Universidade Federal do Rio Grande do NorteCentro de Ciências Exatas e da Terra

Departamento de FísicaBacharelado em Física

Entropia de Informação de Redes Clássicas eComplexas

Raabe Melo de Oliveira

Natal, RN, Brasil2019

Raabe Melo de Oliveira

Entropia de Informação de Redes Clássicas e Complexas

Monografia de Graduação apresentada ao Cursode Bacharelado em Física do Departamento deFísica da Universidade Federal do Rio Grandedo Norte como requisito parcial para obtençãodo grau de Bacharel em Física.

Curso: Bacharelado em Física

Orientador: Prof. Dr. Luciano Rodrigues daSilvaCoorientadora: Dra. Samuraí Gomes deAguiar Brito

Natal, RN, Brasil

2019

Oliveira, Raabe Melo de. Entropia de informação de redes clássicas e complexas / RaabeMelo de Oliveira. - 2019. 51f.: il.

Monografia (Bacharelado em Física) - Universidade Federal doRio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra,Departamento de Física Teórica e Experimental. Natal, 2019. Orientador: Luciano Rodrigues da Silva. Coorientador: Samuraí Gomes de Aguiar Brito.

1. Física - Monografia. 2. Grafos aleatórios - Monografia. 3.Redes livres de escala - Monografia. 4. Entropia de von Neumann- Monografia. 5. Redes complexas - Monografia. I. Silva, LucianoRodrigues da. II. Brito, Samuraí Gomes de Aguiar. III. Título.

RN/UF/CCET CDU 53

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNSistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET

Elaborado por Joseneide Ferreira Dantas - CRB-15/324

Universidade Federal do Rio Grande do NorteCentro de Ciências Exatas e da Terra

Departamento de FísicaBacharelado em Física

A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Monografia deGraduação:

Entropia de Informação de Redes Clássicas e Complexas

elaborada por Raabe Melo de Oliveira

Como requisito parcial para o obtenção do título deBACHAREL EM FÍSICA

COMISSÃO EXAMINADORA:

Prof. Dr. Luciano Rodrigues da Silva - Orientador, UFRN

Prof. Dr. Raimundo Silva Jr, UFRN

Prof. Dra. Samuraí Gomes de Aguiar Brito, IIP

Natal, 17 de junho de 2019.

Dedico este trabalhoAo meu Deus, aos meus pais, aos meus irmãos,

A todos que somaram em minha formação.

Agradecimentos

A Deus, pela força, perseverança e preparo para concluir a primeira etapa dessa jornadacientífica.

Ao meu orientador, professor Dr. Luciano Rodrigues da Silva, pela confiança e compreensãodurante toda a minha graduação.

À minha co-orientadora, Dra. Samuraí Gomes de Aguiar Brito, pelos encontros, paciênciae instruções para a construção deste trabalho.

À minha mãe, Marinaide Bezerra de Melo Oliveira, ao meu pai Dixon Borges de Oliveira,à minha irmã gêmea Rute Melo de Oliveira, e ao meu irmão Jônatas Melo de Oliveira. Se nãofosse pelo amor, carinho e a paciência em mim depositada, eu não teria chegado até aqui.

Aos meus amigos do Departamento de Física Teórica e Experimental, Rennan GleysonSouza de Sá, e Zilmar Candido de Santana Junior, pelas risadas e estudos compartilhados.

Aos professores do Departamento de Física e Instituto Internacional de Física, pela com-petência em ensino e compreensão.

Aos funcionários do DFTE.

Ao CNPq pelo apoio financeiro.

"A entropia é um dos conceitos mais sutis da física."(Constantino Tsallis)

Resumo

Estudos em redes complexas são essenciais em diversos campos do conhecimento devido asua capacidade de representar sistemas reais. Alguns estudos mostram que através da discussãodas matrizes que compõem uma rede é possível extrair propriedades e analisá-las sob a óticada Mecânica Quântica. Neste trabalho, discutiremos a entropia de von Neumann como umquantificador de informação presente em grafos aleatórios. Nesta monografia abordaremos trêstipos de redes: rede quadrada (rede regular), o modelo de grafo aleatório de Erdös e Rényi, e omodelo livre de escala de Barabási-Albert, onde estudaremos a entropia de von Neumann paratrês diferentes topologias.

Palavras-chave: Redes complexas, Redes Aleatórias, Grafo aleatório, Entropia, Entropia de vonNeumann.

Abstract

Studies in complex networks are essential in many fields of knowledge (science) because oftheir ability to represent real systems. Some studies show that through the discussion of thematrices that make up a network it is possible to extract properties and analyze them from theperspective of Quantum Mechanics. In this work, we will discuss the von Neumann entropyas an information quantifier present in random graphs. In this monographwe will study threetypes of networks: Regular Network with k = 4, Erdös and Rényi random model and Scale-Free network using Barabási-Albert model, we will observe the von Neumann entropy for threedifferent topologies.

key-words: Complex Networks, Random Networks, Random Graph, Entropy, von NeumannEntropy.

Sumário

1 Introdução 10

2 Principais conceitos e modelos de redes 122.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Distribuição de conectividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Coeficiente de agregação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3 Menor caminho médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.4 Armazenamento de grafo em memória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Redes Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Modelos Teóricos de Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.1 Modelo de Erdös e Rényi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.2 Propriedades do Modelo de Erdös e Rényi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.3 Modelo de Watts e Strogatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.4 Modelo de Barabási e Albert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.5 Propriedades do modelo de Barabási-Albert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Entropia em Redes Clássicas e Complexas 283.1 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Entropia de Informação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Propriedades Importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.1 Matriz Laplaciana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.2 Matriz Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Entropia de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 Entropia de von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5.1 Máximo e Mínimo da Entropia de von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Entropia de von Neumann aplicada em diferentes tipos de Redes 344.1 Entropia da Rede Regular Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Entropia do Grafo Aleatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.1 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.2 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Entropia da Rede Livre de Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.1 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.2 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4 Análise da Entropia de von Neumann para diferentes tipos de Redes . . . . . . . . 45

5 Conclusões e perspectivas 47

Referências 49

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1 Introdução

Nos dias atuais, o estudo de sistemas complexos tornou-se fundamental em diversas áreasdo conhecimento. Entender e reproduzir o ambiente que nos cerca é um dos maiores objetivosdos pesquisadores. O estudo das Redes Complexas é uma subárea dos sistemas complexosque tem tido bastante atenção. Esse estudo teve início no último século e vem tendo diversasaplicações em várias áreas do conhecimento como na física, biologia, sociologia, entre outros.Graças ao avanço computacional, às ferramentas da mecânica estatística e à teoria dos grafostem sido possível reproduzir e analisar qualitativamente muitas redes reais.

Historicamente, o estudo das redes teve o seu pilar na matemática discreta com a teoria dosgrafos. Desde o seu nascimento em 1736, quando o matemático Suíço Leonard Euler publicoua solução para o problema das pontes de Königsberg [14]. Contudo, foi apenas no início dadécada de 1960, que análises em sistemas reais, como, por exemplo, no ramo das ciências sociais,começaram a se desenvolver com a modelagem de redes sociais.

As redes complexas tiveram o seu grande progresso em 1950, com os matemáticos Erdös eRényi. Eles propuseram um modelo para a análise de redes aleatórias. Conceitualmente, umarede segundo o modelo de Erdös e Rényi, é criada a partir de N vértices fixos, conectados entresi com uma probabilidade p. Para crescer a rede um par de vértices é escolhido e é sorteadoum número aleatório entre 0 e 1, se esse número for menor ou igual a probabilidade inicial p,haverá uma ligação (aresta) entres eles. A distribuição de conectividade deste modelo segueuma Poissoniana, consequentemente, é raro encontrar nós com muitas ou poucas ligações, ouseja, tem uma conectividade típica.

No decorrer dos anos muitos outros trabalhos, como, por exemplo, as redes de mundo pe-queno, apresentadas por Watts e Strogatz, e redes livres de escala, popularizadas por Barabási eAlbert, também contribuíram para o progresso das redes. Outro fator importante para o avançoda área foi o grande desenvolvimento computacional, possibilitando a simulação de sistemascom um grande número de constituintes e muitas regras de conexões entre esses constituintes.

As análises das redes complexas em diferentes campos da ciência têm gerado vários resul-

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tados importantes, e, um exemplo deles é a aplicação das redes complexas na Física Quântica.Atualmente, as redes iniciam uma nova era graças aos estudos envolvendo conceitos quânticos.Estudos apresentados por Filippo Passerini e Simone Severini mostram o comportamento daentropia de von Neumann aplicada em redes aleatórias e regulares; conceito no qual iremostratar nesta monografia.

