-2x+2x = 5-5

0x = 0 —> não é uma equação do 1º grau com umaincógnita, pois pela definição a ¹ 0.

* todo número racional torna verdadeira essa igual-dade. Nesse caso, a equação é uma identidade e S = Q.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃOCOMPLETA DO 2º GRAU COM UMA

INCÓGNITA

FÓRMULA RESOLUTIVA OUFÓRMULA DE BHASKARA

Usando o processo de Bhaskara e partindo da equa-ção escrita na sua forma normal, foi possível chegar auma fórmula que vai nos permitir determinar o conjuntosolução de qualquer equação do 2º grau de maneira maissimples.

. Consideremos a equação:

ax2+bx+c = 0 com a, b, c R e a 0.

A solução pode ser dada por

a

bx

2

onde: b2 - 4 ac

* Nesta fórmula, o fato de x ser ou não um númeroreal vai depender do discriminante:

1º CASO é um real positivo ( >0)

Neste caso, é um número real e existem doisvalores reais diferentes para a incógnita x, sendo costumerepresentar esses valores por x' e x”, que constituem as raízesda equação.

a

bx

2

a

bx

a

bx

2''

2'

2º CASO: É ZERO ( = 0)

Neste caso ocorre:

a

b

a

b

a

b

a

bx

220

20

2

Observamos, então, a existência de um único va-lor real para a incógnita x, embora seja costume dizerque a equação tem duas raízes reais e iguais.

x’= x”=a

b

2

3º CASO: É UM NÚMERO REAL

NEGATIVO (<0).Neste caso, não é um número real pois não há

no conjunto dos números reais a raiz quadrada de um núme-ro negativo.

Na equação ax2+bx+c = 0, temos:

. = b2-4ac

. Quando 0, a equação tem raízes reais> 0 (2 raízes diferentes}

= 0 (uma única raíz.

. Quando < 0, a equação não tem raízes reais.

Exemplo: Resolver a equação

x2+2x-8 = 0

Resolução:

a = 1, b=2; c=-8

= b2-4ac = (2)2-4(1)(-8) = 4+32 = 36>0

Como>0, a equação tem duas raízes reais dife-rente,



85

MATEMÁTICA

2,4

428

262

''

224

262

'

262

)1(236)2(

2

S

x

x

a

bx

2º) Resolver a equação x2-14x+49 = 0

a = 1, b = -14, c = 49

= b2-4ac = (-14)2-4(1)(49) = 196-196 = 0

Como =0, a equação tem uma única raíz real.

x = -b = -(-14) = 14 = 7

2a 2(1) 2

S = {7}

3º) Resolver a equação: x2-5x+8 = 0

Resolução:

a=1, b=-5, c=8

=b2-4ac =(-5)2-4(1)(8) = 25-32= -7

Como <0, a expressão dada não tem raízesreais:

S = f

4º) Vamos determinar, no conjunto R, a solução da equa-ção

3x(x+1)-x = 33-(x-3)2

Resolução:

3x(x+1)-x = 33-(x-3)2

3x2+3x-x =33-(x2-6x+9)

3x2+3x-x = 33-x2+6x-9

3x2

+2x = -x2

+6x+243x2+x2+2x-6x-24 = 0

4x2-4x-24 =0—>dividindo todos os termos por 4 p/sim-plificar.

x2-x-6 =0

Nesta equação:

a=1, b=-1, c=-6

=b2-4ac=(-1)2-4(1)(-6) = 1+24=25

Como >0

3,2

224

251

''

326

251

'2

51

)1(2

25)1(

2

S

x

x

a

bx

RESOLUÇÃO DE PROBLEMASQuando vamos resolver um problema, devemos:

- ler com atenção o problema e levantar os da-

dos.- fazer a tradução da sentença em palavras (enun-

ciadas do problema) para uma sentença mate-mática com suas letras e símbolos.

- resolver a sentença matemática obtida.- analisar o resultado obtido e dar resposta conveni-

ente.Exemplo:

Em uma prova do campeonato mundial de Fórmula

1, um corredor desiste da competição ao completar2

5do

percurso total da prova, por defeito mecânico no seu car-ro. Se tivesse corrido mais 36Km, teria cumprido ametade do percurso total. De quantos Km é o pecursototal da prova?

Resolução:

O problema nos pede para encontrar um certo nú-mero que representa em Km, o percurso total da prova.

Vamos indicar, esse nº pela letra x.

25x

+36 =12

2

5

x+36 =

1

2

x—>

4

10

360

10

5

10

x

4x+360 = 5x

4x-5x = -360

-1x = -360 x = 360

O percurso total da prova é de 360Km.

2º exemplo:

Em um colégio, 20% dos professores ensinam Ma-temática. Sabendo-se que o colégio ainda tem 24 profes-sores que ensinam as outras matérias, quantos profes-sores há, ao todo, nesse colégio?

Resolução:

O problema nos pede para encontrar um certo nú-mero que apresenta o número total de professores de umcolégio.

Vamos indicar esse nº pela letra y e escrever a equa-

ção: 20% =20100

15

15y

+ 24 = y

Resolvendo a equação:

15y

+24 = y

15y+120

555 y —> 1y+120 = 5y

1y-5y = -120

-4y = -120

4y = 120

1204

y = 30



86

MATEMÁTICAResposta: Nesse colégio há, ao todo 30 professo-

res.

3º exemplo:

Uma tábua de comprimento 100cm deve ser repar-tida em duas partes. O comprimento da parte maior éigual ao triplo do comprimento da menor. Determinar ocomprimento de cada uma das partes.

Resolução: O problema nos pede para encontrardois números que representam os comprimentos de cadaparte da tábua que foi repartida, sendo um o triplo do

outro.Vamos, então, representar esses comprimentos por

x (parte menor) e 3x (parte maior).

x+3x=100

Resolvendo: O comprimento da parte menor =25cm

x+3x = 100

4x = 100

x =1004

O comprimento da parte maior = 3.25cm= 75cm

x = 254º exemplo:

Em um estacionamento, há carros e motos numtotal de 38 veículos e 136 rodas. Quantas motos e quantoscarros há nesse estacionamento?

O problema nos pede para encontrar dois números,os quais vamos indicar por:

números de motos = x;

de carros = 38-x

Como cada moto tem 2 rodas e cada carro tem 4rodas, vamos escrever a equação:

2x+4.(38-x) = 136 ---->total de rodasResolvendo:

2x+4.(38-x) = 136 nº de motos 8

nº de carros = 38-x = 38-8 = 30

2x+152-4x = 136

2x-4x = 136-152

-2x = -16

2x = 16

No estacionamento há 8 motos, e 30 carros.

x =

16

2x = 8

EXEMPLOS:

PROBLEMAS ENVOLVENDOEQUAÇÕES DO 1º GRAU

1) A diferença entre o triplo de um número e 200é igual a 16 . Determine esse número.

Número = x 3x - 200 = 16

3x = 200 + 16

3x = 216

x =2163

x = 72

2) Ao dobro de um número adicionamos 12 e oresultado é igual à metade do mesmo número, au-mentado de 108. Qual é o n úmero procurado?

Número = x

2x + 12 = x2 + 108

2x -x2

= 108 - 12

42

216 242

x x

3x = 192

x =1923

x = 64

3) Um terreno de 920 m2 de área foi reservadopara a construção de uma escola. Essa escola de-verá ter 10 salas de aula, todas com a mesma área,e um pátio de 320 m2. Qual deverá ser a área decada sala de aula?

Área da sala de aula = x

10x + 320 = 920

10 x = 920 - 320

10 x = 600

x =600

10x = 60

Resp.: Cada sala de aula deverá ter 60 m2 de área.

4) A soma de dois números é 207. O maior de-les supera o menor em 33 unidades. Quais são osdois números?

Nº menor = x x + 33 + x = 207Nº maior = x + 33 2x = 207 - 33

2x = 174x = 174 : 2

x = 87Nº menor = 87

Nº maior = 87 + 33 = 120

RESOLVENDO PROBLEMASENVOLVENDO EQUAÇÕES DO 2 º GRAU

1) A soma de um número real com o seu quadradodá 30. Qual é esse número?

Nº procurado = xEquação = x + x2 = 30

x2 + x - 30 = 0



87

MATEMÁTICAa=1, b=1, c=-30

= b2 - 4ac

x =

b

a

21 121

211 11

2( )( )

( )

x'

1 11

2102

5

x"

1 11

2

12

26

Resp.: O número procurado é 5 ou -6.2) Do quadrado de um número real vamos subtrair o

quádruplo do mesmo número. O resultado encontrado é60. Qual é esse número?

Nº procurado = xx2 - 4x -60 = 0a=1, b=-4, c=-60

= b2 - 4ac = (-4)2 - 4(1) (-60) = 16 + 240 =256

x =

b

a

2

4 256

21

4 16

2( )

( )

.x'

4 162

202

10

x"

4 16

2122

6

Resp.: O número procurado é 10 ou -6.3) Se você adicionar um número inteiro com o inver-

so do número, você vai obter 17/4. Qual é esse número?Nº inteiro procurado = x

Equação : xx

1 17

4

4 44

172

x x

4x2 - 17x +4 = 0

= b2- 4ac = (-172) - 4.4.4 = 289 - 64 =225

x

=

b

a

217 225

2417 15

8( )( )

.

x'

17 15

8328

4

x"

17 15

828

14

Resp.:14

não serve, pois pede-se um número intei-ro. O nº procurado é 4.

4) Sabe-se que A tem 5 anos a mais que B e que oquadrado da idade de A está para o quadrado da idade deB assim como 9 está para 4. Qual é a idade de A e quala idade de B?

A = x + 5

B = x

( )x

5 94

2

2

x xx

2

2

25 25 94

.

x xx

2

2

10 25 94

4 40 1004

94

4 40 100 92

2

2

22 2x x

xxx

x x x

4 9 40 100 0 5 40 100 02 2 2x x x x x (:-5)

x x

a b c

2 8 20 0

1 8 20

, ,

b ac

xb

a

2 24 8 41 20 64 80 144

28 144

28 12

2

( ) . . ( )

x

x

'

"

8 122

10

8 122

2

Resp.: O valor -2 não serve como resposta, poispede-se a idade de uma pessoa.

B =10 A = 10 + 5 = 15

5) A área da região cinza na figura abaixo é 80m2.Nessas condições, determine a medida x indicada:

710 x + 5

x

Equação: x (x+5) - 70 = 80x x

x x x

a b c

b ac

xb

a

x

x

2

2 2

2

2

5 70 80

5 70 80 0 5 150 0

1 5 150

4

5 4 1 150 25 600 625

25 625

2 15 25

2

5 252

202

10

5 252

302

15

x

(não serve)

, ,

( ) .( ). ( )

( )( )

'

"



88

MATEMÁTICAResp.: Devemos ter x = 10m.

SISTEMA DE EQUAÇÕESDO 1º GRAU

SISTEMAS DE EQUAÇÕESÉ um conjunto de duas ou mais equações do 1º

grau. Os Sistemas exigidos em concursos públicos sãoos de duas equações e duas incógnitas, por isso vamosestudá-lo com mais profundidade.

Resolução de um sistema:

(com duas equações e duas incógnitas)

resolver um sistema de equações é achar o valordas incógnitas que satisfazem as duas equações simul-taneamente.

Métodos de Resolução:

1º Método da Substi tuição:

Este método consiste em:

a) isolar um incógnita em uma das equações;

b) substituir o seu valor na outra e resolver a equaçãoresultante;

c) determinar o valor de outra incógnita

Exemplo:

1)X Y 8 1

X Y 8 2

a) Isole x em (1)x = 4 + y (3)

b) Subst itu a (3) em (2) e resolva a equaçãoobtida.

4 + y + y = 8

2y = 8 - 4

2y = 4

y = 4/2

y = 2c) Substitua o valor de y em (2)

x + y = 8

x + 2 = 8

x = 8 - 2

x = 6

Resposta: x = 6 e y = 2

2)3X Y 8 1

2X Y 7 2

a) Isole y em (2)

y = 7 - 2x (3)

b) Substitua (3) em (1) e resolva a equaçãoobtida.

3x - (7 - 2x) = 8

3x - 7 + 2x = 8

5x = 8 + 7

x = 15/5

x = 3

c) Substitua o valor de x em (2)

2. x + y = 7

2 . 3 + y = 7

6 + y = 7

y = 7 - 6

y = 1


2º MÉTODO DA ADIÇÃO

Consiste na soma das duas equações desde que te-nham (ou se consigam obter) coeficientes simétricos parauma incógnita.

Exemplos:

1)X Y 12 1

X Y 2 2

a) Somando (1) com (2)

x 12

x y 2

2x 14

x 14 2x 7

y

b) Substitui ndo o valor de x em (1) temos:

x + y = 12

7 + y = 12

y = 12 - 7



89

MATEMÁTICA

y = 5


2)2X Y

4X Y

3 9

11

a) Multiplicando todos os termos da segunda

equação por 3, teremos:

2X Y

12X Y

3 9 1

3 33 2

b) Somando (1) com (2)

2x 9

12x y 33

14x 42

x

x 3

3

3

42 14

y

c) Substitui ndo o valor de x em (1) temos:

2 x + 3y = 9

2 . 3 + 3y = 9

6 + 3y = 9

3y = 9 - 6

3 y = 3

y = 1


RELAÇÃO ENTRE GRANDEZAS:TABELAS E GRÁFICOS

A Matemática é a ciência que busca e estuda pa-drões, estruturas e processos abstratos que governam aordem e trazem simplicidade no mundo das idéias e nomundo natural.

O objeto de um estudo matemático costuma nãoser tão importante quanto aos padrões e a coerência queemergem desse estudo. E são exatamente esses pa-drões e coerência que determinam o imenso poder daMatemática, pois eles freqüentemente conseguem es-

clarecer objetos ou processos de outros campos da Ma-temática e de outras ciências.

A Matemática pode ser subdividida segundo várioscritérios; aqui, daremos ênfase à sua divisão em:

MATEMÁTICA DETERMINISTADe um modo simplório: é a matemática que não

envolve a noção de probabilidade; de um modo um poucomais articulado: é a matemática que estuda os padrões,

estruturas e processos dos quais conhecemos as cau-sas determinantes, o que torna possível elucidar suaspropriedades, prever e controlar seu comportamento

MATEMÁTICA PROBABILISTA:A qual estuda padrões, estruturas e processos imen-

samente complexos nos detalhes e para os quais, en-tão, desconhece-se as causas determinantes; conseqüen-temente, a elucidação de suas propriedades, a previsãoe controle de seu comportamento limita-se ao permitidopela abordagem probabilista ou/e estatística dos mes-mos.

