revisao matematica

GELSON IEZZI

OSVALDO DOLCE

DAVID DEGENSZAJN

ROBERTO PÉRIGO

MATEMÁTICAMATEMÁTICAvoluME únICo – CD-romvoluME únICo – CD-rom

Sumário

Seleção de exercícios de vestibulares

1 Conjuntos e conjuntos numéricos ................................................................................................................ 1

Respostas ................................................................................................................................................... 5

2 Funções ....................................................................................................................................................... 6

Respostas ................................................................................................................................................... 18

3 Progressões .................................................................................................................................................. 19

Respostas ................................................................................................................................................... 24

4 Matemática comercial e financeira ............................................................................................................... 25

Respostas ................................................................................................................................................... 32

5 Trigonometria .............................................................................................................................................. 33

Respostas ................................................................................................................................................... 40

6 Matrizes, determinantes e sistemas lineares ................................................................................................. 41

Respostas ................................................................................................................................................... 45

7 Geometria plana .......................................................................................................................................... 46

Respostas ................................................................................................................................................... 54

8 Geometria espacial ...................................................................................................................................... 55

Respostas ................................................................................................................................................... 64

9 Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton .......................................................................... 65

Respostas ................................................................................................................................................... 72

10 Geometria analítica ...................................................................................................................................... 73

Respostas ................................................................................................................................................... 81

11 Números complexos, polinômios e equações algébricas ............................................................................... 82

Respostas ................................................................................................................................................... 85

12 Estatística..................................................................................................................................................... 86

Respostas ................................................................................................................................................... 92

Coletânea de testes do ENEm .................................................................................................. 93

Respostas ............................................................................................................................................................. 109

Matemática Volume Único

1

Conjuntos e conjuntos numéricos

1. (Fatec-SP) O número inteiro N 5 1615 1 256 é divisível por:

a) 5

b) 7

c) 11

d) 13

e) 17

2. (Unifesp-SP) Dia 20 de julho de 2008 caiu num do-mingo. Três mil dias após essa data, cairá:

a) Numa quinta-feira.

b) Numa sexta-feira.

c) Num sábado.

d) Num domingo.

e) Numa segunda-feira.

3. (U.E. Ponta Grossa-PR) Dois sinais luminosos acen-dem juntos num determinado instante. Um deles permanece aceso 1 minuto e apagado 30 segun-dos, enquanto o outro permanece aceso 1 minuto e apagado 20 segundos. A partir desse instante qual o número mínimo de minutos necessários para que os dois sinais voltem a acender juntos outra vez? Assinale no cartão de respostas o número da alternativa que contém a resposta que você calcular como correta.

01) Oito

02) Dez

04) Doze

08) Quatorze

4. (U.E. Ponta Grossa-PR) Indica-se por n(X) o número de elementos do conjunto X. Se A e B são conjuntos tais que n(A) 5 20, n(B – A) 5 15 e n(A B) 5 8, assinale o que for correto.

01) n(A – B) 5 12

02) n(B) 5 23

04) n(A B) 5 35

08) n(A B) – n(A B) 5 27

16) n(A) – n(B) 5 n(A – B)

5. (U.E. Ponta Grossa-PR) Assinale o que for correto. (Indique a soma dos números obtidos.)

01) O número real representado por 0,5222... é um número racional.

02) O quadrado de qualquer número irracional é um número racional.

04) Se m e n são números irracionais então m ? n pode ser racional.

08) O número real √ 3 pode ser escrito sob a formaab

, onde a e b são inteiros e b 0.

16) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.

6. (UFF-RJ) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891),

“Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem”.

Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemá-tico, uma das grandes invenções humanas.

Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que:

a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.

b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.

c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.

d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.

e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.

7. (UF-RJ) Manuel, Joaquim e Antônio olham, num certo instante, para dois relógios, A e B, que só indi-cam horas e minutos. Naquele instante, A e B indicam, respectivamente, 11h51min e 11h53min. Diante dessa situação, segue-se o seguinte diálogo entre os amigos:

“Nessas condições, a dedução lógica é que a defa-sagem entre A e B é de 120 segundos.”, exclama Manuel.

“Não! Só podemos garantir que a defasagem entre A e B é de, no máximo, 120 segundos!”, contesta Joaquim.

“Vocês dois estão enganados. Com esses dados, só é possível concluir que a defasagem entre A e B é de, pelo menos, 120 segundos!”, afirma Antônio.

2


Sobre as conclusões dos três patrícios, avalie qual das afirmativas a seguir é verdadeira.

I – Só Manuel está certo

II – Só Joaquim está certo

III – Só Antônio está certo

IV – Os três estão certos

V – Os três estão errados

VI – Não é possível decidir se algum nem qual dos três está certo.

8. (FGV-SP) Sejam x e y a soma e o produto, respec-tivamente, dos dígitos de um número natural. Por exemplo, se o número é 142, então x 5 7 e y 5 8. Sabendo-se que N é um número natural de dois dígitos tal que N 5 x 1 y, o dígito da unidade de N é:

a) 2

b) 3

c) 6

d) 8

e) 9

9. (PUC-RS) Pitágoras estabeleceu a seguinte relação entre as sete notas musicais e números racionais:

DÓ rÉ mi Fá SoL Lá Si DÓ

189

6481

34

23

1627

128243

12

Para encontrarmos o número 1627

(relativo à nota

LÁ), multiplicamos 23

(o correspondente da nota

SOL) por 89

.

Assim, para obtermos 34

(relativo à nota FÁ), devemos

multiplicar 6481

(da nota MI) por:

a) 89

b) 98

c) 243256

d) 256243

e) 192324

10. (ESPM-SP) Numa empresa multinacional, sabe-se que 60% dos funcionários falam inglês, 45% falam espanhol e 30% deles não falam nenhuma daquelas línguas. Se exatamente 49 funcionários falam inglês e espanhol, podemos concluir que o número de funcionários dessa empresa é igual a:

a) 180 d) 165

b) 140 e) 127

c) 210

11. (Cefet-PR) Se a, b e c são números naturais tais que a – b 5 c, então podemos afirmar que a 1 b 1 c é igual a:

a) 2a d) 5a

b) 3a e) 6a

c) 4a

12. (Cefet-PR) Encontre o valor numérico da expressão

algébrica 2x2 2 3xy

√ x2 1 3y 2 4, para x 5 21 e y 5 4.

a) 103

d) 137

b) 113

e) 143

c) 127

13. (Enem-MEC) A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na com-petição, tendo como critério de desempate o nú-mero de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir:

Classifica-ção País medalhas

de ouromedalhas de prata

medalhas de bronze

Total de medalhas

8º Itália 10 11 11 32

9ºCoreia do

Sul9 12 9 30

10ºGrã-

Bretanha9 9 12 30

11º Cuba 9 7 11 27

12º Ucrânia 9 5 9 23

13º Hungria 8 6 3 17

Disponível em: http://www.quadroademedalhas.com.br. Acesso em: 05 abr. 2010 (adaptado).

3


Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alterações no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004?

a) 13º

b) 12º

c) 11º

d) 10º

e) 9º

14. (Enem-MEC) A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos.

Revista Veja. Ano 41, nº 26, 25 jun. 2008 (adaptado).

Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras ca-bem dentro de Júpiter?

a) 406

b) 1 334

c) 4 002

d) 9 338

e) 28 014

15. (UF-RJ) Se x 5 √ 3 2 √ 8 2 √ 3 1 √ 8 , mostre que x é inteiro e negativo. (Sugestão: calcule x2.)

16. (UF-PI) O Diretor de uma tradicional escola da cidade de Teresina resolveu fazer uma pesquisa de opinião junto aos seus 590 alunos do Ensino Médio, sobre as políticas públicas de acesso ao Ensino Superior. No questionário, pergunta-se sobre a aprovação de: Cotas, Bolsas e ENEM, como modelo de exame vestibular. As respostas dos alunos foram sintetizadas na tabela abaixo:

Política pública Cotas Bolsas ENEm

Cotas e

Bolsas

Bolsas e

ENEm

Cotas e

ENEm

Cotas, Bolsas

e ENEm

Número de apro-vações

226 147 418 53 85 116 44

Sobre a pesquisa e a tabela acima, é correto afirmar que:

a) a quantidade de alunos que não opinaram por nenhuma das três políticas é 12.

b) a quantidade de alunos que aprovam apenas uma política pública é 415.

c) a quantidade de alunos que aprovam mais de uma política é 167.

d) a quantidade de alunos que aprovam as três po-líticas é 45.

e) há mais alunos que aprovam Cotas do que alunos que aprovam somente o ENEM.

17. (UF-PB) Em determinada data, o câmbio, entre as moedas abaixo, apresentava a seguinte equivalência:

1 dólar 5 0,9 euro 1 euro 5 0,7 libra1 real 5 0,18 libra

De acordo com esses dados, é correto afirmar que, nessa data, 1 dólar equivalia a:

a) R$ 3,40 d) R$ 3,55

b) R$ 3,45 e) R$ 3,60

c) R$ 3,50

18. (UF-MA) Quantos números inteiros pertencem ao intervalo 2√ 10, √ 15 ?a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) Nenhum

19. (UF-PE) Antônio nasceu no século XX, e seu pai, que tinha 30 anos quando Antônio nasceu, tinha X anos no ano X2. Considerando estas informações, analise as afirmações seguintes:

0-0) O pai de Antônio nasceu no século vinte.

1-1) O pai de Antônio nasceu em 1936.

2-2) O pai de Antônio tinha 44 anos em 1936.

3-3) Antônio nasceu em 1922.

4-4) Antônio nasceu em 1936.

20. (UE-PI) Júnior tem três álbuns de figuras. No primeiro, estão três décimos do total de figuras; no segundo, estão alguns oitavos do total de figuras e, no terceiro álbum, estão 15 figuras. Quantas figuras estão no segundo álbum?

a) 110 d) 125

b) 115 e) 130

c) 120

4


21. (UF-PB) A prefeitura de certa cidade realizou dois concursos: um para gari e outro para assistente admi-nistrativo. Nesses dois concursos, houve um total de 6 500 candidatos inscritos. Desse total, exatamente, 870 fizeram prova somente do concurso para gari. Sabendo-se que, do total de candidatos inscritos, 4 630 não fizeram a prova do concurso para gari, é correto afirmar que o número de candidatos que fizeram provas dos dois concursos foi:

a) 4 630

b) 1 870

c) 1 300

d) 1 740

e) 1 000

22. (UPE-PE) Sabe-se que o produto de dois números irracionais a e b pode ser um número racional c. Assinale a única alternativa abaixo que exemplifica esta afirmação.

a) a 5 √ 12, b 5 √ 3 , c 5 √ 36

b) a 5 √ 9 , b 5 √ 4 , c 5 √ 36

c) a 5 √ 144, b 5 14

, c 5 √ 36

d) a 5 2√ 12, b 5 2√ 3 , c 5 2√ 36

e) a 5 √ 9, b 5 √ 4 , c 5 6

23. (Uneb-BA) Considerem-se as proposições

I – p é um número racional.

II – Existe um número racional cujo quadrado é 2.

III – Se a . 0, então 2a , 0.

IV – Todo número primo é impar.

Com base nelas, é correto afirmar:

01) A proposição I é verdadeira.

02) A proposição II é verdadeira.

03) A proposição III é verdadeira.

04) As proposições I, II e IV são verdadeiras.

05) As proposições II, III e IV são verdadeiras.

24. (UE-PI) Uma mercearia tem, em estoque, uma quantidade de canetas, de determinada marca, em número inferior a 60 e superior a 1, que pretende oferecer em liquidação. Na liquidação, todas as ca-

netas foram vendidas, e obteve-se um faturamento de exatamente R$ 37,63 com a sua venda. Se cada uma das canetas foi vendida pelo mesmo preço, qual foi este preço?

a) R$ 0,73

b) R$ 0,72

c) R$ 0,71

d) R$ 0,70

e) R$ 0,69

25. (UF-RN) A presença de nitrogênio sob a forma de nitrato em índices elevados oferece risco à saúde e deixa a água imprópria para o consumo humano, ou seja, não potável. Uma Portaria do Ministério da Saúde limita a concentração de nitrato em, no máximo, 10 mg/,. Quando essa concentração ultrapassa tal valor, uma maneira de deduzi-la é adicionar água limpa, livre de nitrato. Uma análi-se feita na água de um reservatório de 12 000 , constatou a presença de nitrato na concentração de 15 mg/,.

Com base em tais informações, a quantidade míni-ma de litros de água que se deve acrescentar para que o reservatório volte aos padrões normais de potabilidade é:

a) 6 000 ,

b) 4 000 ,

c) 12 000 ,

d) 18 000 ,

26. (UF-PA) A Orquestra Sinfônica do Theatro da Paz (OSTP) é composta por músicos de quatro naipes de instrumentos distintos: cordas, sopro de metais, sopro de madeiras e percussão. Ela conta com 27 músicos de cordas, 11 de metais, 8 de madeiras e 4 de percussão. No caso de se desejar ampliar a orquestra, de modo que ela passe a ter 150 músicos e tal que os naipes de instrumentos mantenham a mesma proporção entre eles, o número de músicos de cordas e o número de músicos de metais passariam a ser respectivamente:

a) 54 e 22

b) 60 e 30

c) 50 e 20

d) 82 e 40

e) 81 e 33


5

respostas 1. e

2. a

3. 04

4. 01, 02, 04, 08

5. 01 1 04 5 05

6. d

7. Opção V

8. e

9. c

10. b

11. a

12. e

13. b

14. b

15. x 5 22

16. b

17. c

18. b


19. F, F, V, V, F

20. d

21. e

22. a

23. 03

24. c

25. a

26. e

Funções

6

Funções

1. (UF-SC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). Indi-que a soma dos valores:

01) Dentre todos os retângulos com 40 m de períme-tro, o de maior área é aquele com lado de 20 m e área de 400 m2.

02) Uma cidade é servida por três empresas de telefo-nia. A empresa X cobra, por mês, uma assinatura de R$ 35,00 mais R$ 0,50 por minuto utilizado. A empresa Y cobra, por mês, uma assinatura de R$ 20,00 mais R$ 0,80 por minuto utilizado. A empresa Z não cobra assinatura mensal para até 50 minutos utilizados e, acima de 50 minutos, o custo de cada minuto utilizado é de R$ 1,20. Portanto, acima de 50 minutos de uso mensal a empresa X é mais vantajosa para o cliente do que as outras duas.

04) Em certa fábrica, durante o horário de traba-lho, o custo de fabricação de x unidades é de C(x) 5 x2 1 x 1 500 reais. Num dia normal de trabalho, durante as t primeiras horas de pro-dução, são fabricadas x(t) 5 15t unidades. O gasto na produção, ao final da segunda hora, é de R$ 1 430,00.

08) Certa substância radioativa que se desintegra uniformemente ao longo do tempo tem sua quantidade ainda não desintegrada, após t anos,

dada pela equação M(t) 5 M0 ? 22

t

20 onde M0 representa a quantidade inicial dessa substância. A porcentagem da quantidade ainda não desin-tegrada após 40 anos em relação à quantidade inicial M0 é de, aproximadamente, 50%.

16) O gráfico abaixo mostra quanto cada brasileiro pagou de impostos (em reais per capita) nos anos indicados.

1980

2 042 2 082 2 006

2 594

3 269

4 160

R$ 1 000

R$ 1 500

R$ 2 000

R$ 2 500

R$ 3 000

R$ 3 500

R$ 4 000

R$ 4 500

1985 1990 1995 2000 2005

Veja, São Paulo: Ed. Abril, ano 39, n. 15, 19 abr. 2006.

Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se afirmar que no ano 2000 houve um aumento de 20% no gasto com impostos, em relação a 1995.

2. (U.F. Lavras-MG) A solução da equação

log(x) 2 10(log(0,5) 1 log(8)) 5 log 1x

satisfaz:

a) log(log2(x)) 5 1

b) x 5 10

c) log2(log(x)) 5 1

d) x 5 10log(4)

3. (UE-CE) Na figura a seguir estão representados seis

retângulos com lados paralelos aos eixos coorde-

nados e vértices opostos sobre o gráfico da função

f(x) 5 log2 x, x . 0.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

y

f(x) 5 log2x

A soma das áreas dos seis retângulos é igual a:

a) 2 unidades de área

b) 3 unidades de área

c) 4 unidades de área

d) 5 unidades de área

4. (UF-TO) Seja f: ]2, 2] → [21, [ definida por

f(x) 5 x2 2 4x 1 3

Então a função inversa f21 é:

a) f21(x) 5 2

b) f21(x) 5 12

c) f21(x) 5 2 115

3

d) f21(x) 5 2 1 556

5. (U.E. Londrina-PR) Considere a função real definida

por f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, cujo gráfico é o seguinte:

7


y

x

Com base na situação exposta e nos conhecimentos sobre o tema, considere as seguintes afirmativas:

I. D 5 b2 2 4ac . 0

II. a(b 1 c) . 0

III. f 2b 2 2a

2a 5 f

2b 1 2a2a

IV. a √ D . 0

Assinale a alternativa que contém todas as afirma-ções corretas.

a) I e III.

b) III e IV.

c) I, II e III.

d) I, II e IV.

e) II, III e IV.

6. (UF-PA) O vértice da parábola y 5 ax2 1 bx 1 c é o ponto (22, 3). Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eixo vertical, podemos afirmar que:

a) a . 1, b , 1 e c , 4

b) a . 2, b . 3 e c . 4

c) a , 1, b , 1 e c . 4

d) a , 1, b . 1 e c . 4

e) a , 1, b , 1 e c , 4

7. (PUC-RS) A representação:

y

4

2

0 x222

22

24

24 4

é da função dada por y 5 f(x) 5 logn (x). O valor de logn (n

3 1 8) é

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

8. (U.F. Santa Maria-RS) Sabe-se que as equações são expressões matemáticas que definem uma rela-ção de igualdade. Dessa forma, dadas as funções

f(x) 5 1

(9x 2 1) e h(x) 5 3x 1 1, para que seus gráficos

tenham um ponto em comum, deve existir um valor de x, de modo que as imagens desse valor, pelas duas funções, coincidam. Isso ocorre no ponto:

a) (1, 21)

b) (21, 1)

c) (3, 81)

d) 13

, 43

e) 13

, 33 √ 3

9. (U.F. Santa Maria-RS) Durante um passeio noturno de barco, diversão preferida de um grupo de jovens, surgiu uma situação de perigo, em que houve ne-cessidade de disparar um sinalizador para avisar o restante do grupo que ficara no acampamento.

A função que descreve o movimento do sinal lumino-so é dada por h(t) 5 30t 2 3t2, onde h é a altura do sinal em metros e t, o tempo decorrido em segundos, desde o disparo até o momento em que o sinalizador cai na água. Assim, a altura máxima atingida pelo sinalizador e o tempo decorrido até cair na água são, respectivamente:

a) 75 m e 10 s

b) 75 m e 5 s

c) 74 m e 10 s

d) 74 m e 5 s

e) 70 m e 5 s

10. (Ibmec-RJ) A soma dos quadrados dos números naturais que pertencem ao conjunto solução de: (3 2 x) ? (x2 2 1)

x 1 2 > 0 é igual a:

a) 13

8

Funções

b) 14

c) 15

d) 19

e) 20

11. (PUC-MG) Uma empresa de turismo fretou um avião com 200 lugares para uma semana de férias, devendo cada participante pagar R$ 500,00 pelo transporte aéreo, acrescidos de R$ 10,00 para cada lugar do avião que ficasse vago. Nessas condições, o número de passagens vendidas que torna máxima a quantia arrecadada por essa empresa é igual a:

a) 100

b) 125

c) 150

d) 180

12. (PUC-PR) O prazo de validade, V, medido em uma escala de 0% (vencido) a 100% (fresco), de um produto em conserva, segue a seguinte função de tempo, t, em meses:

V 5 e2t, t > 0

Onde: e 5 2,7183

É CORRETO afirmar:

I. Um mês após a produção, t 5 1, a validade cor-responde a 36,79%.

II. Seis meses após a produção, t 5 6, a validade corresponde a 0,25%.

III. Quanto mais próximo do dia da produção maior o frescor.

a) Somente a alternativa III está correta.

b) As alternativas I e III estão corretas.

c) As três alternativas, I, II e III, estão corretas.

d) As alternativas II e III estão corretas.

e) Nenhuma das alternativas está correta.

13. (Udesc-SC) O conjunto solução da inequação:

(2x 2 2)3 x 1 3

. 4x

é:

a) S 5 {x | 21 , x , 6}

b) S 5 {x | x , 26 ou x . 1}

c) S 5 {x | x , 21 ou x . 6}

d) S 5 {x | 26 , x , 1}

e) S 5 {x | x , 2 √ 6 ou x . √ 6 }

14. (Udesc-SC) A alternativa que representa o gráfico da

função f(x) 5 |x 1 1| 1 2 é:

a) y4

3

2

1

x21022 2123

b) y4

3

2

1

x4320 121

c) y

2

1

x1022 2123

d) y4

3

2

1

x2 31022 212324

e) y

3

2

1

x2 31022 21

21

22

23

15. (Unicamp-SP) Duas locadoras de automóveis ofere-

cem planos diferentes para a diária de um veículo

econômico. A locadora Saturno cobra uma taxa

fixa de R$ 30,00, além de R$ 0,40 por quilômetro

rodado. Já a locadora Mercúrio tem um plano mais

elaborado: ela cobra uma taxa fixa de R$ 90,00 com

uma franquia de 200 km, ou seja, o cliente pode

percorrer 200 km sem custos adicionais. Entretanto,

para cada km rodado além dos 200 km incluídos na

franquia, o cliente deve pagar R$ 0,60.

9


a) Para cada locadora, represente no gráfico a função que descreve o custo diário de locação em termos da distância percorrida no dia.

b) Determine para quais intervalos cada locadora tem o plano mais barato. Supondo que a locadora Saturno vá manter inalterada a sua taxa fixa, indi-que qual deve ser seu novo custo por km rodado para que ela, lucrando o máximo possível, tenha o plano mais vantajoso para clientes que rodam quaisquer distâncias.

16. (Fuvest-SP) A função f: → tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x 1 1) 2 f(x) 5 6x 2 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a:

a) 116

b) 76

c) 56

d) 0

e) 2 56

17. (U.E. Ponta Grossa-PR) Sobre as funções

f(x) 5 2x 1 1x 2 1

e g(x) 5 3x 2 5, assinale o que for

correto. Indique a soma dos valores.

01) O domínio da função f é {x | x . 1}

02) A função f assume valores estritamente positivos

para x , 2 12

ou x . 1

04) g(f(2)) 5 10

08) A função inversa de g é definida por g21(x) 5

5 x 1 5

3

16) f 1x

5 2f(x)

18. (U.E. Ponta Grossa-PR) Em relação à função de em definida por f(x) 5 3x 1 2, assinale o que for correto.

Indique a soma dos valores.

01) f(f(0)) 5 29

02) Sua imagem é o conjunto ]2, 1 [

04) f(a 1 b) 5 f(a) 1 f(b)

08) A função é decrescente

16) f(x 1 1) 2 f(x) 5 2 ? 3x

19. (Fuvest-SP) A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H1.

Considere as seguintes afirmações:

I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas variações exponenciais das gran-dezas envolvidas.

II. A concentração de íons H1 de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8.

III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3.

Está correto o que se afirma somente em:

a) I

b) II

c) III

d) I e II

e) I e III

20. (UFF-RJ) A figura a seguir representa um quadrado MNPQ inscrito no quadrado ABCD cuja área mede 16 cm2.

A

Q

D

B

N

CP

M

Determine:

a) as medidas de AM e MB para que a área do qua-drado MNPQ seja igual a 9 cm2.

b) as medidas de AM e MB para que a área do qua-drado MNPQ seja a menor possível.

Justifique suas respostas.

21. (FGV-SP) O valor de um carro decresce exponencial-mente, de modo que seu valor, daqui a x anos, será dado por V 5 Ae2kx, em que e 5 2,7182… . Hoje, o carro vale R$ 40 000,00 e daqui a 2 anos valerá R$ 30 000,00.

10

Funções

Nessas condições, o valor do carro daqui a 4 anos será:

a) R$ 17 500,00

b) R$ 20 000,00

c) R$ 22 500,00

d) R$ 25 000,00

e) R$ 27 500,00

22. (Enem cancelado e modificado-MEC) A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto, cujo custo de fabricação de x unidades é dado por 3x2 1 232, e o seu valor de venda é expresso pela função 180x 2 116. A empresa vendeu 10 unidades do produto x, contudo a mesma deseja saber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo.

A quantidade máxima de unidades a serem vendi-das pela empresa WQTU para a obtenção do maior lucro é:

a) 10 d) 116

b) 30 e) 232

c) 58

23. (UF-GO) Grande parte da arrecadação da Coroa Por-tuguesa, no século XVIII, provinha de Minas Gerais devido à cobrança do quinto, do dízimo e das entradas (Revista de História da Biblioteca Nacional). Desses im-postos, o dízimo incidia sobre o valor de todos os bens de um indivíduo, com uma taxa de 10% desse valor. E as entradas incidiam sobre o peso das mercadorias (secos e molhados, entre outros) que entravam em Minas Gerais, com uma taxa de, aproximadamente, 1,125 contos de réis por arroba de peso.

O gráfico a seguir mostra o rendimento das entradas e do dízimo, na capitania, durante o século XVIII.

1 7000

50 000

100 000

150 000

200 000

250 000(Em Contos de Réis)

Rendimento Fiscal da Capitania de Minas Gerais

1 720 1 740 1 760 1 780 1 800

Entradas Dízimos

Revista de História da Biblioteca Nacional, Rio de Janeiro, ano 2, n. 23, ago. 2007 [Adaptado].

Com base nessas informações, em 1760, na capitania de Minas Gerais, o total de arrobas de mercadorias,

sobre as quais foram cobradas entradas, foi de apro-ximadamente:

a) 1 000

b) 60 000

c) 80 000

d) 100 000

e) 750 000

24. (UF-GO) A distância que um automóvel percorre até parar, após ter os freios acionados, depende de inú-meros fatores. Essa distância em metros pode ser cal-

culada aproximadamente pela expressão D 5 V2

250 ,

onde V é a velocidade em km/h no momento inicial da frenagem e é um coeficiente adimensional que depende das características dos pneus e do asfalto.

Considere que o tempo de reação de um condutor é de um segundo, do instante em que vê um obstáculo até acionar os freios. Com base nessas informações, e considerando 5 0,8, qual é a distância aproximada percorrida por um automóvel do instante em que o condutor vê um obstáculo, até parar completamente, se estiver trafegando com velocidade constante de 90 km/h?

a) 25,0 m

b) 40,5 m

c) 65,5 m

d) 72,0 m

e) 105,5 m

25. (PUC-MG) A função f é tal que f(x) 5 g(x) . Se o gráfico da função g é a parábola a seguir, o domínio de f é o conjunto:

4

3

2

1

2 3 41022 2121

22

2324

a) {x | x > 0}

b) {x | x < 22 ou x > 2}

c) {x | 0 < x < 2}

d) {x | 22 < x < 2}

11


26. (PUC-MG) O valor de certo equipamento, comprado por R$ 60 000,00, é reduzido à metade a cada 15

meses. Assim, a equação V(t) 5 60 000 ? 22

t

15 , onde t é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais, representa a variação do valor desse equipamento. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que o valor do equipamento após 45 meses de uso será igual a:

a) R$ 3 750,00 c) R$ 10 000,00

b) R$ 7 500,00 d) R$ 20 000,00

27. (PUC-RJ) Considere a função real g(x) 5 x4 2 40x2 1 144 e a função real f(x) 5 x(x 2 4) (x 1 4)

a) Para quais valores de x temos f(x) , 0?

b) Para quais valores de x temos g(x) , 0?

c) Para quais valores de x temos f(x) ? g(x) . 0?

28. (PUC-RJ) Sabendo que a curva a seguir é a parábola de equação y 5 x2 2 x 2 6, a área do triângulo ABC é:

B C

A

a) 4 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12

29. (Cefet-SC) O volume de água de um reservatório aumenta em função do tempo, de acordo com o gráfico abaixo:

t(h)

V(m3)

3

1

Para encher este reservatório de água com 2 500 litros, uma torneira é aberta. Qual o tempo necessário para que o reservatório fique completamente cheio?

a) 7h

b) 6h50min

c) 6h30min

d) 7h30min

e) 7h50min

30. (UF-PR) Sabe-se que a velocidade do som no ar depen-de da temperatura. Uma equação que relaciona essa velocidade v (em metros por segundo) com a tempe-ratura t (em graus Celsius) de maneira aproximada é v 5 20 t 1 273. Com base nessas informações, responda às seguintes perguntas:

a) Qual é a velocidade do som à temperatura de 27 °C? (Sugestão: use 3 5 1,73)

b) Costuma-se assumir que a velocidade do som é de 340 m/s (metros por segundo). Isso ocorre a que temperatura?

31. (UE-MG) “Em janeiro de 2008, o Brasil tinha 14 milhões de usuários residenciais na rede mundial de computadores. Em fevereiro de 2008, esses internau-tas somavam 22 milhões de pessoas 2 8 milhões, ou 57% a mais. Deste total de usuários, 42% ainda não usam banda larga (internet mais rápida e estável). Só são atendidos pela rede discada”.

Atualidade e Vestibular 2009, 1º semestre, Ed. Abril.

Baseando-se nessa informação, observe o gráfico a seguir:

(mês)

22

JAN/08 FEV/08

14

(milhões de usuários)

Se mantida, pelos próximos meses, a tendência de crescimento linear, mostrada no gráfico acima, o número de usuários residenciais de computadores, em dezembro de 2009, será igual a:

a) 178 3 106

b) 174 3 105

c) 182 3 107

d) 198 3 106

12

Funções

32. (UE-RJ) Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos de ob-servação.

Admita um filtro que deixe passar 45

da intensidade

da luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade a menos de 10% da original, foi necessário utilizar n filtros.

Considerando log 2 5 0,301, o menor valor de n é igual a:

a) 9 c) 11

b) 10 d) 12

33. (UE-RJ) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais:

x (m)

y (m)

A B350

C

D

Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D.

A equação de uma dessas parábolas é y 5 2x2

75 1

2x5

.

Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:

a) 38

b) 40

c) 45

d) 50

34. (PUC-PR) Sabendo que log 20 5 1,3 e log 5 5 0,7, é correto afirmar que log5 20 corresponde a:

a) Exatamente 2.

b) Exatamente 0,6.

c) Maior ou igual a 0,5 e menor que 0,6.

d) Um valor entre 1,8 e 1,9.

e) Nenhuma das alternativas anteriores.

35. (UE-CE) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdadex2 2 32x 1 252 , 0. O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto

a) {12, 13, 14}

b) {15, 16, 17}

c) {18, 19, 20}

d) {21, 22, 23}

36. (FGV-SP) O gráfico de uma função quadrática f(x) tem as seguintes características:

O vértice é o ponto (4, 21).

Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5, 0).

O ponto de interseção do gráfico com o eixo das ordenadas é:

a) (0, 14)

b) (0, 15)

c) (0, 16)

d) (0, 17)

e) (0, 18)

37. (FGV-SP) Nos últimos anos, o salário mínimo tem cres-cido mais rapidamente que o valor da cesta básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do salário mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de 2005.

y

R$ 300,00

R$ 510,00

Salário Mínimo

Cesta Básica

R$ 184,00

R$ 154,00

2005 2006 2007 2008 2009 2010

x0 1 2 3 4 5

Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste, possam ser aproxi-mados mediante funções polinomiais do 1º grau, f(x) 5 ax 1 b, em que x representa o número de anos transcorridos após 2005.

a) Determine as funções que expressam os cresci-mentos anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste.

b) Em que ano, aproximadamente, um salário míni-mo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo.