A entropia é um importante conceito da Física Estatística, além de conter toda a Ter-modinâmica do sistema, ela também indica a medida de desordem no sistema. Inicialmentedefinida por Rudolf Clausius, a entropia é uma propriedade da Mecânica Estatística, graças aosconceitos apresentados por Boltzmann, Maxwell, Gibbs, entre outros. O cálculo da entropiapode ser realizado em redes a partir das distribuições de probabilidades, que foi estudada porClaude Shannon [25]. O trabalho anunciado por Shannon também foi considerado como sendopioneiro no surgimento da Teoria da Informação.

Apesar do avanço significativo em redes, o conceito de entropia ainda é um problema,tendo em vista que o cálculo dessa grandeza, até o momento, é inviável para sistemas grandes,N → 106. A entropia de von Neumann é definida como sendo S(σ̂) =

∑Ni=1 λi log2 λi, onde λi

são os autovalores da matriz densidade da rede. Portanto, o custo computacional para o cálculodos autovalores em matrizes NxN , com N muito grande, é inviável.

Nesta monografia iremos apresentar a entropia de von Neumann para diferentes topologiasde redes. As simulações computacionais foram realizadas para diferentes tamanhos de redes evariando-se outros parâmetros, tais como: probabilidade de conexão (modelo de Erdös-Rényi)e parametro da rede (modelo de Barabási-Albert), com o propósito de investigar como cada umdesses parâmetros influenciam na entropia de von Neumann. No segundo capítulo estaremosapresentando alguns conceitos básicos e alguns modelos de redes: o modelo de Erdös-Rényi(ER), o modelo de Watts-Strogatz (WS), e o modelo de Barabási-Albert (BA). No terceirocapítulo falaremos sobre entropia em redes clássicas e complexas e exemplificaremos algumasmatrizes importantes, como, por exemplo, a matriz Laplaciana e a matriz densidade. Noquarto capítulo apresentaremos os resultados encontrados usando alguns dos modelos citadosno capítulo dois. E, por fim, no capítulo cinco, abordaremos a conclusão e algumas perspectivasfuturas.

2 Principais conceitos e modelos de redes

Redes estão em todos os lugares, desde sistemas macroscópicos como uma sociedade àsistemas que formam o elemento principal desta sociedade: os seres vivos. Atualmente, sistemasconglomerados têm sido estudados graças ao avanço computacional, que torna possível simularsistemas com o número de constituintes cada vez maior. Mas, como uma rede é produzida?Quais os elementos principais que determinam a estrutura da rede? Este capítulo elucida eaborda os principais conceitos que constitui a teoria dos grafos e das redes complexas.

2.1 Introdução

O estudo das redes teve início em 1736, com o matemático suíço Leonard Euler com asolução do famoso problema das sete pontes de Königsberg (ver Fig. 1). Tal problema se passana cidade de Königsberg, na qual é cortada pelo rio Pregel. O problema consiste em respondera seguinte questão: é possível atravessar as sete pontes da cidade, passando sobre cada pontesomente uma vez, e retornar ao ponto de partida? Euler chamou cada porção de terra de vérticee as pontes de arestas [1]. Essa representação deu origem a teoria dos grafos. E, por meio dografo, Euler mostrou que tal percurso não seria possível. A afirmação negativa se deu porquetodos os vértices do grafo apresentavam um número ímpar de arestas. Para que o percurso fosse

(a) Esquematização das sete pontes de Königsberg (b) Grafo de Euler

Figura 1: a) Esquematização das sete pontes de Königsberg. Figura retirada do endereço eletrônico.http://idm09.wordpress.com/2009/11/01/ its-a-small-world- after-all/. (b) Grafo de Euler para o problema.As pontes são representadas pelas arestas, e as porções de terra, pelos vértices.

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possível os vértices de partida e chegada deveriam possuir um número par de arestas [2]. Estetipo de grafo, no qual todos os vértices apresentam o número de arestas ímpar, ficou conhecidocomo grafo de Euler.

Inicialmente a história das redes foi formulada, basicamente, na teoria dos grafos. Mas, porvolta de 1950, as redes passaram a ter avanços significativos com o matemático Húngaro PaulErdös, apresentando o conceito de grafos aleatórios [3]. Paul Erdös foi o primeiro a produziruma rede aleatória computacionalmente [4]. Contudo, somente na década de 1990 que o estudode redes passou a ter mais reconhecimento, quando fenômenos físicos e biológicos passaram aser descritos por redes [3].

2.2 Definições

De maneira simplificada, uma rede pode ser definida como sendo um conjunto de objetosconectados entre si. Esses objetos são chamados de vértices (nós ou sítios) e as conexões dearestas (ligações). Uma característica importante do vértice é o seu grau ou conectividade k,a qual informa o número de arestas que este contém, ou ainda, também significa o número devizinhos que o vértice possui (ver Fig. 2). Vértices que apresentam alta conectividade, quandocomparado aos demais vértices da rede, são chamados de pólos (ou Hubs).

Figura 2: Representação esquemática de um grafo, contendo 6 vértices e 8 arestas.

1. Topologia: é a forma na qual as conexões e nós estão distribuídas na rede, ou seja, atopologia informa a estrutura da rede. Por exemplo, grafos no qual a conectividade detodos os sítios tem um valor próximo a conectividade média, são chamadas de redesaleatórias.

2. Vizinhança: em uma rede na qual o vértice i compartilha uma ligação com o vértice jdefine-se que eles são vizinhos ou adjacentes.

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(a) Vizinhança (b) Grafo direcionado (c) Grafo ponderado

Figura 3: (a) Vizinhança. O vértice 2 é vizinho do vértice 3 que também é vizinho do vértice 6, mas porexemplo, o vértice 6 não é vizinho do vértice 1. (b) Grafo direcionado com 6 vértices e 8 arestas. (c) Grafoponderado. Neste grafo o valor de suas arestas são inteiros e correspondem aos seus pesos.

3. Grau do vértice: informa o número de arestas que um vértice contém, isto é, tambémindica o número de vizinhos que o vértice possui. Essa característica também é nomeadade conectividade e é representada pela letra k. Existe o caso em que alguns vérticesapresentam um alto grau de conexões quando comparados aos outros vértices da rede.Estes são chamados de pólos ou hubs da rede (ver Fig. 3(a)).

4. Grafo k-regular: são grafos nos quais todos os vértices apresentam o mesmo grau, ouseja, todos os vértices apresentam o mesmo número de arestas. Portanto um grafo regu-lar apresenta uma regularidade com relação a sua estrutura (rede triangular, quadrada,hexagonal, etc) [4]. Um exemplo na física são os modelos atômicos nos quais são estudadospor meio de redes regulares.

5. Grafo conexo: um grafo é definido como conexo quando não existem vértices isolados,ou seja, para qualquer par de vértices existe um caminho que os ligam, caso contrário ografo é dito desconexo.

6. Grafo direcionado: existem duas formas de classificar grafos: direcionados e não direcio-nados. Para o caso de grafos direcionados existem dois tipo de conectividade, a conectivi-dade de entrada kin e a conectividade de saída kout. A soma dessas conectividades informaa conectividade total do vértice. De maneira simplificada, uma rede é dita direcionadaquando suas arestas possuem direções, isto é, as arestas definem o sentido de fluxo deinformação [3]. Neste trabalho iremos tratar somente com grafos não direcionados (verFig. 3(b)).

7. Grafos ponderados: os grafos podem ser classificados em ponderados e não ponderados.Para o caso de grafos não ponderados, o peso da aresta que interliga o vértice i ao vérticej equivale a 1, mas quando não existir ligação entre i e j dizemos que o peso é igual a 0

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(ver Fig. 3(c)). De modo geral, um grafo é dito ponderado quando suas arestas possuempesos. O significado físico disto é, por exemplo, o custo energético do caminho percorridodo vértice i ao vértice j, isto é, não estamos interessados no menor caminho entre os doisvértices, mas na menor soma dos pesos das arestas que conectam os vértices i e j.

8. Grafos estáticos e dinâmicos: um grafo é dito estático quando o número de vértices earestas são constantes no tempo. Caso contrário, quando o número de vértices e arestaspossuem um crescimento no decorrer do tempo, o grafo é intitulado como dinâmico.

2.2.1 Distribuição de conectividade

Figura 4: Comparação entre a distribuição de Poisson (pontos vermelhos) e a distribuição em lei de potência(pontos azuis). O gráfico do lado esquerdo foi plotado na escala linear e o gráfico do lado direito foi plotado naescala log-log. Ambos os gráficos possuem o mesmo grau médio ⟨k⟩ = 10. Figura retirada da referência [3].

