comportamento estrutural de colunas e arcos tubulares ... · influência das imperfeições locais...

Dissertação para obtenção do Grau de M estre em

Orientadores: Prof. Doutor José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro

Engenheiro Tiago Braga Abecasis

Outubro 2014

Nuno Rocha Cima Gomes

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Prof. Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara

Orientador: Engenheiro Tiago Braga Abecasis

Vogal: Prof. Doutor Francisco Baptista Esteves Virtuoso

Avaliação da contribuição das tensões residuais no comportamento estrutural de colunas e arcos tubulares

i

Agradecimentos

Em primeiro lugar gostava de agradecer ao engenheiro Tiago Braga Abecasis pela

oportunidade de trabalhar num tema tão interessante como este e pela ajuda que me deu ao

longo desta longa jornada. Também ao professor José Oliveira Pedro que prontamente se

interessou por orientar-me neste tema e que me ajudou na realização da tese.

Um agradecimento muito especial ao professor Michal Jandera que numa das alturas mais

difíceis do trabalho, me disponibilizou o programa de cálculo automático Abaqus utilizado neste

trabalho, mas especialmente pela sua contínua disponibilidade em ajudar-me e esclarecer-me

durante a minha estadia na República Checa.

Outra pessoa que muito contribuiu nesta jornada foi o meu Pai, a quem agradeço a paciência

que teve em ler e comentar os textos preliminares que fui elaborando, assim como pelas

sugestões que foi dando ao longo do trabalho.

Estou muito grato a todas as pessoas que, especialmente durante o período em que me

encontrava na República Checa, me incentivaram em momentos difíceis do avanço do

trabalho, entre elas a Cristina e a Sara. Agradeço também à Patrícia e à Leonor, que por

estarem a fazer ao mesmo tempo que eu as suas teses, me fizeram sentir que não era só eu a

ter dificuldades.

Por fim, um agradecimento geral a todos os amigos que me foram dando apoio e me obrigaram

a fazer algumas pausas e me proporcionaram distracção, durante a realização da tese.

iii

Resumo

Na presente dissertação apresenta-se um estudo sobre os efeitos das tensões residuais em

estruturas formadas por elementos tubulares em secção circular, mais concretamente de

colunas e de um arco.

É apresentada uma análise geometricamente não linear, utilizando o programa de elementos

finitos Abaqus, para avaliar a resistência de colunas e de um arco em que se consideram

instaladas tensões residuais resultantes do processo de soldadura longitudinal durante a

fabricação dos tubos (fecho da secção).

Para a análise de colunas simula-se o comportamento de três colunas com comprimentos que

variam entre os 4 e os 21 metros avaliando-se a importância das várias combinações de

tensões residuais e da geometria considerada para as imperfeições geométricas iniciais.

Para a análise do arco apresentam-se diversos modelos que combinam diferentes

carregamentos, com diversas posições da soldadura nos troços tubulares que constituem o

arco e os respectivos padrões das tensões residuais e com as imperfeições geométricas

iniciais. Realiza-se a comparação dos resultados obtidos nestes modelos com os obtidos ao

adoptar as imperfeições geométricas iniciais apresentadas no Eurocódigo 3.

Por fim, apresentam-se as conclusões, verificando-se que, de uma forma geral, os efeitos das

tensões residuais na resistência das colunas e dos arcos tubulares dependem de forma

significativa da disposição das imperfeições na secção transversal e da imperfeição geométrica

em relação à posição do carregamento.

Palavras-chave: Coluna, Arco, Imperfeições geométricas, Tensões Residuais

v

Abstract

The dissertation concerns the study of the effects of residual stresses in structures made from

tubular hollow sections, more specifically, about steel columns and an arch.

It is presented a geometrically nonlinear analysis using the finite element software Abaqus,

where the main purpose is to evaluate the effect of residual stresses generated by a longitudinal

weld along the tubular elements. This weld is made during manufacture of the tube, in order to

close the hollow section.

It is evaluated the behavior of three columns, with the same transversal section, but different

lengths, that go from 4 meters to 21 meters. In the study, several combinations are made

between the residual stresses and the geometrical imperfection, in order to find the worst cases,

and compare them to Eurocode 3 equivalent imperfections.

For the study of these effects in the arch it is chosen a specific arch with a defined geometry

where the variables were the position of the load in the arch, symmetric and asymmetric

loading, the position of the weld in the section with the respective residual stresses generated

by it, and the geometrical imperfection. The results are compared with the Eurocode 3

equivalent geometrical imperfections.

In the end, some conclusions are presented for the results obtained in the study. It’s shown that

the residual stresses have an important role in the behavior of these kinds of steel structures,

and specifically different positions of the longitudinal weld in relation with the loading and the

geometrical imperfection can lead to different behaviors of the structure.

Keywords: Column, Arch, Geometrical imperfections, Residual stresses

vii

Índice

Agradecimentos.............................................................................................................................. i

Resumo ......................................................................................................................................... iii

Abstract ......................................................................................................................................... v

Índice de figuras ............................................................................................................................ xi

Índice de tabelas .......................................................................................................................... xv

Notação principal: ....................................................................................................................... xvii

1. Introdução .............................................................................................................................. 1

1.1. Generalidades e objectivos ........................................................................................... 1

1.2. Razões da escolha do tema .......................................................................................... 2

1.3. Estrutura do documento ................................................................................................ 2

2. Caracterização das imperfeições reais das peças metálicas ............................................... 5

2.1. Imperfeições Geométricas ............................................................................................ 6

2.1.1. Excentricidade na aplicação das cargas ............................................................... 6

2.1.2. Curvaturas do eixo da peça .................................................................................. 6

2.1.3. Imperfeições da secção transversal ...................................................................... 7

2.1.4. Imperfeições em cascas cilíndricas comprimidas e/ou flectidas ........................... 8

2.2. Dispersão do valor da tensão de cedência ................................................................. 12

2.3. Tensões Residuais ...................................................................................................... 13

2.3.1. Tensões residuais nas chapas acabadas a quente ............................................ 14

2.3.2. Tensões residuais nas chapas cortadas com recurso a maçarico ..................... 15

2.3.3. Tensões residuais em chapas soldadas ............................................................ 17

2.3.4. Tensões residuais em tubos produzidos a quente .............................................. 18

2.3.5. Tensões residuais em tubos enformados a frio .................................................. 19

2.3.6. Tensões residuais devidas à soldadura longitudinal em tubos ........................... 21

3. Influência das imperfeições no dimensionamento das estruturas metálicas ...................... 23

3.1. Influência das imperfeições locais em cascas cilíndricas comprimidas e/ou flectidas 23

3.2. Influência das tensões residuais no comportamento de peças sujeitas à compressão

e/ou flexão ............................................................................................................................... 25

viii

3.3. Fundamentos do dimensionamento e verificação da segurança de estruturas

segundo o Eurocódigo 3 ......................................................................................................... 28

3.3.1. Curvas para dimensionamento de colunas segundo o EC3 ............................... 28

3.3.2. Imperfeições iniciais a considerar no dimensionamento de arcos segundo o

Eurocódigo .......................................................................................................................... 30

3.3.3. Análises estruturais globais ................................................................................. 30

4. Simulação numérica do comportamento de colunas .......................................................... 33

4.1. Introdução .................................................................................................................... 33

4.2. Imperfeições ................................................................................................................ 35

4.2.1. Imperfeição geométrica global ............................................................................ 35

4.2.2. Imperfeições geométricas locais ......................................................................... 36

4.2.3. Tensões residuais consideradas ......................................................................... 37

4.2.4. Propriedades das colunas analisadas ................................................................. 39

4.3. Modelos utilizados e análises realizadas .................................................................... 40

4.3.1. Análise elástica de estabilidade .......................................................................... 40

4.3.2. Análise não linear – avaliação da capacidade resistente ................................... 41

4.4. Apresentação e discussão de resultados ................................................................... 42

4.4.1. Modos de encurvadura e cargas críticas ............................................................ 42

4.4.2. Resultados das análises não lineares ................................................................. 44

4.5. Conclusões .................................................................................................................. 50

5. Simulação numérica do comportamento de um arco .......................................................... 51

5.1. Introdução .................................................................................................................... 51

5.2. Geometria e propriedades do arco .............................................................................. 51

5.3. Cargas aplicadas ......................................................................................................... 53

5.4. Imperfeições ................................................................................................................ 55

5.4.1. Imperfeição geométrica global ............................................................................ 55

5.4.2. Imperfeição geométrica local .............................................................................. 56

5.4.3. Tensões residuais ............................................................................................... 56

5.5. Modelos e análises realizados .................................................................................... 58

5.5.1. Modelos 1 – posição das sobrecargas ................................................................ 58

5.5.2. Modelos 2 – Imperfeição geométrica global........................................................ 59

5.5.3. Modelos 3 – Tensões residuais ........................................................................... 59

ix

5.5.4. Modelos 4 – Tensões residuais e Imperfeição geométrica global ...................... 61

5.6. Apresentação e discussão dos resultados .................................................................. 61

5.7. Conclusões .................................................................................................................. 69

6. Análise comparativa do arco com e sem viga de rigidez .................................................... 71

6.1. Introdução .................................................................................................................... 71

6.2. Geometria e propriedades da viga de rigidez ............................................................. 72

6.3. Análises efectuadas .................................................................................................... 72

6.4. Apresentação e discussão dos resultados .................................................................. 73

6.4.1. Carga última ........................................................................................................ 73

6.4.2. Deslocamentos no arco ....................................................................................... 76

6.4.3. Análise das tensões ............................................................................................ 77

6.4.4. Fenómenos locais ............................................................................................... 82

6.4.5. Parcelas correspondentes às imperfeições geométricas globais e às tensões

residuais 83

6.5. Conclusões .................................................................................................................. 85

7. Comentários, conclusões globais e sugestões para desenvolvimentos futuros ................. 87

Referências ................................................................................................................................. 93

xi

Índice de figuras

Figura 1 – Trajectórias de equilíbrio de colunas, placas e painéis cilíndricos teóricos e reais,

(reproduzido de [1]) ....................................................................................................................... 5

Figura 2 – Excentricidade da força de compressão aplicada num elemento e ligação

aparafusada de um elemento tubular ........................................................................................... 6

Figura 3 – Curvaturas típicas encontradas em perfis laminados a quente e em perfis soldados e

curva equivalente, (adaptado de [2]). ............................................................................................ 7

Figura 4 – Ovalização da secção, definição dos diâmetros mínimo, máximo e nominal ............. 9

Figura 5 – Excentricidade não intencional na ligação entre tubos, (reproduzido de [5]) ............ 10

Figura 6 – Tipos de imperfeições locais na superfície de uma casca cilíndrica e parâmetros que

as definem (reproduzido da norma [4]) ....................................................................................... 11

Figura 7 – Certificado de aços .................................................................................................... 12

Figura 8 – Influência na resistência de colunas da distribuição da tensão de cedência, com e

sem tensões residuais, (adaptado de [2]). .................................................................................. 13

Figura 9 – Tensões residuais numa chapa laminada a quente, (adaptado de [2]) ..................... 14

Figura 10 – Padrão de tensões residuais em chapas cortadas somente num dos lados (a), ou

dos dois lados (b), (reproduzido de [2]) ...................................................................................... 16

Figura 11 – Tensões residuais resultantes do processo de soldadura entre duas chapas,

(reproduzido de [2]) ..................................................................................................................... 17

Figura 12 – Tensões residuais médias num perfil quadrado enformado a frio, (reproduzido de

[7]) ............................................................................................................................................... 19

Figura 13 – Tensões residuais nas faces exterior e interior de um perfil quadrado enformado a

frio, (reproduzido de [7]) .............................................................................................................. 20

Figura 14 – Previsão da distribuição das tensões iniciais num tubo quadrado enformado a frio e

soldado em dois locais da secção para a fechar, (reproduzido de [7])....................................... 21

Figura 15 – Padrão de tensões residuais não simétrico num tubo quadrado com uma

soldadura, (adaptado de [9]) ....................................................................................................... 22

Figura 16 – Notação utilizada no estudo de cascas cilíndricas longas, (reproduzido de [4]) ..... 23

Figura 17 – Esquema ilustrativo do processo de dimensionamento de cascas cilíndricas

sujeitas a compressão axial, (reproduzido de [5]) ....................................................................... 24

Figura 18 - Curvas de encurvadura do EC3 ............................................................................... 26

Figura 19 – Secção aberta formada por um processo a frio, (reproduzido de [10]) ................... 26

Figura 20 – Efeito das tensões residuais no banzo de um perfil em I comprimido, (reproduzido

de [1]) .......................................................................................................................................... 27

Figura 21 – Variação da linha neutra com a plastificação parcial da secção: a)Distribuição de

tensões residuais; b)Tubo sujeito a uma compressão uniforme F e a um momento de 2ª ordem

