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1 Conceitos de Base 51 Números e Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Representação decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Operações elementares da aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Adição e subtracção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Valor absoluto de um número . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Multiplicação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Notação com potências de base 10. . . . . . . . . . . . . . . . 10Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4 Percentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Fracções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Operações com fracções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Proporcionalidade directa e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Conjuntos de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6.1 Potências de expoente inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.2 Operações com potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Multiplicação e divisão de potências. . . . . . . . . . . . . . . 221.7 Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7.1 Propriedades da radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7.2 Radicais escritos sob a forma de potências . . . . . . . . . . 26

1.8 Logaritmação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8.1 Propriedades dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Prioridade das operações aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Equações e inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Equações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Inequações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Igualdades e desigualdades múltiplas. . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Equação da recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Funções reais de variável real 371 Noções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.1 De�nição de função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.2 Grá�co de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3 Classi�cação das funções quanto à sua representação analítica . . . . 421.4 Operações sobre funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Operações racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Função composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.5 Funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1

2 Conteúdo

Funções constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Funções potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Funções logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Funções trigonométricas directas . . . . . . . . . . . . . . . . 47Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 Sequências numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1 Vizinhança de um número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2 De�nição de sequência numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3 Limite de uma sequência numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Limites in�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Alguns teoremas sobre limites de sequências numéricas . . . . 55

3 Funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1 Limite de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.1 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.2 Alguns teoremas sobre limites de funções . . . . . . . . . . 563.1.3 Limites no in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 Função contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.1 Alguns teoremas sobre continuidade . . . . . . . . . . . . . 60

3 Derivadas de Funções reais de variável real 63

1 Função derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.1 Taxa de variação média de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.2 Taxa de variação instantânea de uma função. Função derivada . . . 651.3 Derivadas laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2 Derivadas de algumas funções elementares. Regras de derivação . . . . . . . 712.1 Derivadas de algumas funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . 71

Funções constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Funções potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Funções logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Funções trigonométricas directas . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.2 Derivadas de somas, produtos e divisões de funções . . . . . . . . . . 742.3 Derivada da função composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.4 Derivada da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4 Complementos de Derivadas de Funções Reais de Variável Real. Aplica-ções 79

1 Teoremas relativos a funções deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803 Derivada da função implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 Aplicações das derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.1 Limite do quociente - regra de L'Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2 Estudo do grá�co de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.1 Intervalos de monotonia, pontos críticos . . . . . . . . . . . 844.2.2 Concavidades e pontos de in�exão . . . . . . . . . . . . . . 874.2.3 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3 Problemas de optimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Conteúdo Mário Abrantes

Conteúdo 3

5 Integrais de funções reais de variável real 951 Áreas de regiões planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1.1 Cálculo aproximado de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961.2 Aplicação do cálculo de áreas: consumo de energia eléctrica . . . . . 971.3 Função área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2 Função primitiva. Integral inde�nido de uma função . . . . . . . . . . . . . 1003 Primitivação de algumas funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014 Integral de�nido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.1 Propriedades dos integrais de�nidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2 Justi�cação da forma

∫ ba f(x)dx para o integral de�nido . . . . . . . 103

4.3 Teorema fundamental do cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045 Técnicas de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.1 Primitivação por substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2 Primitivação por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.3 Integrais que não são funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . 108

6 Integrais impróprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6 Funções reais de duas variáveis reais 1111 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112 Sequências de pontos no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113 Limites de funções. Funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124 Representação grá�ca de funções no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145 Curvas de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.1 Derivadas parciais de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.2 Derivação da função composta (regra da cadeia) . . . . . . . . . . . 123

7 Problemas de optimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.1 Classi�cação dos pontos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Conteúdo Mário Abrantes

5

Capítulo 1

Conceitos de Base

1 Números e Aritmética

A Aritmética é uma área da matemática que estuda as propriedades das operações comnúmeros, como a adição, a subtracção, a multiplicação, a divisão, o cálculo de potências,raízes, logaritmos, etc. É parte fundamental de uma área de estudo mais alargadadaconhecida por Teoria de Números.

1.1 Representação decimal

Um número diz-se representado na forma decimal se está escrito como uma sequência dedígitos contendo o ponto decimal1, como por exemplo 12.34 ou 0.04 ou 1.333. A sequênciade dígitos à esquerda do ponto diz-se parte inteira do número, designando-se a sequênciade dígitos à direita do ponto por parte fraccionária (ou dízima) do número.

Exemplo 1.

12.34 parte inteira 12, parte fraccionária 0.34

0.04 parte inteira 0, parte fraccionária 0.04

A representação decimal de um número inteiro, por exemplo 25, dispensa o ponto. Pode-riamos, no entanto, escrever 25.0, que é uma representação equivalente.2 Nas �guras 1 e 2indicam-se as designações das posições dos dígitos relativamente ao ponto decimal.

1Também se pode usar um vírgula em vez do ponto decimal. Nestes apontamentos usamos o pontodecimal.

2Chama-se a atenção que, em física e na engenharia em geral, as notações 25 e 25.0 podem ter signi�cadosdistintos. A representação 25.0 pode ser o resultado de uma medição cujo valor resultante é sabido sermaior que 25 mas menor que 25.1.

Capítulo 1. Conceitos de Base Mário Abrantes

6 1. Números e Aritmética

Figura 1: Valor posicional dos dígitos de númerosinteiros. Figura 2: Valor posicional dos dígitos na dízima.

Representação de números por extenso

O número decimal 3.456 pode representar-se em português por 'três unidades e quatrocen-tas e cinquenta e seis milésimas'. Esta representação em português diz-se representaçãopor extenso e é uma maneira de dizer o número. Também podemos simplesmente dizer'três ponto quatro cinco seis' ou 'três ponto quatrocentos e cinquenta e seis'. Mas é maisclaro e prático dizer, por exemplo, o número 0.000006 da forma 'seis milionésimas' do queda forma 'zero ponto zero zero zero zero zero seis'.

Vídeo 1. Escrita/leitura de números por extenso.[02:31]

Exercício 1. Representar por extenso os seguintes números.

(a) 14.256 (b) 0.023 (c) 0.000023 (d) 3222247653

Solução (a). Catorze unidades e duzentas e cinquenta e seis milésimas.

1.2 Operações elementares da aritmética

As operações elementares da aritmética (também designadas por operações racionais) sãoa adição, a subtracção, a multiplicação e a divisão. São operações que devemos saberresolver para perceber o seu signi�cado nas aplicações práticas. Os símbolos +,−,×,÷designam-se por operadores aritméticos racionais (um operador representa uma certa ope-ração). Os números ou expressões envolvidos numa operação, sejam o número 2 e o número3 envolvidos na soma 2 + 3, designam-se por operandos. O valor obtido depois de efectu-ada a operação, designa-se por resultado da operação. Os operadores +,−,×,÷ dizem-seoperadores binários por operarem sobre dois operandos. O operador `−' é um exemplo deum operador unário, quando usado sobre um só operando, como no caso da expressão −2.

1.2.1 Adição e subtracção

A �gura 3 nomeia os números envolvidos numa adição (operandos e resultado).


https://youtu.be/SbWQBvjarxg

1. Números e Aritmética 7

Figura 3: Os números 123 e 35 também se designam por parcelas.

A �gura 4 exempli�ca a adição de números na forma decimal. A operação decorre ignorandoos pontos decimais, que são considerados apenas no �nal.

Figura 4: Adição de números na forma decimal.

Vídeo 2. Adição.[02:43]

Propriedades da adição/subtracção3[a, b e c são números reais]

- Comutativa: a+ b = b+ a

- Associativa: (a+ b) + c = a+ (b+ c)

- Existência de elemento neutro (zero): a+ 0 = a

- Existência de inverso aditivo a+ (−a) = 0

A �gura 5 seguinte nomeia os números envolvidos numa subtracção.

3Se considerarmos o conjunto formado pelos números negativos, juntamente com o zero e com osnúmeros positivos (conjunto R), a subtracção pode considerar-se um caso particular da adição, para efeitoda validade destas propriedades. Por exemplo, a expressão 4− 2 pode ser escrita como 4 + (−2).


https://youtu.be/_Bi0c4wyuys


Figura 5

A �gura 6 exempli�ca a subtracção de números na forma decimal. A operação decorreignorando os pontos decimais, que são considerados apenas no �nal.

Figura 6: Subtracção de números na forma decimal.

Vídeo 3. Subtracção � 1.[03:32]

Vídeo 4. Subtracção � 2.[01:01]

1.2.2 Valor absoluto de um número

O valor absoluto ou módulo de um número x, corresponde ao próprio número x, se estefor positivo ou se for o número zero, ou então ao seu simétrico −x, se o número x fornegativo. O valor absoluto de um número x indica-se na forma |x|. O operador módulo éum operador unário já que actua sobre um só operando.


https://youtu.be/iLfmMvJqC0I

https://youtu.be/qEZHLKoHT4g


Exemplo 2. |12| = 12 |−2.5| = −(−2.5) = 2.5 |0| = 0

Exercício 2. Calcular o valor decimal das expressões numéricas.

(a) 2.367− 1.902 (b) − 2.367 + 1.902

(c) 2− (−3) + |3− 4| (d)∣∣|3− 6| − 4 + |3− 4|

∣∣Solução (d).

∣∣|3− 6| − 4 + |3− 4|∣∣ =

∣∣|−3| − 4 + |−1|∣∣ = |3− 4 + 1| = |0| = 0

1.2.3 Multiplicação e divisão

Multiplicação. Uma das vantagens da operação de multiplicação envolvendo númerosinteiros, é funcionar como um abreviador de somas. Como exemplo, é mais rápido efectuar aoperação 7×5 (= 35) do que efectuar a operação numericamente equivalente 7+7+7+7+7.4

Para podermos tirar partido desta funcionalidade é necessário conhecer a tabuada da mul-tiplicação5.

A �gura 7 seguinte nomeia os números envolvidos numa multiplicação.

Figura 7: Os números 23 e 35 também se designam por factores.

A �gura 8 exempli�ca a multiplicação de números na forma decimal. A multiplicaçãodecorre ignorando os pontos decimais, que são considerados apenas no �nal.

Vídeo 5. Multiplicação.[03:47]

Vídeo 6. Multiplicação Real.[06:25]

Propriedades da multiplicação [a, b e c são números reais]

- Comutativa: a× b = b× a

- Associativa: (a× b)× c = a× (b× c)

- Existência de elemento neutro (unidade): a× 1 = a

- Existência de inverso multiplicativo: a× 1a = 1

- Distributiva relativamente à adição: a× (b+ c) = a× b+ a× c

Exemplo 3. Usar as propriedades da multiplicação para demonstrar as leis seguintes.

(a+ b)c = ac+ bc a× b× c× d = a× (b× (c× d))

4Uma sequência de somas designa-se por adição sucessiva, soma sucessiva ou somatório.5Deves treinar-te para saber de cor os valores das expressões numéricas desde 1× 1 a 9× 9.


https://youtu.be/GYreaGZLjbk

https://youtu.be/dOyuwdITwe4


Figura 8: Multiplicação de números na forma decimal.

As propriedades servem para simpli�car e esclarecer o modo como se fazem cálculos. Con-sideremos, por exemplo, o duplo produto 2×3×4. Querendo resolver estas operações, porque operador '×' começamos? Começamos por 2 × 3, por 3 × 4, ou tanto faz? O que apropriedade associativa acima diz é que tanto faz, isto é, podemos calcular primeiro 2×3 emultiplicar em seguida o resultado por 4 � é o que signi�ca (a× b)× c - ou então podemoscalcular primeiro 3 × 4, multiplicando depois o resultado obtido por 2 � é o que signi�caa× (b× c). O resultado �nal é o mesmo.

Exercício 3. Calcular o valor decimal das expressões numéricas.

(a)2.3× 1.9 (b) 23× 0.19 (c) 0.23× 0.19

Solução (b). 23× 0.19 = 23× 19× 10−2 = 437× 10−2 = 4.37

Notação com potências de base 10. Potências de base 10 são números na forma 10n,sendo n um número inteiro.



Exemplo 4. Representação de números usando potências de base 10.

100 = 1 uma unidade (um)

101 = 10 uma dezena (dez)

102 = 100 uma centena (cem)

103 = 1000 um milhar (mil)

106 = 1000000 um milhão (mil milhares)

1012 um bilião (um milhão de milhões)

1018 uma trilião (um milhão de biliões)

10−1 = 0.1 uma décima (um décimo)

10−2 = 0.01 uma centésima (um centésimo)

10−3 = 0.001 uma milésima (um milésimo)

10−6 = 0.000001 uma milionésima (um milionésimo)

10−12 uma bilionésima (um bilionésimo)

10−18 uma trilionésima (um trilionésimo)

Nota. Na terminologia brasileira bilhão refere o número 109 , trilhão o número 1012 , etc; na

língua inglesa billion refere o número 109, trillion o número 1012, etc. Na terminologia brasileira

bilionésima refere o número 10−9, trilionésima o número 10−12, etc; na língua inglesa billionth

refere o número 10−9, trillionth o número 10−12, etc. A terminologia portuguesa corresponde à

chamada long scale, enquanto as terminologias brasileira e inglesa correspondem à chamada short-

scale. É preciso cuidado com algumas traduções portuguesas de textos em inglês, ou em português

do Brasil, que por vezes traduzem 'à letra' estas expressões, usando erradamente, por exemplo,

'um bilião' para traduzir `one billion' ou `um bilhão'.

O uso de potências de base 10 simpli�ca a representação de números muito pequenos oumuito grandes e as operações entre eles.

Vídeo 7. Potências de base 10 e expoente inteiro.[05:09]

Exemplo 5. Representação e multiplicação de números usando potências de base 10.

0.002 = 2× 0.001 = 2× 10−3

3000000 = 3× 1000000 = 3× 106

103 × 102 = 1000× 100 = 100000 = 105 = 103+2.

103 × 10−2 = 1000× 0.01 = 10 = 101 = 103−2.

A operação 0.002 × 3000000 efectua-se mais facilmente se for representada naforma 2×10−3×3×106. Fica 2×10−3×3×106 = 2×3×10−3×106 = 6×103 = 6000.

Divisão A �gura 9 nomeia os números envolvidos numa divisão.


https://youtu.be/jGtE3f_1aMg


Figura 9: D = d× q + r ⇔ 13 = 4× 3 + 1.

As �guras 10 e 11 exempli�cam a divisão envolvendo apenas número inteiros, habitualmentedesignada por divisão inteira.

Figura 10: Divisão inteira.

Figura 11: Divisão inteira.

Dados dois números inteiros a e b, diz-se que b divide a (ou que a é divisível por b), sea divisão inteira de a por b tem resto zero. Por exemplo, 30 é divisível por 6 dado que30÷ 6 = 5.



Vídeo 8. Divisão inteira � 1.[05:30]

Vídeo 9. Divisão inteira � 2.[04:11]

Vídeo 10. Divisão real.[07:33]

Vídeo 11. Divisão por zero.[02:26]

Vídeo 12. Divisão exacta.[03:49]

Vídeo 13. Divisão: explicação do algoritmo.[06:52]

A �gura 12 exempli�ca a divisão de números na forma decimal, por vezes designada pordivisão real. A divisão decorre ignorando os pontos decimais, que são considerados apenasno �nal.

Figura 12: Divisão real.

A expressão a ÷ b indica o valor exacto da divisão de a por b (i.e., o resto associado àoperação é zero). Por exemplo 1 ÷ 3 representa a dízima in�nita 0.3333 · · · . A operaçãonão termina.

Exemplo 6. A expressão 12 ÷ 3 = 4 pode ter vários signi�cados. Por exemplo (a) umconjunto de 12 objectos pode ser dividido em 3 grupos de 4 objectos; (b) se 3 unidades deum dado produto custam 12e, então cada unidade custa 4e.

Exercício 4. Sem usar clculadora, efectuar parcialmente cada uma das divisões até obtero resto indicado, e representar a operação efectuada na forma Dividendo = divisor ×quociente+ resto.

(a) 3.24÷ 100, r = 0 (b) 11÷ 12, r = 0.08 (c) 1.1÷ 0.27, r = 0.00002

(d) 35.5÷ 0.29, r = 0.004 (e) 1.02÷ 234, r = 0.084 (f) 142÷ 13, r = 0.3

Solução (d). 35.5 = 0.29× 122.4 + 0.004

Exercício 5. Veri�car que a operação de divisão não possui nem a propriedade comutativa,nem a propriedade associativa.

1. Mostrar com um contra-exemplo6 que a divisão não goza da propriedade comuta-tiva.

6Um contra-exemplo é um exemplo que refuta (=nega a validade de) uma dada a�rmação. Assim, aa�rmação 'a soma de quaisquer dois números inteiros é maior que 100' é refutada pelo contra-exemplo2 + 5 = 7, dado que 2 e 5 são dois números inteiros mas a sua soma não é maior que 100.


https://youtu.be/7gi4rjCVVLI

https://youtu.be/CBMU13YcYng

https://youtu.be/h80VkL0IsZo

https://youtu.be/65zk3Ijzszg

https://youtu.be/cfO_IM7PI7Q

https://youtu.be/gbV6kq2QF7Q


2. Utilizar a expressão 12 ÷ 4 ÷ 2 para mostrar que a operação de divisão não gozada propriedade associativa, i.e. geralmente (a÷ b)÷ c 6= a÷ (b÷ c).Solução. (12÷ 4)÷ 2 = 3÷ 2 = 1.5 6= 12÷ (4÷ 2) = 12÷ 2 = 6

3. Notar porém que, para alguns casos, a igualdade (a÷ b)÷ c = a÷ (b÷ c) é válida.Apresentar dois exemplos de números a, b, c que validam a igualdade.

Exercício 6. Indicar todas as divisões inteiras a÷b sugeridas por cada uma das expressões.

(a) 12 = 4× 3 (b) 8 = 4× 2 (c) 25 = 5× 5

Solução (a). 12÷ 4 = 3 12÷ 3 = 4

Exercício 7. Indicar as divisões sugeridas pelas perguntas.

1. Dez gramas de um produto custam 23cts. Qual o preço de um grama do produto?

2. Dez gramas de um produto custam 23cts. Quantos gramas do produto se podemcomprar com um cêntimo?

3. Um carro percorre 120 quilómetros em 4.5h. Quantas horas leva a percorrer umquilómetro?

4. Um carro percorre 120 quilómetros em 4.5h. Que distância percorre em umahora?Solução. Distância = 120÷ 4.5 ≈ 26.7km/h

5. Uma hora tem 60 minutos. Quantas horas correspondem a 7200 minutos?

1.2.4 Percentagens

Suponhamos a seguinte situação. O senhor Lopes ganha 1500 euros por mês e gasta 25%(por extenso escreve-se 'vinte e cinco por cento') dessa quantia para pagar a renda da casa.Qual o valor desta renda? A expressão 25% signi�ca 25 partes em cada 100. No caso, porcada 100 euros de salário o senhor Lopes gasta 25 euros no pagamento da renda. Como osalário é de 100× 15 euros, então a renda deve ser 25× 15 = 375 euros. O valor da rendapode ser calculado da forma:

25× 15 = (0.25× 100)× 15 = 0.25× 1500.

Em resumo, pretendiamos calcular vinte e cinco por cento de 1500 e veri�cámos que estevalor é traduzido pela expressão numérica 0.25 × 1500, que também podemos escreverna forma 25

100 × 1500. Podemos a�rmar que, dado um número x, `x%' representa o valornumérico da expressão x

100 ; dados dois números x e y, `x% de y' corresponde ao valornumérico da expressão x

100 × y.

Vídeo 14. Percentagens.[05:16]

O uso de percentagens permite tornar mais expressiva a comparação entre duas grandezas.


https://youtu.be/WOM0XT1fm9g


• Numa a�rmação do tipo 'x é igual 45% de y' (ver �gura 13) estamos a considerarque x/y vale 0.45, i.e., x é um pouco menor que metade de y. Analogamente,se dizemos que 'z é igual a 85% de y', �camos a saber que z/y vale 0.85, o quesigni�ca que z é um pouco menor do que y.

• Saber que o custo de uma viagem de combóio entre duas cidades A e B passou de23 para 25.76 euros, e que o custo da viagem entre as cidades C e D, num combóioda mesma empresa, passou de 47 para 52.64 euros, fornece uma informação menosclara do que saber que a empresa resolveu aumentar os preços em 12%, que é acondição que leva à variação de preços indicada (veri�car!).

Figura 13: As percentagens permitem comparar facilmente duas grandezas.

Exercício 8. Escrever o valor decimal correspondente às expressões.

1. (a) 33% (b) 3.3% (c) 8.5% (d) 0.2% (e) 0.008%Solução (d). 0.2% = 0.2

100 = 0.002

2. (a) 33%× 25 (b) 12%× 3.43 (c) 8.5%× 8.5% (d) 0.2%× 23 + 11Solução (d). 0.2%× 23 + 11 = 0.2

100 × 23 + 11 = 4.6100 + 11 = 11.046

Exercício 9. Escrever os valores em percentagem que são equivalentes às expressões.

(a) 0.23 (b) 1.2 (c) 8.5 (d) 0.000034 (e) 1234Solução (c). 8.5 = x% ⇒ 8.5 = x

100 ⇒ x = 8.5× 100 = 850⇒ 8.5 = 850%

Exercício 10.

1. (a) 22, que percentagem é de 36? (b) 36, que percentagem é de 22?

Sol. (b) 3622 =≈ 1.64 = 164

100 = 164%.

2. (a) 2.52, que percentagem é de 36? (b) 36, que percentagem é de 2.52?

3. Que valores correspondem a (a) 10% de 5; (b) 100% de 5; (c) 1000% de 5; (d)10000% de 5?Solução (c). 1000%× 5 = 1000

100 × 5 = 50

4. Mostrar que x% de y é igual a y% de x.

5. Se 25% de y equivale a 13y, qual o valor de y?



1.3 Fracções

Uma fracção é qualquer expressão na forma ab , sendo a, b números inteiros e b 6= 0. A

�gura 14 nomeia os termos envolvidos numa fracção.

Figura 14: Designações dos termos de uma fracção.

A expressão ab representa o mesmo número que a expressão a÷ b.

Exemplo 7.

1. 42 = 4÷ 2 = 2

2. 12 = 1÷ 2 = 0.5

3. 53 = 5÷ 3 = 1.666 · · ·

Nota. Um número de dízima in�nita periódica como 1.666 · · · , também se pode repre-

sentar na forma mais compacta 1.6. Outro exemplo: 23.567567567 · · · pode escrever-se

23.567. Veremos adiante que todos os números de dízima in�nita periódica podem ser

representados por fracções.

Vídeo 15. Fraccções: signi�cado elementar; soma.[04:21]

Segue-se uma propriedade muito importante das fracções.

O valor de uma fracção não se altera se multiplicarmos ou

dividirmos o numerador e o denominador pelo mesmo número,

não nulo, isto é, dada a fracção

a

b

e um número c 6= 0, temos

a

b=a× cb× c

=a÷ cb÷ c

.

Exemplo 8.

4

3=

4× 2

3× 2=

8

6

8

6=

8÷ 2

6÷ 2=

4

3.

Dizemos que uma fracção ab , com a, b inteiros positivos, se encontra na forma reduzida, se

não existe uma fracção equivalente com numerador menor que a e denominador menor queb.


https://youtu.be/usj0GiFdlsY


Exemplo 9.

A forma reduzida da fracção9

27é

1

3

A forma reduzida da fracção49

14é

7

2

A forma reduzida da fracção − 8

18é − 4

9

Exercício 11. Escrever as fracções na forma reduzida.

(a)1

5(b)

64

16(c)

18

30

Operações com fracções. Qual o interesse em representar números por fracções? Quevantagens existem em escrever 1

2 em vez de 0.5? O facto é que a representação de númerosusando fracções facilita as operações aritméticas. Este ponto �cará claro depois de falar-mos de operações envolvendo fracções.

Adição/Subtracção

Exemplo 10. Efectuar operação1

24+

3

9

Resolução

1. Para simpli�car, coloca-se a segunda fracção na forma reduzida.

1

24+

1

3

2. Escrevem-se ambas as fracções com o mesmo denominador.

1

24 (×1)+

1

3 (×8)=

1

24+

8

24

3. Somam-se as fracções obtidas.

1

24+

8

24=

1 + 8

24=

9

24=

3

8

Multiplicação/Divisão de fracções

Valem as seguintes regras operatórias para a multiplicação e divisão de fracções.

a

b× c

d=ac

bd(1.1)

a

b÷ c

d=a

b× d

c=ad

bc(1.2)



Exemplo 11. Efectuar a operação3

5× 7

4

Resolução

3

5× 7

4=

3× 7

5× 4=

21

20

Exemplo 12. Efectuar a operação

3

5÷ 7

4

Resolução

3

5÷ 7

4=

3

5× 4

7=

12

35

Vídeo 16. Justi�cação das regras da multiplicação e da divisão de fracções.[07:13]

Vantagem da representação de números por fracções. A representação de números por frac-ções é muito conveniente para a resolução de algumas operações aritméticas. Por exemplo,a soma

1

2+

1

5

é facilmente efectuada usando as notações decimais correspondentes às parcelas.

1

2+

1

5= 0.5 + 0.2 = 0.7

Não há vantagem operacional em efectuar esta soma usando fracções, em vez de notaçãodecimal. O mesmo não acontece com a operação

67

99+

49

99

que é facilmente efectuada usando a soma de fracções

67

99+

49

99=

116

99,

enquanto a mesma operação, usando a representação decimal das parcelas envolvidas, nãopode ser efectuada da forma usual, pois estas têm um número de dígitos in�nito,

67

99+

49

99= 0.676767 · · ·+ 0.494949 · · ·

Uma di�culdade análoga surge se quisermos multiplicar ou dividir estes números usando asua representação decimal.


https://youtu.be/DyyhKqMTC_4


1.4 Proporcionalidade directa e inversa

Consideremos o seguinte problema. Um trabalhador leva 1.5h a descarregar 26 sacos deum camião. Quanto tempo leva o mesmo trabalhador a descarregar 31 sacos? Nada sendodito em contrário, supõe-se que o trabalhador leva o mesmo tempo para descarregar cadaum dos 26 sacos, e que mantém o ritmo de trabalho na descarga de 31 sacos. Podemosresolver este exercício da forma seguinte:

1. Calcula-se o tempo t1 que o trabalhador gasta a descarregar 1 saco: t1 = 1.5÷26 =1.526 horas;

2. Multiplica-se este tempo pelo número de sacos, 31, obtendo-se o tempo t preten-dido: t = 1.5

26 × 31 ≈ 1.79 horas, o que dá aproximadamente 107 minutos, ou 1hora e 47 minutos.

Este cálculo é o mesmo que se realiza recorrendo a uma regra de três simples, como se podever no esquema seguinte.

1.5 horas −−− 26 sacos

t horas −−− 31 sacos

Obtemos para t o valor t = 1.5×3126 = 1.5

26 × 31, no qual se pode reconhecer a multiplicaçãodo tempo gasto na descarga de cada saco, 1.5

26 , pelo número de sacos, 31.

Designando por x o número de sacos descarregados, podemos escrever uma fórmula querelaciona t com x: t = 1.5

26 x. Esta igualdade é um exemplo de uma função: x representaum valor que conhecemos e t um valor que queremos conhecer. Neste caso, conhecendo onúmero de sacos x a descarregar, �camos a saber o tempo total da descarga substituindoesse valor na equação e calculando t

A igualdade t = 1.526 x é equivalente a t

x = 1.526 , cujo signi�cado é o seguinte: o quociente

entre o tempo de descarga t e o número de sacos a descarregar x é constante, para qual-quer par de valores t, x que satisfaça a igualdade. Dizemos por isso que as grandezas t ex são directamente proporcionais. Note-se que a relação t = 1.5

26 x é linear (o seu grá�cocorresponde a uma recta) e quando uma das grandezas é nula a outra também é (a rectacontém a origem). Só quando existe uma relação entre grandezas desta natureza é que éválido relacioná-las por meio de uma regra de três simples.