13


38. (Enem-MEC) O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear.

372

1980 1992 2004

573

750

Favela tem memória. Época, nº 621, 12 abr. 2010 (adaptado).

Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será:

a) menor que 1 150.

b) 218 unidades maior que em 2004.

c) maior que 1 150 e menor que 1 200.

d) 177 unidades maior que em 2010.

e) maior que 1 200.

39. (Enem-MEC) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa tempe-ratura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo.

Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função:

75

t 1 20, para 0 < t < 100T(t) 5

2

125 t2 2

165

t 1 320, para t > 100

em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado.

Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 °C e retirada quando a tempe-ratura for 200 °C.

O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a:

a) 100 d) 130

b) 108 e) 150

c) 128

40. (UF-RJ) Considere o programa representado pelo seguinte fluxograma:

Entre com o valor de x

Calcule √ x 2 1

Calcule 2x22

Calcule (x 1 2)1/3

Verifique: √ x 2 1 . 1?

SIM NÃO

a) Determine os valores reais de x para os quais é possível executar esse programa.

b) Aplique o programa para x 5 0, x 5 4 e x 5 9.

41. (U. F. Juiz de Fora-MG) Os gráficos I, II e III, a seguir, esboçados em uma mesma escala, ilustram modelos teóricos que descrevem a população de três espécies de pássaros ao longo do tempo.

tempo

população

I

tempo

população

II

tempo

população

III

Sabe-se que a população da espécie A aumenta 20% ao ano, que a população da espécie B aumenta 100 pássaros ao ano e que a população da espécie C permanece estável ao longo dos anos.

Assim, a evolução das populações das espécies A, B e C, ao longo do tempo, correspondem, respectiva-mente, aos gráficos

a) I, III e II. d) III, I e II.

b) II, I e III. e) III, II e I.

c) II, III e I.

42. (UF-RJ) Um ponto P desloca-se sobre uma reta nume-rada, e sua posição (em metros) em relação à origem é dada, em função do tempo t (em segundos), por P(t) 5 2(1 2 t) 1 8t.

2

8

P(t)

a) Determine a posição do ponto P no instante inicial (t 5 0).

14

Funções

b) Determine a medida do segmento de reta corres-pondente ao conjunto dos pontos obtidos pela

variação de t no intervalo 0, 32 .

43. (UF-PR) Um importante estudo a respeito de como se processa o esquecimento foi desenvolvido pelo alemão Hermann Ebbinghaus no final do século XIX. Utilizando métodos experimentais, Ebbinghaus deter-minou que, dentro de certas condições, o percentual P do conhecimento adquirido que uma pessoa retém após t semanas pode ser aproximado pela fórmula:

P 5 (100 2 a) ? bt 1 a,

sendo que a e b variam de uma pessoa para outra. Se essa fórmula é válida para um certo estudante, com a 5 20 e b 5 0,5, o tempo necessário para que o percentual se reduza a 28% será:

a) entre uma e duas semanas.

b) entre duas e três semanas.

c) entre três e quatro semanas.

d) entre quatro e cinco semanas.

e) entre cinco e seis semanas.

44. (Fuvest-SP) Sejam f(x) 5 2x 2 9 e g(x) 5 x2 1 5x 1 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) 5 g(x) é igual a:

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

45. (U.F. Juiz de Fora-MG) Uma pessoa aplicou uma quan-tia inicial em um determinado fundo de investimento. Suponha que a função F, que fornece o valor, em reais, que essa pessoa possui investido em relação ao tempo t, seja dada por: F(t) 5 100(1,2)t.

O tempo t, em meses, é contado a partir do instante do investimento inicial.

a) Qual foi a quantia inicial aplicada?

b) Quanto essa pessoa teria no fundo de investimento após 5 meses da aplicação inicial?

c) Utilizando os valores aproximados log10 2 5 0,3 e log10 3 5 0,48, quantos meses, a partir do instante do investimento inicial, seriam necessários para que essa pessoa possuísse, no fundo de investi-mento, uma quantia igual a R$ 2 700,00?

46. (UF-PI) Sejam a, b , a 0, b 0, satisfazendo a equação 23a 1 b 5 3a.Considerando log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48, é correto afirmar que

a) ba

5 2 75

b) se 3a 2 b 5 1, então a 5 85

c) a 5 2b

d) ba

5 2

e) a 5 b 5 log 3

47. (UF-PI) Sobre o domínio da função f: D → ,

definida pela lei f(x) 5 3 2 |x 1 2| , pode-se afirmar

que

a) contém somente seis números inteiros.

b) possui dois inteiros positivos.

c) é um intervalo de comprimento igual a seis uni-dades.

d) não possui números racionais.

e) é um conjunto finito.

48. (UF-MG) Um tipo especial de bactéria caracteriza-se por uma dinâmica de crescimento particular. Quan-do colocada em meio de cultura, sua população mantém-se constante por dois dias e, do terceiro dia em diante, cresce exponencialmente, dobrando sua quantidade a cada 8 horas.

Sabe-se que uma população inicial de 1 000 bactérias desse tipo foi colocada em meio de cultura.

Considerando essas informações,

1. CALCULE a população de bactérias após 6 dias em meio de cultura.

2. DETERMINE a expressão da população P, de bac-térias, em função do tempo t em dias.

3. CALCULE o tempo necessário para que a popu-lação de bactérias se torne 30 vezes a população inicial.

(Em seus cálculos, use log 2 5 0,3 e log 3 5 0,47.)

49. (UF-RN) Em uma fábrica, o custo diário com matéria-prima, para produzir x unidades de um produto, é dado pela equação C(x) 5 10x. A quantidade de unidades produzidas desse produto, após t horas,

0 < t < 8, por sua vez, é dada por Q(t) 5 6t 2 12

t2.

a) Faça uma tabela com valores de C(x) para x igual a 10, 16 e 18, e uma tabela com valores de Q(t) para t igual a 2, 4 e 6, explicite os cálculos efetuados.

b) Construa o gráfico da função composta C(Q(t)), que corresponde ao custo em função das horas (t).

15


50. (UF-AM) O produto dos números naturais que satis-

fazem a inequação x

x 2 5 <

x 2 5x

é:

a) 12 d) 2

b) 2 e) 1

c) 60

51. (Uneb-BA) Considerando-se as funções reais f(x) 5 log3(x 1 1), g(x) 5 log2 x e h(x) 5 log 4x, pode-se afimar que o valor de f(26) 2 g(0,125) 1 h(25) é

01) 8 04) 22

02) 2 05) 23

03) 0

52. (UF-PA) Beber e dirigir é uma combinação perigosa, mas parece que o número de acidentes nas rodovias e estradas não está sendo suficiente para convencer os motoristas a abandonarem o volante depois de umas doses de álcool. Então, para evitar essa combinação perigosa, foi criada a chamada Lei 13, que determina a punição muito mais rigorosa para os condutores bêbados.Sobre a concentração de álcool (etanol) no organis-mo, um recente estudo científico concluiu que essa decai linearmente em função do tempo. Em outros termos, a concentração pode ser descrita por uma função do tipo

C(t) 5 a ? t 1 bApós o consumo de certa quantidade de álcool, verifica-se que a concentração de álcool no sangue de uma pessoa, após uma hora e meia da ingestão, é de 113,9 mg/d,, e, após duas horas e meia da ingestão, é de 96,9 mg/d,. Sabendo-se que essa pessoa, cons-ciente de suas responsabilidades, só voltará a dirigir quando a concentração de álcool em seu sangue for zero, quanto tempo após o consumo, no mínimo, ela deve esperar para voltar a dirigir?

a) 8,2 horas d) 7,9 horas

b) 2,0 horas e) 8,6 horas

c) 9,7 horas

53. (UF-PB) Considere a vibração de uma corda elástica sob a resistência de uma força de atrito. O decaimen-to da energia total é descrito pela função E(t) 5 E0e

2at, onde: t é o tempo, medido em segundos, a partir do instante inicial t0 5 0; a . 0 é uma constante real; e E0 é a energia inicial da corda. Considerando que em 7 segundos, a partir de t0, a energia da corda cai pela metade, o tempo necessário, para que a energia seja reduzida a 20% de E0, é:

Use:

e0,7 5 2; e1,6 5 5

a) 16 s d) 18 s

b) 15 s e) 19 s

c) 14 s

54. (UF-AL) A fórmula para medir a intensidade de um dado terremoto na escala Richter é R 5 log10(I/I0), com I0 sendo a intensidade de um abalo quase im-perceptível e I a intensidade de um terremoto dada em termos de um múltiplo de I0. Se um sismógrafo detecta um terremoto com intensidade I 5 32 000I0, qual a intensidade do terremoto na escala Richter? Indique o valor mais próximo.

Dado: use a aproximação log10 2 0,30.

a) 3,0 d) 4,5

b) 3,5 e) 5,0

c) 4,0

55. (UF-MG) Uma fábrica vende determinado produto somente por encomenda de, no mínimo, 500 uni-dades e, no máximo, 3 000 unidades.

O preço P, em reais, de cada unidade desse produto é fixado, de acordo com o número x de unidades encomendadas, por meio desta equação:

P 5 90, se 500 < x < 1 000.100 2 0,01x, se 1 000 , x < 3 000.

O custo C, em reais, relativo à produção de x unidades desse produto é calculado pela equação

C 5 60x 1 10 000

O lucro L apurado com a venda de x unidades desse produto corresponde à diferença entre a receita apurada com a venda dessa quantidade e o custo relativo à sua produção.


1. ESCREVA a expressão do lucro L corresponden-te à venda de x unidades desse produto para 500 < x < 1 000 e para 1 000 , x , 3 000.

2. CALCULE o preço da unidade desse produto cor-respondente à encomenda que maximiza o lucro.

3. CALCULE o número mínimo de unidades que uma encomenda deve ter para gerar um lucro de, pelo menos, R$ 26 400,00.

56. (UF-AL) Associe aos gráficos a seguir, enumerados de 1 a 4, as funções correspondentes, que têm como

16

Funções

domínio e contradomínio o conjunto dos números reais, e assinale a sequência obtida, de cima para baixo.

1) 2)

3) 4)

( ) y 5 |22x 2 1|

( ) y 5 |x2 2 3x 1 2|

( ) y 5 2 2 |x 1 1|

( ) y 5 |x|

A sequência correta é:

a) 3, 4, 1, 2 d) 1, 4, 3, 2

b) 3, 2, 1, 4 e) 4, 1, 3, 2

c) 2, 3, 4, 1

57. (UF-PA) Uma das técnicas para datar a idade das ár-vores de grande porte da floresta amazônica é medir a quantidade do isótopo radioativo C14 presente no centro dos troncos. Ao tirar uma amostra de uma castanheira, verificou-se que a quantidade de C14 presente era de 84% da quantidade existente na atmosfera. Sabendo-se que o C14 tem decaimento exponencial e sua vida média é de 5 730 anos e considerando os valores de In(0.50) 5 20.69 e In(0.84) 5 20.17, podemos afirmar que a idade, em anos, da castanheira é aproximadamente

a) 420 d) 1 430

b) 750 e) 1 700

c) 1 030

58. (UE-PB) Um reservatório contendo gás é aquecido, de modo que a pressão P no seu interior varia com o tempo e a partir de um determinado valor, con-

1

1,5

2

20,5

21

1 2022 212324

0,5

1

1,5

2

1 2 3022 2123

0,5

2

3

4

5

6

7

1 2 3022 2123

1

2

3

4

5

6

3 420 121

1

forme o gráfico a seguir. A função que representa a pressão P no interior do reservatório em um instante t (minutos) tem lei de correspondência:

t

6

P(t)

5

4

3

0 2 4 6

a) y 5 23

x 1 3

b) y 5 x 1 3

c) y 5 12

x 1 2

d) y 5 12

x 1 3

e) y 5 2 12

x 1 3

59. (UF-AM) Considere a função f: → dada por f(x) 5 |3x 2 2|.

Com relação à função acima considere as afirmações:

I. f é injetora.

II. O valor mínimo assumido por f é zero.

III. O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0, 22).

IV. O gráfico de f é uma reta.

V. f é uma função par.

Então:

a) Somente V é verdadeira.

b) Somente I e II são falsas.

c) Somente II é verdadeira.

d) Somente III é verdadeira.

e) Todas são falsas.

60. (UE-PI) As populações das cidades A e B crescem exponencialmente, com taxas anuais de crescimento de 3% e 2%, respectivamente. Se, hoje, a população de A é de 9 milhões de habitantes, e a de B é de 11 milhões, em quanto tempo, contado a partir de hoje, as populações das duas cidades serão iguais? Dados: use as aproximações In(1,03/1,02) 0,01 e In(11/9) 0,20.

a) 2 anos d) 15 anos

b) 6 anos e) 20 anos

c) 10 anos

17


61. (UnB-DF) Em 1772, o matemático Euler observou que, ao se inserir os números inteiros de 0 a 39 na fórmula x2 1 x 1 41, obtém-se uma lista de 40 nú-meros primos. No plano de coordenadas cartesianas xOy considerando y 5 g(x) 5 x2 1 x 1 41, conclui-se que os pares (N, g(N)), para 0 < N < 39, pertencem a uma parábola que:

a) intercepta o eixo das ordenadas em um número composto.

b) ilustra uma função crescente no intervalo [0, 39].

c) intercepta o eixo das abscissas em dois números primos.

d) tem vértice em um dos pares ordenados obtidos por Euler.

62. (UnB-DF) Pode-se determinar o instante da morte de um organismo utilizando-se a Lei de Resfriamento de Newton, segundo a qual a taxa da variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e do meio externo. Nesse sentido, suponha que, na investigação de um homicídio, a temperatura do cadáver encontrado, em °C, t horas (h) após o óbito, seja dada pela função T 5 T(t) 5 22 1 10 e2kt, em que: t0 5 0 representa o instante em que o corpo foi encontrado; t , 0 corresponde, em módulo, à quantidade de horas decorridas antes da descoberta do cadáver; t . 0 representa a quantidade de horas decorridas desde a descoberta do corpo; e k é uma constante positiva.

Admitindo que, nessa situação hipotética, na hora do óbito, a temperatura do corpo era de 37 °C e que, duas horas após a descoberta do corpo, a temperatu-ra do corpo era de 25 °C e considerando In 2 5 0,7, In 3 5 1,1, In 5 5 1,6, julgue os itens seguintes.

a) No instante em que o corpo foi descoberto, sua temperatura era inferior a 30 °C.

b) A função T 5 T(t) é inversível e sua inversa é dada

por t 5 t(T) 5 1k

In 10

T 2 22 .

c) O valor de k, em h21 é superior a 58

.

d) Com base nos dados, conclui-se que o óbito ocor-reu 40 minutos antes da descoberta do cadáver.

e) No sistema de coordenadas cartesianas tOT, o gráfico de T 5 T(t), válido a partir do momento em que o indivíduo morre, representa uma função decrescente que se inicia no 1º quadrante.

f) À medida que t aumenta, T 5 T(t) tende a se aproximar da temperatura de 22 °C, mas nunca chega a atingi-la.

63. (UE-PI) Um fio de comprimento c deve ser dividido em dois pedaços, e os pedaços utilizados para formar o contorno de um quadrado e o de um hexágono regular.

Se a divisão do fio deve ser tal que a soma das áreas do quadrado e do hexágono regular seja a menor possível, qual o perímetro do hexágono?

a) (2 3 2 3)c d) 3c6

b) c2

e) 2c5

c) 2c3

64. (UF-SE) Sejam f e g funções de em tais que f é do primeiro grau e g é definida por g(x) 5 x2 2 4x 2 5. A figura abaixo apresenta um esboço gráfico de f e g em um sistema de eixos cartesianos ortogonais.

0

9

16

7x

y

Use as informações dadas para analisar as sentenças seguintes.

a) O vértice da parábola é o ponto (2, 23).

b) Os gráficos de f e g interceptam o eixo das abs-cissas nos pontos (29, 0), (21, 0) e (5, 0).

c) Em , o conjunto solução da inequação g(x) < < f(x) é [22, 7].

d) O coeficiente angular da reta que representa f é igual a 1.

e) Os gráficos das funções definidas por y 5 |f(x)| e y 5 |g(x)| têm três pontos comuns.

65. (UF-AM) Sejam f: → e g: → funções de fi ni das respectivamente por f(x) 5 3x 1 2 e g(x) 5 ax 1 b. Se (g f)(x) 5 (f g)(x), então, pode-mos concluir que:

a) b 5 a 2 2 d) b 5 a 1 1

b) b 5 a 2 1 e) b 5 a 1 2

c) b 5 a

Funções

18

respostas 1. 02 1 04 5 06 8. e

2. c 9. a

3. a 10. b

4. a 11. b

5. c 12. c

6. d 13. c

7. b 14. a

15. a) C (x) 5 0,4 ? x 1 30 (locadora Saturno) e

C (x) 90, se 0 < x < 2000,6 ? x 2 30, se x . 200

(locadora Mercúrio)

x: número de quilômetros percorridos.

30

90

190210

Distância percorrida (km)

Cus

to d

e lo

caçã

o (R

$)

200 400

Cm

Cs

b) Saturno: 0 < x < 150 ou x > 300 Mercúrio: 150 < x < 300 R$ 0,30 por quilômetro rodado.

16. c 18. 01 1 02 1 16 5 19

17. 02 1 04 1 08 5 14 19. d

20. a) AM 5 2 2 √ 22

e MB 5 2 1 √ 22

b) AM 5 MB 5 2

21. c 23. d 25. d

22. b 24. c 26. b

27. a) S 5 {x | x , 24 ou 0 , x , 4}

b) S 5 {x | 26 , x , 22 ou 2 , x , 6}

c) S 5 {x | 26 , x , 24 ou 22 , x , 0 ou 2 , x , 4 ou x . 6}

28. c

29. d

30. a) 346 m/s b) 16 °C

31. d 34. d

32. c 35. b

33. b 36. b

37. a) Salário: S(x) 5 42x 1 300 Cesta básica: C(x) 5 6x 1 154

b) Em 2012

38. c 39. d

Funções

40. a) x > 0

b) x 5 0 → 3√ 2

x 5 4 → 3√ 6

x 5 9 → 2

8141. e

42. a) 2 m b) 9 m

43. c 44. d

45. a) 100 reais

b) aproximadamente R$ 249,00

c) 18 meses

46. a 47. c

48. 1) 4 096 bactérias

2) P(t) 5 1 000; se 0 < t < 21 000 ? 23(t 2 2); se t . 2

3) 3,63 dias

49. a) x C t Q10 100 2 1016 160 4 1618 180 6 18

b)

180

60 12

50. a 53. a

51. 01 54. d

52. a

55. 1) L(x) 5 30x 2 10 000; se 500 < x < 1 00020,01x2 1 40x 2 10 000; se 1 000 , x < 3 000

2) 80 reais

3) 1400 unidades

56. a 59. c

57. d 60. e

58. d 61. b

62. a) F b) V c) F d) V e) F f) V

63. a 65. b

64. São verdadeiras: b, c, d.


19

1. (Mackenzie-SP) Para que o produto dos termos da sequência (1, √ 3 , √ 3

2, √ 3

3, √ 3

4,..., √ 3

n21) seja 314,

deverão ser considerados, nessa sequência:

a) 8 termos

b) 6 termos

c) 10 termos

d) 9 termos

e) 7 termos

2. (UF-RS) Considere o padrão de construção represen-tado pelos desenhos a seguir.

Etapa 1

Etapa 2

Etapa 3

Na Etapa 1, há um único quadrado com lado 10. Na Etapa 2, esse quadrado foi dividido em quatro qua-drados congruentes, sendo um deles retirado, como indica a figura. Na Etapa 3 e nas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior.

Nessas condições, a área restante na Etapa 6 será de:

a) 100 14

5

b) 100 13

6

c) 100 13

5

d) 100 34

6

e) 100 34

5

3. (FGV-SP) A soma dos 100 primeiros termos de uma progressão aritmética é 100, e a soma dos 100 termos seguintes dessa progressão é 200. A diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa progressão, nessa ordem, é:

a) 1024 d) 1021

b) 1023 e) 1

c) 1022

Progressões

4. (PUC-RS) Devido à epidemia de gripe do último in-verno, foram suspensos alguns concertos em lugares fechados.

Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma apre-sentação, precisou-se compor uma plateia com oito filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi:

a) 384

b) 192

c) 168

d) 92

e) 80

5. (UF-PR) Um quadrado está sendo preenchido como mostra a sequência de figuras abaixo:

quadrado original

passo 1

passo 2

passo 3

No passo 1, metade do quadrado original é preen-chido. No passo 2, metade da área não coberta no passo anterior é preenchida. No passo 3, metade da área não coberta nos passos anteriores é preenchida, e assim por diante.

a) No passo 4, que percentual do quadrado original estará preenchido?

b) Qual é o número mínimo de passos necessários para que 99,9% do quadrado original seja preen-chido?

6. (UF-BA) Considerando-se as sequências (an) e (bn) definidas por:

an 5 (21)n n2

n2 1 1 e

b1 5 1

bn 1 1 5 n 1 2n 1 1

bn

20

Progressões

01) O produto de dois termos consecutivos quaisquer da sequência (an) é um número negativo.

02) Para qualquer n, tem-se 21 , an , 1.

04) A sequência (bn) é crescente.

08) Existe n tal que an 5 12

.

16) A sequência (bn) é uma progressão aritmética.

32) A sequência (an) é uma progressão geométrica de razão negativa.

7. (Unicamp-SP) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estraté-gias agressivas de propaganda.

O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um pe-ríodo de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante.

Por sua vez, o site B, que já tem 2 200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc.

a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas?

b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10 000 membros?

8. (Unemat-MT) Dada uma PA cujo a1 é o quádruplo de sua razão e a20 é igual a 69, sua razão será:

a) 2 b) 6 c) 4 d) 5 e) 3

9. (Enem-MEC) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.

Figura I

Figura II

Figura III

Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?

a) C 5 4Q d) C 5 Q 1 3

b) C 5 3Q 1 1 e) C 5 4Q 2 2

c) C 5 4Q 2 1

10. (UFF-RJ) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resgatam essa história.

Nesse papiro encontramos o seguinte problema:

“Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores.”

AG

B PH

OTO

/TPG

Papiro de Rhind

21


Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de

a) 1153

pães

b) 556

pães

c) 20 pães

d) 656

pães

e) 35 pães

11. (UEL-PR) A solução da equação logarítmica:

log3x 1 log

3x2 1 ... 1 log

3x49 1 log

3x50 5 2 550

é:

a) x 5 1

b) x 5 3

c) x 5 9

d) x 5 log3 1 275

e) x 5 log3 2 550

12. (UF-RS) Na sequência 1, 3, 7, 15..., cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma unidade ao dobro do termo anterior. O 13º termo dessa sequência é:

a) 211 2 1

b) 211 1 1

c) 212 2 1

d) 212 1 1

e) 213 2 1

13. (UFF-RJ) Com o objetivo de criticar os processos infi-nitos, utilizados em demonstrações matemáticas de sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático.

Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira:

Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tarta-ruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tarta-ruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre

esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.

Fazendo a conversão para metros, a distância percor-rida por Aquiles nessa fábula é igual a

d 5 10 1 1 1 110

1 1

102 1 ...5 10 1

∑n50

110

n

É correto afirmar que:

a) d 5 1

b) d 5 11,11

c) d 5 919

d) d 5 12

e) d 5 100

9

14. (CP2-MEC-RJ) Qual é o próximo número da sequência abaixo?

18, 15, 30, 26, 42, 37, 54, _____

15. (Unemat-MT) Lança-se uma bola, verticalmente de cima para baixo, da altura de 4 metros. Após cada

choque com o solo, ela recupera apenas 12

da altura

anterior.

A soma de todos os deslocamentos (medidos ver-ticalmente) efetuados pela bola até o momento de repouso é:

a) 12 m

b) 6 m

c) 8 m

d) 4 m

e) 16 m

16. (UE-RJ) Um jogo com dois participantes, A e B, obe-dece às seguintes regras:

– antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivinhar a face que, ao cair, ficará voltada para cima, dizendo “cara” ou “coroa”;

– quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, em uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez; ao errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e assim sucessivamente;

– em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma sigla.

22

Progressões

Veja o quadro que ilustra o jogo:

ordem de erro Letras escritas

1º UERJ

2º UERJUERJ

3º UERJUERJUERJ

4º UERJUERJUERJUERJ

---

nº UERJUERJUERJUERJ. . .UERJ

O jogo terminará quando o número total de letras escritas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual a dez vezes o número de letras escritas, considerando apenas o enésimo erro.

Determine o número total de letras que foram escritas até o final do jogo.

17. (Unifesp-SP) Progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre cada um desses termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é constante. Essa diferença constante é chamada “ra-zão da progressão aritmética” e usualmente indicada por r.

a) Considere uma PA genérica finita (a1, a2, a3, ..., an) de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula da soma dos termos de índice par dessa PA, em função de a1, n e r.

b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos termos da PA (2224, 2220, 216, ...) seja positiva?

18. (UF-PB) Em uma determinada plataforma marítima, foram extraídos 39 960 barris de petróleo, em um pe-ríodo de 24 horas. Essa extração foi feita de maneira que, na primeira hora, foram extraídos x barris e, a partir da segunda hora, r barris a mais do que na hora anterior. Sabendo-se que, nas últimas 9 horas desse período, foram extraídos 18 360 barris, o número de barris extraídos, na primeira hora, foi:

a) 1 180 d) 1 190

b) 1 020 e) 1 090

c) 1 065

19. (UPE-PE) Considere uma progressão aritmética infinita de números reais da forma a1, a2, a3,... com razão r. Formando a sequência b1, b2, b3,... na qual bn 5 a4n, n 5 1, 2, 3,..., é CORRETO afirmar que, necessaria-mente,

a) b1, b2, b3,... forma uma progressão geométrica de razão 4r.

b) b1, b2, b3,... forma uma progressão aritmética de razão 4r.

c) b1, b2, b3,... forma uma progressão aritmética cuja razão não depende de r.

d) b1, b2, b3,... não forma, necessariamente, nem uma progressão aritmética nem uma progressão geométrica.

e) b1, b2, b3,... independentemente do valor de r, for-mam uma sequência que é tanto uma progressão aritmética quanto uma progressão geométrica.

20. (UF-RN) A corrida de São Silvestre, realizada em São Paulo, é uma das mais importantes provas de rua disputadas no Brasil. Seu percurso mede 15 km. João, que treina em uma pista circular de 400 m, pretende participar dessa corrida. Para isso, ele estabeleceu a seguinte estratégia de treinamento: correrá 7 000 m na primeira semana; depois, a cada semana, aumentará 2 voltas na pista, até atingir a distância exigida na prova.

a) A sequência numérica formada pela estratégia adotada por João é uma progressão geométrica ou uma progressão aritmética? Justifique sua resposta.

b) Determine em que semana do treinamento João atingirá a distância exigida na prova.

21. (UE-PB) Se o segundo dos cinco meios aritméticos inseridos entre a e b foi 21 e o último foi 12, então

o valor de ba

21

está no intervalo real:

a) [2, 4[ d) ]21, 0]

b) [1, 3[ e) ]0, 2[

c) [4, 6]

22. (UF-AM) Considere os inteiros positivos dispostos em uma sequência infinita de “quadrados” formados por quatro linhas e quatro colunas, representados a seguir:

1 2 3 4 17 18 19 20

...5 6 7 8 21 22 23 24

9 10 11 12 25 26 27 28

13 14 15 16 29 30 31 32

Em qual linha e coluna de um determinado quadrado desta sequência está localizado o número 2009?

a) 1ª linha e 3ª coluna

b) 3ª linha e 1ª coluna

23


c) 4ª linha e 2ª coluna

d) 2ª linha e 4ª coluna

e) 4ª linha e 1ª coluna

23. (UE-PI) Três números reais positivos formam uma pro-gressão aritmética, e outros três formam uma progres- são geométrica. Multiplicando os termos da pro-gressão geométrica obtém-se 123. Adicionando os termos correspondentes nas duas progressões obtemos a sequência 50, 17 e 11. Qual a razão da progressão aritmética?

a) 13

d) 3

b) 2 e) 15

c) 12

24. (UnB-DF)

nível I

nível II

nível III

A sequência de figuras acima ilustra 3 passos da construção de um fractal utilizando-se como ponto de partida um triminó – nível I –, que consiste em uma peça formada por três quadrinhos de 1 cm de lado cada, justapostos em forma de L. No segundo passo, substitui-se cada quadradinho do fractal de nível I por um triminó, que tem os comprimentos dos lados de seus quadradinhos adequadamente ajustados à situa-ção, de forma a se obter o fractal de nível II, conforme ilustrado acima. No terceiro passo, obtém-se, a partir do fractal de nível II, também substituindo-se cada um de seus quadrinhos ajustados, o fractal de nível III. O processo continua dessa forma, sucessiva e indefinida-mente, obtendo-se os fractais de níveis n 5 I, II, III, ... .

Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

a) No fractal de nível n, há 3n quadradinhos som-

breados.

b) O perímetro externo do fractal de nível VI é igual a 8 cm.

c) A área do fractal de nível V correspondente aos quadradinhos sombreados é superior a 1 cm2.

d) À medida que n cresce, a área do fractal de nível n correspondente aos quadradinhos sombreados aproxima-se cada vez mais de 1 cm2.

e) No quarto passo da construção, será obtido o fractal de nível IV, com a forma ilustrada a seguir:

f) Caso o fractal de nível V seja cortado ao longo de uma reta que bissecta o ângulo interno inferior esquerdo do quadradinho localizado no canto inferior esquerdo, as duas partes obtidas serão congruentes, o que mostra ser essa estrutura simétrica em relação a essa reta.

g) O fractal de nível II pode ser considerado uma planificação de um poliedro convexo de 9 faces.

25. (UF-PI) Ao largar-se uma bola de uma altura de 5 m sobre uma superfície plana, observa-se que, devido a seu peso, a cada choque com o solo, ela recupera

apenas 38

da altura anterior. Admitindo-se que o

deslocamento da bola ocorra somente na direção vertical, qual é o espaço total percorrido pela bola pulando para cima e para baixo?

a) 6 m d) 18 m

b) 11 m e) 19 m

c) 15 m

26. (UF-PA) O estudo dos logaritmos teve origem na análise de relações entre progressões aritméticas e progressões geométricas. Considerando que a tabela abaixo, incompleta, apresenta uma PA e uma PG com o mesmo número de termos, determine o último termo, X, da PG.

PA 0 0,5 1 1,5 6

PG 1 2 4 8 X

A alternativa correta é:

a) 500

b) 1 024

c) 3 216

d) 4 096

e) 10 128

Progressões

24

respostas 1. a

2. e

3. c

4. b

5. a) 93,75%

b) n 5 10

6. 01 1 02 1 04 1 16 5 23

7. a) 3 200 novos participantes e no total 6 450.

b) 12 semanas.