(F x e) resultante da plastificação local da secção. .................................................................... 28

xii

Figura 22 – Tensões residuais de base segundo o EC3 em tubos laminados a quente,

(adaptado de [2]) ......................................................................................................................... 29

Figura 23 – Imperfeições geométricas iniciais a considerar no dimensionamento de arcos,

(reproduzido de [11]) ................................................................................................................... 30

Figura 24 - Esquema com a sequência de análises recomendadas no EC3-1-6 para as análises

numéricas globais de cascas ...................................................................................................... 32

Figura 25 - Diagrama tensões-extensões elasto-plástico do aço ............................................... 33

Figura 26 – Elemento "S8R5", desenho explicativo .................................................................... 34

Figura 27 – Atribuição das condições de fronteira no modelo – a)condição de ligação dos nós

de extremidade ao nó central; b) Restrições atribuídas ao movimento do nó central ................ 35

Figura 28 – Modo de encurvadura global ................................................................................... 36

Figura 29 – Desvios médios por ovalização, tendo em conta as tolerâncias dimensionais ....... 36

Figura 30 – Modo de encurvadura local ao qual se atribuirá a amplitude máxima anteriormente

seleccionada ................................................................................................................................ 37

Figura 31 – Padrão de tensões residuais introduzido (tracções a vermelho) ............................. 38

Figura 32 – Padrão de tensões residuais auto-equilibrado considerado pelo programa Abaqus

..................................................................................................................................................... 39

Figura 33 – Padrão de tensões residuais ao longo do perímetro de uma secção da peça

adoptado pelo programa Abaqus para um tubo com soldadura longitudinal ............................. 39

Figura 34 – Modelo A - tensões residuais centradas com o plano dos deslocamentos que

simulam as imperfeições geométricas globais (tensões de tracção do lado convexo) .............. 41

Figura 35 – Modelo B - tensões residuais centradas com um plano perpendicular ao das

imperfeições geométricas globais ............................................................................................... 41

Figura 36 – Modelo C - tensões residuais centradas com o plano das imperfeições geométricas

globais (tensões de tracção do lado côncavo) ............................................................................ 41

Figura 37 – Modos de encurvadura; a) 1º modo de encurvadura global b)1º modo de

encurvadura local ........................................................................................................................ 42

Figura 38 – Modos de encurvadura com igual carga crítica, no caso em que as tensões

residuais não são introduzidas na análise de estabilidade ......................................................... 43

Figura 39 – Deformada do modelo da coluna com 4 metros: a) sem imperfeições locais b)com

imperfeições globais e locais ...................................................................................................... 45

Figura 40 – Resultado da soma das imperfeições - esquema explicativo .................................. 47

Figura 41 – Esquema explicativo do fenómeno de variação da posição da linha neutra no caso

das tensões residuais no sentido positivo do eixo y ................................................................... 47

Figura 42 – Geometria do arco (dimensões em milímetros) ....................................................... 52

Figura 43 – Diagrama tensões-extensões .................................................................................. 53

Figura 44 – Geometria do arco e aplicação das cargas ............................................................. 54

Figura 45 – 1º modo de encurvadura obtido numa análise elástica e de 1ª ordem de

encurvadura ................................................................................................................................. 55

Figura 46 – Padrão das tensões residuais inserido em cada troço recto ................................... 57

xiii

Figura 47 – Padrão de tensões residuais ao longo do perímetro de uma secção do tubo (MPa)

..................................................................................................................................................... 57

Figura 48 – Modelos 2 – 3 padrões de distribuição da sobrecarga relativamente à imperfeição

geométrica global ........................................................................................................................ 59

Figura 49 – Diagrama de esforços axiais - cargas permanentes ............................................... 61

Figura 50 – Diagrama de momentos flectores - cargas permanentes ........................................ 61

Figura 51 – Diagrama de esforços axiais - cargas permanentes + sobrecarga em todo o arco 62

Figura 52 – Diagrama de momentos flectores - cargas permanentes + sobrecarga em todo o

arco .............................................................................................................................................. 62

Figura 53 – Diagrama de esforços axiais - cargas permanentes + sobrecarga na metade direita

do arco ......................................................................................................................................... 63

Figura 54 – Diagrama de momentos flectores - cargas permanentes + sobrecarga na metade

direita do arco .............................................................................................................................. 63

Figura 55 – Diagrama de momentos resultante da análise linear - cargas permanentes +

sobrecarga na metade direita do arco ........................................................................................ 64

Figura 56 – Posição das compressões nos casos de a) soldadura na parte lateral da secção e

b) momentos flectores no plano do arco ..................................................................................... 66

Figura 57 – Distribuição de tensões normais em três secções distintas do arco no modelo "M4-

M3_2-M1_3" ................................................................................................................................ 68

Figura 58 – Arco e viga de rigidez que sustentam a cobertura do estádio da luz ...................... 71

Figura 59 – Modelo M4 - M3_1 - M1_3 para o caso do arco sem viga de rigidez ...................... 74

Figura 60 – Modelo M4 - M3_1- M1_3 para o caso do arco com viga de rigidez ....................... 74

Figura 61 – Distribuição das tensões normais em três secções obtidas no modelo M4–M3_1–

M1_1 [MPa] ................................................................................................................................. 78

Figura 62 – Distribuição das tensões normais em três secções obtidas no modelo M4–M3_2–

M1_1 [MPa] ................................................................................................................................. 78

Figura 63 – Variação da posição da linha neutra devida à compressão simples no caso

"M4-M3_2-M1_1” ......................................................................................................................... 79

Figura 64 – Distribuição das tensões normais em três secções obtidas no modelo

M4 - M3_1 - M1_3 [MPa] ............................................................................................................. 80

Figura 65 – Distribuição das tensões normais em três secções obtidas no modelo

M4 - M3_2 - M1_3 [MPa] ............................................................................................................. 80

Figura 66 – Variação da posição da linha neutra devida à flexão simples no caso

"M4 - M3_1 - M1_3” ..................................................................................................................... 81

Figura 67 – Variação da posição da linha neutra devida à flexão simples no caso

"M4 - M3_2 - M1_3” ..................................................................................................................... 81

Figura 68 – Localização dos fenómenos locais no arco e escala de intensidades da tensão axial

..................................................................................................................................................... 82

Figura 69 – Extensão da zona plastificada do lado direito do arco ............................................ 82

Figura 70 – Extensão da zona plastificada do lado esquerdo do arco ....................................... 83

xiv

Figura 71 – Ondulação da superfície do tubo ............................................................................. 83

Figura 72 – Ovalização do tubo .................................................................................................. 83

xv

Índice de tabelas

Tabela 1 – Tolerâncias na forma, rectilinearidade e massa para tubos estruturais laminados a

quente, (reproduzido da norma [3]) ............................................................................................... 8

Tabela 2 – Valores recomendados para o parâmetro Ur,max, da tolerância de ovalização da

secção ........................................................................................................................................... 9

Tabela 3 – Valores recomendados para a tolerância máxima permitida nas excentricidades não

intencionais na ligação entre tubos, (reproduzido de [5]) ........................................................... 10

Tabela 4 – Valores recomendados do parâmetro U0,max, para a tolerância nas imperfeições

locais na superfície, (reproduzido de [5]) .................................................................................... 10

Tabela 5 – Exemplos de tensões residuais em chapas laminadas a quente ............................. 15

Tabela 6 – Tensões residuais devidas ao corte de chapas ........................................................ 16

Tabela 7 – Processos comuns de soldadura .............................................................................. 17

Tabela 8 – Influência do processo de fabrico no coeficiente de redução da resistência plástica

de secções .................................................................................................................................. 25

Tabela 9 – Valores de cálculo da imperfeição geométrica inicial, (adaptado de [6]) .................. 28

Tabela 10 – Propriedades da secção das colunas analisadas ................................................... 33

Tabela 11 – Resultados da análise de estabilidade efectuada ................................................... 43

Tabela 12 – Cargas críticas teóricas sem ter em conta as imperfeições ................................... 44

Tabela 13 – Resultados da análise não linear – capacidade última das colunas ...................... 44

Tabela 14 – Comparação dos resultados obtidos nos modelos com imperfeição global referente

à curva “a” ................................................................................................................................... 46

Tabela 15 – Comparação dos resultados obtidos nos modelos com imperfeição global referente

à curva “c” .................................................................................................................................... 46

Tabela 16 – Resultados da análise (capacidade última) identificando os tipos das deformadas

obtidas ......................................................................................................................................... 48

Tabela 17 – Comparação dos resultados das curvas do EC3 com os modelos numéricos 5 e 6.

..................................................................................................................................................... 49

Tabela 18 – Cargas aplicadas no arco em kN ............................................................................ 54

Tabela 19 – Imperfeições globais usadas ................................................................................... 56

Tabela 20 – Posição da soldadura e respectivas tensões residuais nos 5 casos escolhidos .... 58

Tabela 21 – Combinações de modelos com tensões residuais e sobrecarga ........................... 60

Tabela 22 – Resultados das análises não lineares (parâmetro λ) .............................................. 65

Tabela 23 – Comparação dos resultados com o modelo onde se aplica a imperfeição da curva

“a” ................................................................................................................................................ 66

Tabela 24 – Comparação dos resultados com o modelo onde se aplica a imperfeição da curva

“c” ................................................................................................................................................ 67

Tabela 25 – Resultados da análise do arco com viga de rigidez (parâmetro λ) ......................... 73

xvi

Tabela 26 – Comparação dos valores do parâmetro λ obtidos com o modelo onde se aplica a

imperfeição da curva "c" .............................................................................................................. 75

Tabela 27 – Resultados do parâmetro de carga e dos deslocamentos para os casos do arco

com e sem viga de rigidez ........................................................................................................... 76

Tabela 28 – Parcelas das tensões residuais e da imperfeição geométrica ................................ 84

xvii

Notação principal:

A - Área [mm2]

Aw - Área de soldadura adicionada [mm2]

E - Módulo de elasticidade [GPa] I - Inercia [mm

4]

L - Comprimento [mm] MEd - Momento flector de cálculo [kN.m] MRd - Momento resistente de dimensionamento [kN.m] Mel - Momento resistente elástico [kN.m] NEd - Esforço axial de cálculo [kN] Npl - Resistência axial plástica [kN] Nu - Esforço axial de colapso [KN] Ncr - Esforço axial crítico [kN] P - Perímetro [mm] Wel - Módulo de flexão elástico [mm

3]

Ur - Parâmetro da tolerância de ovalização U0 - Parâmetro da tolerância para desvios locais na superfície b - Largura [mm] c - Largura da região com tensões residuais de tracção devidas ao corte ou à

soldadura [mm] dmin - Diâmetro mínimo [mm] dmax - Diâmetro máximo [mm] dnom - Diâmetro nominal [mm] e - Excentricidade [mm] ea - Excentricidade acidental [mm] etot - Excentricidade total [mm] eint - Excentricidade interior [mm] fu - Tensão última do material [Mpa] fy - Tensão de cedência do material [Mpa] h - Altura [mm] t - Espessura [mm] r - Raio [mm] p - Factor de eficiência do processo de soldadura ∆w0 - Amplitude do desvio local da superfície [mm] - Extensão

y - Extensão de cedência

u - Extensão última

- Tensão [MPa]

c - Tensão residual de compressão [MPa]

t - Tensão residual de tracção [MPa]

- Coeficiente de Poisson

- Esbelteza

- Esbelteza normalizada

- Coeficiente de redução

1

1. Introdução

1.1. Generalidades e objectivos

Não existem peças estruturais cuja geometria seja exactamente aquela que o projectista concebeu e

representa nos desenhos do projecto.

O eixo de uma peça – metálica ou de betão – assumido como recto, nunca o é exactamente e, por

exemplo, a geometria da superfície envolvente de um tubo nunca corresponde a um cilindro perfeito.

A existência destes desvios entre as configurações teóricas das peças e as suas geometrias reais

justificam que, nos termos da actual regulamentação de projecto de estruturas metálicas, se exija

que, ao serem avaliarem as condições de segurança de qualquer peça metálica cujas secções estão

sujeitas (total ou parcialmente) a tensões de compressão, se assuma que a sua geometria não é a

teórica mas sim uma geometria que se obtém a partir da teórica introduzindo as chamadas

“imperfeições geométricas iniciais”.

Ao introduzir tais imperfeições (ou desvios entre a geometria teórica e a geometria da peça analisada)

pretende-se ter em consideração, não só a possibilidade de a peça real poder ser mais sensível aos

esforços de compressão, como também a existência das chamadas tensões residuais e de eventuais

heterogeneidades nas propriedades do material.

As imperfeições geométricas estipuladas na regulamentação compreendem, assim, essas parcelas:

uma correspondente aos reais desvios entre a geometria teórica e a geometria real da peça e outra

representativa das imperfeições materiais. Compreendem-se na segunda as tensões residuais e, com

uma importância muito menor, as variações (heterogeneidades) das propriedades mecânicas no seio

da peça em análise.