GRÁFICOS CARTESIANOSO Gráfico é um instrumento que possibilita transmi-

tir muitas vezes o significado de planilhas ou tabelascomplexas de uma forma mais eficiente e mais simples.

Não adianta nada você saber efetuar a confecçãode um gráfico se não souber a que finalidade se destinadeterminado gráfico. Desta forma você correrá o risco deapresentar um gráfico que não seja adequado a uma de-terminada situação.

OS TIPOS DE GRÁFICOS

Para se criar um gráfico é preciso primeiro conhe-cer o tipo de informação que se deseja transmitir, poisum gráfico poderá informar de forma visual as tendênciasde uma série de valores em relação a um determinadoespaço de tempo, a comparação de duas ou mais situa-ções e muitas outras situações.

A maior parte dos gráficos desenhados utiliza osdados em relação a um eixo X horizontal e a um eixo Yvertical, podendo o eixo X conter um escala de categori-as como: valores, faixas etárias, medidas métricas, anos,meses, dias da semana, localidades geográficas, etc. Oeixo Y poderá conter os valores definidos dentro de uma

planilha. O gráfico é um objeto gráfico que você poderáefetuar cópia, movimentação, alteração do tamanho emudança de seu estilo de apresentação.

Cada tipo de gráfico é adequado para uma diferentesituação a ser analisada. Se um gráfico for definido deforma incorreta, poderá ocorrer a análise errada de umasituação, causando um série de interpretações distorcidasdo assunto em questão, tornando desta forma o desenhodo gráfico sem qualquer efeito aproveitável.



90

MATEMÁTICAEntre gráficos mais utilizados estão: Linhas, Área,

Colunas, Torta, Dispersão (XY), Radar, 3D e Rosca.

COMO CONSTRUIR UM GRÁFICOUtilizaremos a planilha Projeção de Vendas para

construir o gráfico. O gráfico é desenhado de acordo coma faixa de células previamente selecionada da planilha. Ográfico em questão terá a finalidade de demonstrar a pro-

jeção dos valores de vendas de diversos produtos duranteo primeiro trimestre de um determinado ano em relação àtaxa de projeção aplicada a cada mês. Para se definir aconstrução de um gráfico é necessário em primeiro lugar,carregar o arquivo que será alvo de nossa aplicação.

GRÁFICO DE COLUNAS

GRÁFICOS EM BARRASVERTICAIS ( COLUNAS ).

Quando as legendas não são breves usa-se de pre-ferência os gráficos em barras horizontais. Nesses gráfi-cos os retângulos têm a mesma base e as alturas sãoproporcionais aos respectivos dados. A ordem a ser ob-

servada é a cronológica, se a série for histórica, e a de-crescente, se for geográfica ou categórica.

GRÁFICOS EM COLUNASSUPERPOSTAS.

Eles diferem dos gráficos em barras ou colunas con-vencionais apenas pelo fato de apresentar cada barra oucoluna segmentada em partes componentes. Servempara representar comparativamente dois ou mais atribu-tos.

GRÁFICOS DE BARRASO gráfico de barras surgiu nos Estados Unidos da

América há cerca de 100 anos e a grande maioria dosanalistas do mundo o utilizam em suas análises.

O gráfico mais utilizado é sem dúvida o gráfico debarras diárias, que é ao mesmo tempo um dos mais sim-ples de construir. O eixo dos “x” - o eixo horizontal - éusado para marcar os dias e o eixo dos “y” para marcaras cotações. Em cada dia é desenhada uma barra verti-cal entre o máximo (H, de “high”) e o mínimo (L, de “low”)

do dia. Nessa barra é feita uma marca do lado esquerdo,correspondente ao preço de abertura (O, de “open”) dotítulo, e uma marca do lado direito, no preço de fecho (Cde “close”). A cada dia que passa é acrescentada maisuma barra ao gráfico

Nos gráficos de barras é habitualmente indicado ovolume (número de ações ou contratos transaccionados),num segmento separado do gráfico, geralmente na parteinferior. A cada dia corresponde uma linha vertical, tantomaior quanto maior fôr o volume desse dia

Antes da vulgarização dos computadores, os gráfi-cos de barras eram realizados em papel milimétrico, eexistiam mesmo empresas especializadas emcomercializar “livros” de gráficos, que cada analista po-dia usar como ponto de partida e atualizar no final decada dia. Hoje em dia é possível usar meioscomputacionais poderosos, mas o gráfico de barras con-tinua a ser o mais usado, e podem ainda encontrar-sealguns “resistentes” que continuam a atualizar os seusgráficos à mão, com o argumento (razoável) de que as-sim conseguem “sentir” melhor o movimento de cada tí-tulo.

Quando a gama de variação é muito grande, porvezes usa-se no eixo vertical uma escala logarítmica, mas

o princípio de construção é exatamente o mesmo.O mesmo princípio de construção é usado para ela-borar gráficos semanais (cada barra corresponde a umasemana), mensais ou trimestrais. Pode também seguir-se a evolução de preços numa escala de tempo mais de-talhada, com gráficos “intraday”, onde cada barracorresponde a um período de tempo inferior a um dia. Nes-se caso, em cada barra a “abertura” é o primeiro preçoregistrado na faixa de tempo escolhida, e o “fecho” o últi-mo preço. Por exemplo, num gráfico horário, teríamos umabarra (9:30:00 - 10:29:59), outra (10:30:00 - 11:29:59), eassim sucessivamente (no nosso mercado, cada dia se-ria representado por sete barras). Alguns formatos popula-res: gráficos de 3, 2 ou 1 horas, 45, 30, 20, 15, 10, 5, 2, 1minuto. Nos gráficos com períodos diferentes de 1 dia o

princípio de desenho do volume é exatamente o mesmo: Acada barra corresponde um traço vertical na “janela” dosvolumes, tanto maior quanto maior tiver sido o volume noperíodo correspondente à barra associada.

GRÁFICOS POR SETORES

CIRCULARESEste gráfico é construído com base em um círculo,

e é empregado sempre que desejamos ressaltar a parti-cipação do dado no total. O total é representado pelocírculo, que fica dividido em tantos setores quantas sãoas partes. Os setores são tais que suas áreas são res-pectivamente proporcionais aos dados da série. O gráfi-co em setores só deve ser empregado quando há, nomáximo, sete dados.

Obs: As séries temporais geralmente não são re-presentadas por este tipo de gráfico.



91

MATEMÁTICA

GRÁFICO DE LINHA SÓLIDAGráficos de linha sólida são similares aos de Bar-

ras. Neles apenas a cotação de Fechamento é registra-da, resultando em uma linha sólida que torna as curvasmais visíveis

São freqüentemente usados para representação deséries cronológicas com um grande número de períodosde tempo. As linhas são mais eficientes do que as colu-nas, quando existem intensas flutuações nas séries ouquando há necessidade de se representarem várias séri-es em um mesmo gráfico.

Quando representamos, em um mesmo sistema decoordenadas, a variação de dois fenômenos, a parte in-terna da figura formada pelos gráficos desses fenômenoé denominada de área de excesso.

GRÁFICO DE VOLUMENO GRÁFICO DE VOLUME

A análise do volume da ação é de extrema impor-tância para confirmar o que está acontecendo com seupreço. Não se pode analisar a tendência de uma açãosem levar em conta o comportamento do volume negoci-ado, isso justifica a colocação do gráfico de volume sem-pre junto com um gráfico de preços. Quando uma ação

está para mudar a sua trajetória, o comportamento dovolume indica claramente este fato. Portanto, ao verificaruma formação ou uma tendência em algum tipo de gráfi-co, sempre confirme com a análise do volume. Por isso,temos a seguir uma tabela que o ajudará a analisar umativo :

Preço da ação Anál ise doVolume

Tipo demercado

Em alta Em alta Forte

Em alta Em baixa Fraco

Em baixa Em alta Fraco

Em baixa Em baixa Forte

Repare no gráfico abaixo, no mês de outubro, que ovolume diário negociado situava-se em uma faixa de va-lores baixa e constante, até o momento em que ocorreuuma reversão de tendência do movimento da ação. Nes-te instante, constatou-se o imediato aumento do preçoacompanhado pelo aumento do volume negociado, mos-trando que o mercado está em uma tendência firme dealta. Em seguida, houve uma realização de lucros e ovolume voltou a cair.

SISTEMAS DE MEDIDASUSUAIS.

UNIDADES DE MEDIDADE COMPRIMENTO

No sistema métrico decimal, a unidade fundamen-tal para medir comprimentos é o metro, cuja abreviaçãoé m.

- Para medir grandes distâncias: o quilômetro, ohectômetro e o decâmetro, que são múltiplosdo metro, a unidade mais utilizada é o quilô-metro.

- Para medir pequenas distâncias: o decímetro,o centímetro e o milímetro, que sãosubmúltiplosdo metro, as mais utilizadas são o centímetroe o milímetro.

QUADRO DAS UNIDADES PARA MEDIRCOMPRIMENTOS

MÚLTIPLOS UF SUBMÚLTIPLOS

qu ilô metr o h ect ômet r de câ me tro met ro d ecíme tro c ent ímet ro mi límet ro

km hm dam m dm cm mm

1.000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Existem unidades de medida que não pertencemao sistema métrico decimal. Vejamos algumas delas.

1 polegada = 25 milímetros (aproximadamente)

1 milha = 1.609 metros (aproximadamente)

1 légua = 5.555 metros (aproximadamente)

1 pé = 30 centímetros (aproximadamente)

Alguns instrumentos usados para medir: metro, fitamétrica, trena, etc.

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES* Cada unidade de comprimento é 10 vezes maior

que a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessi-vas unidades variam de 10 em 10.



92

MATEMÁTICAPodemos resumir o quadro das unidades da seguin-

te maneira:

Exemplos:

1) Transformar 5 m na unidade imediatamente infe-rior.

2) Transformar 5m na unidade imediatamente supe-rior

3) Transformar 12 cm em m

4) Transformar 1250m em km

1250m = (1250:1000) = 1250 x 0,001) km = 1,250Km

5) Transformar 1,3 Km em m.

1,3 km = (1,3 x 1000) = 1300 m

EXERCÍCIOS1) No sistema métrico decimal qual a unidade de com-

primento mais adequada para medir:

a) O comprimento do rio Amazonas?

b) A largura de uma sala de aula?

c) O diâmetro da cabeça de um parafuso?

d) A largura do batente de uma porta?2) Medi o comprimento de um móvel e achei 1 pas-

so e 2 pés. Verifiquei depois, que o comprimento do meupasso corresponde a 56 cm e o do meu pé, 24 cm. Qualé o comprimento deste móvel?

3) Transforme em m:

a) 1,23 km b)1003 mm c) 0,02 km

d) 51 cm e) 17mm f) 0,3 cm

4) Expresse em cm as seguintes medidas:

a) 1,4mb) 37mm c) 0,28m d) 2,5 mm

5) Efetue as operações e dê o resultado em m:

a) 42 km + 620m b) 5 km - 750m

c) 8 . 2,5 km d) 162 cm : 3

6) Um parafuso tem 18 mm de comprimento. Quala sua medida em cm?

7) Responda:

a) Quantos cm há em 2/5 de m?

b) Quantos m há 9/4 de km?

c) Quantos km há em 18/5 de m?

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS1) a) km b) m c) mm d) cm

2) 104cm

3) a) 1230m b)1,003m c) 20m

d) 0,51m e) 0,017m f) 0,003m4) a) 140cmb) 3,7cm c) 28cm d) 0,25cm

5) a) 42620m b) 4250m

c) 20.000m d) 0,54m

6) 1,8cm

7) a) 40cm b) 2.250m c) 0,0036Km

UNIDADES DE MEDIDADE SUPERFÍCIE

No sistema métrico decimal, a unidade fundamen-

tal para medir superfície é o metro quadrado, cuja re-presentação é m2.

O metro quadrado é a medida da superfície de umquadrado de um metro de lado.

1m

1m 1m

Existem outras unidades: Para medir grandes su-perfícies: o quilômetro quadrado, o hectômetro qua-drado e o decâmetro quadrado . Entre elas, são maisutilizadas o quilômetro quadrado e o hectômetro quadra-do.

- Para medir pequenas superfícies: O decímetroquadrado, o centímetro quadrado e o milímetroquadrado. A mais utilizada é o centímetro qua-drado.



93

MATEMÁTICA

QUADRO DAS UNIDADES

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES* Cada unidade de superfície é 100 vezes maior que

a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivasunidades variam e 100 em 100.

Assim, podemor resumir o quadro das unidades daseguinte maneira:

1) Transformar 5 m2 na unidade imediatamente inferi-or.

2) Transformar 5 m2 na unidade imediatamente su-perior.

3) Transformar 0,3 m2em cm2

4) Transformar 20.000 m2 em km2.

5) Transformar 0,125 Km2 em m2

0,125 km2 = (0125 x 1.000.000)m2= 125.000 m2

6) Transformar 15.300mm2em dm2.

15.300 mm2= (15300:10.000) dm2=

(15.300 x 0,0001) dm2 = 1,53 dm2

AS MEDIDAS AGRÁRIASQuando queremos medir grandes porções de terra

(como sítios, fazendas etc.) usamos uma unidade agrá-ria chamada hectare (ha).

O hectare é a medida de superfície de um quadrado

de 100m de lado.1 hectare (ha) = 1 hm2= 10.000 m2

Em alguns estados do Brasil utiliza-se também umaunidade não legal chamada alqueire.

- 1 alqueire mineiro é equivalente a 48.400 m2

- 1 alqueire paulista é equivalente a 24.200 m2

Exemplos:

1) Quantos ha tem uma fazenda de 25.000m2?

Como 1 ha = 10.000m2---> 25.000m2 = (25.000 :10.000)ha = 2,5 ha

2) Quantos m2tem uma plantação de 47,5 ha?

47,5 ha = (47,5 x 10.000) m2 = 475.000 m2

3) Quantos ha tem um sítio de 3 alqueires paulistas?

EXERCÍCIOS1) Transforme em m2:

a) 21 dm2 b) 1.250 cm2

c) 1 km2 d) 0,72 hm2

2) Um quadrado de 1 dm de lado tem uma superfíciemedindo 1dm2. Qual a medida, em m2, da superfície des-se quadrado?

3) Quantos km2

possui um terreno de 131.500 m2

?4) Faça as transformações:

a) 1,5 ha em m2

b) 1 ha em km2

c) 80 alqueires paulistas em m2

d) 35.400 m2 em ha

e) 200 alqueires mineiros em ha



94

MATEMÁTICA

f) 6,05 ha em alqueires paulistas

5) A medida da superfície do Distrito Federal é 5.814km2. Qual é a medida dessa superfície em ha?

6) O que é maior, um terreno de 150 ha ou um terre-no de 1,2 km2?

7) Um terreno de 45.000m2 está a venda por R$45.000,00. Qual o valor de 1 ha desse terreno?