8. e

9. b

10. a

11. c

12. e

13. e

14. 48

15. a

16. 760 letras

Progressões

17. a) n4

(n ? r 1 2 a1)

b) 114 termos

18. e

19. b

20. a) PA de razão 800

b) 11ª semana

21. a

22. b

23. d

24. a) V

b) V

c) F

d) F

e) V

f) V

g) F

25. b

26. d


25

matemática comercial e financeira

1. (UF-PR) Luiz Carlos investiu R$ 10 000,00 no mer-cado financeiro da seguinte forma: parte no fundo de ações, parte no fundo de renda fixa e parte na poupança. Após um ano ele recebeu R$ 1 018,00 em juros simples dos três investimentos. Nesse período de um ano, o fundo de ações rendeu 15%, o fundo de renda fixa rendeu 10% e a poupança rendeu 8%.

Sabendo que Luiz Carlos investiu no fundo de ações apenas metade do que ele investiu na poupança, os juros que ele obteve em cada um dos investimentos foram:

a) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundo de renda fixa e R$ 288,00 na poupança.

b) R$ 300,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundo de renda fixa e R$ 258,00 na poupança.

c) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 470,00 no fundo de renda fixa e R$ 288,00 na poupança.

d) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 480,00 no fundo de renda fixa e R$ 278,00 na poupança.

e) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 430,00 no fundo de renda fixa e R$ 318,00 na poupança.

2. (Cefet-MG) Uma loja de eletrodomésticos publicou o seguinte anúncio:

“Compre uma geladeira por R$ 950,00 para pa-gamento em 30 dias, ou à vista, com um desconto promocional de 20%”.

Se um cliente optar pela compra com pagamento em 30 dias, a taxa de juros a ser paga, ao mês, é:

a) 20% b) 22% c) 25% d) 28%

3. (Fatec-SP) Uma empresa decidiu trocar todos os seus computadores e aparelhos de telefone celular utilizados por seus funcionários. Após a troca, fez um levanta-mento do destino dado a esses equipamentos e cons-tatou que 75% do total de equipamentos foram para a reciclagem, sendo que os computadores correspondiam a 60% do total de equipamentos e que 20% do total de telefones celulares não foram para a reciclagem.

Com base nesses dados sobre o total de equipamen-tos, pode-se concluir que a porcentagem de compu-tadores que foram para a reciclagem corresponde a

a) 18% d) 37%

b) 25% e) 43%

c) 30%

4. (Unicamp-SP) Segundo o IBGE, nos próximos anos, a participação das gerações mais velhas na população do Brasil aumentará. O gráfico a seguir mostra uma estimativa da população brasileira por faixa etária, entre os anos de 2010 e 2050. Os números apre-sentados no gráfico indicam a população estimada, em milhões de habitantes, no início de cada ano. Considere que a população varia linearmente ao longo de cada década.

a) Com base nos valores fornecidos no gráfico, calcu-le exatamente em que ano o número de habitantes com 60 anos ou mais irá ultrapassar o número de habitantes com até 17 anos. (Atenção: não basta encontrar um número aproximado a partir do gráfico. É preciso mostrar as contas).

b) Determine qual será, em termos percentuais, a varia-ção da população total do país entre 2040 e 2050.

140

120

2010 2020 2030

Ano

Pop

ula

ção

(em

milh

ões

)

2040 2050

100

80

60

40

19

59

115

127 131127

28

40 4035

64

525245

116

20

0

Legenda: 0 a 17 anos 18 a 59 anos 60 anos ou mais

5. (Fuvest-SP) O Índice de Massa Corporal (IMC) é o número obtido pela divisão da massa de um indivíduo adulto, em quilogramas, pelo quadrado da altura, medida em metros. É uma referência adotada pela Organização Mundial de Saúde para classificar um indivíduo adulto, com relação ao seu peso e altura, conforme a tabela a seguir.

imC Classificaçãoaté 18,4 Abaixo do peso

de 18,5 a 24,9 Peso normal

de 25,0 a 29,9 Sobrepeso

de 30,0 a 34,9 Obesidade grau 1

de 35,0 a 39,9 Obesidade grau 2

a partir de 40,0 Obesidade grau 3

26

Matemática comercial e financeira

Levando em conta esses dados, considere as seguin-tes afirmações:

I. Um indivíduo adulto de 1,70 m e 100 kg apresenta Obesidade Grau 1.

II. Uma das estratégias para diminuir a obesidade na população é aumentar a altura média de seus indivíduos por meio de atividades físicas orienta-das para adultos.

III. Uma nova classificação que considere obesos somente indivíduos com IMC maior que 40 pode diminuir os problemas de saúde pública.

Está correto o que se afirma somente em:

a) I b) II c) III d) I e II e) I e III

6. (UF-RS) Alguns especialistas recomendam que, para um acesso confortável aos bebedouros por parte de crianças e usuários de cadeiras de rodas, a borda desses equipamentos esteja a uma altura de 76,2 cm do piso, como indicado na figura a seguir.

Um bebedouro que tenha sido instalado a uma altura de 91,4 cm do piso à borda excedeu a altura recomendada. Dentre os percentuais a seguir, o que mais se aproxima do excesso em relação à altura recomendada é:

a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25%

7. (UF-RS) Entre julho de 1994 e julho de 2009, a infla-ção acumulada pela moeda brasileira, o real, foi de 244,15%. Em 1993, o Brasil teve a maior inflação anual de sua história.

A revista Veja de 08/07/2009 publicou uma matéria mostrando que, com uma inflação anual como a de 1993, o poder de compra de 2 000 reais se reduziria, em um ano, ao poder de compra de 77 reais.

Dos valores a seguir, o mais próximo do percentual que a inflação acumulada entre julho de 1994 e julho de 2009 representa em relação à inflação anual de 1993 é:

a) 5% b) 10% c) 11% d) 13% e) 15%

8. (UFF-RJ) O Índice de Liberdade Econômica (Index of Economic Freedom) é um indicador elaborado pelo The Wall Street Journal e The Heritage Foundation, que avalia o grau de liberdade econômica de um país. Esse índice varia de zero a cem. Quanto maior o seu valor, maior a “liberdade econômica” do país. Tal índice é uma média da liberdade econômica em dez âmbitos: negócios; comércio; liberdade fiscal; intervenção do governo; monetário; investimentos; financeiro; corrupção; trabalho; direitos de proprie-dade. A tabela a seguir fornece os índices de quatro países, no período de 2000 a 2009, e suas respectivas posições no ranking em 2009 (ano em que 179 países foram avaliados).

Posiçãoem 2009 País

Índice de Liberdade Econômica

2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000

1HongKong

90,0 89,7 89,9 88,6 89,5 90,0 89,8 89,4 89,9 89,5

6EstadosUnidos

80,7 81,0 81,2 81,2 79,9 78,7 78,2 78,4 79,1 76,4

105 Brasil 56,7 56,2 56,2 60,9 61,7 62,0 63,4 61,5 61,9 61,1

179Coreia

do Norte2,0 3,0 3,0 4,0 8,0 8,9 8,9 8,9 8,9 8,9

Fonte: http://www.heritage.org/Index/Explore.aspx? view=by-region-country-year

Com base nessa tabela, pode-se afirmar que o índice de liberdade econômica do Brasil:

a) teve um aumento superior a 1%, do ano de 2000 para o ano de 2001.

b) teve um decréscimo de 0,1%, no período de 2001 a 2004.

c) teve um aumento superior a 13%, do ano de 2003 para o ano de 2008.

d) teve um decréscimo de 30%, do ano de 2004 para o ano de 2005.

e) cresceu, ano a ano, no período de 2003 a 2008.

9. (FGV-SP) Um supermercado fez a seguinte oferta para a compra de determinada marca de suco de laranja em caixa de 1litro:

Expresse, em porcentagem, o desconto obtido por unidade em relação ao preço original, para quem comprar 8 sucos de laranja.

Compre 6 e lhe damos

2 a mais

R$ 3,60

Thin

ksto

ck/

Get

ty Im

ages

Fern

ando

Mon

teiro

27


10. (FGV-SP) O gráfico a seguir fornece o Índice da Bolsa de Valores de São Paulo (IBovespa) nos finais dos anos 2000 (ano 0), 2001 (ano 1) até 2008 (ano 8).

70 000

Índi

ce B

oves

pa

60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

00 1

15 259

13 577 11 268

22 236 26 196

33 455

44 473

37 550

63 886

2 3 4

Ano

5 6 7 8 9

Considerando o menor e o maior valor observados do índice, o aumento porcentual em relação ao menor valor foi de aproximadamente:

a) 170%

b) 270%

c) 370%

d) 470%

e) 570%

11. (UF-CE) Uma garrafa está cheia de uma mistura, na

qual 23

do conteúdo é composto pelo produto A e 13

pelo produto B. Uma segunda garrafa, com o

dobro da capacidade da primeira, está cheia de uma mistura dos mesmos produtos da primeira garrafa,

sendo agora 35

do conteúdo composto pelo produto

A e 25

pelo produto B. O conteúdo das duas garrafas

é derramado em uma terceira garrafa, com o triplo

da capacidade da primeira. Que fração do conteúdo da terceira garrafa corresponde ao produto A?

a) 1015

d) 1745

b) 515

e) 38

c) 2845

12. (PUC-RJ) Duas torneiras jogam água em um reserva-tório, uma na razão de 1 m³ por hora e a outra na razão de 1 m³ a cada 6 horas. Se o reservatório tem 14 m³, em quantas horas ele estará cheio?

a) 8 d) 14

b) 10 e) 16

c) 12

13. (Unicamp-SP) O valor presente, Vp, de uma parcela de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, é dado pela fórmula a seguir, em que r é o percen-tual mensal de juros (0 < r < 100) e p é o valor da parcela.

Vp 5 p

1 1 r

100n

a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mer-cadoria, Vp, supondo uma taxa de juros de 1% ao mês.

b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supon-do, novamente, que a taxa mensal de juros é igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, Vp, e o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à vista.

14. (UF-ES) Num país longínquo, a tributação sobre a venda de veículos novos é feita por meio de um imposto único de 8%, que incide sobre o valor de venda estipulado pelas concessionárias. O preço final de um veículo ao consumidor é o valor estipulado pelas concessionárias acrescido dos 8% de imposto, que as concessionárias então repassam ao governo.

Como as vendas vinham caindo muito, em decor-rência da crise mundial, o governo resolveu reduzir temporariamente esse imposto para 4%.

a) Determine a queda percentual no preço final de um veículo novo ao consumidor. Essa queda depende do preço de venda estipulado pelas concessionárias? Justifique a sua resposta.

b) A redução do imposto veio acompanhada de um acréscimo de 20% nas vendas, o que não impe-diu que o governo perdesse receita. Determine a queda percentual da receita do governo advinda do imposto sobre a venda de veículos novos.

c) Ao invés de reduzir o imposto para 4%, o governo poderia ter reduzido o imposto para x%. Admi-tindo que, com a redução do imposto para x%, houvesse um aumento de 5(8 − x)% nas vendas, o governo arrecadaria uma fração f(x) do que arrecadava antes. Determine f(x), 0 < x < 8, e esboce o gráfico de f.

28


15. (UF-TO) Uma TV de plasma com 20% de desconto é vendida por R$ 2 500,00. O preço da TV sem des-conto é:

a) R$ 3 125,00

b) R$ 3 000,00

c) R$ 2 800,00

d) R$ 3 100,00

e) R$ 3 500,00

16. (Unemat-MT) Sr. José, residente em um município do Estado de Mato Grosso, verificou na fatura da rede de energia que a alíquota de ICMS para o seu Estado é de 25%. Em determinado mês, a fatura de Sr. José acusou um total (consumo + ICMS) de R$ 199,00 a ser pago.

Assinale a alternativa correta.

a) Deste total, R$ 49,75 é referente ao ICMS.

b) Retirando-se a quantia cobrada como ICMS, Sr. José pagará o valor de R$ 149,25.

c) O valor a ser pago pelo Sr. José, sem o ICMS, representa 75% do total apresentado na fatura.

d) De acordo com a alíquota do Mato Grosso, do total apresentado na fatura de R$ 199,00, 25% são referentes ao ICMS.

e) No referido mês, Sr. José pagará a quantia de R$ 39,80, referente ao ICMS.

17. (PUC-PR) O senhor Rogério economiza dinheiro para seu futuro, faz isto guardando R$ 50,00 por mês em um cofre dentro de sua casa. O senhor Mauricio tam-bém economiza dinheiro para seu futuro e também guarda R$ 50,00 por mês, só que Mauricio guarda na poupança, que rende 0,5% ao mês. Rogério tem atualmente R$ 500,00 e Mauricio R$ 100,25.

Considerando que a situação descrita não sofrerá qualquer alteração, pode-se afirmar:

a) Mauricio nunca terá mais dinheiro que Rogério.

b) O dinheiro de Rogério aumenta em PG e o de Mauricio em PA.

c) Em cinco anos Mauricio terá mais dinheiro que Rogério.

d) Se Rogério, em vez de guardar R$ 50,00 por mês, passar a guardar R$ 51,00 por mês, Mauricio nunca terá mais dinheiro que Rogério.

e) Nenhuma das alternativas anteriores.

18. (UE-CE) Renato contratou um empréstimo de R$ 1 400,00, para pagar um mês depois, com juros de 15% ao mês. Ao final do mês, não podendo pagar o total, deu por conta apenas R$ 750,00 e, para o restante, firmou um novo contrato nas mesmas bases do anterior, o qual foi pago integralmente um mês depois. O valor do último pagamento foi:

a) R$ 889,00.

b) R$ 939,00.

c) R$ 989,00.

d) R$ 1 009,00.

19. (UE-CE) Quatro amigos fundaram uma empresa com capital inicial K. Um deles participou com a terça parte, outro com a sexta parte, o terceiro com 20% e o último com R$ 1 029 000,00. O valor de K situa-se entre:

a) R$ 3 000 000,00 e R$ 3 150 000,00.

b) R$ 3 100 000,00 e R$ 3 250 000,00.

c) R$ 3 200 000,00 e R$ 3 350 000,00.

d) R$ 3 300 000,00 e R$ 3 450 000,00.

20. (UE-RJ)

A definição apresentada pelo personagem não está correta, pois, de fato, duas grandezas são inversamente pro-porcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número.

Zira

ldo

29


Admita que a nota em matemática e a altura do personagem da tirinha sejam duas grandezas, x e y, inversamente proporcionais.

A relação entre x e y pode ser representada por:

a) y 5 3x2

c) y 5 2

x 1 1

b) y 5 5x

d) y 5 2x 1 4

3

21. (FGV-SP) Sandra fez uma aplicação financeira, com-prando um título público que lhe proporcionou, após um ano, um montante de R$ 10 000,00. A taxa de juros da aplicação foi de 10% ao ano. Podemos concluir que o juro auferido na aplicação foi:

a) R$ 1 000,00 d) R$ 909,09

b) R$ 1 009,09 e) R$ 800,00

c) R$ 900,00

22. (FGV-SP) Em uma escola, a razão entre o número de alunos e o de professores é de 50 para 1. Se houvesse mais 400 alunos e mais 16 professores, a razão entre o número de alunos e o de professores seria de 40 para 1.

Podemos concluir que o número de alunos da escola é:

a) 1 000 d) 1 150

b) 1 050 e) 1 200

c) 1 100

23. (Enem-MEC) Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Do-micílios.

010203040506070

Possuíam

Não possuíam Regiões brasileiras

Estudantes que possuem telefone móvel celular com idade de 10 anos ou mais

37 36

5662 5863 64

4438 42

Nor

te

Porc

enta

gem

(%)

Nor

dest

e

Sude

ste

Sul

Cen

tro-

Oes

te

Fonte: IBGE. Disponível em http://www.ibge.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).

Supondo-se que, no Sudeste, 14 900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam telefone móvel celular?

a) 5 513 d) 8 344

b) 6 556 e) 9 536

c) 7 450

24. (Enem-MEC) O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno de classificados.

26 mm

x mm

260 mm

400 mm

4%

outros jornais

96%

Pessoas que consultam nossos classificados

Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da área que aparece na divulgação, a medida do lado do retângulo que representa os 4% deve ser de aproximadamente:

a) 1 mm d) 160 mm

b) 10 mm e) 167 mm

c) 17 mm

25. (Enem-MEC) Uma empresa possui um sistema de controle de qualidade que classifica o seu desempenho financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são: insuficiente, quando o crescimento é menor que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor que 5%; bom, quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%; ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que 20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%. Essa empresa apresentou lucro de R$ 132 000,00 em 2008 e de R$ 145 000,00 em 2009.

De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado:

a) insuficiente d) ótimo

b) regular e) excelente

c) bom

26. (Enem-MEC) Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%.

30


Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de:

a) 16% d) 48%

b) 24% e) 64%

c) 32%

27. (UF-PR) O gráfico abaixo representa a velocidade de um veículo durante um passeio de três horas, iniciado às 13h00.

35

40

45

50

55

60

65

13h00 14h00 15h00 16h00

tempo

Velo

cida

de (k

m/h

)

De acordo com o gráfico, o percentual de tempo nes-se passeio em que o veículo esteve a uma velocidade igual ou superior a 50 quilômetros por hora foi de:

a) 20% d) 45%

b) 25% e) 50%

c) 30%

28. (UE-GO) A fazenda do João da Rosa produz, em média, 80 litros de leite por dia. Desse leite, 65% são utilizados na fabricação de queijos que são vendidos a R$ 7,50 o quilo, e o restante é vendido no laticínio da cidade a R$ 0,75 o litro. Se, a cada 8 litros de leite, João fabrica 1 quilo de queijo, a arrecadação mensal de João da Rosa com a venda dos queijos e do leite será

a) menor que 1 946 reais.

b) maior que 2 200 e menor que 2 275 reais.

c) maior que 1 987 e menor que 2 000 reais.

d) maior que 1 950 e menor que 2 170 reais.

29. (UE-GO) Uma pequena empresa foi aberta em socie-dade por duas pessoas. O capital inicial aplicado por elas foi de 30 mil reais. Os sócios combinaram que os lucros ou prejuízos que eventualmente viessem a ocorrer seriam divididos em partes proporcionais aos capitais por eles empregados. No momento da apuração dos resultados, verificaram que a empre-sa apresentou lucro de 5 mil reais. A partir dessa constatação, um dos sócios retirou 14 mil reais, que correspondia à parte do lucro devida a ele e ainda o total do capital por ele empregado na abertura da

empresa. Determine o capital que cada sócio empre-gou na abertura da empresa.

30. (UF-PI) Aumentar o preço de um produto em 15% e, em seguida, conceder um desconto de 10% equivale a

a) permanecer com o preço original.

b) ter um prejuízo de 1% em relação ao preço original.

c) ter um ganho de 3,5% em relação ao preço ori-ginal.

d) ter um prejuízo de 5% em relação ao preço original.

e) ter um ganho de 7% em relação ao preço original.

31. (UF-AL) Dois eletrodomésticos foram comprados por um total de R$ 3 500,00. Se um desconto de 10% fosse dado no preço do primeiro eletrodoméstico e um desconto de 8% fosse dado no preço do segundo, o preço total dos eletrodomésticos seria de R$ 3 170,00. Quanto se pagou pelo primeiro eletrodoméstico?

a) R$ 2 400,00 d) R$ 2 650,00

b) R$ 2 500,00 e) R$ 2 700,00

c) R$ 2 600,00

32. (UF-GO) Um pecuarista deseja fazer 200 kg de ração com 22% de proteína, utilizando milho triturado, farelo de algodão e farelo de soja. Admitindo-se que o teor de proteína do milho seja 10%, do farelo de algodão seja 28% e do farelo de soja seja 44%, e que o produtor disponha de 120 kg de milho, calcule as quantidades de farelo de soja e farelo de algodão que ele deve adicionar ao milho para obter essa ração.

33. (UF-GO) Segundo uma reportagem publicada na Folha on-line (31/08/2009), a chamada camada pré-sal é uma faixa que se estende, abaixo do leito do mar, ao longo dos estados de Espírito Santo e Santa Catarina e engloba três bacias sedimentares. O petró-leo encontrado nessa área está a profundidades que superam os 7 000 m, abaixo de uma extensa camada de sal, e sua extração colocaria o Brasil entre os dez maiores produtores do mundo.

Para extrair petróleo da camada pré-sal, a Petrobras já perfurou poços de petróleo a uma profundidade de 7 000 m, o que representa um aumento de 582% em relação à profundidade máxima dos poços per-furados em 1994.

De acordo com essas informações, calcule a profun-didade máxima de um poço de petróleo perfurado pela Petrobras, no ano de 1994.

31


34. (UE-PI) Maria comprou uma blusa e uma saia em uma promoção. Ao término da promoção, o preço da blusa aumentou de 30%, e o da saia de 20%. Se comprasse as duas peças pelo novo preço, pagaria no total 24% a mais. Quanto mais caro foi o preço da saia em relação ao preço da blusa?

a) 42% d) 48%

b) 44% e) 50%

c) 46%

35. (UF-MG) Um banco oferece dois planos para paga-mento de um empréstimo de R$ 10 000,00, em pres-tações mensais iguais e com a mesma taxa mensal de juros:

• no Plano 1, o período é de 12 meses; e

• no Plano 2, o período é de 24 meses.Contudo a prestação de um desses planos é 80% maior que a prestação do outro.

1. Considerando essas informações, DETERMINE em qual dos dois planos – Plano 1 ou Plano 2 – o valor da prestação é maior.

2. Suponha que R$ 10 000,00 são investidos a uma taxa de capitalização mensal igual à taxa mensal de juros oferecida pelo mesmo banco.

CALCULE o saldo da aplicação desse valor ao final de 12 meses.

36. (UF-PA) A tabela abaixo fornece os dados sobre a produção de alumínio primário no Brasil, importante componente da produção industrial do Estado do Pará, e apresenta, além disso, a porcentagem da produção exportada.

Ano Quantidade de alumínio (mil ton)

Exportação (%)

1973 111 700 1

1978 186 365 2,1

1983 400 744 44,5

1989 887 432 61,5

2000 1 271 400 71,4

2004 1 457 000 71,3

Alguns críticos destacam a importância da produ-ção de alumínio primário na exportação de energia elétrica, devido ao grande consumo dessa forma de energia na produção industrial. Considerando que o consumo de energia dependa linearmente da quantidade de alumínio produzida, podemos afirmar que, comparando os anos de 1983 e 2004, o crescimento da quantidade exportada de energia

elétrica presente na produção de alumínio primário foi de aproximadamente:

a) 60% d) 363%

b) 263% e) 160%

c) 482%

37. (Uneb-BA) Uma empresa produz e comercializa um determinado equipamento K. Desejando-se aumentar em 40% seu faturamento com as vendas de K, a pro-dução desse equipamento deve aumentar em 30% e o preço do produto também deve sofrer um reajuste.

Para que a meta seja atingida, estima-se um reajuste mínimo aproximado de

a) 5,6% d) 8,6%

b) 6,3% e) 9,8%

c) 7,7%

38. (UE-PI) O salário bruto mensal de um vendedor é com-posto de uma parcela fixa de R$ 600,00, adicionada a 5% do total de suas vendas que exceder R$ 1 000,00. Em determinado mês, o vendedor recebeu de salário líquido um total de R$ 1 080,00. Se o total de descon-tos que incidem sobre seu salário bruto é de 10%, qual foi o seu total de vendas naquele mês?

a) R$ 11 000,00 d) R$ 14 000,00

b) R$ 12 000,00 e) R$ 15 000,00

c) R$ 13 000,00

39. (UF-SE) Um comerciante vende artigos nordestinos. No início deste ano ele comprou 100 redes ao preço

unitário de X reais. Até o final de junho vendeu 35

do total delas, com lucro de 40% sobre o preço da compra. Como desejava renovar o estoque, fez uma liquidação em agosto e alcançou seu intento: vendeu todas as que haviam sobrado. Entretanto, nessa se-gunda venda, teve um prejuízo de 10% em relação ao valor pago por elas. O total arrecadado com as vendas das 100 redes foi R$ 3 600,00.

Use o texto acima para analisar as afirmações abaixo.

a) X 5 30

b) O valor arrecadado com a venda das redes no primeiro semestre foi R$ 2 650,00.

c) O valor arrecadado com a venda das redes em agosto foi R$ 1 080,00.

d) Com a venda de todas as redes, ele teve um lucro de R$ 750,00.

e) Com a venda de todas as redes, ele teve um pre-juízo de R$ 150,00.


32

respostas 1. a

2. c

3. e

4. a) No ano de 2032.

b) Redução de 1,83% no número de habitantes.

5. a

6. d

7. b

8. a

9. 25%

10. d

11. e

12. c

13. a) 398,02

b) 1,5%

14. a) 3,7%

b) 40%

c) f(x) 5 x(28 2 x)

160O gráfico é uma parábola, com a , 0 e raízes 0 e 28.

15. a

16. e

17. c

18. c

matemática comercial e financeira

19. d

20. b

21. d

22. e

23. d

24. d

25. c

26. b

27. e

28. d

29. R$ 12 000,00 e R$ 18 000,00

30. c

31. b

32. 20 kg de farelo de algodão e 60 kg de farelo de soja.

33. 1 026,4 m, aproximadamente.

34. e

35. 1) Plano 1

2) R$ 12 500,00

36. c

37. c

38. c

39. São verdadeiras: a, c.


33

Trigonometria

1. (FGV-SP) O número de soluções da equação:

1 1 sen x 2 2 ? |cos 2x| 5 0,

com 0 < x , 2p, é:

a) 8 d) 5

b) 7 e) 4

c) 6

2. (UFU-MG) O valor de tg 10°(sec 5° 1 cossec 5°) ?

? (cos 5° 2 sen 5°) é igual a:

a) 2

b) 12

c) 1

d) 0

3. (PUC-SP) Leia com atenção o problema proposto a

Calvin na tira seguinte.

Calvin Hobbes, Bill Watterson © 1987 Watterson / Dist. by Universal Uclic

Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um

triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60°, então

a resposta correta que Calvin deveria encontrar para

o problema é, em centímetros:

a) (5√ 3 )3

d) 5√ 3

b) (8√ 3 )3

e) 10√ 3

c) (10√ 3 )3

4. (FGV-SP) O valor de cos 72° 2 cos2 36° é idêntico ao de:

a) cos 36° d) 2sen2 36°

b) 2cos2 36° e) sen2 36°

c) cos2 36°

5. (UF-PB) Considere a função f: [0, 2p] → , definida por:

y 5 f(x) 5 12

? [sen x 1 cos x 2 sen (2x) 2 cos (2x)]

O gráfico que melhor representa essa função é:

a) 1

y

x

21

0 p 2p

12

p2 3p

2

2 12

b) 1

y

x

21

0 p 2p

p2

3p2

c) 1

y

x

21

0 2p

d) 1

y

x

21

0 p 2p

12 p

23p22

12

e) 1

y

x

21

0 p 2pp2

3p2

34

Trigonometria

6. (UFSM-RS) Em determinada cidade, a concentração

diária, em gramas, de partículas de fósforo na atmos-

fera é medida pela função C(t) 5 3 1 2 sen pt6

,

em que t é a quantidade de horas para fazer essa

medição.

O tempo mínimo necessário para fazer uma medição

que registrou 4 gramas de fósforo é de:

a) 12

hora

b) 1 hora

c) 2 horas

d) 3 horas

e) 4 horas

7. (Mackenzie-SP) Na figura, tg é igual a:

2,0 cm

0,5 cm

10,0 cm

a) 1681

d) 23

b) 827

e) 14

c) 1963

8. (UEL-PR) Se cos (2x) 5 13

, onde x (0, p), então o

valor de y 5 [sen (3x) 2 sen (x)]

cos (2x) é:

a) 21 d) (2√ 3 )3

b) (√ 3 )3

e) 1

c) 3

√ 3

9. (UF-SC) Na figura a seguir determine a medida do

segmento AB, em cm, sabendo que sen a 5 0,6.

Aa

C

a

100 cm

B

10. (Fatec-SP) Da trigonometria sabe-se que quaisquer que sejam os números reais p e q,

sen p 1 sen q 5 2 ? sen p 1 q

2 ? cos

p 2 q2

.

Logo, a expressão cos x ? sen 9x é idêntica a:

a) sen 10x 1 sen 8x

b) 2 ? (sen 6x 1 sen 2x)

c) 2 ? (sen 10x 1 sen 8x)

d) 12

? (sen 6x 1 sen 2x)

e) 12

? (sen 10x 1 sen 8x)

11. (UF-RS) As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais a 2, 2 e 1. Os cossenos de seus ângulos internos são, portanto:

a) 18

, 18

, 12

d) 12

, 12

, 14

b) 14

, 14

, 18

e) 12

, 12

, 78

c) 14

, 14

, 78

12. (PUC-RS) Para representar os harmônicos emitidos pelos sons dos instrumentos da orquestra, usam-se funções trigonométricas.

A expressão 2 sen2 x 1 2 cos2 x 2 5 envolve estas

funções e, para p , x , 3p2

, seu valor é de:

a) 27 d) 2p 2 5

b) 23 e) 3p 2 5

c) 21

13. (UE-MG) Na figura a seguir, um fazendeiro F dista 600 m da base da montanha (ponto B). A medida do ângulo AFB é igual a 30º.

A

(F)

B

Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro encontrou a medida correspondente a:

a) 200√ 3

b) 100√ 2

c) 150√ 3

d) 250√ 2

Fern

ando

Mon

teiro

35


a) 308,55

b) 309,05

c) 309,55

d) 310,05

e) 310,55

18. (Enem-MEC) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r qui-lômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectiva-mente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por:

r(t) 5 5 865

1 1 0,15 ? cos (0,06t)

Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S.

O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de:

a) 12 765 km

b) 12 000 km

c) 11 730 km

d) 10 965 km

e) 5 865 km

19. (Fuvest-SP) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB, N

é o ponto médio de BC e MN 5 144

. Então, DM é

igual a:

D

A

C

BM

N

a) √ 24

b) √ 22

c) √ 2

d) 3√ 2

2

e) 5√ 2

2

14. (Unemat-MT) Na figura abaixo, o triângulo ABC é um triângulo equilátero de 3 cm de lado, e o triângulo retângulo BCD tem lados BD 5 4 cm e CD 5 5 cm e CBD 5 900.

A

C

DB

Qual a medida do segmento AD?

a) √ 3

b) 4√ 3

c) √ 100 1 √ 3

d) √ 25 1 12√ 3

e) 2√ 3

15. (ESPM-SP) Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de altura em relação ao chão avista o topo de um edifício segundo um ângulo de 30° com a horizontal. Percor-rendo 80 m no sentido de aproximação do edifício, esse ângulo passa a medir 60°. Usando o valor 1,73 para a raiz quadrada de 3, podemos concluir que a altura desse edifício é de aproximadamente:

a) 59 m

b) 62 m

c) 65 m

d) 69 m

e) 71 m

16. (UE-CE) O número de soluções da equação 3 sen2 x 2 3 ? |sen x| 1 cos2 x 5 0 que estão no intervalo [0, 2p] é:

a) 2

b) 8

c) 4

d) 6

17. (FGV-SP) A previsão de vendas mensais de uma empresa para 2011, em toneladas de um produto,

é dada por f(x) 5 100 1 0,5x 1 3 sen px6

, em que

x 5 1 corresponde a janeiro de 2011, x 5 2 corres-

ponde a fevereiro de 2011 e assim por diante.

A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 2011 é:

(Use a aproximação decimal √ 3 5 1,7.)

36

Trigonometria

20. (Mackenzie-SP) Considerando o esboço do gráfico da

função f(x) 5 cos x, entre 0 e 2p, a reta que passa

pelos pontos P e Q define com os eixos coordenados

um triângulo de área:

y

x

P

Q0 1 2 3 4 5 6

a) p2

d) p8

b) p4

e) p6

c) p

21. (Fuvest-SP) A figura representa um quadrado ABCD

de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede √ 54

, o

ponto E está em CD e AF é bissetriz do ângulo BÂE.