O princípio seguido pela regulamentação para a definição da primeira parcela é o de procurar a

configuração real que produza os efeitos mais desfavoráveis sobre o comportamento da peça quando

sobre ela atuam os esforços de dimensionamento. Numa peça linear comprimida, por exemplo, o eixo

“imperfeito” que simula o conjunto de todas as imperfeições deve ter a geometria do 1º modo de

encurvadura.

A amplitude das imperfeições foi estabelecida em conformidade com os resultados de amostragens

efectuadas num elevado número de peças, por um lado, e, por outro, tendo em atenção as

tolerâncias especificadas nas normas de execução das estruturas metálicas, das quais a mais

conhecida é a EN1090.

No que se refere às tensões residuais elas são, como se referiu, transformadas em imperfeições

geométricas que produzem os mesmos efeitos. Por essa razão, os regulamentos estipulam

grandezas diferentes para as amplitudes das imperfeições geométricas a considerar nos elementos,

em conformidade com o processo de produção/fabrico que está na sua origem. Dentro de cada

processo de produção/fabrico considerado encontram-se, também, diferentes valores, consoante se

trate de uma ou outra das direcções principais de inércia da secção. As tensões residuais afectam

diferentemente a encurvadura nestas direcções.

2

Contudo, na regulamentação não se identificam os valores das duas parcelas que constituem as

imperfeições geométricas especificadas.

Por vezes é possível conhecer a geometria real das estruturas antes de elas ficarem sujeitas às

acções que lhes induzem esforços, incluindo, naturalmente, as acções permanentes. É o que ocorre

com alguma frequência quando as estruturas são montadas sobre sistemas de escoramento que só

são desactivados depois de a estrutura estar completamente formada. Executando um levantamento

topográfico rigoroso da geometria da estrutura é possível nestes casos determinar a primeira parcela

das imperfeições geométricas.

Quando se conhecem as imperfeições geométricas reais, que imperfeições devem ser adicionadas a

estas para ter em conta os efeitos das tensões residuais? Que importância tem, na realidade, esta

segunda parcela das imperfeições?

Com a realização dos estudos que sustentam os resultados apresentados neste trabalho de

investigação pretende-se contribuir para dar resposta a estas questões. Ela não deve ser igual para

todas as configurações de secções resistentes e para todas as configurações estruturais. Nestes

estudos cingiu-se o campo de investigação às secções tubulares, rectas numa primeira fase e

posteriormente, ao caso de um arco tubular particular de grande vão.

1.2. Razões da escolha do tema

Escolheu-se este tema pois pensa-se existir uma lacuna nos regulamentos no que se refere à

distinção entre as duas parcelas das imperfeições iniciais. Importa que, quem se dedica ao projecto

de estruturas metálicas, consiga separar os efeitos provocados pelas diferentes parcelas das

imperfeições.

Hoje em dia, mesmo conhecendo-se com rigor a geometria de uma estrutura depois de montada terá

de se introduzir a totalidade das imperfeições geométricas iniciais para a verificação da sua

segurança, algo que pode levar ao sobredimensionamento desnecessário da estrutura.

A percepção do comportamento real dos tubos e, em particular, dos grandes arcos, nos quais se

conjugam os efeitos de diversas imperfeições, é fundamental para que se possam escolher as

opções mais adequadas à obtenção de soluções económicas e seguras.

1.3. Estrutura do documento

No capítulo 1 identifica-se o problema que se pretende estudar no trabalho e identificam-se os

objectivos do mesmo.

O capítulo 2 apresenta um resumo dos estudos existentes acerca das imperfeições, sendo dividido

em três subcapítulos, o primeiro referente a imperfeições geométricas de várias origens, o segundo à

dispersão que existe na resistência do material, e o terceiro à caracterização das tensões residuais,

quanto às suas origens e sua distribuição na secção dos tubos.

O capítulo 3 refere-se aos efeitos das imperfeições referidas no capítulo anterior e apresenta um

resumo do que é referido nos eurocódigos sobre este tema. No final deste capítulo faz-se referência

ao comportamento de cascas cilíndricas comprimidas e flectidas, uma vez que o arco que se

pretende estudar tem uma secção da classe 4.

3

No capítulo 4, apresenta-se a simulação de colunas cilíndricas com as imperfeições, avaliando-se os

efeitos das tensões residuais. Numa primeira fase para este tipo de elementos, uma vez que, para as

colunas é mais fácil interpretar os resultados e também porque para estes elementos existe mais

material bibliográfico referente a este tema.

No capítulo 5 apresenta-se a simulação numérica do arco, em que, tal como para as colunas,

primeiro se descrevem os aspectos de modelação da geometria, carregamento e imperfeições deste

tipo de estrutura e a metodologia usada na análise e de seguida apresentam-se os resultados

obtidos, comentando-se e procurando tirar conclusões.

No capítulo 6 realiza-se, na sequência do capítulo 5, o estudo comparativo de arcos com e sem viga

de rigidez, com o objectivo de se verificar as vantagens da introdução deste elemento para a

resistência estrutural do arco, e avaliar melhor a influência das tensões residuais num arco mais

estável.

No capítulo 7 são apresentadas as principais conclusões do trabalho e referidas algumas sugestões

para o desenvolvimento e aprofundamento deste estudo, explorando aspectos que não foram

tratados neste trabalho.

5

2. Caracterização das imperfeições reais das peças

metálicas

Enquanto nas peças lineares teóricas se encontram fenómenos de instabilidade bifurcacional, nas

peças que constituem as estruturas reais a existência das imperfeições provoca deslocamentos

laterais sempre crescentes. Na Figura 1, pode-se observar as trajectórias de equilíbrio de placas,

colunas e painéis cilíndricos (cascas), reais e teóricas.

Figura 1 – Trajectórias de equilíbrio de colunas, placas e painéis cilíndricos teóricos e reais, (reproduzido

de [1])

Tal como se referiu no Capítulo 1 são três os tipos de imperfeições habitualmente considerados ao

analisar o comportamento de barras metálicas reais.

i) Imperfeições geométricas

Podem distinguir-se, entre estas, as:

- imperfeições da geometria da secção transversal, tais como os desvios nas suas dimensões e

na forma;

- excentricidade na aplicação das cargas face ao eixo das peças;

- imperfeições do eixo da peça, nas quais se distinguem as faltas de rectilinearidade e os

desvios relativamente à posição teórica.

ii) Variação do valor da tensão de cedência do aço.

iii) Existência de tensões residuais resultantes do processo de fabrico.

6

2.1. Imperfeições Geométricas

2.1.1. Excentricidade na aplicação das cargas

Na montagem de estruturas ocorrem por vezes excentricidades acidentais nas ligações entre

elementos, ou nas posições das peças que lhes transmitem as cargas (nas posições dos apoios, por

exemplo), das quais resulta que a direcção de aplicação das cargas não seja perfeitamente colinear

com o eixo do elemento, (Figura 2). Estas excentricidades acidentais podem resultar também de

deficiências de fabrico, nomeadamente o incorrecto posicionamento dos furos de ligação.

Figura 2 – Excentricidade da força de compressão aplicada num elemento e ligação aparafusada de um

elemento tubular

Com base em medições realizadas pela comissão responsável pela elaboração dos Eurocódigos,

publicadas na referência [2], concluiu-se que as excentricidades não intencionais nas ligações variam

entre 1,3 e 2,5 mm. Esta excentricidade é contabilizada, para efeitos das verificações da segurança

estrutural, como uma parcela da amplitude da imperfeição geométrica equivalente recomendada pelo

Eurocódigo 3 para as colunas.

2.1.2. Curvaturas do eixo da peça

O processo de fabrico dos elementos lineares introduz pequenos desvios aleatórios entre o eixo real

da peça e o eixo rectilíneo teórico. Estes desvios em relação ao eixo teórico podem assumir formas

muito diferentes (Figura 3). Utiliza-se, para efeitos da modulação estrutural, uma curvatura com um

único sentido e com uma flecha máxima que produza efeitos equivalentes às imperfeições reais. De

acordo com a referência [2], por exemplo, uma excentricidade de L/650 a quartos de vão como a que

está representada na penúltima deformada da Figura 3 pode ser substituída por uma excentricidade

de L/1000 a meio vão.

7

Figura 3 – Curvaturas típicas encontradas em perfis laminados a quente e em perfis soldados e curva

equivalente, (adaptado de [2]).

Este tipo de imperfeições é considerado nos regulamentos, assumindo-se, para tal, na análise dos

elementos, que a imperfeição real é substituída por uma geometria curvilínea das barras com uma

certa flecha a meio vão. Medições realizadas em vários países europeus, apresentados em [2], feitas

em diversos tipos de perfis, tais como os IPE’s ou tubos circulares, encontraram valores de flechas,

que variam desde L/530 a L/3360. É importante referir que os regulamentos actuais estabeleceram

uma flecha inicial de L/1000 para a avaliação da capacidade resistente à encurvadura de colunas,

flecha essa que deu origem às actuais curvas de dimensionamento presentes no Eurocódigo 3.

2.1.3. Imperfeições da secção transversal

Em geral, devido ao processo de produção dos materiais siderúrgicos, registam-se desvios na secção

transversal das peças, nomeadamente na sua espessura, na sua largura e na sua altura ou, no caso

de secções circulares, no seu raio. Outro tipo de problema que se identifica nas secções transversais

relaciona-se com a geometria das secções. Por vezes as secções ficam ligeiramente distorcidas em

relação às secções teóricas.

Na norma EN1090 – Execução de estruturas de aço e de alumínio são definidas várias tolerâncias

dimensionais para o fabrico de elementos estruturais, ou fornecidas as indicações relativas às normas

onde estas tolerâncias podem ser encontradas. A título de exemplo apresentam-se, na Tabela 1, as

tolerâncias dimensionais permitidas em tubos laminados a quente.

8

Tabela 1 – Tolerâncias na forma, rectilinearidade e massa para tubos estruturais laminados a quente,

(reproduzido da norma [3])

2.1.4. Imperfeições em cascas cilíndricas comprimidas e/ou flectidas

O objectivo deste trabalho não é o estudo do comportamento de cascas. No entanto, o caso que se

pretende estudar corresponde a uma secção circular de classe 4, ou seja, a uma casca cilíndrica. Por

este motivo, devem ser previamente caracterizadas as imperfeições locais características das cascas.

Na norma EN1993-1-6 [4], relativa ao dimensionamento de cascas metálicas, são definidas as

principais tolerâncias, a ter em conta quando se estão a avaliar as condições de segurança de

cascas. Estas imperfeições correspondem a desvios da parede da casca face à sua superfície

nominal média.

É importante referir que, no caso das cascas, as imperfeições geométricas e as respectivas

tolerâncias, não se podem generalizar para todas as geometrias ou carregamentos. Neste trabalho

dá-se relevância às cascas cilíndricas comprimidas e/ou flectidas. Igualmente importante é o facto de,

no domínio das cascas, apesar de bastante estudado, ainda não existir consenso nem resposta a

diversos aspectos do comportamento, porventura devido ao número elevado de variáveis que nele

intervêm.

9

Os três principais tipos de imperfeição que se encontram nas cascas cilíndricas são a ovalização da

secção, a excentricidade não intencional nas juntas de continuidade das virolas e os desvios locais da

superfície, ou seja sulcos na superfície.

Outro aspecto que importa mencionar é o facto de na EN 1993-1-6 [4], as tolerâncias em relação às

imperfeições geométricas estarem definidas para três classes de fabrico, sendo que a classe “A”

corresponde à melhor qualidade de fabrico e, portanto, a menores tolerâncias. Nas alíneas seguintes

apresentam-se as regras para definir os três tipos de imperfeições a considerar ao avaliar a

segurança das cascas.

i) Ovalização da secção:

Para o cálculo do máximo desvio do diâmetro por ovalização da secção deve utilizar-se o parâmetro

Ur,max conforme se apresenta na Tabela 2, reproduzida de um documento do ECCS [5].

Tabela 2 – Valores recomendados para o parâmetro Ur,max, da tolerância de ovalização da secção

Na Figura 4 estão definidos os diâmetros mínimo, máximo e nominal que são necessários para definir

o parâmetro Ur,max.

Figura 4 – Ovalização da secção, definição dos diâmetros mínimo, máximo e nominal

Da tabela obtém-se o valor de Ur,max em função da qualidade de fabrico admitida e com este

calcula-se o desvio máximo do diâmetro pela seguinte expressão que define este parâmetro:

Ur=

(dmax-dmin)=Ur,max x dnom (1)

10

ii) Excentricidade não intencional:

É obtido pela relação entre espessuras ea= etot-eint na ligação soldada entre tubos, em que cada uma

destas espessuras está representada na Figura 5.