A distribuição de conectividade P (k), também chamada de distribuição de grau, é umadas características mais importantes de uma rede, pois de alguma maneira expressa a suatopologia. A distribuição de conectividade informa a probabilidade de que um vértice escolhidoaleatoriamente possua k vizinhos, ou analogamente, define a fração de vértices da rede quecontém determinado grau k [8]. Esta propriedade expressa como a rede está configurada, ouseja, como estão distribuídos os vértices da rede. Em geral existem dois tipos de distribuiçõesde conectividade: localizada e não localizada. Um exemplo de distribuição localizada é adistribuição de Poisson, na qual está presente em redes aleatórias. Para uma distribuição nãolocalizada, tem-se o exemplo da distribuição em lei de potência, na qual está presente para ocaso de redes sem escala típica.

A distribuição de grau, matematicamente, informa a probabilidade de um vértice, escolhidoaleatoriamente em uma rede de tamanho N, tenha exatamente k arestas. Em redes direcionadas

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é necessário considerar duas classes de distribuições de conectividade, a distribuição de entradaPin(k) e a distribuição de saída Pout(k). A forma como a conectividade está distribuída na redepode ser obtida como sendo o cálculo dos seus momentos de ordem n.

1. Distribuição de Poisson: essa distribuição de probabilidade está presente em sistemas noqual o número de constituintes é muito grande, N → ∞, e a probabilidade que os eventosocorrem é localizada e apresentam pequenas flutuações (ver Fig. 4). É definida pelaseguinte equação:

p(k) =e−⟨k⟩⟨k⟩k

k!(2.1)

Em que k é a conectividade, e ⟨k⟩ é conectividade média. Observe que é uma distribuiçãodiscreta e quando a conectividade, k, é muito grande, essa função decai rapidamente. Umexemplo de rede que segue essa distribuição é o Grafo Aleatório Clássico, no qual temosum sistema cujo número de constituintes, isto é, os vértices da rede, tende ao infinito e amaioria dos sítios possuem uma conexão próxima à conectividade média.

2. Distribuição em Lei de Potência: alguns sistemas reais não podem ser descritos por dis-tribuições localizadas, tipo Poisson, pelo contrário, tais sistemas são descritos por umadistribuição larga. Neste tipo de distribuição existem poucos vértices com alta conectivi-dade, chamados hubs, e muitos vértices com baixa conectividade. Sistemas descritos peladistribuição em Lei de Potência são ditos ser livres de escala. Esta distribuição é dadapor:

p(k) ∝ k−γ (2.2)

sendo γ o expoente característico da distribuição (ver Fig. 4). Para redes livres de escalao expoente γ está entre 2 e 3, na maior parte dos casos.

2.2.2 Coeficiente de agregação

Coeficiente de agregação, ou aglomeração, indica a probabilidade de que os vizinhos deum dado sítio também sejam vizinhos em si. O coeficiente de agregação é um fator bastanteestudado em redes reais [8], introduzido por Steven Strogatz e Duncan Watts. Em redes reais,podemos citar como exemplo as redes sociais de amizade, na qual é intuitivo pensar que meusamigos também são amigos entre si, isto é, é comum imaginarmos que a probabilidade dos meus

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amigos se conhecerem é alta [5]. O coeficiente de agregação global dá uma ideia de agregaçãototal da rede.

Matematicamente, o coeficiente de agregação local pode ser descrito como sendo:

cj(kj) =nj

kj(kj − 1)/2(2.3)

Na qual kj é a conectividade do sítio j, nj é o número total de conexões dos primeirosvizinhos de j e kj(kj −1)/2 é o número total de conexões possíveis entre os vizinhos do nó j [3].Para encontrar o coeficiente de agregação médio da rede dividimos o coeficiente de agregaçãolocal pelo número de vértices da rede.

C =1

N

∑j

cj =1

N

nj

kj(kj − 1)/2(2.4)

2.2.3 Menor caminho médio

Uma grandeza importante que pode ser encontrada em uma rede é o caminho que ligao vérrice i ao vértice j. O caminho entre dois vértices quaisquer pode ser definido como asequência de vértices e arestas que os ligam. De maneira simplificada, o número de arestasdistintas que interligam os vértices de saída e de chegada definem o caminho entre esses doisvértices. Caso não exista arestas que ligam os vértices, dizemos que eles estão desconectados e ocaminho entre eles é infinito. O menor caminho é algumas vezes chamado de distância geodésicaou distância química, é definido como sendo a menor sequência de arestas sem repetição queseparam dois vértices na rede. O menor caminho médio é uma característica global que medea eficiência do transporte de informação em uma rede [9].

A distância média se dá pela média aritmética das distâncias geodésica entre todos osN(N-1)/2 pares de vértices da rede:

l =2

N(N − 1)

∑i<j

dij (2.5)

Em que dij é a menor distância, o menor número de arestas, entre o vértice i e j. Em algumasredes aleatórias, o menor caminho médio cresce logaritmicamente com o tamanho do sistemaN, caracterizando o efeito de mundo pequeno [3].

Outra característica importante é o diâmetro da rede, no qual é o inverso do menor cami-nho médio, ou seja, informa o maior comprimento entre dois vértices escolhidos aleatoriamente

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em uma rede. O estudo do diâmetro da rede indica a robustez desta, isto é, informa a vulne-rabilidade da rede.

2.2.4 Armazenamento de grafo em memória

Existem diferentes maneiras de representar um grafo computacionalmente, cada uma pos-suindo suas vantagens e desvantagens [5]. Contudo, o fator de maior peso, quando comparadas,é o custo computacional, isto é, o tempo que cada uma leva para executar e a memória arma-zenada de cada algoritmo. As formas mais utilizadas são:

1. Lista de adjacência: um grafo G(N,E) pode ser representado computacionalmente porlistas de adjacência, isto é, cada vértice do grafo possuirá uma lista que armazenarátodos os seus vizinhos [5]. É o método mais utilizado, pois o espaço de memória ocupadoé da ordem de O(N+E), no qual N é o número de vértices e E é o número de arestas darede.

2. Matriz de adjacência: um grafo G(N,E) pode ser representado computacionalmente porsua matriz de adjacência NxN, na qual é composta por 0’s e 1’s, de modo que se o vérticei compartilha uma ligação com o vértice j, o elemento de matriz Aij recebe o númerode ocupação 1, caso contrário, receberá 0. A desvantagem desse método é o espaço dememória que ele ocupa, pois o tamanho da matriz depende sobretudo do número devértices da rede.

2.3 Redes Regulares

Neste modelo, as redes são bem estruturadas e construídas a partir de N vértices, no qualtodos os vértices (exceto os vértices da borda) da rede possuem o mesmo número de arestas,isto é, apresentam o mesmo grau. Exemplos desse modelo de rede são: rede triangular, redequadrada, rede hexagonal, etc. O modelo de redes regulares é o mais simples, o qual serve paraa evolução de modelos mais elaborados [6]. A figura 5 apresenta uma rede regular quadrada.

2.4 Modelos Teóricos de Redes

Um modelo teórico de rede é um conjunto de definições matemáticas que determina a es-trutura da rede, ou seja, um modelo teórico estabelece algumas características da rede. Éimportante ressaltar que um modelo matemático não pode ser caracterizado como bom ou

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ruim, pois trata-se simplesmente de um modelo. Entretanto, podemos dizer que um determi-nado modelo captura ou representa melhor uma determinada característica do que um outroqualquer [11]. Existe na literatura uma vasta gama de modelos teóricos de redes, cada umdesempenhando a função de descrever um tipo de interação. Alguns exemplos de interaçõessão: relações de amizades, regulação de gene, referência entre artigos científicos, redes neuraise muitos outros campos. A gama de interações justifica em parte o interesse em sua modela-gem, e, de fato, vários modelos de grafos aleatórios surgiram como resposta às demandas dessaspesquisas [7].

2.4.1 Modelo de Erdös e Rényi

Erdös e Rényi, no final da década de 1950 e início de 1960, propuseram um modelo degrafo aleatório [10]. Em particular, eles provaram diversas características fundamentais da redegerada por este modelo aleatório [11]. O modelo de Erdös e Rényi pode ser descrito comoum conjunto finito não vazio de pontos N = vi, ..., vf e o conjunto E de diferentes pares nãoordenados (vi, vf ) chamado grafo G; que pode ser descrito como G = (N,E) [20], nos quaisvi,...,vf são chamados vértices e os pares (vi, vf ), com i diferente de f , são chamados de arestasdo grafo [20].

