aulas matematica

PPPPROF.:THIAGO PACÍFICOROF.:THIAGO PACÍFICOROF.:THIAGO PACÍFICOROF.:THIAGO PACÍFICO

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Professor Thiago Pacífico – Matemática aulas 01 e 02

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA

"Agir com sabedoria assegura o sucesso”. “Sei que não da pra mudar o começo, mas se agente q uiser dá pra mudar o final”

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas (A e B) são diretamente proporcionais quando, aumentando-se o valor de uma delas um certo número de vezes, o valor correspondente da outra também aumenta o mesmo número de vezes. Em símbolos, temos:

A ∼∼∼∼ B ⇔ BkA ⋅= , onde alidadeproporcion

de ecoeficientk =

Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então a razão de dois valores de uma das

grandezas é igual à razão entre os dois valores a eles correspondentes na outra grandeza.

==

22

11

B.kA

B.kA⇔

2

1

2

1

BB

AA =

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas (A e B) são inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas um certo número de vezes, o valor correspondente na outra diminui o mesmo número de vezes. Em símbolos, temos:

B1

kAB1

~A ⋅=⇔ , onde alidadeproporcion

de ecoeficientk =

Se duas grandezas são inversamente proporcionais, então a razão entre os dois valores de uma

das grandezas é igual ao inverso da razão entre os dois valores a eles correspondentes na outra grandeza.

⋅=

⋅=

22

11

B1

kA

B1

kA

⇔

2

1

2

1

B

1

B

1

A

A= ⇔

1

2

2

1

B

B

A

A=

Observação

Se B~A e C~A , então CB~A ⋅



REGRA DE TRÊS SIMPLES

É uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B, relacionando dois valores de A e dois valores de B. Nos problemas, haverá um desses quatro valores que será desconhecido e deverá ser calculado com base nos três valores dados. Daí o nome regra de três.

Dependendo das grandezas A e B, podemos ter:

�� REGRA DE TRÊS DIRETA A e B são grandezas diretamente proporcionais.

2

1

2

1

BB

AA =

�� REGRA DE TRÊS INVERSA

A e B são grandezas inversamente proporcionais.

1

2

2

1

B

B

A

A=

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Se uma dúzia de ovos custa R$ 1,40, então quanto deve custar uma bandeja com 30 ovos? Solução:

Faça uma tabela relacionando a quantidade de ovos ao preço, e por meio de setas verifique se estas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

Quantidade de ovos Preço (R$) 12 1,40 30 x As setas têm o mesmo sentido porque as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja,

quanto mais ovos se quer comprar, mais dinheiro se tem que gastar.

Logo: 50,3x12

40,1.30x

x40,1

3012 =⇒=⇒=

Resposta: Uma bandeja com 30 ovos deve custar R$3,50.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

É uma regra prática utilizada na resolução de problemas que envolvem várias grandezas proporcionais. A regra de três composta é realizada da seguinte maneira. →→→→ 1º Passo: Montamos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores de cada

grandeza. →→→→ 2º Passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referência. →→→→ 3º Passo: Comparamos esta grandeza de referência a cada uma das outras grandezas,

isoladamente, identificando se há proporcionalidade direta (seta de mesmo sentido) ou inversa (setas invertidas).

→→→→ 4º Passo: Colocamos a razão da grandeza de referência isolada no 1º membro e, no 2º membro, colocamos o produto das razões das outras grandezas, lembrando que se há proporcionalidade inversa em relação a uma grandeza, devemos inverter os elementos da respectiva coluna e escrever a razão inversa no produto.



EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Dezoito operários, trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias, conseguem realizar um

determinado serviço. Trabalhando 9 horas por dia, 12 operários farão o mesmo serviço em quantos dias?

Solução 1:

Montando a tabela e tomando a quantidade de dias como referência, temos:

Operários Horas por dia Dias 18 7 12 12 9 x Logo:

⇒

=79

.1812

x12 18.7 = 9.x ⇒ x = 14 dias

Resposta: São necessários 14 dias. Solução 2:

Montando a tabela e tomando o no de operários como referência, temos:

Operários Horas por dia Dias 18 7 12 12 9 x Logo:

⇒

=12x

.79

1218 18.7 = 9.x ⇒ x = 14 dias

Resposta: São necessários 14 dias.

REGRA DE SOCIEDADE

É justo que, em uma sociedade, os lucros e os prejuízos sejam distribuídos entre os vários sócios, proporcionalmente aos capitais empregados e ao tempo durante o qual estiveram empregados na constituição dessa sociedade.

cteTempoCapital

LucroTempo~Lucro

Capital~Lucro=

⋅⇒

É uma aplicação prática da divisão em partes diretamente proporcionais .



EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 20.000,00 e Maria, com R$

30.000,00. Se ao fim de um ano eles obtiveram um lucro de R$ 7.500,00, quanto vai caber a cada um?

Solução:

Utilizando a regra da sociedade, vemos que:

130000M

120000J

tempocapitallucro

⋅=

⋅=

⋅

onde J é o lucro que cabe ao João e M é o lucro que cabe à Maria. Simplificando a proporção, temos:

==

⇒==++==

4500M

3000J1500

57500

32MJ

3M

2J

Resposta: João lucrou R$ 3.000,00 e Maria lucrou R$ 4.500,00. 02. Três sócios lucraram juntamente R$ 21.500,00 após um certo investimento. Para tanto, o primeiro

entrou com um capital de R$ 7.000,00, durante 1 ano, o segundo com R$ 8.500,00 durante 8 meses e o terceiro com R$ 9.000,00 durante 7 meses. Quanto lucrou cada um?