8) Numa fazenda de criação de gado cada ha deveser ocupado por 20 bois. Quantos bois poderiam ser cri-ados num terreno de 70.000 m2?

RESPOSTAS

1) a) 0,21m2 b) 0,125m2

c) 1000000m2 d) 7200m2

2) 0,01m2

3) 0,1315 Km2

4) a) 15.000m2 b) 0,01Km2

c) 1936.000m2 d) 3,54ha

e) 968ha f) 2,5

5) 581.400ha

6) Um terreno de 150 ha pois 150 > 120

7) R$ 10.000,00

8) 140 bois

UNIDADES DE MEDIDA DE VOLUME

No sistema métrico decimal, a unidade fundamen-

tal para medir volume émetro cúbico, cuja abreviatura ém3.

O metro cúbico (m3) é o volume ocupado por umcubo de 1m de aresta.

Além do m3, existem outras unidades para mediros sólidos que, dispostas em ordem decrescente, se en-contram no quadro, com as abreviações:

As mais utilizadas, além do metro cúbico, são odecímetro cúbico e o centímetro cúbico.

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES

Cada unidade de volume é 1000 vezes maior que aunidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas uni-dades variam de 1000 em 1000.

Podemos resumir o quadro das unidades das seguintesmaneiras:

Exemplos:

1) Transformar 8,2 m2 em dm3

2) Transformar 50.000 cm3 em dm3

3) Quantos cm3 há em 1/2 m3?

EXERCÍCIOS1) Transforme em m3.

a) 840 dm3

b) 14.500.000 mm3

c) 1000 dm3

2) Quantos dm3 há em 3,5 m3?

3) Quantos dm

3

há 1250 cm

3

?4) Qual o volume em dm3 ocupado por um cubo

de aresta 1m?

5) Quantos cm3 há em 0,01 dm3?

6) O volume inicial de um tanque é 1m3 de ar. Cadagolpe de uma bomba de vácuo extrai 100 dm3

de ar desse tanque. Após o 7º golpe da bom-ba, quantos m3 de ar permanecem no tanque?

7) Quantos dm3 há em 1/4m3?

8) Em uma carga de caneta esferográfica há 1,5cm3 de tinta. Qual o volume, em dm3, dessacarga?

RESPOSTAS

1) a) 0,840m3 b) 0,0145 m3

c) 1m3

2) 3500dm3 3) 1,25dm3 4) 1000dm3



95

MATEMÁTICA

5) 10 cm3 6) 0,3m3 7) 250dm3

8) 0,0015dm3

UNIDADES DE MEDIDA DECAPACIDADE

A unidade fundamental para medir a capacidade de

um sólido é o litro, cuja abreviação él. De acordo com o

Comitê Internacional de Pesos e Medidas, o litro é, apro-ximadamente, o volume equivalente a um decímetro cú-bico, ou seja:

1 litro = 1,0000 27 dm3

Porém, para todas as aplicações práticas , sim-ples, podemos definir:

1 litro = 1dm3

Exemplos:

1) Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de 36m3. Quantos

litros de água foram consumidos?

36m3 =36000dm3

Como 1dm3 = 1 litro, temos:

36m3 = 36.000dm3 = 36.000 litros

2) Uma indústria farmacêutica fabrica 1.400 litrosde vacina que devem ser colocados em ampolas de 35cm3

cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com essaquantidade de vacina?

Como 1 litro = 1dm3, temos:

1.400 litros = 1.400dm3 = 1.400.000cm3

(1.400.000cm3):(35cm3) = 40.000 ampolas.

Resposta: Serão obtidas 40.000 ampolas dessa vacina.

OUTRAS UNIDADES PARAMEDIR CAPACIDADE

São também utilizadas outras unidades para me-dir capacidade, que são múltiplos e submúltiplos do litro:

Observações:

Não é usado nem consta da lei o quilolitro.

Além do litro, a unidade mais usada é o mililitro(ml), principalmente para medir pequenos volumes, comoa quantidade de líquido de uma garrafa, de uma lata oude uma ampola de injeção.

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADESCada unidade de capacidade é 10 vezes maior que

a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivasunidades variam de 10 em 10.

Assim, podemos resumir o qudro das medidas daseguinte maneira.

Exemplos:

1) Expressar 15lem ml

2) Expressar 390mlem l.

3) Expressar 250mlem cm3.

EXERCÍCIOS

1) Expresse em l:

a) 1200 ml b) 85 cl

c) 2 hl d) 87 dm3

e) 3,5 m3 f) 1 cm3

2) Uma garrafa pequena de coca-cola tem capa-

cidade de 390ml. Quantos litros cabem nessagarrafa?



96

MATEMÁTICA3) Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa-

d’agua cujo volume interno é de 0,36m3?

4) Devem ser distribuídos 400lde certa substân-cia líquida em frascos de 50cm3 cada um.Quantos frascos serão necessários?

5) Quantos litros cabem em uma lata de 33cl?

RESPOSTAS

1) a) 1,2l b) 0,85l

c) 200l d) 87l

e) 3500l f) 0,001l

2) 0,39l 3) 360l

4) 8000 frascos 5) 0,33l

PROBLEMAS ENVOLVENDO

VOLUME E CAPACIDADEAlguns exemplos de problemas que envolvem o cál-

culo de volume e capacidade:

1º exemplo:

Uma caixa-d’agua tem a forma de um paralelepípe-do retângulo, com medida internas 4m, 3m, e 1,5m. Qual

a capacidade, eml, dessa caixa-d’agua?

Resolução:

inicialmente o volume do paralelepípedo retângulo

V = 4 . 3 . 1,5 = 18m3

Transformando de m3 para dm3

18m3 = (18 . 1000)dm3 = 18.000dm3

Como 1l= 1dm3

18.000dm3 = 18.000l

Resposta: A capacidade da caixa-d’agua é de

18.000l

2º exemplo:

Um laboratório produziu 471lde uma certa vacina equer acondioná-la em recipientes cilíndricos de altura10cm e diâmetro da base igual a 2cm. Quantos recipien-tes serão necessários para acondicionar toda a vacina?

Resolução:

inicialmente calcular o volume do recipente cilíndri-co:

Dados:

altura: h = 10cm

raio: r = 1cm

p = 3,14

V = p . r2 . h = 3,14 .1 .10 = 31,4cm3

Transformando de cm3 para dm3

31,4cm3 = (31,4 : 1000)dm3 = 0,0314dm3

Como 1l= 1dm3

0,0314dm3

= 0,0314l

total produzido : 471l

Capacidade do recipiente: 0,0314l

47l: 0,0314 = 15.000

Resposta: Serão necessários 15.000 recipientes.

EXERCÍCIOS1) Uma piscina tem 10m de comprimento, 7m de

largura e 2,50m de profundidade. Quantos li-tros de água são necessários para encher to-talmente essa piscina?

2) Quantos litros de água podem ser colocadosnum recipiente cúbico de 10cm de aresta?

3) Uma lata de refrigerante cilíndrica tem 15cmde altura e o raio da base mede 3cm. Quantosml de refrigerante, aproximadamente, cabemnessa lata?

4) O tanque de gasolina de um automóvel tem 1mde comprimento, 0,32m de largura e 0,25m dealtura e está totalmente cheio.

Durante uma viagem, gastou-se a metade da

capacidade do tanque. Quantos litros restaramno tanque?

5) Quantos litros de água, aproximadamente, com-porta uma caixa-d’agua cilíndrica com 2m dediâmetro e 90cm de altura?

6) Uma ampola de injeção de forma cilíndrica, tem5cm de comprimento e 2cm de diâmetro. Se,num dia, uma farmácia aplicar 20 injeções deum remédio, com ampola iguais a essa,quantos ml desse remédio serão utilizados?

7) Um recipiente tem a forma de paralelepípedoretângulo com as medidas internas:

1m, 40cm e 80cm e está totalmente cheio deóleo. Se o litro desse óleo custa R$ 7,50, quantocustará o recipiente cheio de óleo?

RESPOSTAS

1) 175.000l 2) 1l

3) 423,9ml 4) 40l



97

MATEMÁTICA

5) 2826l 6) 314ml

7) R$ 2.400,00

UNIDADES DE MEDIDAS DE MASSAA unidade fundamental para medir a massa dos cor-

pos é o quilograma, cuja abreviatura é kg.

De acordo com o Comitê Internacional de Pesos eMedidas, o quilograma é a massa aproximada de 1dm3

de água destilada a uma temperatura de 4º c.Volume : 1dm3 peso : 1kg

Temperatura : 4ºc.

Usamos como unidade principal o grama (abrevia-se g),que constitui a milésima parte do quilograma.

QUADRO DAS UNIDADES

TRANSFORMAÇÕES DE UNIDADESCada unidade de massa é 10 vezes maior que a

unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas uni-dades variam de 10 em 10.

Podemos resumir o quadro das unidades da seguin-te maneira:

Exemplos:

1) Transformar 3,2kg em g.

2) Transformar 150mg em g.

Observação:

Há outras unidades especiais que são muito usa-das:

. a tonelada (t) = 1000 kg serve para medir grandesmassas.

. o quilate = 0,2g — serve para medir pequenas

massas como pedras e metais preciosos.

3º exemplo:

Quantos gramas pesa um diamante de 15 quila-tes?

Como 1 quilate =0,2g então 15 quilate =(15 x 0,2g)g =3g

4) Quantas toneladas temos em 1.750.000g?

EXERCÍCIOS1) Entre as unidades usadas para medir a massa

de um sólido, qual delas é a mais adequadapara medir a massa:

a) de um pacote de arroz?

b) da carga de um caminhão?

c) de um comprimido?

d) de uma melancia?

e) de uma pêra?

f) de uma laje de concreto?

2) Usando os símbolos mg, g, kg, t substitua opela unidade mais adequada:

a) Uma lata de ervilha tem 500 .

b) Um pacote de açucar tem 5 .

c) Um carrinho miniatura tem 235 .

d) A carga de um caminhão tem 7.

e) Um cacho de uva tem 750 .

3) Expresse em g as seguintes medidas:

a) 2,3kg b) 3/4 kg

c) 950mg d) 24 quilates

4) A massa de uma carga é de 83.000kg. Quantast tem essa carga?

5) Uma pedra preciosa tem uma massa de 3,6g.Quantos quilates tem essa pedra?

6) Um anel é formado por 16 brilhantes, de 2 qui-lates cada um. Se o grama de brilhante custaR$ 1.200,00, qual é o preço desse anel?

7) Um hambúrguer é feito com 270g de carne.Nessas condições:



98

MATEMÁTICA

a) Quantos kg de carne são necessários parafazer 200 desses sanduíches?

b) Quantos desses sanduíches poderiam serfeitos com 17,55 kg de carne?

RESPOSTAS

1) a) Quilograma b) Tonelada c) miligramad) Quilograma e) Grama f) Tonelada

2) a) g b) kg c) g d) te) g

3) a) 2300g b) 750g c) 0,95g d) 4,8g

4) 83t

5) 18 quilates

6) R$ 7.680,00

7) a) 54kg b) 65 sanduíches

UMA RELAÇÃO IMPORTANTE

Considerando as definições de litro e quilograma,podemos dizer que a água destilada (pura), a uma tem-peratura de 4ºc, que ocupa um volume de 1dm3 ou 1l decapacidade, tem massa de 1Kg.

Então:

Volume Capacidade Massa

1dm3-------- 1l------------ 1Kg

1º exemplo:

Um recipiente, totalmente cheio, contém um volumede 8m3 de água pura. Quantos kg de água há nesse reci-piente?

8m3 = (8 x 1000)dm3 = 8000dm3

Como 1dm3 — 1kg — 8000dm3 = 8000kg

2º exemplo:

Uma caixa tem a forma de paralelepípedo retângulode medidas 10m, 6m, e 1,5m e está totalmente cheia deágua pura. Quantas t de água há no interior da caixa?

Inicialmente, o volume de caixa:

V = 10 x 6 x 1,5 = 90m3 = 90.000dm3

Como 1dm3 — >1kg — >90.000dm3 = 90.000 kg

Como 1t = 1000kg = 90.000kg =

(90.000 : 1000)t = 90t

EXERCÍCIOS

1) O volume de um reservatório é 30m3 e está to-talmente cheio de água pura. Nessas condi-

ções, responda:

a) Qual a capacidade, em l, desse reservató-rio? b) Quantos kg de água há nesse reser-vatório?

2) Quantas toneladas há em 40m3 de certa subs-tância se em cada litro dessa substância há0,5kg?

3) Uma laje de concreto é um bloco retangular de5m de comprimento por 3,2m de largura. Se aespessura da laje é de 25cm calcule:

a) O volume, em m3, do concreto usado nessa laje.

b) A massa dessa laje, considerando que 1dm3

de laje corresponde a 1,5kg

4) Um metro cúbico corresponde à figura de umcubo que tem quantos dm de aresta?

5) Um l de uma certa substância corresponde a

uma massa de 2,5kg. Nessas condições,quantas t há em 20m3 dessa substância?

RESPOSTAS

1) a) 30.000l b) 30.000Kg

2) 20t

3) a) 4m3 b) 6000Kg

4) 10dm

5) 50t

MEDIDAS DE TEMPO

Quando num sistema de medir, a unidade funda-mental e as unidades secundárias não estão ligadaspor relação decimal, o sistema é denominado não deci-mal ou complexo.

Então, dizemos que Número Complexo é aquele querepresenta a medida de uma grandeza, aferida num siste-ma complexo e é constituído de duas ou mais unidadesda mesma espécie, os quais não são ligados medianterelações decimais. Exemplos:

• 25 graus, 32 minutos e 15 segundos;

• 8 horas, 20 minutos e 10 segundos.

Os exemplos mais comuns de números comple-xos são provenientes das medidas de prazos ou interva-los de tempo, as medidas de ângulo e as grandezas re-feridas ao sistema inglês de pesos e medidas. Tratare-mos apenas das medidas de tempo.



99

MATEMÁTICA

MEDIDAS DE TEMPO

A unidade fundamental das medidas de tempo é oSegundo, cujo símbolo é s ou seg, que corresponde aointervalo de tempo igual à fração 1/86.400 do dia solarmédio, definido de acordo com as convenções de Astro-nomia.

As unidades secundárias se apresentam todascomo múltiplos e são:

NOME SÍMBOLO VALOR

Segundo s 1 s

Minuto min 60 s

Hora h 3.600 s

Dia d 86.400 s

Mês Comercial m 30 d

Ano Comercial a 360 d

As relações entre essas unidades são:

1a = 12 m = 360 d = 8.640 h1 m = 30 d = 720 h = 43.200 min

1 d = 24 h = 1.440 min = 86.400 s

1 h = 60 min = 3.600 seg

1 min = 60 s

Além das unidades constantes do quadro acima,são também usuais as unidades: SE (semana - 7d),Quinzena (15 d), Bimestre ( 2 m), Trimestre (3m), Se-mestre (6 m), Lustro (5 a), Década (10 a) e Século (100a).