Só é válido usar regras de três simples para resolver problemas que envolvem grandezasdirectamente proporcionais. Um caso em que não é válido fazê-lo acontece no exemploacima, se considerarmos que o trabalhador vai �cando cansado à medida que a descargaavança, o que faz com que o tempo que leva a descarregar cada saco seja superior ao tempode descarga do saco anterior. Suponhamos que o trabalhador leva 7 minutos a descarregaros dois primeiros sacos e 8 minutos para descarregar os 3o e 4o sacos. Neste caso já nãopodemos dizer `se leva 7 minutos para descarregar dois sacos, então leva 14 minutos paradescarregar 4 sacos'. De facto leva 7 + 8 = 15 minutos a descarregar os 4 sacos.

Consideremos agora outro problema. Três trabalhadores levam 1.5h a descarregar umcamião. Quanto tempo levam cinco trabalhadores para fazer o mesmo trabalho? Nadasendo dito em contrário, supõe-se que os trabalhadores trabalham todos ao mesmo ritmoentre si, não importando quantos estejam a trabalhar. Podemos ser tentados a resolver



este exercício usando uma regra de três simples.

1.5 horas −−− 3 trabalhadores

t horas −−− 5 trabalhadores

Obtemos para t o valor t = 1.5×53 = 2.5 horas, que é um resultado absurdo, porque 5

trabalhadores devem descarregar o camião em menos tempo do que 3 trabalhadores. Porque é incorrecto tentar resolver este problema com esta regra de três simples? Porque asgrandezas `tempo' e `número de trabalhadores' não são directamente proporcionais. Se ofossem, então quando aumenta uma delas deveria também aumentar a outra. Ora nãoé isto que esperamos. O que esperamos é que um aumento do número de trabalhadorescorresponda a uma diminuição do tempo de descarga.

O modo de resolver este problema é o seguinte. Se 3 trabalhadores descarregam o camiãoem 1.5 horas, então cada trabalhador descarrega 1/3 da carga do camião em 1.5 horas.Se forem 5 trabalhadores a fazer a descarga, trabalhando todos ao mesmo ritmo, cada umdeles deve descarregar 1/5 da carga do camião. Se cada trabalhador individual trabalhaa um ritmo constante, então já existe uma proporcionalidade directa entre o tempo quecada um deles leva a fazer a descarga e a quantidade de carga que ele descarrega. A regrade três simples correspondente é a seguinte.

1.5 horas −−− 1/3 da carga

t horas −−− 1/5 da carga

Obtemos para t o valor t = 1/5×1.51/3 = 1.5×3

5 = 4.55 = 0.9 horas, ou 54 minutos.

Designando por x o número de trabalhadores, podemos escrever uma fórmula que relacionat com x: t = 1.5×3

x , que é idêntica a t = 4.5x . Esta igualdade pode ser escrita na forma

tx = 4.5, cujo signigicado é o seguinte: o produto do tempo t de descarga do camiãopelo número x de trabalhadores envolvidos é constante, para qualquer par de valores t, xque satisfaça a igualdade. Dizemos por isso que as grandezas t e x são inversamenteproporcionais. Uma função da forma t = 4.5

x é representada gra�camente por uma hipérbole,sendo que nenhuma das grandezas envolvidas se pode anular. Só quando existe uma relaçãoentre grandezas desta natureza é que temos uma relação de proporcionalidade inversa.

1.5 Conjuntos de números

Ao longo do nosso curso vamos usar vários conjuntos de números. O conjuntos designam-segeralmente por letras maiúsculas, podendo os seus elementos representar-se separando-ospor vírgulas e colocando a sequência obtida entre chavetas. Por exemplo, a expressãoA = {1, 2, 3} de�ne A como o conjunto cujos elementos são os números 1, 2 e 3. Há algunsconjuntos su�cientemente importantes (por serem muito utilizados) para serem designadospor símbolos próprios, que são usados para referir apenas esses conjuntos. Indicamos aseguir os mais comuns.

1. Conjunto dos números naturais. Representa-se pelo símbolo N e correspondeao conjunto dos números inteiros positivos.

N = {1, 2, 3, · · · }

Há certos autores que incluem o zero neste conjunto. Neste texto, o símbolo usadoquando queremos considerar também o zero é N0, i.e., N0 = {0, 1, 2, 3, · · · }.



2. Conjunto dos números inteiros. Representa-se pelo símbolo Z e correspondeao conjunto constituido pelos números inteiros positivos, pelos números inteirosnegativos e pelo zero (o zero não tem sinal).

Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }

Para referir apenas os inteiros negativos usa-se o símbolo Z−. Para referir osinteiros negativos (positivos) juntamente com o zero, usa-se o símbolo Z−0 (Z+

0 ),etc. Como é fácil veri�car, o conjunto dos números naturais está contido noconjunto dos números inteiros. Matematicamente escreve-se esta relação da formaN ⊂ Z, que se lê N está contido em Z. Também se pode escrever Z ⊃ N, que selê Z contém N.

3. Conjunto dos números racionais. Representa-se pelo símbolo Q e correspondeao conjunto dos números que se podem representar na forma de fracções, como porexemplo 2

3 e −43 (o termo `racional' vem de `razão' que em matemática signi�ca

divisão).

Q = {ab

: a, b ∈ Z, b 6= 0} (1.3)

É imediato veri�car que todos os números inteiros são também números racionais.Exemplos: (i) o número 4 pode representar-se pela fracção 4

1 , pela fracção 82 , etc;

(ii) o número −16 pode representar-se pelas fracções −161 , 32

−2 , etc; (iii) o número0 pode representar-se pelas fracções 0

2 ,0−3 , etc.

Podemos escrever Z ⊂ Q. Por ser também N ⊂ Z, podemos escrever N ⊂ Z ⊂ Q.Usa-se o símbolo Q− (Q+) para referir apenas os números racionais negativos(positivos); usa-se também o símbolo Q−0 (Q+

0 ) para referir os números racionaisnegativos (positivos), juntamente com o zero.

4. Conjunto dos números reais. Representa-se pelo símbolo R e corresponde àunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos número irracionais.Número irracional é todo o número que não pode ser representado como umafracção, i.e., é um número que não pertence ao conjunto Q.7 Exemplos destenúmeros são

√2, o número e (≈ 2.72), o número π (≈ 3.14), etc. Como se sabe que

estes números não são representáveis por uma fracção? Existem demonstraçõesdesses factos! No vídeo 17 está a prova para o caso de

√2. Para os casos de e

e π a prova não é tão simples. Existem números dos quais não se sabe se sãoracionais ou irracionais, como por exemplo (π − e) e (π + e). O conjunto dosnúmeros irracionais não tem um símbolo para o designar.

R = Q ∪ Irracionais

Podemos escrever N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Vídeo 17. Raiz quadrada de 2 é irracional.

[em breve]

Vídeo 18. Conjuntos de números.[09:33]

7Obs. a palavra irracional, devido ao pre�xo de negação ir, signi�ca literalmente que não é racional,isto é, que não é representável por uma divisão de inteiros.


https://www.youtube.com/watch?v=gXZ3S5acYLY


1.6 Potências

1.6.1 Potências de expoente inteiro

Uma potência de expoente inteiro positivo, como por exemplo 43 (ver �gura 15), é umaabreviatura para a expressão 4× 4× 4.

Figura 15: Designações dos termos de uma potência.

De um modo geral temos

ab = a× a× · · · × a︸︷︷︸'a' aparece 'b' vezes

se b for um número inteiro positivo.

1.6.2 Operações com potências

A representação de números reais usando potências é útil porque algumas operações sãoresolvidas de modo mais e�ciente se os números estiverem nesta forma. Apresentamos deseguida as propriedades de algumas operações com potências. Todas estas propriedadessão também válidas para potências de expoentes não inteiros, de que falaremos adiante,desde que as bases sejam não-negativas (i.e., pertençam a R+

0 ).

Multiplicação e divisão de potências. Estas são algumas regras operatórias relevantesna multiplicação e divisão de potências.

ab × cb = (ac)b (1.4)

ab × ac = ab+c (1.5)(a

b

)c=ac

bc(1.6)

ab

ac= ab−c (1.7)

Exemplo 13. Multiplicação de potências com o mesmo expoente.

43 × 23 = (4× 4× 4)× (2× 2× 2) = (4× 2)× (4× 2)× (4× 2) = (4× 2)3

De um modo geral temos ab × cb = (ac)b.



Exemplo 14. Multiplicação de potências com a mesma base.

73 × 72 = (7× 7× 7)× (7× 7) = (7× 7× 7× 7× 7) = 75

De um modo geral temos ab × ac = ab+c.

Exemplo 15. (4

5

)3

=4

5× 4

5× 4

5=

4× 4× 4

5× 5× 5=

43

53


(a

b

)c=ac

bc.

Exemplo 16.

43

23=

(4

2

)3

= 23

De um modo geral temosac

bc=

(a

b

)c.

Exemplo 17. Divisão de potências com a mesma base.

75 ÷ 73 =75

73=

7× 7× 7× 7× 7

7× 7× 7=

7× 7× 7 × 7 × 77 × 7 × 7

= 75−3 = 72

De um modo geral temosab

ac= ab−c.

As duas regras operatórias seguintes são consequência das regras para a multiplicação edivisão de potências, atrás apresentadas.

a−b =1

ab, a 6= 0 (1.8)

a0 = 1, a 6= 0 (1.9)

Exemplo 18. Potências com expoentes negativos.

73 ÷ 75 =73

75= 73−5 = 7−2

De um modo geral temos a−b =1

ab.

Exemplo 19. Potências com expoente nulo.

1 = 73 ÷ 73 =73

73= 73−3 = 70

De um modo geral temos a0 = 1, com a 6= 0.



1.7 Radicais

Um radical (ou raiz) é uma expressão da forma n√a, sendo n um inteiro positivo. A

expressão n√a lê-se raiz índice n de a (�gura 16), e é tal que

(n√a

)n= a.

Figura 16: Designações dos termos de um radical.

Exemplo 20. Raiz de índice n de um número.

n√a = b implica bn = a

3√

8 = 2 implica 23 = 85√−32 = −2 implica (−2)5 = −32√

49 = 7 implica 72 = 49

Exemplo 21. Designações de algumas raízes de números.

n√a = b lê-se b é raiz índice n de a

3√

8 = 2 lê-se 2 é raiz cúbica de 85√−32 = −2 lê-se −2 é raiz quinta de −32√

49 = 7 lê-se 7 é raiz quadrada de 49

Observações.

1. Normalmente omite-se o índice da raiz quando este é igual 2. Por exemplo, escreve-se√49 em vez de

√49.

2. A expressão n√a, com n par, representa um número real apenas quando o radicando a

não é negativo. Por consequência, não são números reais as expressões√−4, 4√−6, 12

√−1.

3. Vimos acima que 2√

49 = 7 porque 72 = 49. Mas também se veri�ca (−7)2 = 49. Por issose diz que 7 e −7 são as duas raízes quadradas de 49. A notação

√49 reserva-se para a

raiz quadrada positiva do número 49, i.e.√

49 = 7.

4. Por de�nição de raiz n-ésima de um número, podemos considerar que 1√a = a. Porquê?

O cálculo da raiz de índice n (ou raiz enésima) de um número, também se designa porextracção da raiz de índice n do número. A designação geral para a operação de extracçãode raízes é radiciação.

Vídeo 19. Raízes de números negativos.[04:37]


https://youtu.be/nAsF0aPl5SI


1.7.1 Propriedades da radiciação

Estas são algumas regras operatórias relevantes com radicais.(geralmente, a, b, c são números reais não negativos; os índices das raízes são númerosinteiros positivos.)

n√b× c =

n√b× n√c (1.10)

n

√a

b=

n√a

n√b

(1.11)

n√am = ( n

√a)m (1.12)

m

√n√a = mn

√a (1.13)

Exemplo 22.

1.

3√

64 = 3√

8× 8 =3√

8× 3√

8 = 2× 2 = 4

De um modo geral temosn√b× c =

n√b× n√c ,

não podendo ser b ou c negativos quando n é par.

2. √16

9=

√16√9

=4

3


n

√a

b=

n√a

n√b,

não podendo ser a e b negativos quando n é par.

3. Atendendo a que 64 = 43, temos√

64 =√43 = (

√4)3 = 23 = 8


n√am =

(n√a

)m,

não podendo ser a negativo quando n é par.

4. Atendendo a que 8 =√

64, temos

3√

8 =3

√√64 =

3×2√

64 =6√

64 = 2


m

√n√a = mn

√a ,

não podendo a ser negativo quando m ou n são pares.

Vídeo 20. Cálculo aproximado de radicais.[03:03]


https://youtu.be/L6SZVCGhpsU


1.7.2 Radicais escritos sob a forma de potências

Vamos mostrar que se a ≥ 0, m,n ∈ Z, n > 0, as expressões n√am e a

mn representam o

mesmo número.

Exemplo 23.

Consideremos a expressão 3√

52. Sabemos que o cubo desta expressão é igual a 52,i.e. (

3√

52

)3

=3√

52 × 3√

52 × 3√

52 = 52. (1.14)

Se na expressão anterior substituirmos 3√

52 por 523 e usarmos a regra do produto

de potências com a mesma base (ver exemplo 14, pg. 23), temos(5

23

)3

= 523 × 5

23 × 5

23 = 5

23

+ 23

+ 23 = 5

63 = 52. (1.15)

Na expressão (1.15) usou-se, com expoentes não inteiros, a regra operatória de potênciasindicada na fórmula (1.5), pg. 22, somando os expoentes na expressão 5

23 × 5

23 × 5

23 .

Atendendo às expressões (1.14) e (1.15), veri�camos que 3√

52 e 523 se comportam como

sendo o mesmo número, uma vez que o seu cubo é o mesmo.

Vídeo 21. n√am = a

mn .[05:09]

1.8 Logaritmação

O logaritmo na base b de um número a > 0, com b > 0, b 6= 1, é um número denotadopela expressão logb a que representa o expoente a que se deve elevar a base b para obter a(�gura 17). A operação de cálculo de um logaritmo designa-se por logaritmação:

logb a = c ⇔ bc = a, a > 0, b > 0, b 6= 1.

Figura 17: Designações dos termos de um logaritmo.

Exemplo 24. Cálculo de alguns logaritmos.

log10 100 = 2 signi�ca 102 = 100

log4 2 =1

2signi�ca 4

12 =√

4 = 2

log2

1

2= −1 signi�ca 2−1 =

1

2log0.1 0.01 = 2 signi�ca 0.12 = 0.01


https://youtu.be/teyAEZnS3DQ


Exercício 12.

1. Determinar os valores dos logaritmos.

(a) log10 103 (b) log5 53 (c) log4 45 (d) log2

√2

(e) log0.1 100 (f) log5

1

5(g) log2.5 6.25 (h) log 1

4

1

2

Solução (f). log515 = c signi�ca 5c = 1

5 = 5−1, e por isso c = log515 = −1

2. Determinar os argumentos x dos logaritmos.

(a) log3 x = 2 (b) log5 x = 1.5 (c) log5 x = 1 (d) log2 x =1

4

Solução (b). log5 x = 1.5 signi�ca x = 51.5

3. Determinar as bases b dos logaritmos.

(a) logb 16 = 2 (b) logb 125 = 5 (c) logb 10 = 0.1 (d) logb e2 = 2

Solução (d). logb e2 = 2⇔ b2 = e2 ⇔ b = e

O cálculo do logaritmo logb a, corresponde à resolução da equação na incógnita x, logb a =x, o que é o mesmo que resolver a equação bx = a, se a > 0. Usando este facto, podemosobter facilmente valores aproximados de logaritmos.

Exemplo 25. Determinar dois números inteiros consecutivos que enquadrem o valor dologaritmo.

(a) log10 8 (b) log10 55 (c) log10 300 (d) log2 34.5

(e) log0.1 2 (f) log5 12.3 (g) log2.5 7 (h) loge 12

Solução (b). log10 55 = x. Sabemos que log10 55 = x ⇔ 10x = 55. Usando o facto dafunção 10x ser crescente (falaremos desta função adiante no nosso curso), substituimossucessivos valores inteiros na variável x de modo a enquadramos o valor 55.

x = 1⇒ 10x = 101 = 10 < 55

x = 2⇒ 10x = 102 = 100 > 55

Como 10 < 55 < 100, então log10 10 < log10 55 < log10 100 ⇔ 1 < log10 55 < 2.

1.8.1 Propriedades dos logaritmos

Estas são algumas regras operatórias com logaritmos � a, b, c são números reais positivos;c pode ser qualquer número na fórmula (1.18).

logb(a× c) = logb a+ logb c (1.16)

logba

c= logb a− logb c (1.17)

logb ac = c× logb a (1.18)

blogb a = a (1.19)



Exemplo 26.

1. Logaritmo de um produto.

log2(8× 4) = log2 8 + log2 4 = 3 + 2 = 5


logb(a× c) = logb a+ logb c.

Por causa desta propriedade, costuma dizer-se que o logaritmo transforma produtos, a× c,

em somas, logb a+ logb c.

2. Logaritmo de um quociente.

log2

8

4= log2 8− log2 4 = 3− 2 = 1


logba

c= logb a− logb c.

Por causa desta propriedade, costuma dizer-se que o logaritmo transforma divisões,a

c,

em subtracções, logb a− logb c.

3. Logaritmo de uma potência.

log2 43 = 3× log2 4 = 3× 2 = 6


logb ac = c× logb a.

Por causa desta propriedade, costuma dizer-se que o logaritmo transforma potências, ac,

em multiplicações, c× logb a.

4. Vale também a igualdade

blogb a = a

Por exemplo,

3log3 9 = 32 = 9.

A natureza simpli�cadora do operador logaritmo, revelada por estas regras, faz com queeste operador apareça 'por toda a parte' na matemática. Todas estas propriedades podemser demonstradas. Como exemplo, vamos demonstrar a propriedade 2 enunciada acima.

Prova. (da propriedade logbac = logb a− logb c)

Seja logb a = x e logb c = y. Usando a de�nição de logaritmo podemos escrever

logb a = x⇒ a = bx logb c = y ⇒ c = by.

e por isso

logba

c= logb

bx

by.


2. Prioridade das operações aritméticas 29

Como, pela regra da divisão de potências com a mesma base, se pode escrever

bx

by= bx−y ,

obtemos

logba

c= logb

bx

by= logb b

x−y = x− y = logb a− logb c.

Vídeo 22. Mudança de base.[04:45]

Vídeo 23. Não existe logb 0.[04:06]

Vídeo 24. Cálculo aproximado de logaritmos.[06:12]

Exercício 13. Sejam b, c dois números positivos, com b 6= 1. Mostrar que logb a = logc alogc b

.

2 Prioridade das operações aritméticas

O esquema seguinte a ordem em que devem ser resolvidas as operações matemáticas emgeral, de modo a obter-se o valor numérico de uma expressão em que todos os operandossão números.

1. Resolver as expressões entre parênteses.Exemplo. Da expressão (2 + 5)2, está certo dizer que tem o mesmo valor que 75;está errado dizer que tem o mesmo valor que 22 + 52.

2. Resolver as potências (raízes).Exemplo. Da expressão 5× 32, está certo dizer que tem o mesmo valor que 5× 9;está errado dizer que tem o mesmo valor que (5× 3)2.

3. Resolver multiplicações e divisões antes de somas e subtracções.Exemplo. Da expressão 5 × 3 + 2, está certo dizer que tem o mesmo valor que15 + 2; está errado dizer que tem o mesmo valor que 5× 5.

4. Entre operações com a mesma prioridade resolver primeiro as que estão mais àesquerda.Exemplos. Da expressão 15 ÷ 3 × 2, está certo dizer que tem o mesmo valorque 5 × 2; está errado dizer que tem o mesmo valor que 15 ÷ 6. Na expressão15÷ (3× 2), está certo dizer que tem o mesmo valor que 15÷ 6; está errado dizerque tem o mesmo valor que 5× 2 (por causa do ponto 1 acima).

3 Equações e inequações

Equações. Uma equação numérica é uma igualdade em que ambos os membros sãoexpressões numéricas contendo um ou mais termos, geralmente letras, que representamvalores desconhecidos (incógnitas).

Exemplo 27. Exemplos de equações.

2x+ 3 = 5 equação na variável x (1.20)

2x+ 3y = −3x equação nas variáveis xe y


https://youtu.be/hd1dH-QnSfU

https://youtu.be/8myN75VzFsA

https://youtu.be/afLVOFgpZ4k

30 3. Equações e inequações

Uma equação transforma-se numa igualdade numérica verdadeira sempre que as incógnitassão substituidas por valores que tornam iguais os dois membros da equação. Tais valoresdas incógnitas designam-se por soluções ou raízes da equação.

Exemplo 28. x = 1 é uma solução (neste caso a única solução) da equação (1.20), porquesubstituindo x por 1 na equação obtemos a igualdade verdadeira 2× 1 + 3 = 5.

Uma igualdade que se veri�ca para todos os valores da incógnita, designa-se por identidade.

Exemplo 29. A igualdade (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 é uma identidade (porquê?). Porvezes representam-se as identidades usando o símbolo '≡' em vez de '=', para realçarque as igualdades em causa são identidades. Assim, a igualdade anterior pode escrever-se(x+1)2 ≡ x2+2x+1. A igualdade x+1 = 3 não é uma identidade, porque não é verdadeirapara todos os valores de x.

Uma equação pode ter uma solução, nenhuma solução ou várias soluções. Uma equaçãoque tem uma ou mais soluções, diz-se possível ou resolúvel. Uma equação que não temsoluções, diz-se impossível ou irresolúvel. O conjunto de todas as soluções de uma equaçãodesigna-se por conjunto solução da equação.

Exercício 14. Nas três equações seguintes há uma que tem uma só solução, outra quenão tem soluções e ainda outra que tem in�nitas soluções. Identi�car estes três casos.

(a) x+ 3 = −3 (b) x+ 1 = x+ 1 (c) x+ 1 = x+ 2

Solução (b). A equação x+ 1 = x+ 1 tem por soluções todos os números reais (éuma identidade). Tem, por isso, in�nitas soluções.

Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Existem equações de váriostipos, cada um deles requerendo estratéias próprias de resolução. Há, no entanto, um con-junto de princípios (técnicas de resolução) e de conceitos, que se usam seja qual for o tipode equação considerado.

Um desses conceitos é o de equivalência de equações. Duas equações dizem-se equivalentesse têm as mesmas soluções. Por exemplo, as equações x2 = 1 e (x − 1)(x + 1) = 0 sãoequivalentes, sendo o conjunto solução de ambas {−1, 1}.

Exercício 15. Mostrar que as equações (x2 + 1)(x− 1) = 0 e x− 1 = 0 são equivalentesno conjunto dos números reais.8

Resolver uma equação, consiste em mudar sucessivamente a sua forma, até obter umaequação equivalente à inicial, da qual se pode fazer uma leitura fácil das soluções.

8Se considerarmos o conjunto dos números complexos, C, que é mais amplo que o conjunto dos númerosreais, R, as equações deixam de ser equivalentes porque (x2 + 1)(x− 1) = 0 admite em C as raízes −

√−1

e√−1, que não são números reais.


3. Equações e inequações 31

Exemplo 30. Resolver a equação 5(2+2x)3 = 2x− 6.

5(2 + 2x)

3= 2x− 6⇔

⇔ 5(2 + 2x) = 3(2x− 6) (1.21)

⇔ 10 + 10x = 6x− 18 (1.22)

⇔ 10x− 6x = −10− 18 (1.23)

⇔ 4x = −28 (1.24)

⇔ x =−28

4(1.25)

⇔ x = −7 (1.26)

No exemplo acima partimos da equação 5(2+2x)3 = 2x − 6, cuja forma não torna imediato

saber quais são as raízes da equação. Por transformações de equivalência obtivemos a equa-ção x = −7, que deixa claro que a equação tem como única raiz −7. Uma transformaçãode equivalência é uma transformação de um, ou ambos, os membros de uma equação, quenão muda o conjunto solução desta. As transformações de equivalência são essencialmentede 3 tipos. Elas resultam dos três princípios de equivalência seguintes.

1o Princípio de equivalência: Multiplicando ambos os membros de uma equaçãopor uma mesma expressão, diferente de zero, obtém-se uma equação equivalente àprimeira. Na solução da equação acima, a aplicação deste princípio ocorreu, porexemplo, na obtenção da equação (1.21) � multiplicaram-se ambos os membrosda equação inicial por 3.

2o Princípio de equivalência: Substituindo um dos membros de uma equação poruma expressão equivalente a esse membro, obtém-se uma equação equivalente àprimeira. Na solução da equação acima, a aplicação deste princípio ocorreu,por exemplo, na obtenção da equação(1.22) � relativamente à equação (1.21), oprimeiro membro 5(2 + 2x) foi substituido pela expressão equivalente 10 + 10x eo segundo membro 3(2x− 6) foi substituido pela expressão equivalente 6x− 18.

3o Princípio de equivalência: Se um membro de uma equação é a soma de duas oumais expressões, obtém-se uma equação equivalente à primeira passando para ooutro membro uma qualquer dessas expressões com o sinal trocado. Na solução daequação acima, a aplicação deste princípio ocorreu, por exemplo, na obtenção daequação(1.23) � relativamente à equação (1.22), a parcela 10 passou do primeiromembro para o segundo com o sinal trocado; a parcela 10x passou do segundomembro para o primeiro com o sinal trocado.

Exercício 16. No exemplo 30, indicar quais dos três princípios foram usados para obteras equações (1.24), (1.25), (1.26).Solução para a expressão (1.26). Aplicou-se a (1.25) o 1o princípio de equivalência,multiplicando-se ambos os membros pela expressão 1/4.

Vídeo 25. Resolução de equações � 1.[07:06]


https://youtu.be/xy6ssxrN1Bg

32 3. Equações e inequações

Inequações. Uma inequação numérica é uma desigualdade em que ambos os membrossão expressões numéricas contendo um ou mais termos, geralmente letras, que representamvalores desconhecidos (incógnitas). Os sinais que relacionam os dois membros de umainequação podem ser > (maior que), ≥ (maior ou igual a), < (menor que), ≤ (menor ouigual a).9 Notar que, por exemplo, a ≤ b é uma expressão verdadeira quando a é menorque b, ou quando a é igual a b. É falsa quando a é maior que b. Analogamente para a ≥ b,trocando `menor' por `maior'.

Exemplo 31. Exemplos de uso dos operadores relacionais >,≥, <,≤.

2 < 3 é uma expressão verdadeira 2 < −2 é uma expressão falsa

3 > 2 é uma expressão verdadeira 2 > 3 é uma expressão falsa

3 ≥ 3 é uma expressão verdadeira 3 > 3 é uma expressão falsa

3 ≤ 3 é uma expressão verdadeira 3 < 3 é uma expressão falsa

2 ≤ 3 é uma expressão verdadeira

Exemplo 32. Exemplos de inequações.

2x+ 3 > 5 inequação na variável x (1.27)

x2 − 2x+ 1− y ≤ 2x+ 2y inequação nas variáveis xe y

Uma inequação transforma-se numa expressão verdadeira sempre que as incógnitas sãosubstituidas por valores que tornam verdadeira a relação numérica resultante. Tais valoresdas incógnitas designam-se por soluções da inequação.

Exemplo 33. x = 2 e x = 3 são duas das soluções da inequação (1.27), porque substi-tuindo x por 2 obtemos a desigualdade verdadeira 7 > 5 e substituindo x por 3 obtemos adesigualdade verdadeira 9 > 5.

Tal como para as equações, uma inequação pode ter uma solução, nenhuma solução ouvárias soluções. Se uma inequação tem uma ou mais soluções, então diz-se possível ouresolúvel. Se não tem soluções, diz-se impossível ou irresolúvel.

Exercício 17. Identi�car, nas três inequações seguintes, qual a que tem uma só solução,qual a que não tem soluções e ainda qual a que tem in�nitas soluções.

(a) x+ 3 > −3 (b) 2 ≤ 2 + |x| (c) x+ 1 > x+ 2

Solução (c). A inequação x+ 1 > x+ 2 é impossível, porque não existe nenhumvalor de x, tal que a soma desse valor com 1 seja igual à soma desse valor com 2.