Solução:

Utilizando a regra da sociedade, vemos que:

79000z

88500

y

127000x

tempocapitallucro

⋅=

⋅=

⋅=

⋅

onde x, y e z são as partes de cada um no lucro. Simplificando a proporção, temos:

⇒⋅

=⋅

=⋅ 790

z885

y1270

x

⇒==++=== 10215021500

2150zyx

630z

680y

840x

===

⇒

6300z

6800y

8400x

Resposta: O primeiro lucrou R$ 8.400,00; o segundo, R$ 6.800,00 e o terceiro, R$ 6.300,00.



QUESTÕES DE CONCURSOS

01. Uma máquina, funcionando durante 5 horas, enche 120 vasilhas de detergente. Quantas

vasilhas ela encheria se funcionasse durante 8 hora s? 02. Vinte homens fazem um determinado serviço em 10 dias. Para fazer o mesmo trabalho em 8

dias, quantos homens, com a mesma capacidade dos pr imeiros, seriam necessários? 03. A água do mar contém 2,5 g de sal para cada 100 g de água. Quantos gramas de sal

teremos em 5 kg de água do mar? (Observação: você d eve transformar 5 kg em gramas) 04. Usando telha francesa, precisamos de 15 telhas para cobrir 1,5 m² de telhado. Quantas

telhas serão necessárias para cobrir 85 m² de telha do? 05. Sabemos que a carga máxima de um elevador é de 7 adultos com 80 kg cada um. Quantas

crianças, pesando 35 kg cada uma, atingiriam a carg a máxima desse elevador? 06. Em uma tecelagem, 12 teares produzem 600 m de t ecido em 5 dias. Em quantos dias 15

teares deverão produzir 1200 m do mesmo tecido?



07. Em 3 horas, 4 torneiras despejam 4200 litros de água. Em quantas horas 5 dessas torneiras despejam 7000 litros de água?

08. Uma pilha de 50 jornais iguais, com 30 páginas cada um, pesa 7,5 kg. Quantos quilogramas

pesaria uma pilha de 100 jornais, com 20 páginas ca da um? 09. Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmit as individuais congeladas suficientes

para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empres a tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficien te para quantos dias? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 8

10. Se 10 operários trabalhando 6 horas por dia faz em determinado serviço em 20 dias, em

quantos dias 15 operários, trabalhando 8 horas por dia, fazem o mesmo serviço. a) 6 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18

11. Um mecânico regula um automóvel modelo X em 40 minutos, enquanto seu auxiliar realiza

o mesmo trabalho em duas horas. Trabalhando juntos, regularão 3 automóveis do mesmo modelo X em: a) 70 minutos b) 80 minutos c) 90 minutos d) 100 minutos



12. Uma torneira enche um tanque em 6 horas, uma se gunda torneira enche em 3 horas e uma válvula de escape seca o tanque em 12 horas. Se as duas torneiras e a válvula forem abertas no mesmo instante, em quanto tempo o tanque ficará cheio? a) em 1 hora e 30 minutos b) em 2 horas c) em 2 horas e 24 minutos d) o tanque nunca encherá

13. Para pintar um barco, 12 pessoas levam 8 dias d e trabalho. Quantas pessoas, de mesma

capacidade operacional, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias? a) 9 b) 13 c) 15 d) 16 e) 18

14. Um comprador de gado paga por cada animal um va lor diretamente proporcional ao peso e inversamente proporcional à idade. Sabe-se que o va lor de um animal de peso P 1 e com 7 anos de idade é R$ 12.000,00. Qual é o valor de um anima l com 5 anos de idade e de peso P 2, com

53

P

P

2

1 = ?

a) 15.000 reais b) 18.000 reais c) 20.000 reais d) 24.000 reais e) 28.000 reais

15. Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiênc ia, são capazes de produzir 500 peças em 5

dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas i guais às primeiras operassem 10 horas por dia durante 10 dias, o número de peças produzid as seria: a) 1000 b) 2000 c) 4000 d) 5000 e) 8000

16. Uma fábrica produz normalmente 3000 peças em 2, 5 dias de trabalho, operando com 6

máquinas de igual capacidade operacional. No moment o, porém, com duas das máquinas sem funcionar, a fábrica deve atender a uma encomenda de 4000 peças. Quantos dias de trabalho serão necessários? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9



17. Trabalhando 10 horas, durante 15 dias, 8 pedrei ros fizeram uma parede de concreto de 48m2• Se estivessem trabalhando 12 horas diárias e se o número de operá rios fosse reduzido de 2, quantos dias levariam para fazer outra parede cuja área fosse o dobro daq uela? a) 33 dias b) 33 dias e 8 horas. c) 33 dias e 4 horas. d) 33 dias e 6 horas. e) 33 dias e 5 horas.

