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1

Universidade Federal de Itajubá

21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 1

Matemática Financeira

Engenharia Econômica

Matemática Financeira(Princípio básico)

“Não se soma ou subtrai Não se soma ou subtrai quantias em dinheiro que não estejam nas mesmas datas!”


2


O que foi feito?




3



A pergunta é: vocês acreditam nisto?


4

De fato o que você tem nas mãos na maioria das vezes!


Significado dos juros

Fatores de Produçãoconsiderados em economiaSalário Aluguel

Trabalho Terra

AdministraçãoTécnica

Royalty Lucros

Juros21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 8

Capital

5

JUROS: presença no dia a dia

compras à crédito;compras à crédito;

cheques especiais;

prestação da casa própria;

desconto de duplicata;

vendas à prazo;

empréstimos.


Juros Simples:• J: Juros

• i: Taxa de juros

Matemática financeira

J = P * i * nF = P + J

F = P + P * i * nj

• n: Número de Períodos

• P: Principal

• F: Valor Futuro

F P P i n

F = P (1 + i * n)

P F F F


6

Matemática financeiraJuros compostos: • J: Juros

• i: Taxa de juros

• n: Número de Períodos

• P: Principal• P: Principal

• F: Valor FuturoF1 = P (1 + i)

F2 = F1 (1+ i) = P (1 + i)2

F3 = P (1 + i)3

F

P F1

F2

F3

F = P (1 + i)n


Matemática financeiraExemplo II.1Para um capital de R$ 100.000,00 colocado a 20% a.a. durante3 anos, qual o valor futuro para os casos de considerarmos jurossimples e juros compostos?simples e juros compostos?Solução:

Ano Juros Simples Juros Compostos

0

1

R$ 100.000,00R$ 100.000,00 R$ 100.000,00R$ 100.000,00

R$ 120.000,00R$ 120.000,00 R$ 120.000,00R$ 120.000,00

2

3

R$ 140.000,00R$ 140.000,00 R$ 144.000,00R$ 144.000,00

R$ 160.000,00R$ 160.000,00 R$ 172.800,00R$ 172.800,00

Juros de Juros de 60,0%60,0%

Juros de Juros de 72,8%72,8%


7


Fluxo de Caixa

entradas (receitas)valor residual

0 1 2 3 n

( + )

entradas (receitas)

vida do projeto

( - )

saídas (despesas operacionais, manutenção, etc...)

investimento



Terminologia:

Excel i: Taxa de juros Taxa

n: Número de Períodos Nper

P: Principal VP

F: Valor Futuro VF


F: Valor Futuro VF

8

Matemática financeiraRelações de Equivalência

Relação entre VP e VF

VP

VF

0 n

VP: Valor Presente

VF: Valor Futuro

0 n

VF = VP(1 + i)n



VF

Relação entre VF e VP

Relações de Equivalência

VF

VP

0 n

VP: Valor Presente

VF: Valor Futuro


VP = VF/(1 + i)n = VF (1 + i) - n

9


Relação entre VP e VF – Exercício II.3


• Conseguiu-se um empréstimo de R$10.000,00

em um banco que cobra 5% ao mês de juro.

Quanto deverá ser pago se o prazo do

empréstimo for de cinco meses?



Relação entre VP e VF – Uso do Excel


10000

0

5

i = 5%

VF = ?

0


10


Relação entre VP e VF – Uso do Excel


10000

0

5

i = 5%

VF = ?

0

Planilha


Exemplo II.2

Qual o valor de uma aplicação em Fundo de renda fixa


de R$ 30.000 a uma taxa de 1,4 % ao mês para um

período de 1 ano?

• Qual o valor dos juros?

• Quais os juros líquidos, se o IR é de 20%?

• Qual o valor da rentabilidade líquida mensal?

• Em relação à poupança esta aplicação é

interessante?