Resolver uma inequação é um processo análogo à solução de uma equação, consistindo emmudar a sua forma, obtendo sucessivas inequações equivalentes, até obter uma inequaçãonuma forma su�cientemente simples para que as soluções possam dela ser lidas. Aplicam-se os mesmos princípios de equivalência que se usam na resolução de equações, com umaressalva. Na aplicação do primeiro princípio de equivalência, deve ter-se em atenção oseguinte: se a expressão pela qual se multiplicam ambos os membros da inequação fornegativa, a orientação do operador de desigualdade muda. Para perceber que tem que serassim, consideremos a desigualdade verdadeira 4 ≤ 5. Se multiplicarmos por −2 ambosos membros, obtemos a relação falsa −8 ≤ −10. Para continuarmosa ter uma relaçãoverdadeira depois desta operação devemos escrever −8 ≥ −10.

9Há autores que designam por inequação toda a relação que envolve apenas algum dos operadores <,>.


4. Equação da recta 33

Exercício 18. Resolver a inequação 4x+ 2 > x− 1.Solução

4x+ 2 > x− 1⇔ 4x− x > −1− 2

⇔ 3x > −3

⇔ x > −1

Conjunto solução =]− 1,+∞[

Igualdades e desigualdades múltiplas. Expressões como (a = b = c) ou (a > b ≥c < d) são verdadeiras somente quando é verdadeira a relação de�nida por cada operador epelos operandos imediatamente à sua esquerda e à sua direita. Por exemplo, (3 = 2+1 = 4)é falsa porque, ainda que (3 = 2 + 1) seja uma relação verdadeira, (2 + 1 = 4) não o é.Já (3 < −4 ≤ −5) é uma relação falsa, dado que tanto (3 < −4) como (−4 ≤ −5) sãorelações falsas.

Vídeo 26. Resolução de inequações � 1.[06:53]

Vídeo 27. Resolução de inequações � 2.[06:31]

4 Equação da recta

Na �gura 18 representa-se um segmento da recta r. Suponhamos um referencial cartesiano,constituido por dois eixos, sendo o eixo horizontal o eixo dos xx e o eixo vertical o dosyy. Na parte esquerda da �gura veri�camos que a uma variação ∆x de x, correspondea variação ∆y de y. O quociente ∆y

∆x representa-se geralmente pela letra m e designa-sepor declive da recta. Este quociente é constante, independentemente do valor numéricode ∆x e do ponto x da recta onde esta variação é medida. Na parte direita da �guraexempli�ca-se isto mesmo, produzindo-se uma variação de 2∆x em x. Por semelhança dostriângulos envolvidos, veri�ca-se que a variação em y é 2∆y, pelo que o quociente destasvariações, 2∆y

2∆x = ∆y∆x , continua a ser m. Esta é uma propriedade distintiva da recta, i.e.,

a recta é a única curva10 no plano com a propriedade de o quociente das variações em ypelas correspondentes variações em x ser constante.

Figura 18: m é a taxa de variação de y com x. É uma constante designada por declive da recta.

10Em geometria, a expressão curva designa qualquer linha. Por exemplo, as circunferências e as rectassão exemplos de curvas no plano.


https://youtu.be/6q2kOWafZ9o

https://youtu.be/FkPWk8cdUGg

34 4. Equação da recta

É agora fácil obter a equação da recta na forma reduzida, y = mx + b. Para o fazer,consideram-se dois pontos quaisquer da recta (x, y) e (x0, y0), e procede-se como a seguirse indica.

1. m = ∆x∆y = y−y0

x−x0 .

2. Podemos escrever sucessivamente

m =∆y

∆x=y − y0

x− x0⇔ m(x− x0) = y − y0

⇔ y = mx−mx0 + y0 ⇔ y = mx + b, sendo b = −mx0 + y0

Nas �guras 19 e 20 estão representadas algumas rectas. Salienta-se o seguinte.

- Rectas paralelas têm o mesmo declive m;

- O parâmetro b na equação y = mx + b, corresponde ao ponto de intersecção darecta com o eixo dos yy.

Figura 19: Rectas paralelas com declive m > 0.

Figura 20: Rectas paralelas com declive m < 0.

Figura 21: Rectas horizontais, x = a, e verticais, y = b.

Na �gura 21 estão representadas rectas horizontais (paralelas ao eixo dos xx) e verticais(paralelas ao eixo dos yy). Salienta-se o seguinte:

- As rectas horizontais são da forma x = a, sendo a a abcissa do ponto de intersecçãoda recta com o eixo dos xx;


4. Equação da recta 35

- As rectas verticais são da forma y = b, sendo b a ordenada do ponto de intersecçãoda recta com o eixo dos yy.

Vídeo 28. Recta.[09:31]

Exercício 19. Veri�car analíticamente quais as rectas a que pertence o ponto (x, y) =(1, 2).

(a) x = 1 (b) y = 2 (c) y = 3x− 1 (d) y = 2x+ 2

Solução (c). O ponto (x, y) = (1, 2) pertence à recta, porque substituindo naequação a variável x por 1 e a variável y por 2, obtém-se uma igualdade verdadeira:2 = 3× 1− 1⇔ 2 = 2.


https://youtu.be/5vSG05TkJWc

Capítulo 2

Funções reais de variável real

1 Noções elementares

1.1 De�nição de função

Uma função representa uma relação entre grandezas numéricas. No caso de a funçãorelacionar apenas duas grandezas e de essas grandezas tomarem valores numéricos reais(i.e., pertencentes ao conjunto R), a função diz-se função real de variável real. A formagenérica de exprimir uma função deste tipo é y = f(x). Esta expressão deve ser lida daseguinte forma (ver �gura 22):

- f é a designação da função, sendo x e y as designações das grandezas que a funçãorelaciona. Podem usar-se quaisquer outras letras, ou sequências de letras, para osnomes da função e das grandezas relacionadas;

- x representa cada elemento de um conjunto de valores que conhecemos. Designa-sepor variável independente, uma vez que o seu valor pode ser escolhido livrementenesse conjunto de números;

- y representa o valor assumido pela expressão f(x). Designa-se por variável de-pendente, uma vez que o seu valor não pode ser escolhido livremente, dependendodo valor de x e da fórmula y = f(x). A cada valor de x corresponde um só valorde y.

Figura 22: Uma função pode ser vista como uma máquina que recebe x e produz f(x).

Exemplo 34.

1. O termómetro representado na �gura 23, relaciona a temperatura ambiente Tcom a altura h de uma coluna de mercúrio. A escala na esquerda do termómetrorepresenta a temperatura em graus Celsius (◦C), usada na Europa; a escala nadireita representa a temperatura em graus Fahrenheit (◦F ), usada nos EstadosUnidos da América. A temperatura y, em graus Fahrenheit, e a temperatura x,em graus Celsius, relaconam-se por meio da função,

y = 1.8x+ 32.

Por exemplo, x = 20 graus Celsius correspondem a y = 68 graus Fahrenheit.

37

38 1. Noções elementares

2. A distância d, em quilómetros, percorrida por um automóvel que se desloca avelocidade constante, e o tempo t de duração viagem, em horas, relacionam-sepor uma função que tem a representação genérica d = f(t). Se o automóvel sedesloca à velocidade de 50km/h, a função que relaciona a distância percorrida, d,com duração do percurso, t, é dada por

d = 50t.

Se a duração da viagem for de t = 1.5h, a distância percorrida é d = 50 × 1.5 =75km. Se suposermos que o automóvel, quando inicia uma viagem no sentidoPorto-Bragança, à velocidade constante de 50km/h, se encontra à distância de80km do Porto, obtemos a seguinte função para a distância d ao Porto, em funçãodo tempo de viagem, t

d = 50t+ 80.

Uma hora depos de iniciada a viagem a distância a que o automóvel se encontrada cidade do Porto é d = 50× 1 + 80 = 130km.

3. Seja q = f(p) a função relaciona o número de unidades vendidas, q, de um certoproduto, com o preço de mercado p de cada unidade desse produto. Quantomenor for o preço de cada unidade, maior tende a ser o número de unidadesvendidas, porque o que é mais barato vende geralmente mais. Uma função destetipo designa-se por função de procura do produto. Suponhamos que se tem

q = 400− 3p.

Esta função diz-nos que se o preço por unidade do produto for p = 4e, entãoq = 400− 3× 4 = 388, o que signi�ca que são vendidas 388 unidades do produto.

Figura 23: Termómetro de mercúrio.1

Podemos agora estabelecer uma ideia mais formal de função, que vai ser útil no nossoestudo. Uma função y = f(x) é de�nida por três entidades:

1. o conjunto de valores que a variável independente x pode assumir, designadopor domínio da função. Os elementos do domínio designam-se por objectos dafunção. No caso da função no item 1 do exemplo 34, o domínio é o conjunto dastemperaturas ambiente possíveis. Pode ser razoável, num dado local, tomar comodomínio o conjunto [−5, 35], em graus Celsius;

1(https://play.google.com/store/apps/details?id=com.bti.tempMeter).

Capítulo 2. Funções reais de variável real Mário

Abrantes

1. Noções elementares 39

2. um conjunto que contenha todos os valores que a variável dependente y podeassumir, que é designado por contradomínio da função. O conjunto que contémexactamente todos os valores que a função assume, designa-se por imagem dafunção. No ponto 1. do exemplo 34, se o domínio da função for [−5, 35], então aimagem da função é [23, 95] (porquê?). Cada valor que y pode assumir, corres-pondente a um dado valor de x, designa-se por imagem do objecto x, por meioda função f . Mais adiante veremos que nem sempre se podem especi�car facil-mente os valores que uma função assume, pelo que o contradomínio pode ter maiselementos do que a imagem;

3. uma regra que exprime o modo como cada valor de x é feito corresponder à suaimagem y (em geral esta regra é expressa por uma equação).

Para se indicar que uma função f tem por domínio um conjunto A e por contradomínioum conjunto B, escreve-se geralmente f : A→ B.

Exemplo 35.

1. A função que exprime a distância d, no ponto 2. do exemplo 34, a que correspondea fórmula d = 50t+ 80, pode ser de�nida da forma

d : R+0 → R+

0 , d(t) = 50t+ 80.

Esta função é um modelo matemático do movimento do veículo. Podemos usá-lapara conhecer, em qualquer instante t, a posição do veículo relativamente ao pontode partida. Mas não é o único modelo possível. Podemos estar interessados emconhecer a posição do veículo apenas durante as primeiras 2h do seu movimento,que é expressa pela função

d : [0, 2]→ R+0 , d(t) = 50t+ 80.

Neste caso, como conhecemos a imagem da função, podemos antes usar a de�nição

d : [0, 2]→ [80, 180], d(t) = 50t+ 80.

(porquê?)

2. A função que exprime o volume v de uma esfera em função do seu raio r é

v : R+0 → R+

0 , v(r) =4

3πr3.

(se triplicarmos o raio r de uma esfera de volume v, por que factor estamos amultilicar o seu volume?)

É importante salientar que, ao de�nir-se uma variável y como função de outra variável x,tal como aqui o fazemos, é entendido que a cada valor do domínio assumido pela variávelx corresponde um só valor do contradomínio assumido pela variável y.

Exemplo 36. A relação de�nida no esquema da �gura 24 não representa uma função de Aem B, porque ao elemento 1 no conjunto A corresponde, por f , mais do que um elementoem B. Certos autores designam relações deste tipo por funções plurívocas (um objectopode ter várias imagens). Neste texto usa-se o termo função para referir uma relaçãounívoca do domínio para o contradomínio.


Abrantes


Figura 24: f de�ne uma relação entre conjuntos que não é unívoca de A para B.

Vídeo 29. Funções como relações unívocas.[]

Uma função y = f(x) diz-se:

• crescente, se x < y ⇒ f(x) < f(y);

• decrescente, se x < y ⇒ f(x) > f(y);

• não decrescente, se x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y);

• não crescente, se x ≤ y ⇒ f(x) ≥ f(y);

• monótona, se é de algum dos 4 tipos anteriores.

Exemplo 37. A funçao representada na �gura 25: é crescente no intervalo ]a, b[ e nointervalo ]c, d[; é não decrescente no intervalo ]a, c[; é decrescente no intervalo ]d, e[.

Figura 25

Vídeo 30. Intervalos de monotonia.[]

1.2 Grá�co de uma função

Grá�co de uma função y = f(x) é o conjunto de todos os pares ordenados (x, f(x)), x ∈ Df ,sendo Df o domínio da função. O grá�co de uma função real de variável real é pois umconjunto de pares de números reais, embora normalmente se designe também por grá�coda função qualquer representação deste conjunto de pontos num referencial cartesiano.

Exemplo 38. O grá�co da função y = x2 é o conjunto que contém, entre outros, oselementos (x, y) seguintes: (1, 1), (−3, 9), (0.1, 0.01).

Vídeo 31. Representação grá�ca do grá�co de uma função.[]


Abrantes


Uma função f : A→ B diz-se

• Injectiva, se cada elemento y ∈ B é imagem de apenas um elemento de x ∈ A(ver �gura 26);2

• Sobrejectiva, se cada elemento y ∈ B é imagem de algum elemento do domíniode f . Dito de outra forma, f é sobrejectiva se a imagem de f e o contradomíniode f são conjuntos iguais. A função representada na �gura 26 não é sobrejectivaporque o elemento b (por exemplo) do contradomínio não pertence à imagem dafunção;

• Bijectiva, se é injectiva e sobrejectiva (ver �gura 27).

Figura 26: f não é injectiva porque os objectos 1 e 2têm a mesma imagem, i.e., f(1) = f(2) = a. Figura 27: f é bijectiva.

Exemplo 39.

1. A função f : R → R+0 , f(x) = x2, representada na �gura 28, não é injectiva,

porque o seu domínio possui elementos diferentes que têm a mesma imagem. Porexemplo, x = −2 e x = 2 pertencem ao domínio da função, e f(−2) = (−2)2 =4 = f(2).

2. A função f : R+0 → R+

0 , f(x) = x2, representada na �gura 29, é injectiva, porqueo seu domínio não possui elementos diferentes que tenham a mesma imagem.

As funções são ambas sobrejectivas

Figura 28: f : R→ R+0 , f(x) = x2. Figura 29: f : R+

0 → R+0 , f(x) = x2.

Exemplo 40. A função f : N→ R+0 , f(x) = ln(x), não é sobrejectiva (�gura 30), porque

o seu contradomínio possui elementos que não são imagem de algum elemento do domínio.

2Não confundir a de�nição de função injectiva com a de�nição de função unívoca (ver exemplo 36).


Abrantes


Figura 30: f : N→ R+0 , f(x) = ln(x).

1.3 Classi�cação das funções quanto à sua representação ana-lítica

As funções admitem uma classi�cação quanto à sua representação analítica, i.e., quantoao tipo de expressão matemática f(x) que lhes corresponde.

1. Funções algébricas: são representadas por expressões algébricas numa dada va-riável, ou seja, expressões envolvendo um número �nito de adições, subtracções,multiplicações, divisões e extracções de raiz. As funções algébricas podem ser dedois tipos:

(a) Racionais: nas operações com raízes, os radicandos não contêm a variávelx. As funções racionais podem ainda classi�car-se como:

• funções inteiras (ou polinómios)

y = 2x3 − 3x+ 2 y =√

3x5 − 3

4x3 y = 3;

• funções fraccionárias. Divisões de polinómios � esta classe defunções contém as funções inteiras;

y = x4 − 3x+ 2 y =1− xx2 + 2x

y =2

x− 3

(b) Irracionais: nas operações com raízes, há radicandos que contêm a va-riável x.

y = 1− 3√x y =

1− x2 + 5√

1− xy = 1− x

14 .

2. Funções transcendentes: são as funções que não são algébricas.

y = ex y = ln(x) y = sen(x).

Vídeo 32. Classi�cação de funções: exemplos[].

1.4 Operações sobre funções

Operações racionais.Sejam f e g duas funções quaisquer, de domínios Df e Dg e contradomínios CDf e CDg.De�nem-se as operações de adição, subtracção, multiplicação e divisão destas duas funçõesdo modo seguinte.


Abrantes


• Adição\Subtracção: (f ± g)(x) = f(x)± g(x), D(f±g) = Df ∩Dg.

• Multiplicação: (f · g)(x) = f(x) · g(x), D(f ·g) = Df ∩Dg.

• Divisão: (f/g)(x) = f(x)/g(x), D(f/g) = (Df ∩Dg) \ {zeros de g(x)}.

Exemplo 41. Para as funções

f : R→ R+0 , f(x) = x2

g : R+0 → R+

0 , g(x) =√x

temos

• (f + g)(x) = x2 +√x, D(f+g) = R ∩ R+

0 = R+0 .

• (f · g)(x) = x2√x = x5/2, D(f ·g) = R ∩ R+0 = R+

0 .

• (f/g)(x) = x2/√x = x3/2, D(f/g) = (R ∩ R+

0 ) \ {0} = R+.

Vídeo 33. Operações racionais sobre funções[].

Função compostaSejam f : A → B e g : B → C duas funções. De�ne-se a função (g ◦ f)(x), que se lê�função composta de g com f � ou �g após f �, da forma

(g ◦ f) : A→ C, (g ◦ f)(x) = g(f(x)

).

Exemplo 42. A �gura 31 representa a composição de duas funções f e g, (g ◦f)(x). Podeaí observar-se que

f(4) = 2 g(2) = 3,

e por isso

(g ◦ f)(4) = g(f(4)

)= g(2) = 3.

Figura 31: Função composta.


Abrantes


Para podermos de�nir a função composta de g com f , não é necessário que o contradomíniode f e o domínio de g sejam iguais, bastando que o primeiro esteja contido no segundo,i.e. CDf ⊂ Dg.

Exercício 20. Calcular (g ◦ f)(1) usando os dados da �gura 31.

Exemplo 43. Dadas as funções f : R→ R, f(x) = 2x2−x+1 e g : R+0 → R+

0 , g(x) =√x,

podemos escrever a função composta de f com g

(f ◦ g)(x) = f(g(x)

)= 2(√x)2 −

√x+ 1 = 2x−

√x+ 1, Df◦g = R+

0 ,

e podemos também escrever a função composta de g com f

(g ◦ f)(x) = g(f(x)

)=√

2x2 − x+ 1.

Veri�camos assim que, em geral, se tem f ◦ g 6= g ◦ f .

Vídeo 34. Função composta.[]

Podemos compor um número qualquer de funções.

Exemplo 44. Considerar as funções f(x) = 2x2 + 1, g(x) = 3x e h(x) =√x.

1. Temos

(f ◦ g ◦ h)(x) = (f ◦ (g ◦ h))(x) = f(g(h(x))

).

Como g(h(x)) = 3√x, �ca f

(g(h(x))

)= 2(3

√x)2 + 1 = 18x+ 1.

2. A operação de composição goza da propriedade associativa, i.e.

(f ◦ (g ◦ h))(x) = ((f ◦ g) ◦ h)(x).

Vamos veri�car esta propriedade com as funções deste exemplo. No ponto anteriorcalculámos a expressão no primeiro membro, (f ◦ (g ◦ h))(x). A expressão nosegundo membro é ((f ◦ g) ◦ h)(x) = ((18x2 + 1) ◦ h)(x) = 18x+ 1.

Função inversaSeja f : A→ B uma função bijectiva. De�ne-se a função inversa de f , e escreve-se f−1, afunção f−1 : B → A tal que, para todo elemento y ∈ B se tem f−1(y) = x, sendo y = f(x),i.e. (�guras 32 e 33)

(f−1 ◦ f)(x) = x e (f ◦ f−1)(y) = y.

Figura 32: f é a função inversa de f−1. Figura 33: f−1 é a função inversa de f .


Abrantes


Exemplo 45. A função f : R+0 → R+

0 , f(x) = x2, representada na �gura 29, pg. 41, éuma função bijectiva. A função inversa de f , f−1, determina-se da seguinte forma:

1. Resolver em ordem a x a equação y = x2, x ≥ 0. Obtém-se x =√y;

2. Trocar as letras `x' e `y' nesta equação. Obtém-se y =√x;

3. A função inversa é f−1 : R+0 → R+

0 , f−1(x) =

√x.

Vídeo 35. Função inversa.[]

1.5 Funções elementares

A grande parte das funções que vamos encontrar no nosso curso são funções elementares.Uma função diz-se elementar se é alguma das seguintes funções:

• uma constante

• uma potência

• uma exponencial

• um logaritmo

• uma função trigonométrica directa

• uma função trigonomérica inversa

• uma combinação de funções dos tipos acima referidos, usando um número �nitode operações racionais +,−, /,× e de composição de funções.

Funções constantes

f(x) = c, c ∈ RDf = R Imagemf = {c}Exemplos: f(x) = −2 f(x) = π

Figura 34: Função constante f(x) = c.

Funções potência

f(x) = xr, r ∈ RDf , Imagemf : dependem de r

Exemplos: f(x) = x2 f(x) = 3√x f(x) = x−2.1

(figuras 35, 36, 37, 38)


Abrantes


Figura 35: Df = R, Imagemf = R+0 . Figura 36: Df = R, Imagemf = R.

Figura 37: Df = R+0 , Imagemf = R+

0 . Figura 38: Df = R, Imagemf = R.

Funções exponenciais

f(x) = ax, a > 0, a 6= 1

Df = R Imagemf = R+

Exemplos: f(x) = ex f(x) = 2x f(x) = 0.5x

(figuras 39, 40)

Figura 39: Df = R, Imagemf = R+.Figura 40: Df = R, Imagemf = R+.

Funções logarítmicas

f(x) = loga(x), a > 0, a 6= 1

Df = R+ Imagemf = RExemplos: f(x) = ln(x) f(x) = log0.5(x) f(x) = log10(x)

(figuras 41, 42)


Abrantes


Figura 41: Df = R+, Imagemf = R. Figura 42: Df = R+, Imagemf = R.

Funções trigonométricas directas

Funções seno e coseno

f(x) = sen(x) f(x) = cos(x)

Df = R Imagemf = [−1, 1]

(figuras 43, 44, 45, 46)

Figura 43: Df = R, Imagemf = [−1, 1].Figura 44: Df = R, Imagemf = [−1, 1].

Figura 45 Figura 46

Função tangente


Abrantes


f(x) = tg(x) =sen(x)

cos(x)

Df = R \ {x ∈ R : x = (2k + 1)π

2, k ∈ Z}

Imagemf = R

Figura 47

Definem-se ainda as seguintes funções directas:

Co-tangente: cotg(x) =cos(x)

sen(x)

Secante: sec(x) =1

cos(x)

Cosecante: csc(x) =1

sen(x)

Funções trigonométricas inversas

As funções trigonométricas não admitem funções inversas,

porque não são injectivas. No entanto, para restrições

das funções trigonométricas directas (i.e., versões

das funções directas com os domínios restringidos a

subconjuntos em que são bijectivas), definem-se funções

inversas. Apresentam-se a seguir alguns casos.

Função arcoseno

y = arcsen(x) x = sen(y)

Dy = [−1, 1] Imagemy =

[−π

2,π

2

]

Figura 48

Função arcocoseno


Abrantes


y = arccos(x) x = cos(y)

Dy = [−1, 1] Imagemy = [0, π]

Figura 49

Função arcotangente

y = arctg(x) x = tg(y)

Dy = [−∞,∞] Imagemy =

]−π

2,π

2

[

Figura 50

Definem-se ainda as seguintes funções inversas:

Arcocotangente: arccotg(x)

Arcosecante: arcsec(x)

Arcocosecante: arccsc(x)

Vídeo 36. Funções elementares.[]

Vídeo 37. Funções trigonométricas directas.[]

Vídeo 38. Funções trigonométricas inversas.[]

1.6 Exercícios

Exercício 21. Escrever o domínio natural e o contradomínio das funções. Esboçar osgrá�cos.

1.

(a) y = x (b) y = x2 (c) y = x3 (d) y = x+ 2

(e) y = x2 − 2 (f) y = x3 +1

2(g) y = |x| (h) y = |x+ 2|

(i) y = |x− 1| (j) y = |x− 1| − 2 (k) y = 2x2 (l) y = −4x3


Abrantes


2.

(a) y =1

x(b) y =

1

x2(c) y =

1

x3(d) y =

1

x− 2

(e) y =1

(x− 2)2(f) y =

1

(x+ 1)3(g) y =

1

x2 − 2(h) y = −1

x

3.

(a) y =√x (b) y = 3

√x (c) y = 5

√x (d) y = 2 +

√x

(e) y = −√x (f) y = − 3

√x (g) y = − 4

√x (h) y =

√x− 2

(i) y = 3√x+ 3 (j) y = 4

√−x+ 1

4.

(a) y = ex (b) y = −ex (c) y = e−x (d) y = 0.1x

(e) y = −0.1x (f) y = 2x (g) y = 2−x (h) y = ex+1

(i) y = e−x+1 (j) y = 3ex (k) y = 3 + ex (l) y = −3 + ex

5.

(a) y = ln(x) (b) y = − ln(x) (c) y = ln(x+ 2) (d) y = ln(x− 2)

(e) y = 3 + ln(x+ 2) (f) y = ln |x| (g) y =∣∣ln(x)

∣∣ (h) y =∣∣ln |x|∣∣

6.

(a) y =√|x| (b) y = 3

√|x| (c) y =

∣∣ 3√x∣∣

Exercício 22. Veri�car se as funções assumem, ou não, os valores indicados.

(a) y =√

log10(x− 2), y = 4 (b) y =1

ex, y = 12

(c) y =x2

x2 + x, y = 1 (d) y = 2−x, y = −23

Exercício 23. Indicar, para cada caso, qual a última operação a ser efectuada se quisermoscalcular f(7).

(a) f(x) = sen(|x|) (b) f(x) =∣∣sen(x)

∣∣ (c) f(x) =√log10(x− 3)

(d) f(x) =x+ 2

x− 2(e) f(x) = x2

∣∣∣∣sen1

x

∣∣∣∣ (f) f(x) = 1 + 5x3e−x − 2x

(g) f(x) = (3− x2)13 (h)f(x) = x2(2− x)ex

Exercício 24. Determinar as funções inversas, se existirem.

(a) f(x) = 2x+ 3 f : R→ R (b) g(x) = 2 g : R→ R

(c) f(x) = x3 f : R→ R (d) g(x) =1

2−√x

g : R+0 \ {4} → R


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2. Sequências numéricas 51

Exercício 25. Considerar as funções f(x) = 5√x, g(x) = x

23 e h(x) = sen(x)+2. Escrever

as expressões correspondentes às funções abaixo indicadas. Calcular os seus domínios.

(a) f(x− 2) +1

2(b) (f ◦ h)(x) (c) (f ◦ h ◦ g)(x)

(d)

∣∣f(x)∣∣

2− g2(x)− h(2x) (e) g

(f

(x

2

))h(x− t)

2 Sequências numéricas

2.1 Vizinhança de um número real

Consideremos um número real a e um número real positivo ε. A inequação |x− a| < ε ésatisfeita pelos valores de x correspondentes ao intervalo aberto centrado em a e de raioigual a ε:

|x− a| < ε ⇔ −ε < x− a < ε ⇔ a− ε < x < a+ ε.

Um intervalo deste tipo diz-se vizinhança ε do número a.

Exemplo 46. A vizinhança 0.1 do número 2, corresponde ao conjunto de pontos dointervalo ]2 − 0.1, 2 + 0.1[ = ]1.9, 2.1[. Uma vizinhança de�nida por um intervalo aberto,como neste caso, costuma designar-se por vizinhança aberta (diz-se vizinhança fechada, seo intervalo for fechado).

Vídeo 39. Vizinhança de um número real.[]

2.2 De�nição de sequência numérica

Uma sequência (ou sucessão) de números reais é uma �la in�nita de números reais separadospor vírgulas

1,1

2,

1

3, · · · , 1

n, · · ·

Cada um dos números designa-se por termo da sequência. O termo escrito em função davariável inteira n designa-se por termo geral da sequência. Substituindo sucessivamenteneste termo a variável n pelos inteiros positivos 1, 2, 3, · · · , obtêm-se os termos nas posiçõescorrespondentes.

Uma sequência numérica representa-se da forma (un)n∈N, ou simplesmente (un), e podeser encarada como uma função de domínio N e contradomínio R. Pode usar-se qualqueroutra letra no lugar de u.


Abrantes

52 2. Sequências numéricas

Exemplo 47. Algumas sequências numéricas.

