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7/25/2019 Conferencia 2.pdf

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Facultad de Ingeniera

Departamento de Ingeniera Civil y Ambiental

Centro de Investigacin en Acueductos y Alcantarillados - CIACUA

SISTEMAS INTEGRADOS DE

DRENAJE URBANO

Hidrulica de tuberas parcialmente llenas bajoflujo uniforme

Conferencia 2




CONTENIDO

En esta clase se expondrn los conceptos bsicos pararealizar el diseo de una tubera fluyendo parcialmentellena, tramo a tramo, bajo la condicin de flujouniforme.

Ecuaciones de resistencia fluida en canales.

Ecuacin de Chzy.

Ecuacin de Manning.


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El flujo en tuberas parcialmente llenas tiene las siguientescaractersticas:

a) Rugosidad absoluta constante a lo largo de la superficieinterna de la tubera. Sin importar la profundidad deflujo, el material sigue siendo el mismo.

ks= cte

b) La forma del rea transversal es independiente de lacoordenada longitudinal. Es decir, la seccin transversales igual a lo largo de toda la tubera.

FLUJO EN TUBERAS

PARCIALMENTE LLENAS




FLUJO UNIFORME

Literal D.6.2.1 RAS 2012

En general, cada uno de los tramos que forman partedel sistema de alcantarillado debe disearse como unconducto a flujo libre por gravedad. El flujo de aguasresiduales o de aguas lluvias en una red dealcantarillado para su recoleccin y evacuacin no espermanente. Sin embargo, el dimensionamientohidrulico de la seccin transversal de cada tramopuede hacerse suponiendo que el flujo es uniforme,debido a que siempre va a existir una tendencia aestablecer este tipo de flujo. Esto es particularmentevlido para los tramos de dimetro pequeo.


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FLUJO UNIFORME

El diseo de tuberas fluyendo parcialmente llenas se hacesuponiendo condiciones de flujo uniforme, es decir, aquelflujo para el cual sus caractersticas permanecen constantesen el espacio y en el tiempo:

1- Velocidad = cte, F1(x,t)2- Profundidad (y)= cte, F2(x,t)




En el caso de flujo uniforme en canales, laspendientes defondo,de la superficie libre yde la lnea de energa totalson iguales. Esto hace que el clculo hidrulico necesariopara el diseo de una tubera parcialmente llena seasencillo.

FLUJO UNIFORME

1

2L


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4




Si el flujo es uniforme, la velocidad y la profundidad nopueden variar con la distancia xa lo largo de la tubera; estoimplica que las profundidades para todas las seccionesdeben ser iguales, por lo que la lnea de gradientehidrulico (LGH) es paralela al fondo:

FLUJO UNIFORME

(1)

(2)

Sw= So

Como la velocidad tambin tiene que ser constante, laaltura de velocidad es constante para todas las secciones alo largo del canal; esto significa que la lnea de energatotal (LET) debe ser paralela a LGH y que:

Sf = Sw




Igualando la Ecuacin (1)y Ecuacin (2), se puede concluirque las tres pendientes son iguales. Luego:

So= Sf= Sw

Esta ltima ecuacin es vlida solamente para el caso deflujo uniforme. De la Ecuacin (3) se deduce que este tipode flujo no es posible en canales horizontales (So = 0) ya queesto implicara que:

Sf = So= 0

Lo que significa que la pendiente de friccin es nula y queno hay prdidas de energa en el flujo. Esto no puede sercierto para fluidos reales. Lo mismo sucede en el caso detuberas con pendientes adversas.

FLUJO UNIFORME

(3)


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5




Para obtener las ecuaciones de resistencia fluida entuberas parcialmente llenas, se toma un volumen decontrol como el mostrado en la siguiente figura (en sta semuestra una tubera parcialmente llena como ejemplo decanal abierto).

ECUACIONES DE RESISTENCIA FLUIDA ENTUBERAS PARCIALMENTE LLENAS

Se supone que el canal tiene pendiente baja (So 10%) de

tal manera que la distribucin de presiones sea hidrosttica . Como la velocidad es constante, el fluido no sepuede estar acelerando (a

x= 0) lo cual implica que:

Fx= max= 0




Figura 1Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actan en una tubera

parcialmente llena.

1

2

dWsen

dW(peso)

ECUACIONES DE RESIST. FLUIDAFlujo Uniforme


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Como las profundidades y las reas de las secciones (1) y(2) de la figura 1 son iguales, las fuerzas de presin F1yF2son iguales y opuestas y por lo tanto se cancelan.