18. Thiago Pacífico e Rodrigo formaram uma sociedad e. Thiago Pacífico fundou a empresa com o capital social de R$ 600 mil e admitiu Rodrig o, 4 meses depois, com a metade do seu capital. No fim de um ano de atividade, apurou-se u m lucro de R$ 288 mil após o balanço. Que parte do lucro coube a Thiago Pacífico? a) 256mil b) 226mil c) 216mil d) 180mil e) 72mil

19. Dois sócios, ao constituírem uma sociedade, ent raram, respectivamente, com os capitais

de R$ 150.000,00 e R$ 120.000,00. Na divisão dos lu cros, o primeiro recebeu R$ 54.000,00 a mais do que o segundo. Quanto recebeu o segundo? a) 256mil b) 226mil c) 216 mil d) 196 mil

20. Uma firma é constituída por 2 sócios A e B cujo s capitais investidos são 200 e 350 mil reais respectivamente. Todo lucro ou prejuízo é dividido entre os dois, proporcionalmente ao capital investido. A firma acusou um prejuízo de 121 mil re ais. As parcelas do prejuízo correspondentes a cada sóci o são respectivamente: a) 20 e 101 mil reais. b) 40 e 70 mil reais. c) 44 e 77 mil reais. d) 79 e 72 mil reais. e) 100 e 21 mil reais.

21. Thiago Pacífico e Igor constituíram uma socieda de comercial, em que Thiago Pacífico

entrou com R$ 2 milhões e Igor com R$ 2,5 milhões. Após 8 meses, Thiago Pacífico aumentou sua participação para R$ 3,5 milhões e Igor diminui u seu capital para R$ 1,5 milhão. No fim de 1 ano e 6 meses, houve um lucro de R$ 344 mil. Qual foi a parte de Thiago Pacífico? a) R$ 140 mil b) R$ 144 mil c) R$ 184 mil d) R$ 204 mil e) R$ 224 mil



22. O lucro de R$ 14.000,00 da empresa Concursos S/ A, será dividido entre seus dois sócios. Thiago Pacífico aplicou na empresa R$2.000,00 por 6 meses e Rinaldo aplicou R$4.000,00 por 4 meses. Quanto, respectivamente, coube a cada um d eles? a) R$ 4.000,00 e R$ 10.000,00 b) R$ 6.000,00 e R$ 8.000,00 c) R$ 7.000,00 e R$ 7.000,00 d) R$ 9.000,00 e R$ 5.000,00

23. Três sócios lucraram juntamente R$21.500,00. Pa ra tanto, o primeiro entrou com um capital

de R$7.000,00 durante 1 ano, o segundo com R$8.500, 00 durante 8 meses e o terceiro com R$9.000,00 durante 7 meses. Quanto lucrou cada um? a) R$8400,00 para o 1o , R$6800,00 ao segundo e R$6300,00 ao outro b) R$9400,00 para o 1o , R$5500,00 ao segundo e R$6600,00 ao terceiro c) R$7500,00 para o primeiro, R$6500,00 ao segundo e R$7300,00 ao ultimo d) R$8000,00 para o 1o , R$7800,00 ao 2o e R$5100,00 ao 3o

24. Uma herança de R$ 90.000,00 deverá ser dividida entre os filhos do Sr. Ricardo, de tal

modo que o valor que cada um receba seja diretament e proporcional ao número de netos dados ao pai e inversamente proporcional a sua idad e. Julgue os itens abaixo com relação a quantia que coube a cada um dos filhos, sabendo que Agnaldo tem 20 anos e 5 filhos, Beto tem 30 anos e apenas 2 filhos e Carlos tem 40 anos e 4 filhos. Aponte o único item VERDADEIRO a seguir. a) A maior quantia coube ao filho mais velho. b) O filho mais novo recebeu mais que os outros dois juntos. c) O caçula recebeu 54% da herança. d) Os valores recebidos formam um progressão aritmética.

25. Suponha que x 2 macacos comem x 3 bananas em x minutos (onde x é um número natural dado). Em quanto tempo espera-se que 5 destes macac os comam 90 bananas? a) 11 minutos b) 18 minutos c) 16 minutos d) 13 minutos e) 15 minutos

26. Uma máquina que, trabalhando sem interrupção, f azia 90 fotocópias por minuto foi

substituída por outra 50% mais veloz. Suponha que a nova máquina tenha que fazer o mesmo número de cópias que a antiga, em uma hora de traba lho ininterrupto, fazia. Para isso, a nova máquina vai gastar um tempo mínim o, em minutos, de: a) 25 b) 30 c) 35 d) 40



27. Três operários, trabalhando juntos, gastam três dias para executar uma tarefa. O primeiro, trabalhando sozinho, faz a mesma tarefa em seis dia s e o segundo, em dez dias. Supondo-se que trabalhando em grupo ou individualmente os oper ários têm o mesmo rendimento, o tempo, em dias, que o terceiro operário gasta para cumprir a mesma tarefa, trabalhando sozinho, é: a) 12 b) 15 c) 16 d) 18

28. A média aritmética das notas dos alunos de uma turma formada por 25 meninas e 5

meninos é igual a 7. Se a média aritmética das nota s dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a: a) 6,5 b) 7,2 c) 7,4 d) 7,8 e) 8,0