(un) =

(1

n2

): 1,

1

4,

1

9, · · · , 1

n2, · · ·

(vn) =

(1

2n

):

1

2,

1

4,

1

8, · · · , 1

2n, · · ·

(wn) =((−1)n

): − 1, 1, −1, · · · , (−1)n, · · ·

(xn) = (1) : 1, 1, 1, · · · , 1, · · ·

(yn) =

(1 +

1

n

): 2, 1 +

1

2, 1 +

1

3, · · · , 1 +

1

n, · · ·

Vídeo 40. Sequências numéricas.[]

Uma sequência numérica (un) diz-se:

• limitada, se existem dois números reais a, b tais que a ≤ un ≤ b para qualquervalor de n, i.e., todos os elementos da sequência pertencem ao intervalo [a, b];

• limitada superiormente, se existe um número real b tal que un ≤ b para qualquervalor de n, i.e., todos os elementos da sequência são inferiores, ou quando muitoiguais a b;

• limitada inferiormente, se existe um número real a tal que a ≤ un para qualquervalor de n, i.e., todos os elementos da sequência são maiores, ou no mínimo iguaisa a.

Exemplo 48.

1. A sequência

(un) =

(1

n2

): 1,

1

4,

1

9, · · · , 1

n2, · · ·

é limitada, dado que para todo n ∈ N se tem

0 ≤ 1

n2≤ 1.

2. A sequência

(un) = (2n) : 2, 4, 6, · · · , 2n, · · ·

é apenas limitada inferiormente, dado que para todo n ∈ N se tem

2 ≤ 2n.

3. A sequência

(un) = (−2n) : −2, −4, −6, · · · , −2n, · · ·

é apenas limitada superiormente, dado que para todo n ∈ N se tem

−2n ≤ −2.


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2. Sequências numéricas 53

Vídeo 41. Sequências numéricas limitadas e ilimitadas.[]

Uma sequência numérica (un) diz-se:

• crescente, se u1 < u2 < u3 < · · ·un < · · · ;

• decrescente, se u1 > u2 > u3 > · · ·un > · · · ;

• não decrescente, se u1 ≤ u2 ≤ u3 ≤ · · ·un ≤ · · · ;

• não crescente, se u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ · · ·un ≥ · · · ;

• monótona, se é de algum dos 4 tipos anteriores.

Exemplo 49.

1. A sequência 1 do exemplo 48 é decrescente, dado que 1 > 14 >

19 · · · .

2. A sequência 2 do exemplo 48 é crescente, dado que 2 < 4 < 6 · · · .

3. A sequência

1, 1, 2, 2, 3, 3, · · ·

é não decrescente, dado que 1 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 3 ≤ 3 · · ·

Vídeo 42. Sequências numéricas monótonas.[]

2.3 Limite de uma sequência numérica

De�nição 1. Diz-se que uma sequência (un) de número reais converge ou tende para onúmero real L, ou ainda que tem limite igual a L, e escreve-se

limn→+∞

un = L,

se, e somente se, dado qualquer intervalo centrado em L, ]L−ε, L+ε[ (�gura 51), com ε > 0,existe uma ordem n0 tal que para todos os valores de n > n0, se tem un ∈]L− ε, L+ ε[.

Dito de forma equivalente, qualquer intervalo de diâmetro 2ε, centrado em L, contémuma quantidade in�nita de elementos da sequência (un), �cando fora do intervalo umaquantidade �nita de elementos.

Figura 51: Intervalo aberto de raio ε, centrado em L.

Uma sequência que tem limite diz-se convergente. Uma sequência que não tem limite diz-sedivergente.

Vídeo 43. Limite de uma sequência de números reais.[]


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54 2. Sequências numéricas

Exemplo 50. A sequência de termo geral un = 1n tem limite zero, quando n tende para

in�nito, e escreve-se

limn→+∞

1

n= 0,

porque, dado qualquer número positivo ε, existe um valor de n, designemo-lo por nε, talque para todos os valores de n superiores a nε, se tem

1

n∈]− ε, ε[.

Por exemplo, se ε = 0.001, pode veri�car-se que a partir da ordem n = 1001, u1001 =1/1001, todos os termos seguintes, u1002, u1003, · · · , pertencem ao intervalo ] − ε, ε[ =] − 0.001, 0.001[, centrado no ponto zero. Existe uma quantidade �nita de elementos dasequência fora deste intervalo, e uma quantidade in�nita de elementos da sequência dentrodo intervalo.

Limites in�nitosDada uma sequência de números reais (un), escreve-se

limn→+∞

un = +∞, (2.1)

se para todo o número k positivo existe uma ordem n0 tal que, para n > n0, se tem un > k.Não interessando quão grande seja o valor de k, há uma quantidade �nita de termos dasequência que são menores que k e uma quantidade in�nita de termos da sequência quesão maiores que k � ver �gura 52. De modo análogo se de�ne

limn→+∞

un = −∞.

Figura 52: Para qualquer k > 0, se un → +∞, então há uma quantidade �nita de termos de (un) menoresque k e uma quantidade in�nita de termos da sequência maiores que k.

Exemplo 51. Dada a sequência de termo geral un = 2n

(2n) : 2, 4, 6, · · · , 2n, · · ·

se �zermos k = 1000 veri�camos que a partir do elemento u500 = 2 × 500 = 1000, todosos termos da sequência são maiores que k. Existe uma quantidade �nita de elementosmenores que k = 1000 e uma quantidade in�nita de elementos maiores que k = 1000. Éfácil veri�car que esta última a�rmação é válida qualquer que seja k. Por isso podemosescrever

limn→+∞

un = +∞. (2.2)

Deve notar-se que não é correcto dizer que (un) tem limite in�nito, porque o limite quandoexiste é um número real. Esta sequência não tem limite, é divergente. A expressão (2.2)diz-nos apenas de que forma diverge a sequência (vídeo 44).


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3. Funções contínuas 55

Vídeo 44. Limites in�nitos.[]

Exercício 26. Escrever os primeiros 5 termos de cada sequência numérica. Calcular oslimites das sequências.

(a)

(1

n

)(b)

(1

n2

)(c)

(−100 +

1

n

)(d)

(3 + n2

2 + n3

)

(e)

(3 + n2 − n3

2 + n3

)(f)

(log10(n)

)(g) (en) (h)

(e−n

)(i) (0.99n) (j) (1.01n) (k)

(sen(n)

)(l)

(√n

n

)

Alguns teoremas sobre limites de sequências numéricasCada um dos teoremas seguintes enuncia um resultado importante sobre limites de sequên-cias numéricas.

Teorema 1. (unicidade do limite) Se limun = a e limun = b, então a = b.

Teorema 2. Se limun = a, então toda a subsequência de (un) converge para a.

Teorema 3. Toda a sequência numérica convergente é limitada.

A recíproca do teorema 3 é falsa, i.e., uma sequência numérica pode ser limitada e não terlimite. Por exemplo, a sequência 1, 0, 1, 0, · · · é limitada, visto que todos os seus termospertencem ao intervalo [0, 1], mas não tem limite (porquê?).

Teorema 4. Toda a sequência numérica monótona e limitada é convergente.

Vídeo 45. Teorema 1.[]




3 Funções contínuas

3.1 Limite de uma função

De�nição 2. Diz-se que uma função real de variável real, f(x), converge (ou tende) parao número real L, ou ainda que tem limite igual a L, quando x tende para a, e escreve-se

limx→a

f(x) = L,

se, e somente se, dada qualquer sequência de valores de x convergente para a

x1, x2, x3, · · · , xn, · · · → a

a sequência de imagens por f que lhe corresponde converge para L,

f(x1), f(x2), f(x3), · · · , f(xn), · · · → L.


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56 3. Funções contínuas

Exemplo 52. A igualdade limx→4

√x = 2, signi�ca que a diferença

∣∣√x− 2∣∣ pode ser tão

próxima de zero `quanto se queira', bastanto para isso que a diferença |x− 4| seja su�ci-entemente pequena.

Vídeo 49. De�nição 2.[]

3.1.1 Limites laterais

(ver �gura 53)

• Limite à direita de f(x) no ponto x = a: limx→a+

f(x);

• Limite à esquerda de f(x) no ponto x = a: limx→a−

f(x);

Exemplo 53. Na função representada na �gura 55, pg. 58, temos

limx→3−

f(x) = 2 limx→3+

f(x) = 5.

Vídeo 50. Limites laterais.[]

Teorema 5. O limite de f(x) no ponto x = a existe e é igual a b se, e somente se, existemos dois limites laterais de f(x) no ponto x = a e são ambos iguais a b:

limx→a

f(x) = b ⇔ limx→a−

f(x) = limx→a+

f(x) = b.

Figura 53: Limites laterais.

3.1.2 Alguns teoremas sobre limites de funções

Cada um dos teoremas seguintes enuncia um resultado importante sobre limites de funções.

Teorema 6. (unicidade do limite) Se limx→a

f(x) = b e limx→a

f(x) = c, então b = c.

Teorema 7. Sejam f, g, h : D → R três funções de domínio D e contradomínio R. Se paratodo x ∈ D, x 6= a, tivermos

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

e

limx→a

f(x) = limx→a

h(x) = b

então

limx→a

g(x) = b.


Abrantes


Teorema 8. Sejam f, g : D → R e limx→a

f(x) = L, limx→a

g(x) = M . Então,

1. limx→a

[f(x)± g(x)] = limx→a

f(x)± limx→a

g(x) = L±M ;

2. limx→a

[f(x)× g(x)] = limx→a

f(x)× limx→a

g(x) = L×M ;

3. Se M 6= 0, então limx→a

f(x)g(x) =

limx→a

f(x)

limx→a

g(x) =LM .

Vídeo 51. Teoremas sobre limites de funções.[]

3.1.3 Limites no in�nito

Dada uma função f : D → R, escreve-se

limx→+∞

f(x) = b,

com b ∈ R, se para todo a sequência (xn) de valores de x, tal que limx→+∞

xn = +∞,

x1, x2, x3, · · · , xn, · · · → +∞

a sequência de imagens por f que lhe corresponde converge para b,

f(x1), f(x2), f(x3), · · · , f(xn), · · · → b.

Exemplo 54. A função f(x) = 2+ 1√xtem limite igual a 2, quando x tende para +∞ (ver

�gura 54). De facto, ao aumentarmos ilimitadamente x o valor de 1√xdiminui, tendendo

para zero. Analiticamente temos:

limx→+∞

(2 +

1√x

)= lim

x→+∞2 + lim

x→+∞

(1√x

)= 2 + 0 = 2.

Figura 54: Limites no in�nito


Abrantes


3.2 Função contínua

Uma função f : D → R diz-se contínua no ponto x = a do seu domínio, se é possíveltornar f(x) arbitrariamente próximo de f(a), fazendo x su�cientemente próximo de a. Ade�nição seguinte apresenta esta ideia de modo formal.

De�nição 3. Uma função f(x) diz-se contínua num ponto x = a do seu domínio, se nãoexiste nenhuma sequência de valores da variável x no domínio de f(x), convergente paraa,

x1, x2, x3, · · · , xn, · · · → a

à qual corresponda uma sequência de imagens por f(x), que não convirja para f(a),

f(x1), f(x2), f(x3), · · · , f(xn), · · · ��→f(a).

Observação. Se o ponto a do domínio de f pertence a um intervalo fechado [b, c], contido no

domínio de f , então f é contínua em a se e somente se limx→a

f(x) = f(a).

De�nição 4. Uma função f(x) diz-se contínua num conjuntoD, se e somente se, é contínuaem todos os pontos do conjunto D. Se algum ponto do conjunto D é um ponto de fronteira,como por exemplo os pontos b, c do intervalo fechado [b, c], dizer-se que a função é contínuano intervalo supõe que, nos pontos de fronteira b, c, se considera apenas continuidade lateral- ver o exemplo 55, em baixo. Dizer-se que uma função é contínua, sem referir nenhumintervalo, signi�ca que a função é contínua em todos os pontos do seu domínio (sendolateralmente contínua nos pontos de fronteira do domínio).

Vídeo 52. De�nição de continuidade num ponto e num conjunto.[]

Exemplo 55.

• A função representada na �gura 55 é descontínua no ponto x = 3. O tipo dedescontinuidade que aí apresenta diz-se de 1a espécie, porque ambos os limiteslaterais existem. Por ser

limx→3+

f(x) = 5 = f(3),

diz-se que a função é contínua à direita no ponto x = 3. No entanto f não écontínua à esquerda no ponto x = 3. Porquê?

Figura 55: Função com descontinuidade de 1a

espécie no ponto x = 3.


Abrantes


• A função representada na �gura 56 é descontínua no ponto x = 0, pertencenteao seu domínio. O tipo de descontinuidade que aí apresenta diz-se de 2a espécie,porque não existe algum dos limites laterais (neste caso não existe o limite àesquerda no ponto x = 0). A função é contínua à direita no ponto x = 0.

Figura 56: Função com descontinuidade de 2a

espécie no ponto x = 0.

Exemplo 56.

• A função representada na �gura 57 é contínua, dado ser contínua em todos ospontos do domínio. Segundo alguns autores3, no entanto, uma função como estadiz-se descontínua no ponto x = 0, dado existirem sequências de valores de xconvergindo para x = 0, não convergindo a sequência das respectivas imagens porf para f(0) (nem poderiam, dado que a função não está de�nida em x = 0). Oponto x = 0 diz-se um ponto de acumulação do domínio de f . Um ponto diz-seponto de acumulação de um conjunto, se qualquer vizinhança do ponto contémelementos do conjunto, para além do próprio ponto � é possível escrever umasequência de valores no domínio de f convergente para o ponto. Em geral, falamosde continuidade apenas em pontos do domínio de uma função, mas podemos falarde descontinuidade em pontos do domínio da função e nos pontos de acumulaçãodo domínio. Descontinuidades como a desta função no ponto x = 0, dizem-sedescontinuidades assimptóticas.

Observação. Da função na �gura 58 não dizemos que é descontínua no ponto x = −2.

A função não está aí de�nida, tal como a função da �gura 57 não está de�nida no ponto

x = 0. No entanto, ao contrário do ponto x = 0 do domínio da função na �gura 57, o

ponto x = −2 na �gura 58 não é ponto de acumulação do domínio da função.

• A função representada na �gura 58 é contínua em todos os pontos do seu domínio.O ponto x = −3 diz-se ponto isolado do domínio da função. Um ponto designa-se por ponto isolado de um conjunto, quando existe uma sua vizinhança quenão contém mais nenhum elemento do conjunto, excepto o próprio ponto. Devenotar-se que a única sequência numérica com valores no domínio de f convergentepara −3, é a sequência constante −3, −3, · · · , −3, · · · . Como a sequência dasimagens por f que lhe correspondem é

f(−3), f(−3), f(−3), · · · , f(−3), · · · → f(−3) = 5,

a de�nição 3 diz-nos que a função f é contínua no ponto x = −3.

3Ver, por exemplo, Sebastião e Silva, Compêndio de Álgebra, Tomo I.


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Figura 57: Descontinuidade assimptótica.

Figura 58: Função contínua em todos os pontos doseu domínio {−3} ∪ [0,+∞[.

3.2.1 Alguns teoremas sobre continuidade

Teorema 9. Se f : D → R é contínua num ponto a ∈ D, então f é limitada numavizinhança de a.

Teorema 10. Sejam f, g funções contínuas num ponto x = a comum aos seus domínios.Então:

1. f(x)± g(x) e f(x)× g(x) são funções contínuas em x = a;

2. f(x)g(x)

é uma função contínua em x = a, se g(a) 6= 0.

Teorema 11. Sejam f : D → R e g : F → R duas funções, com f(D) ⊂ F . Se f écontínua no ponto x = a e g é contínua no ponto f(a), então (g ◦ f)(x) = g

(f(x)

)é

contínua no ponto x = a.

Exercício 27. Mostrar que a função f(x) = e−x2

+ 2x−23x+1 é contínua em todos os pontos

do seu domínio natural.SoluçãoO domínio natural da função f é D = R \ {−1

3}. A função é contínua em todos os pontosdo domínio, porque:

• −x2 e ex são contínuas em D. Como e−x2é a composta destas duas, então é

contínua em D, pelo teorema 11;

• 2x− 2 e 3x+ 1 são contínuas em D. Pelo teorema 10, 2x−23x+1 também é.

• Finalmente, pelo teorema 10, como e−x2e 2x−2

3x+1 são contínuas em D, então f(x) =

e−x2

+ 2x−23x+1 também o é.

Teorema 12. (do valor intermédio para funções contínuas) Seja f : [a, b]→ R uma funçãocontínua no intervalo [a, b], tal que f(a) ≤ f(b). Seja d ∈ R tal que f(a) ≤ d ≤ f(b).Então existe pelo menos um ponto c ∈ [a, b], tal que d = f(c).

Exercício 28. (aplicação do teorema 12) Mostrar que o polinómio f(x) = x3 − x + 1 seanula em pelo menos um ponto do intervalo [−2, 0].SoluçãoA função f(x) é contínua em R, pelo teorema 10 (todos os polinómios são funções contínuasem R). Como f(−2) = −5 < 0 e f(0) = 1 > 0, o teorema 12 permite-nos a�rmar queexiste pelo menos um ponto c no intervalo [−2, 0] tal que f(c) = 0, uma vez que 0 ∈ [−5, 1].


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Vídeo 53. Teoremas sobre continuidade.[]


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Capítulo 3

Derivadas de Funções reais de

variável real

No capítulo anterior estudámos funções reais de uma variável real. Dada uma funçãoy = f(x), que representa uma relação entre duas grandezas, estamos interessados emesclarecer quantitativamente e qualitativamente essa relação.

Figura 59

Queremos saber quais os valores de x para os quais f(x)se anula (pontos a, c, e, g na �gura 59), ou nos quaisatinge valores extremos relativos, máximos ou mínimos(pontos b, d, f). É importante sabermos também emque intervalos de valores de x a função cresce (intervalo[b, d], por exemplo), em que intervalos a função decresce(intervalo [d, f ], por exemplo), e a sua taxa de variaçãocom x nos vários pontos desses intervalos (i.e., com querapidez varia a função ao longo de cada intervalo). Que-remos também conhecer os pontos em que a função éestacionária (pontos a, b, d, f). A representação grá�capode dar-nos informação importante, mas carece de ri-gor se for obtida apenas por marcação de uma quantidade maior ou menor de pontos numreferencial. Neste capítulo vamos estudar a operação de derivação, que nos vai permitirobter com rigor a informação acima referida. Mais ainda, esta operação vai revelar-sefundamental para resolver problemas de optimização, e para formalizar matematicamentealguns problemas práticos por meio de equações diferenciais, cujas soluções são funçõesque relacionam grandezas relevantes para responder a esses problemas.

1 Função derivada

Nesta secção vamos de�nir a função derivada f ′(x) de uma função real de variável realf(x).

1.1 Taxa de variação média de uma função

Na �gura 60 está representada a relação entre a distância d percorrida por um automóvel,em quilómetros (km), e o tempo t de duração do percurso, em horas (h), numa viagem queligou dois pontos que distam entre si 80 quilómetros. Da observação do grá�co, podemosobter a seguinte informação.

- A viagem durou 4h;

63

64 1. Função derivada

- Na primeira hora de viagem, o automóvel percorreu 25km;

- Passadas duas horas de viagem, o automóvel percorreu 60km. Isto signi�ca queo automóvel andou mais depressa na segunda hora de viagem (da hora 1 paraa hora 2) do que na primeira hora, já que nesta segunda hora percorreu 35km,contra os 25km da primeira hora (da hora 0 para a hora 1). O grá�co traduz amaior velocidade na segunda hora, sendo mais íngreme no intervalo [1, 2] de t doque no intervalo [0, 1];

- Do instante t = 2 para o instante t = 3, a distância entre o automóvel e o pontode partida diminuiu para 35km, o que signi�ca que o automóvel voltou para trás.

- Do instante t = 3 para o instante t = 4, o automóvel retomou o percurso nosentido do ponto de chegada.

Figura 60

Deve notar-se que a forma do grá�co na �-gura 60, não signi�ca que o carro andou asubir e a descer. O que ela representa éapenas a distância a que o automóvel se en-contra do ponto de partida, nos vários mo-mentos da viagem. O percurso que liga ospontos de partida e chegada pode ter qual-quer forma, podendo até a estrada ser �umarecta�.

Consideremos agora a �gura 61. O segmento derecta que une os pontos (t, d) = (0, 0) e (t, d) =(2, 60) representa a distância em função do temporespeitante a outro automóvel, que partindo no mesmo instante que o automóvel referidono grá�co da �gura 60, se encontra no mesmo ponto do trajecto ao �m de 2h de via-gem. Designemos por automóvel A o automóvel correspondente ao grá�co não linear e porautomóvel B o automóvel correspondente ao grá�co linear.

Figura 61

O facto de o grá�co ser linear para o automóvel B,diz-nos que o veículo efectuou o percurso com umritmo (velocidade) constante, i.e., percorrendo dis-tâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Recor-demos que se um objecto se desloca a uma velocidadeconstante, o valor da velocidade é dado por

velocidade =distância percorrida

tempo gasto a percorrer a distância

sendo as unidades km/h (quilómetros por hora), sea distância vier expressa em quilómetros e o tempoem horas. Assim, se o velocímetro do nosso carroindica 75km/h, sabemos que se mantivermos esseritmo percorreremos 75km a cada hora que passa. No caso da �gura 61, temos que avelocidade constante vB a que se desloca o automóvel B é:

vB =60

2= 30km/h.

Esta velocidade é designada por velocidade média (ou taxa de variação média da distân-cia com o tempo) do automóvel A no intervalo de tempo [0, 2], e representa a velocidade

Capítulo 3. Derivadas de Funções reais de variável real

Mário Abrantes

1. Função derivada 65

constante a que se deve deslocar um automóvel que, saindo ao mesmo tempo que o auto-móvel A, esteja no mesmo ponto do percurso ao �m de duas horas de viagem. O valor devB representa o declive da recta representada na �gura 61. De um modo geral, temos aseguinte de�nição.

Dada uma função f(x), designa-se por taxa de variação médiade f com x, no intervalo [a, b], o quociente

f(b)− f(a)

b− a.

Exemplo 57. Considere-se o grá�co na �gura 60.

1. Quais as velocidades médias do automóvel nos intervalos [0, 1], [1, 2], [1, 3], [3, 4]?

2. A que velocidade constante se deve deslocar um automóvel, de modo a começare a terminar a viagem nos mesmos instantes que o automóvel A?

Solução1. A velocidade média referente a um intervalo de tempo com início no instante t0 e �mno instante t1, é dada por v[t0,t1] = d(t1)−d(t0)

t1−t0 . Temos então:

v[0,1] =d(1)− d(0)

1− 0=

25− 0

1= 25km/h

v[1,2] =d(2)− d(1)

2− 1=

60− 25

1= 35km/h

v[2,3] =d(3)− d(2)

3− 2=

35− 60

1= −25km/h

v[4,3] =d(4)− d(3)

4− 3=

80− 35

1= 45km/h

Notar que a velocidade média v[2,3] é negativa, porque a distância do veículo ao ponto departida diminui entre os instantes t = 2 e t = 3.2. A velocidade constante neste enunciado é precisamente a velocidade média do veículo Ano intervalo [0, 4].

v[0,4] =d(4)− d(0)

4− 0=

80− 0

4= 20km/h.

Um automóvel B que parta ao mesmo tempo que o automóvel A, e que chegue tambémao mesmo tempo que o automóvel A ao local de destino, fazendo todo o percurso comvelocidade constante, deve deslocar-se à velocidade de 20km/h.

Vídeo 54. Signi�cado de uma média numérica.[]

1.2 Taxa de variação instantânea de uma função. Funçãoderivada

Na �gura 61 podemos veri�car que o automóvel se desloca mais rapidamente na segundahora do que na primeira, porque o grá�co aparece mais inclinado no intervalo de tempo[1, 2] do que no intervalo [0, 1]. No intervalo de tempo [0, 1] a velocidade do automóvel éinferior à velocidade média no intervalo [0, 2], sendo-lhe superior no intervalo [1, 2].


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Suponhamos agora que calculamos a velocidade média usando instantes de tempo muitopróximos � em vez de intervalos como [0, 2], usamos, por exemplo, [1.99, 2]. Na �gura 62representamos algumas rectas que, por terem sido calculadas desta forma, parecem tan-gentes à curva no grá�co.

Figura 62: Quanto maior é a velocidadenum ponto, maior é o declive da recta tan-gente à curva nesse ponto.

São válidas a seguintes observações.-A velocidade é maior numa vizinhança pequena doponto c, do que em vizinhanças pequenas dos pontosa e b. Isto signi�ca que se no instante a o condutordo automóvel olhar para o velocímetro1, lê um valormenor que o correspondente ao instante c;-Para instantes muito próximos dos instantes d e f ,o automóvel está praticamente parado. Isto tem sen-tido porque em ambos os instantes o automóvel temque parar para inverter a marcha;- Para instantes próximos de e, a velocidade do auto-móvel tem sinal negativo (o declive da recta traçadaé negativo). Isto signi�ca que nas proximidades doinstante e, o automóvel está a diminuir a distânciaque o separa do ponto de partida.

O que pretendemos estabelecer a seguir é que, por muito próximos que estejam os doisinstantes usados para calcular a velocidade média, o valor obtido para esta pode ser sig-ni�cativamente diferente da velocidade que o automóvel atinge em pontos intermédios aesses dois instantes. Veja-se, por exemplo, a velocidade média de 30km/h correspondenteaos instantes t = 0 e t = 2, na �gura 61, que é menor que a velocidade em pontos dointervalo [1.6, 1.7].

Figura 63: A recta r é a `recta limite'de uma sucessão de rectas de�nidas peloponto x0, e por cada um dos pontos dasequência x1, x2, x3, · · · → x0.

Uma forma de calcularmos a velocidade num ins-tante concreto de tempo, é sugerida pela �gura 63.Nela está representado o grá�co de uma função ge-nérica f(x) que, se quisermos, podemos considerarque exprime uma distância em função do tempo x.Fixemos um ponto no eixo das abcissas, x0, e cal-culemos a taxa de variação média da função usandoeste ponto e um outro ponto, x1. Obtemos

f(x1)− f(x0)

x1 − x0.

Este valor representa o declive da recta que uneos pontos

(x0, f(x0)

)e(x1, f(x1)

). Considere-

mos agora esta taxa de variação média usando oponto �xo x0 e pontos de uma sequência numéricax1, x2, x3, · · · , cada vez mais próximos de x0:

f(x1)− f(x0)

x1 − x0,

f(x2)− f(x0)

x2 − x0,

f(x3)− f(x0)

x3 − x0,

f(x4)− f(x0)

x4 − x0, · · ·

Estas taxas correspondem aos declives das rectas de uma sequência de retas, conformemostra a �gura. Podemos perguntar o seguinte: se esta sequência de números x1, x2, x3, . . .

1Dispositivo no tablier do carro que indica a velocidade a que este se desloca.


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usados para calcular as variações médias, convergir para o ponto que mantemos �xo, x0, asequência de retas correspondentes converge para alguma �recta limite�? O que se perguntaé se existe o limite

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0.

Se este limite existir, o seu valor diz-se derivada da função f(x) no ponto x0 e representao declive da recta tangente à curva no ponto x0 (a recta r, na �gura 63). Escreve-se

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0. (3.1)

Registamos esta noção importante.

Dada uma função f(x) e um ponto x0 do seu domínio, a

derivada da função no ponto x0, que se escreve f ′(x0),se existir, representa o declive da recta tangente ao

gráfico da função f(x) no ponto x0.

Dado que a derivada da função no ponto x0 corresponde a

uma taxa de variação calculada com pontos �tão próximos

quanto se queira� (não há maior proximidade do que a

atingida por meio do limite), f ′(x0) designa-se por taxa

de variação instantânea da função f(x) no ponto x0.

Exercício 29. Calcular a derivada da função f(x) = x2 no ponto x = 2.Resolução

f ′(2) = limx→2

f(x)− f(2)

x− 2= lim

x→2

x2 − 22

x− 2= lim

x→2

(x+ 2)(x− 2)

x− 2= lim

x→2(x+ 2) = 4.

Sabemos que m = f ′(2) = 4 é o declive da recta tangente ao grá�co de f(x) no pontox = 2. Podemos determinar a equação desta recta, sabendo que ela contém o ponto(x, y) =

(2, f(2)

)= (2, 4). Obtemos (ver �gura 64)

y = 4x+ b

Cálculo de b: 4 = 4× 2 + b⇔ b = −4

Equação da recta: y = 4x− 4

Exercício 30. Calcular a derivada da função f(x) = x3 no ponto x = 0.Resolução

f ′(0) = limx→0

f(x)− f(0)

x− 0= lim

x→0

x3 − 03

x− 0= lim

x→0

x3

x= lim

x→0x2 = 0.