11

Uso do Excel – Função VF

2. Função

3. Função Financeira

4. Função Financeira VF

1. Dados e1. Dados eresultado


Uso do Excel – Função VF

Resultado


12

Função Taxa2. Função

3 F ã Fi i3. Função Financeira

4. Função Financeira TAXA

1. Dados eresultado


Função Taxa

Resultado


13

VF = VP (1 + i) n = 30.000 (1+ 0,014) 12 = 35.446

Solução pelas fórmulas

Juros = 5.446

Juros líquidos = 5.446 – 20% x 5.446 = 4.357

VF (líquido) = 34.357

34.357 = 30.000 (1 + i) 12 i = 1,14% ao mês


Lei nº. 11.033, de 21 de dezembro de 2004

O PRESIDENTE DA REPÚBLICA Faço saber que o Congresso Nacional decreta e eu sanciono a seguinte Lei:

• Art 1º Os rendimentos de que trata o art 5º da Lei nº 9 779 de 19 • Art. 1 Os rendimentos de que trata o art. 5 da Lei n 9.779, de 19 de janeiro de 1999, relativamente às aplicações e operações realizadas a partir de 1º de janeiro de 2005, sujeitam-se à incidência do imposto de renda na fonte, às seguintes alíquotas:

– I - 22,5% (vinte e dois inteiros e cinco décimos por cento), em aplicações com prazo de até 180 (cento e oitenta) dias;

– II - 20% (vinte por cento), em aplicações com prazo de 181 (cento e oitenta e um) dias até 360 (trezentos e sessenta) dias;e um) dias até 360 (trezentos e sessenta) dias;

– III - 17,5% (dezessete inteiros e cinco décimos por cento), em aplicações com prazo de 361 (trezentos e sessenta e um) dias até 720 (setecentos e vinte) dias;

– IV - 15% (quinze por cento), em aplicações com prazo acima de 720 (setecentos e vinte) dias.


14

Matemática financeira(Taxa Referencial de Juros – TR)


http://www.yahii.com.br/tr.html

Matemática financeira(Taxa Referencial de Juros – TR)


http://www.yahii.com.br/tr.html

15

Matemática financeira(poupança)


http://www.yahii.com.br/poupanca.html

Matemática financeira(poupança)


http://www.yahii.com.br/poupanca.html

16

Matemática financeira(TBF)

http://www.yahii.com.br/tbf.html


Matemática financeira(TBF)

http://www.yahii.com.br/tbf.html


17

Matemática financeiraO que eu faço

com este apartamento?




http://www21.bb.com.br/portalbb/rentabilidade2/GFI7,2,9085,9089,1.bbx?tipo=01&codigoMenu=1092&codigoRet=5489&bread=7_1

18







19



http://www.tesouro.fazenda.gov.br/tesouro_direto/rentabilidade.asp



http://www.bb.com.br/portalbb/home17,129,129,0,0,1,7.bb?codigoMenu=1092&codigoRet=1443&bread=4

20


Relação entre VP e PGTO


VP: Valor Presente

PGTOVP

0 n

PGTO = Pagamento uniforme

VP = PGTO (1 + i) - 1 + PGTO (1 + i) - 2 + . . . + PGTO (1 + i) - n

VP = PGTO [ (1 + i) - 1 + (1 + i) - 2 + . . . + (1 + i) - n ]




VP


PGTOVP

0 n

VP = PGTO [ (1 + i) - 1 + (1 + i) - 2 + . . . + (1 + i ) - n ]

r - 1

.rna - 1a = Sn

i ) i + 1 (1 ) i + 1 (

PGTO =VP n

n


21




i ) i + 1 (1 ) i + 1 (

PGTO =VP n

n

1 - ) i + 1 (i ) i + 1 (

VP = PGTO n

n



Relação entre VP e PGTO – Exercício II.6


• Um empresário pretende fazer um investimento

no exterior que lhe renderá US$ 100.000 por

ano, nos próximos 10 anos. Qual o valor do

investimento, sabendo-se que o empresário

trabalha com taxa de 6% ao ano?


22


Relação entre VP e PGTO – Excel


0 110

100000

VP = ?i = 6% ao ano





VP = ?

0

i = 6% ao ano

110

100000

Planilha


23




• O que é mais interessante, comprar uma TV

LED por R$ 4.000,00 à vista, ou R$ 4.410,00

em 3 vezes, sendo a primeira prestação no ato

da compra?