Por otro lado, el peso W del fluido contenido dentro delvolumen de control es:

Por consiguiente, al aplicar laecuacin de sumatoria defuerzas se obtiene:

(4)

ECUACIONES DE RESIST. FLUIDA




Volviendo a la Ecuacin (4), se tiene que: (5)

De la figura 1, resulta claro que:

(6)

Esta ltima ecuacin sirve para describir el flujo uniforme,en el cual existe un balance entre las fuerzas que tratan deacelerar el flujo (fuerzas gravitacionales) y las que tratande frenarlo (fuerzas viscosas).



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7




Reemplazando la Ecuacin (6) en la Ecuacin (5), seobtiene:

Despejando o, se obtiene la siguiente expresin para elesfuerzo cortante en la pared de la tubera:

(7)





Para el caso de flujo en tuberas llenas y fluyendo apresin, la ecuacin para el esfuerzo tiene la siguienteforma:

Esta cada en la presin piezomtrica se relaciona conun cambio en la altura de velocidad a travs de laecuacin de Bernoulli:

(8)

Donde dp*= Cada de la presin piezomtrica (p+gz) a lolargo de dx.



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8




De sta ltima ecuacin:

Multiplicando por rg:

Volviendo a dividir por g:





Por consiguiente, se puede establecer una ecuacincomo la siguiente:

Reemplazando este ltimo resultado en la Ecuacin(8), se obtiene:

(9)



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9




Esta ecuacin se puede volver a escribir como:

Igualando las Ecuaciones (7) y (10), se llega a:

(10)

Donde a es el factor adimensional que depende de g, R y x.





Histricamente, las ecuacionesde flujo uniforme han sidopresentadas considerando lavelocidad de flujo como funcindel radio hidrulico y lapendiente.

Si se define

Esta ecuacin se conoce como la ecuacin de Chzy

ECUACIN DE CHZY

(11)


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Antoine Chzy, ingeniero francs, fue encargado dedisear un canal para suministro de agua entre el RoYvette y Pars (1768). Sus recomendaciones finales (1775)incluan su frmula escrita en trminos de relaciones develocidades de dos ros; posteriormente, entreg lafrmula para la velocidad como ahora se conoce.

Present un valor constante de C, pero comprendi queste variaba de un ro a otro. Su trabajo slo fueconocido hasta 1897 cuando fue publicado en EstadosUnidos.

ECUACIN DE CHZY

(C de Chzy)




El coeficiente C de Chzy es un factor que describe larugosidad del canal por el cual fluye el agua. Susdimensiones son:

Esto hace que la ecuacin de Chzysea vlida nicamente para elSistema Internacional (SI) deunidades.

ECUACIN DE CHZY


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Literal D.6.2.1 RAS 2012

En ingeniera existen diferentes ecuaciones de flujouniforme apropiadas para este tipo de clculo, dentrode las cuales se destacan la ecuacin de Darcy-Weisbach, en conjunto con la ecuacin de Colebrook-White y la ecuacin de Manning.

RELACIN ENTRE CHZY Y DARCY-WEISBACH




La ecuacin ms general para calcular las prdidas porfriccin en ductos es la ecuacin de Darcy- Weisbach, lacual est fsicamente basada. sta tiene en cuenta lasecuaciones de Newton para el movimiento y las teoras

de capa lmite de Prandtl.Lo anterior implica que laecuacin de Chzy debe poderdeducirse analticamente dela ecuacin de Darcy-Weisbach.



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Teniendo en cuenta la ecuacin de Darcy-Weisbach:

Se puede despejar la velocidad para obtener la siguienteecuacin:

Donde la altura perdida por friccin dividida entre lalongitud es la pendiente de friccin:

(12)





Para el caso de tuberas circulares, las ecuaciones quedescriben el rea mojada, el permetro mojado y elradio hidrulico son:

P

A

d

(a)

(b)

(c)

(13)

Luego:


v


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13




Por consiguiente, se puede establecer la siguienterelacin entre el dimetro interno de la tubera y el radiohidrulico:

d = 4R

Reemplazando la Ecuacin (14) en la Ecuacin (13), seobtiene:

Comparando la Ecuacin (15) con la Ecuacin (11), sellega a:


(14)

(15)




Si el flujo es uniforme, Sf= S, por lo tanto:

Esta ecuacin establece una relacin inversa entre elcoeficiente C de Chzy y el factorfde Darcy-Weisbach, eindica que las dos ecuaciones tienen la misma forma;entonces, el coeficiente C debe ser una funcin de:


(16)


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Como g es constante, resultaclaro que el coeficiente C deChzy tambin depende de larugosidad relativa de latubera y del nmero deReynolds:


(17)




CLCULO DEL COEFICIENTE C DE CHZY

Utilizando la Ecuacin (16) se pueden plantear lassiguientes ecuaciones para los diferentes tipos deflujo, teniendo en cuenta la siguiente expresin delnmero de Reynolds:

(18)


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a) Flujo Laminar: Para este tipo de flujo se tiene que

De donde resulta que:


C=

C=

=

(19)




b) Flujo Turbulento Hidrulicamente Liso: Para este tipode flujo se tienen dos posibles ecuaciones:

De esta ecuacin se puede obtener el C de Chzy:


(20)

b-1) Ecuacin de Blassius:


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b-2) Ecuacin de Prandtl- von Krmn:

Para valores superiores de Re se utiliza la Ecuacin (21),no explcita para el coeficiente C.


(21)

Donde:

La Ecuacin (20) est limitada para Re 100.000.




c) Flujo Turbulento Hidrulicamente Rugoso: El factor defriccin de fde Darcy-Weisbach est descrito por laecuacin de Prandtl-von Krman:

Utilizando esta ltima ecuacin es fcil obtener lasiguiente expresin:

El coeficiente C de Chzy nicamente es funcin de larugosidad relativa ks/R.


(22)


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d) Flujo Turbulento Transicional:Para este tipo de flujo seutiliza la ecuacin de Colebrook-White.

De esta se puede obtener la siguiente ecuacin para elcoeficiente C de Chzy:


(23)

En tuberas parcialmente llenas, la variacin del radiohidrulico es grande y por consiguiente el C de Chzy esfuncin de la profundidad de flujo, igual que de lapendiente y la rugosidad absoluta de las paredes de latubera.




En las tuberas modernas probablemente el flujo sea liso.Sin embargo el Re va a ser muy alto, por lo que el flujopodra pasar de turbulento a transicional.Debido a lo anterior la Ecuacin (19) y la Ecuacin (21)

son de poca utilidad.La ecuacin que debe ser utilizada para el diseo es laEcuacin (23), que cubre todo el rango del flujoturbulento aunque no es explcita para C.



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Ya que el clculo de C no es explcito en la Ecuacin (23),surgieron diagramas parecidos al diagrama de Moody paraeste coeficiente. Como la relacin entre C yfes inversa,el diagrama es inverso al diagrama de Moody.

DIAGRAMA DE MOODY PARA EL CLCULO DEL C DE CHZY




DIAGRAMA DE CHZY

Figura 2 Diagrama de Chzy para Canales Abiertos


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DIAGRAMA DE MOODYEs importante notar que la mayora de diseos hidrulicos,incluso los de presin y los de canales abiertos se hacencon nmeros de Reynolds dentro del rango de 105 y 106, yrugosidades relativas entre 10-4 y 10-6 .

En la Figura 2, se aprecia que dentro de los anterioresrangos, grandes diferencias en la rugosidad del conductono afectan significativamente el f para el rango normal demateriales de manufactura.




La zona de flujo transicional, en la cual es obligatorioutilizar la Ecuacin (23), est definida por:

Donde: ks= Rugosidad absoluta = Viscosidad cinemtica

v*

= Velocidad de corteEsta ltima velocidad est definida mediante la siguienteecuacin:



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Esta velocidad de corte se puede relacionar fcilmentecon la velocidad media del flujo en la tubera fluyendoparcialmente llena:

La ecuacin (24)implica que las unidades del coeficienteC sean:


(24)

Luego:




ECUACIN DE MANNINGEsta ecuacin fue propuesta por Robert Manning hacia elfinal de su carrera en 1889 a la edad de 73 aos. Estbasada en el trabajo de Darcy y Bazin sobre canalesexperimentales reales entre 1855 y 1860.

(25)

Para el dimensionamiento de la seccin transversal de latubera tambin se puede utilizar la ecuacin deManning, mostrada a continuacin, la cual es aplicablenicamente para el caso de flujo uniforme turbulentohidrulicamente rugoso.

Literal D.6.2.7.2 RAS 2011


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El trabajo experimental de Darcy y Bazinfue publicado por este ltimo en 1865despus de la muerte de Darcy. Concluyque el C de Chzy dependa de lanaturaleza de la rugosidad superficial delas fronteras del canal.