Nessas condições, o segmento DE mede:

A B

F

CED

a) 3√ 540

d) 11√ 5

40

b) 7√ 540

e) 13√ 5

40

c) 9√ 540

22. (UFF-RJ) Nos itens a seguir, arccos denota a função

inversa da função cosseno restrita ao intervalo [0, p]

e arctg denota a função inversa da função tangente

restrita ao intervalo 2 p2

, p2

.

a) Calcule arccos cos p5

.

b) Calcule sen (arctg (21)).

c) Verifique que sen (arccos (x)) 5 √ 1 2 x2 para todo

x [21,1].

23. (UF-BA) Dadas as funções reais:

f(x) 5 sen x, 0 < x ,

p2

1 1 cos x, p2

< x < p 1 2 e

g(x) 5

f x 1 p2

, 2 p2

< x , 0

1 1 f x 1 p2

, 0 < x < p2

determine x, pertencente ao intervalo 0, p2

tal que

[f(x)]2 1 g(x) 2 74

5 0.

24. (UE-RJ) Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano.

O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do centro A.

Considere que:

• o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas;

• à medida que o disco gira, o pistão move-se ver-ticalmente para cima ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo BÂC.

Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela seguinte equação:

a) y 5 4 1 sen (x)

b) y 5 4 1 cos (x)

c) y 5 sen (x) 1 √ 16 2 cos2 (x)

d) y 5 cos (x) 1 √ 16 2 sen2 (x)

25. (UE-GO) No ciclo trigonométrico, as funções seno e cosseno são definidas para todos os números reais.

Fern

ando

Mon

teiro

37


Em relação às imagens dessas funções, é correto afirmar:

a) sen (7) . 0

b) sen (8) , 0

c) (cos (√ 5 ) . 0)d) (cos (√ 5 ) . sen (8))

26. (UF-RN) Marés são movimentos periódicos de re-baixamento e elevação de grandes massas de água formadas pelos oceanos, mares e lagos. Em determi-nada cidade litorânea, a altura da maré é dada pela

função h(t) 5 3 1 0,2 cos p6

? t , onde t é medido

em horas a partir da meia-noite.

Um turista contratou um passeio de carro pela orla dessa cidade e, para tanto, precisa conhecer o mo-vimento das marés.

Desse modo,

a) qual a altura máxima atingida pela maré?

b) em quais horários isto ocorre no período de um dia?

27. (UF-AL) De um ponto A, situado no mesmo nível da base de uma torre, o ângulo de elevação do topo da torre é de 20°. De um ponto B, situado na mesma vertical de A e 5 m acima, o ângulo de elevação do topo da torre é de 18°. Qual a altura da torre? Dados: use as aproximações tg 20° 0,36 e tg 18° 0,32.

a) 42 m d) 45 m

b) 43 m e) 46 m

c) 44 m

28. (UF-AL) Quantas soluções a equação trigonométrica

sen4 x 2 cos4 x 5 12

admite no intervalo fechado com

extremos 0 e 35p?

a) 66 d) 72

b) 68 e) 74

c) 70

29. (UF-PI) Seja a um número real satisfazendo

0 , a , p2

e tan a

2 5 √ 2. É correto afirmar que:

a) cos a 1 sen a 5 1 2 2√ 2

3b) sec a 5 3

c) cossec a é um número racional

d) sen a 5 1

e) sen a cos a 5 1

30. (UF-GO) Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da figura abaixo.

T A

S

P

R

Q

A empresa pretende colocar uma torre de comunica-ção, localizada no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipa-mentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3 000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono.

31. (UE-PB) Dados tg x 5 22 e x um arco do 2º quadrante, o valor de sec x 1 cossec x é:

a) 2√ 5 d) √ 52

b) 2 √ 54

e) √ 5

c) 2 √ 52

32. (UF-PB) Em determinado trecho do oceano, durante um período de vinte e quatro horas, a altura H das ondas, medida em metros, variou de acordo com a

Fern

ando

Mon

teiro

38

Trigonometria

expressão H(t) 5 2 1 32

sen pt12

, onde t . 0 é

o tempo, dado em horas. A altura das ondas nesse trecho não ultrapassou 2,75 m no horário da(s):

a) 0h às 2h e das 10h às 24h

b) 1h às 3h e das 9h às 23h

c) 2h às 3h e das 8h às 20h

d) 3h às 5h e das 7h às 20h

e) 4h às 5h e das 6h às 20h

33. (UF-PE) Considere a função f, com domínio e con-tradomínio o conjunto dos números reais, dada por f(x) 5 √ 3 cos x 2 sen x, que tem parte de seu gráfico esboçado a seguir.

Analise a veracidade das afirmações seguintes acerca de f:

a) f(x) 5 2 ? sen x 1 p6

, para todo x real.

b) f é periódica com período 2p.

c) As raízes de f(x) são 2 p6

1 2 kp, com k inteiro.

d) f(x) > 2√ 3, para todo x real.

e) f(x) < 2, para todo x real.

34. (UE-PI) Do topo de uma montanha se avistam os pontos A e B de uma planície. As linhas de visão do topo aos pontos A e B formam entre si um ângulo de 30°. A linha de visão do topo com o ponto A tem inclinação de 30°, em relação à horizontal. Se AB 5 2√ 3 km, qual a altura da montanha?

30°

30°A B

a) 2,8 km

b) 2,9 km

c) 3,0 km

d) 3,1 km

e) 3,2 km

35. (UF-PE) Na ilustração abaixo, temos dois retângulos

congruentes com base medindo 12 cm, e altura 5 cm.

Qual o inteiro mais próximo da distância, em cm, do

ponto A até a horizontal? Dado: use a aproximação

√ 3 1,73.

30°

A

36. (UF-AM) O alcance máximo no lançamento oblíquo

de um corpo é dado pela expressão A 5 v2

0 sen θg

,

onde v0 e g denotam respectivamente a velocidade

inicial de lançamento do corpo e a aceleração da

gravidade. Um jogador de golfe lança uma bola com

velocidade inicial v0 5 √ 10 m/s obtendo um alcance

máximo de √ 2 2 cos θ metros.

Considerando que θ é um ângulo do 1º quadrante, e

a aceleração da gravidade igual a 10 m/s², o ângulo

de lançamento θ é:

a) p2

b) p3

c) p4

d) p6

e) p8

Fern

ando

Mon

teiro

39


37. (UF-AM) O Big Ben, ao contrário do que muitos pen-sam, não é o famoso relógio do Parlamento Inglês, nem tampouco sua torre. É o nome do sino, que pesa 13 toneladas.

http://emundo.files.wordpress.com/2009/01/big-ben2.jpg Acesso em: 21 out. 2009.

O nome do relógio é Tower Clock, e é muito conhe-cido pela sua precisão e tamanho. O ponteiro dos minutos mede 3,4 m (medindo do centro do relógio até a extremidade do ponteiro).

Ao se deslocar 42 minutos, a distância percorrida pela extremidade do ponteiro dos minutos deste relógio é aproximadamente (considere p 5 3,14):

a) 11 m

b) 12 m

c) 15 m

d) 19 m

e) 21 m

38. (UE-PI) Se os lados de um triângulo medem a, b e

√ a2 1 ab 1 b2 , quanto mede o maior ângulo do

triângulo?

a) 30°

b) 45°

c) 60°

d) 90°

e) 120°

39. (Uneb-BA) Se arcsen x 5 p3

, então cos (2 arcsen x)

é igual a:

a) 1 2 √ 3

4

b) 2 12

c) 1 2 √ 3

d) 0

e) 1

40. (UPE-PE) Um relógio de ponteiros (apenas com pon-

teiro para hora e ponteiro para minuto) foi acertado,

exatamente, às 3h. Se o ponteiro menor (das horas)

tiver percorrido um ângulo de 2p5

radianos com

relação a sua posição inicial, qual a hora que estará

indicada pelo relógio, assumindo que a cada hora o

ponteiro maior (dos minutos) percorre um ciclo com-

pleto e que tanto o movimento do ponteiro menor

quanto do ponteiro maior ocorre continuamente com

o passar do tempo?

a) 6 horas e 24 minutos.

b) 5 horas e 30 minutos.

c) 3 horas e 12 minutos.

d) 5 horas e 12 minutos.

e) 5 horas e 24 minutos.

41. (UF-RN) A figura abaixo representa uma torre de

altura H equilibrada por dois cabos de comprimentos

L1 e L2, fixados nos pontos C e D, respectivamente.

30°60°

A

BDC

HL1 L2

Entre os pontos B e C passa um rio, dificultando a

medição das distâncias entre esses pontos. Apenas

com as medidas dos ângulos C e D e a distância entre

B e D, um engenheiro calculou a quantidade de cabo

(L1 1 L2) que usou para fixar a torre.

O valor encontrado, usando √ 3 5 1,73 e BD 5 10 m, é

a) 54,6 m. c) 62,5 m.

b) 44,8 m. d) 48,6 m.

Thin

ksto

ck/G

etty

Imag

es

Trigonometria

40

respostas 1. b

2. a

3. c

4. d

5. e

6. b

7. a

8. d

9. 96 cm

10. e

11. c

12. b

13. a

14. d

15. e

16. d

17. d

18. b

19. b

20. b

21. d

22. a) arccos cos p5

5 p5

b) sen (arctg(21)) 5 sen 2 p4

5 2√ 22

c) Use a relação: sen2 a 1 cos2 a 5 1

Trigonometria

23. x 5 p6

24. d

25. a

26. a) 3,2

b) 0h e 12h

27. d

28. c

29. b

30. 1 000 √ 3 m

31. c

32. a

33. a) F

b) V

c) F

d) F

e) V

34. c

35. 10

36. c

37. c

38. e

39. b

40. e

41. a


41

1. (Ufla-MG) O determinante da matriz

A 5

sen x cos2 x cos x

cos x 0 2sen xsen x 2sen2 x cos x

é:

a) 21

b) 1

c) 0

d) sen 2x

2. (Fatec-SP) Sobre o sistema linear, nas incógnitas x, y e z,

S

x 1 2y 1 3z 5 12x 1 y 2 z 5 m3x 1 ky 1 2z 5 4

em que k e m são constantes reais, pode-se afir-mar que:

a) não admite solução se k 5 4.

b) admite infinitas soluções se k 5 m 5 3.

c) admite infinitas soluções se k 5 3 e m 5 5.

d) admite solução única se k 5 3 e m é qualquer real.

e) admite solução única se k 5 e m 5 3.

3. (Udesc-SC) Dada a matriz A (figura 1).

Seja a matriz B tal que A21BA 5 D, onde a matriz D (figura 2), então o determinante de B é igual a:

Figura 1

A 5 1 2

1 21

Figura 2

D 5 2 1

21 2

a) 3

b) 25

c) 2

d) 5

e) 23

4. (U.E. Londrina-PR) Se o determinante da matriz

A 5

x 2 1

1 21 12x 21 3

matrizes, determinantes e sistemas lineares

é nulo, então:

a) x 5 23

b) x 5 2 74

c) x 5 21

d) x 5 0

e) x 5 74

5. (Mackenzie-SP) Considerando 0 , x , 3p2

, o número

de soluções da equação

detlog(tg(x)) log(cotg(x))

5 0 é:1 1

a) 2

b) 3

c) 0

d) 1

e) 4

6. (Mackenzie-SP) Dadas as matrizes A 5 (aij)3 3 3 tal que

aij 5 10, se i 5 jaij 5 0, se i j

e B 5 (bij)3 3 3 tal que

bij 5 3, se i 5 jbij 5 0, se i j

, o valor de det(AB) é:

a) 27 3 103

b) 9 3 103

c) 27 3 102

d) 32 3 102

e) 27 3 104

7. (FGV-SP) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e

y:

x 1 3y 5 m2x 2 py 5 2

,

será impossível quando:

a) Nunca

b) p 26 e m 5 1

c) p 26 e m 1

d) p 5 26 e m 5 1

e) p 5 26 e m 1

42

Matrizes, determinantes e sistemas lineares

8. (PUC-RJ) Maria comprou duas bicicletas por um total de R$ 670,00. Vendeu uma das bicicletas com lucro de 10% e a outra com prejuízo de 5%. No total, ela ganhou R$ 7,00. Quais foram os preços de compra?

a) R$ 370,00 e R$ 300,00

b) R$ 270,00 e R$ 400,00

c) R$ 277,00 e R$ 400,00

d) R$ 200,00 e R$ 470,00

e) R$ 377,00 e R$ 293,00

9. (UF-CE) Os inteiros não todos nulos m, n, p, q são tais que 45m ? 60n ? 75p ? 90q 5 1.

Pede-se:

a) dar exemplo de um tal quaterno (m, n, p, q).

b) encontrar todos os quaternos (m, n, p, q) como acima, tais que m 1 n 1 p 1 q 5 8.

10. (CP2-MEC-RJ) Para comemorar o seu aniversário de 15 anos, Marcela convidou alguns amigos para uma festa em sua casa e comprou certa quantidade de brindes para distribuir entre seus convidados.

Planejou que cada um dos seus amigos ganharia três brindes e ainda restariam dois para guardar de reser-va. Porém, no dia da festa, seis amigos não puderam comparecer. Dessa forma, Marcela preferiu dar, para cada convidado, um brinde a mais do que o previsto, não lhe restando, assim, mais nenhum.

a) Represente a situação descrita no texto acima através de um sistema de equações.

b) Resolva o sistema de equações obtido no item (a) e diga quantos amigos compareceram à festa de Marcela.

11. (UF-PR) Considere a função f definida pela expressão:

cos (2x) sen x 0

f(x) 5 det cos x12

0

1 0 2

a) Calcule f(0) e f 5 p4

.

b) Para quais valores de x se tem f(x) 5 0?

12. (Unicamp-SP) Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 kg de açúcar e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido.

Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar e 6 kg de farinha, responda às questões a seguir.

a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta.

b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe?

13. (UF-ES) Vicente, que tem o hábito de fazer o controle do consumo de combustível de seu carro, observou que, com 33 L de gasolina, ele pode rodar 95 km na cidade mais 276 km na estrada e que, com 42 L de gasolina, ele pode rodar 190 km na cidade mais 264 km na estrada.

a) Calcule quantos quilômetros Vicente pode rodar na cidade com 1L de gasolina.

b) Sabendo que Vicente viajou 143,5 km com 13 L de gasolina, determine o comprimento do seu trajeto na estrada e o comprimento do seu trajeto na cidade.

14. (PUC-PR) Considere as seguintes desigualdades:

I. 2 2

.3 4

21 4 1 5

II.3 26

. 4 7

5 22 21 5

III. 8 1

. 9 2

22 26 21 27

É correto afirmar que:

a) São verdadeiras apenas as desigualdades I e II.

b) São verdadeiras apenas as desigualdades II e III.

c) São verdadeiras apenas as desigualdades I e III.

d) As três desigualdades são verdadeiras.

e) As três desigualdades são falsas.

15. (UE-CE) Se x, y e z constituem a solução do sistema linear

x 1 y 1 z 5 1x 1 2y 2 3z 5 22x 1 4y 1 5z 5 24

então o produto x ? y ? z é igual a:

a) 24 c) 22

b) 28 d) 26

43


a)

0 0 1

1 0 00 1 0

d)

0 0 1

0 1 01 0 0

b)

1 0 0

0 0 10 1 0

e)

1 0 0

0 1 00 0 1

c)

0 1 0

1 0 00 0 1

19. (Fuvest-SP) Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o valor de n é igual a:

a) 13

b) 14

c) 15

d) 16

e) 17

20. (UF-RN) Matilda saiu de casa para fazer compras. Passou em um supermercado e numa farmácia, gastando um total de R$ 110,00.

Se suas despesas no supermercado foram superiores às despesas na farmácia em R$ 94,00, quanto ela gastou em cada estabelecimento?

21. (UF-AL) Três ligas metálicas têm as constituições seguintes:

– a primeira é formada por 20 gramas de ouro, 30 gramas de prata e 40 gramas de bronze;

– a segunda é formada por 30 gramas de ouro, 40 gramas de prata e 50 gramas de bronze;

– a terceira liga é formada por 40 gramas de ouro, 50 gramas de prata e 90 gramas de bronze.

As três ligas devem ser combinadas para compor uma nova liga contendo 37 gramas de ouro, 49 gramas de prata e 76 gramas de bronze. Quanto será utilizado da terceira liga?

a) 0,3 gramas

b) 0,4 gramas

c) 0,5 gramas

d) 0,6 gramas

e) 0,7 gramas

16. (UE-CE) Se n é um número inteiro positivo e X é a

matriz

1 0 0

1 2 01 1 3

, então o valor do determinante da

matriz Y 5 Xn é:

a) 2n c) 6n

b) 3n d) 9n

17. (FGV-SP) O sistema linear nas incógnitas x, y e z

x 2 y 5 10 1 zy 2 z 5 5 2 xz 1 x 5 7 1 y

pode ser escrito na forma matricial AX 5 B , em que:

X 5

x

yz

e B 5

10

57

Nessas condições, o determinante da matriz A é igual a:

a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

18. (UFF-RJ) A transmissão de mensagens codificadas em tempos de conflitos militares é crucial. Um dos métodos de criptografia mais antigos consiste em permutar os símbolos das mensagens. Se os símbolos são números, uma permutação pode ser efetuada usando-se multiplicações por matrizes de permuta-ção, que são matrizes quadradas que satisfazem as seguintes condições:

Cada coluna possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a zero;cada linha possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a zero.

Por exemplo, a matriz M 5

0 1 0

0 0 11 0 0

permuta os

elementos da matriz coluna Q 5

a

bc

,

transformando-a na matriz P 5

b

ca

, pois P 5 M ? Q.

Pode-se afirmar que a matriz que permuta

a

bc

,

transformando-a em

c

ab

, é:

44

Matrizes, determinantes e sistemas lineares

22. (UF-PB) Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C), são usados dois tipos de botão: grandes (G) e pequenos (P). O número de botões, por modelo, está indicado na tabela a seguir.

modelo

botão A B C

P 3 1 5

G 6 5 5

O número de cada modelo de camisas confecciona-das, nos meses de julho e agosto, está indicado na tabela a seguir.

meses

camisas julho agosto

A 100 50

B 50 100

C 50 50

De acordo com esses dados, o número total de botões usados na confecção dessas camisas, nesses dois meses, foi:

a) 3 250

b) 5 000

c) 2 850

d) 4 200

e) 2 550

23. (UF-AM) Seja A uma matriz quadrada de ordem n, tal que det A 5 k, com k 0. Sendo A21 a matriz inversa de A, o valor do det A21 é:

a) 2k

b) 3k

c) k3

d) k2

e) 1k

24. (UF-GO) Uma agência de turismo vende pacotes fa-miliares de passeios turísticos, cobrando para crianças

o equivalente a 23

do valor para adultos. Uma família

de cinco pessoas, sendo três adultos e duas crianças, comprou um pacote turístico e pagou o valor total de R$ 8 125,00.

Com base nessas informações, calcule o valor que a agência cobrou de um adulto e de uma criança para realizar esse passeio.

25. (UF-PE) Uma fábrica de automóveis utiliza três tipos de aço, A1, A2 e A3 na construção de três tipos de carros, C1, C2 e C3. A quantidade dos três tipos de aço, em toneladas, usados na confecção dos três tipos de carro, está na tabela a seguir:

C1 C2 C3

A1 2 3 4

A2 1 1 2

A3 3 2 1

Se foram utilizadas 26 toneladas de aço do tipo A1, 11 toneladas do tipo A2 e 19 toneladas do tipo A3, qual o total de carros construídos (dos tipos C1, C2 ou C3)?

26. (UE-PB) Se os dois sistemas lineares

2x 2 y 5 0 x 1 y 5 3

e

mx 1 ny 5 21mx 2 ny 5 1

são equivalentes, os valores de m

e n são, respectivamente:

a) 12

e 21

b) 0 e 12

c) 12

e 1

d) 0 e 2 12

e) 1 e 22

27. (UF-SE) Considere as matrizes A 5 21 2

0 1,

B 5 1 0

2 21 e C 5

a b

c d, com a, b, c, d reais,

para analisar as afirmações abaixo.

a) A 1 B 5 0 2

2 0

b) Se A 2 B2

5 C, então ba 5√ 2.

c) Se At é a matriz transposta de A, então det At 5 21.

d) Se C é a matriz inversa de B, então a ? d 5 1.

e) Se A ? C 5 B, então C 5 3 2

2 1.


45

respostas 1. a

2. b

3. d

4. e

5. a

6. a

7. e

8. b

9. a) n 5 3, m 5 5, p 5 21 e q 5 26, por exemplo.

b) m 5 40, n 5 24, p 5 28 e q 5 248.

10. a) Sejam: x o número de amigos e y o número de brindes, temos:

y 5 3x 1 2y 5 4(x 2 6)

b) O número de amigos que compareceram à festa é 20.

11. a) 1; 21

b) S 5x | x 5

p8

1 k p2

, com k Z

12. a) Não, pois faltará farinha.

b) 22,5 kg do tipo A e 5 kg do tipo B.

13. a) 9,5 km na cidade e 12 km na estrada.

b) 96 km na estrada e 47,5 km na cidade.

14. b

15. a

16. c

17. b

18. a

19. a

20. R$ 8,00 na farmácia e R$ 102,00 no supermercado.

21. c

22. a

23. e

24. Adulto: R$ 1 875,00; criança: R$ 1 250,00.

25. 9 carros ao todo

26. d

27. São verdadeiras: a, c.

matrizes, determinantes e sistemas lineares

Geometria plana

46

Geometria plana

1. (UF-MG) O octógono regular de vértices ABCDEFGH, cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme mostrado nesta figura:

AP

H

G

B Q

C

D

REFS

Então, é correto afirmar que a área do quadrado PQRS é:

a) 1 1 2√ 2 dm2

b) 1 1 √ 2 dm2

c) 3 1 2√ 2 dm2

d) 3 1 √ 2 dm2

2. (UF-GO) Os “Sulbasutras” são manuscritos que fo-ram escritos pelos habitantes do noroeste da Índia por volta de 1500 a.C. Eles trazem instruções para a realização de cerimônias religiosas que requeriam a construção de altares em formatos combinados de triângulos, retângulos e trapézios. Uma dessas instruções é um método para construir um quadrado a partir de dois quadrados menores. Denotando-se por ABCD e PQRS os dois quadrados menores na figura a seguir, marca-se um ponto X no lado DC, de modo que DX 5 PQ; em seguida, ligam-se A e X e constrói-se o novo quadrado AXFE.

A

E

B

F

G

CXDS

R

P

Q

Sabendo que PQ 5 2 m e AD 5 4 m, calcule a área da região sombreada ABGFE.

3. (Fuvest-SP)

A

F

G

C

x

E B

O triângulo ABC da figura acima é equilátero de lado 1. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados AB, AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulos AFE e CGF são retos e a medida do segmento AF é x.

Assim, determine:

a) A área do triângulo AFE em função de x.

b) O valor de x para o qual o ângulo FEG também é reto.

4. (Ibmec-RJ) O triângulo ABC (figura) tem área igual a 36 cm2. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AC e BC. Assim, a área da região MPNC, em cm2, vale:

A

P

N CB

M

a) 10 d) 16

b) 12 e) 18

c) 14

5. (PUC-MG) Certo desenhista faz dois modelos de la-drilho: um desses modelos é um quadrado de 64 cm2 e outro, um retângulo cujo comprimento tem 2 cm a mais e cuja largura tem 2 cm a menos que a medida do lado do quadrado. Nessas condições, pode-se afirmar que a medida da área do modelo retangular, em centímetros quadrados, é igual a:

a) 60 c) 72

b) 64 d) 80

47


6. (Udesc-SC) Uma circunferência intercepta um triân-gulo equilátero nos pontos médios de dois de seus lados, conforme mostra a figura, sendo que um dos vértices do triângulo é o centro da circunferência.

Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área da região destacada na figura é:

a) 9 (2√ 3 ) 2

p6

cm2

b) 9 (√ 3 ) 2

p

18

cm2

c) 9 [(√ 3 ) 2 p] cm2

d) 9 (√ 3 ) 2

p3

cm2

e) 9 (√ 3 ) 2

p6

cm2

7. (U.E. Londrina-PR) Uma metalúrgica utiliza chapas de aço quadradas de 8 m 3 8 m para recortar formas circulares de 4 m de diâmetro, como mostrado na figura a seguir.

A área de chapa que resta após a operação é de aproximadamente:Dado: considere p 5 3,14.

a) 7,45 m2 c) 26,30 m2 e) 56 m2

b) 13,76 m2 d) 48 m2

8. (Mackenzie-SP)

2x

50 90

4

4

x

160

Considerando p 5 3, a área da figura vale:

a) 1 176 d) 978

b) 1 124 e) 1 232

c) 1 096

9. (UF-MG) Por razões antropológicas desconhecidas, certa comunidade utilizava uma unidade de área singular, que consistia em um círculo, cujo raio media 1 cm, e a que se dava o nome de anelar.Adotando-se essa unidade, é CORRETO afirmar que a área de um quadrado, cujo lado mede 1 cm, é:

a) 1p

anelar c) 1 anelar

b) 12p

anelar d) p anelares

10. (Vunesp-SP) A figura representa uma chapa de alu-mínio de formato triangular de massa 1 250 gramas. Deseja-se cortá-la por uma reta r paralela ao lado BC, que intercepta o lado AB em D e o lado AC em E, de modo que o trapézio BCED tenha 700 gramas de massa. A espessura e a densidade do material da chapa são uniformes. Determine o valor percentual da razão de AD por AB.

Dado: √ 11 3,32A

ED

B C

r

a) 88,6 d) 66,4

b) 81,2 e) 44,0

c) 74,8

11. (UF-RS) O tangran é um jogo chinês formado por uma peça quadrada, uma peça em forma de paralelogramo e cinco peças triangulares, todas obtidas a partir de um quadrado de lado ,, como indica a figura a seguir.

1 5

6

3

2

4

7

,2

,

,2

Três peças do tangran possuem a mesma área. Essa área é:

a) ,2

16 b) ,2

12 c) ,2

8 d) ,2

6 e) ,2

4

48

Geometria plana

a) 4 c) 6

b) 5 d) 7

14. (Fuvest-SP) Um transportador havia entregado uma encomenda na cidade A, localizada a 85 km a no-roeste da cidade B, e voltaria com seu veículo vazio pela rota AB em linha reta.

No entanto, recebeu uma solicitação de entrega na cidade C, situada no cruzamento das rodovias que ligam A a C (sentido sul) e C a B (sentido leste), trechos de mesma extensão. Com base em sua experiência, o transportador percebeu que esse desvio de rota, antes de voltar à cidade B, só valeria a pena se ele cobrasse o combustível gasto a mais e também R$ 200,00 por hora adicional de viagem.

a) Indique a localização das cidades A, B e C num esquema.

b) Calcule a distância em cada um dos trechos per-pendiculares do caminho. (Considere a aproxima-ção √ 2 5 1,4.)

c) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto relativamente ao retorno em linha reta.

d) Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2,00 o litro, a velocidade média do veículo de 70 km/h e seu rendimento médio de 7 km por litro, estabe-leça o preço mínimo para o transportador aceitar o trabalho.

Norte

15. (PUC-RJ) Ao meio-dia, a formiga A está 3 km a oeste da formiga B. A formiga A está se movendo para o oeste a 3 km/h e a formiga B está se movendo para o norte com a mesma velocidade.

12. (UF-GO) Uma folha de papel retangular, de lados a

e b, com a . b2

, foi dobrada duas vezes, conforme

as figuras a seguir e as seguintes instruções:

– dobre a folha ao longo da linha tracejada, sobrepon-do o lado menor, a, ao lado maior, b (fig. 1 e fig. 2);

– dobre o papel ao meio, sobre o lado b, de modo que o ponto P sobreponha-se ao ponto Q (fig. 3).

Figura 1

b

a

Figura 2

Q P

a

Figura 3

A

BC

a

A área do triângulo ABC, destacado na figura 3, em função de a e b, é:

a) A 5 2a2 1 2ab 1 b2

2

b) A 5 ab2

c) A 5 a2 2 2ab 1 b2

d) A 5 a2 2 b2

4

e) A 5 a2 2 ab 1 b2

4

13. (PUC-MG) De uma placa quadrada de 16 cm2, foi recortada uma peça conforme indicado na figura. A medida da área da peça recortada, em centímetros quadrados, é:

49


Qual a distância entre as duas formigas às 14 h?

a) √ 17 km d) √ 117 kmb) 17 km e) 117 kmc) √ 51 km

16. (Cefet-SC) Para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m de comprimento por 4 m de largura, serão utilizados pisos de 25 cm 3 25 cm. Cada caixa contém 20 pisos. Supondo que nenhum piso se quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha?

a) 17 caixas d) 15 caixas

b) 16 caixas e) 12 caixas

c) 20 caixas

17. (CP2-MEC-RJ) Na figura abaixo, os quatro círculos são tangentes dois a dois. Os raios dos círculos menores medem 4 cm cada um. A altura do trapézio ABCD mede 12 cm.

A

D E C

B

a) Simbolizando o raio da circunferência maior por x, determine esse valor, aplicando o Teorema de Pitágoras aos lados do triângulo ADE.

b) Calcule a medida da área do trapézio ABCD.

18. (UF-ES) Para irrigar uma região retangular R de dimen-sões , 3 3,, um irrigador giratório é acoplado a uma bomba hidráulica por meio de um tubo condutor de água. A bomba é instalada em um ponto B. Quando o irrigador é colocado no ponto C, a uma distância 3,

2 do ponto B, ele irriga um círculo de centro C e

raio 2, (veja figura).

R

B C

porção irrigada

tubo condutor de água

2,

3,

,3,2

a) Calcule a área da porção irrigada de R quando o

irrigador está no ponto C.

b) Admitindo que o raio da região irrigada seja in-

versamente proporcional à distância do irrigador

até a bomba, calcule o raio da região irrigada

quando o irrigador é colocado no centro da região

retangular R.

19. (Unemat-MT) No triângulo equilátero ABC, os pontos

M e N são respectivamente pontos médios dos lados

AB e AC.

O segmento MN mede 6 cm.

A

N

C

M

B

A área do triângulo ABC mede:

a) 18√ 3 cm2

b) 24√ 2 cm2

c) 30√ 2 cm2

d) 30√ 3 cm2

e) 36√ 3 cm2

20. (ESPM-SP) Uma folha de papel retangular foi dobrada

como mostra a figura abaixo. De acordo com as me-

didas fornecidas, a região sombreada, que é a parte

visível do verso da folha, tem área igual a:

4 cm 6 cm

a) 24 cm2

b) 25 cm2

c) 28 cm2

d) 35 cm2

e) 36 cm2

50

Geometria plana

21. (UE-CE) Se a medida, em metros, de cada um dos lados de um triângulo equilátero é x, seja S(x) a ex-pressão da área deste triângulo em função de x. O

valor, em m², de S 13

1 S(3) é:

a) 17√ 3

18

b) 35√ 3

18

c) 49√ 3

18

d) 41√ 3

18

22. (UE-CE) Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo equilátero intercepta os outros dois lados determinando um triângulo menor e um trapézio, os quais têm o mesmo perímetro. A razão entre a área do triângulo menor e a área do trapézio é:

a) 64

c) 86

b) 75

d) 97

23. (Enem-MEC) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais.

Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm 3 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm 3 100 cm).

