Conferencia 2

Conferencia 4Introduo anlise de sistemas dinmicos. Resposta transitria de sistemas de primeira e segunda ordemDisciplina: Controlo AutomticoSumario Introduo Resposta transitria e em estado estvel.Sistemas de primeira ordem.Resposta transitria e resposta em estado estvel. Sistemas de 2do ordem.ConclusesObjetivos Realizar a anlise da resposta temporria de sistema lineares invariantes com o tempo de primeira e segunda ordem, tendo em conta a estabilidade absoluta e a estabilidade relativa.Bibliografia: Aprenda MATLAB 5.3 como si estuviera en primero. J. G. de Jaln, J. I. Rodrguez y A. BrazlezIntroduo Recordemos que ao estudar os sistemas de controlo, devemos ser capazes de modelar sistemas dinmicos e analisar as caractersticas dinmicas.O que entende voc por modelo matemtico?Um modelo matemtico de um sistema dinmico se define como um conjunto de equaes que representam a dinmica do sistema com preciso ou, ao menos, bastante bem.O que entende voc por anlise dos sistemas de controlo?A anlise dos sistemas de controlo, consiste em avaliar o desempenho dos mesmos para diversas condies de operao, variando o sinal de referncia, submetendo-o a diversas perturbaes, ou ambos. Os mtodos de anlise proporcionam informao sobre o comportamento dos sistemas fsicos.

Introduo Na prtica, o sinal de entrada para um sistema de controlo no se conhece com antecipao, mas de natureza aleatria, e a entrada foto instantnea no pode expressar-se em forma analtica. S em alguns casos especiais se conhece com antecipao o sinal de entrada e se pode expressar em forma analtica ou mediante curva; tal o caso do controle automtico de ferramentas de corte.Resposta transitria e em estado estvel. Para a anlise e desenho dos sistemas de controlo geralmente se empregam diferentes sinais de prova. O sistema pode ser excitado (provado) com distintos sinais de entrada r(t). As mais utilizadas so as funes impulsiono unitrio, escalo unitrio, rampa unitria e sinusoide de amplitude unitria, ver figura 7.1.

Resposta transitria e em estado estvel. A resposta no tempo de um sistema de controlo consta de duas partes: a resposta transitria e a resposta em estado estvel.Por resposta transitria referimos a que vai do estado inicial ao estado final.Por resposta em estado estvel, referimo-nos maneira na qual se comporta a sada do sistema conforme t tende o infinito.Para aplicar estes conceitos devemos introduzir outros, tais como: Estabilidade absoluta, estabilidade relativa e erro em estado estvel. Resposta transitria e em estado estvel. Ao desenhar um sistema de controlo, devemos ser capazes de predizer seu comportamento dinmico a partir do conhecimento dos componentes. A caracterstica mais importante do comportamento dinmico de um sistema de controlo a estabilidade absoluta, quer dizer, se o sistema for estvel ou instvel. Um sistema de controlo est em equilbrio se, em ausncia de qualquer perturbao ou entrada, a sada permanece no mesmo estado. Um sistema de controlo linear e invariante com o tempo estvel se a sada terminar por retornar a seu estado de equilbrio quando o sistema est sujeito a uma condio inicial. Resposta transitria e em estado estvel. Um sistema de controlo linear e invariante com o tempo criticamente estvel se as oscilaes da sada continuam para sempre. instvel se a sada divergir sem limite a partir de seu estado de equilbrio quando o sistema est sujeito a uma condio inicial. Em realidade, a sada de um sistema fsico pode aumentar at um certo grau, mas pode estar limitada por detenes mecnicas ou o sistema pode paralisar-se ou voltar-se no linear depois de que a sada excede certa magnitude, pelo qual j no se aplicam as equaes diferenciais lineares.Resposta transitria e em estado estvel. Entre os comportamentos importantes do sistema (alm da estabilidade absoluta) que devem receber uma cuidadosa considerao esto a estabilidade relativa e o erro em estado estvel. Dado que um sistema de controlo fsico implica um armazenamento de energia, a sada do sistema, quando este est sujeito a uma entrada, no acontece entrada imediatamente, mas sim exibe uma resposta transitria antes de alcanar um estado estvel. A resposta transitria de um sistema de controlo prtico com frequncia exibe oscilaes amortecidas antes de alcanar um estado estvel. Se a sada de um sistema em estado estvel no coincide exatamente com a entrada, diz-se que o sistema tem um erro em estado estvel. Este erro indica a preciso do sistema.Resposta transitria e em estado estvel. Ao analisar um sistema de controlo, devemos examinar o comportamento da resposta transitria e o comportamento em estado estvel.O comportamento transitrio dos sistemas de controlo acontece quando se passa de um estado estacionrio a outro e nele importante analisar o desempenho do sistema em relao a trs aspetos:1. A Rapidez de Resposta2. A Oscilatriedade3. A EstabilidadeResposta transitria e em estado estvel. A Rapidez de Resposta, refere-se rapidez com que transcorre o processo transitrio, o qual, como se compreende, deve desaparecer com a maior rapidez possvel. A Oscilatoriedad tem que ver com o fato de que no perodo de tempo em que a varivel de sada trata de alcanar o estado estvel, os valores instantneos desta varivel podem ultrapassar transitoriamente o valor estvel em quantidades no permissveis pelos sistemas fsicos que se controlam.Resposta transitria e em estado estvel. A Estabilidade o modo de desempenho mais importante pois garante que, uma vez que o sistema sai de seu ponto em estado estacionrio devido a qualquer perturbao ou mudana na referncia, retorna a outro estado estacionrio passado certo tempo.A anlise o realizar a partir da Funo de Transferncia do sistema que em sua forma mais ampla ter a seguinte expresso, onde, no numerador se encontram os zeros, esta funo tem m zeros e no denominador os polos, esta expresso tem n polos ou razes