Manning ajust siete ecuaciones de flujo uniforme paravelocidad en canales abiertos, y calcul, para cada una,

la velocidad en un rango de radio hidrulico entre 0.35 y30 m, para una pendiente dada.

De estos resultados preliminares, concluy que lavelocidad es proporcional al radio hidrulico elevado a la4/7 y proporcional a la pendiente elevada a la 1/2 .

Henry Darcy




Sin embargo, para obtener una ecuacin ms general,Manning analiz los resultados de algunos experimentosseleccionados de Bazin en canales semicircularesrevestidos con cemento y con una mezcla de arena y

cemento.Manning concluy que el exponente en ambos casos eramuy cercano a 2/3.

Luego:

ECUACIN DE MANNING

Robert Manning


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por Williams (1970),demuestra que otros10 investigadorespropusieron unafrmula de este tipo.

La frmula resultante para flujo uniforme fue dada porManning en 1889, en la que el subndice 1 se aade paradistinguir el coeficiente del C de Chzy.

ECUACIN DE MANNING

Flamant public la anterior ecuacin en su libro texto de1891 y la referenci como la frmula de Manning. Sinembargo, un repaso cuidadoso del registro histrico hecho




La primera sugerencia del exponente de 2/3 sobre elradio hidrulico realmente fue hecha por el ingenierofrancs Philippe Gauckler en 1867.

La frmula de Gauckler tambin estuvo basada en losexperimentos de Darcy y Bazin pero nunca recibi granaceptacin debido al uso de la ecuacin propuesta porGanguillet y Kutter en 1869 para el C de Chzy.

Esta ecuacin para C era muy compleja y tena unadependencia de la pendiente y un coeficiente derugosidad nico, nconocido como el nde Kutter.

ECUACIN DE MANNING


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El irnico giro final en el desarrollo de lo que seconoce como la frmula de Manning fue la sugerenciahecha por Flamant: que C1en la frmula de Manningpodra expresarse como el inverso del nde Kutter enunidades simtricas.

Algunos textos subsecuentes

repitieron esta afirmacin y elhidrulico americano King(1918) defendi este pasorefirindose al coeficientecomo el nde Manning".

ECUACIN DE MANNING




Lo que ahora conocemos como la frmula de Manning seescribe hoy como:

En la cual ves la velocidad; Res el radio hidrulico; y Ses la pendiente del lecho. El valor de K

n=1.0 con Ren

m y ven m/s, y Kn=1.49 para Ren pies y ven pies/s.

ECUACIN DE MANNING

El factor 1.486 resulta de la conversin de metros a piesen la siguiente forma: 1 m = 3.28 pies

(26)


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De acuerdo a la Ecuacin (26) se obtienen las dimensionesdel nde Manning:

ECUACIN DE MANNING

=




COMPARACIN ENTRE LA ECUACIN DE

MANNING Y LA ECUACIN DE CHEZY

En la Figura 3 se encuentran graficados en formalogartmica los resultados encontrados por Nikuradse (atravs de las ecuaciones de Prandtl y Chzy) y por

Manning. De acuerdo a esta grfica, es claro que losresultados encontrados por estos dos investigadores seajustan bastante bien para:

Esto describe un rango de flujo hidrulicamente rugoso.


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Figura 3. Comparacin entre la ecuacin de Darcy-Weisbachy la ecuacin de Manning (Nikuradse).




Las ecuaciones utilizadas para la grfica son:

Nikuradse

Manning

En la grfica resulta claro que el factor de friccin deDarcy- Weisbach est relacionado proporcionalmentecon el radio hidrulico y la rugosidad absoluta:

COMPARACIN ENTRE LA ECUACIN DE

MANNING Y LA ECUACIN DE CHEZY


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Pero de acuerdo con la relacin entre el coeficiente CdeChzy y el factor de friccin de Darcy-Weisbach (f) setiene la siguiente proporcionalidad:

Teniendo en cuenta las dos proporcionalidades

anteriores:

Comparando esta ltima ecuacin con la Ecuacin (25),se concluye:

COMPARACIN ENTRE MANNING Y CHZY

(27)




Existen varias ecuaciones de este tipo para el clculo delcoeficientende Manning. Algunos ejemplos son:

Donde, d = dimetro del grano, o rugosidad absoluta (ks)

en pies para rugosidad constante.

En caso de que se tenga un lecho aluvial con arenas ygravas bien gradadas se puede utilizar una ecuacin comosta:

Donde, d50 = dimetro 50, en pies, para casos degranulometra variable.