O valor da segunda encomenda será:

a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram.

b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro.

c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram.

d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade.

e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.

24. (Enem-MEC) Uma metalúrgica recebeu uma enco-menda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm

e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser va-zada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.

6 cm 8 cm

10 cm

O raio da perfuração da peça é igual a:

a) 1 cm d) 4 cm

b) 2 cm e) 5 cm

c) 3 cm

25. (UF-RJ) A figura 1 a seguir apresenta um pentágono regular de lado 4L; a figura 2, dezesseis pentágonos regulares, todos de lado L.

Figura 1 Figura 2

Qual é maior: a área A do pentágono da figura 1 ou a soma B das áreas dos pentágonos da figura 2? Justifique sua resposta.

26. (UF-PR) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura abaixo. Os suportes nas extremidades A e C medem, respecti-vamente, 4 metros e 6 metros de altura.

12 m

A B C

4 m

8 m

6 m

A altura do suporte em B é, então, de:

a) 4,2 metros d) 5,2 metros

b) 4,5 metros e) 5,5 metros

c) 5 metros

51


27. (Fuvest-SP) Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale:

A B

F G

H

ID

E

C

a) 1 1 √ 3

b) 2 1 √ 3

c) 3 1 √ 3

d) 3 1 2√ 3

e) 3 1 3√ 3

28. (UF-MG) Considere esta figura:

A C

B

E

F

D

Nesta figura,

• o triângulo ABC é equilátero, de lado 3;

• o triângulo CDE é equilátero, de lado 2;

• os pontos A, C e D estão alinhados; e

• o segmento BD intersecta o segmento CE no ponto F.

Com base nessas informações,

1. DETERMINE o comprimento do segmento BD.

2. DETERMINE o comprimento do segmento CF.

3. DETERMINE a área do triângulo sombreado BCF.

29. (UF-PI) Conforme ilustrado na figura a seguir, um trem saiu da cidade A com destino à cidade B, deslocando-se com a mesma velocidade com que um outro trem ia da cidade C para a cidade D. Sabendo-se que a distância do ponto M às cidades C e A é a mesma, e que, por um atraso, as locomotivas partiram no mesmo instante, é correto afirmar que:

M

90°Cidade D

Cidade B

Cidade C

Cidade A

Distância em km

Cidade D

Cidade A 1 200

Cidade C 1 600

a) a distância da cidade D ao ponto M é 350 km.

b) a distância da cidade C ao ponto M é 336 km.

c) a distância da cidade A ao ponto M é 500 km.

d) a distância da cidade C à cidade A é 1 200 km.

e) não haverá o choque dos trens.

30. (UF-RN) Para comemorar o aniversário de indepen-dência, o Governo da Guiana comprou um lote de bandeiras para distribuir com a população. A Figura 1 representa a bandeira e a Figura 2, as características geométricas desta.

Figura 1

A B

D C

EF

Figura 2

Sabendo que BE 5 EC e que F é o ponto de interseção das diagonais do retângulo ABCD, justifique por que a quantidade de tecido utilizada na confecção da bandeira correspondente ao triângulo ADF é a mesma que a utilizada para o quadrilátero AFDE.

31. (UF-GO) A grama-esmeralda é uma das mais difun-didas no Brasil, usada para cobrir terrenos, jardins,

52

Geometria plana

campos de futebol, etc. Em certa loja de jardina-gem, essa grama é vendida em tapetes (ou placas) naturais regulares, cada um com 0,40 m de largura por 1,25 m de comprimento, ao preço de R$ 1,50. Para o plantio, recomenda-se que cada tapete dessa grama seja colocado no terreno mantendo-se uma distância de 2 cm entre um tapete de grama e outro, em toda a volta do tapete. E, em relação às margens do terreno, recomenda-se que haja uma distância de 1 cm entre a placa e a margem, conforme a figura a seguir.

Plantio de tapetes segundo as recomendações

2 cm

2 cm

1,25 m

2 cm

1 cm

1 cm

0,40 m

O dono de uma chácara procurou a referida loja para cobrir com grama-esmeralda seu terreno retangular, com dimensões de 52,5 m por 25,4 m. Sabendo que cada tapete será plantado inteiro, ou seja, sem ser cortado e seguindo as recomendações acima, qual será o custo total com os tapetes de grama-esmeralda?

32. (UF-GO) A “árvore pitagórica fundamental” é uma forma estudada pela Geometria Fractal e sua apa-rência característica pode representar o formato dos galhos de uma árvore, de uma couve-flor ou de um brócolis, dependendo de sua variação. A árvore pitagórica a seguir foi construída a partir de um triângulo retângulo, ABC, de lados AB 5 3, AC 5 4 e CB 5 5, e de quadrados construídos so-bre seus lados. A figura ramifica-se em quadrados e triângulos retângulos menores, semelhantes aos iniciais, sendo que os ângulos C, F, e I , são con-gruentes, seguindo um processo iterativo que pode se estender infinitamente.

A

E

DH

G

I

F

BC

Com base nessas informações, calcule a área do triângulo GHI, integrante dessa árvore pitagórica.

33. (UF-PE) Na ilustração a seguir, temos três cincunfe-rências tangentes duas a duas e com centros nos vértices de um triângulo com lados medindo 6 cm, 8 cm e 10 cm.

Calcule a área A da região do triângulo, em cm2, limitada pelas três circunferências e indique 10A.Dado: use as aproximações: p 3,14 e arctg 0,75 0,64.

34. (UF-PE) Na figura abaixo, AB 5 AD 5 25, BC 5 15 e DE 5 7. Os ângulos DEA, BCA e BFA são retos. Determine AF.

35. (UF-RN) Uma empresa de publicidade foi contratada para confeccionar um outdoor com a sigla RN, con-forme as medidas determinadas na figura a seguir.

Fern

ando

Mon

teiro

53


Para estimar a quantidade de tinta a ser utilizada na pintura, a empresa precisa calcular as áreas das letras.

Sabendo que as medidas acima estão em centímetros, determine, em metros quadrados, a área de cada uma das letras.

36. (UF-GO) Dados experimentais indicam que a dilatação linear experimentada por um objeto material é pro-porcional ao seu comprimento inicial (L0) e à variação da temperatura a que é submetido (DT), sendo que a constante de proporcionalidade, denominada de coe-ficiente de dilatação linear (a) depende do material utilizado.

Um fio de alumínio (a 5 25 3 1026 °C21) de 10 m de comprimento está a uma temperatura de 20 °C, e é fixado pelas extremidades entre dois suportes, cuja distância é de 10 m. Um peso é colocado em seu ponto médio, de modo que o fio possa ser conside-rado reto entre o ponto médio e cada extremidade. Caso o fio seja aquecido, atingindo uma temperatura de 40 °C, ele sofrerá uma dilatação, de modo que o ponto médio estará a uma distância H da horizontal, como mostrado na figura. Nessa situação, qual é o valor de H em centímetros?

37. (UF-MA) Em uma planta residencial, em escala, ao utilizar-se uma régua convencional, nota-se que os lados da sala retangular medem, exatamente, 16 cm e 9 cm. Se a área real da sala em questão é igual a 36 m2, então o perímetro real da sala é igual a:

a) 21 m d) 25 m

b) 19 m e) 22 m

c) 20 m

38. A figura abaixo é a representação de seis ruas de uma cidade. As ruas R1, R2 e R3 são paralelas entre si.

Paulo encontra-se na posição A da rua R1 e quer ir para a rua R2 até a posição B.

Se a escala de representação for de 1 : 50 000, a distância, em metros, que Paulo vai percorrer será de, aproximadamente,

a) 1 333. b) 750. c) 945. d) 3 000.

39. (UF-MA) Sobre os lados opostos AB e CD de um retângulo ABCD são marcados, respectivamente, os pontos P e Q. A soma das áreas dos triângulos AQB e CPD resulta exatamente em 240 u.a. Então, a área do retângulo ABCD é igual a:

a) 360 u.a. d) 200 u.a.

b) 120 u.a. e) 300 u.a.

c) 240 u.a.

40. (UF-MG) Nesta figura plana, PQR é um triângulo equilátero de lado a e, sobre os lados desse triângulo, estão construídos os quadrados ABQP, CDRQ e EFPR:


a) DETERMINE o perímetro do hexágono ABCDEF.

b) DETERMINE a área do hexágono ABCDEF.

c) DETERMINE o raio da circunferência que passa pelos vértices do hexágono ABCDEF.

Ilust

raçõ

es: F

erna

ndo

Mon

teiro

Geometria plana

54

respostas 1. c

2. 9 m2

3. a) Área 5 (x2 √ 3 )

2

b) 15

4. b

5. a

6. e

7. b

8. a

9. a

10. d

11. c

12. e

13. c

14. a) A

C B

b) 59,5 km

c) 34 km

d) R$ 106,86

15. d

16. b

17. a) x 5 9

b) 156 cm2

18. a) A 5 ,2

6 (2p 1 3 √ 3 )

b) R 5 6 ? ,

5

Geometria plana

19. e

20. b

21. d

22. d

23. b

24. b

25. As áreas são iguais.

26. d

27. c

28. 1) √ 19

2) 65

3) 9 √ 3 10

29. a

30. Note que área ADF 5 12

? área ADE.

31. R$ 3 750,00

32. 2,4576 cm2

33. 1,9 cm2

34. 15

35. letra R ⇒ 0,64 m2

letra N ⇒ 0,64 m2

36. Aproximadamente 5

√ 1 000 m (ou 15,8 cm).

37. d

38. a

39. c

40. a) 3a( √ 3 1 1)b) a2 ? (3 1 √ 3 )

c) a√ 12 1 3 √ 3

3


55

Geometria espacial

Thin

ksto

ck/G

etty

Imag

es

1. (UE-GO) Uma lâmpada, cujas dimensões são consi-deradas desprezíveis, é fixada no teto de uma sala de 4 metros de altura. Um objeto quadrado com lado de 30 centímetros é suspenso a 1 metro do teto, de modo que fique paralelo ao solo e seu centro esteja na mesma vertical que a lâmpada. Calcule a área da sombra projetada pela luminosidade da lâmpada no solo.

2. (Fuvest-SP) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que:

A

E

Q

P

B

D

C

AB 5 CD 5 √ 32

AD 5 BC 5 AE 5 BE 5 CE 5 DE 5 1

AP 5 DQ 5 12

Determine:

a) A medida de BP.

b) A área do trapézio BCQP.

c) Volume da pirâmide BPQCE.

3. (Mackenzie-SP)

a

a

a

2

2

a3

A peça da figura, de volume a2, é o resultado de um corte feito em um paralelepípedo reto retângulo, retirando-se um outro paralelepípedo reto retân-gulo. O valor de a é:

a) 23

d) 4

b) 5 e) 45

c) 6

4. (PUC-RJ) Pretende-se fabricar uma caixa com faces retangulares e ângulos retos, aberta em cima, com um volume de 10 m3 (conforme figura a seguir). O comprimento de um dos lados da base deve ser o do-bro do comprimento do outro lado. O material para construir a base custa R$10,00 por metro quadrado, ao passo que o material para construir as laterais custa R$ 6,00 por metro quadrado.

n

p

2p

a) Se o lado p mede 2 metros, quanto vale n?

b) Com os valores do item (a), calcule o custo de construção da caixa.

c) Encontre o custo de construção da caixa em fun-ção de p.

5. (UE-RJ) Observe o dado ilustrado a seguir, formado a partir de um cubo, com suas seis faces numeradas de 1 a 6.

Esses números são representados por buracos deixa-dos por semiesferas idênticas retiradas de cada uma das faces. Todo o material retirado equivale a 4,2% do volume total do cubo.Considerando p 5 3, a razão entre a medida da aresta do cubo e a do raio de uma das semiesferas, expressas na mesma unidade, é igual a:

a) 6 c) 9

b) 8 d) 10

56

Geometria espacial

6. (UF-SC) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) Considere duas caixas-d’água de mesma altura: uma em forma de cubo e a outra em forma de paralelepípedo retângulo com área da base de 6 m2. Se o volume da caixa cúbica tem 4 m3 a me-nos que o volume da outra caixa, então a única medida possível da aresta da caixa cúbica é 2 m.

02) É possível construir um poliedro regular, utilizan-do-se seis triângulos equiláteros.

04) Na figura 1, estão representados três sólidos e, na figura 2, estão representadas três planificações. Fazendo corresponder cada sólido com sua plani-ficação, tem-se a relação A → 1, B → 3 e C → 2.

A B C

figura 1

3 1 2

figura 2

08) Um retângulo, quando girado em torno de seu lado maior, descreve um cilindro cujo volume tem 432p cm3. Se o lado maior do retângulo mede o dobro da medida do lado menor, então a área desse retângulo é de 72 cm2.

7. (Unicamp-SP) Em um sistema de piscicultura superin-tensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanques-rede colocados em açudes, com alta den-sidade populacional e alimentação à base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem da água.

a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes consomem, no total, 800 g de ração por refeição. Sabendo-se que um peixe da espécie A consome 1,5 g de ração por refeição e que um peixe da espécie B consome 1,0 g por refeição, calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de tanques-rede contém.

b) Para uma determinada espécie, a densidade má-xima de um tanque-rede é de 400 peixes adultos

por metro cúbico. Suponha que um tanque possua largura igual ao comprimento e altura igual a 2 m. Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque para que ele comporte 7 200 peixes adultos da espécie considerada?

8. (Fuvest-SP) Uma pirâmide tem como base um qua-drado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a:

a) 59

d) 29

b) 49

e) 19

c) 13

9. (UEPG-PR) Considerando dois planos a e b e uma reta r, assinale o que for correto.

01) Se r é perpendicular a a e a b então a é paralelo a qualquer plano que contenha r.

02) Se r é perpendicular a a e a b então a e b são paralelos entre si.

04) Se a e b são perpendiculares e a reta r está con-tida em a, então r é também perpendicular a b.

08) Se r é paralela a a então todo plano contendo r é paralelo a a.

16) Se r a 5 então r e a são paralelos.

10. (UEPG-PR) Dado que um poliedro convexo tem 2 faces pentagonais, 4 faces quadrangulares e n faces triangulares, assinale o que for correto.

01) Se o número de vértices do poliedro é 11, então n 5 4.

02) Se o número de faces do poliedro é 16, então n 5 10.

04) O menor valor possível para n é 1.

08) Se a soma dos ângulos de todas as faces do poliedro é 3 600º, então n 5 6.

16) Se o número de arestas do poliedro é 25, então n 5 8.

11. (UF-MG) Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede a.

Depois de derretida, a parafina é derramada em mol-des em formato de pirâmides de base quadrada, cuja

altura e cuja aresta da base medem, cada uma, a2

.

57


14. (UF-GO) Leia o texto a seguir.

Era uma laje retangular enorme, uma brutidão de mármore rugoso […].É a mãe da pedra, não disse que era o pai da pedra, sim a mãe, talvez porque viesse das profundas, ain-da maculada pelo barro da matriz, mãe gigantesca sobre a qual poderiam deitar-se quantos homens, ou ela esmagá-los a eles, quantos, faça as contas quem quiser, que a laje tem de comprimento trinta e cinco palmos, de largura quinze, e a espessura é de quatro palmos, e, para ser completa a notícia, depois de lavrada e polida, lá em Mafra, ficará só um pouco mais pequena, trinta e dois palmos, catorze, três, pela mesma ordem e partes, e quando um dia se acabarem palmos e pés por se terem achado metros na terra, irão outros homens a tirar outras medidas [...].

SARAMAGO, José. Memorial do convento. 17. ed. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil, 1996. p. 244-245.

No romance citado, Saramago descreve a constru-ção do Palácio e Convento de Mafra (séc. XVIII), em Portugal, no qual a laje (em forma de paralelepípedo retângulo) foi colocada na varanda da casa de Bene-dictione. Supondo que a medida de um palmo seja 20 cm, então o volume retirado do mármore, após ser polido e lavrado, em m3, foi de:

a) 0,024 c) 10,752 e) 60,480

b) 6,048 d) 16,800

15. (PUC-RJ) Um octaedro é um poliedro regular cujas faces são oito triângulos equiláteros, conforme indicado na figura.

Para um octaedro de aresta a:

a) Qual é a sua área total?

b) Qual é o seu volume?

c) Qual é a distância entre duas faces opostas?

16. (Cefet-SC) Uma indústria precisa fabricar 10 000 caixas com as medidas da figura abaixo.Desprezando as abas, aproximadamente, quantos m2 de papelão serão necessários para a confecção das caixas?

40 cm20 cm

14 cm

a) 0,328 m2 c) 112 m2 e) 1 640 m2

b) 1 120 m2 d) 3 280 m2

Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que, com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas, enche-se um total de:

a) 6 moldes c) 24 moldes

b) 8 moldes d) 32 moldes

12. (UF-RS) Um reservatório tem forma de um cilindro circular reto com duas semiesferas acopladas em suas extremida-des, conforme representado na figura ao lado.

O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, cada um, 4 dm, e o volume de uma

esfera de raio r é 43

pr3.

Dentre as opções a seguir, o valor mais próximo da capacidade do reservatório, em litros, é:

a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90

13. (FGV-SP) A figura indica a planificação da lateral de um cone circular reto:

252°

10

10

O cone a que se refere tal planificação é

a)

10

6

d)

10

6

b)

10

7

e)

10

7

c)

10

8

58

Geometria espacial

17. (UF-PR) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura.

a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completa-mente cheia?

b) Obtenha uma expressão para o volume V de líqui-do nessa taça, em função da altura x indicada na figura.

18. (UF-BA) Sendo o ângulo formado entre uma dia-gonal e uma face de um mesmo cubo, determine

1sen2

.

19. (UE-MG)

10 cm

60 cm

40 cm

O desenho, acima, representa uma caixa de madeira maciça de 0,5 cm de espessura e dimensões externas iguais a 60 cm, 40 cm e 10 cm, conforme indicações. Nela será colocada uma mistura líquida de água com álcool, a uma altura de 8 cm. Como não houve reposição da mistura, ao longo de um certo período, 1 200 cm³ do líquido evaporaram.

Com base nesta ocorrência, a altura, em cm, da mistura restante na caixa corresponde a um valor numérico do intervalo de

a) [5,0; 5,9]

b) [6,0; 6,9]

c) [7,0; 7,6]

d) [7,6; 7,9]

20. (UFU-MG) Um canal de televisão pretende instalar o serviço de TV digital em Uberlândia e, para isso, será necessária a construção de uma nova antena de transmissão. A antena deve ser composta por uma base cúbica, por um poste cilíndrico, ambos maciços e feitos de concreto, por uma haste de sustentação e por uma esfera maciça feita de uma liga metálica (conforme a ilustração a seguir).

esfera metálica

haste da antena

poste cilíndrico

base cúbica

Sejam D, d e R, respectivamente, as medidas (em metros) da diagonal da base cúbica, da diagonal da face da base cúbica e do raio da esfera metálica.

Sabe-se que:

1) O valor de D2 excede em 16 m2 o valor de d2.

2) O diâmetro da base do poste cilíndrico é a metade da aresta da base cúbica.

3) O volume do poste cilíndrico é 18 m3.

4) 1 m3 da liga metálica corresponde a 300 kg (qui-logramas).

Com base nestas informações, responda as seguintes perguntas:

a) Deseja-se pintar o poste cilíndrico de uma cor diferente da base cúbica. Considerando que a região de contato entre a haste e a parte superior do poste tenha área desprezível, qual é o valor da área do poste a ser pintada?

b) Se a haste da antena suporta um peso máximo de 50 kg, determine o maior valor possível para R, de forma que o peso da esfera de raio igual a este valor não exceda o peso máximo suportado pela haste.

21. (Vunesp-SP) Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir uma cisterna fechada, que acumule toda a água proveniente da chuva que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo de um período de um ano.

As figuras e o gráfico representam as dimensões do telhado da casa, a forma da cisterna a ser construída e a quantidade média mensal de chuva na região onde o agricultor possui sua casa.

Ilust

raçõ

es: F

erna

ndo

Mon

teiro4 cm

x

12 cm

59


Figura 1

Figura 2

8 m

h m

2 m4 m

12 m

Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de 1 metro quadrado, determine a profundidade (h) da cisterna para que ela comporte todo o volume de água da chuva armazenada duran-te um ano, acrescido de 10% desse volume.

22. (UE-RJ) A embalagem de papelão de um determina-do chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.

Em relação ao prisma, considere:

• cada um dos ângulos Â, B, C e D da base superior mede 120º;

• as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.

Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$ 10,00 por m2 e que √ 3 5 1,73.

Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproxima-damente igual a:

a) 0,50 c) 1,50

b) 0,95 d) 1,85

23. (UE-RJ) A figura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura.

H

12 cm

Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a so-lução inicial com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio a 8%.

Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equi-valente a

a) 16 c) 20

b) 18 d) 22

24. (ESPM-SP) Um vidro de perfume tem a forma e as medidas indicadas na figura abaixo e sua embalagem tem a forma de um paralelepípedo cujas dimensões internas são as mínimas necessárias para contê-lo. Pode-se afirmar que o volume da embalagem não ocu-pado pelo vidro de perfume vale aproximadamente:

2 cm

6 cm

3 cm

10 cm

a) 142 cm3 d) 176 cm3

b) 154 cm3 e) 182 cm3

c) 168 cm3

Ilust

raçõ

es: F

erna

ndo

Mon

teiro

60

Geometria espacial

25. (UE-CE) Um fabricante de latas de alumínio com a forma de cilindro circular reto vai alterar as dimensões das latas fabricadas de forma que o volume seja pre-servado. Se a medida do raio da base das novas latas é o dobro da medida do raio da base das antigas, então a medida da nova altura é:

a) a metade da medida da altura das latas antigas.

b) um terço da medida da altura das latas antigas.

c) um quarto da medida da altura das latas antigas.

d) dois terços da medida da altura das latas antigas.

26. (UE-RJ) Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua em um líquido, conforme a ilustração abaixo.

Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a:

a) 12

b) 34

c) 56

d) 78

27. (FGV-SP) Após t horas do início de um vazamento de óleo de um barco em um oceano, constatou-se ao redor da embarcação a formação de uma mancha com a forma de um círculo cujo raio r varia com o

tempo t mediante a função r(t) 5 30

√ p t0,5 metros. A

espessura da mancha ao longo do círculo é de 0,5 centímetros. Desprezando a área ocupada pelo barco na mancha circular, podemos afirmar que o volume de óleo que vazou entre os instantes t 5 4 horas e t 5 9 horas foi de:

a) 12,5 m3

b) 15 m3

c) 17,5 m3

d) 20 m3

e) 22,5 m3

28. (Enem-MEC) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o forma-to de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.

1,3 m

0,5 m2,5 m

Metal Nobre

O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza

a) massa d) capacidade

b) volume e) comprimento

c) superfície

29. (Enem-MEC) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.

4 cm

4 cm

8 cm

20 cm

Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá:

a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.

b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.

c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

30. (Enem-MEC) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível) foi envolvido homogeneamen-te por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura.

Fer

nand

o M

onte

iro

61


Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de p, então o preço dessa manilha é igual a:

a) R$ 230,40

b) R$ 124,00

c) R$ 104,16

d) R$ 54,56

e) R$ 49,60

31. (Enem-MEC) No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem (1,30 m), conforme indicado na figura. A essa medida deno-mina-se “rodo” da árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora em m3 a partir da medida do rodo e da altura da árvore.

Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo:

• 3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de comprimento e densidade 0,77 toneladas/m3;

• 2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de comprimento e densidade 0,78 toneladas/m3.

Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente

a) 29,9 toneladas

b) 31,1 toneladas

c) 32,4 toneladas

d) 35,3 toneladas

e) 41,8 toneladas

32. (Enem-MEC) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um

acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes.

Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um ou-tro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

R 5 3 cm

Figura 1 Figura 2

R 5 3 cm

h

Considere:

Vesfera 5 43

pR3 e Vcone 5 13

pR2h

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de:

a) 1,33

b) 6,00

c) 12,00

d) 56,52

e) 113,04

33. (Enem-MEC) Um porta-lápis de madeira foi construí-do no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado abaixo. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.

O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de

a) 12 cm3

b) 64 cm3

c) 96 cm3

d) 1 216 cm3

e) 1 728 cm3

Ilust

raçõ

es: F

erna

ndo

Mon

teiro

O volume da tora em m3 é dado por

V 5 rodo2 3 altura 3 0,06

O rodo e a altura da árvore devem ser medidos em metros. O coeficiente 0,06 foi

obtido experimentalmente.

62

Geometria espacial

34. (UFF-RJ) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de futebol deve passar por vários testes. Um deles visa garantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é medido em dezesseis pontos diferentes e, então, a média aritmética desses valores é calculada. Para passar nesse teste, a variação de cada uma das de-zesseis medidas do “diâmetro” da bola com relação à média deve ser no máximo 1,5%. Nesse teste, as variações medidas na Jabulani, bola oficial da Copa do Mundo de 2010, não ultrapassaram 1%.

Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu volume aumenta x%.

Dessa forma, é correto afirmar que:

a) x [5, 6) d) x [3, 4)

b) x [2, 3) e) x [4, 5)

c) x 5 1

35. (Fuvest-SP) A esfera ε, de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano a. O plano b é paralelo a a e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de ε com b e, como vértice, um ponto em a, é igual a:

a) √ 3r3

4 d)

7√ 3r3

16

b) 5√ 3r3

16 e) √ 3r3

2

c) 3√ 3r3

8

36. (UF-AL) A cúpula de uma catedral tem a forma de uma semiesfera (sem incluir o círculo da base) com diâmetro medindo 50 m. O exterior da cúpula será restaurado ao custo de R$ 800,00 por metro qua-drado. Quanto custará a restauração? Dado: use a aproximação p 3,14.

a) 3,14 milhões de reais

b) 6,28 milhões de reais

c) 7,28 milhões de reais

d) 8,14 milhões de reais

e) 262 milhões de reais

37. (UF-PI) De um círculo feito com uma folha de cartolina com raio 15 cm, é retirado um setor de ângulo central igual a 120°. Com o que restou do círculo, constrói-se um copo cônico. Qual é o volume desse copo?

120°

15 cm

a) p√ 3

3 cm3 d) 128p cm3

b) 100p

3 cm3 e)

500p√ 53

cm3

c) 128p

3 cm3

38. (UF-AL) Na ilustração a seguir, temos um paralele-pípedo retângulo e são conhecidos os ângulos que duas das diagonais de duas faces adjacentes formam com arestas da base e o comprimento da diagonal da face superior, como estão indicados na figura. Qual o volume do paralelepípedo?

30°

60°

√ 30 cm a) 23 cm3

b) 24 cm3

c) 25 cm3

d) 26 cm3

e) 27 cm3

39. (UF-PA) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco de cone, com diâmetro de base 28 cm, diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos afirmar, utilizando p 5 3,14, que a capacidade da rasa, em litros, é aproximadamente

a) 18 d) 24

b) 20 e) 26

c) 22

40. (UPE-PE) Um cone circular reto possui o mesmo volume de uma esfera com raio igual à medida do raio da base deste cone. Sabendo-se que a soma do raio da base do cone com sua altura é igual a 5 metros, qual o volume deste cone em m3?

Imag

ebro

ker

RM/D

iom

edia

63


a) p2

d) 2p3

b) 5p3

e) 4p3

c) p3

41. (UF-RN) Como parte da decoração de sua sala de trabalho, José colocou sobre uma mesa um aquário de acrílico em forma de paralelepípedo retângulo, com dimensões medindo 20 cm 3 30 cm 3 40 cm. Com o aquário apoiado sobre a face de dimensões 40 cm 3 20 cm, o nível da água ficou a 25 cm de altura.

Se o aquário fosse apoiado sobre a face de dimensões 20 cm 3 30 cm, a altura da água, mantendo-se o mesmo volume, seria de, aproximadamente,

a) 16 cm. c) 33 cm.

b) 17 cm. d) 35 cm.

42. (UE-MA) Uma pirâmide regular de base hexagonal tem altura igual a 5 m e é interceptada por um plano paralelo a sua base a uma distância de 2 m de seu vértice, formando uma região de área igual a 25 m2. A área da base dessa pirâmide é:

a) 156,25 m2 d) 125,00 m2

b) 165,52 m2 e) 225,00 m2

c) 150,00 m2

43. (UF-AM) Considere as seguintes proposições:

I. Se dois planos a e b são paralelos a uma reta r, então a é paralelo a b.

II. Se as projeções ortogonais de duas retas, sobre um plano, são paralelas, então as retas são para-lelas.

III. Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então a reta está contida neste plano.

IV. Se duas retas r e s são concorrentes, então elas possuem um único ponto em comum.

Podemos afirmar que:

a) somente as proposições I e II são falsas.

b) somente as proposições II e III são falsas.

c) somente as proposições I e IV são verdadeiras.

d) todas as proposições são falsas.

e) todas as proposições são verdadeiras.

44. (UF-PB) Para fazer seu cafezinho, dona Severina ferve a água e o pó de café juntos; em seguida, despeja essa mistura em um filtro de onde o café escoa para

um recipiente, conforme a figura abaixo. Nessa situa-ção, considere:• o recipiente tem a forma de um cilindro circular

reto, com diâmetro e altura medindo 12 cm e 20 cm respectivamente;

• o filtro tem a forma de um cone circular reto, com diâmetro e altura medindo 15 cm e 18 cm respectivamente.

Nesse contexto, sabendo-se que a mistura atingiu a altura máxima de 12 cm no filtro e que o volume do resíduo do pó de café que ficou no filtro era de 28p cm3, é correto afir-mar que, no recipiente, o café atingiu uma altura de pelo menos:

a) 6,3 cm

b) 4 cm

c) 3 cm

d) 5,5 cm

e) 2 cm

45. (UF-AM) Uma piscina tem a forma e as medidas conforme a figura a seguir:

3x + 9

x + 1

x + 3

x + 3

9 – x3x

A aplicação polinomial que melhor representa o volume desta piscina é:

a) V(x) 5 9x3 1 512

x2 1 452

x 1 5

b) V(x) 5 9x3 1 452

x2 1 36x 1 3

c) V(x) 5 3x3 1 30x2 1 452

x 1 812

d) V(x) 5 3x3 1 30x2 1 6x 1 812

e) V(x) 5 3x3 1 512

x2 1 63x 1 812

46. (UF-PE) Uma pirâmide hexagonal regular tem a me-dida da área da base igual à metade da área lateral. Se a altura da pirâmide mede 6 cm, assinale o inteiro mais próximo do volume da pirâmide, em cm3. Dado: use a aproximação √ 3 1,73.

15

12

18

20

Ilust

raçõ

es: F

erna

ndo

Mon

teiro

Geometria espacial

64

respostas 1. 1,44 m2

2. a) (√ 10 )

4

b) 916

c) (3 √ 3 )

64

3. d

4. a) 1,25 m

b) R$ 170,00

c) 20p2 1 180p

5. d

6. 04 1 08 5 12

7. a) 400 da espécie A e 200 da espécie B.

b) 3 m 3 3 m 3 2 m

8. d

9. são corretas: 2 e 16

10. são corretas: 01, 02, 08 e 16

11. c

12. d

13. b

14. b

15. a) 2a2 ? √ 3

b) (a3 ? √ 2 )

3

c) (a ? √ 6 )

316. d

17. a) 16p cm3

b) p ? x3

18. 3

19. c

Geometria espacial

20. a) 18p

cm

(36 1 p) cm2

b) r 5 (3√ p2 )

2p cm

21. 7,7 m

22. b

23. b

24. d

25. c

26. d

27. e

28. b

29. a

30. d

31. a

32. b

33. d

34. d

35. e

36. a

37. e

38. e

39. b

40. e

41. c

42. a

43. a

44. e

45. e

46. 83,04 cm3


65

Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton

1. (FGV-SP) Se

n 2 1

5 1

n 2 1

6 5

n2 2 n2

,

então n é igual a:

a) 4

b) 6

c) 9

d) 5

e) 8

2. (UF-CE) O símbolo

nk indica a combinação de n

objetos k a k. O valor de x2 2 y2 quando

x 5 420 ? 20

∑k50

20 k ?