Sistemas de primeira ordem.Os sistemas de primeira ordem so os que tm um s elemento armazenador de energia e sua funo de transferncia se mostra na figura 7.2.

Resposta de um sistema de 1er ordem a uma entrada em escalo Analisara-se a resposta do sistema primeiro a uma entrada em degrau tal como a mostrada na Figura 7.2.Para isso, utilizando a expresso da funo de transferncia e tendo em conta a T.L. do degrau Ro/s, obtm-se a T.L. da sada C(s):

Anti transformando o expressariam no domnio do tempo teriam:

Resposta de um sistema de 1er ordem a uma entrada em escalo Na figura 7.3 se mostra o grfico desta resposta, realmente ela tende a seu valor final em estado estvel K.Ro em um tempo infinito. Agora bem, considera-se que quando o sinal alcana 95% de seu valor final j se alcanou o regime permanente ou estvel. Ao tempo no qual se alcana este por cento do final lhe denomina Tempo de Estabelecimento tss e se calcula fazendo:

Limpando o tempo de estabelecimento se obtm:

Resposta de um sistema de 1er ordem a uma entrada em escalo

Este parmetro mede a rapidez de resposta de um sistema de primeira ordem e pode ento dizer-se que, uma vez transcorridas trs constantes de tempo, o sistema alcana o estado estvel ou regime permanente. Na figura 7.4., tambm se mostra que, se se tiver a resposta no tempo e quer averiguar a equao, que o processo de identificao, prolonga-se o pendente na origem da curva at cortar o valor final estvel e se obtm o valor da constante de tempo T. A curva de resposta exponencial C(t) obtida mediante a equao (7.2) , se, KRo=1, aparece na figura 7.4Resposta de um sistema de 1er ordem a uma entrada em escalo Em uma constante de tempo, a curva de resposta exponencial foi que 0 a 63.2% do valor final. Em dois constantes de tempo, a resposta alcana 86.5% do valor final.Em t = 3T, 4T e 5T, a resposta alcana 95,98.2 e 99.3%, respetivamente, do valor final.Portanto, para t = 4T, a resposta permanece dentro de 2% do valor final. Como se observa na equao (7.2), o estado estvel se alcana matematicamente s depois de um tempo infinito. Entretanto, na prtica, uma estimativa razovel do tempo de resposta a longitude de tempo que necessita a curva de resposta para alcanar a linha de 2% do valor final, ou quatro constantes de tempo.Finalmente deve destacar-se que um sistema de primeira ordem sempre sobreamortiguado, ou seja, nunca oscila.Resposta de um sistema de 1er ordem a uma entrada rampaSe a entrada for em rampa, a expresso 7.1, converte-se em: Dado que a transformada do Laplace da funo rampa unitria 1/s2

Anti transformando se obtm: Para obter a resposta em estado estacionrio, faz-se tender o tempo a infinito e se obtm:

Resposta de um sistema de 1er ordem a uma entrada rampaNa figura 7.5 se mostra a forma do sinal de entrada Rampa e a de sada com um elemento de ganho unitrio. Observa-se como, em estado estacionrio, o sinal de sada tem a mesma forma que a de entrada mas com um certo retardo.Conforme t tende a infinito, se KRo=1, e-t/T se aproxima a zero e, portanto, o sinal de erro e(t) aproxima-se a T.