O modelo aleatório de Erdös e Rényi gera redes não dinâmicas, dado que o número devértices é fixado no início do processo de criação da rede e cada aresta é criada de modoindependente com uma certa probabilidade p (ver Fig. 6). A construção de um grafo aleatórioé chamada de uma evolução, dado que inicia-se uma rede com N vértices isolados, e o grafodesenvolve-se com a sucessiva adição aleatória de arestas. Dessa forma o papel da teoria dosgrafos aleatórios é estudar as propriedades do espaço de probabilidades associada a grafos comN vértices quando N → ∞, com objetivo de determinar para qual probabilidade de conexão p,uma propriedade em particular do grafo irá surgir [18]. Erdös e Rényi mostraram que muitas

Figura 5: Representação esquemática de uma rede quadrada. A conectividade de cada vértice é fixa.

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(a) Exemplos de redes com N = 12 vértices, permutando a probabilidade de conexão p paracada par de vértice.

(b) Exemplos de redes com N = 100, em estágios de evolução distintos, correspondentesa probabilidade p = 0.03.

Figura 6: Evolução de um grafo aleatório. Os nós isolados ao fundo representam os vértices de conectividadek = 0. Figura retirada da referência [13].

propriedades importantes surgem de forma abrupta, se variada a probabilidade de conexão p.Dessa forma, em redes grandes, todavia finitas, existe uma probabilidade crítica pc, a partir doqual, essa propriedade sempre estará presente no grafo, ou seja, se p > pc, a propriedade existee quase nunca estará presente se p < pc [14]. Um exemplo de propriedade que surge na redeem pc é a percolação clássica.

2.4.2 Propriedades do Modelo de Erdös e Rényi

1. Subgrafos: seja G1 = (N1, E1) um grafo de N1 vértices e E1 arestas, inteiramente contidoem um grafo G = (N,E) de tal modo que todos os N1 vértices e todas as E1 arestas deG1 também são vértices de N e arestas de E, portanto dizemos que G1 é um subgrafo deG [18]. A aparição de subgrafos foi a primeira propriedade de grafos aleatórios estudadapor Erdös e Rényi (1959) [19]. Um exemplo de subgrafo pode ser visto na figura 7.

Um subgrafo G1(N1, E1) é considerado de ordem k quando, para cada par de arestasconsecutivas há somente um nó em comum, existem k arestas. Graficamente um triânguloé um subgrafo de ordem três, e um retângulo é um subgrafo de ordem quatro e assimpor diante [18]. Um importante subgrafo a ser apresentado são as árvores, nas quais

21

são grafos de ordem k com k vértices e k − 1 arestas, uma propriedade relevante dasárvores são que elas não formam subgrafos de circuitos fechados. Um exemplo de redetipo Árvore é a Rede de Cayley. Uma questão a ser frisada no estudo dos grafos aleatóriosé a determinação da probabilidade crítica pc(N), ou seja, estipular matematicamente aprobabilidade em que surgem árvores de ordem k em um grafo.

Figura 7: Representação esquemática de um subgrafo induzido.

2. Distribuição de conectividade: A distribuição de conectividade das redes aleatóriasé conhecida desde os primeiros trabalhos de Erdös e Rényi [10]. Eles estudaram o limitesuperior e inferior da distribuição de conectividade e obtiveram que a probabilidade,numa rede aleatória, de um vértice i ter k = ki ligações com outros vértices, segue umadistribuição binomial [14]:

P (ki = k) = CkN−1p

k(1− p)N−1−k (2.6)

no qual o termo CkN−1 indica o número de formas distintas em que as arestas podem

estar distribuídas, o termo seguinte, P k, informa a probabilidade de existirem k ligaçõese, por último, o termo (1− p)(N−1−k) é a probabilidade para a inexistência de (N − 1−k)

ligações. Em um modelo de grafo aleatório, a probabilidade de um vértice, escolhidorandomicamente, possuir k ligações é a mesma para todos os outros vértices do grafo.Para N suficientemente grande, essa distribuição é bem ajustada por uma distribuiçãode Poisson:

P (k) = e−⟨k⟩ ⟨k⟩k

k!(2.7)

onde ⟨k⟩ é a conectividade média que é dada por ⟨k⟩ = p(N−1). É notável que a maioriados vértices apresentam o mesmo número de arestas, ki ≃ ⟨k⟩ [14].

2.4.3 Modelo de Watts e Strogatz

Watts e Strogatz propuseram um modelo que descreviam duas propriedades observadas emredes reais; alto coeficiente de agregação e um caminho médio muito pequeno (efeito de mundo

22

(a) Regular (b) Small-Word (c) Random

Figura 8: Processo de reconexão dos vértices para o modelo de Watts-Strogatz, no qual transforma um graforegular em um grafo aleatório. Na figura a rede é iniciada com N = 20 vértices, cada vértice é ligado aos seusquatro primeiros vizinhos. Para cada alteração do valor de p a topologia da rede é alterada. Figura retirada dareferência [13].

pequeno). A rede gerada pelo modelo de Watts Strogatz apresenta um menor caminho médio⟨l⟩ ∼ lnN , no entanto, a rede possui um alto coeficiente de agregação, diferente do resultadoobtido pelo modelo de Erdös Rényi.

O modelo de Watts e Strogatz pode ser descrito da seguinte maneira:

1. Cria-se uma rede circular e regular com N vértices. Cada vértice está conectado aos seusprimeiros k vizinhos, tendo, portanto, uma rede conectada em todos os momentos [18].

2. Com probabilidade p reescreve-se aleatoriamente cada aresta da rede de tal forma queas auto conexões e conexões duplas não são permitidas. Assim, tem-se uma rede compNk/2 ligações de longo alcance as quais conectam vértices de diferentes vizinhos [18].

Ao variarmos p, podemos ver que a rede gerada pode ser completamente regular ou com-pletamente aleatória (ver Fig. 8). Isto é, para o caso de p = 0, tem-se uma rede completamenteregular e, para o caso de p = 1, observa-se uma rede aleatória. Para um certo valor de 0 < p < 1

a rede apresenta característica de mundo pequeno. Deste modo, pode-se concluir que o parâ-metro p da rede controla a topologia da rede, variando entre um látice regular e uma redetotalmente aleatória, sem estrutura [11].

23

2.4.4 Modelo de Barabási e Albert

O final da década de 1990 foi o início de uma nova era na área das Redes graças aos es-tudos apresentados por Albert-László Barabási e Réka Albert. Eles perceberam que algumasredes reais possuíam uma distribuição de conectividade que não condizia com o que já haviasido apresentado em grafos aleatórios. Eles observaram que que estas redes apresentavam umadistribuição de conectividade que seguia uma lei de potência, P (k) ∼ k−γ. Buscando umapossível explicação, ambos sugeriram um modelo matemático para a construção de redes comessa característica [11]. Barabási e Albert observaram também que redes não eram estáticas,como estudada nos modelos anteriores, mas o número de constituintes e ligações cresciam con-tinuamente. Outro ponto observado é que nessas redes a ligação parece não ser completamentealeatória, mas sim preferencial, indicando que alguns sítios possuem mais probabilidades dereceber ligações do que outros. Eles acreditaram que esses dois mecanismos poderiam ser osresponsáveis pelo surgimento da lei de potência [5].

Dessa forma, Barabási e Albert concluíram que em muitas redes reais a distribuição deconectividade em lei de potência surgia por causa de dois mecanismos: crescimento e ligaçãopreferencial. Com isto, eles deram início a uma nova área nos estudos de redes, chamandode Redes Complexas. O algoritmo base deste modelo consiste em adicionar novas arestasà rede com uma maior probabilidade aos vértices mais conectados, criando assim os polos(hubs) na rede. Uma das características mais importantes no modelo de Barabási e Albert é ocrescimento da rede, dado que o número de vértices e arestas crescem no decorrer do tempo.Outra característica notável neste modelo é a ligação preferencial, dado que em algumas redesas arestas entre os vértices parece se dar de forma preferencial e não de forma aleatória, ou seja,existe uma tendência de que os vértices mais novos da rede se conectem a vértices altamenteconectados [17]. Vale a pena salientar que o modelo proposto por Barabási não foi o primeiroa incluir ligação preferencial e obter uma distribuição de conectividade em lei de potência,acredita-se que a primeira consideração rigorosa de ligação preferencial se deu por volta de1925 por Yule [12].

Alguns exemplos de redes que possuem a sua distribuição de conectividade em lei depotência são:

1. Em 1991, a Word Wide Web possuía apenas um vértice, o primeiro website construídopor Tim Berners-Lee, o criado da Web. Hoje, a WWW possui mais de um trilhão (1012)de hosts, um número extraordinário que foi alcançado ao longo da adição contínua denovos websites na rede por milhões de indivíduos [13].