As tolerâncias máximas para esta imperfeição são as indicadas na Tabela 3 em função da qualidade

de fabrico.

Figura 5 – Excentricidade não intencional na ligação entre tubos, (reproduzido de [5])

Tabela 3 – Valores recomendados para a tolerância máxima permitida nas excentricidades não

intencionais na ligação entre tubos, (reproduzido de [5])

iii) Desvios localizados da superfície da peça:

Em termos das tolerâncias de fabrico, aplicáveis em desvios localizados da superfície da peça, a

Tabela 4 fornece os valores máximos do parâmetro U0 a considerar, em que U0=

com:

U0 – parâmetro da tolerância para os desvios locais da superfície

∆w0 – amplitude do desvio local da superfície, representado na Figura 6.

Tabela 4 – Valores recomendados do parâmetro U0,max, para a tolerância nas imperfeições locais na

superfície, (reproduzido de [5])

11

Figura 6 – Tipos de imperfeições locais na superfície de uma casca cilíndrica e parâmetros que as

definem (reproduzido da norma [4])

12

Para obter lg e U0 devem aplicar-se as seguintes expressões.

i) Em zona corrente (sem soldura):

lgx=4√ (2)

U0x=

<=> w0x=U0x x lgx (3)

ii) Em zona de soldadura:

lgw=25 x t (4)

U0x=

<=> w0w= U0w x lgw (5)

2.2. Dispersão do valor da tensão de cedência

O fabrico das peças metálicas a partir dos produtos adquiridos a uma siderurgia compreende diversas

intervenções que alteram, localmente no mínimo, as propriedades químicas e mecânicas do aço

modificando os valores na tensão de cedência ou do limite de proporcionalidade a 0,2%. Referimo-

nos ao corte, à furação, à moldagem mecânica e à execução de soldaduras.

Para além disso, mesmo nos produtos laminados existe alguma dispersão no valor da tensão de

cedência, quer entre lotes diferentes, quer nas peças de um lote, quer no interior de uma única peça.

Na Figura 7 apresenta-se um certificado de aços, onde estão expressas para cada caso, a tensão de

cedência, a tensão última e a composição entre outros parâmetros.

Figura 7 – Certificado de aços

Por exemplo, numa secção em H, a alma, como é menos espessa, tem um arrefecimento mais

rápido, o que leva a que as partículas microscópicas do aço que a constituem sejam nessa zona de

menores dimensões, e por esse facto, apresenta maior tensão de cedência. Esta diferença entre a

13

alma e os banzos pode atingir 25% da tensão de cedência nominal. Idêntico fenómeno ocorre,

também, entre as extremidades de um perfil e as suas zonas interiores.

Contudo, pode observar-se da Figura 8 que a dispersão da tensão de cedência (σr – notação da

figura), é pouco relevante, para a determinação da resistência de um elemento, quando comparada

com o efeito das tensões residuais (σres) registadas numa secção. De facto, para a mesma esbelteza

normalizada ( ) e tensões residuais iguais, a diferença entre curvas com e sem efeito da variação da

tensão de cedência é muito pequena. O mesmo já não se verifica entre as curvas com e sem tensões

residuais, que têm ordenadas bastante distantes no gráfico.

Figura 8 – Influência na resistência de colunas da distribuição da tensão de cedência, com e sem tensões

residuais, (adaptado de [2]).

2.3. Tensões Residuais

As tensões residuais existentes em todas as estruturas metálicas podem ser classificadas segundo a

fase do processo produtivo em que elas se instalam. Tais tensões podem surgir durante tratamento

em fábrica dos produtos siderúrgicos (corte, moldagem, soldadura), ou durante a montagem da

estrutura (essencialmente devido à ligação de componentes por soldadura).

As causas do aparecimento das tensões residuais nos produtos siderúrgicos são: a) os tempos de

arrefecimento desiguais nas diversas zonas da secção, no caso de perfis acabados a quente; b) as

altas temperaturas que ocorrem (provocando a fusão do aço) durante o processo de soldadura e a

plastificação temporária da secção, no caso de peças enformadas a frio; c) o corte de chapas e perfis

com recurso a aplicação de temperaturas elevadas; d) os processos mecânicos de moldagem; e e) os

eventuais tratamentos térmicos a que o aço seja sujeito.

Durante a montagem das estruturas metálicas a execução de soldaduras entre os seus diversos

componentes, de modo a formar a estrutura, é uma outra fonte de tensões residuais. Podem também

14

surgir tensões residuais devidas ao deficiente manuseamento dos materiais que leve a plastificações

do material antes da sua montagem, entre outras causas acidentais.

2.3.1. Tensões residuais nas chapas acabadas a quente

A distribuição de tensões residuais em chapas laminadas a quente, representada na Figura 9, surge

devido à forma como se dá o arrefecimento após o processo de laminagem.

Figura 9 – Tensões residuais numa chapa laminada a quente, (adaptado de [2])

Com efeito, as extremidades da chapa arrefecem com maior rapidez, uma vez que a superfície em

contacto com o ar é maior, tornando-se mais rígidas. Quando, posteriormente, as zonas intermédias

arrefecem e tentam encurtar, não o conseguem fazer, ficando com tensões residuais de tracção

instaladas.

Quanto maior é a área da chapa, mais elevadas são as tensões residuais nela instaladas. As

relações b/t (largura/espessura) e P/A (perímetro/área) constituem indicadores importantes em

termos das tensões residuais instaladas, porque se traduzem num arrefecimento mais ou menos

lento do elemento.

As expressões apresentadas em seguida foram retiradas da referência [2], indicam a intensidade das

tensões residuais para o caso de chapas com distribuições de tensões residuais semelhantes à

apresentada na Figura 9:

Tensões de compressão

i) Expressão mais exacta,

⌊ ⁄ ⌋ ⌈

⌉ , σc < fy (6)

ii) Expressão mais conservativa, válida para 0 < b/t <28, ⌈

⌉ (7)

Tensão de tracção, σt = σc/2 (8)

As tensões residuais têm que ser auto-equilibradas dado que não resultam de uma carga aplicada e,

em consequência, a sua resultante tem que ser nula, ou seja, a resultante das tensões de tracção

tem de ser igual á resultante das tensões de compressão. Daí resulta que para uma distribuição

parabólica como a representada na Figura 9, a tensão de tracção seja igual a metade da tensão de

compressão máxima.

σc – tensão residual de compressão

σt – tensão residual de tracção

P – perímetro da secção da chapa

A – Área da secção da chapa

15

Para melhor se compreender a magnitude das tensões residuais instaladas elaborou-se a Tabela 5,

para chapas de aço com várias relações b/t e P/A. O valor da tensão residual de tracção foi calculada

tendo em conta a menor das duas tensões de compressão.

Tabela 5 – Exemplos de tensões residuais em chapas laminadas a quente

b (mm)

t (mm)

b/t P/A

mm-1

σc (6) (N/mm

2)

σc (7) (N/mm

2)

σt (8) (N/mm

2)

200 20 10 0.110 49.3 160.5 24.6

400 20 20 0.105 105.8 101.1 50.6

400 40 10 0.055 139.5 160.5 69.8

800 40 20 0.053 299.3 101.1 50.6

1000 20 50 0.102 276.3 138.2

2000 20 100 0.101 560.8 280.4

2000 40 50 0.051 781.4 390.7

2500 40 62.5 0.051 982.6 491.3

Pode concluir-se, observando os valores do quadro anterior, que para rácios b/t baixos a expressão

(7) é de facto conservativa, uma vez que esta expressão apenas depende directamente de b/t. Os

últimos quatro casos não se encontram dentro do intervalo b/t para o qual é válida a expressão (7),

mas mesmo utilizando nestes casos a expressão (6), obtêm-se tensões residuais de compressão

muito elevadas.

No texto de onde foram retiradas estas expressões, produzido pelo ECCS, refere-se que a expressão

(7) é sempre conservativa e a expressão (6) é conservativa desde que o rácio P/A seja inferior a 0.3

mm-1

. Deverá, portanto, aceitar-se sempre os menores valores obtidos pelas duas expressões.

De salientar que nos casos a vermelho a tensão do aço terá de ser limitada à sua tensão de cedência

pelo que, para aços das classes S235 e S275 e utilizando a expressão (6), o valor da tensão residual

será limitado a fy. Isto significa que existe a possibilidade de as tensões residuais darem origem a

plastificações locais da chapa.

2.3.2. Tensões residuais nas chapas cortadas com recurso a maçarico

Numa faixa estreita adjacente à secção do corte instalam-se tensões de tracção que atingem a

cedência do material. As tensões assumem uma distribuição semelhante à que se mostra na Figura

10.

16

Figura 10 – Padrão de tensões residuais em chapas cortadas somente num dos lados (a), ou dos dois

lados (b), (reproduzido de [2])

As distribuições de tensões residuais resultantes do corte a quente podem ser estimadas, em função

da espessura t expressa em mm e com σr em MPa por:

√

, σr – tensão de cedência (9)

, caso (a) (10)

, caso (a) (11)

, caso(b) (12)

Estas expressões retiradas da referência [2] foram obtidas em placas de espessura reduzida (6.3 e

12.7 mm) mas obtêm-se resultados semelhantes para chapas de maior espessura (de 52 até 152

mm), [2].

Utilizando os mesmos exemplos que se adoptaram para os casos das chapas laminadas a quente

elaborou-se a Tabela 6, considerando uma tensão de cedência do material de 235 N/mm2.

Tabela 6 – Tensões residuais devidas ao corte de chapas

b (mm)

t (mm)

c (mm)

σt (11) (N/mm

2)

σc (10) (N/mm

2)

σc (12) (N/mm

2)

200 20 20,9 64,6 119,5 62,2

400 20 20,9 28,1 54,1 27,5

400 40 29,6 42,1 79,6 40,8

800 40 29,6 19,1 37,2 18,8

1000 20 20,9 10,4 20,4 10,3

2000 20 20,9 5,1 10,0 5,0

2000 40 29,6 7,2 14,3 7,2

2500 40 29,6 5,7 11,4 5,7

Pela observação dos resultados apresentados na Tabela 6 pode concluir-se que a extensão do bloco

de tensões de tracção só depende da espessura, tal como se esperava, pois corresponde à zona na

qual as temperaturas elevadas se propagam.

17

Quanto maior a largura da chapa, menor a intensidade das compressões uma vez que se estendem

por uma maior área da chapa. Este aspecto é importante, uma vez que permite concluir que cortes

em chapas de maiores dimensões têm um efeito menos negativo, uma vez que são as tensões

residuais de compressão que são prejudiciais para os fenómenos de instabilidade local ou global das

peças.

2.3.3. Tensões residuais em chapas soldadas

Tal como no corte, quando se soldam duas chapas, na zona

imediatamente adjacente à soldadura, surgem tensões de

tracção, conforme se ilustra na Figura 11.

As expressões para chapas soldadas numa só aresta ou em

ambas as arestas são as mesmas que para o corte de

chapas, sendo que c é obtido a partir da seguinte expressão,

retirada de [2]:

∑ , mm (13)

p – factor de eficiência do processo

Aw – área de soldadura adicionada (mm2)

Ʃt – soma das espessuras das duas chapas a unir (mm)

σr – tensão de cedência (Mpa)

Em [2] são referidos factores de eficiência para alguns processos comuns de soldar:

i) Soldadura por arco submerso (automático) – p=0.90

ii) Soldadura em protecção gasosa (MAG – atmosfera gasosa activa) -p=0.85

iii) Manual – p=0.80

iv) Soldadura por electrodo revestido – p=0.75

v) Soldadura em protecção gasosa (MIG– atmosfera gasosa inerte) – p=0.62

vi) Soldadura MIG com fios fluxados – p=0.42

Na Tabela 7 apresentam-se os processos mais vulgares de soldadura e as suas aplicações mais

comuns em Engenharia Civil. Para outros casos, tais como, soldaduras intermitentes ou sobreposição

de soldaduras com outras soldaduras ou com arestas cortadas com recurso a chama, encontram-se

no mesmo documento [2] expressões para determinar os valores das tensões residuais instaladas

nas peças.

Verifica-se, assim, que durante o processo de fabrico de um tubo podem criar-se diagramas de

tensões residuais como resultado das sucessivas operações de corte e soldadura. Nestes casos,

para efeitos de verificação da segurança estrutural pode considerar-se, de forma conservativa, que é

possível somar os efeitos das várias operações executadas durante o fabrico, desde que os blocos

de tensões não se intersectem. Quando os blocos de tensões se intersectam, ou seja, se executam

soldaduras em zonas onde se executaram previamente cortes, tem de se usar as expressões

específicas para esses casos, também apresentadas no mesmo documento, (página 37 de [2]).