A representação do número complexo que indicaunidades de tempo é feita escrevendo-se em ordem de-crescente de valor, os números correspondentes às di-versas unidades, acompanhadas dos respectivos símbo-los. Ex: 8 a 3 m 15 d 13 h 28 min 16 s.

MUDANÇA DE UNIDADEPara converter um número complexo de uma unidade

para outra, irão resultar dois tipos de problema: a transfor-mação de número complexo a incomplexo e a transforma-ção de número incomplexo a complexo.

TRANSFORMAÇÃO DE MEDIDACOMPLEXA

EM MEDIDA SIMPLES(COMPLEXO A INCOMPLEXO)

Um número complexo pode ser reduzido a númeroincomplexo inteiro, referido à menor unidade que nele fi-gura, ou a uma fração ordinária de qualquer das unidadessuperiores, ou ainda em número decimal. Exemplos:

1) Exprimir 4d 5h 25 min 10 s em segundos:

- Transformando 4 dias em horas, temos:

4 . 24 h = 96 h

Essas 96 h somadas às 5 h do número dado, são:

96 h + 4 h = 101 h

- Transformando 101 h em minutos, temos:"

101 h . 60 = 6060 min

Somando esses 6060 min aos 25 min dados, vem:

6060 min + 25 min = 6085 min

- Transformando 6085 min em segundos, temos:

6085 min . 60 = 365.100 s

Finalmente, somando esses 365.100 s aos 10 sdo número dado, temos:

365100 s + 10 s = 365.110 s.

O resultado encontrado acima pode ser expressoem forma de fração:

4 d 5 h 25 min 10 seg = 365.110 : 10

36.511 : 10 min => 3.51160 : 10 min 6

Podemos também convertê-lo em número decimal.Mas este processo é um pouco mais complexo que o detransformação em fração. Pegaremos, então, um outroexemplo para exemplificar:

2) Transformar 5 h 20 min 15 s em número decimalde minutos.

-Para convertê-lo em número decimal bastaconvertê-lo em fração de unidade desejada e em segui-

da, transformar a fração em número decimal. Transfor-mando - o em segundo (incomplexo), temos:

5h . 60 = 300 min

300 min + 20 min = 320 min

320 min . 60 = 19.200 s

19.200 s + 15 s = 19.215 s

- Transformando 19.215 seg em fração de minuto,temos:

19.215 : 15 min => 1281

60 : 15 min 4

- Transformando a fração 1281/4 min em númerodecimal, temos:



100

MATEMÁTICAPortanto, 5h 20 min 15 s = 320,25 min.

TRANSFORMAÇÃO DE MEDIDASIMPLES EM MEDIDA COMPLEXA

(INCOMPLEXO A COMPLEXO)O número dado pode ser inteiro, referido à menor

unidade do sistema, ou pode ser expresso em fraçãoordinária de qualquer unidade ou ainda um número deci-mal de qualquer das outras unidades. Exemplos:

1) Exprimir 365.110 s em número complexo.- Extraímos do número dado as unidades imediata-

mente superiores; destas extraem-se as seguintes e ,assim, sucessivamente até a última unidade possível dese extrair.

- No exemplo anterior (1), para obter a quantidadede minutos (unidade superior contida em 365.110 s), de-vemos dividir 365.110 s por 60 (1 min = 60 s).

Temos, então:

O quociente inteiro dessa divisão (6085), dará a quan-tidade de minutos que há em 365.110 s e o resto (10),representa a quantidade de segundos do número com-plexo procurado.

- Para transformar 6085 min em horas (unidade su-perior), basta dividir 6085 min por 60 (1 h = 60 min). Te-mos, então:

O quociente inteiro encontrado (101) é a quantida-de de horas contidas em 365.110 s e o resto (25) repre-senta a quantidade de minutos do número complexo pro-curado.

- Para transformar 101 h em dias (unidade superi-or), basta dividir 101 h por 24 ( 1 d = 24 h). Temos então:

O quociente inteiro encontrado (4) é a quantidadede dias contidos em 365.110 s e o resto (5) representa aquantidade de horas do número complexo procurado.

Como de 4 d não se pode extrair a unidade superior( 1m = 30 d), obtemos assim

365.110 s = 4 d 5 h 25 min 10 s

Digamos, então, que agora temos uma fração paratransformar em número complexo.

Para transformar uma fração ordinária em número

complexo, divide-se o Numerador pelo Denominador. Trans-forma-se o resto na unidade inferior e divide-se o novo nú-mero pelo mesmo denominador e, assim, sucessivamen-te até a última subdivisão.

2) Exprimir 313 em número complexo.-------- d

96

- No exemplo dado, dividimos 313 d por 96:

O quociente encontrado representa o número de diascontidos na fração dada. Multiplicamos o resto dessadivisão (25) por 24 ( 1d = 24 h). Então:

-Dividimos o produto 600 h (25 x 24) por 96 (deno-minador da fração dada). Então:

O quociente inteiro obtido (6) representa o númerode horas contidas na fração dada. Multiplicamos o restodessa divisão (24) por 60 (1h = 60 min). Temos:

- Dividimos o produto 1440 (24 x 60) por 96 (deno-minador da fração). Temos, então:

O quociente inteiro obtido (15), representa o núme-ro de minutos contidos na fração dada, e como não so-

brou novo resto para prosseguir, significa que a menorsubdivisão da fração dada é o minuto. Portanto:

313 d = 3 d 6 h 15 min

96

E se quisermos transformar um número decimal emcomplexo? Para reduzir um número decimal em númerocomplexo, transforma-se primeiramente o número deci-mal em fração ordinária e a seguir, a fração resultanteem número complexo, como no caso anterior.



101

MATEMÁTICAEntão, verificaremos este procedimento no exem-

plo abaixo:

Exprimir 320,25 em número complexo:

- Transformando 320,25 min em fração, temos:

320,25 min = 32025: 25 1281 min

100 : 25 4

- Convertendo a fração 1281 min em número com-plexo, temos: 4

Como de 320 min pode ser extraída a unidade su-perior (hora), temos:

Então, concluímos que:

320, 25 min = 5 h 20 min 15 s

ADIÇÃO DE MEDIDAS DE TEMPO

Deve ser observado o seguinte critério:

1) Escrevem -se as parcelas, uma debaixo da ou-tra, de modo que as unidades da mesma espé-cie fiquem na mesma coluna vertical e começa-

se a operação pelas unidades de espécie menor.2) Se a soma de cada coluna não der para perfazer

uma unidade imediatamente superior, escrevem-se como resultado as unidades achadas.

3) Se a soma de cada coluna der para perfazerunidades imediatamente superiores, far-se-à atransformação, escrevendo-se no resultado osrestos e adicionando-se às colunas seguintesas unidades extraídas.

Exemplo: Calcular as somas:

SUBTRAÇÃO DE MEDIDAS DE TEMPODeve ser observado o seguinte critério:

1) Escreve-se o número menor debaixo do maior, demodo que as unidades da mesma espécie se correspondam

na mesma coluna vertical, como na adição.

2) Começa-se a subtração pelas menores unidades.

3) Se uma subtração não for possível, toma-se em-prestada uma unidade imediatamente superior e, depoisde a reduzir em unidades da espécie seguinte, adiciona-se ao número menor, e faz-se a subtração.Exemplo: Efe-tuar a subtração:

MULTIPLICAÇÃO DE MEDIDASDE TEMPO POR NÚMERO INTEIRODeve ser observado o seguinte critério:

1) Multiplica-se o número inteiro por cada um daspartes da medida de tempo.

2) Se o produto parcial de cada coluna não der paraperfazer uma unidade imediatamente superior, escreve-se como resultado as unidades achadas.

3) Se o produto parcial de cada coluna der paraperfazer unidades imediatamente superiores, extraem-sedesses produtos as unidades superiores, adicionando-as aos produtos parciais seguintes.

Exemplo : efetuar a multiplicação

DIVISÃO DE MEDIDAS DE TEMPO POR

NÚMEROS INTEIROSDeve ser observado o seguinte critério:

1) Divide-se cada parte da medida de tempo pelonúmero inteiro.

2) Transforma-se cada resto da divisão anterior emunidades da espécie imediatamente inferior, somando-se o resultado às unidades desta no dividendo, antes decontinuar a divisão.

Exemplo : Efetuar a divisão



102

MATEMÁTICA

NOÇÕES DE GEOMETRIA:FORMA, PERÍMETRO, ÁREA,

VOLUME

Área de uma figura plana é o número que expressaa medida da superfície dessa figura numa certa unidade.

Vamos ver agora como calcular as áreas de algu-mas figuras geométricas planas. Para isso utilizaremosfórmulas que permitem efeutar com maior facilidade e

rapidez esses cálculos.

4 cm

5 c- A medida da base é 5 cm- A medida da altura é 4 cmÁrea do retângulo = medida da base x medida da

alturaIndicando por : b= medida da base

h = medida da alturaSr = área do retângulo

Sr = b x h

Exemplos:

1) Num retângulo, a base 8 cm e a altura, 3,5cm. Calcular a ára desse retângulo.

Dados:base : b = 8cm Sr = b x haltura : h = 3,5cm Sr = 8 x 3,5

Sr = 28 cm2Resposta: A área do retângulo é 28 cm2

2) A área de uma sala retangular é 48 m2. Sa-bendo-se que uma dos lados da sala mede 6m, quala medida do outro lado?

Dados:

área: Sr = 48 m2 Sr = b x hlado ou altura : h = 6 m 48 = b x 6

b = 48 : 6b = 8m

Resposta: O outro lado mede 8 m.

Á R EA D O QU A DRA DOlado ( )l

lado ( )l

Então:Área do quadrado = medida do lado x medida do

ladoIndicando por : l = medida do lado

S = área do quadrado

S = l x l ou S = l2

Exemplos:1) Qual é a área de uma praça quadrada onde

cada lado mede 20 m?

Dados: S = l x llados: l = 20 m S = 20 x 20 = 400 m2

2) Qual é a medida de um quadrado cuja áreaé 16 cm2

Dados:

S = 16 cm2 S = l x l16 = l x l

l2 = 16 => l = 4 cmResposta: O lado do quadrado mede 4 cm.

ÁREA DO PARALEL OGRAMOB

D

A

CMNo paralelograma ABCD:

- O segmento DC é a base (b)

- O segmento AM é a altura (h)

Sp = b x h

Sp = área do paralelograma

b = base

h = altura

Exemplos:

1) Qual a área de um paralelograma cuja base

mede 5,4 cm e cuja altura mede 3,2 cm?Dados:

base: b = 5,4 cm Sp = b x h

altura : h = 3,2 cm Sp = 5,4 x 3,2 = 17,28cm2

Resposta: A área do paralelograma é 17,28 cm2

ÁREA DO TRIÂNGULO

B

A

C

No triângulo ABC:

- O segmento BC é a base (b)

- O segmento AM é a altura (h)2

bxhSt

St= área do triângulo

Exemplos:

1) Calcular a área de um triângulo cuja base



103

MATEMÁTICAmede 8 cm e cuja altura mede 4,2 cm.

Dados.

base : b = 8 cm

altura : h = 4,2 cm

2

bxhSt =

8 x 4 2

2168 cm 2,

,=

2) Qual a medida da altura do triângulo da figura, sa-bendo-se que sua área e 6 cm2?

Dados:

área : Sr =6 cm2

base : b = 4 cm

xhxhbxh

St 4122

46

2

h = 12:4 = 3 cm

Resposta: A altura mede 3 cm.

ÁREA DO TRAPÉZIO

B

D

A

C

No trapézio ABCD:

- O segmento AB é a base maior (B)

- O segmento CD é a base menor (b)

- A distância entre as bases é a altura (h)

2)( xhbB

Str

Str= área do trapézioExemplo:

1) As bases de um trapézio medem 8 cm e 12cm e a altura 3,5 cm. Calcular a área desse trapézio.

Dados:

base maior : B = 12 cm

base menor : b = 8 cm

altura : h = 3,5 cm

2)( xhbB

Str

25,320

25,3)812( xx

Str

235270

cmStr

Á R EA D O C ÍRCU L OVejamos como determinar a área do círculo:

So= p x r2

So= área do círculo

r = raio do círculop =3,14 (aproximada-

mente)

Exemplos:

1) Determinar a área do círculo de raio 10 cm.

Dados:

raio : r = 10 cm

p = 3,14

So = p x r2

So = 3,14 x 102 = 3,14 x 100So = 314 cm2

2) Determinar a medida do raio de um círculo de área12,56 m2

Dados:

área : 50 = 12,56 m2

p = 3,14

So = p x r2

12,56 = 3,14 x r2

r2 = 12,56 : 3,14 = 4r2 = 4

r = 2m Resposta: O raio mede 2m.

EXERCÍCIOS

1) Qual a área de um círculo de raio e 3cm?

2) Qual a área de um quadrado de 20 cm de perí-metro?



104

MATEMÁTICA

3) Determine a área de um triângulo cuja basemede 8 cm e cuja altura mede 5,2 cm.

4) Num campo de futebol, o círculo central tem4m de raio. Qual é a área ocupada pelo

círculo central?

5) Num trapézio, as bases medem 21 cm e 15cm, e a altura mede 10 cm. Calcule a área dotrapézio.

6) Qual é a área de um círculo que tem 1/2m deraio?

7) Uma praça circular tem diâmetro de 100m. Qualé a área ocupada pela praça?

8) Sabendo que a área de um retângulo é 48 m2 eque a medida da altura é 6 m, calcule a medidada base desse retângulo.

9) Quanto mede a base de um triângulo que têm40 m2 de área e 5m de altura?

10) Um vitral é composto de 80 peças triangularesiguais, de base 25cm e altura 16 cm. Qual é,em m2 a área desse vitral?

11) O piso de uma sala é formado por tacos retan-gulares iguais de 21 cm por 8 cm. Se a áreadessa sala é 42 m2, quantos tacos há nessasala?

12) Se dobrarmos a medida do lado de um quadra-

do de 2m, de lado, quanto aumentará sua área?

13) Um campo de futebol oficial deve ser construídocom uma área de 10.800 m2. Se a largura docampo é de 90m, qual será o seu comprimento

RESPOSTAS

1) 28,26 cm2 2) 25 cm2 3) 20,8cm2

4) 50,24 m2 5) 180 cm2

6) 0,785 m2 7) 7850 m2 8) 8m

9) 19 m 10) 16m2

11) 2500 12) 12 m2 13) 120 m

COMPLEMENTOVamos ver alguns exemplos nos quais utilizamos a

soma ou a diferença de áreas conhecidas para obter al-

guma área desejada.