Sabemos que m = f ′(0) = 0 é o declive da recta tangente ao grá�co de f(x) no pontox = 0. Podemos determinar a equação desta recta, sabendo que ela contém o ponto(x, y) =

(0, f(0)

)= (0, 0). Obtemos (ver �gura 65)

y = 0x+ b = b

Cálculo de b: 0 = 0× 0 + b⇔ b = 0

Equação da recta: y = 0 (a recta coincide com o eixo dox xx)


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Figura 64

Figura 65

Torna-se mais cómodo calcular a derivada de um função num ponto, se dermos outra formaà fórmula 3.1. Fazendo h = x− x0 (ver �gura 63), temos x = x0 + h e podemos escrever afórmula 3.1 do modo

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h. (3.2)

Nesta fórmula só aparece uma expressão envolvendo a letra x, que é x0, enquanto na fór-mula 3.1 aparecem duas, x e x0. Para além disto, eliminamos a subtracção no denominadorque aparece na fórmula 3.1.

Vídeo 55. Forma da expressão de cálculo da derivada.[]

Exemplo 58. Usando a fórmula 3.2 para calcular a derivada de f(x) = x2 no ponto x = 2(ver o exercício 29), temos

f ′(2) = limh→0

f(2 + h)− f(2)

h= lim

h→0

(2 + h)2 − 22

h

= limh→0

22 + 2× 2h+ h2 − 22

h= lim

h→0

2× 2h+ h2

h

= limh→0

(2× 2 + h) = 4.

É importante interpretar o signi�cado de f ′(2) = 4 obtido neste exemplo. A primeira coisaa ter presente, é que a derivada é o limite duma taxa de variação média

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0,

sendo que a taxa de variação média envolve uma divisão. O quociente q da divisão def(x)− f(x0) por x− x0, dá-nos a quantidade de variação de f(x)− f(x0) por unidade dex− x0, no intervalo de�nido por x e x0. O que o limite desta variação média faz

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0,

é estabelecer o limite da sequência de quocientes que se obtém calculando as taxas de va-riação média para intervalos em x cada vez mais pequenos. A informação que a expressãof ′(2) = 4 nos dá, é que se calcularmos taxas de variação médias de f(x) = x2 envolvendo oponto x0 = 2 e um outro ponto x, o valor dessas taxas aproxima-se tanto mais de 4 quantomais próximo esse outro ponto x estiver de x0 = 2.


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É imediato veri�car que, se quisermos calcular a derivada de f(x) = x2 noutro pontodiferente de x = 2, por exemplo no ponto x = 3, basta repetir os cálculos efectuados noexercício 58, usando x = 3:

f ′(3) = limh→0

f(3 + h)− f(3)

h= lim

h→0

(3 + h)2 − 32

h

= limh→0

32 + 2× 3h+ h2 − 32

h= lim

h→0

2× 3h+ h2

h

= limh→0

(2× 3 + h) = 6.

Podemos obter uma função f ′(x) que nos permita calcular o valor da derivada em qualquer

ponto sem repetir os cálculos acima. Basta efectuá-los uma só vez, trocando o ponto 3pelo ponto genérico x:

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

x2 + 2xh+ h2 − x2

h= lim

h→0

2xh+ h2

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x.

A função f ′(x) = 2x diz-de função derivada de f(x) = x2. É agora imediato obter o valorda derivada de f(x) = x2 em qualquer ponto. Por exemplo:

f ′(2) = 2× 2 = 4 f ′(−3) = 2× (−3) = −6.

A interpretação da função f ′(x) = 2x obtida acima é a seguinte (ver �gura 64):

• Para valores de x < 0 a expressão 2x é negativa. Isto signi�ca que, para valoresnegativos de x a função f(x) = x2 é decrescente, e decresce de forma tão maisacentuada quanto menor (mais para a esquerda na recta real) é o valor de x;

• Para valores de x > 0 a expressão 2x é positiva. Isto signi�ca que, para valorespositivos de x a função f(x) = x2 é crescente, e cresce de forma tão mais acentuadaquanto maior (mais para a direita na recta real) é o valor de x.

Em resumo, podemos dizer o seguinte.

Dada uma função y = f(x), a expressão f ′(x) representa uma

nova função de x, cujo domínio é o conjunto de todos os

pontos em que a função f(x) tem derivada. Atribuindo

a x diferentes valores x1, x2, · · · , obtêm-se para f ′(x)determinados valores, f ′(x1), f ′(x2), · · · , que são as deri-vadas de f(x) nesses pontos. A função f ′(x) diz-se funçãoderivada de f(x), ou simplesmente derivada de f(x), e pode

ainda ser representada pelas notações

y′ ,dy

dx, f ′(x) , etc.

A derivada de f(x) num ponto concreto x0, pode

escrever-se:

y′|x=x0 ,

(dy

dx

)x=x0

, f ′(x0) , etc.


Mário Abrantes


Exercício 31. Considerar a função f(x) =√x. Calcular a função derivada f ′(x).

Resolução

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

√x+ h−

√x

h

= limh→0

(√x+ h−

√x)

h

(√x+ h+

√x)

(√x+ h+

√x)

(porquê?)

= limh→0

(x+ h)− xh(√x+ h+

√x)

(porquê?)

= limh→0

h

h× (√x+ h+

√x)

= limh→0

1√x+ h+

√x

=1√

x+√x

=1

2√x

Exercício 32. Mostrar que não existe a derivada da função f(x) = 1x no ponto x = 0.

1.3 Derivadas laterais

O limite na fórmula 3.2 pode não existir (o que signi�ca que a função f ′(x) não está de�nidano ponto x0) mas, apesar disso, existir algum dos limites laterais

limh→0+

f(x0 + h)− f(x0)

h(3.3)

limh→0−

f(x0 + h)− f(x0)

h. (3.4)

Cada um destes limites designa-se por derivada lateral de f(x) no ponto x0, sendo oprimeiro a derivada lateral de f(x) à direita no ponto x0, que se escreve f ′+(x0), e o outroa derivada lateral de f(x) à esquerda no ponto x0, que se escreve f ′−(x0). Uma funçãoé derivável num ponto x0 se, e somente se, existem e são iguais nesse ponto as derivadaslaterais.

Exemplo 59. A função representada na �gura 66 não tem derivada no ponto x = 1,porque as derivadas laterais no ponto são distintas.

f ′−(1) = limh→0−

f(1 + h)− f(1)

h= lim

h→0−

1− 1

h= lim

h→0−

0

h= 0

f ′+(1) = limh→0+

f(1 + h)− f(1)

h= lim

h→0−

(1 + h)− 1

h= lim

h→0−

h

h= lim

h→0−1 = 1

Exemplo 60. A função representada na �gura 67 não tem derivada no ponto x = 2,porque não está de�nida nesse ponto.


Mário Abrantes

2. Derivadas de algumas funções elementares. Regras de derivação 71

Figura 66Figura 67

Figura 68

De um modo geral, podemos dizer o seguinte.

Se uma função f(x) é derivável no ponto x0, então ela é

'lisa' nesse ponto, i.e., o ponto x0 não é um ponto an-guloso (o ponto x=1 da figura 66 é um ponto anguloso) ou

um ponto cuspidal (o ponto x=0 da figura 80 é um ponto

cuspidal).

2 Derivadas de algumas funções elementares. Re-gras de derivação

Vamos agora determinar as derivadas de algumas funções elementares e apresentar algumasregras de derivação que nos permitem calcular a função derivada de uma soma ou de umproduto de funções, bem como de uma divisão de funções, de uma composição de funçõese da inversa de uma função. Ficaremos em condições de poder determinar facilmentea função derivada de um grande número de funções, que é depois usada para estudar avariação da função num dado conjunto de pontos.

2.1 Derivadas de algumas funções elementares

Funções constantes

f(x) = k, k ∈ R.

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

k − kh

= limh→0

0

h= 0

Como se pode veri�car, a derivada duma função constante é nula em qualquer ponto doseu domínio.


Mário Abrantes

72 2. Derivadas de algumas funções elementares. Regras de derivação

Exemplo 61.

f(x) =1

2f ′(x) =

(1

2

)′= 0

f(x) = log10 12 f ′(x) = (log10 12)′ = 0 notar que log10 12 é uma constante

f(x) = e−2 f ′(x) =(e−2)′

= 0 notar que e−2 é uma constante

Funções potência

f(x) = xr, r ∈ Rf ′(x) = rxr−1

Exemplo 62. Dedução da fórmula da derivada de f(x) = xn, sendo n um número inteiropositivo.

Sabemos que

(x+ h)n =n∑k=0

(n

k

)xn−khk = xn +

(n

1

)xn−1h+

(n

2

)xn−2h2 + · · ·+

(n

n− 1

)xhn−1 + hn,

com (n

k

)=

n!

(n− k)!k!.

Podemos escrever

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

(x+ h)n − xn

h

= limh→0

((n

1

)xn−1 +

(n

2

)xn−2h+

(n

3

)xn−3h2 + · · ·+

(n

n− 1

)xhn−2 + hn−1

)

=

(n

1

)xn−1 = nxn−1

Exemplo 63.

f(x) = 5√x f ′(x) =

(x

15

)′=

1

5x

15−1 =

1

5x−

45

f(x) = x−4 f ′(x) =(x−4

)′= −4x−4−1 = −4x−5

f(x) = x4 f ′(x) =(x4)′

= 4x4−1 = 4x3

Funções exponenciais

f(x) = ax, a > 0, a 6= 1

f ′(x) = ax ln a

Prova.

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − 1

h= ax lim

h→0

ah − 1

h


Mário Abrantes


Vamos calcular o limite limh→0

ah−1h . Designando ah − 1 por t, temos

ah − 1 = t⇔ ah = 1 + t⇔ h = loga(1 + t).

Podemos escrever, notando que se h→ 0 também t→ 0,

limh→0

ah − 1

h= lim

t→0

t

loga(1 + t)

= limt→0

1

loga

(1 + 1

1t

) 1t

=1

limt→0

loga

(1 + 1

1t

) 1t

=1

loga e= ln a

Notar que se a = e temos,

(ex)′ = ex ln e = ex,

o que mostra que a fórmula para a derivada duma exponencial de base a é mais simplesquando se tem a = e (e ≈ 2.72).

Exemplo 64.

f(x) = 2x f ′(x) = (2x)′ = 2x ln 2

f(x) = 0.34x f ′(x) = (0.34x)′ = 0.34x ln 0.34

f(x) = (√

7)x f ′(x) =(

(√

7)x)′

= (√

7)x ln√

7

Sabendo que 0.34x > 0 (porquê?) e que ln 0.34 < 0 (porquê?), temos (0.34x)′ < 0, paraqualquer valor de x. Isto signi�ca que a função f(x) = 0.34x é decrescente em todo o seudomínio.

Funções logarítmicas

f(x) = loga |x| , a > 0, a 6= 1

f ′(x) =1

x ln a

Prova.

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

loga |x+ h| − loga |x|h

= limh→0

1

hloga

∣∣∣∣1 +h

x

∣∣∣∣ .Notar que loga |x+ h| − loga |x| = loga

∣∣∣∣x+ h

x

∣∣∣∣ = loga

∣∣∣∣1 +h

x

∣∣∣∣ .Temos então

f ′(x) = limh→0

loga

∣∣∣∣1 +h

x

∣∣∣∣ 1h = limh→0

loga

∣∣∣∣1 +h

x

∣∣∣∣ xhx

= limh→0

loga

(∣∣∣∣1 +h

x

∣∣∣∣ xh) 1

x

= loga

limh→0

(1 +

1xh

) xh

1x

= loga e1x =

1

xloga e =

1

x ln a


Mário Abrantes


Notar que se a = e temos,

(loge |x|

)′=

1

x ln e=

1

x,

o que mostra que a fórmula para a derivada dum logaritmo de base a é mais simples quandose tem a = e (e ≈ 2.72).

Exemplo 65.

f(x) = log10 |x| f ′(x) = (log10 |x|)′ =1

x ln 10

f(x) = log0.34 |x| f ′(x) = (log0.34 |x|)′ =1

x ln 0.34

f(x) = ln(x) f ′(x) = (lnx)′ =1

x, x > 0

Funções trigonométricas directas

f(x) = sen(x) f ′(x) = cos(x)

f(x) = cos(x) f ′(x) = −sen(x)

Prova. Dedução da fórmula da derivada da função sen(x).

Vamos usar a fórmula sen(p)− sen(q) = 2sen(p−q

2

)cos(p+q

2

).

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

sen(x+ h)− sen(x)

h= lim

h→0

2sen(h2

)cos(

2x+h2

)h

= limh→0

sen(h2

)h2

limh→0

cos

(2x+ h

2

)

Como limh→0

sen(h2

)h2

= 1 e limh→0

cos

(2x+ h

2

)= cos

(2x

2

)= cos(x), temos

f ′(x) = cos(x)

Notar que as igualdades (sen(x))′ = cos(x) e (cos(x))′ = −sen(x) são válidas se o ângulox vier em radianos (ver exercício 35, pg. 76).

2.2 Derivadas de somas, produtos e divisões de funções

Teorema 13. Sejam f, g : D → R duas funções deriváveis no ponto genérico x. Valem asseguintes regras de derivação.

1. (f ± g)′(x) = f ′(x)± g′(x)

2. (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

3.

(f

g

)′(x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x), g(x) 6= 0.


Mário Abrantes


Prova. 1. Prova-se a regra da derivada de uma adição de funções. A prova para ocaso da subtracção é análoga.

(f + g)′(x) = limh→0

(f(x+ h) + g(x+ h))− (f(x) + g(x))

h

= limh→0

(f(x+ h)− f(x)) + (g(x+ h)− g(x))

h

= limh→0

f(x+ h)− f(x)

h+ limh→0

g(x+ h)− g(x)

h

= f ′(x) + g′(x)

2.

(fg)′(x) = limh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)

h

= limh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x+ h) + f(x)g(x+ h)− f(x)g(x)

h

= limh→0

(f(x+ h)− f(x)

hg(x+ h)

)+ limh→0

(f(x)

g(x+ h)− g(x)

h

)= f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

3.

(f/g)′(x) = limh→0

f(x+ h)/g(x+ h)− f(x)/g(x)

h

= limh→0

f(x+ h)g(x)− f(x)g(x+ h)

g(x+ h)g(x)h

= limh→0

f(x+ h)g(x)− f(x)g(x) + f(x)g(x)− f(x)g(x+ h)

g(x+ h)g(x)h

= limh→0

f(x+h)−f(x)h g(x)− f(x)g(x+h)−g(x)

h

g(x+ h)g(x)

=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x)

Exemplo 66.

f(x) = 3x− 2ex f ′(x) = (3x− 2ex)′ = (3x)′ − (2ex)′ = 3− ((2)′ex + 2(ex)′) = 3− 2ex

f(x) = xsen(x) f ′(x) =(xsen(x)

)′= (x)′sen(x) + x(sen(x))′ = sen(x) + xcos(x)

f(x) =x

sen(x)f ′(x) =

(x

sen(x)

)′=

(x)′sen(x)− x(sen(x))′

sen2(x)=

sen(x)− xcos(x)

sen2(x)

Exercício 33. Usando as fórmulas para as derivadas de sen(x) e cos(x), obter as derivadasdas funções trigonométricas seguintes.

f(x) = tg(x) =sen(x)

cos(x)

f(x) = ctg(x) =cos(x)

sen(x)

f(x) = sec(x) =1

cos(x)

f(x) = csc(x) =1

sen(x)


Mário Abrantes


2.3 Derivada da função composta

Teorema 14. Sejam f : A → R e g : B → R duas funções, com f(A) ⊂ B e a ∈ A, talque b = f(a) (ver �gura 69). Se existem f ′(a) e g′(b), então g ◦ f : A→ R é derivável emx = a e tem-se

(g ◦ f)′(a) = f ′(a)g′(b) = f ′(a)g′(f(a)

). (3.5)

Se na fórmula (3.5) substituirmos a por um ponto genérico x, obtemos a fórmula

(g ◦ f)′(x) = f ′(x)g′(f(x)

).

A expressão g′(f(x)

)determina-se em dois passos: (i) Calcula-se primeiro g′(x); (ii)

substitui-se nesta expressão a variável x por f(x). Pode indicar-se das formas

(g ◦ f)′(x) = f ′(x)g′(f(x)

)ou

(g ◦ f)′(x) = f ′(x)g′(u)|u=f(x).

Esta fórmula para a derivada da função composta, também se designa por regra da cadeia.

Figura 69

Exercício 34. Sejam f = x2 e g = ex duas funções. Determinar

1. (g ◦ f)(x) 2. (g ◦ f)′(x) 3. (g ◦ f)′(−2).

Resolução

1. (g ◦ f)(x) = g(f(x)

)= g

(x2)

= ex2.

2. (g ◦ f)′(x) = f ′(x)g′(f(x)

)= (x2)′(eu)′|u=x2 = 2xex

2.

3. (g ◦ f)′(−2) = 2(−2)e(−2)2 = −4e4.

Exercício 35. Escrever a fórmula para derivada de sen(x) se x vem em graus.

2.4 Derivada da função inversa

Na �gura 70 está representada uma recta de declive m = 2. Trocando o papel dos eixos doreferencial, i.e., considerando como eixo dos xx o eixo dos yy e como eixo dos yy o eixo dosxx, a mesma recta �ca neste novo referencial com o declive m = 1

2 . Consideremos agora a�gura 71. Observa-se o seguinte.

1. A função f(x) = x2 aí representada é bijectiva no intervalo [0,+∞[.


Mário Abrantes


2. Admite, por isso, uma função inversa, na restrição [0,+∞[ do seu domínio. Po-demos ler do grá�co que, por exemplo, f(2) = 4 e por isso f−1(4) = 2.

3. A recta tangente ao grá�co no ponto de abcissa x = 2, cuja equação é y = 4x−4,tem declive m = 4. Isto signi�ca que f ′(2) = 4.

4. Como o grá�co de f−1 se obtém do grá�co de f trocando os papéis dos eixos doreferencial, podemos a�rmar que o valor da derivada de f−1 no ponto x = 4 ém = 1

4 , i.e., (f−1

)′(4) =

1

f ′(2).

Podemos generalizar este resultado da seguinte forma.

Teorema 15. Seja f uma função invertível numa vizinhança do ponto x = a e derivávelnesse ponto. Então, a derivada da função inversa f−1 no ponto b = f(a) é dada por(

f−1)′

(b) =1

f ′(a).

Figura 70 Figura 71: f(x) = x2, f−1(x) =√x, x ≥ 0.

Exercício 36. Calcular a derivada da função f−1(x), sendo f(x) = ex.ResoluçãoSe x = a é um ponto genérico do domínio de f(x) = ex, então a sua imagem por f é ea.Pelo teorema 15, podemos escrever(

f−1)′

(ea) =1

f ′(a)=

1

ea, (3.6)

uma vez que f ′(x) = (ex)′ = ex. Como a função inversa de f(x) = ex é f−1(x) = ln(x), e(f−1(x)

)′= 1

x , podemos escrever

(ln(x)

)′ ∣∣∣∣x=ea =1

ea,

em concordância com o resultado que �gura na expressão (3.6).


Mário Abrantes

Capítulo 4

Complementos de Derivadas de

Funções Reais de Variável Real.

Aplicações

1 Teoremas relativos a funções deriváveis

O resultado seguinte diz-nos que uma função derivável num ponto é contínua nesse ponto.

Teorema 16. Se existe f ′(a), então f é contínua no ponto x = a.

A a�rmação recíproca deste teorema é falsa, i.e., uma função pode ser contínua num pontoe não ser aí derivável. Por exemplo, a função representada na �gura 72 é contínua no pontox = 1 (porquê?), apesar de não ter derivada neste ponto.

Figura 72

Um função f(x) que é derivável no ponto x = a, não tem aí um ponto anguloso ou umponto cuspidal (procurar na sebenta de Matemática I o signi�cado destas expressões). Ográ�co é representado por uma curva suave (sem `pontas') numa certa vizinhança do pontox = a.

O teorema seguinte permite-nos localizar zeros da função derivada.

Teorema 17. (de Rolle) Seja f uma função contínua no intervalo [a, b], derivável nointervalo (a, b), tal que f(a) = f(b). Então, existe um ponto c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0.

79

80 2. Derivadas de ordem superior

2 Derivadas de ordem superior

Até agora falámos de derivadas de primeira ordem. Dada um função f(x), a sua funçãoderivada representa-se por qualquer uma das formas

f ′(x) oudf(x)

dxou

d

dxf(x)

Exemplo 67.

(x4)′ = 4x3

d

dxx4 = 4x3

d

dxsen(x) = cos(x)

d

dxln(x) =

1

x.

Se derivarmos a derivada f ′(x) de uma função f(x), obtemos a derivada de segunda ordem,ou derivada segunda, de f(x). A função derivada segunda de uma função f(x) representa-sepor qualquer uma das formas

f ′′(x) oud2f(x)

dx2ou

d2

dx2f(x),

sendo que

f ′′(x) =(f ′(x)

)′e

d2

dx2f(x) =

d

dx

(d

dxf(x)

).

Exemplo 68.

d2

dx2x4 =

d

dx(4x3) = 12x2

d2

dx2sen(x) =

d

dxcos(x) = −sen(x)

d2

dx2ln(x) =

d

dx

1

x= − 1

x2

Este conceito de derivação sucessiva estende-se a qualquer ordem de derivação, podendofalar-se de derivada de ordem três, ou terceira derivada, derivada de ordem quatro, ou quartaderivada, · · · , derivada de ordem n, ou derivada n-ésima de uma função f(x). Quando seusa a notação com linhas, f ′, f ′′, · · · , é costume, se a ordem é maior que 3, usar notaçãoromana em vez das linhas, ou colocar entre parênteses curvos a ordem da derivada emnotação árabe.

Exemplo 69.

f iv ou f (4) para a quarta derivada

fv ou f (5) para a quinta derivada

etc.

Da mesma forma que a primeira derivada nos dá informação sobre a variação de f , asegunda derivada f ′′ dá-nos informação sobre a variação de f ′, a terceira derivada dá-nosinformação sobre a variação de f ′′, etc.

Capítulo 4. Complementos de Derivadas de Funções Reais de Variável Real. Aplicações

Mário Abrantes

3. Derivada da função implícita 81

3 Derivada da função implícita

Uma função diz-se representada na forma implícita, se a fórmula que a representa não tema forma de uma equação resolvida em ordem a y, i.e., y = f(x).

Exemplo 70.

y = 3x+ 2 forma explícita da equação de uma recta

y − 3x = 2 uma forma implícita da equação da mesma recta

y − 3x− 2 = 0 outra forma implícita da equação da mesma recta

Exemplo 71.

y = x2 − 3x+ 2 forma explícita de uma função quadrática

2− y = 3x− x2 uma forma explícita da função anterior

Exemplo 72. A equação y2 = 3x− 1 representa implicitamente as duas funções

y = ±√

3x− 1.

A forma implícita geral das funções é F (x, y) = 0 e salienta que o primeiro membro é umaexpressão que envolve a variáveis x e y.

Na prática deparamo-nos com funções na forma implícita, podendo não ser fácil, ou sermesmo impossível, escrevê-las na forma explícita. Apesar disto é possível obter a derivaday′ da função assim representada sem ser necessário obter previamente a sua forma explícita.

Exercício 37. Calcular a derivada y′ da função implícita y − 2x = 3.ResoluçãoSe temos duas funções iguais f(x) = g(x), então os grá�cos também são iguais, pelo queos declives das rectas tangentes são, em cada ponto x = a, os mesmos. Por consequência,as derivadas também são iguais e podemos escrever

f(x) = g(x)⇒ f ′(x) = g′(x).

Como a expressão y−2x = 3 exprime a igualdade das funções y−2x e 3, podemos escrever

(y − 2x)′ = (3)′ ⇒ y′ − 2 = 0⇒ y′ = 2.

O resultado obtido para y′ é o mesmo que se obtém resolvendo previamente a equação emordem a y, do que resulta y = 2x + 3, derivando depois ambos os membros em ordem ax, o que dá y′ = 2. Salienta-se que não foi necessário explicitar a função para obter a suaderivada.

Exercício 38. Obter a equação da recta tangente à circunferência x2 + y2 = 4, no ponto(x, y) = (

√2,√

2) (ver �gura 73).ResoluçãoA circunferência tem centro na origem (0, 0) do referencial e raio igual a 2. Começamospor veri�car que o ponto (x, y) = (

√2,√

2) é um ponto da circunferência, substituindoestas coordenadas na equação e mostrando que a igualdade é veri�cada.

(√

2)2 + (√

2)2 = 4⇔ 2 + 2 = 4.


Mário Abrantes

82 4. Aplicações das derivadas

Para obter a recta procurada, y = mx + b, precisamos de calcular o valor de y′ no ponto(√

2,√

2). Para isso derivamos a função implícita x2 + y2 = 4 para obter y′.

(x2 + y2)′ = (4)′ ⇒ 2x+ 2yy′ = 0⇒ y′ = −xy.

O valor de y′ no ponto (x, y) = (√

2,√

2) é −√

2√2

= −1. Ficamos a saber que a equaçãoda recta tangente é y = −x + b. Resta-nos calcular o valor de b. Como a recta contém oponto (x, y) = (

√2,√

2), temos√

2 = −√

2 + b⇔ b = 2√

2.

A equação da recta tangente procurada é y = −x+ 2√

2.

Figura 73 Figura 74

Exercício 39. Obter a equação da recta tangente ao grá�co que representa a equaçãoy2 = x4, no ponto (x, y) = (−1,−1) (ver �gura 74).ResoluçãoA equação y2 = x4 representa duas funções, y = ±x2. O ponto (x, y) = (−1,−1) per-tence ao grá�co da função y = −x2(veri�car). Vamos obter as derivadas das funçõesrepresentadas implicitamente por esta equação.

(y2)′ = (x4)′ ⇒ 2yy′ = 4x3 ⇒ y′ =2x3

y.

Para obter a recta procurada, y = mx + b, precisamos de calcular o valor de y′ no ponto(x, y) = (−1,−1).

m =2(−1)3

−1= 2.

Ficamos a saber que a equação da recta tangente é y = 2x+ b. Resta-nos calcular o valorde b. Como a recta contém o ponto (x, y) = (−1,−1), temos

−1 = −2 + b⇔ b = 1.

A equação da recta tangente procurada é y = 2x+ 1.

4 Aplicações das derivadas

4.1 Limite do quociente - regra de L'Hôpital

O resultado seguinte, conhecido por regra de l'Hôpital 1, permite resolver certos limitesde quocientes, lim

x→af(x)g(x) , em que ou lim

x→af(x) = 0 e lim

x→ag(x) = 0, ou lim

x→af(x) = ∞ e

1Do matemático francês Guillaume François Antoine, que deteve, de entre outros, o título nobiliárquicode marquês de L'Hôpital.


Mário Abrantes

4. Aplicações das derivadas 83

limx→a

g(x) =∞.

Proposição 18. Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, excepto, possi-velmente, num ponto a ∈ I. Suponhamos que g′(x) 6= 0, para todo o x 6= a no intervalo I.Vale o seguinte.

1. Se limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0 e limx→a

f ′(x)g′(x) = L (podendo ser L ∈ R ou L = ±∞),

então

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)= L.

2. Se limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = ∞ e limx→a

f ′(x)g′(x) = L (podendo ser L ∈ R ou L = ±∞),

então

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)= L.

A intenção desta proposição é trocar o cálculo de lim f(x)g(x) pelo cálculo de limf ′(x)

g′(x) , esperandoque o segundo seja mais simples que o primeiro.

Exemplo 73.

1. Sejam f(x) = x e g(x) = ex − 1. Suponha-se que queremos calcular limx→0

xex−1 .

Temos limx→0

f(x) = 0 = limx→0

g(x). As funções f, g são ambas deriváveis em R, logosão deriváveis em qualquer intervalo aberto contendo o ponto x = 0. Além disto,g′(x) = (ex−1)′ = ex é não nula em R, logo é não nula numa vizinhança do pontox = 0. Podemos aplicar a regra de L'Hôpital.

limx→0

x

ex − 1= lim

x→0

(x)′

(ex − 1)′= lim

x→0

1

ex= 1.