Figura 11 – Tensões residuais resultantes do

processo de soldadura entre duas chapas,

(reproduzido de [2])

18

Tabela 7 – Processos comuns de soldadura

Processo Aplicações comuns

Soldadura por eléctrodo revestido

• Espessuras da soldadura superiores a 2 mm • Qualquer posição de soldadura

Soldadura com eléctrodo de tungsténio (TIG)

• Espessuras da soldadura inferiores a 8 mm • Indicado para peças com espessuras inferiores as 3 mm • Essencialmente usado em alumínio e inox

Soldadura em protecção gasosa (MIG/MAG)

• Tubos e peças de pequena espessura

Soldadura com fios fluxados (MIG)

• Soldaduras de grande espessura • Qualquer posição de soldadura

Soldadura por arco submerso

• Espessuras da soldadura superiores a 5 mm • Processo industrial para soldaduras longas • Comum em perfis compostos de pontes e naves industriais

Soldadura por resistência

pontos • Perfis enformados a frio (excepto tubos)

roletes • Perfis enformados a frio

2.3.4. Tensões residuais em tubos produzidos a quente

Para a definição das tensões residuais podem agrupar-se os tubos produzidos a quente com os

tubos enformados a frio e/ou soldados que sejam submetidos a tratamento térmico para

libertação das tensões residuais. Em qualquer dos casos, as tensões residuais associadas ao

processo de fabrico são muito reduzidas quando comparadas com as geradas em processos

como o corte, a soldadura ou a dobragem a frio.

O tratamento térmico típico consiste em aquecer a peça até temperaturas entre 590 °C e 650 °C,

de modo a que as tensões devidas ao fabrico sejam libertadas, uma vez que a peça passa a

estar menos rígida. Quando se dá o arrefecimento as tensões que se instalam passam a ser

apenas as causadas pelo arrefecimento diferencial das zonas da secção. Desta forma, as peças

de aço sujeitas a tratamentos térmicos são tratadas como peças laminadas a quente.

É importante referir que o tratamento térmico utilizado para libertar as tensões residuais é

dispendioso e, portanto, a sua utilização não é muito corrente, até porque existem limitações

dimensionais para as peças tratadas termicamente. Não são correntes fornos para aquecer peças

completas com mais de 2 a 2.5 m de comprimento.

As tensões residuais instaladas nos elementos onde é aplicado este processo não variam com a

tensão de cedência do aço pelo que quanto maior a tensão de cedência menos importância têm

as tensões residuais. De acordo com a publicação do ECCS- [2] os ensaios nos quais se baseou

a determinação das curvas de dimensionamento apresentadas no EC3-1 [6] foram realizados

com peças de aço S235. No entanto, verifica-se que entre os tubos em aço S275 e os tubos em

aço S355 as diferenças referentes aos efeitos das tensões residuais não são significativas.

Nos aços de classe superior, como o S460, os benefícios do dimensionamento resultantes dos

efeitos das tensões residuais serem menos importantes são tidos em conta, em alguns casos,

através da passagem de uma curva de dimensionamento em que para a mesma esbelteza

normalizada se obtêm factores de redução menores para outra onde se obtêm factores de

redução mais altos. Por exemplo, para tubos da classe S460, ou de classe superior, produzidos a

19

quente, passa-se da classe a para a0, que apenas existe para aços de classe igual ou superior ao

S460.

2.3.5. Tensões residuais em tubos enformados a frio

Os tubos enformados a frio têm tido, ao longo dos anos, uma procura crescente. Foram feitos vários

estudos sobre as tensões residuais instaladas, as quais assumem uma importância muito superior às

que se referiram no ponto anterior.

No fabrico destes tubos usa-se uma chapa plana à qual se confere a forma da secção pretendida,

recorrendo para tal a um dos seguintes processos: prensagem (mais comum no caso de secções

rectangulares) ou enformação progressiva e contínua, através da passagem da chapa por

diversos cilindros, até atingir a geometria da secção pretendida. As tensões residuais que se instalam

nestes tubos são elevadas uma vez que os ângulos de dobragem são habitualmente pequenos.

As primeiras tensões residuais que surgem estão associadas ao processo como são obtidas as

chapas. No caso de as chapas serem fabricadas a quente e com as dimensões exactas, as tensões

residuais são pequenas. Quando as chapas são obtidas a partir de outras de maiores dimensões e

cortadas com recurso a aplicação altas temperaturas geram-se, nas zonas de corte, tracções

significativas.

Em seguida, devido ao processo de enformação dos tubos surgem tensões que variam ao longo da

linha média da secção mas também na sua espessura. Em secções rectangulares

aparecem essencialmente tracções longitudinais nas zonas dos cantos e compressões nas zonas

intermédias (Figura 12). Ao longo da espessura é notória uma grande variação de tensão do exterior

para o interior da curvatura, respectivamente, de tracções para compressões, como se pode verificar

na Figura 13.

Figura 12 – Tensões residuais médias num perfil quadrado enformado a frio, (reproduzido de [7])

20

Figura 13 – Tensões residuais nas faces exterior e interior de um perfil quadrado enformado a frio,


Importa ter em atenção que no caso dos tubos com secção circular as tensões residuais são

simétricas ao longo da espessura. No entanto, no caso dos processos a quente as tracções

localizam-se na zona interior que arrefece mais lentamente. No caso de tubos enformados a frio, as

tracções estão na zona exterior, que é onde se dá o estiramento das fibras.

Outros casos semelhantes são referidos em [8], onde se apresenta um estudo sobre a influência das

relações b/t e r/t nas tensões residuais que se instalam nos tubos.

21

2.3.6. Tensões residuais devidas à soldadura longitudinal em tubos

A fase final do processo de fabrico de secções tubulares é normalmente a execução da soldadura

longitudinal, que permite fechar a secção. Por ser a última, os efeitos desta operação, adicionam-

se aos referidos anteriormente.

Durante o processo de soldadura são atingidas temperaturas muito elevadas, necessárias para

se conseguir a liquefacção do aço. As temperaturas elevadas provocam o aparecimento de

tensões de tracção nesta zona, porque quando a soldadura arrefece tem tendência a encurtar,

sendo no entanto esse encurtamento restringido pela restante secção que se mantem sólida e

que fica, por isso, sujeita a tensões de compressão.

A zona onde é executada a soldadura apresenta tensões residuais muito elevadas. No entanto,

em secções de grandes dimensões a influência da execução da soldadura torna-se diminuta em

zonas afastadas dela. Outra conclusão interessante que resultou do mesmo estudo é a de que,

tanto a tensão de cedência do aço, como o tipo da soldadura executada, influenciam pouco o

padrão das tensões residuais.

Figura 14 – Previsão da distribuição das tensões iniciais num tubo quadrado enformado a frio e soldado

em dois locais da secção para a fechar, (reproduzido de [7])

Na Figura 15 é representado um padrão de tensões residuais instaladas num tubo com secção

quadrada com apenas uma soldadura longitudinal. Este é o tipo de padrão que será usado neste

trabalho, ou seja, o padrão de tensões que se desenvolve num tubo com uma única soldadura. Por

ser uma única soldadura as tensões não são simétricas em relação a um dos eixos principais de

inércia da secção.

22

Figura 15 – Padrão de tensões residuais não simétrico num tubo quadrado com uma soldadura,

(adaptado de [9])

Não foram encontradas, na literatura consultada, informações sobre os padrões de tensões residuais

instaladas em tubos circulares com apenas uma soldadura. No entanto, o diagrama apresentado na

Figura 15, pode adaptar-se à situação que se pretende estudar, conforme se explica no capítulo 4.

23

3. Influência das imperfeições no dimensionamento das

estruturas metálicas

3.1. Influência das imperfeições locais em cascas cilíndricas

comprimidas e/ou flectidas

As cascas cilíndricas que serão estudadas neste trabalho incluem-se, segundo a norma EN1993-1-6

[4], na categoria de cilindros longos, tendo em conta que estão submetidas a compressões

meridionais. O parâmetro adimensional que permite classificar os tubos está definido nesta norma

como ω=

√ . Quando ω > 0.5x

, o cilindro é considerado longo. Na Figura 16 está representada a

notação utilizada no estudo de cascas cilíndricas.

Figura 16 – Notação utilizada no estudo de cascas cilíndricas longas, (reproduzido de [4])

Uma vez que se trata de tubos em que a espessura é de uma ordem de grandeza inferior ao

diâmetro, existem interacções entre a encurvadura local e global do tubo. Este fenómeno de

encurvadura local ocorre nas zonas mais comprimidas da peça e leva a perdas de rigidez local, e à

deslocação da linha neutra. Daí resulta a interacção com a encurvadura global. Quando se analisa

este tipo de elementos com modelos de elementos finitos interessa, portanto, simular as imperfeições

locais para se ter em conta a interacção das encurvaduras local e global.

Esta interacção não é contabilizada explicitamente pelo Eurocódigo 3 para efeitos de

dimensionamento, uma vez que se considera que as reduções feitas através dos parâmetros Cx,N e

αx, respectivamente factor de redução da tensão crítica elástica e factor de redução devido às

imperfeições, são suficientemente conservativos para contabilizar este efeito.

Outro fenómeno importante de realçar, que leva à redução da resistência dos tubos circulares, é a

ovalização da secção causada pela flexão. No documento produzido pelo ECCS, que consta na

referência [5], refere-se que para cilindros longos, como os que se pretende estudar, quando o tubo

está sujeito a momentos flectores a secção ovaliza, o que faz com que as zonas comprimidas e

24

traccionadas se aproximem e, portanto, que o braço do binário criado pelas resultantes das tensões

de tracção e de compressão diminua, com consequente redução da resistência.

O processo de dimensionamento para cascas cilíndricas sujeitas a esforços axiais recomendado na

parte1-6 do Eurocódigo 3, está esquematizado na Figura 17 retirada da referência [5].

Figura 17 – Esquema ilustrativo do processo de dimensionamento de cascas cilíndricas sujeitas a

compressão axial, (reproduzido de [5])

Dos três tipos de imperfeição geométrica local referidos no capítulo 2 os desvios locais da superfície

da peça parecem ser, de acordo com [5], os que mais afectam a resistência das peças sujeitas a

compressões axiais e, por isso, é adoptado como bitola para a avaliação da importância dos outros

tipos de imperfeição.

25

3.2. Influência das tensões residuais no comportamento de

peças sujeitas à compressão e/ou flexão

No caso de peças comprimidas e/ou flectidas as tensões residuais assumem uma importância

decisiva no seu comportamento mecânico e, especialmente, no que se refere à importância dos

fenómenos de instabilidade local e global. Tomando como exemplo o caso mais simples de uma

coluna comprimida com tensões residuais instaladas, verifica-se que, a partir de um certo nível de

carga, parte da secção plastifica. Quando a carga aplicada aumenta, a resistência à flexão das

secções é assegurada apenas pela parte que ainda se encontra em regime elástico, passando a

parcela da secção com capacidade resistente a ter uma área e uma inércia menores, o que leva à

redução da sua capacidade resistente ou, expresso de outro modo, à diminuição da sua carga crítica

de encurvadura.

Este fenómeno é corrente em secções enformadas a frio, onde as tensões residuais variam da fibra

exterior para a interior de tracção para compressão, respectivamente, e com valores em módulo

muito superiores aos verificados em tubos laminados a quente. Quando estes elementos são

carregados parte da espessura das suas paredes funciona elasticamente e outra plasticamente.

Assim se compreende porque, para secções tubulares enformadas a quente, o dimensionamento seja

feito pela curva “a” (mais favorável) e em tubos enformados a frio seja usada a curva “c”.

Para se entender melhor a influência do processo de fabrico na resistência dos elementos

apresentam-se na Tabela 8 os coeficientes de redução ( ) para três esbeltezas normalizadas

distintas. Assumiu-se uma coluna com 3,0 m de comprimento de encurvadura, o aço S235 (ε=1,0) e

considerou-se:

λ – esbelteza da coluna - comprimento de encurvadura (Le) / raio de giração (i);

– esbelteza normalizada = esbelteza da coluna (λ) / esbelteza de referência (λ1), ou √

.

Tabela 8 – Influência do processo de fabrico no coeficiente de redução da resistência plástica de secções

Processo de fabrico

Tubo curva λ Diferença

(%)

Formado a quente CHS48,3x5,0 a 194,7 2,073 0,208 11,5 Enformado a frio CHS48,3x5,0 c 194,7 2,073 0,184



Como se pode constatar a influência das tensões residuais assume pouca relevância especialmente

para esbeltezas baixas, mas também para esbeltezas muito altas. O valor máximo da redução ocorre

numa gama de esbeltezas normalizadas situada entre 0.4 e 1.4. A mesma conclusão pode ser obtida

observando as curvas de encurvadura, representadas na Figura 18. Este intervalo de esbeltezas (0.4

a 1.4) é onde as duas curvas mais se afastam.