1º exemplo: Determinar a área da figura abaixo

2 c

2 cm

2 cm

6 c

4 cm

Decompondo a figura dada em duas figuras conhe-

cidas:

2 cm

2 cm

2 cm

6 cm

1

4 cm

2

- A figura 1 é um retângulo de base 6cm e altura2cm

---> S1= 6 x 2 = 12 cm2

- A figura 2 é um quadrado de lado 2 cm --->S2=2x2 =4

cm2

S figura : S1 + S2 = 12 cm2 + 4cm2

S figura = 16 cm2

CÁLCULO DO VOLUME DE ALGUNS SÓLIDOS GEOMÉTRICOSVOLUME DO PARALELEPÍPEDO

RETÂNGULO

a =4c

c = 3cm

b = 3 c m

Onde:

a = comprimento b = largura

c = altura

Portanto:

Vp = comprimento x largura x altura

Vp = a x b x c

Exemplos:

1) Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo cujasdimensões são 10 cm, 8cm e 4,5 cm.

Dados Vp = a x b x ca = 10cm Vp = 10 x 8 x 4,5 = 80 x 4,5

b = 8 cm

c = 4,5 Vp = 360 cm3

Resposta. O volume de paralelepípedo é 360cm3

2) Deseja-se cimentar um quintal retangular com10m de largura e 14m de comprimento. O revestimentoserá feito com uma mistura de areia e cimento, de 3cmde espessura.



105

MATEMÁTICAQual é o volume da mistura utilizada nesse revestimen-

to?

Dados

a = 14m b = 10m c = 3cm

V = a x b x c

V = 14 x 10 x 0,03

V = 140 x 0,03 = 4,2m3

Resposta: O volume da mistura é de 4,2m3.

VOLUME DO CUBO

a

aa

O cubo é um paralelepípedo retângulo no qual to-das as faces são quadradas e, portanto, suas arestas

têm a mesma medida.Sendo a = medida da aresta, temos:

Vc = aresta x aresta x aresta => Vc = a x a x a ouVc = a3

Exemplo:

Uma caixa-d’agua tem a forma de um cubo de 1,2mde aresta. Qual o volume dessa caixa-d’agua?

Dados:

Aresta: a = 1,2m

Vc = a x a x a => Vc = 1,2 x 1,2 x 1,2 =1,728m3

Resposta: O volume da caixa-d’agua e 1,728m3.

VOLUME DO CILINDRO

raio

base

base

a l t u

ra

O Cilindro é um sólido geométrico cuja base é umcírculo.

Vcil = área da base x altura

Como a base do cilindro é um círculo, sua área épr2, e portanto:

Vcil = p x r2 x h

Exemplos:

1) Qual é o volume de um cilindro em que a alturamede 5m e o raio da base mede 2m?

Dados:

h = 5m raio da base: r =2m

Vcil = p x r2 x h => Vcil = 3,14 x 22 x 5 =>Vcil = 3,14 x 4 x 5 = 3,14 x 20 = 62,8m3

Resposta: O volume do cilindro é 62,8m3.

2) Qual o volume de uma carga cilíndrica de umacaneta esferográfica, sabendo-se que seu diâmetro é de2mm e seu comprimento 10cm?

Dados

altura: h = 10cm

raio: r = 2mm = 1mm = 0,1cm

2

Vcil = p x r2 x h

Vcil = 3,14 x (0,1)2 x 10

Vcil = 3,14 x 0,01 x 10 = 3,14 x 0,1 = 0,314cm3

Resposta: O volume da carga é 0,314cm3

TEOREMA DE PITÁGORASElementos de um triângulo retângulo

Observe os triângulos retângulos seguintes:

Vamos identificar seus elementos e as respectivasmedidas:

BC = hipotenusa AB = catetoAC = cateto

AH = altura relativa à hipotenusa

BH = projeção do cateto AB sobre a hipotenusa

HC = projeção do cateto AC sobre a hipotenusa

BC = a AH = h



106

MATEMÁTICA

AB = c BH = n

AC = b HC = m

Entre as medidas desses elementos podemos,como veremos a seguir, estabelecer relações de igualda-de, que são chamadas relações métricas no triânguloretângulo.

AS RELAÇÕES MÉTRICAS

Para o triângulo retângulo, são válidas as relações:

c b

h

a

2 2

2

2 2

a . n a . m

b . c a . h m . n

b + c (teorema de Pitagoras)2

EXERCÍCIOS1) Usando as relações métricas no triângulo retân-

gulo, determine as medidas desconhecidas, indicadasnas figuras abaixo:

a)

b)

2. Num triângulo retângulo, a altura relativa àhipotenusa determina sobre esta dois segmentos quemedem 9 cm e 6 cm, respectivamente. Calcule a medidadessa altura.

3. Num triângulo retângulo, as projeções doscatetos sobre a hipotenusa medem m = 6 cm e n = 2cm. Quanto medem os três lados desse triângulo?

RESPOSTAS1) a) a = 25, h = 12, b = 20, c = 15

b) m = 8, a = 10, b =4 5 , c =2 5

2) 3 6 cm

3) 8 cm, 4 3 cm e 4 cm.

APL ICA ÇÃO DO TEOREMA DEPITÁGORASNA RESOLUÇÃO DE PROBL EMAS J á sabemos, pelo teorema de Pitágoras, que:

Num triângulo retângulo, o quadrado da medida dahipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidasdos catetos.

a2 = b2 + c2

Vamos, então, aplicando o teorema de Pitágoras,resolver alguns problemas:

1º exemplo

Na figura ao lado, calcule as medidas x e yindicadas:

Resolução:

No retângulo BCD (C é reto), pelo Teorema

de Pitágoras, temos:

22 = x2 + 12 4 = x2 + 1 x2 = 4 -1 x2 = 3

x = 3



107

MATEMÁTICA

No retângulo ACD (C é reto), pelo Teorema

de Pitágoras, temos:

y2 = 42 + x2 Y2 = 42 + ( 3)2 y2 = 16 + 3y2 = 19y= 19

2º exemplo:

As dimensões de um retângulo são 8cm e 6cm. Cal-cular a medida da diagonal do retângulo.

Resolução:

No retângulo ABC, pelo teorema de Pitágoras,temos:

x2+ 82+ 62 x2 = 64 + 36 x2 = 100

x = 100 x = 10

Resposta: A diagonal do retângulo mede 10 cm.

EXERCÍCIOS1) Aplicando o teorema de Pitágoras, calcule as

medidas desconhecidas nas figuras:

2) Num triângulo isósceles, cuja base mede 24 cm,

cada lado congruente mede 20cm, Qual é a medida da

altura relativa à base?

3) O perímetro de um retângulo mede 34cm. Um

dos lados do retângulo mede 5cm. Calcule a medida da

diagonal do retângulo.

4) Num trapézio retângulo, as bases medem 15cm

e 7cm, e a altura mede 6cm. Calcule a medida do outro

lado do trapézio.

5) Num trapézio isósceles, as bases medem 20cm

e 12cm. Cada lado não paralelo do trapézio mede 5cm.

calcule a medida da altura do trapézio.

6) A figura nos mostra um quadrado de lado 8 cm. Se

AM = 6cm, calcule as medidas x e y..

RESPOSTAS1) a) x = 15 e y=12 b) x = 5



108

MATEMÁTICA

c) x = 13 e y = 2 5 d) x =3 e y

= 185

2) 16 cm 3) 13cm4) 10cm 5) 3cm

6) x = 10 cm e y = 4 17cm

APL ICAÇÕES IMPORTANTES DOTEOREMA DE PITÁGORAS

1ª aplicação

Cálculo da medida da diagonal de um quadra-do.

= medida do lado do quadradod = medida da diagonal

No triângulo retângulo ABC ( B é reto), temos:

AC AB BC2 2 2

teorema de Pitagoras

d2= 2+ 2

d2

= 22

d = 2 2 d= 2

Exemplo:

Calcular a medida da diagonal de um quadrado quetem 40 cm de lado

40

240 2

dd cm

2ª aplicação

Cálculo da medida da altura de um triânguloeqüilátero.

= medida do lado do triângulo eqüilátero

h = medida da altura

D = ponto médio de BC (altura e mediana coinci-dem)

No triângulo ACD (Dé reto), temos:

AC AD DC

h h h

h h h

2 2 2

2 2

2

2 22

2 22

22 2

2 4 4

34

34

32

Exemplo:

Calcular a medida da altura de um triângulo eqüiláterode lado 50 cm.

50

32

50 32

25h

h cm3

EXERCÍCIOS

1) Calcule a medida da diagonal de um quadradoque tem 10 cm de lado.



109

MATEMÁTICA

2) Quanto mede o lado de um quadrado, se sua

diagonal mede 3 2cm?

3) O perímetro de um quadrado mede 4 cm. Quantomede sua diagonal?

4) A figura abaixo é um cubo, no qual as arestassão sempre perpendiculares entre si. Se a aresta dessecubo mede 8 cm, calcule a medida da diagonal da face

sombreada.

5) Qual é a medida da altura de um triânguloeqüilátero de 36cm de perímetro?

6) A altura de um triângulo eqüilátero mede 8 3cm.

Calcule o perímetro do triângulo.

7) Se o perímetro de um triângulo eqüilátero mede60cm, calcule a medida da altura do triângulo.

8) A face sombreada da pirâmede abaixo tem umtriângulo eqüilátero de lado 40cm.

Calcule a medida da altura da face sombreada.

RESPOSTAS

1) 10 2cm 2) 3cm 3) 2cm

4) 8 2cm 5) 6 3cm

6) 48cm 7)10 3cm 8) 20 3cm

PERÍMETRO

Para calcular o perímetro de qualquer polígono bas-ta somar as medidas de seus lados, utilizando sempre amesma unidade de medida

1º exemplo:

A 5cmB

2,8cm

C3,1cmD 2cm

E1,8cm

Indicando por "P" o perímetro do polígono ABCDE,temos:

P = 5cm + 2,8cm + 3,1cm + 2cm + 1,8 cm =14,7cm

Resposta = P = 14,7 cm

* Cálculo do perímetro de alguns polígonos especi-ais:

Retângulo:

Indicando-se:

b = medida da base

h = medida da altura

P = b + h + b + h ou

P = b + b + h + h

P = 2 x b + 2 x h

Exemplos:

1º Qual o perímetro de um retângulo de 15 cmde base e 8 cm de altura?



110

MATEMÁTICA

P = 15cm + 8cm + 15cm + 8cm = 46 cm

P = 2 x b + 2 x h

P = 2 x 15 cm + 2 x 8 cmR: O perímetro do retângulo é 46 cm

2º Num terreno retangular, o contorno mede

66m. Se esse terreno tem 21m de frente

(comprimento), quanto terá de fundo (largura)?

66 m - 42m = 24m ---> largura

2 x comprimento

perímetro

Resposta: O terreno tem 12 m de largura.

POLÍGONOS REGULARES

Num polígono regular todos os lados possuem a

mesma medida, e indicando a medida do lado.

Nº LADOS NOME PERÍMETRO

3 Triângulo P = + +

Equilátero P = 3 x

4 Quadrado P= + + +P = 4 x

5 Pentágono P = + + + +

Regular P = 5 x

6 Hexágono P = + + + + +

Regular P = 6 x

Para calcular o perímetro de um polígono regular den lados, temos:

P = + + + ... +

n vezes P = n x

1º exemplo: Determinar o perímetro de um octógonoregular cujo lado mede 1,2 cm.

Dados: lado : = 1,2 cm

octógono : 8 lados

P = 8 x

P = 8 x 1,2 = 9,6 cm

Resp: O perímetro do octógono é 9,6 cm

2º exemplo:

Em um quadrado, o perímetro mede 10,8 cm. Cal-cular a medida do lado desse quadrado:

Dados:perímetro : P = 10,8 cm

quadrado : 4 lados

P = 4 x ---> 10,8 = 4 x l

= 10,8 : 4

= 2,7 cm

R: O lado do quadrado mede 2,7 cm

EXERCÍCIOS1) Determine o perímetro das figuras abaixo:

Aa)

4,1 cm

3,8 cm

3 cm

1,5 cm

B

C

D

Ab)

2,9 cm

B C

A

c)

3,6 cm

12 mm

3,1 cm25 mm

0,3 dmB

C

D

E

ABC equilátero



111

MATEMÁTICA

2) Os lados de um quadrilátero medem 13,5

cm; 10,32 cm; 8,9 cm e 11,42 cm. Qual o

perímetro desse quadrilátero?

3) As dimensões de um retângulo são 4,35 e

7,25 cm. Qual o perímetro desse retângu-

lo?

4) Num retângulo, a medida da base é 10,2

cm. Sabendo-se que sua altura é metade

do comprim ento, qual é o perímetro des-

se retângulo?

5) Qual é o perímetro de um decágono regu-

lar que tem 0,42 m de lado?

6) Qual é o perímetro de um hexágono regu-

lar cujo lado mede 2,5 cm?

7) O perímetro de um retângulo mede 44 cm.

Quanto medem seus lados, sabendo-se que

a base desse retângulo mede 6cm a mais

que a altura.

8) Quanto mede o lado de um t r iângu lo

equilátero cujo perímetro é 3,81 cm?

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

1) a) 12,4cm

b) 8,7cm

c) 13,4 cm

2) 44,14cm

3) 23,2cm

4) 30,6cm

5) 4,2m

6) 15cm

7) 8cm e 14cm

8) 1,27cm

RACIOCÍNIO LÓGICO.

NOÇÕES DE LÓGICA

1. ProposiçãoChama-se proposição ousentença toda oração de-

clarativa que pode ser classificada em verdadeira ou emfalsa.

Observemos que toda proposição apresenta três ca-racterísticas obrigatórias:

1ª) sendo oração, tem sujeito e predicado;

2ª) é declarativa (não é exclamativa neminterrogativa);

3ª) tem um, e somente um, dos dois valores lógi-cos: ou é verdadeira (V) ou é falsa (F).

2. NegaçãoA partir de uma proposição p qualquer, sempre po-

demos construir outra, denominada negação de p eindicada com o símbolo ~p.

Para que ~p seja realmente uma proposição deve-mos ser capazes de classificá-la em verdadeira (V) oufalsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguintecritério de classificação:

A proposição ~p tem sempre o valor oposto de p,

isto é, ~p é verdadeira quando p é falsa e ~p é falsaquando pé verdadeira.

Esse critério está resumido na tabela abaixo, deno-minada tabela-verdadeda proposição~p.

p ~pV FF V

3. Proposição composta – ConectivosA partir de proposições dadas podemos construir

novas proposições mediante o emprego de dois símbo-

los lógicos chamados conectivos: conectivo (lê-se:

e) e o conectivo (lê-se: ou).