29. No Banco Dimdim, em dias normais, na agência ce ntral, 10 caixas atendem 900 pessoas

trabalhando 6 horas diárias. Em uma segunda −−−−feira chuvosa dois caixas faltaram por conta de uma virose e o gerente quer uma previsão de quantas pessoas poderão ser atendidas nas 2 horas iniciais, quando o nível de dificuldade é dua s vezes maior. Podemos afirmar que o número de pessoas atendinas nesse intervalo é de ap roximadamente: a) 240 b) 150 c) 120 d) 90 e) 60

30. Para construir uma ponte em 75 dias de 8 horas diárias de trabalho, foram contratados 100 operários. Como se deseja terminar a obra em 40 dia s de 10 horas diárias de trabalho, determine quantos operários a mais devem ser contra tados. a) 150 b) 125 c) 40 d) 50

31. Desenvolvendo uma velocidade média de 18km por hora, um pedestre correu durante 1h

20min. Se tivesse desenvolvido a velocidade média d e 15km por hora, teria feito o mesmo percurso em quanto tempo? a) 1h 16min b) 1h 26min c) 1h 36min d) 1h 46min e) 1h 30min



32. Antônio demora 1 hora e 30 min para pintar 10m 2 de parede, enquanto seu auxiliar Baltazar demora 3 horas para executar o mesmo serviço. Quant o tempo os dois juntos pintam 20m 2 de parede? a) 1 hora b) 1 hora e 30 min c) 2 horas d) 2 horas e 30 min

33. Para remoção das vítimas da enchente de uma cid ade foram necessários 480 homens

trabalhando durante 8 dias. Quantos homens seriam n ecessários para se fazer o mesmo trabalho em 6 dias? a) 720 b) 640 c) 580 d) 520

34. O lucro de R$ 14.000,00 da lanchonete WR, será dividido entre seus dois sócios. Wendel aplicou na empresa R$2.000,00 por 6 meses e Rinaldo aplicou R$4.000,00 por 4 meses. Quanto, respectivamente, coube a cada um deles? a) R$ 4.000,00 e R$ 10.000,00 b) R$ 6.000,00 e R$ 8.000,00 c) R$ 7.000,00 e R$ 7.000,00 d) R$ 9.000,00 e R$ 5.000,00

GABARITO 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 192 25 125 850 16 8 4 10 C B C C D E C A B C C C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 D B A B B D B B C D C C B B



NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

“Não se preocupe com a distância entre seus sonhos e a realidade. Se você pode sonhá-los você pode realizá-los”. "As únicas pessoas que nunca fracassam são as que n unca tentam”. “A persistência é o menor caminho do êxito”.

PORCENTAGEM

100p

%p =

Exemplos:

27% = 27/100 = 0,27 0,5% = 0,5/100 = 0,005

Observação

1000p

‰p =

Exemplos: 2 00

0 = 2/1000 = 0,002 29 000 = 29/1000 = 0,029 315 00

0 = 315/1000 = 0,315

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com

número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? Solução:

Representando por x o número de fichas que têm etiqueta com número par e lembrando que

52% = 52/100 = 0,52, temos: x = 52% de 25 x = 0,52 . 25 x = 13

Resposta: Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par. 02. No torneio pré-olímpico de basquete, realizado na Argentina em agosto de 1995, a seleção

brasileira disputou 4 partidas na 1ª fase e venceu 3. Qual é a porcentagem de vitórias obtidas pelo Brasil nessa fase?

Solução 1:

Vamos indicar por x% o número que representa essa porcentagem. O problema pode, então, ser

expresso por: x% de 4 é igual a 3

Isso resulta na equação:

34100

x =⋅ ⇒ 4x = 300 ⇒ x = 75



Solução 2:

Do Enunciado temos:

43

= 0,75 = 10075 = 75%

Resposta: O Brasil venceu 75% dos jogos que disputou nessa fase. 03. Numa indústria trabalham 255 mulheres. Esse número corresponde a 42,5% do total de

empregados. Quantas pessoas trabalham, ao todo, nessa indústria? Solução:

Vamos representar por x o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser

expresso por: 42,5% de x é igual a 255

Sabendo que 42,5% = 100

42,5 = 0,425, podemos formar a equação:

0,425 . x = 255

x = 0,425

255 ⇒ x = 600

Resposta: Nessa indústria trabalham, ao todo, 600 pessoas. 04. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se

paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria? Solução:

Se obtive 8% de desconto, o preço que paguei representa 100% − 8% = 92% do preço original.

Representando o preço original da mercadoria por x, esse problema pode ser expresso por:

92% de x é igual a 690

Sabendo que 92% = 100

92 = 0,92, podemos formar a equação:

0,92 . x = 690 ⇒ 0,92x = 690

x = 0,92690

⇒ x = 750

Resposta: O preço original da mercadoria era R$ 750,00. 05. 40% de 20% corresponde a quantos por cento? Solução:

Representando por x% a taxa de porcentagem procurada, o problema se reduz a: 40% de 20% é

igual a x. Se 40% = 0,40 e 20% = 0,20, temos a equação:

0,40 . 0,20 = x ⇒ x = 0,08 ⇒ 0,08 = 100

8 = 8%

Resposta: Assim, 40% de 20% corresponde a 8%.



06. Uma geladeira, cujo preço à vista é de R$ 680,00 tem um acréscimo de 5% no seu preço se for paga em 3 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação?