26

Figura 18 - Curvas de encurvadura do EC3

Para exemplificar a diferença de comportamento mencionada apresenta-se, na Figura 19, uma

secção aberta enformada a frio, que exibe uma distribuição de tensões residuais longitudinais mais

uniforme porque não são executadas soldaduras. Como a zona interior da secção apresenta tensões

de compressão, esta zona plastifica primeiro para esforços actuantes de compressão simples,

deixando a secção que efectivamente resiste à encurvadura com a espessura te, ou seja, com uma

inércia efectiva para resistir à encurvadura muito mais reduzida.

Figura 19 – Secção aberta formada por um processo a frio, (reproduzido de [10])

Pretende-se com este exemplo explicar o efeito das tensões residuais e a plastificação/instabilização

local. Contudo, em perfis abertos, além da instabilidade puramente local e da instabilidade global

existe, a possibilidade de ocorrer instabilidade distorcional que torna a análise deste fenómeno mais

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

Fact

or

de

Red

uçã

o (

χ)

Esbelteza Normalizada (ƛ)

curva ccurva a

27

complexa. O presente trabalho foca-se no comportamento de tubos, pelo que não se considera a

instabilidade distorcional nem a interacção entre esta e os modos globais e locais de encurvadura.

No caso de ocorrer conjugação de esforços de flexão com compressão podem registar-se fenómenos

de encurvadura local das chapas que constituem a secção, não sendo necessário que todo o

elemento instabilize. Normalmente, este fenómeno provoca o aparecimento de ondulação nas

paredes do tubo. As tensões residuais também têm relevância no desenvolvimento das encurvaduras

locais, uma vez que antecipam a plastificação de parte das paredes dos tubos, da qual resulta o

acréscimo das tensões na restante área da secção.

Na Figura 20 pode observar-se o que acontece quando numa secção existem tensões residuais.

Numa primeira fase a secção tem um comportamento elástico linear, depois, quando a parte da

secção onde existiam tensões residuais de compressão plastifica, o comportamento da secção passa

a elasto-plástico e, por fim, a secção plastifica totalmente, aumentando apenas as extensões.

Na fase elasto-plástica a secção efectiva fica reduzida, com consequente diminuição da inércia

efectiva e portanto a tensão crítica também diminui, o que justifica a possibilidade de surgir

encurvadura local nessas partes da peça comprimida.

Figura 20 – Efeito das tensões residuais no banzo de um perfil em I comprimido, (reproduzido de [1])

A razão pela qual as diferentes curvas de encurvadura se afastam mais para esbeltezas entre os 0.4

e os 1.4, fica assim explicada. É para esta gama de esbeltezas que a probabilidade de se

desenvolver o comportamento elasto-plástico é maior.

A encurvadura local conduz, em muitos casos, à encurvadura global da peça por via da redução da

carga crítica da mesma. A conjugação da encurvadura local e da encurvadura global do elemento

pode provocar o colapso por encurvadura muito antes de se atingir a carga crítica teórica.

Outra razão pela qual a plastificação de certas zonas com tensões residuais iniciais é relevante é o

facto de a linha neutra variar de posição, introduzindo momentos flectores em secções onde

inicialmente existiam apenas compressões. Na Figura 21 apresenta-se um exemplo esquemático

desta variação da posição da linha neutra para o caso de um tubo circular com uma soldadura.

28

Figura 21 – Variação da linha neutra com a plastificação parcial da secção: a)Distribuição de tensões

residuais; b)Tubo sujeito a uma compressão uniforme F e a um momento de 2ª ordem (F x e) resultante

da plastificação local da secção.

3.3. Fundamentos do dimensionamento e verificação da

segurança de estruturas segundo o Eurocódigo 3

3.3.1. Curvas para dimensionamento de colunas segundo o EC3

Na metodologia para dimensionamento de colunas apresentadas no Eurocódigo 3 as imperfeições

geométricas e as tensões residuais que influenciam a encurvadura global são tidas em conta usando

um único factor de redução da capacidade resistente plástica das secções ( ). Este factor é

considerado através da adopção das denominadas “curvas de encurvadura” e depende da esbelteza

normalizada do elemento, da geometria da secção e do processo de fabrico da peça em causa.

As referidas “curvas” integram os efeitos das reduções da resistência da coluna devidas a todas as

imperfeições referidas anteriormente, mas com destaque para as mais importantes, que são as

imperfeições geométricas e as tensões residuais.

Contudo, segundo o capítulo 5.3.2 do EC-3-1-1 podem considerar-se de forma directa as

imperfeições do eixo da peça na verificação da segurança dos elementos sujeitos a esforços normais.

Nesse caso o eixo da peça passa a ter a forma de uma curva, com amplitude máxima igual a e0, para

simular os efeitos provocados pela encurvadura por flexão. As relações e0/L estão definidas na

Tabela 9.

As configurações curvilíneas do eixo da peça serão consideradas com a orientação e a forma mais

desfavoráveis para os possíveis modos de encurvadura, isto é, para a encurvadura segundo qualquer

plano que contenha o eixo teórico da peça.

A metodologia adoptada para a elaboração das curvas, descrita na referência [2], consistiu em

escolher um padrão de tensões residuais base, ao qual se agregou uma forma curva do eixo para

simular o efeito das imperfeições geométricas iniciais. Compararam-se os resultados de diversas

simulações numéricas do comportamento de modelos representativos de peças com estas

imperfeições com resultados obtidos em ensaios de compressão, considerando várias esbeltezas

normalizadas. Pôde, assim, aferir-se que as imperfeições geométricas estipuladas nas normas

conduziram a estimativas aceitáveis para as capacidades resistentes das colunas.

29

Tabela 9 – Valores de cálculo da imperfeição geométrica inicial, (adaptado de [6])

Com base no tratamento estatístico de resultados experimentais concluiu-se que a melhor forma de

simular as imperfeições geométricas (e apenas estas) é assumir uma flecha inicial a meio vão do

elemento com um valor de L/1000. Deve relembrar-se que estão incluídos nesta flecha os efeitos da

falta de linearidade da coluna, da excentricidade das cargas aplicadas e do desvio nas dimensões da

secção em relação ao idealizado.

Em seguida, para cada tipo de secção, respectivo processo de fabrico e orientação do plano de

encurvadura, definiu-se uma curva de dimensionamento que permitisse representar bem a redução

da resistência com a variação da esbelteza, tendo em conta, adicionalmente, o padrão base das

tensões residuais correspondentes. Para tubos laminados a quente, por exemplo, os padrões típicos

das tensões residuais são os indicados na Figura 22. Criaram-se assim as quatro curvas de

dimensionamento (a, b, c, d), bem como a curva a0, que só pode ser usada para aços de classe igual

ou superior ao S460.

Figura 22 – Tensões residuais de base segundo o EC3 em tubos laminados a quente, (adaptado de [2])

De notar que as curvas não reflectem as conjugações mais desfavoráveis dos três principais

parâmetros (imperfeição geométrica, tensão residual e dispersão da tensão de cedência), uma vez

que tais conjugações são pouco verossímeis. Assim foram associados, o limite superior das

imperfeições geométricas com os valores médios para os restantes dois parâmetros.

30

As razões para esta opção foram as seguintes: i) os resultados experimentais do mesmo estudo,

revelaram que a influência da curvatura inicial diminui com o aumento das tensões residuais; ii) a

máxima influência dos parâmetros não se dá para a mesma gama de esbeltezas normalizadas.

3.3.2. Imperfeições iniciais a considerar no dimensionamento de arcos segundo

o Eurocódigo

Na Figura 23 apresenta-se uma tabela com os valores das imperfeições geométricas equivalentes

que se deverão introduzir nos arcos de pontes, em conformidade com a curva a que correspondem

as suas secções resistentes e o tipo de condições de apoio. Apresentam-se apenas as imperfeições

geométricas recomendadas para o estudo do arco no plano vertical, uma vez que os estudos

realizados nesta dissertação abordam unicamente o comportamento dos arcos no seu plano.

De acordo com a metodologia proposta na parte 2 do Eurocódigo 3 a avaliação das condições de

segurança deverá ser realizada recorrendo à análise de 2ª ordem, ou a uma análise geometricamente

não linear, da estrutura em que se integra o arco, introduzindo nela as imperfeições especificadas na

Figura 23.

Figura 23 – Imperfeições geométricas iniciais a considerar no dimensionamento de arcos,


3.3.3. Análises estruturais globais

Segundo a metodologia apresentada em várias partes dos eurocódigos existem três abordagens

possíveis para o dimensionamento e verificação da segurança de estruturas metálicas:

i) cálculo manual das tensões nos elementos e dos possíveis efeitos da encurvadura,

quando se justifica;

ii) análise numérica global, que conjugue os efeitos do comportamento não linear do

material com uma análise elástica de instabilidade bifurcacional (MNA/LBA);

iii) análise numérica global, geometricamente e materialmente não linear, de um modelo de

cálculo que inclua as imperfeições geométricas iniciais (GMNIA).

31

Neste trabalho, como se pretende estudar os efeitos das diversas imperfeições nas estruturas e, em

particular, os efeitos das tensões residuais, a análise iii) é a mais adequada, pois permite incluir

explicitamente cada imperfeição, ao contrário do método manual que utiliza artifícios que se sabe

darem origem a dimensionamentos conservativos no qual se reúnem numa única imperfeição

equivalente os efeitos do conjunto de todas as imperfeições independentemente do seu tipo.

Dentro das análises numéricas existem diversas formas de as efectuar, com objectivos distintos.

Referem-se os mais importantes no caso específico das cascas cilíndricas sujeitas a esforços axiais.

(a) Conjugação da análise que considere o comportamento não linear do material com uma análise

elástica de instabilidade bifurcacional (MNA/LBA):

Utilizando um processo de análise que tenha em consideração o comportamento não linear

do material identifica-se, com rigor, a resistência plástica de colapso do elemento. Por outro

lado, com a análise linear de bifurcação encontra-se o valor da carga crítica da estrutura.

A conjugação dos resultados destas análises é semelhante à que se utiliza quando se faz o

dimensionamento manualmente em que no final do processo, se define um factor da carga

última do elemento.

A “fórmula de Merchant-Rankine” é exemplo, de um dos métodos onde se pode combinar os

resultados de uma análise linear de estabilidade com os de uma análise plástica de 1ª ordem,

para se obter a carga de colapso (ou carga última), sendo dada por:

⁄

(14)

Com – carga última ; – carga crítica ; – carga de colapso plástico.

Esta fórmula parte da hipótese de que a interacção entre plasticidade e estabilidade é linear,

o que na verdade se tem verificado ser uma hipótese conservativa. Por essa razão, têm sido

feitos melhoramentos nomeadamente substituindo na fórmula o “1” por , que se considera

habitualmente 0.9, segundo [1].

(b) Análise geometricamente e materialmente não linear incluindo imperfeições (GMNIA):

Na referência [4] EN1993-1-6, relativa ao dimensionamento de cascas metálicas, é referido

que devem ser realizados todos os tipos de análises até se chegar à análise mais complexa

(Análise geométrica e materialmente não linear incluindo as imperfeições – GMNIA), de modo

a se poder fazer um controlo progressivo das influências da introdução de cada efeito na

análise estrutural. Na Figura 24 está esquematizada a sequência de análises que devem ser

feitas quando se pretende fazer análises numéricas globais de cascas, de acordo com a parte

1-6 do Eurocódigo 3.

32

Figura 24 - Esquema com a sequência de análises recomendadas no EC3-1-6 para as análises numéricas

globais de cascas

Começa-se por uma análise elástica linear, depois devem realizar-se as duas análises

referidas no ponto anterior e só em seguida a análise geometricamente não linear (GNA).

Introduzindo nesta análise as imperfeições geométricas (GNIA) pode analisar-se a influência

das imperfeições na estrutura. Por fim, conjugando esta análise geometricamente não linear

com imperfeições, com a análise que tem em consideração com o comportamento não linear

do material chega-se a resultados que se espera serem próximos da realidade (GMNIA).

Para ilustrar melhor exemplifica-se com o caso de uma coluna. Neste caso procede-se, em

primeiro lugar, ao cálculo da sua carga crítica, depois ao da resistência de colapso plástico e

em seguida faz-se uma análise que conjugue ambas, ou seja, que permita descobrir a carga

de colapso tendo em conta a plastificação do material e a instabilidade da coluna, mas ainda

sem quaisquer imperfeições. Por fim, no último passo, introduzem as imperfeições no modelo

de cálculo.

Comparando os resultados das várias análises é possível perceber-se qual vai sendo a

variação da resistência em cada etapa, o que permite perceber a importância relativa de cada

efeito que se vai introduzindo na análise do modelo.