Colocando o conectivo entre duas proposições

p e q, obtemos uma nova proposição, p q,

denominada conjunção das sentenças p e q.



112

MATEMÁTICAVamos postular um critério para estabelecer o valor

lógico (V ou F) de uma conjunção a partir dos valoreslógicos (conhecidos) das proposições p e q:

A conjunção p q é verdadeira se p e q são

ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa,

então p q é falsa.

Esse critério está resumido na tabela abaixo, emque são examinadas todas as possibilidades parap e q.Essa tabela é denominada tabela-verdade da proposiçãop q.

p q p qV

VFF

V

FVF

V

FFF

Colocando o conectivo entre duas proposiçõesp e q, obtemos uma nova proposição, p q, deno-

minada disjunção das sentenças p e q.Vamos postular um critério para decidir o valor lógi-co (V ou F) de uma disjunção a partir dos valores lógicos(conhecidos) das proposições p e q:

A disjunção p qé verdadeira se ao menos umadas proposições pou qé verdadeira; se pe qsão ambasfalsas, então p q é falsa.

Esse critério está resumido na tabela abaixo, deno-minada tabela-verdade da proposição p q.

p q p qV

VFF

V

FVF

V

VVF

4. CondicionaisAinda a partir de proposições dadas podemos

construir novas proposições mediante o emprego deoutros dois símbolos lógicos chamados condicionais: ocondicional se ... então ... (símbolo: ) e o condici-onal ... se, e somente se, ... (símbolo: ).

Colocando o condicional entre duas proposi-ções p e q, obtemos uma nova proposição, p q,que se lê: “se p, então q”, “p é condição necessária para

q”, “q é condição suficiente para p”.No condicional p q, a proposição p é chamada

antecedente e q é chamada consequente.

Vamos postular um critério de classificação para aproposição p q baseado nos valores lógicos dep eq:

O condicional p q é falso somente quando péverdadeira e q é falsa; caso contrário, p q é verda-deiro.

Esse critério está resumido na tabela abaixo, deno-

minada tabela-verdade da proposição p q.

p q p qVVFF

VFVF

VFVV

Colocando o condicional entre duas proposi-

ções p eq, obtemos uma nova proposição, p q, que

se lê: “p se, e somente se, q”, “p é condição necessáriae suficiente para q”, “q é condição necessária e suficien-te para p” ou “se p, então q e reciprocamente”.

Vamos postular para o condicional p q o se-

guinte critério de classificação:

O condicional é verdadeiro somente quando p

e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas; se issonão acontecer, o condicional é falso.

Assim, a tabela-verdade da proposição p q é a

seguinte:

p q p qV

VFF

V

FVF

V

FFV

5. Tautol ogias

Seja v uma proposição formada a partir de outras(p, q, r, ...) mediante o emprego de conectivos( ou ) ou de modificador (~) ou de condicionais( ou ). Dizemos que v é uma tautologia oupro-

posição logicamente verdadeira quando v tem o valor ló-gico V (verdadeira) independentemente dos valores lógi-cos de p, q, etc.

Assim a tabela-verdade de uma tautologia v apre-senta só V na coluna de v.

Exemplos:

1º) (p ~p) (q p) é uma tautologia, pois:

p q ~p p ~p q p (p ~p) (q p)VVFF

VFVF

FFVV

FFFF

VVVF

VVVV



113

MATEMÁTICA

2º) ~(p q) (~p ~q) é uma tautologia,

pois:

p q p q ~(p q) ~p ~q ~p ~q ~(p q) (~p ~q)

VVFF

VFVF

VFFF

FVVV

FFVV

FVFV

FVVV

VVVV

6. Proposições logicamente falsasSeja f uma proposição formada a partir de outras

(p, q, r, ...) mediante o emprego de conectivos( ou ) ou de modificador (~) ou de condicionais( ou ). Dizemos que f é uma proposição

logicamente falsa quando f tem o valor lógico F (falsa)independentemente dos valores lógicos de p, q, etc.

Assim, a tabela-verdade de uma proposiçãologicamente falsa f apresenta só F na coluna de f .

7. Relação de implic ação

Dadas as proposições p e q, dizemos que “p impli-caq” quando na tabela de p eq não ocorre VF em nenhu-ma linha, isto é, quando não temos simultaneamentep

verdadeira eq falsa.

Quando p implicaq, indicamos p q.

Observações:

1ª) Notemos que p implicaq quando o condicional

p q é verdadeiro.

2ª) Todo teorema é uma implicação da forma

hipótese teseAssim, demonstrar um teorema significa mostrar

que não ocorre o caso de a hipótese ser verdadeira e atese falsa.

8. Relação de equivalênc iaDadas as proposições p eq, dizemos que “p é equi-

valente a q” quando p e q têm tabelas-verdades iguais,isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico.

Quandop é equivalente a q, indicamos: p q.

Observações:

1ª) Notemos que p equivale a q quando o condicio-

nal p q é verdadeiro.

2ª) Todo teorema, cujo recíproco também é verda-deiro, é uma equivalência.

hipótese tese

9. Sentenças abertas, quantificadores

Há expressões como:

a) x + 1 = 7

b) x > 2

que contêm variáveis e cujo valor lógico (verdadeiraou falsa) vai depender do valor atribuído à variável.

Nos exemplos citados temos:

a) x + 1 = 7 é verdadeira se trocarmos x por 6 e é

falsa para qualquer outro valor dado ax;b) x > 2 é verdadeira, por exemplo, para x = 0.

O quantificador universal, usado para transformarsentenças abertas em proposições, é indicado pelo sím-

bolo , que se lê: “qualquer que seja”, “para todo”,

“para cada”.

O quantificador existencial é indicado pelo símbolo

, que se lê: “existe”, “existe pelo menos um”, “existe

um”.

10. Como negar proposições J á vimos o que é a negação de uma proposiçãosimples, no item 2 deste capítulo.

Vamos destacar aqui processos para negar propo-sições compostas e condicionais.

Tendo em vista que ~(p q) ~p ~q, po-demos estabelecer que a negação de p q é a propo-sição ~p ~q.

Tendo em vista que ~(p q) (~p ~q),podemos estabelecer que a negação de p q é a pro-posição ~p ~q.

J á que ~(p q)

p

~q, podemos estabe-lecer que a negação de p q é a proposição p ~q.

Verdade ou Falsidade das Propo siç õesCategóricas (DIAGRAMAS LÓGICOS)

Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma dasproposições categóricas, isto é, de Todo A é B, Ne-nhum A é B, Algum A é B e Algum A não é B. pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algu-mas ou de todas as outras. E tudo isso pode ser repre-sentado através dos DIAGRAMAS LÓGICOS, que nosauxiliam a responder a qu estão. Vejamos a resolu-ção de um teste a respeito para exemplificar.

(Especialista em Políticas Públi cas Bahia 2004 FCC)Considerando “ todo livro é instrutivo” como uma pro-posição verdadeira, é correto inferir que:

a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição ne-cessariamente verdadeira.

b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição ne-cessariamente verdadeira.

c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposiçãoverdadeira ou falsa.



114

MATEMÁTICAd) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verda-

deira ou falsa.

e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposiçãonecessariamente verdadeira.

Solução:

Simples?!?!

A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro éinstrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas.E estamos com a situação inversa!

A opção B é perfeitamente escorreita! Percebamcomo todos os elementos do diagrama vermelho estãoinseridos no diagrama azul. Resta necessariamente per-feito que algum livro é instrutivo.

Resposta: opção B.

RESOLUÇÃO DE SITUAÇÕES-PROBLEMA.

Elaboramos uma série de atividades onde você poderáexercitar e aprimorar a sua logicidade, utilizando-se de:

• raciocínio lógico-matemático;• raciocínio seqüencial;• coordenação de perspectivas e relações;• capacidade verbal e não-verbal (simbólica);• relação de identidade simples e raciocínio por analogia;• capacidade classificatória;• orientação espacial e temporal;• raciocínio de tipo numérico;• raciocínio aritmético;• rapidez perceptual.

São diversas modalidades de exercícios, verbais enão-verbais, havendo uma variação no grau de dificulda-de e na classe de relação entre os dados do problema.De uma forma geral, todos os exercícios envolvem o raci-ocínio lógico-matemático, coordenação de perspectivas erelações, e sua rapidez perceptual, a qual está vinculadaao tempo que você desempenhará na resolução de cadaum. Destacaremos nos exercícios quais as outras princi-pais funções envolvidas além destas. As respostas en-contram-se no final desta matéria. Exercite-se!!

Não se aprende a RACIOCINAR, masRACIOCINANDO aprende-se.

1 - O RECITAL

Para o recital de formatura do “Conservatório CarlosGomes”, o formando cujo sobrenome é Uperes, e maissete outros formandos, se reuniram para executar a sin-fonia “As Quatro Estações”, de Vivaldi, composta paraquatro duetos de piano e violino.

Cada dupla de formandos (numa delas, J úlio eraum dos músicos) tocou um dos duetos, sendo que otítulo de um deles era “Outono”.

De posse das dicas e das informações abaixo, es-tabeleça em que ordem cada um dos duetos foi apresen-tado, os nomes completos de cada um dosinstrumentistas e qual o instrumento tocado por cada umdeles, nos duetos.

• O instrumentista cujo sobrenome é Yantes, eque não é um pianista, não foi o primeiro a en-trar em cena, com seu parceiro. Yantes faz

parte da dupla que se apresentou logo na fren-te da dupla que executou “Verão”;

• Rafael se apresentou, com sua parceira, logona frente da pianista cujo sobrenome é Dias,que, por sua vez, se apresentou com sua par-ceira, logo na frente da dupla que executou “In-verno”;

• Nancy entrou em cena, com seu parceiro, logona frente da pianista cujo sobrenome é Dias,que, por sua vez, entrou em cena, com suaparceira, logo na frente de Hiraldo;

• Karina entrou em cena logo na frente doinstrumentista cujo sobrenome é Quedes, quenão foi o último a entrar em cena, com seuparceiro;

• A dupla formada por Melba e sua parceira en-trou em cena, antes de, pelo menos, duas du-plas;

• Oscar, cujo sobrenome não é Quedes, não fazparte da dupla que executou “Verão”;

• A violinista cujo sobrenome é Ertais não entrou

em cena, com sua parceira, em primeiro ouúltimo lugar;

• A pianista cujo sobrenome é Dias não temMelba como nome, e não faz parte da duplaque executou o dueto “Verão”;

• Inartes não é o sobrenome de Tomás, nem deum ou de uma violinista;

• Levy não é o sobrenome de Nancy, nem deRafael, nem de um ou de uma pianista;



115

MATEMÁTICA• Grantis não é o sobrenome de nenhum dos pi-

anistas que participaram da execução de “AsQuatro Estações” e não é, também, o sobre-nome de um dos participantes da dupla queexecutou o dueto “Primavera”;

• Nem Nancy nem Tomás tocam piano;

• Uperes tocou muito antes de Inartes.

Funções uti lizadas: Orientação temporal e capa-cidade classificatória.

2 - A AVENIDA COMPLICADA

A tarefa consiste em encontrar um método de tra-balho que possa resolver, com a máxima brevidade pos-sível, o problema da AVENIDA COMPLICADA.

Sobre a AVENIDA COMPLICADA encontram-se cin-co casas numeradas: 801, 803, 805, 807 e 809, da esquer-da para a direita. Cada casa caracteriza-se pela cor dife-rente, pelo proprietário que é de nacionalidade diferente,pela condução que é de marca diferente, pela bebida dife-rente e pelo animal doméstico diferente.

As informações que permitirão a solução da AVE-NIDA COMPLICADA são:

• As cinco casas estão localizadas sobre a mes-ma avenida e no mesmo lado;

• O Mexicano mora na casa vermelha;

• O Peruano tem um carro Mercedes Benz;

• O Argentino possui um cachorro;

• O Chileno bebe coca-cola;

• Os coelhos estão à mesma distância doCadilac e da cerveja;

• O gato não bebe café e não mora na casa azul;• Na casa verde bebe-se whisky;

• A vaca é vizinha da casa onde se bebe coca-cola;

• A casa verde é vizinha da casa direita, cinza;

• O Peruano e o Argentino são vizinhos;

• O proprietário do Volkswagem cria coelhos;

• O Chevrolet pertence à casa de cor rosa;

• Bebe-se pepsicola na 3ª casa;

• O Brasileiro é vizinho da casa azul;

• O proprietário do carro Ford bebe cerveja;

• O proprietário da vaca é vizinho do dono doCadilac;

• O proprietário do carro Chevrolet é vizinho dodono do cavalo.

Funções util izadas: Orientação espacial e capa-cidade classificatória.

3 - ILUSTRAÇÕESSendo desenhistas, Sérgio, Renato, Lígia e Edgar

se ofereceram para ilustrar quatro livros de uma determi-nada editora, contendo, cada um, 130, 190, 223 e 312páginas. Ao terminar o prazo para entrega dos traba-lhos, a editora verificou que havia 168 desenhos, ao todo.

Edgar fez cinco vezes mais desenhos que Lígia. Re-nato, que produziu a metade da quantidade de desenhosfeitos por Sérgio, foi um dos que utilizaram 3 cores em seustrabalhos. Sérgio fez exatamente 1 desenho para cada 3páginas do livro que ilustrou.

Lígia utilizou 4 cores no livro de 130 páginas. Quemfez mais ilustrações usou apenas 2 cores. O livro quecoube a Edgar tinha menos páginas que o de Renato.

Quantas páginas e ilustrações tinha cada livro e qualquantidade de cores usada por cada desenhista?

Funções Utilizadas: Capacidade classificatória, ra-ciocínio do tipo numérico e aritmético.

4 - A CORRIDA DE TARTARUGASQuatro tartarugas, cada uma de um bairro diferente da

cidade, foram inscritas na Corrida Anual de Tartarugas no Riode J aneiro.

Com base nas indicações abaixo, você conseguiriadeterminar de que bairro é cada tartaruga, e em que co-locação cada uma terminou a corrida?



116

MATEMÁTICA

• A tartaruga do Bairro Leste venceu a corrida, eMargarida chegou em segundo lugar.

• Patrícia não é do Bairro Sul nem do BairroLeste.

• Fritz terminou a corrida em último lugar, logodepois da tartaruga do Bairro Norte.

• Margarida e J acó são de bairros opostos da

cidade.

Funções Utilizadas: Orientação espacial e tem-poral.

5 - O TRUQUE DAS BOLINHAS

Geninho voltava de uma “renhida” partida de gude,

que disputara com Minguinho.Entrou em casa distraído, tilintando as bolinhas que

trazia no bolso. O ruído despertou a atenção do profes-sor Bolando, que estava em seu gabinete de trabalho.