Solução:

5% de 680 = 0,05 . 680 = 34 (acréscimo) 680 + 34 = 714 (preço em 3 prestações iguais) 714 : 3 = 238 (valor de cada prestação)

Resposta: Então, o valor de cada prestação é de R$ 238,00. 07. O salário de um trabalhador era de R$ 840,00 e passou a ser de R$ 966,00. Qual foi a

porcentagem de aumento? Solução 1:

966 – 840 = 126 (aumento em reais)

x% de 840 = 126

10015

203

12018

840126 === → 15%

m)porcentage

em (aumento

Solução 2:

x% de 840 = 966 (salário anterior mais aumento)

%15%100%115100

115

20

23

120

138

840

966 +→→===

Resposta: Logo, a porcentagem de aumento foi de 15%. 08. Paulo gastou 40% do que tinha e ainda ficou com R$ 87,00. Quanto ele tinha e quanto gastou, em

reais? Solução:

Se ele gastou 40%, a quantia de R$ 87,00 corresponde a 60% do que possuía.

Fazemos então 60% de ? = 87.

53

10060 = ⇒ 87 / 3 = 29 ⇒ 29.5 = 145 (quanto ele tinha)

Quanto ele gastou:

145 – 87 = 58 ou 40% de 145 = 58

Resposta: Paulo tinha R$ 145,00 e gastou R$ 58,00.

↓

aument



09. Laura gastou R$ 900,00 na compra de uma bicicleta, de um aparelho de som e de uma estante. A bicicleta custou R$ 60,00 a menos que a estante e o preço do aparelho de som corresponde a 80% do preço da bicicleta. Quanto custou cada uma das mercadorias?

Solução:

Preço da estante: x Preço da bicicleta: x – 60

Preço do aparelho de som: 80% de 5

)60x(4)60x(

−→−

5

4

100

80 =

x + x – 60 + 5

)60(4 −x = 900 ⇒ 5x + 5x – 300 + 4x – 240 = 4 500 ⇒ 14x = 5 040 ⇒ x = 140405

= 360

Resposta: Logo, os preços foram: Estante: R$ 360,00

Bicicleta: R$ 300,00 (360 – 60) Aparelho de som: R$ 240,00 (80% de 300)

JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTO �� CONCEITO

A Matemática Financeira tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de recursos financeiros. �� CAPITAL

É qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal. �� JUROS

É o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro durante um certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por um certo período de tempo. �� TAXA DE JUROS

É um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado. Exemplo:

Capital Inicial: $ 100 Juros: $ 150 - $ 100 = $ 50 Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período

Observação

A taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc.) e pode ser

apresentada na forma percentual ou unitária.



→→→→ Taxa de Juros unitária

A taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira; para conseguirmos a taxa unitária (0.05) a partir da taxa percentual (5 %), basta dividirmos a taxa percentual por 100:

5 % / 100 = 0.05

�� MONTANTE

Denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos).

Capital Inicial = $ 100 + Juros = $ 50 = Montante = $ 150

�� REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

Quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros:

•••• Capitalização simples; •••• Capitalização composta;

→→→→ Capitalização Simples

Somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente

sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros →→→→ Capitalização Composta

Os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do período

seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente.

Observações

•••• Comparando-se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto para o regime de capitalização composto;

•••• Salvo aviso em contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se

refere a taxa de juros. •••• No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja,

linearmente, enquanto que no regime de capitalização composta o montante evolui como uma progressão geométrica, ou seja, exponencialmente.



�� CONCEITO

É aquele pago unicamente sobre o capital inicial ou principal

J = C x i x n

Onde: J = juros C = capital inicial i = taxa unitária de juros n = número de períodos que o capital ficou aplicado

Observações

•••• A taxa i e o número de períodos n devem referir-se à mesma unidade de tempo, isto é, se

a taxa for anual, o tempo deverá ser expresso em anos; se for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses, e assim sucessivamente;

•••• Em todas as fórmulas matemáticas utiliza-se a taxa de juros na forma unitária (taxa

percentual ou centesimal, dividida por 100).

�� JURO COMERCIAL

Para operações envolvendo valores elevados e períodos pequenos (1 dia ou alguns dias) pode haver diferença na escolha do tipo de juros a ser utilizado. O juro Comercial considera o ano comercial com 360 dias e o mês comercial com 30 dias. �� JURO EXATO

No cálculo do juro exato, utiliza-se o ano civil, com 365 dias (ou 366 dias se o ano for bissexto) e os meses com o número real de dias.

Observação

Sempre que nada for especificado, considera-se a taxa de juros sob o conceito comercial.

�� TAXA NOMINAL

É a taxa usada na linguagem normal, expressa nos contratos ou informada nos exercícios; a taxa nominal é uma taxa de juros simples e se refere a um determinado período de capitalização. �� MONTANTE

É o CAPITAL acrescido dos seus JUROS.