34

k

e y 5 520 ? 20

∑k50

20 k ?

25

k

é igual a:

a) 0 d) 225

b) 21 e) 2125

c) 25

3. (Fatec-SP) Admita que, na FATEC-SP, há uma turma de 40 alunos de Logística, sendo 18 rapazes; e uma turma de 36 alunos de Análise de Sistemas, sendo 24 moças. Para participar de um debate serão escolhi-dos aleatoriamente dois alunos, um de cada turma. Nessas condições, a probabilidade de que sejam escolhidos uma moça e um rapaz é:

a) 2960

d) 81160

b) 4796

e) 183360

c) 73144

4. (Mackenzie-SP) Eu vou ser aprovado no vestibular do Mackenzie.

Cada palavra da frase acima é colocada em uma urna. Sorteando-se, sucessivamente, sem reposição, duas palavras, a probabilidade de pelo menos uma das palavras sorteadas ter mais do que 4 letras é:

a) 914

d) 515

b) 656

e) 2156

c) 514

5. (UF-RS) O Google, site de buscas na internet criado há onze anos, usa um modelo matemático capaz de entregar resultados de pesquisas de forma muito eficiente. Na rede mundial de computadores, são realizadas, a cada segundo, 30 000 buscas, em média. A tabela a seguir apresenta a distribuição desse total entre os maiores sites de busca.

Sites Buscas

Google 21 000

Yahoo 2 700

Microsoft 800

Outros 5 500

Total 30 000

De acordo com esses dados, se duas pessoas fazem simultaneamente uma busca na internet, a proba-bilidade de que pelo menos uma delas tenha usado o Google é

a) 67%

b) 75%

c) 83%

d) 91%

e) 99%

6. (UF-RS) Uma urna contém bolas numeradas de 1 até 15. Retirando-se da urna 3 bolas, sem reposição, a probabilidade de a soma dos números que aparecem nessas bolas ser par é:

a) 113

d) 3165

b) 613

e) 3365

c) 2865

7. (Ita-SP) A expressão (2√ 3 1 √ 5 )5 2 (2√ 3 2 √ 5 )5

é igual a:

a) 2 630√ 5

b) 2 690√ 5

c) 2 712√ 5

d) 1 584√ 15

e) 1 604√ 15

8. (PUC-RS) Uma melodia é uma sequência de notas musicais. Para compor um trecho de três notas mu-

66


sicais sem repeti-las, um músico pode utilizar as sete notas que existem na escala musical. O número de melodias diferentes possíveis de serem escritas é:

a) 3

b) 21

c) 35

d) 210

e) 5 040

9. (UF-CE) Poupêncio investiu R$ 1 000,00 numa aplica-ção bancária que rendeu juros compostos de 1% ao mês, por cem meses seguidos. Decorrido esse prazo, ele resgatou integralmente a aplicação. O montante resgatado é suficiente para que Poupêncio compre um computador de R$ 2 490,00 à vista? Explique sua resposta.

10. (UF-PR) Em uma população de aves, a probabilidade

de um animal estar doente é 125

.

Quando uma ave está doente, a probabilidade de

ser devorada por predadores é 14

, e, quando não

está doente, a probabilidade de ser devorada por

predadores é 140

. Portanto, a probabilidade de uma

ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser

devorada por predadores é de:

a) 1,0%

b) 2,4%

c) 4,0%

d) 3,4%

e) 2,5%

11. (Unicamp-SP) Considere a matriz A 5

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

cujos coeficientes são números reais.

a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo.

b) Suponha, agora, que aij 5 0 para todo elemento em que j . i, e que aij 5 i 2 j 1 1 para os elemen-tos em que j < i.

Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A−1.

12. (UFU-MG) O Programa Nacional de Tecnologia Educacional do MEC financia e instala laboratórios de informática nas escolas públicas de Educação Básica. Suponha que, no processo de licitação para a compra dos computadores destinados aos labora-tórios, o MEC tenha a sua disposição 15 consultores técnicos, sendo que 10 são consultores júnior e 5 são consultores sênior. Dois fabricantes de computadores, sendo um da marca A e outro da marca B, resolveram participar do processo de licitação. Para decidir qual marca comprar, uma equipe de consultores técnicos testou as duas marcas durante uma semana. Os téc-nicos concluíram que a probabilidade de que ocorra

um problema em computadores da marca A é de 12

,

da marca B é de 14

, e, em ambas, é de 1100

.

Com base nestas informações, responda às seguintes perguntas:

a) Se o MEC deseja designar 5 consultores técnicos para compor a equipe de testes, sendo que 3 são consultores júnior e 2 são consultores sênior, de quantas maneiras distintas podem ser escolhidos os 5 consultores?

b) Durante os testes realizados, qual a probabilidade de que nenhuma marca tenha apresentado pro-blema?

13. (UF-ES) Três casais devem sentar-se em 8 poltronas de uma fileira de um cinema. Calcule de quantas maneiras eles podem sentar-se nas poltronas:

a) de modo arbitrário, sem restrições;

b) de modo que cada casal fique junto;

c) de modo que todos os homens fiquem à esquerda ou todos os homens fiquem à direita de todas as mulheres.

14. (UE-RJ) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo.

A

B

Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X cami-

67


a) 26 d) 30

b) 24 e) 28

c) 22

19. (FGV-SP)

a) Em um laboratório, uma caixa contém pequenas peças de mesma forma, tamanho e massa. As peças são numeradas, e seus números formam uma progressão aritmética:

5, 10, 15, ..., 500

Se retirarmos ao acaso uma peça da caixa, qual é a probabilidade, expressa em porcentagem, de obtermos um número maior que 101?

b) Explique por que podemos afirmar que 101! 1 19 não é um número primo.

20. (Enem-MEC) A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II repre-senta a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada.

Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.

AB

C

D

E3

E5

E4E1

E6E2

AB

C

D

0,5

0,4

0,30,8

0,60,7

Figura I Figura II

Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, per-correndo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível.

O melhor trajeto para Paula é

a) E1E3

b) E1E4

c) E2E4

d) E2E5

e) E2E6

nhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d.

Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a:

a) 20 c) 12

b) 15 d) 10

15. (Unemat-MT) Em uma competição há sete candida-tos, dois do sexo masculino e cinco do sexo feminino. Para definir os dois primeiros candidatos que irão ini-ciar a competição, efetuam-se dois sorteios seguidos, sem reposição, a partir de uma urna contendo fichas com os nomes de todos os candidatos.

Nesta situação, a probabilidade de os dois nomes sorteados serem do sexo feminino é de:

a) 1021

d) 57

b) 721

e) 514

c) 25

16. (UE-RJ) Ao refazer seu calendário escolar para o se-gundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009, com a condição de que não fossem utilizados 4 sábados consecutivos.

Para atender às condições de reposição das aulas, o número total de conjuntos distintos que podem ser formados contendo 4 sábados é de:

a) 80 c) 120

b) 96 d) 126

17. (UE-CE) A senha de um cartão eletrônico possui sete caracteres, todos distintos, sendo quatro algarismos e três letras maiúsculas, intercalando algarismos e letras (por exemplo, 5C7X2P8). Sabendo que são disponibilizados 26 letras e 10 algarismos, o número de senhas distintas que podem ser confeccionadas é:

a) 66 888 000 c) 78 624 000

b) 72 624 000 d) 84 888 000

18. (FGV-SP) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão.

Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades?

68


21. (Enem-MEC) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir:

Tamanho dos calçados Número de funcionárias

39,0 1

38,0 10

37,0 3

36,0 5

35,0 6

Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é:

a) 13

d) 57

b) 15

e) 514

c) 25

22. (Enem-MEC) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA informa que ele saíra da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.

B

C

FD

A6

68 9

7

13

10

12

8

4

5

5

3

2

6

E

Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes.

Examinando a figura, percebe que precisa conside-rar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado.

O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de

a) 60 min

b) 90 min

c) 120 min

d) 180 min

e) 360 min

23. (UF-RJ) Um ponto M é selecionado ao acaso no inte-rior de um círculo C de raio 2 e centro O. Em seguida, constrói-se um quadrado, também centrado em O, que tem M como ponto médio de um de seus lados.

Calcule a probabilidade de que o quadrado assim construído esteja inteiramente contido no círculo C.

24. (UFF-RJ) Muitos consideram a Internet como um novo continente que transpassa fronteiras geográficas e conecta computadores dos diversos países do globo. Atualmente, para que as informações migrem de um computador para outro, um sistema de endereça-mento denominado IPv4 (Internet Protocol version 4) é usado. Nesse sistema, cada endereço é constituí-do por quatro campos separados por pontos. Cada campo, por sua vez, é um número inteiro no intervalo [0, 28 2 1]. Por exemplo, o endereço IPv4 do servidor WEB da UFF é 200.20.0.21. Um novo sistema está sendo proposto: o IPv6. Nessa nova versão, cada en-dereço é constituído por oito campos e cada campo é um número inteiro no intervalo [0, 216 2 1].

Com base nessas informações, é correto afirmar que:

a) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o quádruplo do número de endereços diferentes do sistema IPv4.

Thin

ksto

ck/G

etty

Imag

es

69


b) existem exatamente 4 ? (28 2 1) endereços dife-rentes no sistema IPv4.

c) existem exatamente 232 endereços diferentes no sistema IPv4.

d) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o dobro do número de endereços diferentes do sistema IPv4.

e) existem exatamente (28 2 1)4 endereços diferentes no sistema IPv4.

25. (UF-PR) Em uma cidade de 250 000 habitantes, apro-ximadamente 10 000 foram vacinados contra o vírus H1N1, número muito menor do que as autoridades de saúde previam. Se tomarmos aleatoriamente 50 habitantes dessa cidade, quantos deles se espera que tenham sido vacinados contra o vírus H1N1?

a) 2 habitantes

b) 6 habitantes

c) 8 habitantes

d) 12 habitantes

e) 15 habitantes

26. (Fuvest-SP) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face su-perior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b?

a) 427

b) 1154

c) 727

d) 1027

e) 2354

27. (U.F. Juiz de Fora-MG) Nas quartas de final de um campeonato de futebol, 8 times, denominados A, B, C, D, E, F, G e H, serão divididos aleatoriamente em 4 grupos de 2 times. Em cada grupo, os 2 times se enfrentam sem possibilidade de empate. O perdedor é eliminado e o vencedor avança para a próxima fase.

a) O time A sempre vence os times B, C, D e E. Além disso, o time A sempre perde dos times F, G e H. Qual é a probabilidade de o time A avançar à próxima fase?

b) Já sabemos que o time B sempre perde para o time A. Além disso, a probabilidade de vitória do time B, quando este enfrenta os times C, D ou E,

é sempre igual a 14

, e a probabilidade de vitória

do time B, quando este enfrenta os times F, G ou

H, é sempre igual a 23

. Qual é a probabilidade de

o time B avançar à próxima fase?

28. (UE-GO) Na cantina “Canto Feliz”, surgiram as se-guintes vagas de trabalho: duas para serviços de limpeza, cinco para serviços de balcão, quatro para serviços de entregador e uma para serviços gerais. Para preencher essas vagas, candidataram-se 23 pessoas: oito para a função de limpeza, sete para a de balconista, seis para a de entregador e duas para serviços gerais. Considerando todas as possibilidades de seleção desses candidatos, determine o número total dessas possibilidades.

29. (UE-RJ) Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida ao acaso.

Observe a ilustração:

Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de moedas a serem inseridas na máquina corresponde a:

a) 5

b) 13

c) 31

d) 40

30. (UF-PI) Considere os resultados da Olimpíada Brasi-leira de Matemática das Escolas Públicas – 2008 e os números de medalhas dos alunos do Piauí, Ceará e Maranhão, apresentados no quadro a seguir. Qual é

INB

- Im

ages

/Glo

w Im

ages

70


a probabilidade de se escolher dentre esses alunos um que seja do Piauí, dado que ele tenha recebido medalha de prata?

CE mA Pi Totais

ouro 19 1 1 21

Prata 31 7 8 46

Bronze 47 20 20 87

Totais 97 28 29

a) 829

b) 3129

c) 2946

d) 831

e) 846

31. (UF-MG) Numa brincadeira, um dado, com faces numeradas de 1 a 6, será lançado por Cristiano e, depois, por Ronaldo. Será considerado vencedor aquele que obtiver o maior número como resultado do lançamento. Se, nos dois lançamentos, for obtido o mesmo resultado, ocorrerá empate.

Com base nessas informações,

1. CALCULE a probabilidade de ocorrer um empate.

2. CALCULE a probabilidade de Cristiano ser o vencedor.

32. (UF-RN) Uma família é composta por cinco pessoas: os pais, duas meninas e um menino. No aniversário de casamento dos pais, uma foto foi “tirada” com os filhos em pé e os pais sentados à frente dos filhos.

Mantendo-se os pais à frente dos filhos,

a) qual a quantidade máxima de fotos diferentes que podem ser tiradas, com relação à ordem de localização das pessoas na foto?

b) dentre as diferentes fotos obtidas, qual a probabi-lidade do pai estar à esquerda da mãe e o menino ficar entre as duas meninas?

33. (UF-PE) Um escritório tem 7 copiadoras e 8 fun-cionários que podem operá-las. Calcule o número m de maneiras de se copiar simultaneamente (em máquinas distintas, sendo operadas por funcionários diferentes) 5 trabalhos idênticos neste escritório. Indique a soma dos dígitos de m.

34. (UF-PE) Um construtor compra 60% das suas telhas da Companhia A e o restante da Companhia B. Suponha que 96% das telhas compradas de A são entregues sem defeito, e o mesmo ocorre com 98% das telhas de B. Se uma telha foi entregue com de-feito, calcule a probabilidade percentual p% de ter sido entregue pela Companhia A. Indique p.

35. (UF-AM) As cidades A, X, Y, Z e B estão interligadas por rodovias indicadas conforme a figura a seguir. De quantos modos uma pessoa pode sair da cidade A e chegar à cidade B, passando apenas uma vez por cada cidade em cada caminho escolhido?

a) 90

b) 92

c) 94

d) 95

e) 102

36. (UE-PI) O código de abertura de um cofre é formado por seis dígitos (que podem se repetir, e o código pode começar com o dígito 0). Quantos são os có-digos de abertura com pelo menos um dígito 7?

a) 468 559

b) 468 595

c) 486 595

d) 645 985

e) 855 964

37. (UF-MG) Cinco times de futebol, de igual excelência, vão disputar oito edições seguidas de um torneio anual. Considerando essa informação:

1. CALCULE a probabilidade de um mesmo time vencer as duas primeiras edições desse torneio.

2. CALCULE a probabilidade de não haver vencedo-res consecutivos durante a realização das oito edições desse torneio.

38. (UF-PE) No desenvolvimento binomial de 1 1 13

10,

quantas parcelas são números inteiros?

Fer

nand

o M

onte

iro

71


41. (UF-GO) Observa-se empiricamente, em diversas séries estatísticas quantitativas, que é muito maior a frequência de dados cujo primeiro dígito (à esquer-da) é 1 do que a frequência de dados cujo primeiro dígito é 9. Por exemplo, na série de população dos 5 565 municípios brasileiros publicada pelo IBGE em 2009, existem 1 619 municípios cuja população é expressa por um número iniciado por 1 (por exem-plo: Goiânia, 1 281 975 habitantes), enquanto em apenas 209 municípios a população é expressa por um número iniciado por 9 (por exemplo: Itumbiara, 92 832 habitantes). Esse fato é conhecido como lei de Benford, e é expresso da seguinte maneira: em um conjunto de observações numéricas satisfazendo essa lei, a probabilidade de que o primeiro dígito seja D, em que D pode assumir os valores inteiros de 1 a

9, é dada por: PD 5 log 1 1 1D

.

De acordo com essas informações, para uma série de dados que satisfaz a lei de Benford, extraindo um dado ao acaso, qual é a probabilidade de se ter o primeiro dígito menor do que 5?

Use log 2 5 0,3

39. (UF-RN) De um grupo de cinco homens e quatro mulheres, duas pessoas serão premiadas com uma viagem. Como todos merecem o prêmio, a escolha será feita escrevendo-se o nome de cada um num pedaço de papel, que será colocado numa urna. Sem nenhuma possibilidade de identificação prévia, dois papéis serão retirados da urna.

Determine a probabilidade de as duas pessoas esco-lhidas serem homens.

40. (UF-RN) Um empresário contribui financeiramente para uma instituição filantrópica e a visita semanal-mente, sendo o dia da semana escolhido aleatoria-mente.

Em duas semanas consecutivas, a probabilidade de a visita ocorrer no mesmo dia da semana é

a) três vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias distintos.

b) um terço da probabilidade de ocorrer em dois dias distintos.

c) seis vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias distintos.

d) um sexto da probabilidade de ocorrer em dois dias distintos.


72

respostas 1. e

2. a

3. a

4. a

5. d

6. e

7. b

8. d

9. (11 0,01)100 . 2 495

Para verificar essa afirmação, some os três primeiros termos do desenvolvimento do binômio.

Logo, o montante resgatado será suficiente para comprar o computador de R$ 2 490,00.

10. d

11. a) 114

b) A21 5

1 0 0

22 1 0 1 22 1

12. a) 1 200

b) 26%

13. a) 20 160

b) 480

c) 2 016

14. b

15. a

16. c

17. c

18. a

19. a) 80%

b) Observe que 101! 1 19 é múltiplo de 19, pois um dos fatores de 101! é igual a 19.

20. d

21. d

22. b

23. 50%

24. c

25. a

26. c

27. a) 47

b) 1128

28. 17 640

29. c

30. e

31. 1) 16

2) 5

12

32. a) 12

b) 16

33. 141 120 maneiras; a soma dos dígitos é 9.

34. 75

35. d

36. a

37. 1) 15

2) 45

7

38. 2

39. 5

18

40. d

41. 70%



73

Geometria analítica

1. (U.E. Londrina-PR) O vértice, o foco e a reta diretriz da parábola de equação y 5 x2 são dados por:

a) Vértice: (0, 0); Foco: 0, 14

; Reta diretriz:

y 5 214

b) Vértice: (0, 0); Foco: 0, 12

; Reta diretriz:

y 5 212

c) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1); Reta diretriz: y 5 21

d) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 21); Reta diretriz: y 5 1

e) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 2); Reta diretriz: y 5 22

2. (Ita-SP) Considere a parábola de equação y 5 ax2 1 1 bx 1 c, que passa pelos pontos (2, 5), (21, 2) e tal que a, b, c formam, nesta ordem, uma progres-são aritmética. Determine a distância do vértice da parábola à reta tangente à parábola no ponto (2, 5).

3. (UF-PA) Conhecendo as coordenadas de três pontos A(0, 2), B(3, 0) e C(21, 22), encontre a coordenada do centro da circunferência que contém os três pontos.

4. (PUC-RJ) Dadas a parábola y 5 x2 1 x 1 1 e a reta y 5 2x 1 m:

a) Determine os valores de m para os quais a reta intercepta a parábola.

b) Determine para qual valor de m a reta tangencia a parábola. Determine também o ponto de tan-gência.

5. (U.F. Pelotas-RS) O gráfico a seguir representa a função:

f(x) 5 x2 2 5x 1 6.

A

y

B

x

Com base nessas informações é CORRETO afirmar que a equação da circunferência que passa em B e tem centro em A é:

a) (x 2 6)2 1 y 5 45

b) x2 1 (y 2 6)2 5 9

c) x2 1 (y 2 6)2 5 45

d) (x 2 6)2 1 y2 5 9

e) x2 1 (y 2 3)2 5 9

6. (U.F. Santa Maria-RS) A massa utilizada para fazer pastéis folheados, depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da circunferência que limita o círculo é x2 1 y2 2 4x 2 6y 2 36 5 0 e adotando p 5 3,14, o diâmetro de cada disco e a área da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, respectivamente:

a) 7 e 113,04

b) 7 e 153,86

c) 12 e 113,04

d) 14 e 113,04

e) 14 e 153,86

7. (PUC-RJ) Calcule a área do triângulo de vértices A 5 (1, 2), B 5 (2, 4) e C 5 (4, 1).

y

B

x

AC

a) 52

b) 3

c) 72

d) 4

e) 92

8. (Udesc-SC) Analise as afirmações dadas a seguir, classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).

74


( ) A equação x2 2 2x 1 y2 1 2y 1 1 5 0 re-presenta uma circunferência que é tangente tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas.

( ) A elipse de equação 9x2 1 4y2 5 36 intercepta a hipérbole de equação x2 2 4y2 5 4 em apenas dois pontos, que são os vértices da hipérbole.

( ) O semieixo maior da elipse 9x2 1 4y2 5 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x2 2 4y2 5 4.

Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo.

a) V – V – V d) F – F – V

b) V – V – F e) V – F – F

c) F – V – F

9. (UF-CE) Um losango do plano cartesiano Oxy tem vértices A(0, 0), B(3, 0), C(4, 3) e D(1, 3).

a) Determine a equação da reta que contém a dia-gonal AC.

b) Determine a equação da reta que contém a dia-gonal BD.

c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD.

10. (UF-CE) Considere as seguintes regiões do plano cartesiano xOy:

A 5 {P(x, y); x2 1 y2 2 4x 2 4y 1 4 < 0} e

B 5 {P(x, y); 0 < y < x < 4}.

a) Identifique e esboce graficamente a região A.

b) Identifique e esboce graficamente a região B.

c) Calcule a área da região A B.

11. (UF-RJ) Os pontos (26, 2), (3, 21) e (25, 25) per-tencem a uma circunferência.

Determine o raio dessa circunferência.

12. (Unifesp-SP) Num sistema cartesiano ortogonal, são dados os pontos A(1, 1), B(5, 1), C(6, 3) e D(2, 3), vértices de um paralelogramo, e a reta r, de equação

r: 3x 2 5y 2 11 5 0.y

B

x

A

D C

r

A reta s, paralela à reta r, que divide o paralelogramo ABCD em dois polígonos de mesma área, terá por equação:

a) 3x 2 5y 2 5 5 0

b) 3x 2 5y 5 0

c) 6x 2 10y 2 1 5 0

d) 9x 2 15y 2 2 5 0

e) 12x 2 20y 2 1 5 0

13. (U.E. Ponta Grossa-PR) Sabendo que os pontos A(–3, –1), B(–2, 6) e C(5, 5) são vértices de um qua-drado ABCD, assinale o que for correto.

01) A área do quadrado vale 50 u.a.

02) O vértice D tem coordenadas (4, –2).

04) A circunferência que circunscreve o quadrado tem raio igual a 5 u.c.

08) A reta suporte da diagonal BD tem equação 4x 1 3y – 10 5 0.

16) As diagonais do quadrado se interceptam no ponto (1, 2).

14. (Vunesp-SP) A figura mostra a representação de algu-mas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura. Vamos admitir que:

I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943;

II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua;

III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista).

Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente:

Dado: 0,9432 0,889 e √ 0,111 0,333

a) 35

b) 30

c) 25

d) 20

e) 15

Fern

ando

Mon

teiro

75


19. (FGV-SP) A representação gráfica da equação (x 1 1 y)2 5 x2 1 y2 no sistema cartesiano ortogonal é:

a) o conjunto vazio.

b) um par de retas perpendiculares.

c) um ponto.

d) um par de pontos.

e) um círculo.

20. (Fuvest-SP) No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, estão representados a circunferência de centro na origem e raio 3, bem

como o gráfico da função y 5 √ 8|x|

.

y

BC

x

A

O

D

Nessas condições, determine

a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da circunferência com o gráfico da função.

b) a área do pentágono OABCD.

21. (UF-CE) Em um sistema cartesiano de coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta y 5 x 1 b é tangente ao círculo de equação x2 1 y2 5 1 é:

a) 2 d) 1

√ 2

b) 1 e) 3

c) √ 2

22. (Cefet-SC) Dada a figura abaixo cujas medidas estão expressas em centímetros,

2

2

22

22

15. (UF-RS) Os pontos de interseção do círculo de equa-ção (x 2 4)2 1 (y 2 3)2 5 25 com os eixos coorde-nados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é

a) 22

b) 24

c) 25

d) 26

e) 28

16. (UFF-RJ) A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementos gregos: o primeiro, perí, significa “em torno de”, e o segundo, metron, significa “me-dida”.

O perímetro do trapézio cujos vértices têm coorde-nadas (21, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é:

a) 10 1 √ 29 1 √ 26

b) 16 1 √ 29 1 √ 26

c) 22 1 √ 26

d) 17 1 2√ 26

e) 17 1 √ 29 1 √ 26

17. (FGV-SP) Dionísio possui R$ 600,00, que é o máximo que pode gastar consumindo dois produtos A e B em quantidades x e y respectivamente.

O preço por unidade de A é R$ 20,00 e o de B é R$ 30,00.

Admite-se que as quantidades x e y sejam represen-tadas por números reais não negativos e sabe-se que ele pretende gastar no máximo R$ 300,00 com o produto A.

Nessas condições, o conjunto dos pares (x, y) possí-veis, representados no plano cartesiano, determinam uma região cuja área é:

a) 195

b) 205

c) 215

d) 225

e) 235

18. (FGV-SP) Dada a circunferência de equação x2 1 y2 2 2 6x 2 10y 1 30 5 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de P é:

a) 10 d) 11,5

b) 10,5 e) 1

c) 11

76


e as proposições:

I. é uma circunferência de diâmetro 2 cm.

II. é uma circunferência de área 4p cm².

III. é uma circunferência de equação x² 1 y² 5 4.

Considerando as proposições apresentadas, assinale a alternativa correta:

a) Apenas as proposições I e III são verdadeiras.

b) Apenas as proposições I e II são verdadeiras.

c) Apenas a proposição III é verdadeira.

d) Apenas as proposições II e III são verdadeiras.

e) Apenas a proposição II é verdadeira.

23. (UF-PR) A figura a seguir mostra uma circunferência tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e diâmetro de 10 unidades.

y

B x

A

D

C

a) Sabendo que A 5 (8, 4) e que r: 3y 1 x 5 20 é a reta que passa por A e B, calcule a área do triân-gulo CAB.

b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na figura acima, no qual a reta r intercepta a circun-ferência.

24. (UF-BA) Na figura, considere os pontos A(4, 0), B(4, 2), C(4, 3) e D(3, 3) e a reta r que passa pela origem do sistema de coordenadas e pelo ponto B.

Br

A

4321O

CD

1

2

3

y

x

Com base nessa informação, pode-se afirmar:

01) O triângulo BCD é equilátero.

02) A área do setor circular hachurado é igual a p4

u.a.

04) A equação y 5 x2

representa a reta r.

08) O ângulo entre o eixo Ox, no sentido positivo, e a reta r mede 30º.

16) A imagem do ponto C pela reflexão em relação à reta r é o ponto de coordenadas (4, 1).

32) A imagem do triângulo OAB pela homotetia de

razão 13

é um triângulo de área 43

u.a.

64) A imagem do ponto D pela rotação de 45º em torno da origem do sistema, no sentido positivo, é o ponto de coordenadas (0, 3).

25. (Unicamp-SP) No desenho a seguir, a reta y 5 ax (a . 0) e a reta que passa por B e C são perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (2, 0), resolva as questões que se seguem.

a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a.

b) Supondo, agora, que a 5 3, determine as coorde-nadas do ponto A e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x.

A

y

y 5 ax

BO

C

x

26. (UFU-MG) No plano cartesiano, considere o círculo S descrito pela equação cartesiana x2 1 y2 5 5 e a reta r descrita pela equação cartesiana y 5 2x. Assim, r intersecta S nos pontos A e B.Considerando uma nova reta h, descrita pela equa-ção cartesiana y 5 x 1 1, esta reta intersecta S nos pontos A e C.

a) Determine os pontos A, B e C.

b) Determine a área do triângulo de vértices A, B e C.

27. (UF-TO) Considere as equações das circunferências:C1: x

2 2 2x 1 y2 2 2y 5 0C2: x

2 2 4x 1 y2 2 4y 5 0cujos gráficos estão representados abaixo:

C2

C1

O

y

x

77


A área da região hachurada é:

a) 3p unidades de área.

b) p unidades de área.

c) 5p unidades de área.

d) 6p unidades de área.

e) p2

unidades de área.

28. (UF-TO) Considere o conjunto dos números reais e b . Encontre os valores de b, tais que no plano cartesiano xy, a reta y 5 x 1 b intercepta a elipse x2

4 1 y2 5 1 em um único ponto. A soma dos valores

de b é:

a) 0 d) √ 5

b) 2 e) 22√ 5

c) 2√ 5

29. (Unemat-MT) Dada uma circunferência de centro C (3; 1) e raio r 5 5 e seja o ponto P(0; a), com a , é correto afirmar:

a) Se 23 , a , 5, então P é externo à circunferência.

b) Se 23 , a , 5, então P pertence à circunferência.

c) Se a 5 5 ou a 5 23, então P é interno à circun-ferência.

d) Se a , 23 ou a . 5, então P é externo à circun-ferência.

e) Se a , 23 ou a . 5, então P é interno à circun-ferência.

30. (Unemat-MT) Dada a equação de reta (s): 2x 2 y 1 1 1 5 0, a equação de reta paralela a s pelo ponto P(1, 1) será:

a) 2x 2 y 5 0

b) 2x 1 y 11 5 0

c) 2x 1 y 2 1 5 0

d) 2x 2 y 2 1 5 0

e) 2x 2 y 1 2 5 0

31. (ESPM-SP) No plano cartesiano, uma reta de coeficien-te angular 1 intercepta a parábola de equação y 5 5 x2 2 2x 1 4 nos pontos A e V, sendo V o vértice da mesma. O comprimento do segmento AV é igual a:

a) 1 d) √ 3

b) 2 e) √ 2

c) √ 5

32. (UE-CE) Para valores reais de k, as equações (k 2 4)x 1 1 5y 2 5k 5 0 representam no plano cartesiano uma família de retas que passam pelo ponto fixo P(m, n). O valor de m 1 n é:

a) 9

b) 11

c) 13

d) 14

33. (FGV-SP) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y.Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é:

a) x2 1 y2 1 (2√ 10 )x 2 (2√ 10 )y 1 10 5 0

b) x2 1 y2 1 (2√ 8 )x 2 (2√ 8 )y 1 8 5 0

c) x2 1 y2 1 (2√ 10 )x 1 (2√ 10 )y 1 10 5 0

d) x2 1 y2 2 (2√ 8 )x 1 (2√ 8 )y 1 8 5 0

e) x2 1 y2 2 4x 1 4y 1 4 5 0

34. (Enem-MEC) A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que são curvas fechadas representando a altitude da região, com relação ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à altitude da região.

20,0

70,0 800 m

700 m

600 m

500 m

400 m

300 m

200 m

100 m

60,8

60,6

60,4

60,2

60,0

20,2 20,4 20,6 20,8 21,0 21,2

N

S

LO

X

Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto X 5 (20; 60). O helicóptero segue o percurso:

0,8° L → 0,5° N → 0,2° O → 0,1° S → 0,4° N → 0,3° L

De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é:

a) menor ou igual a 200 m.

b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.

c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m.

d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m.

e) maior que 800 m.