24

2. A rede de peer-to-peer (ou simplesmente ponto-a-ponto) continua se expandindo com ocompartilhamento de músicas, vídeos, dados e qualquer arquivo em formato digital.

O algoritmo para o modelo de Barabási e Albert é o seguinte:

1. Inicia-se a rede com um pequeno número de vértices mo, as arestas entre os vérticesiniciais são realizadas de modo aleatório, contudo, não é permitido que existam vérticessem arestas.

2. A cada passo de tempo é adicionado um novo vértice. O novo vértice é ligado a outrosm ⩽ mo vértices da rede já existente.

3. A probabilidade de uma aresta ser formada com um determinado vértice i é proporcionalà sua conectividade, ki, e é dada por:

∏(ki) =

ki∑j kj

(2.8)

Os passos (2) e (3) são repetidos até o tamanho desejado da rede, depois de t passos notempo, este processo nos dá uma rede com N = t+mo vértices e mt arestas, sendo m aquantidade de ligações que cada vértice realiza ao ser inserido na rede [5].

Figura 9: Exemplo do crescimento de uma rede de Barabási para mo = 3 e a cada passo de tempo adiciona-seum vértice a rede (m = 1).

Esta regra de ligação preferencial favorece os vértices mais antigos da rede, pois a medidaque novos vértices são adicionados na rede, eles tendem a conectar-se aos já existentes; fazendocom que os vértices iniciais possuam maior conectividade; e tornem-se os pólos da rede. Pode-seobservar isto na figura 9.

25

2.4.5 Propriedades do modelo de Barabási-Albert

As redes complexas podem ser classificadas de acordo com suas propriedades e podem serúteis nas análises dos mais diversos aspectos das redes e com os mais variados propósitos [16].Vejamos seguir algumas propriedades do modelo de Barabási-Albert.

1. Distribuição de conectividade: a distribuição de conectividade das redes segundo omodelo de Barabási-Albert segue uma lei de potência, P (k) ∼ k−γ, (ver Fig. 10). Bara-bási e Albert mostraram analiticamente que o expoente da distribuição de conectividadeé igual a 3.0.

Figura 10: Distribição de conectividade em lei de potência presente no modelo de rede de Barabási-Albert.Figura retirada da referência [13].

2. Comprimento do menor caminho médio: Para critérios de comparação, a figura 11mostra o comprimento do menor caminho médio da rede de Barabási com o tamanho domenor caminho médio de uma rede aleatória, em função de N , na qual foi escolhida aconectividade média, ⟨k⟩ = 4, para ambos os modelos. Observa-se que para o modelode Barabási, o comprimento do menor caminho médio é menor, quando comparado àrede aleatória. Esse resultado sinaliza que a topologia heterogênea das redes livres deescala é mais eficiente, na criação de proximidades entre os vértices [14]. O crescimentodo comprimento do menor caminho médio para uma rede do modelo de Barabási cresce,aproximadamente, com o logaritmo de N .

26

⟨l⟩ (m = 1) ≈ ln(N) (2.9)

⟨l⟩ (m = 1) ≈ ln(N)

lnln(N)(2.10)

No qual indica a característica de mundo pequeno no modelo de Barabási.

3. Coeficiente de Agregação: Para critérios de comparação, a figura 12 exibe o coeficientede agregação para uma rede de Barabási-Albert com conectividade média ⟨k⟩ = 4, e umarede aleatória com Crand ≈ ⟨k⟩ /N . Após simulações de redes do modelo de Barabási-Albert, percebeu-se que o coeficiente de agregação diminui com o crescimento da rede,isto é, também obedece uma lei de potência, ou seja, CBA ≈ N−0.75. Em redes aleatórias,o coeficiente de agregação é caracterizado por ⟨C⟩ = ⟨k⟩N−1. Contudo, é necessáriolembrar que o modelo de Barabási-Albert não representa todas os sistemas que possuemdistribuição de conectividade em lei de potência. Podemos ver que quando N → ∞, ocoeficiente de agregação se aproxima de zero, sendo o contrário do que foi observado emredes reais, onde ⟨C⟩ aumenta com N .

27

Figura 11: Comparação do Menor caminho médio para a Rede Aleatória Clássica e a Rede Livre de Escala.Figura retirada da referência [17].

Figura 12: Comparação entre o coeficiente de agregação pelo tamanho N da rede para o modelo de Barabási-Albert com ⟨k⟩ = 4 com uma rede aleatória de mesma conectividade. Figura retirada da referência [17].

3 Entropia em Redes Clássicas eComplexas

Neste capítulo iremos apresentar o conceito de entropia de informação, assim como tambémabordaremos alguns conceitos importantes para o cálculo da entropia de von Neumann.

3.1 Entropia

A princípio, o conceito de entropia surgiu na área termodinâmica em 1824, com o físico e ma-temático alemão Rudolf Clausius, com o estudo do engenho a vapor, desenvolvido inicialmentepor Carnot [21]. A entropia clássica é uma grandeza que mensura o grau de irreversibilidade deum sistema. A primeira equação para a entropia, que relaciona calor e energia, foi apresentadacomo sendo:

∆S =∆Q

T(3.1)

Contudo, a entropia só era medida na mudança de estado do sistema. Considerando-seuma transformação infinitesimal, onde o sistema recebe uma quantidade de calor dQ a umatemperatura T, tem-se que [21]:

dS =dQ

T(3.2)

Outra revolução no conceito de entropia surgiu na Mecânica Estatística em 1896, como físico austríaco Ludwig Eduard Boltzmann, no qual relaciona entropia com o número demicroestados de um sistema, isto é, Boltzmann apresentou a relação entre entropia e o númerode maneiras possíveis que os elementos de um sistema podem ser configurados:

S = kB lnW (3.3)

29

onde kB é a constante de Boltzmann, kB = 1.38065 × 10−23J/K, e W é o número de configu-rações possíveis do sistema compatíveis com os vínculos externos .

3.2 Entropia de Informação

Estendendo o conceito de entropia para o campo da teoria de informação, previamenteprecisamos explicar o significado da palavra informação no contexto contemporâneo. O termoinformação passou a ser usado no final da década de 1940 com a publicação do artigo "AMathematical Theory of Communication" escrito por Claude Shannon. Estima-se, pelo menos,que existam 26 significados distintos para o termo informação, sendo alguns deles: mensagem,dados, conhecimento, entre outros. Por definição, podemos dizer que a informação de um expe-rimento aleatório é obtida quando sua incerteza de ocorrência é máxima, ou seja, a informaçãoindica uma medida probabilística.

Unindo ambos os conceitos, de agora em diante, podemos discorrer sobre Entropia de Infor-mação. É conceituada como sendo uma medida probabilística, consequentemente, proporcionaa quantificação da informação extraída do sistema. Assim como em outros contextos, a entropiada informação também está relacionada com o nível de desordem do sistema, isto é, para umsistema completamente ordenado, a entropia é nula, e conforme o sistema se desordena a suaentropia é alterada até atingir seu limite máximo (desordem total). Em Redes, as entropias deShannon e a entropia de von Neumann, são usadas para extrair algumas informações clássicas equânticas do sistema. Tradicionalmente, na mecânica estatística, para configurações retiradasde ensembles canônicos, a entropia de Shannon corresponde a entropia de sistemas clássicos,enquanto a entropia de von Neumann fornece a descrição estatística de um sistema quântico[27].

A entropia de informação é caracterizada por ser interdisciplinar, vai da da física até camposda economia e sociologia. Os estudos apresentados por Shannon demonstram que o conceitode entropia pode ser levado para qualquer área que envolva probabilidades, não pertencendoapenas a campos termodinâmicos. Desse modo, a entropia de informação encontrou nas redecomplexas uma boa aplicação. A relevância dos estudos em redes envolvendo entropia se dápela possível análise da propagação total de uma informação, isto é, para o exemplo de umarede rede real, o cálculo da entropia permite estimular a velocidade com que uma informaçãose propaga.

30

3.3 Propriedades Importante

Nesta seção apresentaremos algumas propriedades necessárias para o cálculo da entropiade von Neumann em redes.