M = C (1 + i x n)

•••• A fórmula requer que a taxa i seja expressa na forma unitária; •••• A taxa de juros i e o período de aplicação n devem estar expressos na mesma unidade de

tempo;

JUROS SIMPLES



JUROS COMPOSTOS �� CONCEITO

No regime de Juros Compostos, no fim de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros considerada, os juros devidos ao capital inicial são incorporados a este capital. Diz-se que os juros são capitalizados, passando este montante, capital mais juros, a render novos juros no período seguinte. �� JUROS COMPOSTOS

São aqueles em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, acrescidos dos juros acumulados até o período anterior. �� CÁLCULO DO MONTANTE

Vamos supor o cálculo do montante de um capital de $ 1.000, aplicado à taxa de 10 % a.m., durante 4 meses.

Capital

(C) Juros

(J) Montante

(M)

1º Mês 1.000 100 1.100

2º Mês 1.100 110 1.210

3º Mês 1.210 121 1.331

4º Mês 1.331 133 1.464

Pode-se constatar que a cada novo período de incidência de juros, a expressão (1 + i) é elevada à

potência correspondente.

M = C (1 + i) t

Onde:

M = Soma dos Montantes C = Principal ou Capital Inicial i = taxa de juros por período t = nº. de períodos considerados

Observação

A taxa de juros i e o período de aplicação t devem estar expressos na mesma unidade de tempo;



EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Um investidor quer aplicar a quantia de $ 800 por 3 meses, a uma taxa de 8 % a.m., para retirar

no final deste período. Quanto irá retirar? Solução:

S = ?

0 i = 8 % a.m. $ 800 t = 3 Dados:

C = $ 800 t = 3 meses i = 8 % a.m. = 0.08 a.m.

Pede-se: M = ? M = P (1 + i) n

M = 800 x (1 + 0.08) 3 M = 800 x (1.08) 3

M = $ 800 x 1.08 x 1.08 x 1.08 M = $ 1.007,79

�� VALOR ATUAL

Considere-se que se deseja determinar a quantia C que deve ser investida à taxa de juros i para que se tenha o montante M, após t períodos, ou seja, calcular o valor atual de M.

Basta aplicarmos a fórmula do Montante, ou Soma dos Montantes, para encontrarmos o valor atual.

C = M / (1 + i) t

Onde:

M = Soma dos Montantes C = Principal (VALOR ATUAL) i = taxa de juros t = nº de períodos considerados



QUESTÕES DE CONCURSOS

01. O preço de um aparelho elétrico com um desconto de 40% é igual a R$ 36,00. Calcule, em

reais, o preço deste aparelho elétrico, sem este de sconto. 02. Uma pessoa pagou 18 dólares, de entrada, na com pra de um rádio, restando pagar 75% do

preço combinado. Determine, em dólares, o preço do rádio. 03. Se o salário de um metalúrgico sofre uma reduçã o de 20%, de quanto deverá ser o

aumento, em percentual, para ele readquirir exatame nte o salário original? 04. Um produto sofreu um aumento de 25%. Em seguida , devido a variações no mercado, seu

preço teve que ser reduzido também em 25%, passando a custar R$ 225,00. O preço desse produto, antes do aumento, era, em reais: a) 225,00 b) 240,00 c) 260,00 d) 300,00

05. José e João possuem uma empresa cujo capital é de R$ 150.000,00. José tem 40% de

participação na sociedade e deseja aumentar a sua p articipação para 55%. Se João não deseja alterar o valor, em reais, de sua participação, o v alor que José deve empregar na empresa é: a) R$ 110.000,00 b) R$ 170.000,00 c) R$ 82.500,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00



06. Numa competição, cada participante pode respond er a um máximo de 1.000 perguntas. Num determinado momento, um dos participantes alcan çou 80% de acerto nas 450 questões até então respondidas. Se a partir deste momento es te participante conseguir acertar todas as perguntas que lhe forem formuladas e se o seu objet ivo for elevar para 90% o índice de acertos entre as questões respondidas, quantas perg untas ele ainda terá que responder? a) 150 b) 250 c) 350 d) 450

07. Dos 3840 candidatos inscritos num Concurso, 15% não compareceram à prova (sendo, portanto, eliminados) e 1728 dos que compareceram f oram reprovados. O percentual, com relação ao número de inscritos, dos candidatos apro vados foi: a) 35% b) 40% c) 45% d) 50%

08. Numa sala há 100 pessoas, das quais 97 são home ns. Para que os homens representem

96% das pessoas contidas na sala, deverá sair que n úmero de homens? a) 2 b) 5 c) 10 d) 15 e) 25

09. Das 1200 pessoas entrevistadas numa pesquisa el eitoral, 55% eram mulheres. Das mulheres, 35% eram casadas. O número de mulheres ca sadas participantes da pesquisa foi: a) 132 b) 231 c) 312 d) 321

10. Em uma sala de aula de 80 alunos, o número de m ulheres é o triplo do número de homens.

A seguir, aponte a única alternativa ERRADA. a) as mulheres representam mais 70% da sala. b) os homens representam 25% do total de alunos. c) o número de mulheres é 200% maior que o número de homens. d) o número de homens representa 25% do número de mulheres.