Resposta de um sistema de 1er ordem a uma entrada impulsiono unitrioPara a entrada impulsiono unitrio, R(s) = 1 e a sada do sistema da figura 7.1, podem obter-se como: A curva de resposta obtida mediante a equao (7.7) aparece na figura 7.6. Uma propriedade importante dos sistemas lineares e invariantes com o tempo

Sistemas lineares e invariantes com o tempoUma comparao das respostas do sistema para estas trs entradas indica com claridade que:A resposta derivada de um sinal de entrada se obtm diferenciando a resposta do sistema para o sinal original. A resposta para a integral do sinal original se obtm integrando a resposta do sistema para o sinal original e determinando as constantes de integrao a partir da condio inicial de sada zero.Na anlise anterior, demonstrou-se que, para a entrada rampa unitria, a sada c(t) :

Sistemas lineares e invariantes com o tempoPara a entrada escalo unitrio, que a derivada da entrada rampa unitria, a sada c(t) : Por ltimo, para a entrada impulsiono unitrio, que a derivada da entrada escalo unitrio, a sada c(t) : Esta uma propriedade dos sistemas lineares e invariantes com o tempo. Os sistemas lineares e variantes com o tempo e os sistemas no lineares no possuem esta propriedade.

Sistemas lineares e invariantes com o tempoEsta uma propriedade dos sistemas lineares e invariantes com o tempo. Os sistemas lineares e variantes com o tempo e os sistemas no lineares no possuem esta propriedade.

Sistemas lineares e invariantes com o tempoAnalisemos um exemplo onde se mostrem as propriedades estudadas para sistemas de 1er ordem

Resposta transitria e resposta em estado estvel. Sistemas de 2do ordem.A anlise dos sistemas de controlo, consiste em avaliar o desempenho dos mesmos para dissimiles condicione de operao, variando o sinal de referncia, submetendo-o a diversas perturbaes, ou ambos. Os mtodos de anlise proporcionam informao sobre o comportamento dos fsicos.O que caracteriza a um sistema de 2do ordem?Os sistemas de segunda ordem so os que possuem dois elementos armazenadores de energia e sua funo de transferncia normalizada tem a seguinte forma:

Sistemas de 2do ordem.Um sistema de segunda ordem (equao 8.1) aquele que possui dois polos e nenhumas zero. Em um sistema de 2do ordem:Kn o ganho esttica do sistema e igual a K n2. j (zshi) a razo de amortizao.n a frequncia de oscilao natural (sem amortizao).Qual a equao caracterstica de um sistema de 2do ordem?O denominador da Funo de Transferncia a Lao Aberto (F.T.L.A) igualado a zero, equao 8.2.

Sistemas de 2do ordem.

Dependendo do carter dos polos do sistema de segunda ordem, este pode ser:1.Sistema subamortiguado. O a razo de amortizao possui um valor entre 0 e 1 e os polos do sistema de segunda ordem so complexo-conjugadas. Sua posio aparece na equao (8.3). A constante sigma a atenuao do sistema e d a frequncia natural amortecida. Na Figura 8.2 se define o ngulo que forma os polos complexo-conjugados no plano complexo S com a origem.

Sistemas de 2do ordem.

Dependendo do carter dos polos do sistema de segunda ordem, este pode ser:2.Sistema sobreamortiguado. A razo de amortizao maior que a unidade e os polos do sistema de segunda ordem so reais localizadas em:

Sistemas de 2do ordem.

Dependendo do carter dos polos do sistema de segunda ordem, este pode ser:3.Sistema criticamente amortecido. A razo de amortizao igual unidade e os polos so reais e iguais.

Sistemas de 2do ordem.

Dependendo do carter dos polos do sistema de segunda ordem, este pode ser:4.Sistema oscilatrio. A razo de amortizao zero e os polos do sistema de segunda ordem so complexo conjugados imaginrios puros localizados em:

Resposta de um sistema de 2do ordem.Analisara-se a resposta do sistema primeiro a uma entrada em degrau, F.T se mostra na expresso 8.7.Uma vez obtida a transformada do Laplace da sada, aplica-se a anti transformada e se obtm a resposta no tempo.

Resposta de um sistema de 2do ordem.

Caso 1. Razo de amortizao menor que 1Neste caso as duas razes da equao caracterstica 8.2 so complexas conjugadas e como se viu antes esto dadas por:

Onde wd a denominada Frequncia Natural Amortecida. A localizao da razes no plano complexo (s=s+ jw) mostra-se na 8.3.

Resposta de um sistema de 2do ordem.

Resposta a uma entrada em escalo Ante uma entrada em escalo de valor Ro se aplica 8.7 fazendo R(s)=Ro/s.A expresso da resposta no tempo : Na figura 8.4 se mostra a resposta do sistema para quatro valores diferentes da razo de amortizao e um mesmo valor de frequncia natural no amortecida. Como pode apreciar-se, a menor razo de amortizao, o sistema se faz mais oscilatrio.