- Como foi o jogo, Geninho?

- Ah, hoje eu perdi, padrinho.

- Mas nem todas não é mesmo? J á ouvi que lhesobraram algumas.

O menino olhou o padrinho, como se quisesse lhe

dizer alguma coisa.

- Que foi Geninho?

- É verdade que me sobraram algumas. E gostariade saber se, baseado no que vou contar, o senhor serácapaz de adivinhar quantas eu trago no bolso.

O professor, que já estava habituado a esse tipo dedesafios, sorriu e respondeu:

- Pois conte.

- Seu pedido é uma ordem, padrinho.

“Tenho no bolso, bolinhas de duas cores.

Da vermelha, eu tenho o dobro menos uma, do queda azul. Entretanto, da azul eu tenho, também, o dobromenos uma, do que da vermelha.

Quantas bolinhas tenho de cada cor, padrinho?

Funções Utilizadas: Raciocínio aritmético e dotipo numérico.

RESPOSTAS1 - O RECITAL

3)

4)

5 - O TRUQUE DAS BOLINHAS

Quando Geninho parou de falar, o padrinho olhou-ofingindo desconfiança.

- J á vi que você está querendo embrulhar-me, seutraquinas! Mas garanto-lhe que não conseguirá.

Se não acredita, ouça:

- “Se a quantidade da vermelha, que você possui, éo dobro da azul, tirando uma vermelha você teria, “sem-pre”, mais da vermelha do que da azul ou igual número.Porém, fazendo uma afirmação contrária, você diz, tam-bém, que possui o dobro da azul, menos uma do que davermelha. Isto vale dizer, que você possui mais da azuldo que da vermelha. Ora, pela afirmativa anterior, pareceum absurdo o que está propondo, porque: ou você temmais da vermelha do que da azul, ou tem mais da azuldo que da vermelha. Ter uma a mais do que a outra evice-versa, ao mesmo tempo, parece impossível.

Vejo que existe aqui um logro! E isto leva-me apensar que você possui somente uma bolinha de cadacor! Senão, vejamos: Havendo uma só azul e, sendo avermelha o seu dobro menos uma, conclui-se que há umasó vermelha. Reciprocamente, havendo uma só verme-lha e, sendo a azul o seu dobro menos uma, conclui-se,também, que há uma só azul. Acertei?

- Claro que acertou, padrinho. O senhor é um “cra-que”!



117

MATEMÁTICAO professor sentiu uma pontinha de vaidade, mas

disfarçou:

- Sim... sim... agora vá se apronta, que está na horade ir para o colégio.

VAMOS TREINAR?01 - Qual a metade de 6 mais 6 ?

02 - Cinco gatos comem cinco ratos em cinco minutos.

Cem gatos comem cem ratos em quantos minutos?03 - Um número é composto por dois algarismos cujasoma é 12. Se invertermos as posições desses alga-rismos, obteremos um novo número inferior ao pri-mitivo em 18 unidades. Determine o produto dos al-garismos.

04 - Se 3x - 2 = 7, então 4x =

a) 3 b) 5 c) 20/3d) 9 e) 12

05 - Uma determinada livraria está promovendo uma

liquidação de cadernos escolares: cada 2 cadernoscustam 99 centavos. O preço normal de cada cader-no é 59 centavos. Qual a economia resultante da com-pra de 10 desses cadernos a preço promocional?

a) $ 0,85 b) $ 0,95 c) $ 1,10

d) $ 1,15 e) $ 2,00

06 - Se é verdade que “Alguns A são R” e que“ Nenhum G é R” , então é necessariamente verda-deiro que

a) algum A não é G b) algum A é G

c) nenhum A é G d) algum G é A

e) nenhum G é A

07 - Um jantar reúne 13 pessoas de uma mesma famí-lia. Das afirmações a seguir, referentes às pessoasreunidas, a única necessariamente verdadeira é:

a - Pelo menos uma delas tem altura superior a1,90 m.

b - Pelo menos duas delas são do sexo feminino.

c - Pelo menos duas delas fazem aniversário no mes-mo mês.

d - Pelo menos uma delas nasceu num dia par.

e - Pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou feverei-ro.

08 - Se os animais possuem pêlos, portanto:

a - Duas vezes por ano trocam pêlo.

b - Uma vez por ano trocam pêlo.

c - Os pássaros não têm pêlos.

d - Cobras não saem pelo cano.

e - Pelo sim, pelo não, nós possuímos pêlos.

09 - Considerando que em uma festa existem 15 pes-soas, não podemos afirmar que:

a) pelo menos duas nasceram no mesmo mês doano

b) pelo menos três nasceram no mesmo dia dasemana.

c) se uma pessoa conhece as demais então exis-tem pelo menos duas com o mesmo númerode conhecidos (o conhecer alguém é recípro-co).

d) se uma pessoa não conhece ninguém entãopode não existir duas pessoas com o mesmonúmero de conhecidos (o conhecer alguém érecíproco).

e) a diferença de idade “em anos “ de duas

delas é um múltiplo de 14.10 - Uma caixa contém 900 cartões, numerados de100 a 999. Retiramos ao acaso (sem reposição) car-tões da caixa e anotamos a soma dos seus algaris-mos. Qual a menor quantidade de cartões que de-vem ser retir ados da caixa para garantirmos que pelomenos 3 destas somas sejam iguais?

a) 51 b) 52 c) 53 d) 54 e) 55

11 - Em um ano de 365 dias, quantas vezes, no máxi-mo, pode ocorrer sexta-feira 13?

12 - O grupo de rock “U2” tem um show que começaem 17 minutos. A banda é composta por 4 integran-tes e eles precisam atravessar uma pequena pontepara chegar ao local do show. Você deve ajudá-los aatravessar a ponte. É de noite, e só há uma lanterna.Um número máximo de 2 pessoas podem atravessar ao mesmo tempo. Quem cruzar, sejam 1 ou 2 pesso-as, deve ter a lanterna consigo. Não é possível jogar a lanterna aos que estão no outro lado da ponte. Al-guém deve voltar com a lanterna, para que os outrospossam atravessar, e assim por diante. Cada membroda banda tem uma velocidade diferente. Um par deveandar junto com a velocidade da pessoa mais lenta.

Bono (B): 1 minuto para atravessarEdge (E): 2 minutos para atravessar

Adam (A): 5 minutos para atravessar

Larry (L): 10 minutos para atravessar

Por Exemplo: Se o Bono e o Larry cruzarem primei-ro, 10 minutos terão se passado até que eles chegem aooutro lado. Se o Larry retornar com a Lanterna, serãomais 10 minutos, somados aos 10 anteriores, um totalde 20 minutos terá passado e você terá fracassado.



118

MATEMÁTICA

Como eles devem proceder?

13 - Um relógio adianta 3 minutos pela manhã e atra-sa 2 minutos à noite. Se este relógio for acertado noinício da manhã do dia 18 de março, em que mo-mento estará adiantado 5 minutos?

14 - ,B e C competem em 10 modalidades de esportes.Em cada esporte, se outorgou uma medalha de ouro, 1de prata e 1 de bronze. A cada medalha de ouro o atletasoma 3 pontos, cada de prata 2 pontos e de bronze 1ponto. Sabe-se que A ganhou mais medalhas de ouroque cada um dos adversários e ganhou também no to-tal uma a mais que B e 2 a mais que C. Apesar disso, oC venceu com 1 ponto de vantagem sobre B e 2 pontossobre A. Quantas de prata C ganhou?

15 - Um gato persegue um rato. Enquanto o gato dá 2 puloso rato dá 3, mas cada pulo do gato vale 2 pulos do rato. Sea distância entre eles inicialmente é de 30 pulos de gato,quantos pulos o gato terá dado até alcançar o rato?

16 - Considere o diagrama abaixo onde o retângulorepresenta o conjunto-universo S e os círculos repre-sentam os conjuntos A e B.

Agora determine:

a) o conjunto A

b) o conjunto B

c) o número de elementos de A

d) o número de elementos de B

e) o número de subconjuntos de A

f) o número de subconjuntos de B

g) A ? B

h) A ? B

i) A - B

j) B - A

l) CSA ou A’

m)CSB ou B’

GABARITO1 - resposta: 9

2 - resposta: 5

3 - Um numero de 2 algarismos, digamos x e y, éescrito assim:

10x + y

segundo o enunciado,

(10x + y) - (10y + x) = 18

9x - 9y = 18 —> x - y = 2

mas também temos do enunciado:

x + y = 12

e logo (somando as duas eq):

2x = 14 —> x = 7 —> y = 54 - e) 12

5 - b) $ 0,95

6 - a) algum A não é G

7 - A resposta correta é a c).

8 - A resposta correta é a c).

9 - Vamos analisar as 5 alternativas:

a) pelo menos duas nasceram no mesmo mês doano. Se cada uma fizesse aniversário em um mês diferen-te, poderíamos ter no máximo doze meses diferentes, comosão 15 pessoas, pelo menos 3 vão ter que repetir mesesde aniversário. Essa afirmação é verdadeira.

b) pelo menos três nasceram no mesmo dia da se-mana. Se cada pessoa fizesse aniversário em um diadiferente da semana, teríamos 2 pessoas para cada dia,dando um total de 14 pessoas, como são 15 pessoas adécima quinta repetirá pela 3ª vez um dos dias da sema-na. Essa afirmação é verdadeira.

c) se uma pessoa conhece as demais então existempelo menos duas com o mesmo número de conhecidos (oconhecer alguém é recíproco). Se uma pessoa conhece as

demais, ela conhece 14 pessoas. As outras pessoas podemconhecer de 1 a 14 pessoas, já que conhecem pelo menosaquele que conhece todas. Digamos que cada uma conheçaum número diferente de pessoas, como só temos 14 possi-bilidades, cada uma conheceria 1, 2, 3, 4... até 14 pessoas.Mas a primeira pessoa já conhecia 14 pessoas, então te-mos duas pessoas com o mesmo número de conhecidos. Ese a última pessoa não conhecer 14 pessoas, ela terá queconhecer um número menor, que já existe alguém que co-nhece o mesmo número de pessoas. Essa afirmação é ver-dadeira.



119

MATEMÁTICAd) se uma pessoa não conhece ninguém então pode

não existir duas pessoas com o mesmo número de conhe-cidos (o conhecer alguém é recíproco). Se uma pessoa nãoconhece ninguém, as outras 14 pessoas podem conhecerde 0 a 13 pessoas. E novamente pelo menos duas pesso-as terão o mesmo número de conhecidos. Se cada umconhece um número diferente de pessoas, digamos quenessa ordem 0, 1, 2, 3, ... até 13, só temos 14 possibilida-des para 14 pessoas, mas já temos uma pessoa que nãoconhece ninguém. Essa afirmação é FALSA.

e) a diferença de idade “em anos “ de duas delas éum múltiplo de 14. Se você tem 15 pessoas diferentesvocê pode ter duas pessoas com a mesma idade, o quedá a diferença zero, que é um múltiplo de 14. Ou entãovocê não tem ninguém com a mesma idade, nesse casovocê terá inevitávelmente dois números que são múlti-plos de 14. Se você escolher 14 números diferentes, vocêpode ter apenas um múltiplo de 14, mas se escolher maisum número, como você já escolheu 14 números que divi-didos por 14 deixam resto 0, 1, 2, ... ou 13 esse décimoquinto número também terá o mesmo resto que um des-tes números, pois são todas as possibilidades. E dois

números que divididos por 14 deixam o mesmo resto,têm como diferença um múltiplo de 14. Veja por exemploos números x e y que divididos por 14 deixam resto “r”:x= 14.a + r

y = 14.b + r

Ao fazermos a diferença, temos: x - y = 14a - 14b

x - y = 14.(a - b)

Que é um múltiplo de 14. Essa afirmação é verdadei-ra.

Resposta: Alternativa d).

10 - Nessa pergunta, vamos usar mais a lógica doque cálculos. Pensei o seguinte, qual a maior soma quepodemos encontrar com três números? Será quando ostrês forem iguais a 9 e teremos 9 + 9 + 9 = 27.

E qual a soma mínima, será no número 100, cujasoma dos algarismos é 1 + 0 + 0 = 1. Não tem somamenor que 1 e nem maior que 27.

Mas só tem um número que dá soma igual a 1 e sóum número que dá soma igual a 27, que são 100 e 999.Qualquer outro número entre 100 e 999, terá a soma dosalgarismos entre 2 e 26, inclusive. Como temos que en-contrar 3 destas somas iguais, temos que ver se há pelomenos 3 de cada total. J á vimos que 1 e 27 só aparecemuma vez. Agora será que temos 3 vezes pelo menos ototal 2?

101, 110, 200

Todos têm a soma dos algarismos igual a 2. J á 26,temos: 989, 998, 899. Também tem 3! E qualquer outrototal que quiser terá pelo menos 3.

Então na pior das hipóteses, podemos pegar 27 car-

tões da caixa e nenhum terá a mesma soma. Depoiscomeçará a repetir, mas não haverá mais a soma 1 enem a soma 27, então só pegaremos mais 25 cartõesdiferentes. Então teremos um cartão com soma 1, umcartão com soma 27 e dois cartões com cada um dosoutros totais entre 2 e 26. Agora o próximo cartão terácomo total algum número que já saiu duas vezes!

Então podemos pegar 27 cartões, mais 25 cartõese mais um cartão que com certeza teremos 3 cartões

com a mesma soma:27 + 25 + 1 = 53

Pode ser que isso aconteça antes, é até muito pro-vável, mas para ter certeza mesmo, com 53 cartões nãotem erro.

Resposta: c) 53.

11 - Isso fica melhor de resolver se tivermos umcalendário em mãos. Suponha que em janeiro tivemossexta-feira 13. Vejamos o que acontece com o dia 13dos outros meses. Como janeiro tem 31 dias, a diferen-ça de dias até 13 de fevereiro é de 31 dias. Como cada

semana tem 7 dias, isso dá 4 semanas e 3 dias. Entãoem fevereiro o dia 13 cai 3 dias depois da sexta, ou seja,na segunda.

Como fevereiro tem 28 dias (ano de 365 dias), emmarço o dia 13 cairá no mesmo dia da semana que emfevereiro, ou seja, na segunda.

Como março tem 31 dias, em abril acontece o mes-mo que de janeiro pra fevereiro, cairá 3 dias depois dasegunda, ou seja, numa quinta.

Como abril tem 30 dias, em maio o dia 13 cairá 2dias depois da quinta, ou seja, num sábado.

E asssim, você pode ver pra todos os meses, o quedá o seguinte:

jan sex

fev seg

mar seg

abr qui

mai sab

jun ter

jul qui

ago dom

set qua

out sex

nov seg

dez qua

Veja que só tivemos duas sextas-feiras 13. Mas qualo dia da semana que mais apareceu? Foi a segunda-feiraque apareceu 3 vezes.