11. A razão entre a terça parte de 0,27 e o dobro d e 0,2, nessa ordem, é x%, então calcule o

valor de 2x. a) 40 b) 45 c) 50 d) 55



12. Uma pessoa gasta 15% do seu salário com aluguel . Se o aluguel aumenta 26% e o salário 5%, que percentagem do salário esta pessoa passará a gastar com aluguel? a) 15% b) 16% c) 18% d) 20%

13. Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalen tes a um único desconto de: a) 26% b) 44% c) 56% d) 50%

14. Dona Menina investiu 20% de suas economias comp rando Euro e o restante comprando

Dólar. Sabendo que o Euro valorizou 10% em 6 meses e o Dólar caiu 20% ao final do mesmo período, determine o que aconteceu com o investimen to que ela fez. a) rendeu 10% b) reduziu 10% c) rendeu 14% d) reduziu 14%

15. Um comerciante resolve aumentar em 20% o preço de todos os produtos de sua loja, para em seguida, anunciar uma liquidação de 20% em todos os produtos dessa loja. Podemos afirmar que o novo em relação ao preço antes do aum ento: a) sofre um aumento de 4%. b) sofre uma redução de 4%. c) dependerá do preço de cada produto. d) não sofreu alteração, portanto ele não ganha nem perde com isso.

16. Numa festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes é 12

13 A porcentagem de

rapazes na festa é: a) 44 % b) 45 % c) 40 % d) 48 % e) 46 %

17. Numa loja, o preço de um produto tem um descont o de 15% se for pago à vista ou um

acréscimo de 5% se for pago com cartão de crédito. Tendo optado pelo cartão, uma pessoa pagou R$ 80,00 de acréscimo em relação ao que pagar ia, com desconto, à vista. Então a soma dos preços do produto à vista com desconto e no car tão é: a) R$ 700,00 b) R$ 740,00 c) R$ 760,00 d) R$ 720,00 e) R$ 780,00



18. Em um grupo de pessoas, 70% não possuem curso s uperior e 30% possuem. O salário dos que não possuem curso superior é de R$ 500,00 e o s alário dos que possuem é de R$ 1.500,00. O salário médio do grupo é de: a) R$ 800,00 b) R$ 866,00 c) R$ 900,00 d) R$ 1.000,00 e) R$ 1.200,00

19. Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o p reço de venda de uma mercadoria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preç o que pagou pela mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro, em porcentagem, seria: a) 40% b) 45% c) 50% d) 55% e) 60%

20. Thiago Pacífico comprou um carro que a vista cu staria R$ 10.000,00, e combinou com o vendedor de pagar 40% de entrada e o restante em du as prestações. Cada prestação foi calculada da seguinte forma: juros de 2% ao mês sob re o saldo devedor e este saldo corrigido foi dividido pelo número de prestações a pagar. No total, a pessoa que comprou o carro pagou (desprezando centavos): a) R$ 10.159,00 b) R$ 10.202,00 c) R$ 10.194,00 d) R$ 10.058,00 e) R$ 10.181,00

21. Se o seu salário subiu 56%, e os preços subiram 30%, de quanto aumentou o seu poder de

compra? a) 20% b) 21% c) 23% d) 25% e) 26%

22. João recebeu um aumento salarial de 15% no iníc io do mês de março e, no último dia do

mesmo mês, recebeu um outro aumento de 20% sobre se u novo salário. Qual o percentual total de aumento que João recebeu em março? a) 32% b) 35% c) 38 % d) 135%



23. Joãozinho gastou a metade do dinheiro que tinha com um presente que comprou para a sua mãe. Em seguida, gastou 30% do que lhe restou, na compra de um jogo, e ainda ficou com R$ 63,00. Quantos reais tinha Joãozinho antes das c ompras? a) 120 b) 150 c) 180 d) 200 e) 420

24. Um produto custava, em certa loja, R$ 200,00. A pós dois aumentos consecutivos de 10%, foi colocado em promoção com 20% de desconto. Qual o novo preço do produto (em R$)? a) 176,00 b) 192,00 c) 193,60 d) 200,00 e) Nenhuma das respostas anteriores

25. Um vendedor ambulante vende seus produtos com u m lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, qual o seu lucro, sobre o preço de cu sto? a) 50% b) 75% c) 100% d) 150%

26. O imposto sobre a venda de determinado bem é de 5%. Se o bem foi adquirido por 900

reais e teve um lucro de 10% sobre o preço de venda , qual o valor pago de imposto? a) 45 reais b) 50 reais c) 70 reais d) 90 reais

27. O preço de um aparelho é P reais. Como eu só po ssuo X reais, que correspondem a 70% de

P, mesmo que me fosse concedido um abatimento de 12 % no preço, ainda faltariam R$ 54,00 reais para que eu pudesse comprar esse aparelho. Ne ssas condições, a quantia que possuo: a) 210,00 b) 230,00 c) 250,00 d) 270,00

28. Thiago atrasou o pagamento de um boleto bancári o de R$ 120,00, que venceu dia 12 de

janeiro de 2007. Em caso de atraso será cobrada mul ta de 4% de juros simples de 3% a.m.. Quanto seria o total pago por ele no dia 21 de junh o do mesmo ano? a) 139,20 b) 144,00 c) 153,00 d) 162,40



29. Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.00 0,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.0 00,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valo r aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de: a) R$ 4.400,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.600,00 d) R$ 3.200,00 e) R$ 2.800,00