78


35. (UF-PR) Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura abaixo descreve a situação de maneira simpli-ficada.

Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na figura, são, então:

a) (21, 7)

b) (22, 8)

c) (24, 12)

d) (25, 13)

e) (26, 15)

36. (U.F. Juiz de Fora-MG) No plano cartesiano, seja λ a circunferência de centro C 5 (3, 5) e raio 4 e seja r a reta de equação y 5 2x 1 6.

a) Determine todos os valores de x para os quais o ponto P 5 (x, y) pertence à reta r e está no interior da circunferência λ.

b) Encontre a equação cartesiana da circunferência λ1 concêntrica à circunferência λ e tangente à reta r.

37. (UE-GO) Em uma chácara há um pasto que é utilizado para criar vacas e bezerros. Esse pasto tem área de dois hectares, sendo que cada um corresponde a um quadrado de 100 metros de lado. Observações técnicas indicam que cada vaca deverá ocupar uma área de, no mínimo, 1 000 m2 e cada bezerro de, no mínimo, 400 m2.

a) De acordo com as observações técnicas, esse pasto comportará 15 vacas e 15 bezerros? Justifique sua resposta.

b) Represente algébrica e graficamente as condi-ções dessa situação, respeitando as observações técnicas.

38. (UF-AL) A figura a seguir ilustra os gráficos da circun-ferência com equação x2 1 y2 2 6x 1 2y 2 17 5 0, da reta com equação x 2 y 1 2 5 0 e da circunferência que tem um diâmetro com extremos nas interseções da reta e da circunferência anteriores. Qual das alter-nativas a seguir é uma equação da circunferência, em tracejado na ilustração, que tem um diâmetro com extremos nas interseções da reta e da circunferência dadas?

2

2

22

22

4

0 4 6 8

24

26

6

a) x2 1 y2 2 4y 1 5 5 0

b) x2 1 y2 2 4y 2 5 5 0

c) x2 1 y2 1 4y 1 5 5 0

d) x2 1 y2 1 4y 2 5 5 0

e) x2 1 y2 2 5y 1 4 5 0

39. (UF-AM) A equação da reta t que passa pela origem e pelo ponto de interseção das retas r: y 2 3x 1 2 5 0 e s: y 1 x 2 2 5 0 é dada pela equação:

a) t: y 1 2x 5 0

b) t: y 2 2x 5 0

c) t: y 1 x 5 0

d) t: y 2 x 5 0

e) t: y 5 0

40. (UF-PI) Duas retas r e s do plano se interceptam no ponto (21, 6) e formam, com o eixo das abscissas, ângulos agudos a e b, respectivamente. Se tg (a) 5 3 e tg (b) 5 2, uma possibilidade para a medida da área do triângulo formado por r, s e o eixo das abscissas é

a) 11 unidades de área

b) 12 unidades de área

c) 13 unidades de área

d) 14 unidades de área

e) 15 unidades de área

Fern

ando

Mon

teiro

79


b) CALCULE as coordenadas dos pontos de interse-ção A 5 r s, B 5 r y e C 5 s t.

c) DETERMINE a área do triângulo ABC.

44. (UF-PB) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para fazer o projeto de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto pro-posto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m 3 120 m, onde deverá ser construído um jardim em forma de elipse na parte central.

120 m

80 m

10 m

10 m

B

CF2F1A

D

10 m 10 m

Estão destacados na figura os segmentos AC e BD, que são, respectivamente, o eixo maior e menor da elipse, bem como os pontos F1 e F2, que são os focos da elipse onde deverão ser colocados dois postes de iluminação.

Com base nessas informações, conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será, apro-ximadamente, de:

a) 68 m

b) 72 m

c) 76 m

d) 80 m

e) 84 m

45. (UF-GO) No plano cartesiano, as retas r e s, de equa-ções 2x 2 3y 1 3 5 0 e x 1 3y 2 1 5 0, respectiva-mente, se intersectam em um ponto C. Considerando o ponto P(0, 24) determine as coordenadas de dois pontos, A r e B s, de modo que o segmento CP seja uma mediana do triângulo ABC.

46. (Uneb-BA) Se (m, n) são as coordenadas do centro da circunferência x2 1 2√ 3x 1 y2 2 6y 1 7 5 0, então (23m 1 √ 3n) é igual a

a) 6√ 3

b) 1

c) 0

d) 2√ 3

e) 23

41. (UF-PE) Seja (a, b) o ortocentro do triângulo com vértices nos pontos com coordenadas (5, 1), (7, 2) e (1, 3). Assinale 4a 2 2b.

42. (UF-PB) O Governo pretende construir armazéns com o intuito de estocar parte da produção da safra de grãos, de modo que não haja desperdícios por situações adversas. A seção transversal da cobertura de um desses armazéns tem a forma de um arco de cincunferência, apoiado em colunas de sustentação que estão sobre uma viga. O comprimento dessa viga é de 24 m e o comprimento da maior coluna de sustentação é de 8 m, conforme figura a seguir.

24 mC D

8 m

Considerando um sistema cartesiano de eixos orto-gonais xy, com origem no ponto C, de modo que o semieixo x positivo esteja na direção CD e o semieixo y positivo apontando para cima, é correto afirmar que a equação da circunferência que contém o arco CD da seção transversal do telhado, com relação ao sistema de eixos xy, é dada por:

a) (x 2 12)2 1 (y 1 5)2 5 169

b) (x 2 12)2 1 (y 2 7)2 5 193

c) (x 2 12)2 1 (y 2 6)2 5 180

d) (x 2 12)2 1 (y 1 6)2 5 180

e) (x 2 12)2 1 (y 2 5)2 5 169

43. (UF-MG) Considere as retas r, s e t de equações, respectivamente,

y 5 2x 2 4, y 5 2x 1 11 e y 5 x 1 7

5.

a) TRACE, no plano coordenado abaixo, os gráficos dessas três retas.

7

6

5

4

3

2

1

21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

21

y

x

80


47. (UE-MA) A equação da circunferência com raio r 5 5 2 cm e que tem centro no ponto S de encontro das retas y 2 x 2 1 5 0 e y 1 x 2 3 5 0 corta o eixo y nos pontos A e B. Dessa forma, sendo as medidas em centímetros, a distância entre os pontos A e B é:

a) 3√ 2 cm

b) (2 1 √ 3 ) cm

c) 2√ 3 cm

d) 2 cm

e) 1 cm

48. (UF-AM) A equação da elipse cujo gráfico é mostrado na figura a seguir é dada por:

a) 16x2 1 9y2 1 96x 2 36y 1 36 5 0

b) 16x2 1 9y2 2 96x 1 36y 1 36 5 0

c) 9x2 1 16y2 2 36x 2 96y 1 36 5 0

d) 9x2 2 16y2 2 36x 1 96y 1 36 5 0

e) 9x2 1 16y2 2 36x 1 96y 1 36 5 0

49. (UF-RN) Na construção de antenas parabólicas, os fabricantes utilizam uma curva, construída a partir de pontos dados, cujo modelo é uma parábola, conforme a figura abaixo.

Uma fábrica, para construir essas antenas, utilizou como modelo a curva que passa pelos pontos de coordenadas (0, 0), (4, 1), (24, 1).

Outro ponto que também pertence a essa curva tem coordenadas

a) 3, 12

c) 22, 12

b) 2, 14

d) 21, 14

50. (Uneb-BA) A reta 3x 1 4y 2 6 5 0 determina na circunferência x2 1 y2 2 2x 2 4y 1 1 5 0 uma corda de MN de comprimento igual, em u.c., a

a) 6 c) 3 e) √ 3

b) 2√ 3 d) 2√ 2

Ilust

raçõ

es: F

erna

ndo

Mon

teiro


81

respostas 1. a

2. √ 55

3. 914

, 2 27

4. a) m | m > 34

b) 34

; 12

, 74

5. c

6. e

7. c

8. b

9. a) y 5 0,75x

b) y 5 234

x 1 92

c) 2, 32

10. a)

2

2

C

A região A é um círculo centrado em (2, 2) de raio igual a 2.

b) Temos que:

0 < y < 40 < y < x < 4 ⇒ 0 < x < 4

y < x

4

4

y 5 x

C

A região B é um triângulo retângu-lo isósceles cujos catetos medem 4.

c) p ? 22

2 5 2p u.a.

11. 5

12. c

13. São corretas: 01, 02, 04, 08 e 16.

14. b

15. b

16. e

17. d

18. a

19. b

20. a) A(2√ 2; 1), B(1; 2√ 2 ), C(21; 2√ 2 ) e D(22√ 2; 1)

b) 7 1 2√ 2

21. c

22. d

23. a) 30

b) (5, 5)

24. São corretas: 02 e 04.

25. a) C 0, 2a

b) A 15

, 35

x 2 15

2

1 x 2 35

2

5 35

2

26. a) A(1, 2), B(21, 22) e C(22, 21)

b) 3

27. d

28. a

29. d

30. d

31. e

32. a

33. b

34. a

35. c

36. a) 2 2 √ 7 , x , 2 1 √ 7

b) (x 2 3)2 1 (y 2 5)2 5 2

37. a) não

b) Sejam x e y, respectivamente, o número de vacas e o número de bezerros.

Devemos ter: x > 0, y > 0 e 5x 1 2y < 100.

50

y (B)

x (V)20

38. b

39. d

40. e

41. 24

42. a

43. a)

7

6

5

4

3

2

1

21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

21

y

A

B

C

r

st

x

b) A(5, 6), B(3, 2), C(8, 3)

c) 9 u.a.

44. d

45. A 5 2283

, 2479

e

B 5 283

, 2259

46. a

47. c

48. e

49. b

50. b


Números complexos, polinômios e equações algébricas

82

1. (UFU-MG) Sabe-se que o número complexo 2 1 i, em que i é a unidade imaginária, e o número real 3 são raízes do polinômio de terceiro grau p(z), cujos coeficientes são números reais. Sabendo-se também que p(0) 5 30, calcule |p(i)|.

2. (FGV-SP) O quociente da divisão do polinômio P(x) 5 (x2 1 1)4 ? (x3 1 1)3 por um polinômio de grau 2 é um polinômio de grau:

a) 5

b) 10

c) 13

d) 15

e) 18

3. (Mackenzie-SP)

A B

y

xO

A figura mostra uma semicircunferência com centro na origem. Se o ponto A é (2√ 2, 2), então o ponto B é:

a) (2, √ 2 )b) (√ 2, 2)c) (1, √ 5 )d) (√ 5, 1)e) (2, √ 5 )

4. (U.E. Ponta Grossa-PR) As representações gráficas dos complexos z tais que z3 5 1 são os vértices de um triângulo. Em relação a esse triângulo assinale o que for correto.

01) É um triângulo equilátero de lado igual a √ 3 u.c.

02) É um triângulo isósceles de altura igual a 34

u.c.

04) Um de seus vértices pertence ao 2º quadrante.

08) Seu perímetro é 3√ 3 u.c.

16) Sua área é 3√ 3

4 u.a.

5. (UF-RS) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo

cos p8

1 i ? sen p8

n

é negativa é:

a) 3 d) 8

b) 4 e) 9

c) 6

6. (Ita-SP) Sabe-se que o polinômio p(x) 5 x5 2 ax3 1 1 ax2 – 1, a , admite a raiz 2i.

Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p:

I. Quatro das raízes são imaginárias puras.

II. Uma das raízes tem multiplicidade dois.

III. Apenas uma das raízes é real.

Destas, é (são) verdadeira(s) apenas:

a) I d) I e III

b) II e) II e III

c) III

7. (UF-GO) Considere o polinômio p(x) 5 x3 2 9x2 1 1 25x 2 25. Sabendo-se que o número complexo z 5 2 1 i é uma raiz de p, o triângulo, cujos vértices são as raízes de p, pode ser representado, no plano complexo, pela seguinte figura:

a)

2

1

215 x

y

b)

2

1

22

22 x

y

c)

2

1

2121 x

y


83


d)

2

1

5

22 x

y

e)

2

1

2122 x

y

8. (Vunesp-SP) Uma raiz da equação x3 2 (2a 2 1)x2 2 2 a(a 1 1)x 1 2a2(a 2 1) 5 0 é (a 2 1). Quais são as outras duas raízes dessa equação?

9. (UE-CE) Os números 22, 21, 0, 1 e 2 são as soluções da equação polinomial p(x) 5 0, as quais são todas simples. Se o polinômio p(x) é tal que p(√ 2) 5 2√ 2, então o valor de p(√ 3) é igual a:

a) 2√ 3

b) 3√ 2

c) 3√ 3

d) 6√ 2

10. (Ibmec-RJ) O conjunto imagem de todos os números complexos da forma z 5 a 1 bi que satisfazem a equação z ? w 1 z 1 w 5 0, onde w é o conjugado de z, é dado por:

a) uma circunferência

b) uma elipse

c) uma hipérbole

d) uma parábola

e) o semiplano x < 0

11. (FGV-SP)

a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são os afixos dos números complexos: 3, 6i, 23 e 26i, respectivamente.

b) Quais são as coordenadas dos vértices do lo-sango A’B’C’D’ que se obtém girando 90° o losango ABCD, em torno da origem do plano cartesiano, no sentido anti-horário?

c) Por qual número devemos multiplicar o número complexo cujo afixo é o ponto B para obter o número complexo cujo afixo é o ponto B’?

OC A

B

D

x

y

12. (U.F. Juiz de Fora-MG) Seja p(x) 5 x3 1 ax2 1 bx 1 c um polinômio com coeficientes reais. Sabe-se que as três raízes desse polinômio são o quarto, o sétimo e o décimo sexto termos de uma progressão aritmética,

cuja soma de seus vinte primeiros termos é igual a 803

e o seu décimo terceiro termo é igual a 3. Encontre os valores de a, b e c.

13. (UE-GO) João gosta de brincar com números e fazer operações com eles. Em determinado momento, ele pensou em três números naturais e, em relação a esses números, observou o seguinte:

• a soma desses números é 7;

• o produto deles é 8;

• a soma das três parcelas resultantes dos produtos desses números tomados dois a dois é 14.

Assim, os três números pensados por João são raízes da equação

a) x3 2 7x2 1 14x 2 8 5 0

b) x3 1 7x2 2 14x 1 8 5 0

c) x3 2 7x2 2 14x 2 8 5 0

d) x3 1 7x2 2 14x 2 8 5 0

14. (UF-AL) Ao dividirmos o polinômio x2010 1 x1005 1 1 pelo polinômio x3 1 x, qual o resto da divisão?

a) 0

b) x2 1 x 1 1

c) x2 2 x 1 1

d) x2 2 x 2 1

e) x2 1 x 2 1

15. (UF-PI) Seja o polinômio p(x) 5 x3 2 3x2 1 ax 1 b, com coeficientes reais. Sabe-se que p(x) possui três

84


20. (UF-AM) Na figura a seguir os números complexos Z1, Z2, Z3, Z4, Z5 e Z6 estão representados pelos vérti-ces de um hexágono regular. Podemos afirmar que Z2 ? Z3

Z5 ? Z6

é:

Z1 5 1

Z6Z5

Z4

Z3 Z2

x

y

a) 1 d) 22

b) 21 e) 3

c) 2

21. (UF-SE) Considerando que a e b são números

reais, use os números complexos u 5 4 2 ai1 2 i

,

v 5 3 2 (b 1 1) ? i e w 5 cos 18° 1 i sen 18° para

analisar a veracidade das afirmações seguintes.

a) Se u é um imaginário puro, então u5 5 1 024i.

b) Considerando que, no plano de Argand-Gauss, o afixo de v pertence ao quadrante, então, se

|v| 5 5, o argumento principal de v é: 11p6

rad.

c) Se a 5 22 e b 5 3, então 3 , vu

, 5.

d) Se a 5 b 5 0, o conjugado de (u 2 v)2 é igual a 21 1 i.

e) Uma das raízes sextas de w10 é igual a

2 √ 32

1 12

i.

raízes reais, distintas e que estão em Progressão Geo-métrica. Sabendo-se que p(x) é divisível por x 2 4, pode-se afirmar que o valor do coeficiente a é:

a) 26

b) 23

c) 0

d) 3

e) 6

16. (UF-GO) Dados dois polinômios p(x) e q(x), as abs-cissas dos pontos de intersecção dos seus gráficos são as soluções da equação algébrica p(x) 5 q(x). Considere os polinômios p(x) 5 x3 1 a2x

2 1 a1x 1 a0 e q(x) 5 3 2 2x. Determine os valores de a0, a1 e a2 para que os polinômios p(x) e q(x) se intersectem nos pontos de abscissa 22, 3 e 4.

17. (UE-PB) O resto da divisão do polinômio P(x) 5 3x2n13 2 2 5x2n12 1 8, por x 1 1 com n natural é:

a) 21

b) 1

c) zero

d) 2

e) 6

18. (UF-PE) Se as raízes da equação x3 2 7x2 2 28x 1 1 k 5 0 são termos de uma progressão geométrica, determine e assinale o valor do termo constante k.

19. (UF-PE) A representação geométrica dos nú-meros complexos z que satisfazem a igualdade 2|z 2 i| 5 |z 2 2| forma uma circunferência com raio r e centro no ponto com coordenadas (a, b). Calcule r, a e b e determine 9(a2 1 b2 1 r2).


85

respostas 1. 16√ 5

2. d

3. a

4. São corretas: 01, 04, 08 e 16

5. e

6. c

7. a

8. 2a e 2a

9. a

10. a

11. a) 36

b) (0, 3), (26, 0), (0, 23) e (6, 0)

c) Devemos multiplicar por i.

12. A 5 21, B 5 217 e C 5 215

13. a

14. b

15. a

16. a0 5 27; a1 5 24 e a2 5 25.

17. c

18. 64

19. 40

20. a

21. São verdadeiras: a, e.


Estatística

86

Estatística

1. (PUC-RJ) Na revisão de prova de uma turma de quinze alunos, apenas uma nota foi alterada, passando a ser 7,5. Considerando-se que a média da turma aumen-tou em 0,1, a nota do aluno antes da revisão era:

a) 7,6 d) 6,0

b) 7,0 e) 6,4

c) 7,4

2. (UF-GO) O gráfico a seguir mostra a prevalência de obesidade da população dos EUA, na faixa etária de 20 a 74 anos, para mulheres e homens, e de 12 a 19 anos, para meninas e meninos.

0

10

20

30

40

1960-62

Mulheres Homens Meninas Meninos

1971-74 1976-80 1988-94 1999-2002

porc

enta

gem

Fonte: Scientific American Brasil. São Paulo, jun. 2005, n. 38, p. 46.

De acordo com os dados apresentados neste gráfico,

a) de 1960 a 2002, em média, 30% dos homens estavam obesos.

b) a porcentagem de meninas obesas, no período 1999-2002, era o dobro da porcentagem de me-ninas obesas no período 1988-1994.

c) no período 1999-2002, mais de 20% dos meninos estavam obesos.

d) no período 1999-2002, mais de 50% da popula-ção pesquisada estava obesa.

e) a porcentagem de mulheres obesas no perío-do1988-1994 era superior à porcentagem de mulheres obesas no período 1976-1980.

3. (Cefet-MG) O gráfico da figura apresenta dados referentes às faltas diárias dos alunos na classe de uma escola, em determinado tempo.

nº de faltas por dia

nº de dias

0 1 2 3 4 5

9876543210

Analisando-se esses dados, é correto concluir que ocorreram:

a) 2 faltas por dia

b) 19 faltas em 15 dias

c) 52 faltas em 27 dias

d) 2 faltas a cada 4 dias

4. (CP2-MEC-RJ) A coleta seletiva de lixo é a separa-ção dos materiais recicláveis do restante do lixo. Os principais materiais recicláveis são os papéis, vidros, plásticos e metais. O objetivo é que estes materiais sejam enviados para as usinas de reciclagem e trans-formados em outros produtos.

Considere que a matéria orgânica (vide gráfico) seja a parte do lixo que pode ser transformada em com-posto orgânico (adubo).

O que tem o lixo do brasileiro

Fonte: ABRELPE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Matéria orgânica57,4%

Plástico16,49%

Papel/papelão13,16%

Outros8,08%

Alumínio0,51%

Material ferroso1,56%

Vidro2,34%

Inertes0,46%

Fonte: Revista Carta Capital (27/9/2007 – Adaptado).

a) Considere que as oito mil toneladas de lixo cole-tadas, em média, diariamente na cidade do Rio de Janeiro se distribuam proporcionalmente como no gráfico acima. Determine quantas toneladas desse lixo poderiam ser transformadas em adubo.

b) Um exemplo que deve ser imitado é o da cidade de Londrina, no Paraná. Das 400 toneladas de lixo recolhidas diariamente, 110 são recicladas. Qual o percentual de lixo reciclado, por mês, em Londrina?

5. (CP2-MEC-RJ) Um comerciante de frutas possuía 70 dúzias de laranjas de uma mesma qualidade para vender num dia ensolarado do mês de outubro. Ini-cialmente, começou vendendo a dúzia dessa laranja por R$ 3,70 e, conforme as vendas não correspon-diam às suas expectativas, foi reduzindo o preço para garantir a venda de toda a mercadoria. Dessa forma,

87


o preço da laranja foi reduzido em três ocasiões. A tabela a seguir informa a quantidade de dúzias de laranjas vendidas em cada horário daquele dia e os respectivos preços cobrados pelo comerciante.

Período Preço por dúzia Nº de dúzias vendidas

Das 8h às 10h 3,70 10

Das 10h às 12h 3,20 15

Das 12h às 14h 2,80 30

Das 14h às 16h 2,50 15

a) Qual foi o preço médio da dúzia da laranja vendida naquele dia?

b) Se o comerciante vendesse as 25 primeiras dúzias a R$ 3,42 (a dúzia), por quanto deveria vender cada dúzia restante para que o preço médio das dúzias de laranjas vendidas naquele dia fosse de R$ 3,15?

6. (PUC-MG) Ao misturar 2 kg de café em pó do tipo I com 3 kg de café em pó do tipo II, um comercian-te obtém um tipo de café cujo preço é R$ 6,80 o quilograma. Mas, se misturar 3 kg de café em pó do tipo I com 2 kg de café em pó do tipo II, o quilo da nova mistura custará R$ 8,20. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que o preço de um quilo do café em pó do tipo I é igual a:

a) R$ 4,00 c) R$ 11,00

b) R$ 7,50 d) R$ 12,40

7. (UF-RJ) A revista DigiNet publicou uma pesquisa sobre 50 páginas da Internet muito visitadas, informando que a média diária de visitas às páginas era igual a 500 e que o tempo médio de existência dessas páginas era igual a 38 meses. A revista BiteNet cri-ticou a pesquisa por ela não ter considerado a sua página, uma das mais visitadas. A BiteNet informou ainda que, com a inclusão de sua página, a média de visitas aumentaria para 1000 e o tempo médio de existência passaria para 37 meses. Admitindo-se que as médias publicadas pela DigiNet estejam corretas, então pelo menos uma das médias informadas pela BiteNet estaria errada.

Determine qual delas estaria necessariamente errada. Justifique sua resposta.

8. (UF-RS) O orçamento do Fundo de Amparo ao Tra-balhador para 2010 é de 43 bilhões de reais. Um pesquisador estudou a distribuição desse orçamento

e representou o resultado em um gráfico de setores, como na figura a seguir.

Abono para quem ganha até dois salário mínimos

Financiamento do BNDES

Outras despesas

Seguro-desemprego

Qualificação de trabalhadores

Nesse gráfico, a quantia destinada ao abono para quem ganha até dois salários mínimos foi representa-da por um setor cujo ângulo mede 72º. O pesquisador verificou, então, que o gráfico não estava correto, pois a quantia destinada ao abono encontrada na pesquisa superava em 200 milhões de reais a repre-sentada pelo gráfico. Logo, o valor encontrado na pesquisa para aquele abono foi, em bilhões de reais,

a) 8,8 d) 9,8

b) 9,1 e) 10,6

c) 9,5

9. (FGV-SP) Chama-se custo médio de fabricação por unidade ao custo total de fabricação dividido pela quantidade produzida.

Uma empresa fabrica bicicletas a um custo fixo mensal de R$ 90 000,00; entre peças e mão de obra, cada bicicleta custa R$ 150,00 para ser produzida. A capacidade máxima de produção mensal é de 1 200 unidades.

O custo médio mensal mínimo por unidade vale:

a) R$ 150,00 d) R$ 262,50

b) R$ 187,50 e) R$ 300,00

c) R$ 225,00

10. (FGV-SP) A média aritmética dos elementos do con-junto {17, 8, 30, 21, 7, x} supera em uma unidade a mediana dos elementos desse conjunto.

Se x é um número real tal que 8 , x , 21 e x 17, então a média aritmética dos elementos desse con-junto é igual a:

a) 16 d) 19

b) 17 e) 20

c) 18

88

Estatística

14. (UE-CE) A média aritmética entre os divisores primos e positivos do número 2 310 é:

a) 5,6 c) 6,3

b) 6,0 d) 6,7

15. (UF-PR) O gráfico a seguir mostra o número de usuários no restaurante universitário da UFPR Litoral atendidos durante uma determinada semana, de segunda a sexta-feira.

400

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

nú

mer

o d

e es

tud

ante

s

2ª feira 3ª feira 4ª feira

almoço

jantar

5ª feira 6ª feira

450

350

50100

200

300

250

150

50

dia da semana

Os preços fixos praticados pelo restaurante são: almo-ço R$ 1,60 e jantar R$ 2,00. Qual foi o faturamento do restaurante nessa semana?

a) R$ 4 220,00 d) R$ 5 000,00

b) R$ 10 800,00 e) R$ 10 000,00

c) R$ 4 060,00

16. (FGV-SP) O gráfico abaixo apresenta os lucros anuais (em milhões de reais) em 2008 e 2009 de três empre-sas A, B e C de um mesmo setor. A média aritmética dos crescimentos percentuais dos lucros entre 2008 e 2009 das três empresas foi de aproximadamente:

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0A B

2008 2009

C

200 210

300 320

400

450

a) 8,1% d) 9,3%

b) 8,5% e) 9,7%

c) 8,9%

17. (Enem-MEC) Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados.

11. (CP2-MEC-RJ) Uma estimativa feita por cientistas da USP indica que as emissões de gases do efeito estufa no Brasil aumentaram 24,6% entre 1990 e 2005.

Após a leitura das informações contidas no texto e ilustração acima, responda às perguntas abaixo:

a) Mantendo a variação percentual de emissão de gases para os próximos 15 anos, quantos milhões de toneladas de CO2 estima-se que o Brasil deverá emitir em 2020?

b) Qual a média de emissão de CO2 relativa aos anos observados na figura acima?

12. (ESPM-SP) Uma prova era composta de 3 testes. O primeiro valia 1 ponto, o segundo valia 2 pontos e o terceiro 4 pontos, não sendo considerados acertos parciais. A tabela abaixo mostra a quantidade de alunos que obtiveram cada uma das notas possíveis:

Nota obtida 0 1 2 3 4 5 6 7

Nº de alunos 2 3 1 5 7 2 3 1

O número de alunos que acertaram o segundo teste foi:

a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

13. (ESPM-SP) Considere o conjunto A 5 {x N* | x < 51}.Retirando-se um número desse conjunto, a média aritmética entre seus elementos não se altera. Esse número é:

a) ímpar

b) primo

c) quadrado perfeito

d) maior que 30

e) múltiplo de 13

Fern

ando

Mon

teiro

89


Ranking do Desmatamento em km2

9º Amapá

8º Tocantins

7º Roraima

6º Acre

5º Maranhão

4º Amazonas

3º Rondônia

2º Pará

1º Mato Grosso

4

136

326

549

766

797

3 463

7 293

10 416

Disponível em: www.folhaonline.com.br. Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado).

Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre:

a) 100 km2 e 900 km2

b) 1 000 km2 e 2 700 km2

c) 2 800 km2 e 3 200 km2

d) 3 300 km2 e 4 000 km2

e) 4 100 km2 e 5 800 km2

18. (Enem-MEC) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006.

Quantidade de Gols dos Artilheiros das Copas do Mundo

Gols 14

0

2

4

6

8

10

12

Ano

1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

Disponível em: http://www.suapesquisa.com. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).

A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo?

a) 6 gols d) 7,3 gols

b) 6,5 gols e) 8,5 gols

c) 7 gols

19. (Enem-MEC) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para a classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontua-ção igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação

mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.

Dados dos candidatos no concurso:

mate-mática

Portu-guês

Co-nheci-mentos Gerais

média media-na

Desvio Padrão

marco 14 15 16 15 15 0,32

Paulo 8 19 18 15 18 4,97

O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é:

a) Marco, pois a média e a mediana são iguais.

b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.

c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.

d) Paulo, pois obteve maior mediana.

e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

20. (Enem-MEC) O quadro seguinte mostra o desempe-nho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.

Gols marcados Quantidade de partidas

0 5

1 3

2 4

3 3

4 2

5 2

7 1

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então:

a) X 5 Y , Z d) Z , X , Y

b) Z , X 5 Y e) Z , Y , X

c) Y , Z , X

21. (UFF-RJ) Diz-se que uma família vive na pobreza extrema se sua renda mensal por pessoa é de, no máximo, 25% do salário mínimo nacional. Segundo levantamento do Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea), mais de treze milhões de brasileiros saíram da pobreza extrema entre 1995 e 2008. No entanto, a diminuição generalizada nas taxas de po-

90

Estatística

breza extrema nesse período não ocorreu de forma uniforme entre as grandes regiões geográficas do país, conforme ilustra o gráfico a seguir.

Taxas de pobreza extrema no Brasil e nas suas grandes regiões em 1995 e 2008 (em %)

22,8

0

10

20

30

40

50

Norte

1995 2008

Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste Brasil

41,8

11,7 13,617,5

20,917,6

24,9

6,9 5,511,6 10,5

Adaptado do IBGE – PNAD – Ipea.

Tendo em vista o gráfico, verifica-se que a taxa na-cional de pobreza extrema caiu 49,8%, passando de 20,9% para 10,5%. Pode-se concluir, então, que a região em que a taxa de pobreza extrema (em %) caiu mais de 50% foi:

a) a região Norte

b) a região Sudeste

c) a região Nordeste

d) a região Centro-Oeste

e) a região Sul

22. (UF-PR) Em 2010, uma loja de carros vendeu 270 car-ros a mais que em 2009. A seguir temos um gráfico ilustrando as vendas nesses dois anos.

Nessas condições, pode-se concluir que a média aritmética simples das vendas efetuadas por essa loja durante os dois anos foi de:

a) 540 carros d) 270 carros

b) 530 carros e) 135 carros

c) 405 carros

23. (UF-PI) Na rede de padarias Estrela Dalva, a distri-buição de frequências de salários de um grupo de 30 funcionários, no mês de dezembro de 2008, é apresentada na tabela a seguir:

Número da classe

Salário do mês(em reais)

Número de empregados

1 465 | — 665 16

2 665 | — 865 8

3 865 | — 1065 4

4 1065 | — 1265 2

A média e a mediana do salário pago, nesse mesmo mês, são:

a) R$ 725,00 e R$ 725,00

b) R$ 711,67 e R$ 652,50

c) R$ 865,00 e R$ 525,00

d) R$ 711,67 e R$ 660,00

e) R$ 575,00 e R$ 625,00

24. (UF-PB) Segundo dados do IBGE, as classes sociais das famílias brasileiras são estabelecidas, de acordo com a faixa de renda mensal total da família, conforme a tabela a seguir.