Resposta de um sistema de 2do ordem.Na figura 8.5 se mostram os indicadores dinmicos da resposta temporria de um sistema de segunda ordem com plos complexos conjugados.

Resposta de um sistema de 2do ordem.Estes indicadores so:O Tempo de Ascenso tr que o tempo que demora o sinal de sada em alcanar pela primeira vez o valor final.O Tempo de Pico tp que o tempo que demora o sinal de sada em alcanar o valor pico.O Tempo de Estabelecimento tss que o tempo que demora o sinal em alcanar uma banda de 5% por cima e por debaixo do valor final e manter-se nela.O Por cento do Sobre regulao ou Sobre impulso que o valor relativo do pico com relao ao valor final.

Resposta de um sistema de 2do ordem.Para determinar a expresso do tempo de crescimento se faz c(t) = K.Ro em 8.9 e se limpa o tempo correspondente primeira entrada na oscilao obtendo-se: Para o tempo de pico se deriva a expresso 8.1, iguala-se a zero e se limpa o tempo correspondente ao primeiro mximo, obtm-se:

A partir desta mesma expresso se calcula o sobre impulso ou sobre regulao:

Resposta de um sistema de 2do ordem.A determinao do tempo de estabelecimento se faz a partir de uma anlise da entrada na banda de separao menor que um 5 % como se explicou anteriormente e se obtm:

Este ltimo parmetro o principal avaliador da rapidez de resposta.

Resposta de um sistema de 2do ordem.

Resposta a uma entrada em rampa.Dado que a transformada do Laplace da funo rampa unitria 1/s2. Aplicando 8.1 com a transformada do Laplace da rampa R0/s2 se obtm a resposta no tempo:Na figura 8.6 se mostra esta resposta para um sistema de razo de amortizao igual a 0,1 e ganho unitrio, junto ao sinal de entrada.

Resposta de um sistema de 2do ordem.Caso 2. Razo de amortizao igual a um.Este o denominado amortizao crtico, a funo de transferncia do sistema toma a seguinte forma:

Esta funo tem duas razes reais e iguais S1, 2 = -wn e aplicando 8.1.

Resposta de um sistema de 2do ordem.

Caso 2. Razo de amortizao igual a um.I. Resposta para uma entrada em escalo.Determinando a anti transformada se obtm a resposta no tempo:

A forma desta resposta se mostra na figura 8.7:

Resposta de um sistema de 2do ordem.Resposta para uma entrada Rampa.A resposta a uma rampa tem uma forma parecida com a de um sistema de primeira ordem. O tempo de estabelecimento est dado por:

Caso 3. Razo de amortizao maior que um.I. Resposta para uma entrada em escalo.Para este caso a aplicao de 8.1 d:

Resposta de um sistema de 2do ordem.A equao caracterstica tem duas razes e desiguais que so:

E a anti transformada de 8.20 , que a resposta no tempo igual a:

Resposta de um sistema de 2do ordem.Como pode apreciar-se, a resposta est formada por dois exponenciais decrescentes e ser portanto no oscilatria e sobreamortiguada. Neste caso, a funo de transferncia pode decompor-se em duas funes de sistemas de primeira ordem tal como se mostra na equao 8.21:

Resposta de um sistema de 2do ordem.Aprecia-se tambm que, se a razo de amortizao relativamente grande, a segunda constante de tempo muito maior que a primeira e aquela pode desprezar-se. Por exemplo, para uma razo de amortizao de 1,5 e uma frequncia natural sem amortizao de 10 rad/seg as constantes de tempo so T1 = 0,037 segundos e T2 = 0,3125 segundos e o sistema pode aproximar-se a uma de primeira ordem com constante de tempo 0,3125 segundos.Resposta para uma entrada Rampa.A resposta rampa para estes casos similar tambm a de um sistema de primeira ordem.

Concluses Na atividade de hoje comeamos a estudar, o anlises dos sistemas de controlo, vimos a importncia que este procedimento reviste no desenho de sistemas de controlo, alem estudamos as sinais de prova tpicas e o efeito que estas causam num sistemas de 1er ordem e 2do ordemConcluses Estudo independente:Exerccios a desenvolver no seminrio a seguir: 1.Obteno da funo de transferncia a partir de um diagrama de blocos escrito no SIMULINK:a)Abrir o SIMULINK e em um novo documento deste e desenhar o diagrama de blocos do motor do CDEI estudado na conferncia 3 e a aula prtica 3. Faz-lo utilizando os smbolos.b)Escrever o seguinte M-file com os dados do motor da aula prtica 3 e o clculo das constantes de tempo.