A análise GMNIA permite estudar simultaneamente fenómenos de encurvadura e

plastificação, algo que não seria possível sem os programas de cálculo numérico actualmente

disponíveis pois são dois fenómenos por si só complexos, e cuja interacção é difícil de definir.

É necessário ter muita atenção ao usar este tipo de análises, tentando-se em cada etapa

perceber bem o que está a ocorrer aos elementos em estudo.

Refira-se, por fim, que as imperfeições mencionadas na parte1-6 do EC3 estão de acordo

com as tolerâncias de fabrico e construção, ou seja, são imperfeições que realmente podem

ocorrer nas estruturas.

33

4. Simulação numérica do comportamento de colunas

4.1. Introdução

Para a simulação numérica dos efeitos das tensões residuais em tubos circulares da classe 4

utilizou-se o software Abaqus, o qual permite realizar análises não lineares, geométricas e físicas

de modelos de elementos finitos, com as mais diversas configurações, tal como é necessário

para este estudo.

Tendo em vista os objectivos pretendidos foram realizadas numerosas análises, utilizando

inicialmente modelos com colunas de esbelteza elevada (λ≈120), esbelteza média (λ≈76/ ≈1) e

esbelteza reduzida (λ≈20). Realizaram-se também análises lineares de estabilidade, com o

objectivo de obter os modos de encurvadura globais e locais das colunas para, em seguida, se

introduzirem as configurações dos modos como imperfeições geométricas em análises (não

lineares) do seu comportamento.

O aço escolhido foi o S355, o qual tem uma tensão de cedência de 355 MPa, um módulo de

elasticidade de 210 GPa e o coeficiente de Poisson igual a 0.3. Por simplicidade, assumiu-se o

comportamento elasto-plástico perfeito do material, representado pelo diagrama da Figura 25.

Não foi necessário definir a tensão e extensão última do material, uma vez que o programa

interrompe as análises, devido a problemas de convergência numérica, quando para um dado

incremento de carga não se consegue atingir equilíbrio, sem que haja deslocamentos

exageradamente altos. Esta situação de instabilidade ocorre, habitualmente, já depois de se

ultrapassar a intensidade máxima da carga aplicada.

De facto, verifica-se que ao atingir o patamar de cedência a rigidez do elemento reduz-se muito,

iniciando-se nessa altura a fase dos grandes deslocamentos que precede a instabilidade da

coluna. De qualquer forma verificou-se, no fim de cada análise, que as extensões máximas não

foram excessivas (não excedem os 15%).

Figura 25 - Diagrama tensões-extensões elasto-plástico do aço

Foram analisados numericamente os comportamentos de tubos de secção circular com 500 mm de

diâmetro e 8 mm de espessura, cuja secção tem as características geométricas e a resistência

plástica enumeradas na Tabela 10.

34

Tabela 10 – Propriedades da secção das colunas analisadas

Área A 12566.37 mm²

Inércia I 3.928 mm4

Raio de giração i 176.8 mm

Resistência axial plástica Npl 4461.06 kN

Importa realçar que a secção se classifica como sendo da classe 4.

Para simular de forma completa o comportamento dos tubos recorreu-se a elementos finitos do tipo

“S8R5”. São elementos de casca de reduzida espessura com 8 nós, 5 graus de liberdade por nó e

integração reduzida a 4 pontos interiores ao elemento. A opção por este tipo de elemento em

detrimento de elementos com 4 nós deve-se ao facto de se estar a simular peças/estruturas curvas,

sendo que este tipo de elemento se adapta melhor às curvaturas. De notar que em elementos finitos

rectangulares, como os que se utilizaram, o programa de cálculo usado apresenta as tensões nos

pontos de integração, interiores do elemento. Na apresentação de resultados podem surgir valores de

tensões superiores à tensão de cedência do material uma vez que entre os pontos interiores e a

fronteira do elemento o programa utiliza uma interpolação linear para determinar os valores das

tensões. A Figura 26 exemplifica a interpolação de resultados realizada.

Figura 26 – Elemento "S8R5", desenho explicativo

As condições de fronteira adoptadas nas simulações consistiram em restringir os deslocamentos dos

nós de extremidade da coluna, nas direcções perpendiculares ao seu eixo, bem como a rotação em

torno do eixo da coluna (rotação de torção). Uma das extremidades da coluna foi, também, impedida

de se movimentar na direcção do seu eixo. A forma de aplicar estas restrições foi arranjar uma

condição que liga todos os nós a um nó central “fictício” das secções de extremidade e nesse nó

aplicar as restrições cinemáticas. Na Figura 27 está ilustrado o que se explicou anteriormente.

35

Figura 27 – Atribuição das condições de fronteira no modelo – a)condição de ligação dos nós de

extremidade ao nó central; b) Restrições atribuídas ao movimento do nó central

Refira-se que foram testadas várias condições de fronteira sendo que a adoptada foi a que produziu

resultados que mais se assemelharam ao de uma coluna real. No entanto, a consideração de

diferentes condições de fronteira não foi objecto de um estudo específico uma vez que o objectivo é

fazer uma análise comparativa entre modelos, com e sem tensões residuais.

No nó central da extremidade em que os deslocamentos na direcção do eixo da peça não estão

restringidos, foi aplicada uma carga pontual com a direcção do eixo do tubo,.

Em virtude de não se ter considerado a acção da força da gravidade não existem quaisquer outras

acções aplicadas perpendicularmente ao eixo da peça.

4.2. Imperfeições

As imperfeições geométricas consideradas nas simulações efectuadas foram as que se referiram no

capítulo 1, assumindo-se que elas têm as configurações dos modos de encurvadura e atribuíram-se

às amplitudes máximas os valores que a seguir se indicam.

4.2.1. Imperfeição geométrica global

A forma da imperfeição geométrica global é a do primeiro modo de encurvadura da coluna, que se

representa na Figura 28.

Considerou-se uma amplitude máxima da imperfeição geométrica global de L/1000, pois foi esta a

amplitude escolhida para a construção das curvas de dimensionamento de colunas do Eurocódigo 3,

de acordo com [2].

36

Figura 28 – Modo de encurvadura global

4.2.2. Imperfeições geométricas locais

A escolha das amplitudes máximas para as imperfeições locais foi feita com base nas tolerâncias

apresentadas no capítulo 6 da referência [5], e considerando, uma classe de fabrico C, que é a mais

desfavorável para a análise em questão.

Das três tolerâncias apresentadas no capítulo 2 deste trabalho decidiu-se utilizar apenas o máximo

desvio do diâmetro, por ovalização da secção, e o máximo sulco na superfície. Não foram

consideradas as excentricidades não intencionais nas ligações uma vez que, segundo a referência

[5], este tipo de imperfeição parece não produzir efeitos relevantes sobre a resistência de cascas.

i) Ovalização da secção:

Para o cálculo do máximo desvio do diâmetro por ovalização da secção, utilizou-se o método já

referido no capítulo 2, do qual resulta Ur,max = 0.03 e (dmax-dmin)=0.03x500=15 mm, pela equação

(1) e escolhendo a classe de fabrico C.

Considerando que a ovalização acontece sensivelmente de igual forma para o interior e o exterior do

círculo, pode dividir-se esta diferença por dois, obtendo-se uma imperfeição com uma amplitude de

7.5 mm (Figura 29)

Figura 29 – Desvios médios por ovalização, tendo em conta as tolerâncias dimensionais

37

ii) Desvios locais da superfície da peça:

Para o tubo considerado nas análises efectuadas, os valores desta imperfeição são:

Em zona corrente (sem soldura):

lgx=4√ = 4x√ = 178.89mm; (2)

U0x=

<=> w0x=U0x x lgx=0.016 x 178.89 = 2.86mm; (3)

Em zona de soldadura:

lgw=25 x t = 25 x 8 = 200mm; (4)

U0x=

<=> w0w= U0w x lgw =0.016 x 200 = 3.2mm (5)

Depois de calculadas as três situações possíveis (

, w0x e w0w), optou-se por usar como

amplitude máxima para as imperfeições locais o valor de 3 mm que representa aproximadamente a

média dos valores obtidos, sem considerar a ovalização da secção onde se obteve um valor muito

superior (7.5 mm). Para esta escolha teve-se em conta o facto de as deformações visíveis no modo

de encurvadura (Figura 30) se assemelharem mais a imperfeições na superfície da peça, mas

também ao facto de estar mencionado na referência [5] que esta é a imperfeição que tem maior

importância pelos efeitos que tem na resistência de cascas cilíndricas.

Figura 30 – Modo de encurvadura local ao qual se atribuirá a amplitude máxima anteriormente

seleccionada

4.2.3. Tensões residuais consideradas

Nas análises efectuadas consideraram-se tubos fabricados a partir de chapas laminadas a quente,

que posteriormente foram dobradas para atingir a geometria circular, fechando-se a secção com uma

soldadura longitudinal. Deste modo instalam-se essencialmente as tensões residuais causadas pelo

processo de soldadura usado na fabricação dos tubos. Na zona adjacente à soldadura, as tensões de

tracção são iguais à tensão de cedência do aço e abrangem uma largura calculada com base na

expressão (13), apresentada na secção 2.3.3.

Aw=

= m² ; p=0.9 – (soldadura por arco submerso)

∑ =

=0.12169m =121.7mm (13)

38

Ou seja o bloco de tensões de tracção tem 2x121.7=243.4 mm. Na expressão de c, p é o factor de

eficiência do processo e Aw é a área de soldadura adicionada (mm2).

C representa, como se viu a largura de metade bloco de tensões de tracção na zona adjacente à

soldadura.

Escolheu-se, para o factor de eficiência, o correspondente ao arco submerso, uma vez que é um

processo comum para este tipo de espessuras e para soldaduras longas feitas em oficina.

Por conveniência, em termos de construção do modelo de elementos finitos, considerou-se a

dimensão do bloco de tensões com 235.6mm, que corresponde no modelo usado à largura de três

elementos transversais, como se pode observar na Figura 31.

Figura 31 – Padrão de tensões residuais introduzido (tracções a vermelho)

Visto que as tensões residuais têm de ser auto-equilibradas e devido à escassa informação existente

sobre a configuração do diagrama das tensões fora da zona de soldadura, aproveitou-se o

procedimento que o programa utiliza. O programa auto-equilibra as tensões criando o padrão

representado nas Figuras 32 e 33, que se assemelha em termos de distribuição aos padrões

encontrados na bibliografia para os tubos rectangulares. Para que haja equilibrio a geometria da peça

altera-se, e por isso, no fim deste processo retira-se as tensões para os elementos de uma dada

secção que se pode introduzir nos modelos a analisar sem gerar praticamente deformações uma vez

que é auto-equilibrada. Surgem sempre pequenas deformações devido ao facto da discretização dos

elementos não permitir uma evolução contínua das tensões.

39

Figura 32 – Padrão de tensões residuais auto-equilibrado considerado pelo programa Abaqus

Figura 33 – Padrão de tensões residuais ao longo do perímetro de uma secção da peça adoptado pelo

programa Abaqus para um tubo com soldadura longitudinal

4.2.4. Propriedades das colunas analisadas

Já se referiu anteriormente que foram realizados estudos numéricos do comportamento de colunas

de três comprimentos representativos e com as características/propriedades seguintes:

i) Coluna longa

L=21m; λ=118.8; =1.562; Ncr=

=

=1846.1 kN

αcr=

= 0.41 < 10

Nos termos da regulamentação, [6] é necessário realizar uma análise de 2ª ordem para verificar a

segurança da coluna à encurvadura.

ii) Coluna média

L=14m; λ=79.2; =1.041; Ncr=

=

=4153.7 kN

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Ten

sõ

es r

esid

uais

[M

Pa]

Perímetro [m]

Padrão de tensões residuais

40

αcr=

= 0.93 < 10

Para esta coluna é também necessário efectuar uma análise de 2ª ordem.

iii) Coluna curta λ≈20

L=4m; λ=22.6; =0.297; Ncr=

=

=50882.9 kN

αcr=

= 11.41 > 10

Neste caso não seria necessário fazer uma análise de 2ª ordem, contudo, porque se pretende avaliar

os eventuais efeitos não lineares das imperfeições locais, decidiu-se efectuar uma análise onde esta

não linearidade foi considerada.

Relativamente a estas 3 colunas estudadas referem-se os seguintes aspectos complementares:

a) Nos modelos utilizados, as condições de fronteira consideradas não correspondem exactamente a

colunas com liberdade de rotação nas extremidades, (os nós das secções de extremidade têm uma

condição imposta que os liga ao nó central “fictício”). Assim sendo, os diferentes pontos das duas

secções das extremidades não podem deslocar-se de forma independente uns dos outros. No

entanto, referem-se estes valores para a determinação do esforço normal crítico (Ncr), para se ter

uma ideia (muito próxima da realidade) da sua grandeza.