30. Determinado capital aplicado a juros simples du rante 18 meses rendeu R$ 7.200,00. Sabe-se que, se o dobro deste capital fosse aplicado a j uros simples com a mesma taxa anterior, geraria, ao final de dois anos, o montante de R$ 40 .000,00. O valor do capital aplicado na primeira situação foi: a) R$ 24.000,00 b) R$ 20.800,00 c) R$ 15.200,00 d) R$ 12.500,00 e) R$ 10.400,00

31. Fátima aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês e por um prazo

de 1 trimestre. Tendo sido as capitalizações mensai s, qual será o valor de resgate? a) R$ 1.331,00 b) R$ 1.300,00 c) R$ 331,00 d) R$ 300,00 e) R$ 1.000,00

32. O preço de certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o

preço atual seja R$ 100,00, daqui a 3 anos o preço será: a) R$ 300,00 b) R$ 400,00 c) R$ 600,00 d) R$ 800,00

33. O capital que quadruplica em 2 meses, ao se uti lizar de capitalização composta, deve estar

vinculado a uma taxa mensal de: a) 50% b) 100% c) 150% d) 200%



34. Uma aplicação de R$ 3.000,00 rendeu R$ 2.370,00 em 10 meses. Qual a taxa mensal composta de juros dessa operação? a) 2% b) 4% c) 6% d) 8%

35. Por quanto tempo deve ser aplicado um capital d e R$ 5.000,00, em regime de juros compostos e taxa de 6% a.t., para gerar um montante de R$ 7.518,00? a) 7 anos b) 2 anos e 1 mês c) 1 ano e 9 meses d) 1 ano e 3 meses

36. Carlos recebeu R$240 000,00 pela venda de um im óvel. Gastou metade dessa quantia na

compra de um apartamento no litoral e investiu o di nheiro que restou em fundos de investimentos de três instituições financeiras: 40% no Banco A, 30% no Banco B e 30% no Banco C. Após um ano, vendeu o apartamento do litor al por R$144 000,00 e resgatou as aplicações, cujos rendimentos anuais foram de +20%, −−−−10% e +30%, respectivamente, nos Bancos A, B e C. É correto afirmar que, em um ano, Carlos aumentou o capital de R$240 000,00, recebido inicialmente, em: a) 80% b) 36% c) 20% d) 18,50% e) 17%

37. O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 130,0 0. O comprador pode pagar 20% de

entrada no ato da compra e o restante em uma única parcela de R$ 128,96, vencível em 3 meses. Admitindo-se o regime de juros simples comer ciais, a taxa de juros anual cobrada na venda a prazo é de: a) 94% b) 96% c) 98% d) 100%

38. Thiago Pacífico devia, em seu cartão de crédito , R$ 1.000,00. Como não conseguiu pagar, em dois meses essa dívida aumentou para R$ 1.440,00 . Nesse caso, qual foi a taxa de juros simples cobrada mensalmente pelo cartão de crédito? a) 7,2% b) 14,4% c) 20% d) 22% e) 44%



39. José emprestou R$ 500,00 a João por 5 meses, no sistema de juros simples, a uma taxa de juros fixa e mensal. Se no final dos 5 meses José r ecebeu um total de R$ 600,00, então a taxa fixa mensal aplicada foi de: a) 0,2%. b) 0,4%. c) 2%. d) 4%. e) 6%.

40. Nas compras à vista, um comerciante oferece 10% de desconto sobre o preço de etiqueta e, a prazo, divide o preço de etiqueta em dois pagamen tos iguais sem acréscimo: uma entrada e um pagamento em 30 dias. Na verdade, o comerciante está embutindo nessa transação uma taxa mensal de juros de: a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30%

41. O dono de um supermercado comprou de seu fornec edor um produto por x reais (preço de

custo) e passou a revende-lo com um lucro de 50%. A o fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sob re o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo, a) prejuízo de 10% b) prejuízo de 5% c) lucro de 20% d) lucro de 25%

42. Certa pessoa tomou um empréstimo de R$12 000,00 a juros compostos de 5% ao mês. Dois

meses depois, pagou R$7 230,00 desse empréstimo e, dois meses após esse primeiro pagamento, liquidou todo seu débito. O valor desse segundo pagamento, em reais, foi: a) 5000,40 b) 5200,00 c) 6208,80 d) 6615,00

43. Um certo capital foi aplicado por 5 meses. Ao f im desse prazo, só de juros simples, o aplicador recebeu o triplo do dinheiro. Qual é a ta xa mensal dessa aplicação? a) 0,72%. b) 72%. c) 0,6%. d) 60%.



44. Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20 % de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 g atos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: a) 50 b) 10 c) 20 d) 40 e) 70

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 60 72 25% B E D B E B D B C B D B D C A C E A C 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 C C C B A B A E A D B C C E B D D D C D D E

FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL ÚNICO (1 + i) n

n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1100 1,1200 2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2321 1,2544 3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,3676 1,4049 4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5181 1,5735 5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,6851 1,7623 6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,8704 1,9738 7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,0762 2,2107 8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,3045 2,4760 9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,5580 2,7731 10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 2,8394 3,1058 11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,1518 3,4785 12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,4985 3,8960 13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 3,8833 4,3635 14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,3104 4,8871 15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772 4,7846 5,4736 16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950 5,3109 6,1304 17 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5,0545 5,8951 6,8660 18 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5,5599 6,5436 7,6900

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