3.3.1 Matriz Laplaciana

A matriz Laplaciana de um grafo G é construída da seguinte maneira,

L = D − A (3.4)

sendo D a matriz diagonal, na qual é formada a partir da conectividade de cada sítio do grafo G,mais simplificadamente, a matriz diagonal é constituída com elementos somente na diagonal,sendo estes o grau dos vértices, ou seja Dii = ki e Dij = 0, para i ̸= j. A é a matriz deadjacência do grafo G, na qual foi conceituada no capítulo anterior. Um exemplo de matrizdiagonal e matriz de adjacência é mostrado a seguir, onde as matrizes foram criadas a partirdo grafo da figura 2:

A(G) =

0 1 0 0 1 0

1 0 1 1 0 0

0 1 0 0 0 1

0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1

0 0 1 1 1 0

D(G) =

2 0 0 0 0 0

0 3 0 0 0 0

0 0 2 0 0 0

0 0 0 3 0 0

0 0 0 0 3 0

0 0 0 0 0 3

Um exemplo de matriz Laplaciana é:

31

L(G) =

2 −1 0 0 −1 0

−1 3 −1 −1 0 0

0 −1 2 0 0 −1

0 −1 0 3 −1 −1

−1 0 0 −1 3 −1

0 0 −1 −1 −1 3

A equação característica do Laplaciano de G é dada pelo polinômio característico que

vimos em Álgebra Linear, P (λ) = det(L(G)−λI). A matriz Laplaciana L(G) é simétrica e porconseguinte possui seus autovalores reais e não negativos [21].

3.3.2 Matriz Densidade

Outra matriz importante para o cálculo da entropia de von Neumann é a matriz densidade,σ(G), na qual é construída a partir da matriz Laplaciana do grafo de acordo com a equação3.5:

σ(G) =L(G)∑

i ki(3.5)

A matriz densidade do grafo referente a figura 2 é:

σ(G)=

0.1333 −0.0666 0 0 −0.0666 0

−0.0666 0.2000 −0.0666 −0.0666 0 0

0 −0.0666 0.1333 0 0 −0.0666

0 −0.0666 0 0.2000 −0.0666 −0.0666

−0.0666 0 0 −0.0666 0.2000 −0.0666

0 0 −0.0666 −0.0666 −0.0666 0.2000

Por definição, uma matriz densidade possui as seguintes propriedades: Hermitiana, semi-

positiva definida, simétrica e Tr(σ) = 1. E, apesar das matrizes de adjacência e diagonal seremconstruídas a partir de um grafo não-quântico, a sua matriz densidade apresenta as mesmaspropriedades de um operador densidade. Ou seja, a matriz densidade σ̂ é suficiente paracaracterizar o estado quântico do sistema. A matriz densidade também serve para caracterizar

32

dois tipos de estados: misto e estado puro. Um sistema é dito puro quando Tr(σ2) = 1, casocontrário, Tr(σ2) ̸= 1, o estado é misto.

3.4 Entropia de Shannon

Na teoria da informação, a entropia corresponde à incerteza probabilística associada a umadistribuição de probabilidade [21]. Em 1948, Claude Elwood Shannon, propôs um novo cálculoda entropia usando a base binária. A equação 3.6 abaixo apresenta a entropia a partir donúmero de estados possíveis que um sistema pode adquirir.

H(p) = −N∑i=1

pi log2(pi) (3.6)

O primeiro termo do lado esquerdo da equação H(p) é a entropia, a qual é não negativa etem seu valor máximo em H(p) = ln(N) e mínimo em H(p) = 0.

3.5 Entropia de von Neumann

A entropia quântica, ou, equivalentemente, a entropia de von Neumann, foi definida porvon Neumann por volta de 1927 [24]. Ela é definida a partir da matriz densidade da rede ecaracteriza o conjunto de misturas de estados quânticos:

S(σ̂) = −Tr(σlog2σ) (3.7)

Em que Tr é a função traço. Usando a notação dos autovalores da matriz densidade, aentropia de von Neumann também pode ser reescrita como sendo:

S(σ̂) = −n∑

i=1

λi log2 λi (3.8)

no qual λi são os autovalores de σ̂. Convencionalmente, definimos 0 log2 0 = 0. Uma caracte-rística importante a ser frisada é o espectro da matriz densidade, que tem um autovalor igual azero e o restante é positivo. Isto é, os autovalores da matriz densidade são positivos e tem seuponto mínimo em λ = 0. Outra característica importante é que a entropia de von Neumanné não-negativa e tem seu ponto mínimo em S(σ̂) = 0, na qual ocorre quando o estado é puro,Tr(σ2) = 1.

33

Se compararmos S(σ̂) com H(p), nota-se que a entropia de von Neumann é equivalente aentropia de Shannon da distribuição de probabilidade obtida usando os autovalores de σ̂ [26]:

S(σ̂) = H(λi) (3.9)

3.5.1 Máximo e Mínimo da Entropia de von Neumann

Teorema 1: Seja G um grafo aleatório e conexo de N vértices. Então [23]:

1. maxS(σ̂(G)) = log2(N − 1)

2. minS(σ̂(G)) = 0 e esse valor é alcançado quando o esdado é puro.

4 Entropia de von Neumann aplicada emdiferentes tipos de Redes

Neste capítulo iremos análisar se a entropia de von Neumann depende da estrutura dografo analisado. Isto é, veremos se a entropia quântica obedece a forma que as arestas estãodistribuídas. Neste capítulo iremos apresentar os resultados da entropia de von Neumann paratrês tipos de redes: Rede Regular Quadrada, Grafos Aleatórios e, por último, Redes Livres deEscala.

4.1 Entropia da Rede Regular Quadrada

Uma rede regular quadrada consiste em N vértices conectados de modo determinístico comk = 4. Contundo, nota-se que os sítios de fronteira não possuem a mesma conectividade queos demais sítios. Primeiro exemplificaremos este modelo de rede com N = 16 (ver Fig. 12).

Figura 13: Exemplo de uma rede regular quadrada com N = 16

As matrizes computadas para a rede regular quadrada são da ordem N × N , portanto,a seguir apresentaremos algumas quantidades importantes. Antes de calcularmos a entropiade von Neumann, podemos verificar se o estado é puro ou misto, fazendo o traço da matrizdensidade (referente a figura 13) ao quadrado, Tr(σ̂2 ):

Tr(σ̂2) = 0.065972 (4.1)

35

Portanto, como Tr(σ̂2) ̸= 1, dizemos que o estado é misto e sua entropia será diferente dezero.

S(σ̂) = −5∑

i=1

λi log2 λi = 3.671205 (4.2)

0 200 400 600 800

N

4

5

6

7

8

9

Entropia

devonNeumann

Figura 14: Entropia de von Neumann para uma rede regular quadrada um função de N .

A figura 14 apresenta a entropia de von Neumann em função do tamanho da rede, comN variando de 16 a 900. Em [24], Passerini e Severini mostraram que em grafos regulares aentropia de von Neumann, em geral, é alta.

4.2 Entropia do Grafo Aleatório

Vale lembrar que o Modelo de Erdös e Rényi não gera uma rede dinâmica. Mas, ainda épossível calcular algumas propriedades importantes como: distribuição de conectividade, menorcaminho médio, entropia, entre outros.

36

4.2.1 Algoritmo

Usando os conceitos já apresentados nos capítulos dois e três, um grafo aleatório pode sercriado pelo seguinte algoritmo:

1. Inicia-se a rede com N (vértices) e p (probabilidade de conexão) fixos. Sendo (0 < p ⩽ 1).

2. A cada passo de tempo é definido se ocorre uma ligação entre dois vértices escolhidosaleatoriamente (chamando-os de vértices i e j). Para que isso ocorra é sorteado umnúmero randômico no intervalo [0, 1]. Caso esse número gerado seja menor ou iguala probabilidade definida no passo 1, haverá uma ligação entre esses dois vértices, casocontrário, os vértices i e j não estarão conectados.

3. O passo 2 é repetido até percorrer todos os pares de vértices da rede.

4. São extraídas as matrizes de adjacência e diagonal da rede, A(G) e D(G) respectivamente.

5. Usando a equação 3.1 é calculada a matriz Laplaciana, L(G), da rede.

6. Utilizando a equação 3.2 é determinada a matriz Densidade σ̂(G) da rede.

7. Aplicamos a equação característica de autovalor na matriz densidade.

8. Usando a equação 3.8, encontramos a entropia de von Neumann, S(σ̂), da rede.

9. Todos os passos anteriores são repetidos até a quantidade de amostras desejada, visandomelhorar a estatística de dados da rede.

Para uma rede de N = 5 e p = 0.2 (ver Fig. 15), o algoritmo apresentado acima pode serilustrado com o seguinte exemplo:

Figura 15: Exemplo de uma Rede de Barabási-Albert com N = 5 e m = 1.