2. A regra pode ser aplicada sucessivas vezes. Consideremos o limite

limx→2

(x− 2)2

−ex−2 + x− 1,

sendo limx→2

(x − 2)2 = 0 e limx→2

(−ex−2 + x − 1) = 0. Usemos a regra de L'Hôpital

para o calcular.

limx→2

(x− 2)2

−ex−2 + x− 1= lim

x→2

((x− 2)2

)′(−ex−2 + x− 1

)′ = limx→2

2(x− 2)

−ex−2 + 1.

Note-se que continuamos a ter um esquema de limites do tipo 00 . Aplicando mais

uma vez a regra, temos

limx→2

2(x− 2)

−ex−2 + 1= lim

x→2

(2(x− 2)

)′(−ex−2 + 1

)′ = limx→2

2

−ex−2=

2

−1= −2.

3. A regra de L'Hôpital enunciada na proposição 18, pode ser estendida ao caso emque o ponto limite a é ±∞. Suponha-se, por exemplo, que queremos calcular


Mário Abrantes


limx→+∞

xln(x) .Temos lim

x→+∞x = lim

x→+∞ln(x) = +∞, o que con�gura um esquema de

limites do tipo ∞∞ . Apliquemos a regra de L'Hôpital.

limx→+∞

x

ln(x)= lim

x→+∞

(x)′

(ln(x))′= lim

x→+∞

11x

= limx→+∞

x = +∞.

Podemos concluir que, quando x → +∞, a função x vai crescendo `mais rapida-mente' que a função ln(x), a ponto de a sequência dos resultados das divisões dosvalores que as funções assumem, à medida que x cresce, `tender' para in�nito.

4.2 Estudo do grá�co de uma função

A derivada é uma ferramenta muito útil para o estudo do grá�co de uma função num dadointervalo do seu domínio.

4.2.1 Intervalos de monotonia, pontos críticos

Extremos de uma função. Consideremos a �gura 75.

Figura 75

O ponto x = c do domínio de f(x)diz-se ponto de máximo relativo oudemáximo local da função, porqueexiste uma vizinhança do ponto,]c−ε, c+ε[, tal que em nenhum dosseus pontos a função assume umvalor maior que f(c). Diz-se quea função tem um máximo local oumáximo relativo no ponto c. Porconsiderações do mesmo tipo, ospontos b e d dizem-se pontos demínimo relativo ou de mínimo local de f(x), assumindo a função um mínimo local oumínimo relativo em cada um desses pontos. O valor de uma função f(x) num ponto u doseu domínio diz-se um máximo absoluto da função, se em nenhum outro ponto do domínioa função assume um valor superior a f(u). O valor de uma função f(x) num ponto v doseu domínio diz-se um mínimo absoluto da função, se em nenhum outro ponto do domínioa função assume um valor inferior a f(v). Os valores que uma função assume em pontosde máximo/mínimo, absolutos ou relativos, dizem-se extremos da função. O ponto x = fna �gura, não é um ponto de extremo da função porque não pertence ao domínio de f(x).

Exemplo 74.

• Seja g(x) a restrição da função f(x) ao intervalo [a, e] (�gura 75). O ponto e éum ponto de máximo absoluto de g, sendo os pontos a e c pontos de máximorelativo. O ponto d é um ponto de mínimo absoluto de g, sendo b um ponto demínimo relativo. f(e) é o máximo absoluto de g(x) e f(d) o seu mínimo absoluto.f(a), f(c) são máximos relativos de g, sendo f(b), f(d) mínimos relativos.

• Todos os pontos do domínio da função f(x) = 2 são pontos de máximo/mínimorelativos e máximo/mínimo absolutos. Porquê?

Dada a formula f(x) de uma função, estamos interessados em determinar os pontos deextremo de f(x) usando processos analíticos, ou seja, fazendo cálculos. Podemos usar umacalculadora grá�ca para, inspeccionando o grá�co, obtermos aproximações para as abcissasdestes pontos. Mas a calculadora grá�ca não permite, em geral, conhecer estes valores coma precisão fornecida por métodos analíticos.


Mário Abrantes


Exemplo 75. Usar a calculadora grá�ca para obter o grá�co da função (x−1000)(x−0.5).Consegue-se visualizar o grá�co de modo a identi�car o ponto de mínimo absoluto da funçãoou os pontos onde esta se anula?

Observando a �gura 75, veri�camos que os pontos de extremo, b, cd, e, são pontos em que:

- A derivada da função, f ′(x), é nula (caso dos pontos b e c);

- A derivada da função, f ′(x), não existe, i.e., não se pode calcular (caso dos pontosd e e).

Vale a seguinte de�nição.

Um ponto x0 do domínio de uma função f(x) designa-se por

ponto crítico da função, se f ′(x0) = 0, ou se f ′(x0) não

está definido.

Exemplo 76. Calcular os pontos críticos da função f(x) = x2+1x+1 .

Resolução

• Começamos por determinar f ′(x).

f ′(x) =(x2 + 1)′(x+ 1)− (x2 + 1)(x+ 1)′

(x+ 1)2=

2x(x+ 1)− (x2 + 1)

(x+ 1)2=x2 + 2x− 1

(x+ 1)2.

• Agora determinamos os pontos do domínio de f tais que f ′(x) = 0. Recordemosque um cociente A

B é igual a zero quando A = 0 e B 6= 0 (porquê?).

f ′(x) = 0 ⇔ x2 + 2x− 1

(x+ 1)2= 0 ⇔ x2 + 2x− 1 = 0 ∧ (x+ 1)2 6= 0.

x2 + 2x− 1 = 0 ⇔ x = −1 +√

2 ∨ x = −1−√

2 e (x+ 1)2 6= 0 ⇒ x 6= −1

Anotamos que a derivada se anula em dois pontos do domínio de f(x): x =−1±

√2.

• Por �m, determinamos os pontos do domínio de f em que não existe f ′(x). Re-cordemos que um cociente A

B não se pode determinar se (i) Uma das expressões A,B, não se pode calcular, ou se (ii) B = 0. No caso da expressão de f ′(x), ambasas partes do cociente, x2 +2x−1 e (x+1)2, se podem calcular para qualquer valorde x. Restam os casos em que (x+ 1)2 = 0. Mas o valor x = −1 que veri�ca estaigualdade não pertence ao domínio de f(x), logo não é ponto crítico da função.

• Conclusão: a função tem dois pontos críticos, x = −1±√

2.

Uma vez calculados os pontos críticos, queremos saber em quais deles a função tem extre-mos. É o que vamos ver de seguida.

Estudo dos pontos críticos. Intervalos de monotonia de uma função. Em termosgerais, uma função f(x) muda de sinal num ponto x0 do seu domínio, i.e., assume um certosinal `à esquerda' do ponto, e o sinal oposto `à direita do ponto', em pontos em que (i)f(x) é nula (ponto a da �gura 76), ou (ii) f(x) é descontínua (ponto b da �gura 76).


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Figura 76

O sinal da função é o mesmo para todos os pontos do seudomínio situados entre cada par de pontos de mudançade sinal. No caso da derivada f ′(x) de uma função f(x),o seu sinal é o mesmo para qualquer ponto do seu do-mínio situado entre dois pontos críticos consecutivos,podendo f ′(x) ser nula em algum desses intervalos (sig-ni�cando que a função f(x) é aí constante). O intervalo]a, b[ de�nido por dois pontos críticos consecutivos a, bde uma função, designa-se por intervalo de monotoniada função. Vale o seguinte.

O comportamento de f ′(x) num intervalo de monotonia é um

dos três seguintes: (i) f ′(x) é nula em todos os pontos

do intervalo; (ii) f ′(x) é positiva em todos os pontos do

intervalo; (iii) f ′(x) é negativa em todos os pontos do

intervalo.

Num intervalo de monotonia, a função f(x) é (i)

crescente, se f ′(x) > 0; (ii) decrescente, se f ′(x) < 0;(iii) constante, se f ′(x) = 0.

Exercício 40. Indicar os intervalos de monotonia da função representada na �gura 75,pg. 84.

Exercício 41. Estudar o comportamento da função do exemplo 76, pg. 85, indicando osintervalos de monotonia, os pontos de extremos e os valores extremos da função.Resolução (ver tabela 4.1)

• Os dois pontos críticos x = −1±√

2 de�nem sobre a recta real os três intervalosde monotonia, ]−∞,−1−

√2[ , ]− 1−

√2,−1 +

√2[ e ]− 1 +

√2,+∞[ (ver a

primeira linha da tabela). Notar que x = −1−√

2 ≈ −2.41 e x = −1+√

2 ≈ 0.41.

• Dentro de cada intervalo de monotonia, o sinal de f ′(x) é o mesmo para todos ospontos, ou então f ′(x) = 0. Determinamos qual o caso do intervalo em análise,calculando o sinal da derivada num ponto qualquer que lhe pertença.

− 3 ∈ ]−∞,−1−√

2[ f ′(−3) =(−3)2 + 2(−3)− 1

(−3 + 1)2= 0.5 > 0

0 ∈ ]− 1−√

2,−1 +√

2[ f ′(0) =02 + 2× 0− 1

(+1)2= −1 < 0

0.5 ∈ ]− 1 +√

2,+∞[ f ′(0.5) =(0.5)2 + 2(0.5)− 1

(0.5 + 1)2≈ 0.1 > 0

Estes valores para o sinal de f ′(x) estão marcados na segunda linha da tabela.

• A variação de f(x) em cada intervalo está marcada na terceira linha da tabela: osímbolo ↗ signi�ca que a função é crescente no intervalo; o símbolo ↘ signi�caque a função é decrescente no intervalo. A função não é constante em nenhum dosintervalos. Estão também indicados os valores que a função assume nos pontoscríticos.

• Como a função é crescente à esquerda do ponto −1 −√

2, é decrescente à suadireita e está de�nida no ponto, então ela atinge aí um máximo local, que é


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de aproximadamente −4.83. Como a função é decrescente à esquerda do ponto−1 +

√2, crescente à sua direita, e está de�nida no ponto, então ela atinge aí um

mínimo local, que é de aproximadamente 0.83. Os extremos locais de f(x) sãopois, aproximadamente, −4.83 e 0.83.

Tabela 4.1

−∞ −1−√

2 −1 +√

2 +∞sinal de f ′ + | − | +

variação de f ↗ ≈ −4.83 ↘ ≈ 0.83 ↗M m

O teorema seguinte é um critério para determinar a natureza de um ponto crítico c tal quef ′(c) = 0, usando o valor da segunda derivada da função no ponto.

Teorema 19. Seja f uma função derivável no intervalo (a, b) e c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.Se f admite derivada de segunda ordem f ′′ em (a, b), então:

• se f ′′(c) > 0, c é ponto de mínimo relativo de f ;

• se f ′′(c) < 0, c é ponto de máximo relativo de f .

Exemplo 77. A derivada segunda da função do exemplo 76 é

f ′′(x) =

(x2 + 1

x+ 1

)′′=

4

(x+ 1)3(veri�car!).

Calculando o valor da derivada segunda nos pontos críticos de derivada nula −1 ±√

2,obtemos,

f ′′(−1−√

2) =4

(−1−√

2 + 1)3≈ −1.41 < 0 mínimo local

f ′′(−1 +√

2) =4

(−1 +√

2 + 1)3≈ 1.41 > 0 máximo local.

4.2.2 Concavidades e pontos de in�exão

Se o grá�co de uma função tem as formas mostradas nas �guras 77 e 78, dizemos que tema concavidade voltada para cima, no caso da �gura 77, e que tem a concavidade voltadapara baixo, no caso da �gura 78. A orientação da concavidade está relacionada com osvalores da derivada segunda, e constitui informação relevante para se perceber o grá�co dafunção.

Figura 77 Figura 78

Vale o seguinte resultado.


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Teorema 20. Seja f uma função que admite segunda derivada f ′′ no intervalo (a, b).

1. Se f ′′(x) < 0 no intervalo (a, b), então o grá�co da função f tem a concavidadevoltada para baixo nesse intervalo.

2. Se f ′′(x) > 0 no intervalo (a, b), então o grá�co da função f tem a concavidadevoltada para cima nesse intervalo.

Exemplo 78. Seja f(x) = x3. A segunda derivada de f é f ′′(x) = (3x2)′ = 6x. f ′′

é negativa para valores de x menores que zero e positiva para valores de x maiores quezero (porquê?). Pelo teorema 20 o grá�co de f tem a concavidade voltada para baixo nointervalo (−∞, 0) e voltada para cima no intervalo (0,+∞) (fazer um esboço do grá�co dafunção f(x) = x3).

Para conhecermos os intervalos em que o grá�co de uma função tem a orientação deconcavidade constante, precisamos de determinar os seguintes pontos:

(a) Os pontos em que f ′′ se anula. Alguns destes pontos podem ser pontos de in�exão.Um ponto c diz-se ponto de in�exão do grá�co de uma função, se f ′′(c) = 0 e seo sinal de f ′′ é diferente 'antes' e 'depois' do ponto (ver �gura 79).

(b) Os pontos em que f ′′ não existe.

Figura 79

Exercício 42.

1. A função y = x3 tem um ponto de in�exão em x = 0, uma vez que a segundaderivada y′′ = 6x é aí nula e o sinal de y′′ muda de negativo para positivo noponto.

2. A função y = x4 tem a segunda derivada y′′ = 12x2 nula no ponto x = 0, mas osinal de y′′ não muda neste ponto. Então x = 0 não é ponto de in�exão da função(fazer um esboço do grá�co da função).

3. A segunda derivada da função y = x23 não existe no ponto x = 0, uma vez que

y′′ = −29x− 4

3 não se encontra de�nida neste ponto (porquê?). No entanto estenão é um ponto em que a orientação da concavidade do grá�co mude (ver �gura80).


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Figura 80

Exemplo 79. Considerar a funcão no exemplo 76, pg. 85. Determinar os intervalos emque a orientação da concavidade do grá�co da função é constante.ResoluçãoA segunda derivada da função é

f ′′(x) =4

(x+ 1)3.

Não existem pontos tais que f ′′(x) = 0 (porquê?). Logo, os únicos pontos em que aorientação da concavidade pode mudar, são aqueles onde não está de�nida f ′′(x). Aderivada segunda não está de�nida apenas no ponto x = −1. A orientação da concavidadeé uma só no intervalo ]−∞,−1[ e uma só no intervalo ]− 1,+∞[. Vamos veri�car se é amesma nos dois intervalos, ou se é diferente. Para isso determinamos os sinais respectivosde f ′′, escolhendo um ponto qualquer para cada um destes intervalos.

− 2 ∈ ]−∞,−1[ f ′′(−2) =4

(−2 + 1)3= −4 < 0 concavidade voltada para baixo

0 ∈ ]− 1,+∞[ f ′′(0) =4

(0 + 1)3= 4 > 0 concavidade voltada para cima

O ponto x = −1 é um ponto em que a orientação da concavidade muda. Podemos usar ainformação sobre concavidades para obter uma versão mais completa da tabela 4.1 � vertabela 4.2.

Tabela 4.2

−∞ −1−√

2 −1 −1 +√

2 +∞sinal de f ′ | + | − | − | + |

variação de f | ↗ −4.83 ↘ − ↘ 0.83 ↗ |sinal de f ′′ | − | − | + | + |

concavidades de f | ∩ | ∩ | ∪ | ∪ |M m

4.2.3 Assíntotas

Uma assíntota do grá�co de uma função f é uma recta com a qual o grá�co da função se`confunde' numa situação limite. As assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.

• Uma assíntota horizontal é uma recta da forma y = b, tal que limx→+∞

f(x) = b ou

limx→−∞

f(x) = b (ver �gura 81).


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• Uma assíntota vertical é uma recta da forma x = a, tal que limx→a−

f(x) = ∞ ou

limx→a+

f(x) =∞ (ver �gura 82).

• Uma assíntota oblíqua é uma recta da forma y = mx + b, com m 6= 0, tal quelim

x→+∞f(x) = mx+ b ou lim

x→−∞f(x) = mx+ b (ver �gura 82).

Figura 81: limx→+∞

f(x) = b

Figura 82: limx→a−

f(x) = +∞; limx→+∞

f(x) = mx+ b

Exemplo 80.

1. A função y = ex tem a assíntota horizontal y = 0, uma vez que limx→−∞

ex = 0.

2. A função y = ln(x) tem a assíntota vertical x = 0, uma vez que limx→0+

ln(x) = −∞(esboçar o grá�co da função para con�rmar esta a�rmação).

3. Vamos determinar as assíntotas oblíquas da função x2+2x−1x . Procuramos a equa-

ção de uma recta na forma y = mx+ b. Começamos por calcular m.

Por ser limx→∞

(f(x)− (mx+ b)

)= 0, temos

limx→∞

(f(x)

x− mx+ b

x

)= 0 ⇔ lim

x→∞

(f(x)

x−m− b

x

)= 0 ⇔

limx→∞

(f(x)

x−m

)= 0

e podemos escrever limx→∞

f(x)

x= m

Usando esta relação com a função dada, temos

m = limx→∞

f(x)

x= lim

x→∞

x2 + 2x− 1

x2= lim

x→∞

(1 +

2

x− 1

x2

)= 1.

A assíntota oblíqua que procuramos é da forma y = x + b. Usamos a fórmulalim

x→−∞

(f(x)− (mx+ b)

)= 0 para calcular b.

b = limx→∞

(f(x)−mx) = limx→∞

(x2 + 2x− 1

x− x

)

= limx→∞

(x2 + 2x− 1− x2

x

)= lim

x→∞

(2x− 1

x

)= 2.

A assíntota oblíqua obtida é y = x + 2 (utilizar uma calculadora grá�ca paracon�rmar que a função tem esta assíntota oblíqua).


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Exercício 43. Determinar as assíntotas da função no exemplo 76, pg. 85.Resolução

1. Assíntotas horizontais. Procuramos uma equação da forma y = b.

limx→∞

f(x) = limx→∞

x2 + 1

x+ 1=∞.

A função não tem assíntotas horizontais.

2. Assíntotas verticais. Procuramos uma equação da forma x = a. Como a funçãoé da forma A

B e A e B são polinómios, procuramos valores de x para os quais setenha B = x+ 1 = 0. O único valor para o qual isto se veri�ca é x = −1.

limx→−1−

x2 + 1

x+ 1= −∞, lim

x→−1+

x2 + 1

x+ 1= +∞.

A função tem uma assíntota vertical: x = −1.

3. Assíntotas oblíquas. Procuramos uma equação da forma y = mx + b. Vamoscalcular m.

m = limx→∞

f(x)

x= lim

x→∞

x2 + 1

x2 + x= lim

x→∞

1 + 1/x2

1 + 1/x= 1

Como m 6=∞ a função tem assíntotas oblíquas. Por ser o valor do limite igual a1, quer x tenda para +∞ ou para −∞, então existe apenas uma assíntota oblíqua,y = x+ b. Vamos calcular o parâmero b.

b = limx→∞

(f(x)−mx) = limx→∞

(x2 + 1

x+ 1− x

)

= limx→∞

x2 + 1− x2 − xx+ 1

= limx→∞

1− xx+ 1

= −1

A função tem uma assíntota oblíqua: y = x− 1.

A informação sobre as assíntotas da função e os dados na tabela 4.2, são su�cientes parafazer o esboço do grá�co da função, que está na �gura 83.

Figura 83


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4.3 Problemas de optimização

Consideremos o seguinte problema.

Exercício 44. De todos os triângulos rectângulos cuja medida da hipotenusa é igual a 8,quais os que têm maior área?

Na �gura 84 estão representados triângulos rectângulos cuja hipotenusa tem medida 8.Podemos suspeitar que não têm áreas iguais. Queremos encontrar aqueles que têm áreamáxima. A área de um triângulo de base b e altura h é dada por (�gura 85)

A =bh

2.

Encontrar os triângulos rectângulos de área máxima, consiste em determinar os valores deb, h para os quais A é máxima.

Figura 84

Figura 85

Para tal podemos escrever A em função apenas de uma das variáveis b, h usando a relaçãob2 + h2 = 82 (teorema de Pitágoras). Por ser

b =√

82 − h2,

temos

A =bh

2⇔ A =

√82 − h2h

2.

Para calcular os máximos de A derivamos a função em ordem a h.

A′ =

(√82 − h2h

2

)′=

1

2

(√82 − h2h

)′=

1

2

((√

82 − h2)′h+√

82 − h2)

=1

2

(− 2h

2√

82 − h2h+

√82 − h2

)=

1

2

(− h2

√82 − h2

+√

82 − h2

).

Podemos agora determinar os pontos críticos, i.e., os valores de h no domínio de A paraos quais A′(h) é nula ou não é de�nida.

A′ = 0⇔ 1

2

(− h2

√82 − h2

+√

82 − h2

)= 0

⇔ − h2

√82 − h2

+√

82 − h2 = 0⇔ h2

√82 − h2

=√

82 − h2 ⇔ h2 = 82 − h2

⇔ h2 = 32⇔ h = ±√

32

Como h representa um comprimento, tomamos o ponto crítico h =√

32. Veri�camos tam-bém que a derivada A′(h) não existe se h = ±8 (não interessa considerar A(h) para valores


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de h menores que 0 ou maiores que 8 (porquê?). Sabemos agora que a variação de A(h)é do mesmo tipo nos pontos do intervalo ] − 8,

√32[ e nos pontos do intervalo ]

√32, 8[.

Como 0 ∈]− 8,√

32[ e A′(0) > 0, e também 6 ∈]√

32, 8[ e A′(6) < 0, sabemos que a funçãocresce no intervalo à esquerda de h =

√32 e decresce no intervalo à direita de h =

√32, o

que faz deste ponto um ponto de máximo absoluto da função A(h). Podemos concluir quea área dos triângulos rectângulos cuja hipótenusa tem medida 8 é máxima quando a sua

altura h é igual a√

32 e a sua base b é igual a√

82 − (√

32)2 =√

32.

Um problema do tipo do que acabámos de resolver designa-se por problema de optimi-zação. Os problemas de optimização costumam ter os seguintes dados: (i) uma funçãoque se quer optimizar (i.e., minimizar ou maximizar), dita função objectivo do problema� no problema acima, a função objectivo é a função área A; (ii) um conjunto de relaçõesauxiliares que envolvem as variáveis da função objectivo, ditas restrições do problema � oproblema acima tem uma só restrição, que é 82 = b2 +h2. No problema acima a optimiza-ção consistiu em maximizar a função objectivo (calcular valores máximos). No problemaseguinte, a optimização consiste em minimizar a função objectivo (calcular valores míni-mos).

Exercício 45. O produto xy de dois números inteiros positivos é igual a 60. Determinarx e y de modo que a sua soma S = x+ y seja mínima.ResoluçãoPretendemos minimizar a função S = x + y. Esta é a função objectivo do problema. Éfácil veri�carmos que a soma de dois números inteiros positivos cujo produto é 60 dependedos números escolhidos. Por exemplo,

para x = 1, y = 60 temos S = 1 + 60 = 61;

para x = 2, y = 30 temos S = 2 + 30 = 32;

para x = 15, y = 4 temos S = 15 + 4 = 19.

A restrição é a relação xy = 60 que envolve as variáveis x e y da função objectivo. Podemosescrever x = 60

y , �cando a função objectivo na foma S = y + 60y (ver �gura 86). Vamos

minimizar S. Para tal começamos por determinar S′.

S′ =

(y +

60

y

)′= 1− 60

y2.

De seguida determinamos os pontos críticos de S. Veri�camos que

S′ = 0 ⇔ 1− 60

y2= 0 ⇔ y2 = 60 ⇔ y = ±

√60.

Como y é positivo, temos y =√

60. Veri�camos também que S′ não é de�nida se y = 0.Com esta informação, podemos a�rmar que o sinal de S′ é o mesmo em todos os pontosdo intervalo ]0,

√60[ e nos pontos do intervalo ]

√60, 60[ da variável y, sendo S′ negativa

no primeiro intervalo e positiva no segundo. O ponto y =√

60 é pois um ponto de mínimolocal (mínimo absoluto, se considerarmos apenas valores positivos de y � ver �gura 86. Emconclusão, podemos a�rmar que o par de números positivos x, y , cujo produto é igual a60 e a soma é mínima, é dado por y =

√60 e x = 60/y = 60/

√60 =

√60.


Mário Abrantes


Figura 86: S = y + 60y

A natureza dos problemas enunciados nos exercícios 44 e 45 não é alterada se trocarmos asletras b e h, no exercício 44, e as letras x e y, no exercício 45. É esta simetria relativamenteàs variáveis envolvidas que justi�ca que seja b = h, na solução do problema 44, e x = y, nasolução do problema 45. Esta simetria não acontece entre as variáveis envolvidas na funçãoobjectivo do problema seguinte, que envolve um cilíndro de volume V = πr2h, sendo afunção objectivo A = 2πr2 + 2πrh.

Exercício 46. Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica com tampa, de volume V ,de forma que a área da sua superfície exterior seja mínima.


Mário Abrantes

Capítulo 5

Integrais de funções reais de variável

real

1 Áreas de regiões planas

A área de uma região plana é um número não negativo associado ao tamanho da região. So-bre as áreas das regiões A e B na �gura 87, dizemos que A tem uma área superior a B. Mascomo se atribui um valor de área a uma dada região plana?

Figura 87

Para o fazer precisamos de ter um região de referência,cuja área tenha valor igual a 1, com a qual comparamosa região que queremos avaliar. A região de referência éum quadrado cujo lado mede 1 unidade de comprimento(ver �gura 88). Se a unidade de comprimento for o metro,então de�ne-se a área do quadrado como sendo de 1 metroquadrado (1m2); se a unidade de comprimento for o centí-metro, então de�ne-se a área do quadrado como sendo de 1centímetro quadrado (1cm2), etc. Uma vez de�nida destaforma uma unidade para a área, torna-se fácil veri�carmosque a área de um rectângulo de lados b e h é dada por bh,e que a área de um triângulo rectângulo de catetos b e h é igual a bh/2 (cf. �gura 89).

Figura 88: Área = bh = 6.Figura 89: Área = bh/2 = 3.

Podemos também veri�car que bh/2 é a área de qualquer triângulo cujas altura e basetenham medidas respectivamente h e b. Observando a �gura 90, podemos determinar aárea do triângulo ACE subtraindo à área do rectângulo ABDE, de lados b e h, a somadas áreas dos triângulos rectângulos ABC e CDE.

95

96 1. Áreas de regiões planas

Figura 90

Área ACE = Área ABDE −(Área ABC + Área CDE

)= bh−

(h(b− x)

2+xh

2

)= bh− bh

2=bh

2

1.1 Cálculo aproximado de áreas

Figura 91

Consideremos o problema de determinar a área de uma re-gião plana de�nida pela representação do grá�co de umafunção f(x) e o eixo dos xx, no intervalo [a, b]. Comoexemplo, tomemos região de�nida pela função f(x) =ln(x) e o eixo das abcissas, no intervalo [1, 3] (�gura 91).Seja A a área dessa região. Podemos obter uma aproxi-mação desta área determinando um minorante m e ummajorante M para o valor de A. Um majorante podeobter-se somando as áreas dos dois rectângulos marcadosna �gura 92. Como os rectângulos têm alturas ln(3) eln(2), e têm ambos largura 1, a soma dos valores das suasáreas é ln(2) + ln(3) ≈ 1.80.

Figura 92 Figura 93

Um majorante melhor, M , pode obter-se usando mais rectângulos, como mostra a �gura93,

M = 0.5(ln(1.5) + ln(2) + ln(2.5) + ln(3)) ≈ 1.56.

Por um procedimento semelhante, podemos obter um minorante, m, para o valor da área,somando as áreas dos três rectângulos da �gura 94.

Capítulo 5. Integrais de funções reais de variável real

Mário Abrantes

1. Áreas de regiões planas 97

Figura 94

Obtemos m = (ln(2) + ln(2.5) + ln(3))0.5 ≈ 1.35. Podemosescrever 1.35 ≤ A ≤ 1.56.Esta estimativa pode também ser me-lhorada usando mais rectângulos para calcular m e M .