Solução

Quais são as opções de compra?

4000

0 1 2

1470

0 1 2


1470

24

Solução

4000 2530


1470 1470

Solução

VPN 22530 N = 2

O que esta faltando?


1470

PGTO

25




2530

1470

Planilha


Solução

a.m. 10,63%i%

2530

1470

A vista ou a prazo?

O que significa a taxa?


1470

26




• Vale a pena pagar à vista com 20% de desconto

ou a prazo em 3 pagamentos iguais, sendo o

primeiro hoje?


Solução

Quais são as opções de compra?

0,8X

0 1 2

X/3

0 1 2


X/3

X = preço de etiqueta

27

Solução

0,8X 0,8X-X/3


X/3 X/3

SoluçãoVP

N 20,8X-X/3

N = 2

O que esta faltando?


X/3

PGTO

28

Solução

a.m. 27,47%i%

0,8X-X/3

X/3

A vista ou a prazo?

O que significa a taxa?


X/3

Matemática financeiraCaso Real

IPVA 99 – Espírito Santo

Veículo: Quantum 1988

• Opção 01 – à vista: R$ 217,37 (14/10/99)

• Opção 02 – 2 vezes:

• Primeira: R$ 163,77 (14/10/99)

d $ ( / / )• Segunda: R$ 89,31 (12/11/99)

• Qual a taxa de juros para a opção de parcelar?


29

Matemática financeiraCaso Real

IPVA 99 – Espírito Santo

P = 217,37 – 163,77 = 53,6

F = P (1 + i) n

89,31 = 53,6 (1 + i) 1

F = 89,31 i = 66,62% a.m.


Como as lojas divulgam seus preços

Sem juros?


30

Algumas taxas

http://www.anucc.org.br/servicos/index/25


Portal Globo 05/08/2008


31

Algumas taxas DEMONSTRATIVO DAS TAXAS DE JUROS

PRATICADAS EM 2007

Bancos Empréstimo Cheque EspecialPessoal

HSBC 4,67% 8,47% Banespa 5,80% 8,38% Bradesco 5,57% 8,01% Banco do Brasil 4,62% 7,68% Caixa Econômica Federal 4,68% 7,20%

Itaú 5,95% 8,47% , ,Santander 5,80% 8,38% Nossa Caixa 4,25% 8,10% Real 6,50% 8,40% Unibanco 5,87% 8,39%


Algumas taxas


http://www.bcb.gov.br/fis/taxas/htms/tx012010.asp

32

Algumas taxas


Algumas taxas


33

Algumas taxas


Algumas taxas



34

Algumas taxas


Algumas taxas


35

Algumas taxas



Algumas taxas


36

Algumas taxas


Regulamentação sobre taxas

Portaria n0 14 da Secretaria de Direito Portaria n0 14 da Secretaria de Direito

Econômico, de 22 de junho de 1998.

Lei n0 8.078/90. (Código do consumidor).

Lei da usura - Decreto Lei n0 22.626 de

7/4/1933.7/4/1933.

Artigo 192 da Constituição da República

Federativa do Brasil.


37

“Todas as vezes que os governos tentam tirar d i d dos ricos para dar aos pobres, os ricos ficam mais ricos e os pobres

mais pobres.”mais pobres.

Abraham Lincoln (1809-1865)



Relação entre VF e PGTOVF


PGTO

VF

0 n

VF = PGTO + PGTO (1 + i)1 + PGTO (1 + i)2 + . . . + PGTO (1 + i)n-1

VF = PGTO [1 + (1 + i)1 + (1 + i)2 + . . . + (1 + i)n-1 ]


38


Relação entre VF e PGTO


i

1 ) i + 1 ( PGTO =VF

n

1 - ) i + 1 (

iVF = PGTO n



Relação entre PGTO e VF


• EXEMPLO II.10 - Quanto deve-se

depositar anualmente numa conta a

prazo fixo que paga juros de 12% ao

ano para se ter R$ 500 000 00 daqui ano, para se ter R$ 500.000,00 daqui

a 14 anos?