120

MATEMÁTICAEntão, podemos fazer com que um dia da semana

se repita 3 vezes no ano para o dia 13. Para isso, bastaque 13 de janeiro não seja sexta. Se queremos que emfevereiro, ao invés do dia 13 ser segunda, que ele sejasexta, basta que 13 de janeiro seja terça. Aí a tabela setransforma. Onde tinha segunda será sexta:

jan ter

fev sex

mar sexabr seg

mai qua

jun sab

jul seg

ago qui

set dom

out ter

nov sex

dez dom

E como esse é o máximo de dias da sema-na que se repete, teremos no máximo 3 sextas-feiras 13 no ano! E veja que todo ano tem pelomenos uma sexta-feira 13!!!

Resposta: No máximo 3.

12 - Você tem que pensar que Adam e Larry têmque atravessar juntos, porque são os que demorammais, aí já vai tudo de uma vez.

Para nenhum ter que voltar, primeiro vão os outrosdois e um deles volta com a lanterna, aí vão os dois ler-dos, o que tinha ficado, volta, para levar a lanterna denovo e pegar o que tinha voltado primeiro.

Num esquema ficaria assim:

Vai Volta Tempo Total

B + E B ou E 3 ou 4 3 ou 4

A + L E ou B 12 ou 11 15 ou 15

B + E - 2 17

Resposta: Há duas possibilidades:

1) Vão B e E e volta B. Vão A e L e volta E. Vão B e E.

2) Vão B e E e volta E. Vão A e L e volta B. Vão B eE.

13 - Esse problema tem uma pegadinha. Como orelógio adianta 3 minutos pela manhã e atrasa dois ànoite, podemos concluir que ele adianta 1 minuto pordia, ou seja, em 5 dias ele adiantará 5 minutos, o quenos levaria a responder que ele estará adiantado nofinal do dia 22 de março, pois adiantou 1 minuto a cadadia, incluindo o dia 18 (18, 19, 20, 21 e 22).

O problema é que essa não é a primeira vez que orelógio está adiantado após acertarmos ele no dia 18. Sefizermos passo a passo fica mais fácil de vermos isso.

No início da manhã o do dia 18 acertamos o relógioe assim ele não está adiantado nenhum minuto. Ao finalda manhã ele já adiantou 3 minutos. No início da manhãseguinte, ele terá atrasado 2 minutos. Então vou escre-ver o início e fim de cada manhã, sendo que cada manhãsempre inicia com dois minutos a menos do fim da ma-

nhã passada, pois à noite ele atrasa 2 minutos:início da manhã do dia 18 = 0 minutos adiantado

fim da manhã do dia 18 = 3 minutos adiantados

início da manhã do dia 19 = 1 minutos adiantado

fim da manhã do dia 19 = 4 minutos adiantados

início da manhã do dia 20 = 2 minutos adiantado

fim da manhã do dia 20 = 5 minutos adiantados!

Assim, logo no final da manhã do dia 20 ele estaráadiantado 5 minutos! Depois ele volta a atrasar e no finalda noite do dia 20 ele estará adiantado apenas 3 minu-tos. Mas o problema não perguntou “ao final de que noiteele estará adiantado 5 minutos?” ele perguntou apenas“em que momento estará adiantado 5 minutos?”

Resposta: Ao final da manhã do dia 20 de março.

14 - Essa requer muito raciocínio e é muitodifícil mesmo. Você tem que ir pela lógica. Veja-mos o que temos.

São 10 modalidades e foram dadas 3 medalhas pormodalidade, ou seja, 10 de ouro, 10 de prata e 10 debronze.

Total de medalhas = 10 + 10 + 10 = 30

A pontuação por medalha é ouro = 3 pontos, prata= 2 e bronze = 1. Como temos 10 de cada, temos 30pontos de ouro, 20 pontos de prata e 10 pontos de bron-ze:

Total de pontos: 30 + 20 + 10 = 60

A primeira coisa que o problema diz é que A ganhoumais medalhas de ouro que os outros. Assim, ele temque ter ganhado pelo menos 4 medalhas (nesse caso Be C ganhariam 3 medalhas cada um, pois se algum ga-nhasse menos que isso o outro ganharia pelo menos iguala A) para que os outros dois ganhassem menos que ele.

Se ele ganhasse só três medalhas, um dos outros doisganharia no mínimo 4 medalhas. Mas A pode ter ganhado4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10 medalhas, não sabemos. O mínimoé 4.

Mas A ganhou uma medalha a mais que B e 2 amais que C. Supondo que A ganhou “x” medalhas:

A = x

B = x – 1



121

MATEMÁTICAC = x - 2

E como sabemos que o total de medalhas foi de30:

A + B + C = 30

x + x - 1 + x - 2 = 30

3x - 3 = 30

3x = 33

x = 11A = 11 medalhas

B = 10 medalhas

C = 9 medalhas

Segundo o problema, C venceu com um ponto devantagem sobre B e 2 pontos de vantagem sobre A. Se Cfez “y” pontos:

C = y

B = y – 1

A = y - 2E como o total é 60 pontos:

A + B + C = 60

y - 2 + y - 1 + y = 60

3y - 3 = 60

3y = 63

y = 21

C = 21 pontos

B = 20 pontos

A = 19 pontos

Agora é que começaremos a pensar muito! Vocêsabe que A ganhou pelo menos 4 medalhas de ouro eno total ele ganhou 11 medalhas. Suponha que eleganhou o mínimo, 4 de ouro, já são 12 pontos, poiscada uma vale 3 pontos. Como o total de pontos de Afoi 19 pontos, ainda faltam 7 pontos e como ele ga-nhou 11 medalhas, se forem 4 de ouro, ainda faltam 7medalhas.

Bom, se faltam 7 medalhas e 7 pontos, ele sópode ter ganhado 7 medalhas de bronze, porque com7 medalhas o mínimo de pontos que pode fazer é 7,ganhando 7 de bronze. Se ele tivesse ganhado 5 me-dalhas de ouro, teria 15 pontos, ainda falatriam 6medalhas e ele marcaria no mínimo 21 pontos. Entãoele só pode ter ganhado 4 de ouro mesmo.

Então já temos:

A = 4 ouro + 7 bronze

Como vimos, se A ganhou 4 de ouro, B e C ga-nharam 3 de ouro cada um. Agora vamos ver o caso de

C. Ele ganhou 9 medalhas e marcou 21 pontos. Comoele só ganhou 3 de ouro ainda faltam 6 medalhas. Comas 3 de ouro ele fez 9 pontos, então ainda faltam 12pontos para chegar nos 21. Como faltam 6 medalhaspara fazer 12 pontos então essas 6 só podem ser deprata, pois não pode ter mais nenhuma de ouro e asde bronze só valem um ponto. Então ele ganhou 6 deprata e nenhuma de bronze.

Agora dá pra descobrir o resto das medalhas, mas

o problema pergunta quantas de prata C ganhou.Resposta: C ganhou 6 medalhas de prata.

15 – Em primeiro lugar, como um pulo do gato valedois pulos do rato, vou passar tudo para “pulos do rato”para ficar mais simples.

Como um pulo do rato vale dois pulos do rato(dobro), dois pulos do gato valem quatro pulos dorato (dobro).

O problema diz que “Enquanto o gato dá 2 pulos orato dá 3”, ou seja, passando para pulos do rato:

Enquanto o gato dá 4 pulos de rato, o rato dá 3pulos.

Ou seja, a cada 2 pulos (ou quatro pulos de rato)que o gato dá, ele se aproxima do rato de um pulo derato, porque o rato só dá 3 pulos.

Então temos que saber qual era a distância inicialentre gato e rato. O problema diz que era 30 pulos degato, o que dá 60 pulos de rato. Fazendo uma regra detrês, temos que a cada 2 pulos (ou quatro pulos de rato)que o gato dá, ele se aproxima do rato de um pulo derato, para se aproximar de 60 pulos de rato tem que darx pulos de rato:

Gato Aproxima

4 pulos (de rato) 1 pulo (de rato)

x 60 pulos (de rato)

x . 1 = 60 . 4

x = 240

Então o gato tem que dar 240 pulos de rato, que é odobro do número de pulos de gato.

Resposta: O gato tem que dar 120 pulos.

16 –

a) A = {a, b, c, d, e}b) B = {d, e, f, g, h, i}

c) n A = 5

d) n B = 6

e) p(A) = 2n = 25 = 32

f) p(B) = 2n = 26 = 64

g) A ? B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}



122

MATEMÁTICA

h) A ? B = {d, e}

i) A - B = {a, b, c}

j) B - A = {f, g, h, i}

l) CSA ou A’ = S - A = {f,g,h,i,j,l,m,n}

m)CSB ou B’ = S - B = {a,b,c,j,l,m,n}

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

1) Transforme em m:

a) 25dm

b)13Km

c) 827cm

d)11,5dam

2) Expresse:

a) 15dm em cm

b) 3mm em cm

c) 1200m em Km

3) Uma rua tem 18 quarteirões, com 94m de compri-

mento cada um. Qual é a extensão dessa rua em Km?

4) Um barbante de 5,60m de comprimento foi corta-

do em 40 pedaços iguais. Qual será o comprimento

de cada pedaço em cm?

5) Determine o perímetro de um retângulo onde a

base mede 4m e a altura mede 1,5m.

6) Qual é o perímetro de um retângulo cuja base

mede 30cm e cuja altura é igual a 6/10 da medida

base?

7) Calcule a medida do lado de um pentágono regu-

lar cujo perímetro mede 120cm.

8) Numa circunsferência, sendo r a medida do raio e

D a medida do diâmetro, calcule:

a) a medida D, quando r =1,7cm

b) a medida r, quando D =8cm

9) Uma praça circular tem 9m de raio. Calcule a me-

dida do contorno dessa praça.

10) Uma pista de corr ida circular tem 500m de diâme-

tro. Quantos Km terá percorr ido um carro nessa pista

após dar 35 voltas completas?

11) Transforme em m2:

a) 0,2Km2

b) 12.000cm2

c) 1dm2

d) 3.000.000mm2

12) Um terreno tem 13.500m2 de superfície. Qual é a

medida da superfície desse terreno em Km 2?

13) Uma folha de papel tem uma superfície medindo

990cm2. Qual é a medida dessa superfície em mm 2?

14) Transforme:

a) 12.000m2 em ha

b) 5ha em Km2

c) 15,5ha em m2

d) 30Km2 em ha

15) Uma fazenda de 6 alqueires paulistas está a ven-

da. Qual é o seu preço, se o m2 de terra custa, nessa

região, R$ 41,00?

16) Vamos calcular:

a) (-7) + (-12) +(+22) =b) (-11) + (+20) +(+16) =

c) (-70) + (+30) +(+90) + (-80) =

17) Calcule:

a) 76

54

b) 25

07,

c) 5,72 + 1,9 =

d) 1145

14

,

e) 1715

23

16,



123

MATEMÁTICA

18) Sabendo que a = 2 e b = -7, calcule o valor das

expressões:

a) 2a + b =

b) a - 3b =

c) 1 - ab =

19) Calcule o valor de cada uma das expressões:

a)

3131526

b)

7112122

20) Calcular:

a)

19

53

:

b) (+2,1) : (-0,7) =

21) Resolva as expr essões abaixo:

a)

15

3

5, :

=

b) 78

212

:

22) Ao dobro de um número adiocionamos 12 e o

resultado é igual à metade do mesmo número, au-

mentado de 108. Qual é o número procurado?

23) Um jogo de futebol foi assistido por um público

que corresponde a 710da lotação completa do está-

dio. Ver ificou-se com 45.000 pessoas a mais, o estádio

teria a lotação completa de público. Qual é a lotação

completa desse estádio?

24) O pai de Karina tinha 42 anos quando ela nasceu.

Atualmente, a soma das duas idades é 68 anos. Qual

é a idade atual de Karina?

25) Em uma loja há bicicletas e triciclos (3 rodas),

num total de 21 veículos e 48 rodas. Quantas unida-

des de cada veículo há nessa loja?

26) Três torneiras completamente abertas enchem um

tanque em 90 minutos. Quantas torneiras iguais a essa

encheriam o mesmo tanque em 54 minutos?

27) Em uma prova que valia 8 pontos, Júnior obteve

nota 6,0. Se a prova valesse 10 pontos, qual seria a

nota de Júnior?

28) Sabemos que a carga máxima de um elevador é 7

adultos com 80Kg cada um. Quantas crianças, pe-

sando 35Kg cada uma, atingiriam a carga máxima

desse elevador?

29) Um carro consome 12,5 l, de gasolina para per-correr 125Km. Quantos l de gasolina ele deve consu-

mir para percorrer 400Km?

30) Um aumento de 150 reais sobre um pr eço de 500

reais representa quanto % de aumento?

31) Um prejuízo de 40 mil reais sobre o valor de 200

mil reais representa quanto % de prejuízo?

32) O preço de um aparelho de som é de 150 reais. Para

pagamento à vista é feito um desconto de 30%. Nessascondições:

a) Qual a quantia que corresponde ao desconto?

b) Qual o preço à vista desse aparelho de som?

33) Um objeto de arte custava, no ínicio do ano, 900

reais. Tendo havido um aumento de 18% no preço

desse objeto, pergunta-se:

a) Qual a quantia correspondente ao aumento?

b) Qual o novo preço do objeto, após o aumento?34) Um aplicação de 4.500 reais, feita durante 3 me-

ses a uma taxa de juros simples de 1,6% ao mês, quan-

to renderá de juros?

35) Um capital aplicado a juros simples de 2,2% ao

mês, durante 2 meses, rendeu 36,08 reais de juros.

Qual foi a quantia aplicada?



MATEMÁTICA

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOSDE REVISÃO

1) a) 2,5m

b) 13.000m

c) 8,27m

d) 115m2) a) 150cm

b) 0,3cm

c) 1,2Km

3) 1,692Km

4) 14cm

5) 11m

6) 96cm

7) 24cm

8) a) D = 3,4cm

b) r = 4cm

9) 56,52m

10) 54,95Km

11)a) 200.000 m2 b) 1,2m2

c) 0,01m2 d) 3m2

12)0,0135Km2

13) 99.000 mm2

14)a) 1,2ha

b) 0,05Km2

c) 155.000m2

d) 3.000ha

15)R$ 5.953.200,00

d)1

20

e) 25

18)a) -3

b) 23

c) 15

19)a)25

b) 23

20)a)1

15

b) -3

21)a) 52

b) 1

12

22)64

23) 150.000 pessoas

24)13 anos

25) 15 bicicletas e 6 triciclos

26)5 torneiras

27) 7,5

28)16 crianças

29) 40

30)30%

03 matematica

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