1.2 Aplicação do cálculo de áreas: con-sumo de energia eléctrica

A �gura 95 representa uma placa com as características eléctricasde um certo dispositivo. Entre essas características podemos lero valor da potência eléctrica, 1200W . O `W ' signi�ca Watt, queé a unidade de potência eléctrica. Uma vez ligado este dispositivoà corrente, a empresa que fornece energia contabiliza o consumoatendendo a dois factores: a potência do aparelho, emWatt, e o tempo que este �ca ligado,em hora. A unidade de energia correspondente é o Watt.hora.

Figura 95

Figura 96

Assim, se o dispositivo estiver ligado 1h, o consumo é de 1200Wh, que se lê 1200 Watt-hora, ou 1.2kWh, que se lê 1.2 kiloWatt-hora. Se o dispositivo estiver ligado 2h, o consumoenergético é (potência × tempo) = 1200 × 2 = 2400Wh = 2.4kWh. O custo da energiaconsumida é calculado multiplicando o valor da energia consumida pelo preço do kWh,que em 2017 ronda os 0.15e.

Exercício 47. Numa habitação são ligados os seguintes dispositivos eléctricos:

• uma lâmpada de 100W e um aquecedor de 1200W , das 19h às 21h;

• apenas o aquecedor de 1200W , das 21h às 24h;

• apenas a lâmpada de 100W , das 24h à 01h.

Sabendo que o preço do kWh (`quiloWatt-hora') é 0.15e, qual a despesa tida no consumode energia eléctrica das 19h às 01h?ResoluçãoA �gura 96 contém um grá�co que representa a potência solicitada à rede eléctrica emfunção do tempo. Fazendo uso desta informação, obtemos os seguintes valores para aenergia consumida.

das 19h às 21h: lâmpada de 100W+ aquecedor de 1200W

Energia = (100 + 1200)W × 2h = 2600Wh

das 21h às 24h: aquecedor de 1200W

Energia = 1200W × 3h = 3600Wh

das 24h à 01h: lâmpada de 100W

Energia = 100W × 1h = 100Wh


Mário Abrantes

98 1. Áreas de regiões planas

Notar que a energia calculada, por envolver o produto da potência eléctrica pelo tempo,corresponde à soma das áreas dos rectângulos na �gura. A energia total consumida é de2600 + 3600 + 100 = 6300Wh ou 6.3kWh, cujo custo é igual a 6.3kWh× 0.15e≈ 0.95e.

1.3 Função área

Seja A(x) a função que determina a área da região do plano de�nida pelo grá�co de umafunção f(x) e o eixo dos xx, no intervalo [0, x] (�gura 97), sendo x variável e f(x) contínuano intervalo [0, x].

Vamos mostrar que a relação entre a função área A(x) e a função f(x) é A′(x) = f(x), i.e.

A′(x) = lim∆x→0

A(x+ ∆x)−A(x)

∆x= f(x). (5.1)

Figura 97 Figura 98

Consideremos a região correspondente ao intervalo [a, a + ∆x], sombreada na �gura 98.Se o valor de ∆x for su�ciente pequeno, o grá�co de f(x) pode considerar-se linear nesteintervalo, o que nos permite aproximar, em termos do valor da área, a região sombreadana �gura 98 pelo trapézio na �gura 99.

Figura 99

A área do trapézio é aproximadamente A(a + ∆x) − A(a), eobtém-se somando as áreas do triângulo e do rectângulo na �gura99.

A(a+ ∆x)−A(a) ≈ Área do trapézio

= Área do triângulo + Área do rectângulo

= ∆xf(a+ ∆x)− f(a)

2+ ∆xf(a)

= ∆xf(a+ ∆x) + f(a)

2.

Substituindo este valor aproximado para A(a + ∆x) − A(a) nafórmula 5.1, temos

A′(a) = lim∆x→0

A(a+ ∆x)−A(a)

∆x

= lim∆x→0

∆x(f(a+ ∆x) + f(a))

2∆x

= lim∆x→0

f(a+ ∆x) + f(a)

2=

2f(a)

2= f(a).


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1. Áreas de regiões planas 99

Veri�cámos que A′(a) = f(a). Como a é um ponto qualquer noqual f(x) é contínua, podemos escrever A′(x) = f(x) para qualquer ponto x, sendo f(x)contínua no intervalo [0, x].

Exemplo 81. Seja f(x) = 2x (�gura 100). Queremos determinar a função A(x) que nosdá a área da região de�nida pelo grá�co de f(x) e o eixo das abcissas, no intervalo [0, x].Sabemos que A′(x) = f(x). Usando apenas esta condição, qualquer uma das três funçõesseguintes é candidata a ser A(x).

A(x) = x2

A(x) = x2 − 2

A(x) = x2 + π

De um modo geral, toda a função da forma x2 +C, sendo C uma constante real qualquer,é candidata ser a função A(x). Vamos veri�car que apenas uma destas funções nos inte-ressa. Para tal, usamos mais uma condição, para além de A′(x) = f(x), que é A(0) = 0. Avalidade desta condição é imediata, sabendo que A(0) representa a área da região corres-pondente ao intervalo [0, 0], ou seja, a área de uma região de área nula. Usando a igualdadeA(0) = 0, determinamos o valor do parâmetro C, na expressão x2 + C,

A(0) = 0⇔ 02 + C = 0⇔ C = 0.

A função pretendida é pois A(x) = x2.

Vamos testar esta função, calculando A(3). Este valor representa a área do triângulocuja base tem medida 3, sendo a sua altura f(3) = 2 × 3 = 6 (ver a �gura 100). A áreadeste triângulo é igual a 9, o que con�rma o valor A(3) = 32 = 9.

Figura 100Figura 101

Exemplo 82. Seja f(x) = x2 (�gura 101). Queremos determinar a fórmula da funçãoA(x) que nos dá a área da região de�nida pelo grá�co da função e o eixo das abcissas, nointervalo [1, x]. Sabemos que A′(x) = f(x), i.e., A′(x) = x2. Analogamente ao exercícioanterior, podemos escrever A(x) = x3

3 + C, com C ∈ R. Para determinar o valor de C

usamos a condição A(1) = 0, de que resulta 13

3 + C = 0 ⇔ C = −13

3 e A(x) = x3

3 −13 .

Usando esta última expressão podemos escrever A(3)−A(1) = 33

3 −13 = 26

3 .


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100 2. Função primitiva. Integral indefinido de uma função

2 Função primitiva. Integral inde�nido de uma fun-ção

Nos exemplos 81 e 82, dada uma função f(x), foi necessário calcular uma outra função,A(x), sendo A′(x) = f(x). Vale a seguinte de�nição.

Dada uma função f(x), diz-se função primitiva de f(x) no

intervalo [a, b], toda a função F (x) tal que F ′(x) = f(x)para todo x ∈ [a, b].

Exemplo 83. Seja f(x) = 1x . As funções F1(x) = ln |x| e F2(x) = ln |x| − 3 são ambas

funções primitivas de f(x). É imediato veri�car que a sua diferença é uma constante,F1(x)− F2(x) = 3.

Vale o seguinte resultado.

Teorema 21. Se F1 e F2 são duas primitivas de f(x) no intervalo [a, b], então a suadiferença F1 − F2 neste intervalo é uma constante.

Prova. Se F1 e F2 são duas primitivas de f(x), então F ′1 = F ′2 = f(x), o que implica queF1 − F2 seja uma constante, dado que (F1 − F2)′ = F ′1 − F ′2 = f(x)− f(x) = 0.

Este enunciado signi�ca que se conhermos uma primitiva F (x) da função f(x), entãoqualquer outra primitiva pode ser escrita como F (x) +C, sendo C uma constante. Se umafunção tiver uma primitiva, então tem in�nitas primitivas.

Se F (x) é uma primitiva da função f(x) no intervalo [a, b],então a expressão F (x) + C, com C ∈ R, diz-se integral

indefinido de f(x) no intervalo [a, b], e representa

a família de todas as funções primitivas de f(x).Escreve-se ∫

f(x)dx = F (x) + C.

Deve �car claro que o signi�cado da expressão∫f(x)dx = F (x) + C

éF ′(x) = f(x).

De forma equivalente podemos escrever(∫f(x)dx

)′= f(x)

ou ∫F ′(x)dx = F (x) + C.

Exemplo 84.

1.

∫2dx = 2x+ C, porque (2x+ C)′ = 2 + C ′ = 2

2.

∫2xsen(x2)dx = −cos(x2) + C, porque

(−cos(x2) + C

)′= (x2)′sen(x2) + C ′ = 2xsen(x2)

3.

∫2

xdx = 2 ln |x|+ C, porque (2 ln |x|+ C)′ = 2(ln|x|)′ + C ′ =

2

x


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3. Primitivação de algumas funções elementares 101

3 Primitivação de algumas funções elementares

Nas expressões que se seguem, u representa uma função qualquer de x e C representa umparâmetro real.

1.

∫adx = ax+ C, sendo a uma constante.

2.

∫u′undx =

un+1

n+ 1+ C, n ∈ R, n 6= −1

3.

∫u′

udx = ln |u|+ C

4.

∫u′eudx = eu + C

5.

∫u′sen(u)dx = −cos(u) + C

6.

∫u′cos(u)dx = sen(u) + C

7.

∫u′

1 + u2= arctg(u) + C = −arcctg(u) + C

8.

∫u′√

1− u2= arcsen(u) + C = −arccos(u) + C

Exemplo 85.

1.

∫3dx = 3x+ C

2.

∫x2dx =

x3

3+ C, n ∈ R, n 6= −1

3.

∫2x

x2dx = ln(x2) + C

4.

∫−e−1dx = e−1 + C

5.

∫−2sen(−2x)dx = −cos(−2x) + C

6.

∫cos(x)dx = sen(x) + C

7.

∫1

1 + x2= arctg(x) + C = −arcctg(x) + C

8.

∫1√

1− x2= arcsen(x) + C = −arccos(x) + C

4 Integral de�nido

O cálculo de áreas efectuado nos exemplos 81 e 82, pg. 99, pode ser resumido da seguintemaneira:

1. determinou-se o integral inde�nido A(x) da função f(x) envolvida;

2. calculou-se a diferença de valores assumidos pela função A(x) nos dois extremosdo intervalo correspondente.


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102 4. Integral definido

Exemplo 81: Área = A(3)−A(0) = 32 + C − (02 + C) = 32 − 02 = 9

Exemplo 82: Área = A(3)−A(1) =33

3+ C −

(13

3+ C

)=

33

3− 13

3=

26

3.

Note-se que é irrelevante o valor de C, uma vez que o parâmetro é anulado na subtracção.Uma forma de indicar estas diferenças entre valores de primitivas é o seguinte.

Exemplo 81: Área = A(3)−A(0) =

∫ 3

02xdx = x2

∣∣∣30

= 32 − 02 = 9

Exemplo 82: Área = A(3)−A(1) =

∫ 3

1x2dx =

x3

3

∣∣∣31

=33

3− 13

3=

26

3.


Dada uma função f(x) e uma sua primitiva F (x) no

intervalo [a, b], chama-se integral definido de f(x) no

intervalo [a, b] à expressão∫ ba f(x)dx, sendo∫ b

af(x)dx = F (x)

∣∣∣ba

= F (b)− F (a).

Exemplo 86. Dada a função sen(x), o integral de�nido∫ π

0sen(x)dx = −cos(x)

∣∣∣π0

= −cos(π)− (−cos(0)) = −(−1)− (−1) = 2,

representa a área da região sombreada na �gura 102. O integral∫ 2π

πsen(x)dx = −cos(x)

∣∣∣2ππ

= −cos(2π)− (−cos(π)) = −1− (1) = −2,

representa o simétrico da área da região sombreada na �gura 103. O integral∫ 2π

0sen(x)dx = −cos(x)

∣∣∣2π0

= −cos(2π)− (−cos(0)) = −1− (−1) = 0,

representa a soma dos dois integrais anteriores.

Figura 102 Figura 103

No caso geral o valor do integral∫ ba f(x)dx é igual à soma das áreas das regiões corres-

pondentes aos intervalos em que f(x) tem valor positivo ou nulo, subtraídos da soma dasáreas das regiões correspondentes aos intervalos em que f(x) tem valor negativo.


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4. Integral definido 103

4.1 Propriedades dos integrais de�nidos

1.

∫ b

akf(x)dx = k

∫ b

af(x)dx, se k é constante.

2.

∫ b

a

(f(x)± g(x)

)dx =

∫ b

af(x)dx±

∫ b

ag(x)dx, se os integrais no segundo membro existem.

3.

∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx+

∫ b

cf(x)dx, sendo c ∈ [a, b].

4. Se f(x) ≤ g(x) no intervalo [a, b], então∫ b

af(x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx.

5. Se m ≤ f(x) ≤M no intervalo [a, b], então m(b− a) ≤∫ b

af(x)dx ≤M(b− a).

6. Teorema do valor médio (para integrais): Se f(x) é contínua no intervalo no intervalo [a, b],

então existe c ∈ [a, b] tal que∫ b

af(x)dx = (b− a)f(c).

A propriedade 5 pode ser usada para calcular um valor aproximado de um integral de�nido,tal como foi mostrado na secção 1.1, pg. 96.

4.2 Justi�cação da forma∫ ba f(x)dx para o integral de�nido

Na �gura 104 está representado o grá�co de uma função f(x) e está marcado o intervalo[a, b] no eixo das abcissas. O intervalo está dividido em n partes iguais, cada uma de medida∆x = b−a

n . A área da região de�nida pelo grá�co da função e pelo eixo das abcissas nesteintervalo, é aproximadamente igual à soma das áreas dos n rectângulos aí representados,

Área ≈ f(x1)∆x+ f(x2)∆x+ f(x3)∆x+ · · ·+ f(xn−1)∆x+ f(xn)∆x = (5.2)

=n∑k=1

f(xk)∆x. (5.3)


É fácil, no entanto, convencermo-nos de que esta é uma aproximação por excesso do valorexacto da área, porque as regiões junto dos cantos superiores esquerdos dos rectângulosestão fora da região de�nida pelo grá�co e pelo eixo das abcissas no intervalo [a, b]. Au-mentando o número de rectângulos esta 'região em excesso' �ca mais pequena e obtemosuma melhor aproximação para a área, como é sugerido pela �gura 105. Se continuarmos a


Mário Abrantes

104 4. Integral definido

aumentar o número de rectângulos, vamos obtendo aproximações cada vez melhores parao valor exacto da área. Vale a seguinte de�nição.

Se existir o limite

L = limn→+∞

n∑k=1

f(xk)∆x,

diz-se que a função f(x) é integrável sobre o intervalo

[a, b] e o valor de L diz-se integral definido de f(x) no

intervalo [a, b]. Escreve-se

limn→+∞

n∑k=1

f(xk)∆x =

∫ b

af(x)dx.

A notação∫ ba f(x)dx traduz a existência do limite acima referido, sendo que o símbolo `

∫'

remete para `∑

' e a partícula `dx' remete para a largura `∆x' dos rectângulos (�gura 105).

4.3 Teorema fundamental do cálculo

Nos exemplos da secção 1.3, pg. 98, calculámos áreas de regiões de�nidas por grá�cos defunções usando as primitivas das funções envolvidas para determinar integrais de�nidos,∫ ba f(x)dx. Nem todas as áreas de�nidas por grá�cos de funções se podem calcular usandoas primitivas dessas funções, pela razão de nem todas as funções admitirem uma funçãoprimitiva.

Figura 106

Como exemplo, consideremos a função da �gura 106.Claramente podemos calcular a área A(t) de�nida pelográ�co da função e o eixo das abcissas no intervalo [0, x],x ≥ 0. Temos

A(x) =

∫ x

0f(t)dt =

{0 , x < 3

x− 3 , x > 3,

dado que se x < 3 a função é nula e se x > 3 a regiãocom área não nula é um rectângulo de largura x − 3 ealtura 1. No entanto a função f(x) não tem uma funçãoprimitiva F (x) em nenhum intervalo [0, x] contendo oponto x = 3, porque teria que ser F ′(x) = f(x) e pode mostrar-se que uma função derivadanão tem descontinuidades de 1a espécie (a função f(x) da �gura tem uma descontinuidadede 1a espécie no ponto x = 3). Resumindo, não existe uma função F (x) cuja derivada sejaf(x).

O que podemos dizer, usando como base este exemplo, é que o integral∫ ba f(x)dx pode

existir mas não ser calculável usando primitivação. O resultado seguinte diz-nos que bastaf(x) ser contínua num dado intervalo para admitir aí uma função primitiva F (x).

Teorema 22. Se f(x) é contínua no intervalo [a, b], então existe uma função F (x) deriváveltal que F ′(x) = f(x) no intervalo [a, b].

Sempre que uma função f(x) tem uma primitiva F (x) num dado intervalo, podemos calcu-lar áreas ou, mais geralmente, integrais de�nidos envolvendo a função, usando a primitivaF (x) (ver a secção 4, pg. 101). Isto é garantido pelo seguinte teorema.


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5. Técnicas de integração 105

Teorema 23. (Teorema fundamental do Cálculo) Se uma função f(x), integrável sobre ointervalo [a, b], possui uma primitiva F (x) nesse intervalo, então∫ b

af(x)dx = F (x)

∣∣∣ba

= F (b)− F (a).

5 Técnicas de integração

A operação de integração é, em geral, mais difícil que a operação de derivação. Nesta secçãovamos estudar duas técnicas de primitivação, designadas primitivação por substituição eprimitivação por partes. O propósito mais geral de ambos os métodos é o cálculo de umaprimitiva que não conhecemos usando primitivas já conhecidas.

5.1 Primitivação por substituição

Seja por exemplo a integral I =∫ √

1− xdx. É imediato veri�carmos a semelhança destaexpressão com

∫ √xdx, cuja solução sabemos ser 2

3x3/2 +C. Vamos transformar a integral

I de modo a que �que do tipo∫ √

xdx. Começamos por fazer a substituição u = 1 − x.Derivamos agora ambos os membros desta igualdade em ordem a x,

u′ = (1− x)′ ⇔ u′ = −1.

Substituindo u′ por dudx , podemos escrever

du

dx= −1 ⇔ dx = −du.

Substituimos agora as expressões na variável x, no integral I, pelas correspondentes ex-pressões na variável u, de modo a obter um integral na variável u.

I =

∫ √1− xdx =

∫ √u(−du) =

∫−√udu = −

∫ √udu

Esta substituição permitiu transformar o integral∫ √

1− xdx no integral −∫ √

udu que,por ser do tipo de

∫ √xdx, já conseguimos resolver,

−∫ √

udu = −2

3u3/2 + C.

Revertendo agora este resultado em u para a expressão em x correspondente, temos

I = −2

3(1− x)3/2 + C.

A justi�cação do que se fez neste exemplo é a seguinte.

1. Começamos por substituir no integral I a expressãof(x) =√

1− x por√u, com

u = x− 1. Chamemos g(u) à função obtida, isto é, g(u) =√u; note-se que g(u)

é a função f(x) `disfarçada', porque sabemos que se �zermos u = 1 − x em g(u)recuperamos f(x).

2. Trocamos também dx por duu′ . Resulta o integral∫

g(u)du

u′=

∫g(u)

u′du.


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106 5. Técnicas de integração

3. Resolvendo o integral∫ g(u)

u′ du obtemos∫g(u)

u′du = G(u) + C.

4. Sabemos, pelo signi�cado do integral inde�nido, que G′(u) = g(u)u′ . Derivando

G(u) em ordem a x, usando a regra da derivada da função composta, temosdG(u)dx = G′(u)u′, sendo G′(u) a derivada de G(u) em ordem a u e u′ a derivada

de u em ordem a x. Por ser G′(u) = g(u)u′ , podemos escrever

dG(u)

dx=g(u)

u′u′ = g(u).

Como g(u) representa f(x), veri�camos que G(u) é uma primitiva de f(x), subs-tituindo u pela expressão em x correspondente.

Exercício 48. Calcular o integral I =∫

5x√

1− x2dx, usando a substituição u = 1− x2.ResoluçãoTemos u′ = du

dx = (1 − x2)′ = −2x ⇔ dx = du−2x . Fazendo a substituição em I para

obtermos um integral na variável u, �ca

I =

∫5x√udu

−2x=

∫5x

−2x

√udu =

∫−5

2

√udu = −5

2

∫ √udu,

cuja solução é

I = −5

2

∫ √udu = −5

2

u32

32

+ C = −5

3(1− x2)

32 + C.

5.2 Primitivação por partes

A técnica de primitivação por partes permite resolver alguns integrais do tipo∫f(x)g(x)dx

(nota:é errado escrever∫f(x)g(x)dx =

∫f(x)dx

∫g(x)dx!!). Para começo, sejam u e v

duas funções de x. Sabemos que

(uv)′ = u′v + uv′.

Integrando ambos os membros desta expressão, obtemos∫(uv)′dx =

∫u′vdx+

∫uv′dx,

que pode ainda ser escrita na forma (porquê?)

uv =

∫u′vdx+

∫uv′dx.

Podemos resolver esta igualdade em ordem a cada um dos integrais, o que dá∫u′vdx = uv −

∫uv′dx (5.4)∫

uv′dx = uv −∫u′vdx. (5.5)

Estas duas fórmulas podem ser usadas para resolver integrais do tipo∫f(x)g(x)dx, iden-

ti�cando f e g com u′ e v, ou com u e v′, e usando o segundo membro da igualdadeescolhida para calcular o integral inicial, esperando que o integral no segundo membro sejamais simples que o integral que pretendemos calcular. Este é, em geral, o propósito destemétodo.


Mário Abrantes

5. Técnicas de integração 107

Exemplo 87. Primitivar por partes os integrais

1.∫xexdx

2.∫exsen(x)dx

3.∫ln(x)dx.

Resolução

1.∫xexdx

Seja u = x, v′ = ex. Estamos a escolher a fórmula (5.5) acima. Para escrevermoso segundo membro precisamos de determinar u′ e v. Temos u′ = 1, v = ex, epodemos escrever ∫

xexdx = xex −∫exdx = xex − ex + C.

Veri�cação: derivando o integral xex− ex +C, obtém-se a função integranda xex

(efectuar!).

2. I =∫exsen(x)dx

Seja u′ = ex, v = sen(x). Estamos a escolher a fórmula (5.4) acima. Paraescrevermos o segundo membro precisamos de determinar u e v′. Temos u =ex, v′ = cos(x), e podemos escrever

I =

∫exsen(x)dx = exsen(x)−

∫excos(x)dx.

O integral que aparece no segundo membro não é mais simples que o integral ini-cial. Mas usamos este exemplo para mostrar a versatilidade do método, calculandotambém por partes este segundo integral. Escolhemos novamente a fórmula (5.4).Seja I1 =

∫excos(x)dx e u′ = ex, v = cos(x). Temos u = ex, v′ = −sen(x).

Usando a fórmula (5.4), temos∫excos(x)dx = excos(x) +

∫exsen(x)dx.

Subsituindo o segundo membro desta expressão na expressão da integral I, temos

I =

∫exsen(x)dx = exsen(x)−

(excos(x) +

∫exsen(x)dx

)=exsen(x)− excos(x)−

∫exsen(x)dx.

Passando o integral do segundo para o primeiro membro, �ca∫exsen(x)dx+

∫exsen(x)dx = exsen(x)− excos(x)

⇔ 2

∫exsen(x)dx = exsen(x)− excos(x)

e por �m ∫exsen(x)dx =

1

2

(exsen(x)− excos(x)

)+ C.


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108 6. Integrais impróprios

Veri�cação: derivando o integral 12

(exsen(x)− excos(x)

), obtém-se a função in-

tegranda exsen(x) (efectuar!).

3.∫ln(x)dx

Como ln(x) = 1.ln(x), podemos fazer u′ = 1, v = ln(x). Estamos a escolher a fór-mula (5.4) acima. Para escrevermos o segundo membro precisamos de determinaru e v′. Temos u = x, v′ = 1

x , e podemos escrever∫ln(x)dx = x ln(x)−

∫x

1

xdx = x ln(x)−

∫1dx = x ln(x)− x+ C.

Veri�cação: derivando o integral x ln(x) − x + C, obtém-se a função integrandaln(x) (efectuar!).

5.3 Integrais que não são funções elementares

Há funções cujo integral não corresponde a uma função elementar, i.e., não se pode escrevercomo um número �nito de somas, subtracções, multiplicações, ou divisões, sobre funçõespolinomiais, funções exponenciais, funções logarítmicas, ou funções trigonométricas, direc-tas e inversas. Isto signi�ca que não conseguimos integrar funções deste tipo, nem porsubstituição nem por partes, por muito que tentemos fazê-lo com êxito. Alguns exemplosde integrais deste tipo são∫

sen(x2)dx,

∫cos(x2)dx,

∫1

ln(x)dx,

∫e−x

2/2dx,

∫ln(ln(x))dx,

∫ex

xdx.

6 Integrais impróprios

Consideremos o problema de calcular a área da região delimitada pelo grá�co da funçãof(x) = 1/x2 e o eixo das abcissas, no intervalo [1, b], com b ≥ 1 (�gura 107). Obtém-se∫ b

11/x2dx = −1/x

∣∣∣b1

= −1/b+ 1.

Se b = 2, por exemplo, o valor da área é −1/2 + 1 = 1/2, se b = 5 o valor da área é−1/5 + 1 = 4/5 , etc.


Tem interesse averiguar como evolui o valor da área se formos aumentando b. Em particu-lar, será �nita ou in�nita a área obtida quando b tende para +∞? A região correspondenteestá sombreada na �gura 108 e o seu valor é dado pelo limite

limb→+∞

∫ b

11/x2dx = lim

b→+∞

(−1/b+ 1

)= 1.


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6. Integrais impróprios 109

Este resultado é curioso porque signi�ca que a região de�nida pelo grá�co da função e oeixo dos xx, no intervalo [1,+∞[, apesar de ilimitada, tem área �nita. Podemos expressaro integral e a operação de limite na forma mais compacta∫ +∞

11/x2dx

que signi�ca

limb→+∞

∫ b

11/x2dx.

Este é um exemplo de um integral impróprio de 1a espécie. Vale a seguinte de�nição.

Um integral∫ ba f(x)dx diz-se integral impróprio de 1a

espécie, se b = +∞, ou a = −∞, ou ambas.


Consideremos agora o problema de calcular a área da região delimitada pelo grá�co dafunção f(x) = 1/x2 e o eixo das abcissas, no intervalo [−1, 1] (�gura 109). Se para talusarmos `despreocupadamente' um integral de�nido, como �zemos em exemplos anteriores,obtemos ∫ 1

−11/x2dx = −1/x

∣∣∣1−1

= −1/1− (−1/(−1)) = −1− 1 = −2.

Mas este não é o resultado que esperávamos, uma vez que a região envolvida não tem par-tes abaixo do eixo das abcissas, o que signi�ca que o valor do integral deveria ser positivo.O problema com este resultado, que utiliza o teorema fundamental do cálculo (teorema23, pg. 105), é que este teorema supõe que a função integranda é limitada no intervalode integração, o que não acontece com a função 1/x2 no intervalo [−1, 1], dado que estafunção tem uma assíntota vertical no ponto x = 0.

Como calcular o valor duma área numa situação deste tipo? Uma forma de o fazer estásugerida na �gura 110. Vamos calcular a área respeitante ao intervalo [0, 1] e depois, dadoa função ser par, multiplicar por 2 o valor da área obtido. Como o ponto x = 0 é um pontoem que a função é ilimitada, em vez de calcularmos a integral

∫ 10 1/x2dx, calculamos a

integral∫ 1b 1/x2dx, sendo que b é um valor um pouco maior que zero:∫ 1

b1/x2dx = −1/x

∣∣∣1b

= −1 + 1/b.


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110 6. Integrais impróprios

Agora fazemos b tender para zero:

limb→0+

∫ 1

b1/x2dx = lim

b→0+

(−1 + 1/b

)= +∞.

Veri�camos que a área tem um valor in�nito positivo, o que é bem diferente de ter ovalor negativo obtido acima. Um integral em que a função é ilimitada em algum pontodo intervalo de integração, diz-se integral impróprio de 2a espécie. Valem as seguintesde�nições.


espécie, se f(x) é ilimitada em algum ponto do intervalo

[a, b].


espécie, se é simultaneamente de 1a espécie e de 2a

espécie.