Classe Faixa de rendaA Acima de R$ 15 300,00

B De R$ 7 650,01 até R$ 15 300,00

C De R$ 3 060,01 até R$ 7 650,00

D De R$ 1 020,01 até R$ 3 060,00

E Até R$ 1 020,00

Adaptado de: http://www.logisticadescomplicada.com/ o-brasil-suas-classes-sociais-e-a-implicacao-na-economia.

Acesso em: 5 nov. 2010.

Após um levantamento feito com as famílias de um município, foram obtidos os resultados expressos no gráfico a seguir.

250

Classe A

Núm

ero

de f

amíli

as

Classe B Classe C Classe D Classe E

500

1 500

2 250

Com base nas informações contidas no gráfico e na tabela, conclui-se que o percentual das famílias que têm renda acima de R$ 3 060,00 é de:

a) 45% d) 85%

b) 60% e) 90%

c) 70%

Fern

ando

Mon

teiro

91


25. (UF-PB) A tabela a seguir apresenta a quantidade ex-portada de certo produto, em milhares de toneladas, no período de 2000 a 2009.

Ano Quantidade Exportada(em milhares de toneladas)

2000 48

2001 52

2002 54

2003 52

2004 52

2005 50

2006 48

2007 52

2008 54

2009 52

Considerando os dados apresentados na tabela, identifique as afirmativas corretas: I. A quantidade exportada, de 2006 a 2008, foi

crescente. II. A média da quantidade exportada, de 2003 a

2006, foi de 53 mil toneladas. III. A moda da quantidade exportada, de 2000 a

2009, foi de 52 mil toneladas. IV. A média da quantidade exportada, de 2000 a

2004, foi maior que a média de 2005 a 2008. V. A mediana da quantidade exportada, de 2000 a

2009, foi de 51 mil toneladas.

26. (UE-MA) Realizada uma pesquisa na Escola Vamos Estudar para saber o número de horas que seus alunos dormem por dia, encontrou-se o resultado apresentado no quadro a seguir:

Número de horas Número de alunos3 5

5 10

7 14

9 8

11 3

O tempo médio dormido pelos alunos dessa escola foi:

a) 6h d) 5h30min

b) 7h e) 6h42min

c) 7h36min

27. (UF-RN) José, professor de Matemática do Ensino Médio, mantém um banco de dados com as notas dos seus alunos. Após a avaliação do 1º bimestre, construiu as tabelas a seguir, referentes à distribuição das notas obtidas pelas turmas A e B do 1º ano.

Nota por nº de alunos – Turma A

Nota Número de alunos

30 450 560 970 580 290 3100 2

Nota por nº de

alunos – Turma B

Nota Número de alunos

20 240 350 460 690 3100 2

Ao calcular a média das notas de cada turma, para motivar, José decidiu sortear um livro entre os alunos da turma que obteve a maior média.A média da turma que teve o aluno sorteado foi:

a) 63,0 b) 59,5 c) 64,5 d) 58,0

28. (UF-SE) A tabela abaixo apresenta a distribuição da arrecadação de certo imposto municipal, num dado mês, em uma cidade com 5 000 contribuintes.

Classe

Valor do imposto, em

reais, per capita

Número de contribuintes

Valor total arrecadado

por classe, em reais

1 0 —| 10 3 000 21 0002 10 —| 20 1 000 15 0003 20 —| 30 700 17 5004 30 —| 40 300 10 000

Total 5 000 64 000

Use esses dados para analisar as informações que seguem.

a) Um histograma demonstrativo da relação entre os intervalos de valores do imposto per capita, em reais, e os respectivos números de contribuintes é:

Valor do imposto,

em reais

Número de contribuintes

0 10300700

1 000

2 000

3 000

20 30 40

b) Nesse mês, o valor médio do imposto per capita localiza-se na classe 3.

c) Na classe 2, o valor médio do imposto pago pelos contribuintes é R$ 12,00.

d) Nesse mês, 20% do total de contribuintes paga-ram mais de R$ 20,00 de imposto.

e) Escolhendo-se aleatoriamente um dos contribuin-tes do município, a probabilidade de que o valor do imposto pago por ele nesse mês seja igual ou

menor do que R$ 30,00 é 4750

.

Estatística

92

respostas 1. d

2. e

3. c

4. a) 4 592 toneladas

b) 27,5%

5. a) R$ 2,95

b) R$ 3,00

6. c

7. Tempo médio de existência.

8. a

9. c

10. a

11. a) 2 492 milhões de toneladas.

b) 1 796,5 milhões de toneladas.

12. a

13. e

14. a

15. c

16. a

17. c

18. b

19. b

20. e

21. e

22. a

23. b

24. b

25. I, III, IV

26. e

27. a

28. São verdadeiras: a, d, e.

Estatística


93

1. O mapa ao lado representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros.

Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y?

a) 25 min d) 1,5 min

b) 15 min e) 0,15 min

c) 2,5 min

Texto para as questões 2 e 3

A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Na-ções Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.

países desenvolvidos

países emdesenvolvimento

estimativas

números em milhões

110

1950 70 90 2010 30 500

5

10

15

20

25

30

35

2691 592

461

95490

Fonte: “Perspectivas da População Mundial”. ONU, 2009.

Disponível em: www.economist.com. Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).

2. Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 correspon-de ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a

população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:

a) 490 e 510 milhões.

b) 550 e 620 milhões.

c) 780 e 800 milhões.

d) 810 e 860 milhões.

e) 870 e 910 milhões.

3. Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoria-mente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de:

a) 12

c) 825

e) 325

b) 720

d) 15

4. Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o núme-ro de passageiros transportados mensalmente nas principais regiões metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de 2001. Nesse período, o tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001.

O gráfico a seguir mostra um índice de produtivida-de utilizado pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veículos.

650

Capitais brasileiras - Sistema de Ônibus Urbano*Passageiros transportados por veículos/dia**

1995 a 2008

*São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Recife, Porto Alegre, Salvador, Fortaleza, Curitiba e Goiânia** Passageiro total mensal/frota/25

600550500450400350

631

581569

555

568

505

506

446

451

422

435

400

438440

447

391

428

393

407

404

410410

418

415

463

411

441

out/9

5

pass

agei

ro/v

eícu

lo

abr/

96ou

t/96

abr/

97ou

t/97

abr/

98ou

t/98

abr/

99ou

t/99

abr/

00ou

t/00

abr/

01ou

t/01

abr/

02ou

t/02

abr/

03ou

t/03

abr/

04ou

t/04

abr/

05ou

t/05

abr/

06ou

t/06

abr/

07ou

t/07

abr/

08ou

t/08

Disponível em: http://www.ntu.org.br. Acesso em: 16 jul. 2009 (adaptado).

Coletânea de testes do ENEm

X

Y

Imag

ens:

Zap

t

Coletânea de testes do ENEM

94

Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outu-bro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do gráfico permitem inferir que o total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi apro-ximadamente igual a:

a) 355 milhões

b) 400 milhões

c) 426 milhões

d) 441 milhões

e) 477 milhões

5. Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos postos. A exigência é que, a partir de 1º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodísel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodísel, bem como possibilita a redução da importação de dísel de petróleo.

Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).

Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões de litros de biodísel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final dísel/biodísel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodísel com a adição de 3%?

a) 27,75 milhões de litros.

b) 37,00 milhões de litros.

c) 231,25 milhões de litros.

d) 693,75 milhões de litros.

e) 888,00 milhões de litros.

6. O governo cedeu terrenos para que famílias cons-truíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o

terreno retangular ABCD, em que AB = BC2

, Antônio

demarcou uma área quadrada no vértice A, para a

construção de sua residência, de acordo com o desenho, no

qual AE = AB5

é lado

do quadrado.

B C

A E D

Imag

ens:

Zap

t

Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele:

a) duplicasse a medida do lado do quadrado.

b) triplicasse a medida do lado do quadrado.

c) triplicasse a área do quadrado.

d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.

e) ampliasse a área do quadrado em 4%.

7. A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir.

Centers for Disease Control and Prevention CDC-EISSummer Course — 1992 (adaptado).

6050403020100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 2324 25

número de cigarros consumidos diariamente

caso

s de

cân

cer

pulm

onar

Casos de câncer pulmonar dado o número decigarros consumidos diariamente

De acordo com as informações do gráfico,

a) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais.

b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam.

c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais.

d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão.

e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade.

8. O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da população economica-mente ativa para seis regiões metropolitanas pes-quisadas.


95

23 500

População economicamente ativa (em mil pessoas)

23 30023 10022 90022 70022 50022 300

04/0

8 05 06 07 08 09 10 11 12

01/0

9 02 03 04 05

22 81

122

741 22

969

23 02

0

Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento, Pesquisa Mensal de Emprego.

Disponível em: www.ibge.gov.br.

Considerando que a taxa de crescimento da popula-ção economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de 4%, então o número de pessoas economicamente ativas em 06/09 será igual a:

a) 23 940 c) 920 800 e) 32 228 000

b) 32 228 d) 23 940 800

9. A música e a matemática se encontram na repre-sentação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte.

semibreve

mínima

semínima

colcheia

semicolcheia

fusa

semifusa

1

1214

18

116

132

164

Zapt

Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fór-

mula de compasso for 12

, poderia ter um compasso

ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja

fórmula é 34

, poderia ser preenchido com:

a) 24 fusas. d) 24 colcheias e 12 semínimas.

b) 3 semínimas. e) 16 semínimas e 8 semicolcheias.

c) 8 semínimas.

10. As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra-cabeças que está sendo montado. Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo a completar os desenhos.

Repr

oduç

ão

Figura A

Repr

oduç

ão

peça 1 peça 2

Figura B

Disponível em: http://pt.eternityii.com. Acesso em: 14 jul. 2009.

É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da figura A colocando a peça:

a) 1 após girá-la 90° no sentido horário.

b) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário.

c) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário.

d) 2 após girá-la 180° no sentido horário.

e) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário.

Zapt


96

11. O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?

a) 2 ? (0,2%)4 d) 4 ? (0,2%)

b) 4 ? (0,2%)2 e) 6 ? (0,2%) ? (99,8%)

c) 6 ? (0,2%)2 ? (99,8%)2

12. A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas.

Produção(em toneladas)

Emissão de dióxido de carbono (em partes por milhão – ppm)

1,1 2,14

1,2 2,30

1,3 2,46

1,4 2,64

1,5 2,83

1,6 3,03

1,7 3,25

1,8 3,48

1,9 3,73

2,0 4,00

Cadernos do Gestar II, Matemática TP3.Disponível em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.

Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é:

a) inferior a 0,18.

b) superior a 0,18 e inferior a 0,50.

c) superior a 0,50 e inferior a 1,50.

d) superior a 1,50 e inferior a 2,80.

e) superior a 2,80.

13. Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a pro-moção idealizada é apresentado no gráfico a seguir,

no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias.

150

1 2 3 4 5 6 7 8 tempo

valor da diária

De acordo com os dados e com o modelo, comparan-do o preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pa-cote promocional por oito dias fará uma economia de:

a) R$ 90,00 d) R$ 150,00

b) R$ 110,00 e) R$ 170,00

c) R$ 130,00

14. Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é possível encontrar um portão em que aparecem os anéis de Borromeo. Alguns historiadores acreditavam que os círculos representavam as três artes: escultura, pintura e arquitetura, pois elas eram tão próximas quanto inseparáveis.

Repr

oduç

ão

Scientific American, ago, 2008.Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis de Borromeo?

a) d)

b) e)

c)


97

15. Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10ª, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003-2007.

investimentos bilaterais(em milhões de dólares)

Ano Brasil na França

França no Brasil

2003 367 825

2004 357 485

2005 354 1 458

2006 539 744

2007 280 1 214

Disponível em: www.cartacapital.com.br. Acesso em: 7 jul. 2009.

Os dados da tabela mostram que, no período con-siderado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor

a) inferior a 300 milhões de dólares.

b) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares.

c) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares.

d) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares.

e) superior a 600 milhões de dólares.

16. Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.

De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?

a) R$ 14,00 d) R$ 32,00

b) R$ 17,00 e) R$ 57,00

c) R$ 22,00

17. Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani

O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1 200 000 quilômetros quadrados, dos quais 840 000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo.

Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja ca pacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros.

Disponível em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).

Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do aquífero Guarani é:

a) 1,5 × 102 vezes a capacidade do reservatório novo.

b) 1,5 × 103 vezes a capacidade do reservatório novo.

c) 1,5 × 106 vezes a capacidade do reservatório novo.

d) 1,5 × 108 vezes a capacidade do reservatório novo.

e) 1,5 × 109 vezes a capacidade do reservatório novo.

18. A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.

A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:

a) 1,16 metro. d) 5,6 metros.

b) 3,0 metros. e) 7,04 metros.

c) 5,4 metros.

19. A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por com-panhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1 : 150.

36 metros

28,5 metros

Zapt


98

Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?

a) 2,9 cm 3 3,4 cm. d) 21 cm 3 26 cm.

b) 3,9 cm 3 4,4 cm. e) 192 cm 3 242 cm.

c) 20 cm 3 25 cm.

20. Um posto de combustível vende 10 000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10 200 litros.

Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é:

a) V = 10 000 + 50x – x2 d) V = 15 000 + 50x – x2

b) V = 10 000 + 50x + x2 e) V = 15 000 – 50x + x2

c) V = 15 000 – 50x – x2

21. Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las.

Sabendo que a capacidade da caixa é de 13 824 cm3, então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a:

a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) 32

22. Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composta por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denomi-nados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s).

Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda

na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente:

a) 0 e 9 d) 9 e 1

b) 1 e 4 e) 0 e 1

c) 1 e 7

23. Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.

O quadro a seguir mostra al-guns resultados do experimento realizado.

Número de bolas (x)

Nível da água (y)

5 6,35 cm

10 6,70 cm

15 7,05 cm

Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).

Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?

a) y = 30x d) y = 0,7x

b) y = 25x + 20,2 e) y = 0,07x + 6

c) y = 1,27x

24. Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a ven-cedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.

Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse com-parecido, essa equipe

a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.

b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.

c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.

01

23

45

67

89

1011

1213

1415

y

Zapt


99

d) permaneceria na terceira posição, independente-mente da nota obtida pelo aluno.

e) empataria com a equipe Ômega na primeira co-locação se o aluno obtivesse nota 9.

25. Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a coo-perativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1 000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25 000,00.

Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria

a) manter sua proposta.

b) oferecer 4 máquinas a mais.

c) oferecer 6 trabalhadores a mais.

d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.

e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.

26. Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecí-veis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha.

Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:

a) 920 kg

b) 800 kg

c) 720 kg

d) 600 kg

e) 570 kg

27. Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do car-ro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a ga-solina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps,

na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km.

Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps, pa-rado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo:

a) 617 kg

b) 668 kg

c) 680 kg

d) 689 kg

e) 717 kg

28. Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km 3 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura a seguir.

3 km

2 km

1 km

1 km

João

Pedro

José

Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a

João corresponde, aproximadamente, a: considere

33

= 0,58

a) 50% d) 33%

b) 43% e) 19%

c) 37%

29. Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os es-tados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília-DF, sem

Zapt


100

escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.

1

2 3

546 7 8

9

1011

12

1314DF

16

151718

1 Manaus2 Boa Vista3 Macapá4 Belém5 São Luís6 Teresina7 Fortaleza8 Natal9 Salvador

10 Rio de Janeiro11 São Paulo12 Curitiba13 Belo Horizonte14 Goiânia15 Cuiabá16 Campo Grande17 Porto Velho18 Rio Branco

SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br.

Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).

Suponha que um passageiro de nome Carlos pe-gou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135° no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em:

a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.

b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.

c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.

d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.

e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.

30. Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.

A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de:

a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.

b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.

c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.

d) duas combinações.

e) dois arranjos.

31. Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

mês Cotação Ano

Outubro R$ 83,00 2007

Novembro R$ 73,10 2007

Dezembro R$ 81,60 2007

Janeiro R$ 82,00 2008

Fevereiro R$ 85,30 2008

Março R$ 84,00 2008

Abril R$ 84,60 2008

De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a:

a) R$ 73,10 c) R$ 82,00 e) R$ 85,30

b) R$ 81,50 d) R$ 83,00

32. O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma brasileiro.

Biomas continentaisbrasileiros

áreaaproximada

(km2)

área / totalBrasil

Amazônia 4 196 943 49,29%

Cerrado 2 036 448 23,92%

Mata Atlântica 1 110 182 13,04%

Caatinga 844 453 9,92%

Pampa 176 496 2,07%

Pantanal 150 355 1,76%

Área Total Brasil 8 514 877

Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).

É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um cam-po de futebol (com as medidas de 120 m 3 90 m) para auxiliar a visualização de áreas consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à área aproximada do bioma Pantanal?

Zapt


101

a) 1 400 d) 1 400 000

b) 14 000 e) 14 000 000

c) 140 000

33. A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocu-pação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1 050 m3/s. O cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av.

Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimen-sões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.

30 m

20 m

2,5 m

49 m

41 m

2,0 m

Disponível em: www2.uel.br. Acesso em: 5 maio 2010.

Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da re-forma na canaleta?

a) 90 m3/s d) 1 512 m3/s

b) 750 m3/s e) 2 009 m3/s

c) 1 050 m3/s

34. Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do blo-co sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?

a) 156 cm3 d) 216 cm3

b) 189 cm3 e) 540 cm3

c) 192 cm3

35. A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamen-te, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega-sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.

Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.

Considere que uma pessoa decida apostar exata-mente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega-sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco nú-meros em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente:

a) 1 12

vez menor. d) 9 vezes menor.

b) 2 12

vezes menor. e) 14 vezes menor.

c) 4 vezes menor.

36. Nos últimos anos, o volume de petróleo exportado pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência de crescimento, ultrapassando as importações em 2008. Entretanto, apesar de as importações terem se man-tido praticamente no mesmo patamar desde 2001, os recursos gerados com as exportações ainda são inferiores àqueles despendidos com as importações, uma vez que o preço médio por metro cúbico do petróleo importado é superior ao do petróleo na-cional. Nos primeiros cinco meses de 2009, foram gastos 2,84 bilhões de dólares com importações e gerada uma receita de 2,24 bilhões de dólares com as exportações. O preço médio por metro cúbico em maio de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo im-portado e de 230 dólares para o petróleo exportado.

6 cm 6 cm

Imag

ens:

Zap

t


102

O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 2001 a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009.

Comércio exterior de petróleo(milhões de metros cúbicos)

Ano importação Exportação

2001 24,19 6,43

2002 22,06 13,63

2003 19,96 14,03

2004 26,91 13,39

2005 21,97 15,93

2006 20,91 21,36

2007 25,38 24,45

2008 23,53 25,14

2009* 9,00 11,00

*Valores apurados de janeiro a maio de 2009. Disponível em: http://www.anp.gov.br.

Acesso em: 15 jul. 2009 (adaptado).

Considere que as importações e exportações de pe-tróleo de junho a dezembro de 2009 sejam iguais a 75

das importações e exportações, respectivamente,

ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse caso, supondo que os preços para importação e exportação não sofram alterações, qual seria o valor mais apro-ximado da diferença entre os recursos despendidos com as importações e os recursos gerados com as exportações em 2009?

a) 600 milhões de dólares.

b) 840 milhões de dólares.

c) 1,34 bilhão de dólares.

d) 1,44 bilhão de dólares.

e) 2,00 bilhões de dólares.

37. A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a algoritmos de com-pressão, que reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB = = 1 000 bytes, 1 MB = 1 000 KB, 1 GB = 1 000 MB.

Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo al-goritmo de compressão é de 95%, João fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dis-positivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar

a) um CD de 700 MB.

b) um pendrive de 1 GB.

c) um HD externo de 16 GB.

d) um memory stick de 16 MB.

e) um cartão de memória de 64 MB.

38. Considere um ponto P em uma circunferên-cia de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e su-ponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d < r sobre a circunfe-rência.

Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por:

a) r 1–sen dr

b) r 1–cos dr

c) r 1 –tg dr

d) r sen rd

e) r cos rd

39. Joana frequenta uma academia de ginástica onde faz exercícios de musculação. O programa de Joana requer que ela faça 3 séries de exercícios em 6 apare-lhos diferentes, gastando 30 segundos em cada série. No aquecimento, ela caminha durante 10 minutos na esteira e descansa durante 60 segundos para começar o primeiro exercício no primeiro aparelho. Entre uma série e outra, assim como ao mudar de aparelho, Joana descansa por 60 segundos.

Suponha que, em determinado dia, Joana tenha iniciado seus exercícios às 10h30min e finalizado às 11h7min. Nesse dia e nesse tempo, Joana

a) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios e dispor dos períodos de descanso especificados em seu programa.

b) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido rigorosamente os períodos de descanso especifi-cados em seu programa.

y

x

rP

Q


103

c) poderia ter feito todos os exercícios, mas teria de ter deixado de cumprir um dos períodos de descanso especificados em seu programa.

d) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria todos os períodos de descanso especificados em seu programa, e ainda se permitiria uma pausa de 7 min.

e) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios especificados em seu programa; em alguma dessas séries deveria ter feito uma série a menos e não deveria ter cumprido um dos períodos de descanso.

40. O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura quali-ficada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de

cadastros (TA), em que TC = NVNF

, TA = NANV

, NV é o

número de cadastros domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas como público-alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico.

Portaria nº 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado).

Suponha que o ICadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, dobrando NF o ICadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV = 3 600, então NF é igual a:

a) 10 000

b) 7 500

c) 5 000

d) 4 500

e) 3 000

41. João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida ime-diatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.

A opção que dá a João o menor gasto seria:

a) renegociar suas dívidas com o banco.

b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas.

c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos.

d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito.

e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial.

42. Um artesão construiu peças de artesanato inter-ceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.

Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?

a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmi-de intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.

b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.

c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.

d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.

e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.

43. Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avan-çados. Porém, devido ao forte efeito dos seus com-ponentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos


104

sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamen-to, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir.

Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos co-laterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?

a) 3 doses.

b) 4 doses.

c) 6 doses.

d) 8 doses.

e) 10 doses.

44. A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água da chuva. Os principais critérios a serem ob-servados para captação e armazenagem de água da chuva são: a demanda diária de água na propriedade; o índice médio de precipitação (chuva), por região, em cada período do ano; o tempo necessário para armazenagem; e a área de telhado necessária ou disponível para captação.

Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna, deve-se acrescentar um adicional relativo ao coeficiente de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer um coeficiente confiável, a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam adicio-nados 10% ao volume calculado de água.

Desse modo, o volume, em m3, de uma cisterna é calculado por Vc = Vd × Ndia, em que Vd = volume de demanda da água diária (m3), Ndia = número de dias de armazena gem, e este resultado deve ser acrescido de 10%.

Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a captação seja feita somente nos telhados das edificações.

Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1 m2 produz 1 litro de água, pode-se calcular a área de um telhado a fim de atender a necessidade de armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em m2) = volume da cisterna (em litros)/precipitação.

Disponível em: www.cnpsa.embrapa.br. Acesso em: 8 jun. 2009 (adaptado).

Para atender a uma demanda diária de 2 000 litros de água, com período de armazenagem de 15 dias e precipitação média de 110 mm, o telhado, retangular, deverá ter as dimensões mínimas de:

a) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área de 30 m2.

b) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de 300 m2.

c) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma área de 3 000 m2.

d) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 2 730 m2.

e) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 3 300 m2.

45. Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.

XXXXX XXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXX XXXXXXXX



Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela.

Uma representação possível para essa segunda situação é

a) XXXXXX XXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXX XXXXXX

b) XXXXXX XXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXX XXXXXX

XXXXXX XXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXX XXXXXX

c) XXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX

XXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX

d) XXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX



e) XXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXXXXXXX XXXXX




46. Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volu-me. As arestas da barra de chocolate no formato de


105

paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.

Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a

a) 5 cm. d) 24 cm.

b) 6 cm. e) 25 cm.

c) 12 cm.

47. O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.

Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).

Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de es-tudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance dimi-nuía 1,5 m.

Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre

a) 4,0 m e 5,0 m. d) 7,0 m e 8,0 m.

b) 5,0 m e 6,0 m. e) 8,0 m e 9,0 m.

c) 6,0 m e 7,0 m.

48. O gráfico a seguir apresenta o gasto militar dos Es-tados Unidos, no período de 1988 a 2006.

Em bilhões de dólares

O GASTO MILITAR DOS ESTADOS UNIDOS SUPERA O DO FIM DA GUERRA FRIA

526,7536,6

486,4

417,4

341,5

304,1

301,7290,5

289,7

298,1

315,1

315,1334,8

354,8371,4

354,3

403,7

422,1

426,8

600

500

400

300

2001988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Queda do Muro de Berlim(fim da Guerra Fria)

EUA entram naGuerra do Golfo

Início da guerrano Iraque

Atentado de 11 de setembro:ação militar no Afeganistão

Almanaque Abril 2008. Editora Abril.

Com base no gráfico, o gasto militar no início da guerra no Iraque foi de

a) US$ 4 174 000,00.

b) US$ 41 740 000,00.

c) US$ 417 400 000,00.

d) US$ 41 740 000 000,00.

e) US$ 417 400 000 000,00.

49. Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras res-trições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas.

O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamen-tação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares.

As fórmulas que determinam esses índices são:

IMC = massa (kg)

[altura (m)]2RIP =

altura (cm)3√ massa (kg)

ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal:Um Questionamento Científico. Baseado em Evidências.

Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, nº 1, 2002 (adaptado).

Se uma menina com 64 kg de massa apresenta IMC igual a 25 kg/m2, então ela possui RIP igual a

a) 0,4 cm/kg13. d) 20 cm/kg

13.

b) 2,5 cm/kg13. e) 40 cm/kg

13.

c) 8 cm/kg13.

50. Os dados do gráfico seguinte foram gerados a par-tir de dados colhidos no conjunto de seis regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese).

0 5 10 15 20

13,1São Paulo

Salvador

Recife

Porto Alegre

Belo Horizonte

Distrito Federal

19,9

19,3

9,8

10,2

14,7

25

Taxas de desemprego nas regiõesmetropolitanas março/2010

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).

Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250 000, o número de desempregados em março de 2010, nessa região, foi de

a) 24 500. d) 223 000.

b) 25 000. e) 227 500.

c) 220 500.


106

51. Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 qui-lômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do úl-timo domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assus-tando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua des-cida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.

Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 2 maio 2010.

30°60°

1,8 km 3,7 km BA

Balão

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o ba-lão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

a) 1,8 km c) 3,1 km e) 5,5 km

b) 1,9 km d) 3,7 km

52. Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1 000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam ne-cessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo.

Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?

a) 476 d) 965

b) 675 e) 1 538

c) 923

53. Acompanhando o crescimento do filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua altura se dava de forma mais rápida do que dos 10

aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até se tornar imper-ceptível. Para ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas.

Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade?

a) 180171148

Altura (cm)

Idade (anos)

51

0 10 17

b) 180171148

Altura (cm)

Idade (anos)

51

0 10 17

c) 180171148

Altura (cm)

Idade (anos)

51

0 10 17

d) 180171148

Altura (cm)

Idade (anos)

51

0 10 17

e) 180171148

Altura (cm)

Idade (anos)

51

0 10 17


107

54. Em 2006, a produção mundial de etanol foi de 40 bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bilhões. Neste mesmo ano, a produção brasileira de etanol corres-pondeu a 43% da produção mundial, ao passo que a produção dos Estados Unidos da América, usando milho, foi de 45%.

Disponível em: www.planetasustentavel.abril.com.br. Acesso em: 2 maio 2009.

Considerando que, em 2009, a produção mundial de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados Unidos produzirão somente a metade de sua produ-ção de 2006, para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial, o Brasil deve aumentar sua produção em, aproximadamente,

a) 22,5%. d) 65,5%.

b) 50,0%. e) 77,5%.

c) 52,3%.

55. Ronaldo é um garoto que adora brincar com núme-ros. Numa dessas brincadeiras, ele empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência mostrada no esquema a seguir.

1

1 2 1

1 2 3 2 1

1 2 3 4 3 2 1

...

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.

A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª li-nha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?

a) 9 c) 64 e) 285

b) 45 d) 81

56. Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de com-primento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas co-locadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

B

A

P

N

M

C

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.

Nessas condições, a área a ser calçada corresponde

a) à mesma área do triângulo AMC.

b) à mesma área do triângulo BNC.

c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.

d) ao dobro da área do triângulo MNC.

e) ao triplo da área do triângulo MNC.

57. A resistência elétrica e as dimensões do condutor

A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre:• resistência (R) e comprimento (,), dada a mesma

secção transversal (A),• resistência (R) e área da secção transversal (A), dado

o mesmo comprimento (,) e • comprimento (,) e área da secção transversal (A),

dada a mesma resistência (R).Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes.

resistência RA

fio condutor

�

resistência RA

fios de mesmo material

�

resistência RA

fios de mesmomaterial

�

�

resistência RA

fios de mesmo material

�

resistência 2RA

2�

resistência R2A

2�

resistência2A R2

��

Disponível em: http://www.efeitojoule.com. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).

As figuras mostram que as proporcionalidades exis-tentes entre resistência (R) e comprimento (,), resis-tência (R) e área da secção transversal (A), e entre comprimento (,) e área da secção transversal (A) são, respectivamente,

a) direta, direta e direta.

b) direta, direta e inversa.

c) direta, inversa e direta.

d) inversa, direta e direta.

e) inversa, direta e inversa.


108

58. Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectiva-mente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.

Bebedouro 1

Bebedouro 3

Bebedouro 2

120 cm 60 cm

60 cm 60 cm

60 cm

30 cm100 cm

Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3?

a) 100 cm

60 cm

60 cm

d) 60 cm

100 cm

b) 100 cm

60 cm

e) 60 cm

60 cm

100 cm

c) 100 cm

60 cm

59. No monte de Cerro Armazones, no deserto de Ataca-ma, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”.

Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).

Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma profes-sora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm.

Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado?

a) 1 : 20 d) 1 : 1 000

b) 1 : 100 e) 1 : 2 000

c) 1 : 200

60. Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é direta-mente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustí-vel deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento.

8 m(II)

8 m(III)

4 m

6 m(I)

4 m 6 m

Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere p > 3.)

a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento

de 13

.

b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento

de 43

.

c) II, pela relação área/capacidade de armazenamen-

to de 34

.

d) III, pela relação área/capacidade de armazenamen-

to de 23

.

e) III, pela relação área/capacidade de armazenamen-

to de 712

.

61. A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egíp-cios ao construírem as pirâmides.

BOLT, Brian. Atividades matemáticas. Ed. Gradiva.

Representando por R o raio da base dos rolos cilín-dricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é

a) y 5 R. c) y 5 pR. e) y 5 4pR.

b) y 5 2R. d) y 5 2pR.


109

respostas 1. d

2. e

3. c

4. a

5. d

6. c

7. e

8. d

9. d

10. c

11. c

12. d

13. a

14. e

15. d

16. d

17. e

18. d

19. d

20. d

21. b

22. a

23. e

24. d

25. d

26. a

27. b

28. e

29. b

30. a

31. d

32. e

33. d

34. b

35. c

36. c

37. e

38. b

39. b

40. c

41. e

42. c

43. b

44. b

45. c

46. b

47. d

48. e

49. e

50. a

51. c

52. c

53. a

54. c

55. d

56. e

57. c

58. e

59. e

60. d

61. e

Coletânea de testes do ENEm

revisao matematica

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