37

As matrizes de adjacência e diagonal da rede são (passo 4):

A(G) =

0 1 0 0 0

1 0 0 1 1

0 0 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 0 0 0

(4.3)

D(G) =

1 0 0 0 0

0 3 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 2 0

0 0 0 0 1

(4.4)

Sua matriz Laplaciana tem a forma (passo 5):

L(G) =

1 −1 0 0 0

−1 3 0 −1 −1

0 0 1 −1 0

0 −1 −1 2 0

0 −1 0 0 1

(4.5)

A matriz densidade da rede é (passo 6):

σ̂(G) =

0.125 −0.125 0 0 0

−0.125 0.375 0 −0.125 −0.125

0 0 0.125 −0.125 0

0 −0.125 −0.125 0.250 0

0 −0.125 0 0 0.125

(4.6)

Podemos fazer o traço da matriz densidade ao quadrado, Tr(σ̂2 ), para descobrirmos se oestado é puro ou misto. Sendo assim:

Tr

0.015625 0.015625 0 0 0

0.015625 0.140625 0 0.015625 0

0 0 0.015625 0.015625 0

0 0.015625 0.015625 0.062500 0

0 0.015625 0 0 0.015625

= 0.250000

38

Com isso, Tr(σ̂2) ̸= 1, podemos dizer que o estado é misto e sua entropia é diferente dezero.

Os autovalores da matriz densidade são (passo 7):

det(σ̂ − λI) = 0 (4.7)

λ =

λ1 = 5.212608e−01

λ2 = 2.888885e−01

λ3 = 3.129468e−17 ∼ 0

λ4 = 1.250000e−01

λ5 = 6.485071e−02

(4.8)

Calculando a entropia de von Neumann (passo 8):

S(σ̂) = −5∑

i=1

λi log2 λi = 1.638413 (4.9)

4.2.2 Entropia

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

p

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

S/N

N = 100N = 200

N = 400N = 700

N = 1000

Figura 16: Entropia de von Neumann dividida por N para diferentes tamanhos de redes com 0.001 ≤ p ≤ 0.1.Análise estatística normalizada para 20 amostras.

A figura 16 apresenta a entropia de von Neumann dividida por N para o modelo de redede Erdös-Rényi para diferentes tamanhos de redes, N=[100, 200, 400, 700, 1000], em função da

39

probabilidade p. Podemos ver que que a entropia de von Neumann cresce com a probabilidadede ligação, entretanto, ela satura em um certo valor de p. Este é um resultado interessante,mas já esperado, dado que a partir da probabilidade crítica (pc = 1/N) (valor no qual ocorre aformação de aglomerado que expande a rede), o sistema está em máxima desordem.

Outro resultado interessante ocorre quando fixamos p e variamos N (ver Fig. 16), ondevemos que a entropia de von Neumann cresce logaritmicamente. Observando as figuras 14 e15, entendemos que a entropia apresenta uma mudança significativa até a probabilidade crítica,após isso, ela é saturada. Em outras palavras, na probabilidade crítica ocorre a formação deaglomerado na rede, com isso, a desordem no grafo atinge o seu ápice, após isso, ela convergepara uma curva finita.

0 200 400 600 800 1000

N

0

2

4

6

8

10

Entropia

devonNeumann

p = 0.001p = 0.002p = 0.005p = 0.008p = 0.01

Figura 17: Entropia de von Neumann em função do número de sítios na rede para diferentes valores de p.Análise estatística normalizada para 20 amostras.

40

4.3 Entropia da Rede Livre de Escala

Com o intuito de utilizarmos um modelo de rede mais próximo de algumas redes reais, nestaseção apresentaremos a entropia de von Neumann aplicada ao modelo de Barabási-Albert, cujadistribuição de conectividade dos vértices é uma lei de potência.

4.3.1 Algoritmo

A sequência abaixo indica o algoritmo para a construção da rede.

1. Inicia-se a rede com m0 vértices, no qual todos estão conectados de modo aleatório; éimportante lembrar que neste modelo não existem vértices sem arestas.

2. A cada passo de tempo um novo vértice é inserido na rede, realizando m ligações com osvértices já existentes da rede.

3. O passo anterior é repetido até o tamanho N da rede.

Semelhantemente ao algoritmo da seção 4.1.1, os passos de quatro a nove, para a obtençãoda entropia de von Neumann, são os mesmos para qualquer tipo de rede.

Continuamente, abaixo estaremos apresentando uma rede de N = 5 vértices e m = 1 (verFig. 17), para o modelo de Barabási-Albert.

Figura 18: Exemplo de uma rede Livre de Escala com N = 5 e m = 1

As matrizes de adjacência e diagonal da rede são:

41

A(G) =

0 1 0 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 0 0

0 1 0 0 0

(4.10)

D(G) =

1 0 0 0 0

0 4 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

(4.11)

Sua matriz Laplaciana tem a forma:

L(G) =

1 −1 0 0 0

0 4 −1 −1 1

0 −1 1 0 0

0 −1 0 1 0

0 −1 0 0 1

(4.12)

A matriz densidade da rede é:

σ̂(G) =

0.125 −0.125 0 0 0

0 0.500 −0.125 −0.125 0.125

0 −0.125 0.125 0 0

0 −0.125 0 0.125 0

0 −0.125 0 0 0.125

(4.13)

Computando o traço da matriz densidade ao quadrado, Tr(σ̂2 ), iremos verificar se o estadoapresentado é puro ou misto. Portanto:

Tr

0.015625 0.015625 0 0 0

0 0.250000 0.01562 0.015625 0.01562

0 0.015625 0.01562 0 0

0 0.015625 0 0.015625 0

0 0.015625 0 0 0.015625

= 0.312500

42

Vemos que Tr(σ̂2) ̸= 1. Portanto podemos dizer que o estado é misto e sua entropia serádiferente de zero.

Os autovalores da matriz densidade são:

det(σ̂ − λI) = 0 (4.14)

λ =

λ1 = 6.250000e−01

λ2 = 1.250000e−01

λ3 = 5.951436e−18 ∼ 0

λ4 = 1.250000e−01

λ5 = 1.250000e−01

(4.15)

Calculando a entropia de von Neuman, obtemos:

S(σ̂) = −5∑

i=1

λi log2 λi = 1.548795 (4.16)

4.3.2 Entropia

0 200 400 600 800 1000

N

3

4

5

6

7

8

9

Entropia

devonNeumann

m = 1m = 2m = 5m = 8m = 10

Figura 19: Entropia de von Neumann para a rede livre de escala em funçao de N e diferentes valores de m.Análise estatística normalizada para 20 amostras.

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A entropia de von Neumann para o modelo de rede de Barabási-Albert é apresentada nafigura 19, onde mostramos a relação de S(σ̂) com N para 5 valores distintos de m (número deligações que um sítio realiza ao ser inserido na rede). Vemos que, apesar de alteramos o valorde m, a entropia de von Neumann é praticamente constante. Mas, uma questão a ser levantadaé: por que isto ocorre? Uma possível explicação para tal evidência é que apesar da matrizLaplaciana do sistema ser visivelmente alterada, pois à medida que m cresce a matriz tornar-semais densa, os elementos σ̂(G)i,j da matriz densidade decrescem com m. Isto é, o cálculo damatriz densidade também leva em consideração o número de conexões total da rede. Em outraspalavras, analisando a matriz densidade, vemos que ela é dada pela seguinte equação:

σ̂(G) =L(G)∑

i ki(4.17)

É notório que outro parâmetro de influência é o número de conexões que a rede apresenta,e, com isto, vemos que quando m muda, o número de conexões na rede também é modificado,fazendo com que os elementos da matriz densidade, σ̂(G)i,j, sejam menores. Isto é, σ̂(G)i,j

é inversamente proporcional a m. Portanto, se iniciarmos nossos estudos com m = 1, vemosque a matriz Laplaciana de uma rede livre de escala é mais esparsa do que quando m =

2 4 6 8 10

m

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Entropia

devonNeumann

N = 100N = 300N = 500

N = 800N = 1000

Figura 20: Entropia de von Neumann para a rede livre de escala em função de m com diferentes valores deN. Análise estatística normalizada para 20 amostras.

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10. Consequentemente, apesar da matriz Laplaciana depender explicitamente de m, a matrizdensidade decresce com m, fazendo com que os elementos de σ̂(G) sejam menores, equilibrandoo grande número de elementos não nulos da rede. Como resultado, vemos que a entropia devon Neumann permanece quase constante. Podemos ver tal fato com o exemplo a seguir:

Sejam L1 e L3 as matrizes Laplacianas de duas redes livres de escalas para N = 5 e m = 1

e m = 3, respectivamente.