Exercício 49. Calcular o integral∫ 1

01√xdx.

ResoluçãoO integral é de 2a espécie, uma vez que 1√

xé ilimitada no ponto x = 0. Temos∫ 1

0

1√xdx = lim

b→0+

∫ 1

bx−1/2dx = lim

b→0+

(2x1/2

) ∣∣∣1b

= limb→0+

(2− 2b1/2

)= 2.


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Capítulo 6

Funções reais de duas variáveis reais

1 Introdução

Até agora estudámos funções com uma só variável independente, y = f(x). Neste capítulovamos estudar funções de duas variáveis independentes, z = f(x, y).

Exemplo: função de produção de Cobb-Douglas. Uma função de produção é umafunção de duas variáveis independentes,

Q = f(L,K),

usada como modelo matemático para a quantidade máxima de produto Q obtida numcerto processo produtivo, com os factores de produção L, respeitante à quantidade de mãode obra (trabalho pago no processo de produção) e K, respeitante ao capital (edifícios,ferramentas, maquinaria, etc), usando uma dada tecnologia e respeitante a um período detempo especí�co. Há vários tipos de funções de produção, sendo um deles a função deprodução de Cobb-Douglas, que é da forma

Q = ALαKβ,

sendo A > 0, α > 0 e β > 0 constantes determinadas pela tecnologia utilizada. Se for,por exemplo, Q = 50L0.2K0.5, veri�ca-se que duplicando a quantidade de mão de obrae o capital investido não se duplica a produtividade, dado que Q = 50(2L)0.2(2K)0.5 =(2)0.750L0.2K0.5 < 2 × 50L0.2K0.5. Isto acontece porque temos α + β < 1, caso qem quese diz que a função de produção tem retornos decrescentes de escala (se α + β = 1 diz-seque a função de produção tem retornos constantes de escala, e se α + β > 1 diz-se que afunção de produção tem retornos crescentes de escala).

2 Sequências de pontos no plano

O conjunto de todos os pares ordenados de números reais, (x, y), representa-se por R2:

R2 = {(x; y) : x, y ∈ R}.

Exemplos de elementos de R2, são (√

2, 1), (0, 0) e (−2/3, π). A cada ponto do plano xy,corresponde um par ordenado de números reais (a, b), pertencente a R2, dizendo-se a e b ascoordenadas do ponto. No seguimento, por simplicidade, referimo-nos aos pares ordenadosde números reais por `pontos'.

111

112 3. Limites de funções. Funções contínuas

Uma sequência de pontos no plano corresponde a uma in�nidade ordenada de pares denúmeros reais

(x1, y1), (x2, y2), · · · , (xn, yn), · · ·

sendo (xn, yn), o termo geral da sequência, um par de expressões na variável n. Substituindon por um número inteiro positivo, k, obtém-se o termo de ordem k da sequência. O conjuntoordenado formado por todos os termos da sequência representa-se por

((xn, yn)

).

Exemplo 88. Na �gura 111 estão representados os primeiros três termos da sequência determo geral (xn, yn) = (1/n, 0):

(1, 0), (1/2, 0), (1/3, 0), · · · .

Figura 111: Alguns pontos da sequência(xn, yn) = (1/n, 0).

Figura 112: Uma sequência de pontos do plano,((xn, yn)

), pode convergir para um ponto segundo va-

riadas trajectórias.

É imediato veri�car que se �zermos n→∞ os pontos marcados se aproximam da origemdo referencial (0, 0), situando-se a uma distância deste que tende para zero. Escrevemos

limn→∞

(1/n, 0) = (0, 0).


O ponto (a, b) é o limite da sequência (xn, yn) quando ntende para infinito, e escreve-se

limn→∞

(xn, yn) = (a, b),

se, e somente se, limn→∞

xn = a e limn→∞

yn = b.

No caso das sequências de números reais convergentes, (un), os seus pontos situam-se sobrea recta real em torno do ponto limite da sequência. Já os termos das sequências conver-gentes de pontos no plano,

((xn, yn)

), podem aproximar-se do ponto do limite segundo

in�nitas direcções (�gura 112).

3 Limites de funções. Funções contínuas

Dada uma função real de variáveis reais f(x, y), de�ne-se o seu domínio natural como oconjunto de todos os pares ordenados de números reais, (x, y), para os quais a função estáde�nida. O conjunto das imagens de todos os pontos do domínio, via f(x, y), designa-sepor imagem da função.

Capítulo 6. Funções reais de duas variáveis reais

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3. Limites de funções. Funções contínuas 113

Exemplo 89. O domínio natural da função f(x, y) =√x− y é o conjuto de todos os

pontos (x, y), tais que x − y ≥ 0, ou x ≥ y (porquê?). O ponto (−2, 1) não pertence aodomínio da função. A imagem da função é R+

0 (porquê?).

Diz-se que o limite de uma função f(x, y) no ponto (a, b) é L, e escreve-se

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = L,

se a sequência de valores da função(f(xn, yn)

)tende para o número real L, qualquer que

seja a sequência de pontos (xn, yn)→ (a, b) considerada.

Na �gura 113 está representada a função

f(x, y) =

{0, x, y > 0

1, noutros casos

Esta função toma o valor 1 em todos os pontos do plano xy, excepto nos pontos do primeirooctante, nos quais toma o valor 0.

Figura 113

Podemos veri�car que não existe o

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).

Se este limite existisse, teria que ser independente da sequência de pontos (xn, yn)→ (0, 0)escolhida. Acontece que se escolhermos uma sequência de pontos situados sobre o eixo dosxx, convergente para (0, 0), seja (xn, yn) = (1/n, 0) o seu termo geral, temos

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 1,

já que a função toma o valor 1 para todos os pontos desta sequência. No entanto, seescolhermos uma sequência de pontos situados sobre a recta y = x, convergente para(0, 0), seja (xn, yn) = (1/n, 1/n) o seu termo geral, temos

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0,

já que a função toma o valor 0 em todos os pontos desta sequência. Vale a seguintede�nição.


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114 4. Representação gráfica de funções no espaço

Dizemos que uma função f(x, y) é contínua no ponto (a, b) do

seu domínio se, e somente se, para todas as sequências de

pontos do domínio de f(x, y), convergentes para (a, b), se

tem

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = f(a, b).

Esta de�nição implica que, para que uma função f(x, y) seja contínua num ponto (a, b) doseu domíno, não só deve existir o lim

(x,y)→(a,b)f(x, y), como o valor deste limite deve ser igual

a f(a, b).

Figura 114

A função f(x, y) representada na �gura 113, não é contínua no ponto (0, 0) porque, comose viu antes, não existe o lim

(x,y)→(0,0)f(x, y). Já a função f(x, y) representada na �gura 114,

não é contínua no ponto (0, 0) porque, apesar de existir o lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 1, este não é

igual ao valor da função no ponto (0, 0), que é f(0, 0) = 3.

4 Representação grá�ca de funções no espaço

A representação grá�ca de funções de duas variáveis, z = f(x, y), requer um referencialcom três eixos que não estejam contidos no mesmo plano. Como dispomos apenas deuma folha de papel ou de um écran de computador (ambos bidimensionais), o melhor quepodemos fazer é simular profundidade visual nas �guras obtidas (�guras 115, 116). Osistema de referência xyz divide o espaço em 8 partes (�gura 116), sendo cada uma delasdesignada por octante. O octante correspondente a x, y, x > 0 costuma designar-se porprimeiro octante, não tendo os restantes octantes designações especiais.

Figura 115

Figura 116

Seguem-se alguns exemplos de superfícies e curvas no espaço.


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4. Representação gráfica de funções no espaço 115

1. Representação de um ponto no espaço (de coordenadas (x, y, z) = (1, 1, 2)).

Figura 117: Ponto de coordenadas(x, y, z) = (1, 1, 2).

Figura 118: Projecção do ponto de coordenadas(x, y, z) = (1, 1, 2) no plano xy.

2. Representação de um plano no espaço.A equação geral do plano é

ax+ by + cz = d,

sendo a, b, c, d constantes.Nas �guras 119 e 120 estão representados os planos de equações x = 3 (resultada equação geral fazendo a = 1, b = c = 0, d = 3) e z = 3 (resulta da equaçãogeral fazendo a = b = 0, c = 1, d = 3). O plano x = 3 contém todos os pontosdo espaço da forma (3, y, z). O plano z = 3 contém todos os pontos do espaço daforma (x, y, 3).

Figura 119: Plano de equação x = 3.

Figura 120: Plano de equação z = 3.

A �gura 121 contém a parte do plano 2x+ y+ 2z = 2 que se situa no 1o octante.Podemos determinar os pontos em que o plano intersecta os eixo coordenados.Fazendo na equação x = y = 0 obtemos z = 1, que correspondem às coordenadasdo ponto (x, y, z) = (0, 0, 1) de intersecção do plano com o eixo dos zz. Analoga-mente, fazendo na equação x = z = 0 determina-se o ponto de intersecção do planocom o eixo dos yy, (x, y, z) = (0, 2, 0); fazendo na equação y = z = 0 determina-seo ponto de intersecção do plano com o eixo dos xx, (x, y, z) = (1, 0, 0).


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116 4. Representação gráfica de funções no espaço

Figura 121: Plano de equação 2x+ y + 2z = 2.

3. Representação de uma esfera no espaço.A equação geral de uma esfera no espaço, de centro no ponto (a, b, c) e raio r, é

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2,

sendo a, b, c números reais.

Figura 122: Esfera de equação x2 + y2 + z2 = 4.Figura 123: Esfera de equação x2 + y2 + z2 = 4 eplano de equação z = 1.

Na �gura 122 está representada uma esfera de centro na origem do referencialxyz e raio 2. Na �gura 123 representa-se a intersecção da esfera x2 + y2 + z2 = 4com o plano z = 1. Os pontos comuns a estas duas superfícies são aqueles cujascoordenadas x, y, z satisfazem ambas as equações{

x2 + y2 + z2 = 4

z = 1,

e correspondem à circunferência representada na �gura. Substituindo z por 1 naequação da esfera obtemos

x2 + y2 + 12 = 4⇔ x2 + y2 = 3,

que representa a projecção dos pontos da circunferência, de raio√

3, no plano xy.Os pontos da circunferência satisfazem o sistema de equações{

x2 + y2 = 3

z = 1.

4. Representação de um elipsóide no espaço.A equação geral de um elipsóide de centro na origem é

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1,


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4. Representação gráfica de funções no espaço 117

sendo a, b, c números reais positivos (�gura 124).

Figura 124: 1

Uma esfera é um caso particular de elipsóide. Por exemplo, a esfera de centrona origem e raio r é um caso particular do elipsóide em que a = b = c = r. Aequação geral de um elipsóide de centro no ponto (u, v, w) é

(x− u)2

a2+

(y − v)2

b2+

(z − w)2

c2= 1.

5. Representação de um cilindro de secção circular no espaço.Na �gura 125 está representada a intersecção de um cilindro de secção circularx2 + z2 = r2 com o plano y = 1, de que resulta a circunferência na �gura 126{

x2 + z2 = r2

y = 1.

Figura 125: Cilindro de equação x2 + z2 = r2

e plano de equação y = 1.

Figura 126: Intersecção do cilindro e do plano da �-gura anterior.

A equação do cilindro não envolve a variàvel y, o que signi�ca que se variarmos acoordenada y de um ponto sobre o cilindro (deslocação paralela ao eixo dos yy),as coordenadas x, z não alteram os seus valores.

6. Representação de um cone de secção circular no espaço.Na �gura 127 está representado o cone de secção circular z =

√x2 + y2. Apenas

pontos com coordenada z não negativa podem satisfazer a equação, razão pelaqual o grá�co está `acima' do plano xy, à excepção do ponto (0, 0, 0).

1https://brilliant.org/problems/a-charged-ellipsoid/.


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118 5. Curvas de nível

Figura 127: Cone de equação z =√x2 + y2. 2

Figura 128: Duplo cone de equação z2 = x2 + y2.

Na �gura 128 está representado o duplo cone de secção circular z2 = x2 + y2. Notar queesta equação representa implicitamente as duas superfícies z = ±

√x2 + y2.

5 Curvas de nível

Curvas de nível de uma superfície z = f(x, y), são curvas no plano xy, cada uma delascorrespondendo à projecção neste plano de curvas sobre a superfície cujos pontos têm amesma coordenada z.

Figura 129: Esquerda: curvas de nível da semiesfera de equação z =√

4− x2 − y2. Direita: semiesfera deequação z =

√4− x2 − y2.

Como exemplo temos representadas na �gura 129, à esquerda, algumas curvas de nível dasemiesfera z =

√4− x2 − y2, representada na parte direita da �gura. Sobre a semiesfera

encontram-se as circunferências que resultam da sua intersecção com vários planos do tipoz = k. São as projecções destas circunferências no plano xy que correspondem às curvasde nível da semiesfera. Formalmente obtemos estas curvas fazendo z = k na fórmula dasemiesfera

k =√

4− x2 − y2,

2http://www.okclipart.com/Math-Clip-Art-Cone30clxtprwg/


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6. Derivadas parciais 119

e veri�cando que se obtém a equação

x2 + y2 = 4− k2,

que representa uma família de circunferências de centro na origem e raio√

4− k2, sendo0 ≤ k ≤ 2 um parâmetro real. As curvas de nível são uma forma de representar umasuperfície z = f(x, y) num referencial bidimensional xy.

6 Derivadas parciais

Na �gura 130 está representada a intersecção do parabolóide circular z = 4− x2 − y2 como plano x = 1.

Figura 130: Parabolóide circular de equação z = 4− x2 − y2 e plano de equação x = 1.

Da intersecção do parabolóide e do plano, resulta a parábola representada nas �guras �gura130 e 131, {

z = 4− x2 − y2

x = 1

Todos os pontos (x, y, z) desta parábola são da forma (1, y, z), uma vez que se encontramno plano x = 1.

Figura 131: Intersecção do parabolóidez = 4− x2 − y2 com o plano x = 1.

Figura 132: Projecção no plano xy da curva da �guraanterior.

Podemos localizar o ponto (1, x, y) no qual a parábola atinge o valor máximo, escrevendoa expressão de z em função de y{

z = 4− x2 − y2

x = 1⇒ z = 4− 12 − y2 ⇔ z = 3− y2,


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120 6. Derivadas parciais

e calculando depois o extremo da função. Da derivada

dz

dy= (3− y2)

′y = −2y, (6.1)

obtemos o ponto crítico y = 0, no qual a curva tem ummáximo local de valor z = 3. No casode o plano que intersecta o parabolóide ser x = k, com k diferente de 1, o procedimentopara determinar o máximo da parábola resultante seria o mesmo. Salientamos que nocálculo da derivada apresentado na expressão (6.1), a função z(x, y) é derivada em ordema y, tomando-se x como constante. Uma derivada deste tipo diz-se derivada parcial emordem a y. Vale a seguinte de�nição.

Dada uma função f(x, y), designa-se por derivada parcial de

f(x, y) em ordem a y, e representa-se por

fy ou∂f

∂y,

a função que se obtém derivando f(x, y) em ordem à variável

y, considerando x constante:

∂f

∂y= lim

h→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h.

De forma análoga se de�ne a derivada parcial de uma função z(x, y) em ordem à variávelx. Neste caso �xa-se a variável y, variando apenas x e z. Vale a seguinte de�nição.

Dada uma função f(x, y), designa-se por derivada parcial de

f(x, y) em ordem a x, e representa-se por

fx ou∂f

∂x,

a função que se obtém derivando a expressão f(x, y) em

ordem à variável x, considerando y constante:

∂f

∂x= lim

h→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

h.

Na �gura 133 está representada a intersecção do parabolóide circular z = 4− x2 − y2 como plano y = 1. A parábola resultante está representada também nas �guras 134 e 135,dizendo esta última respeito à projecção da parábola no plano xz.


Mário Abrantes


Figura 133

Todos os pontos (x, y, z) desta parábola são da forma (x, 1, z), uma vez que se encontramno plano y = 1.


As derivadas parciais, por representarem derivadas de curvas, fornecem os declives dasrectas situadas nos planos de intersecção envolvidos e tangentes às curvas nos pontos ondesão calculadas. Dada uma função f(x, y):

1. A derivada parcial em ordem a x, fx, calculada no ponto (x0, y0), também se dizderivada parcial de f(x, y) na direcção do eixo dos xx, no ponto (x0, y0);

2. A derivada parcial em ordem a y, fy, calculada no ponto (x0, y0), também se dizderivada parcial de f(x, y) na direcção do eixo dos yy, no ponto (x0, y0).

As derivadas parciais dão-nos informação sobre a variação das funções f(x, y) nas direcçõescorrespondentes.

Exercício 50. Caracterizar a variação da função z = 4− x2 − y2 no ponto (x, y) = (1, 1),na direcção do eixo dos xx (�gura 133).ResoluçãoCalcula-se a derivada parcial da função em ordem a x:

zx = (4− x2 − y2)′x = −2x.


Mário Abrantes

122 6. Derivadas parciais

Depois determina-se o valor desta derivada no ponto (x, y) = (1, 1):

zx(1, 1) = −2 < 0.

Como a derivada é negativa a função é decrescente no ponto (x, y) = (1, 1), na direcção doeixo dos xx. Podemos veri�car que a projecção no plano xz da recta tangente à curva queresulta da intersecção do parabolóide e do plano y = 1 (�gura 133) tem declive negativo.

Exemplo 90. Cálculo de algumas derivadas parciais.

1. z = 2xy − 3x+ 4y + 5x2y zx = (2xy − 3x+ 4y + 5x2y)′x

= (2xy)′x − (3x)

′x + (4y)

′x + (5x2y)

′x = 2y − 3 + 0 + 10xy

= 2y − 3 + 10xy

2. z = 2e3x+4y zy = (2e3x+4y)′y = 2(3x+ 4y)

′ye

3x+4y = 8e3x+4y

3. z = ln(3x+ 4y) zy = (ln(3x+ 4y))′y =

(3x+ 4y)′y

3x+ 4y=

4

3x+ 4y

4. z =2x

y + y2zx =

(2x

y + y2

)′x

=1

y + y2(2x)

′x =

2

y + y2

5. z = sen(xy) zx = (sen(xy))′x = (xy)

′xcos(xy) = ycos(xy)

6. z = y 3√

2x− 6y zy =(y 3√

2x− 6y)′y

= (y)′

y3√

2x− 6y + y(

3√

2x− 6y)′y

= 3√

2x− 6y + y1

3(2x− 6y)

′y(2x− 6y)−2/3

= 3√

2x− 6y − 2y(2x− 6y)−2/3

6.1 Derivadas parciais de segunda ordem

As derivadas parciais de segunda ordem de uma função f(x, y), representam-se por:

fxx ou ∂2f/∂x2 derivada parcial de segunda ordem, em ordem à variável x;

fyy ou ∂2f/∂y2 derivada parcial de segunda ordem, em ordem à variável y;

fxy ou ∂2f/∂y∂x

e

fyx ou ∂2f/∂x∂y derivadas de segunda ordem cruzadas, ou mistas.

Exemplo 91. Determinar as derivadas de segunda ordem da função z = 2xy2 − 3x2y.Resolução

Derivadas de 1a ordem

zx = (2xy2 − 3x2y)′x = 2y2 − 6xy zy = (2xy2 − 3x2y)

′y = 4xy − 3x2

Derivadas de 2a ordem

zxx = (zx)′x = (2y2 − 6xy)

′x = −6y zyy = (zy)

′y = (4xy − 3x2)

′y = 4x

zxy = (zx)′y = (2y2 − 6xy)

′y = 4y − 6x zyx = (zy)

′x = (4xy − 3x2)

′x = 4y − 6x


Mário Abrantes


Neste exemplo veri�ca-se zxy = zyx. Esta igualdade não acontece por acaso, como indicao seguinte resultado.

Teorema 24. (de Schwarz) Dada uma função f(x, y), se fxy e fyx são contínuas numaregião aberta3 do plano, então fxy = fyx em todos os pontos dessa região.

6.2 Derivação da função composta (regra da cadeia)

Dada uma função f(x, y), consideremos o caso em que as variáveis x e y representam duasfunções da variável t, por exemplo

f(x, y) = 2x+ 3y

x = 5t

y = 4t2 + 1

.

Querendo conhecer df/dt, podemos substituir as expressões em t para x e y na expressãode f(x, y), obtendo uma expressão em t para f(x, y), e em seguida derivar em ordem a t aexpressão resultante. No caso do exemplo acima obtemos

f(x, y) = 2(5t) + 3(4t2 + 1) = 12t2 + 10t+ 3

df/dt = (12t2 + 10t+ 3)′ = 24t+ 10.

Pode porém calcular-se esta derivada sem a obtenção prévia da expressão em t para afunção f(x, y), usando a regra de derivação da função composta, enunciada a seguir.

Teorema 25. Se x(t) e y(t) são funções deriváveis e se f(x, y) tem derivadas de 1a ordemcontínuas no ponto (x(t), y(t)), então

df

dt=dx

dt

∂f

∂x+dy

dt

∂f

∂y. (6.2)

Apliquemos este resultado às funções apresentadas acima. Começamos por calcular asderivadas do segundo membro da fórmula (6.2).

dx/dt = 5; dy/dt = 8t; ∂f/∂x = 2; ∂f/∂y = 3.

Substituindo estas expressões na fórmula (6.2), con�rmamos o resultado obtido acima paradf/dt

df

dt=dx

dt

∂f

∂x+dy

dt

∂f

∂y⇔ df

dt= 5× 2 + 8t× 3 = 24t+ 10.

A regra da cadeia pode ser estendida ao caso em que x e y dependem de várias variáveis.Por exemplo, se x e y dependem das variáveis u, v,

f(x, y)

x(u, v)

y(u, v)

,

temos

∂f

∂u=∂x

∂u

∂f

∂x+∂y

du

∂f

∂y(6.3)

∂f

∂v=∂x

∂v

∂f

∂x+∂y

∂v

∂f

∂y(6.4)

3Todo o ponto de uma região G do plano, pertencente a um círculo contido nessa região, se diz pontointerior de G. Região aberta do plano, é uma porção do plano tal que todos os seus pontos são pontosinteriores � por exemplo, um círculo ao qual é retirada a circunferência, que é a sua fronteira.


Mário Abrantes

124 7. Problemas de optimização

Exemplo 92. Utilizar a regra da cadeia para obter a derivada parcial de 1a ordem ∂f/∂v,sendo

f = ln(xy)

x = 2u− 3v

y = uv

.

ResoluçãoComeçamos por determinar as derivadas do segundo membro da fórmula (6.4),

∂x/∂v = −3 ∂y/∂v = u ∂f/∂x =1

x∂f/∂y =

1

y.

Substituindo estas derivadas na fórmula (6.4) obtemos

∂f

∂v=∂x

∂v

∂f

∂x+∂y

∂v

∂f

∂y⇔ ∂f

∂v=−3

x+u

y.

Como queremos determinar ∂f/∂v, estamos interessados numa expressão nas variáveis u, v.Para a obtermos basta substituir x, y pelas correspondentes expressões em u, v

∂f

∂v=−3

x+u

y=

−3

2u− 3v+

u

uv=

−3

2u− 3v+

1

v.

7 Problemas de optimização

O cálculo de extremos relativos de funções reais de duas variáveis, f(x, y), faz-se por umprocesso semelhante ao que vimos para o caso de funções reais de uma variável, f(x).No grá�co da �gura 136 estão indicados alguns pontos (x, y, z) de extremo da funçãorespectiva.

Figura 136

Valem as seguintes de�nições.


Mário Abrantes

7. Problemas de optimização 125

Uma função f(x, y) tem um máximo relativo [mínimo relativo]

no ponto (a, b) do seu domínio, sse existe um círculo

centrado em (a, b) tal que, para todos os pontos interiores

(x, y) do círculo se tem

f(a, b) ≥ f(x, y)[f(a, b) ≤ f(x, y)

].

Uma função f(x, y) tem um máximo absoluto [mínimo absoluto]

no ponto (a, b) do seu domínio, sse para todos os pontos

(x, y) do domínio da função se tem

f(a, b) ≥ f(x, y)[f(a, b) ≤ f(x, y)

].

Basta uma função ser contínua num conjunto fechado (i.e., um conjunto que contém todosos seus pontos de fronteira) e limitado, para ter aí extremos absolutos.

Teorema 26. Se f(x, y) é contínua no conjunto fechado e limitado S ⊂ R2, então f(x, y)tem máximo e mínimo absolutos em S.

Na �gura 136 estão representadas duas rectas tangentes à função f(x, y) em dois dos seuspontos de extremo. Para cada caso, uma das rectas tem os seus pontos com coordenada xconstante (é paralela ao plano zy) e a outra tem os seus pontos com coordenada y constante(é paralela ao plano zx). Ambas são paralelas ao plano xy. O declive da primeira representaa derivada parcial fy, sendo fx o declive da segunda. Sendo as rectas paralelas ao planoxy, ambas as derivadas parciais são nulas. Vale o seguinte teorema.

Teorema 27. Se f(x, y) tiver um extremo relativo no ponto (x, y) = (a, b) e se as derivadasparciais de primeira ordem fx, fy existirem nesse ponto, então fx(a, b) = fy(a, b) = 0.

De�ne-se ponto crítico de uma função f(x, y) da seguinte forma.

O ponto (a, b) do domínio de f(x, y) diz-se ponto crítico da

função f(x, y), sse fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0, ou se alguma

das derivadas parciais fx(a, b), fy(a, b) não existe.

Os pontos críticos são pontos onde a função contínua pode ter, eventualmente, extremos.

Exemplo 93. Cálculo dos pontos críticos do parabolóide z = 4 − x2 − y2 (�g 133, pg.121).

∂z∂x = 0

∂z∂y = 0

⇔

(4− x2 − y2

)′x

= 0(4− x2 − y2

)′y

= 0

⇔

−2x = 0

−2y = 0⇔

x = 0

y = 0

Obtemos o ponto crítico (x, y) = (0, 0).

Exemplo 94. Cálculo dos pontos críticos do cone z =√x2 + y2 (�g 127, pg. 118).

∂z∂x = 0

∂z∂y = 0

⇔

(√

x2 + y2)′x

= 0(√x2 + y2

)′y

= 0

⇔

x√x2+y2

= 0

y√x2+y2

= 0

Para que se veri�quem as duas equações, deve ser x = y = 0. Mas no ponto (x, y) = (0, 0)nenhuma das duas derivadas parciais está de�nida (porquê?). Obtemos o ponto crítico(x, y) = (0, 0).


Mário Abrantes

126 7. Problemas de optimização

7.1 Classi�cação dos pontos críticos

Uma vez determinados os pontos críticos de uma função f(x, y), devemos classi�cá-los,i.e., veri�car se são pontos de máximo ou mínimo relativos, ou se são pontos de sela �pontos em que ambas as derivadas parciais são nulas, mas que não são pontos de extremoda função (�gura 137).

Figura 137: O ponto (a, b) marcado na �gura não é ponto de extremo da função, apesar de se ter fx(a, b) =fy(a, b) = 0.

A classi�cação dos pontos críticos, no caso em que as derivadas de primeira e segundaordem no ponto existem e são contínuas, é feita usando o seguinte resultado.

Teorema 28. Se f(x, y) tiver derivadas de segunda ordem contínuas nos pontos de umcírculo centrado no ponto crítico (a, b), considerando o discriminante

D(x, y) = fxxfyy − f2xy,

veri�ca-se que:

1. Se D(a, b) > 0 e fxx < 0, então (a, b) é ponto de máximo relativo da função;

2. Se D(a, b) > 0 e fxx > 0, então (a, b) é ponto de mínimo relativo da função;

3. Se D(a, b) < 0, então (a, b) é ponto de sela da função;

4. Se D(a, b) = 0, nada se pode concluir.

Exemplo 95. Vamos classi�car o ponto crítico obtido no exemplo 93, pg. 125. Temos

zxx = (−2x)x = −2 zyy = (−2y)y = −2 zxy = (−2x)y = 0,

e

D(x, y) = (−2)(−2)− 0 = 4 D(0, 0) = 4 > 0 zxx(0, 0) = −2 < 0.

Por ser D(0, 0) > 0 e zxx(0, 0) < 0, o ponto é um ponto de máximo local, o que con�rmaa informação que se retira da �gura 133, pg. 121.


Mário Abrantes

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