Aula  25  

Integrais  Triplas  em  Coordenadas  Esféricas  

Coordenadas Esféricas

Ou t r o s i s t ema de c o o r denada s tridimensionais útil é o sistema de coordenadas esféricas. Ele simplifica o cálculo de integrais triplas em regiões limitadas por esferas e cones.

Coordenadas Esféricas

Coordenadas Esféricas

O sistema de coordenadas esféricas é útil em problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto.

Exemplo

,uma esfera

cρ =

Exemplo

,um semiplano

cθ =

Exemplo

, um semiconecφ =

Relação entre Coordenadas esféricas e retangulares

cossencossen

zrx ry r

ρ φρ φ

θθ

====

Conversão

Para converter de coordenadas esféricas para retangulares, usamos as equações

Para converter de coordenadas retangulares

para esféricas, usamos a equação

sen cos sen sen cosx y zρ φ θ ρ φ θ ρ φ= = =

Exemplo 1

O ponto é dado em coordenadas esféricas. Marque o ponto e encontre suas coordenadas retangulares.

Solução:

Exemplo 1

Logo, o ponto em Coordenadas retangulares é

3 1 3sen cos 2 sen cos 23 4 2 22

x π πρ φ θ⎛ ⎞⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

3 1 3sen sen 2 sen sen 23 4 2 22

y π πρ φ θ⎛ ⎞⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

1cos 2cos 2 13 2

z πρ φ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Exemplo 2

O ponto está dado em coordenadas retangulares. Encontre coordenadas esféricas para este ponto.

Exemplo 2

Da equação temos logo

⇒

Exemplo 2

Obs: Logo, as coordenadas esféricas do ponto dado são

cos 0sen 2x πθ θ

ρ φ= = ⇒ =

3 , pois 2 3 0.2

yπθ ≠ = >

Integrais Triplas em coordenadas esféricas

Nesse sistema de coordenadas à caixa retangular é uma cunha esférica

onde

( ){ }, , | , ,E a b c dρ θ φ ρ α θ β φ= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

0, 2 ea d cβ α π π≥ − ≤ − ≤

Integrais Triplas em coordenadas esféricas

seni kρ φ θΔ

seni i kr ρ φ=seni i kr θ ρ φ θΔ = Δ

Fórmula para Integração Tripla em coordenadas cilíndricas

onde é um cunha esférica dada por

( ) 2

( , , )

sen cos , sen sen , cos sen d d d

Ed b

c a

f x y z dV

fβ

αρ φ θ ρ φ θ ρ φ ρ φ ρ θ φ=

∫∫∫

∫ ∫ ∫

   

E

( ){ }, , | , ,E a b c dρ θ φ ρ α θ β φ= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Extensão da fórmula

A fórmula anterior pode ser estendida para incluir regiões esféricas mais gerais, como

Calcule onde é a bola unitária:

Exemplo 3

( )3/22 2 2

,x y z

Be dV+ +

∫∫∫B

( ){ }2 2 2, , | 1B x y z x y z= + + ≤

Exemplo 3

Solução: como a fronteira de é uma esfera, utilizaremos coordenadas esféricas:

Além disso, as coordenadas esféricas são

convenientes, pois

B

Exemplo 3

( )

( )

[ ] ( )

3/22 2 2

3/22

3

3

2 1 2

0 0 02 1 2

0 0 01

00

sen d d d

sen d d

1 4cos 2 ( 1)3 3

x y z

Be dV

e

d e

e e

π π ρ

π π ρ

π ρ

ρ φ ρ θ φ

φ φ θ ρ ρ

φ π π

+ +

=

=

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

Exemplo 3

Seria extremamente complicado calcular a integral sem coordenadas esféricas. Com coordenadas retangulares, a integral seria

Exemplo 4

Ut i l i ze coordenadas es fér icas para determinar o volume do sólido delimitado pelo cone e pela esfera

(veja a figura).

Exemplo 4

Exemplo 4

Solução

Note que a esfera passa pela origem e tem centro em Escrevemos a equação da esfera em

coordenadas esféricas como

ou

10,0, .2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Solução

A equação do cone pode ser escrita como Isto dá ou Logo, a descrição do sólido em coordenadas

esféricas é

2 2 2 2 2 2cos sen cos sen sen sen .ρ φ ρ φ θ ρ φ θ ρ φ= + =

sen cosφ φ=

Solução

Solução

2 /4 cos 2

0 0 0cos32 /4

0 00

/44/4 3

00

( )

sen d d d

sen d3

2 2 cossen cos d3 3 4

E

V E dV

d

π π φ

φπ π

ππ

ρ φ ρ φ θ

ρθ φ φ

π π φφ φ φ

=

=

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫∫∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