L1 =

3 −1 0 −1 −1

−1 2 −1 0 0

0 −1 1 0 0

−1 0 0 1 0

−1 0 0 0 1.

L3 =

2 0 0 −1 −1

0 2 0 −1 −1

0 0 1 −1 0

−1 −1 −1 4 −1

−1 −1 0 −1 3

Vemos que a matriz L3 é mais densa que a matriz L1. Aplicando a equação 4.16 em ambas

as matrizes, temos:

σ̂1 =

0.375 −0.125 0 −0.125 −0.125

−0.125 0.25 −0.125 0 0

0 −0.125 0.125 0 0

−0.125 0 0 0.125 0

−0.125 0 0 0 0.125

σ̂3 =

0.16666667 0 0 −0.08333333 −0.08333333

0 0.16666667 0 −0.08333333 −0.08333333

0 0 0.08333333 −0.08333333 0

−0.08333333 −0.08333333 −0.08333333 0.33333333 −0.08333333

−0.08333333 −0.08333333 0 0.08333333 0.25

Percebemos que os elementos de matriz σ̂1i,j são maiores que σ̂3i,j, mas a matriz L1 apresenta

mais elementos nulos quando comparada a matriz L3. Portanto, quando a entropia de vonNeumann é computada para ambas as matrizes, seus resultados são muito próximos, S1 =

45

1.638413 e S3 = 1.784159. Se fizermos esses mesmos cálculos para mais amostras, veremos queS1 ∼ S2.

Observando a figura 20, podemos afirmar que a entropia de von Neumann depende somentedo número de vértices da rede, e é invariante para o número de ligações que cada novo vérticerealiza ao ser inserido na rede.

4.4 Análise da Entropia de von Neumann para diferentes tiposde Redes

Nesta seção iremos analisar e comparar os resultados da entropia de von Neumann paraos modelos de redes estudados. A figura 21 foi construída para três modelos de redes: rederegular quadrada, rede aleatória clássica e rede livre de escala, e, para níveis de comparaçãocom a rede regular quadrada, usamos diferentes valores de p para o grafo aleatório e m = 2

para o modelo de rede de Barabási-Albert, assim todos os três modelos de redes possuemconectividade média próxima a 4, ⟨k⟩ = 4, dado que ⟨k⟩ = 2×E

N, onde E é o número de arestas

e N é o número de vértices da rede. Note que, pela figura 21, podemos perceber que a entropiade von Neumann está diretamente ligada a conectividade média da rede, dado que, quandocomparamos os modelos de redes apresentadas com ⟨k⟩ = 4, vemos que a entropia de vonNeumann é aproximadamente a mesma. Contudo, nota-se, também, que para o modelo derede livre de escala, a entropia de von Neumann distancia-se dos outros pontos a medida queo número de sítios da rede aumenta.

Em [24], Filippo Passerini e Simone Severini apontaram que a entropia de von Neumanntende a ser maior em redes com muitos sítios conectados, caminhos longos e simetrias nãotriviais. E, quando comparamos a entropia de von Neumann dos modelos de redes estudados,vemos que tal afirmação faz-se presente neste trabalho. O modelo de rede de Barabási-Albertapresenta muitos sítios com baixa conectividade, consequentemente, quando comparado com osoutros modelos de rede apresentados, a sua entropia de von Neumann será menor; dado que umfator de influência na entropia de von Neumann é possuir muitos sítios com alta conectividade.Assim como o seu menor caminho médio também é menor quando comparado ao modelo deErdös-Rényi e rede regular quadrada. Portanto, verificamos que nossos dados coincidem comos estudos apresentados por Passerini e Severini.

É importante destacar que a entropia de von neumann atinge o seu máximo em grafosconexos, ou seja, para que maxS(σ̂(G)) = log2(N − 1) não é permitido que existam vérticesisolados na rede; no caso do grafo aleatório temos certeza que o grafo sempre será conexo

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quando p = 1. A figura 21 também mostra o comportamento esperado para a entropia máximaapresentado pelo teorema 1.

0 200 400 600 800

N

0

2

4

6

8

10Entropia

devonNeumann

BAERRegular quadradaSER = 1.4373ln(N)− 0.33053Log2(N − 1)

Figura 21: Entropia de von Neumann para três modelos de redes em função do número de vértices. A primeiracurva apresenta o teorema 1, a segunda curva mostra o comportamento da entropia quântica da rede regularquadrada, a terceira curva exibe a entropia de von Neumann para o modelo de rede aleatório e, por último, aquarta refere-se ao modelo de rede de Barabási-Albert. Todos os modelos apresentam ⟨k⟩ = 4.

5 Conclusões e perspectivas

Nesta monografia apresentamos alguns conceitos e modelos clássicos de rede, sendo eles:modelo de Erdös-Rényi e o modelo de Watts-Strogatz. Vimos, no capítulo dois, que a distri-buição de conectividade das conexões de tais modelos é regida pela distribuição de Poisson,isto é, a conectividade de cada vértice da rede flutua em torno da conectividade média da rede,ki → ⟨k⟩. Ainda no segundo capítulo, apresentamos o modelo de Barabási-Albert, observamosque a distribuição de conectividade das conexões neste modelo varia em lei de potência. Umapropriedade importante a ser frisada do modelo de Barabási-Albert é que a sua distribuiçãode conectividade em lei de potência apresenta uma cauda larga, fazendo com que também sejaconhecido como: modelo livre de escala, este modelo descreve as redes complexas.

Com o objetivo de investigar a quantidade de informações extraídas em redes, computamosa entropia de von Neumann para três topologias distintas. Por meio de simulações numéricasmostramos que a entropia de von Neumann de uma rede cresce com o número de componentesconectados, caminhos longos e estruturas não triviais. Como resultado, vimos que a redelivre de escala, descrita pelo modelo de Barabási-Albert, apresentou a menor entropia quandocomparado ao modelo de rede aleatória e rede regular quadrada. Uma explicação para taisocorrências é que apesar do modelo de rede de Barabási-Albert não permitir sítios sem conexões,os caminhos que ligam dois vértices quaisquer da rede são menores quando comparados comos outros tipos de redes apresentadas nesta monografia. O modelo de Barabási-Albert tambémapresenta poucos vértices com alta conectividade, sendo outro fator que influência na entropiade von Neumann.

Em [24], Passerini e Severini também explicaram que a entropia de von Neumann é umamedida de regularidade da rede, consequentemente, a entropia de von Neumann tende a sermaior em uma rede quadrada, na qual o número de arestas é fixado para todos os vértices.

Um tópico importante a ser citado é o tempo de execução dos programas computacionais.A entropia de von Neumann é um resultado que exige bastante tempo para se obter, dadoque depende do tamanho N e da estrutura da rede. Em outras palavras, o cálculo direto daentropia de von Neumann é inviável para sistemas com muitos constituintes, N ∼ 106. Por

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curiosidade, o maior tempo para o cálculo da entropia de von Neumann (cerca de 265 horas)foi calculado na Rede Livre de Escala, variando N de 11 a 1000 e m de 1 a 10.

Continuando este trabalho, muita coisa pode ser explorada através da simples conexão damatriz densidade de grafos com a teoria quântica. Essa é uma área ainda pouco explorada. Aseguir listamos alguns pontos para trabalhos futuros:

1. Construção de redes quânticas - Nessas redes cada aresta pode ser considerada umestado quântico que liga dois q-bits (pertencentes a diferentes vértices). O estado final dografo será uma combinação de todas essas arestas.

2. Relação entre a matriz densidade (estado do grafo) e os estados quânticos - Sepensarmos nessa matriz como sendo o estado do grafo, quais outras propriedades (comanálogo quântico) podem ser estudadas através dela?

3. Outras propriedades - Realizar as seguintes análises em uma rede quântica: distribui-ção de conectividade dos vértices, menor caminho médio, entropia, entre outras.

4. Relação dos autovalores e outras propriedades - Analisar estatisticamente o espec-tro da matriz densidade em função de outros fatores, tais como: qualidade (Modelo deBianconiBarabási) e a distância euclidiana entre os sítios (Modelo de Natal).

5. Comparar com a entropia de Shannon - Procurar a relação entre entropia de Shan-non e a entropia de von Neumann em diferentes modelos de redes: Modelo de Erdös-Rényi,Modelo de Barabási-Albert, Modelo de Bianconi-Barabási, Modelo de Afinidade, Modelode Desafinidade e Modelo de Natal.

6. Transição clássica-quântica - Estudar até onde a entropia de Shannon e a entropia devon Neumann são semelhantes e diferentes e ver se é possível observar alguma transiçãoclássica-quântica nos modelos estudados.

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