(28)

(29)


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La Ecuacin (28) y Ecuacin (29) son aplicables a aquelloscasos en los cuales la rugosidad es constante o para elcaso de lechos aluviales conformados por arenas y gravassin ningn tipo de rugosidad de forma.

AlcantarillasBox-culvertAducciones

Algunos ejemplos de estos casos son:

Canales artificiales deun solo materialLechos aluviales conseccin transversalaproximadamenteconstante y con bajogrado de meandrosidad




1.Usar inapropiadamente la ecuacin de Manning,teniendo en cuenta que los nuevos materiales, como elPVC o el GRP, podran invalidar la suposicin de flujoturbulento hidrulicamente rugoso.

2.Ignorar la variacin del n de Manning con respecto alradio hidrulico o profundidad de flujo en la tubera, locual cambia la rugosidad relativa.

3.Mantener el mismo n de Manning para tubos de unmismo material pero diferente dimetro. Estonuevamente afecta la rugosidad relativa.

Riesgos asociados con el uso de la ecuacin de Manning enel diseo:


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El n de Manning solamente es funcin de la rugosidad delconducto para un diseo con una precisin cercana al20% del valor real de la velocidad y del caudal.De lo contrario, es deseable para la estimacin delcoeficiente considerar los otros factores (ASCE ,2007).

Consideraciones alrededor del n de Manning:

Despus de varios intentos la ASCE hall un rango de

valores de n compatibles con un caudal y una seccintransversal dados, que arrojaba la profundidad correcta.Sin embargo, dichas aproximaciones pueden serreemplazadas por mtodos computacionales (ASCE,2007).




VALORES RECOMENDADOS PARA EL n DE MANNING

Se recomienda usar estos valores con discrecin, pues sitanto la instalacin como el mantenimiento sonadecuados, el caudal transportado ser mayor.

Tabla 5-2. Valores recomendados de n de Manning para clculosen el diseo de alcantarillados.ASCE 2007, pg 134, Table 5-2.


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Variacin del n de Manning con respecto a laprofundidad de flujo

En la siguiente tabla se muestran algunas ecuacionespropuestas para estimar el valor de n variable:

Con, nf= n de Manning a tubo lleno

h = yn




Utilizando la ecuacin de Colebrook-White:

Y el hecho de que los coeficientes de Chzy (C) y deDarcy (f) estn relacionados como se muestra acontinuacin:

se puede establecer la siguiente ecuacin:

DISEO DE ALCANTARILLADOS

(30)

(31)


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De la ecuacin de Chzy se encuentra que:

Reemplazando la Ecuacin (32) en la Ecuacin (23) seobtiene:

(32)

(31)

(33)




En donde es fcil eliminar la velocidad dentro dellogaritmo para obtener la siguiente ecuacin:


Remplazando Re en la Ecuacin (33) se obtiene:

(34)


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La Ecuacin (34) es una ecuacin explcita para lavelocidad. Si se multiplica esta ltima ecuacin por elrea de flujo, se obtiene una ecuacin para el caudal:


(35)

Esta es la ecuacin que se debe utilizar para el diseo detuberas parcialmente llenas en las que el flujo puededejar de ser hidrulicamente rugoso. Implcitamenteincluye la variacin del factor de friccin (o del n deManning) como resultado de variaciones en el radiohidrulico.





Ecuacin de Darcy-Weisbach

Ecuacin de

Colebrook- White

Ecuacin de

velocidad media

En resumen, el diseo se debe hacer considerando estastres ecuaciones.


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La ecuacin de Darcy-Weisbach es aplicable tanto para flujo apresin como para flujo en canales. En el futuro esta ecuacin

deber ser aplicada de forma exclusiva.

La razn de esta transicin son los avances tecnolgicoscomputacionales, que hacen que sta ecuacin implcita seatan fcil de usar como las otras ecuaciones menos exactas yms limitadas, como la ecuacin de Manning para canales y laecuacin de Hazen-Williams para tuberas.

La ecuacin propuesta, basada en la ecuacin de Darcy-Weisbach, nicamente necesita el ks de cada material, el cuales una propiedad de la superficie interna del tubo y no varani con el dimetro de la tubera ni con el radio hidrulico delflujo. Dicha rugosidad relativa se puede determinarobjetivamente en el laboratorio.




TEMAS VISTOS

Flujo Uniforme.Ecuaciones de resistencia fluida:

-Chzy-Darcy-Weisbach

Ecuacin de Manning-Clculo del coeficiente nde Manning

Diseo de Alcantarillados-Comprobacin de diseo-Diseo

Diseo bajo flujo uniforme

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