39


Relação entre PGTO e VF – Exercício II.10


0

i = 12% ao ano

1 14

VF = 500000

PGTO = ?


Matemática financeiraSéries Infinitas

1 ) i + 1 ( PGTO =VP

n

i ) i + 1 ( PGTO =VP n

i ) i + 1 (

1 ) i + 1 ( PGTOlim =VP n

n

n

i ) i + 1 (

1 i ) i + 1 (

) i + 1 ( PGTOlim =VP nn

n

n

iPGTO

=VP


40


• EXEMPLO II 11 Quanto deverei


• EXEMPLO II.11 - Quanto deverei

depositar em um fundo com a finalidade

de receber para sempre a importância

anual de R$ 12.000,00 considerando ser

a taxa anual de juros igual a 10%?a taxa anual de juros igual a 10%?



Séries Perpetuas – Exercício II.11


0 1

12000

VP = ?

0

i = 10% ao ano

1 VP = PGTO / i

VP = 12000 / 0,1

VP = 120000


41


• EXEMPLO II 12 Qual a menor quantia


• EXEMPLO II.12 - Qual a menor quantia

que um grupo deve cobrar hoje, para dar

uma renda anual de R$ 6.000?



Séries Perpetuas – Exercício II.12


0 1

PGTO = 6000

VP = ?

0

i = ?

1


42


Exemplo extra



Quais são as opções do financiamento?

500

0 1 36 0 1 36

Q pç

50021,84


43


500

0 1 36

500

21,84



VP O que esta

faltando?

N = 36

0 1 36

500

PGTO

21,84


44


O que

• i = 2,69% a.m.

significa a taxa?

0 1 36

500

21,84



1.499,00 à vistaOu 12 x 124,91“ j ”

Exemplo extra

“Sem juros”

Mas, com 15% de desconto:R$ 1.274,15

Qual a verdadeira taxa verdadeira taxa de juros?


45

Exemplo extra


• Qual o valor de uma prestação relativa a um

financiamento de R$ 1.200,00 para pagamento em

12 parcelas a uma taxa de juros de 3% ao mês?

• Qual a prestação se a taxa for de 5% ao mês?

Q l ã d d d 400 00?• Qual a prestação se der uma entrada de 400,00?


Matemática financeiraTaxas Efetiva, Nominal e Equivalente

Equivalência entre Taxas Efetivas

VF = VP*(1 + i a) 1

VF = VP*(1 + i m) 12

(1 + i a) 1 = (1 + i m) 12VP

VF

1 ano ou12 meses

(1 + ia) = (1 + i sem)2 = (1 + im)12 = (1 + i d)360


46


Taxa Nominal

O período de capitalização é diferente do expresso na taxa

Exemplos:• Poupança - 6 % aa com capitalização mensal = 0,5 % am• SFH - 12 % aa com capitalização mensal = 1 % am

12 % a.a.c.m. = 12 / 12 meses = 1 % a.m.c.m. = 12,68 % a.a.c.a.

Nominal Efetiva Efetiva



EXEMPLO II 15 Q l j d • EXEMPLO II.15 - Qual o juro de

R$2.000,00 aplicados hoje, no fim de 3

anos, a 20 % ao ano capitalizados

mensalmente?


47


Exercício II.15 – Calcular os juros

VP = 2000

VF

3 anos

Juros = 1626,26

i = 20% AACM



• Exemplo II.18 - Peço um empréstimo de

R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se

antecipadamente uma taxa de 15% sobre

o valor que é entregue já líquido, e depois

de um mês paga se R$ 1 000 00 Qual a de um mês paga-se R$ 1.000,00. Qual a

taxa efetiva de juros deste empréstimo?


48


Exercício II.18 – Calcular a taxa de juros

VP = ?

1 mês

VF = ?



Exercício II.18 – Calcular a taxa de juros

VP = 850

VF = 1000

1 mês VF = VP (1 + i) n

1000 = 850 (1 + i) 1

i = 17,64% a.m.


03 matematica financeira curso ee1 1dia pubicação.ppt ... · 1 universidade federal de itajubá...

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