2) Designaram-se as colunas por curta, média e longa. Contudo, chama-se a atenção para a

circunstância de não se tratar de cilindros curtos, médios ou longos segundo a notação adoptada pela

norma EN1993-1-6 [4]. Todas estas colunas estão na categoria de cilindros longos, uma vez que

ω=

√ >>0.5x

.

4.3. Modelos utilizados e análises realizadas

4.3.1. Análise elástica de estabilidade

Para cada geometria de coluna atrás referida construíram-se dois modelos para definir os modos de

encurvadura, o primeiro sem tensões residuais e outro com as tensões residuais incluídas no modelo.

A razão pela qual se fez a análise do comportamento dos modelos considerando as tensões residuais

foi não só perceber se a carga crítica variava muito devido à sua existência mas, acima de tudo, obter

os modos de encurvadura caracterizados por deslocamentos na direcção das zonas onde existem

tensões residuais de tracção que simulam os efeitos da soldadura longitudinal. O objectivo deste

procedimento é obter as formas das imperfeições iniciais a introduzir de início na análise não linear

realizada de seguida.

De facto, da análise elástica linear destes modelos obtiveram-se vários modos de encurvadura, quer

globais, quer locais. Através da análise de encurvadura obtêm-se deslocamentos adimensionais. Nas

simulações efectuadas considerou-se a amplitude máxima da imperfeição global e da imperfeição

local, multiplicando o deslocamento dos nós dos elementos finitos pelas amplitudes máximas global e

local das imperfeições referidas anteriormente nos capítulos 4.2.1 e 4.2.2.

41

4.3.2. Análise não linear – avaliação da capacidade resistente

O passo seguinte foi fazer a análise do comportamento da coluna, usando um processo incremental

não linear para determinar a sua resistência.

Nestes modelos consideraram-se três posições diferentes das tensões residuais relativamente ao

plano da imperfeição geométrica global usada. Essas posições são designadas pelas letras A, B e C

e estão representadas respectivamente nas Figuras 34, 35 e 36.

Figura 34 – Modelo A - tensões residuais centradas com o plano dos deslocamentos que simulam as

imperfeições geométricas globais (tensões de tracção do lado convexo)

Figura 35 – Modelo B - tensões residuais centradas com um plano perpendicular ao das imperfeições

geométricas globais

Figura 36 – Modelo C - tensões residuais centradas com o plano das imperfeições geométricas globais

(tensões de tracção do lado côncavo)

42

Foram construídos modelos que conjugam as imperfeições e tensões residuais de oito formas

distintas:

Modelo 0 – Modelo sem qualquer imperfeição

Modelo 1 – Imperfeição geométrica global – modelo onde se introduziram apenas as

imperfeições associadas a um modo de encurvadura global;

Modelo 2 – Modelo sem imperfeições geométricas e com tensões residuais;

Modelo 3 – Imperfeições geométricas (globais e locais) – este é o modelo de referência com o

qual se compararam os resultados dos restantes casos para se analisar os efeitos das

tensões residuais;

Modelo 4 – Imperfeições geométricas definidas com a forma do modo de encurvadura

determinado num modelo que incluí as tensões residuais;

Modelo 5 – Imperfeições geométricas + tensões residuais instaladas;

Modelo 6 – Imperfeições geométricas obtidas pelo modo de encurvadura determinado num

modelo que incluí as tensões residuais + tensões residuais instaladas;

Modelo 7 – Modelos apenas com a imperfeição geométrica global recomendada pelo

eurocódigo para análises plásticas em colunas, associados aos processos de fabrico

correspondentes à curva “a” (L/250) e a curva “c” (L/150), que são as referentes a tubos.

Para facilitar a identificação dos diferentes modelos adoptados, estes passam a ser identificados

respectivamente como: 0.NoIMP, 1.IMPglobal, 2.NoIMP+RS 3.IMPbuckle, 4.IMPbuckleRS,

5.IMPbuckle+RS, 6.IMPbuckleRS+RS, 7.curva a-L/250 e 7.curva c -L/150

4.4. Apresentação e discussão de resultados

Os resultados obtidos nas análises efectuadas e a sua interpretação são os apresentados nos pontos

seguintes.

4.4.1. Modos de encurvadura e cargas críticas

Na Figura 37 estão representados dois exemplos para os primeiros modos de encurvadura,

respectivamente, global e local.

Figura 37 – Modos de encurvadura; a) 1º modo de encurvadura global b)1º modo de encurvadura local

Na Tabela 11 encontram-se os resultados das análises de estabilidade feitas nos modelos sem

tensões residuais.

43

Tabela 11 – Resultados da análise de estabilidade efectuada

Modelo sem tensões residuais

L=

4m

Modo Tipo Ncr (kN)

L=

14m

Modo Tipo Ncr (kN)

L=

21m

Modo Tipo Ncr (kN)

1º/2º local 43149.7 1º/2º global 4116. 6 1º/2º global 1838.5

3º/4º local 43379.0 3º/4º global 16048.4 3º/4º global 7269.2

5º/6º local 44916.6 5º/6º local 31689.6 5º/6º global 16048.3

7º/8º global 45973.1 7º/8º local 31900.4 7º/8º global 27802.7

9º/10º local 46029.8 9º/10º global 34653.9 9º/10º local 31011.0

Observando os resultados constata-se que nos modelos sem

tensões residuais as cargas críticas obtidas estão sempre

agrupadas em pares porque o programa fornece um modo de

encurvadura para cada uma das direcções (x e y)

perpendiculares ao eixo da peça, como se pode ver pelo

esquema da Figura 38. Em elementos com simetria radial

existem infinitas formas para cada modo de encurvadura, no

entanto, devido a discretização do modelo é possível o

programa distinguir duas, como aqui se mostra.

Como é visível nos resultados da Tabela 11, e seria

expectável, os valores da carga crítica correspondentes aos

modos de encurvadura local, contrariamente ao que acontece

nos modos de encurvadura global, são todos muito próximos.

No caso coluna curta, o mais provável é que depois de

instabilizar localmente, já não atinja o modo global de encurvadura, uma vez que os modos locais em

causa estão associados a trajectórias pós-encurvadura instáveis.

Para testar os resultados obtidos nestas análises calcularam-se os valores das cargas críticas de

bifurcação, ou seja, as cargas críticas correspondentes aos primeiros modos de encurvadura global e

local, recorrendo a duas expressões distintas. Na Tabela 12 enumeram-se os resultados obtidos.

i) Carga crítica de Euler – Modo de instabilidade global

Ncr=

(15)

ii) Carga crítica para cascas cilíndricas, com L≈R:

σcr=

Ncr=

(16)

Nota: a expressão (16) foi retirada do livro - Estabilidade estrutural - Reis, António; Camotim, Dinar, p.

387 [1] e abrange apenas cascas cilíndricas em que o comprimento é da mesma ordem de grandeza

do raio.

Figura 38 – Modos de encurvadura

com igual carga crítica, no caso em

que as tensões residuais não são

introduzidas na análise de

estabilidade

44

Tabela 12 – Cargas críticas teóricas sem ter em conta as imperfeições

L=4m L=14m L=21m

Modelo numérico – 1º modo global Ncr [kN] 45973.1 4116.6 1838.5

Modelo numérico – 1º modo local Ncr [kN] 43149.7 31689.6 31011.0

Expressão (15) Ncr [kN] 50882.9 4153.7 1846.1

Expressão (16) Ncr [kN] 51089.8

Analisando os resultados da Tabela 12 pode concluir-se que as colunas com 14 e 21 metros de

comprimento comportam-se claramente como colunas espessas, nas quais as secções transversais

não instabilizam localmente e, portanto, o seu primeiro modo de encurvadura é um modo global. As

cargas críticas obtidas pela expressão (15) aproximam-se muito dos valores apurados nos modelos

de elementos finitos para o 1º modo de encurvadura global.

Analisando o que sucede ao valor da carga crítica correspondente ao primeiro modo de encurvadura

local quando se aumenta o comprimento da coluna constata-se que existe uma relação com o

comprimento da peça. A carga crítica do primeiro modo de encurvadura local diminui quando o

comprimento da coluna aumenta embora diminua muito mais quando se passa da coluna de 4 m para

as de 14 m, do que quando o comprimento aumenta dos 14 m para os 21 m.

Tendo em conta os valores das cargas críticas obtidos para a coluna de 4 metros é lícito admitir que o

seu comportamento é influenciado pelos dois tipos de encurvaduras, a local e a global.

4.4.2. Resultados das análises não lineares

Avaliou-se a capacidade resistente do tubo de cada modelo admitindo que ela é igual ao valor da

reacção obtida quando o programa interrompe a análise não linear. Na Tabela 13 apresentam-se os

resultados para os vários casos analisados.

Tabela 13 – Resultados da análise não linear – capacidade última das colunas

L=4m L=14m L=21m

Direcção das Tensões Res. Modelo Nult (kN) Nult (kN) Nult (kN)

0. NoIMP 4437 4437 4437

1. IMPglobal - L/1000 4331 3097 1657

2. NoIMP+RS 4319 2511 1518

3.IMPbuckle 4276 3086 1657

4.IMPbuckleRS 4300 3106 1657

A -TR na direcção da imp. Global

5.IMPbuckle+RS 4047 2666 1542

6.IMPbuckleRS+RS 4306 2663 1542

B -TR na direcção perpendicular às imp. Global

5.IMPbuckle+RS 3151 2109 1334


C -TR no sentido oposto da imp. Global

5.IMPbuckle+RS 3948 2223 1325


7. IMPglobal - L/250 (curva a)

3981 2302 1341

7. IMPglobal - L/150 (curva c)

3713 1958 1171

45

Explicação prévia

O modelo 0, ou seja, o que não tem quaisquer imperfeições, foi usado apenas para aferir se existem

erros na modelação, uma vez que ele permite unicamente obter a resistência da secção do tubo e

que teria de ser igual para todos os comprimentos dos tubos: Nult =4437 kN. O valor está um pouco

abaixo do valor calculado multiplicando a área da secção dos tubos pela tensão de cedência:

Npl=4461kN. Esta pequena diferença, de 0.5% do valor de Npl, poderia ser reduzida usando uma

malha de elementos finitos de dimensão mais reduzida. No entanto os ganhos de precisão são

irrelevantes face ao aumento significativo do tempo despendido nas diferentes análises, motivado

pelo aumento do número de elementos. Não se considerou por isso que se justificasse uma maior

discretização, embora se tenham feito experiências com outras malhas de elementos finitos.

Comparação dos resultados obtidos com os modelos com e sem imperfeições locais (modelos 1 e 3):

Os resultados obtidos nas análises efectuadas com os modelos “1”, ou seja sem as imperfeições

locais, revelaram que a carga de colapso varia pouco em relação aos modelos “3”, com imperfeições

globais e locais, daí que se tenha optado por fazer as comparações em relação aos valores

determinados através dos modelos onde se incluem todas as imperfeições geométricas.

Embora a carga de colapso não varie muito – diferença máxima de 55 kN (1.3%), que ocorre para a

coluna de 4 metros – é visível que o modo como se deforma difere significativamente consoante se

trata de uma coluna com ou sem imperfeições locais, tal como se pode observar na Figura 39, a) e b).

Tal comportamento era expectável, uma vez que as imperfeições locais assumem maior importância

numa peça curta, comparativamente com o que sucede numa coluna alta.

Por outro lado, à medida que o comprimento da coluna aumenta, a imperfeição global passa a

assumir uma maior importância no valor obtido para a carga de colapso do elemento, principalmente

porque o desvio entre os eixos recto teórico e o do modelo é directamente proporcional ao

comprimento (Imp. Global =L/1000).

Figura 39 – Deformada do modelo da coluna com 4 metros: a) sem imperfeições locais b)com

imperfeições globais e locais

Comparação dos resultados obtidos nos modelos com tensões residuais, com a imperfeição

geométrica global igual a L/1000 e com imperfeições locais relativamente aos resultados da análise

dos modelos com a imperfeição do eurocódigo:

Nas Tabelas 14 e 15 apresentam-se os resultados dos modelos 5, 6 e 7, bem como as percentagens

das diferenças entre os modelos 5/6 e os modelos 7.

46

Observando a Tabela 14, verifica-se que a curva de dimensionamento “a” conduz a resultados que

não são conservativos em muitos casos, ou seja, que a resistência obtida para os modelos com

tensões residuais, imperfeição geométrica global de L/1000 e imperfeições locais é inferior à que se

obteve utilizando imperfeição geométrica global de L/250.

Em contrapartida, ao analisar a Tabela 15 verifica-se que a curva de dimensionamento “c” é

conservativa em relação a todos os casos analisados, excepto no que se assinalou a negrito.

Esta excepção não está dentro do expectável, especialmente se se tiver em conta que os modelos 5

e 6 produzem resultados semelhantes excepto neste caso, pelo que se pensa que este resultado tem

origem em imprecisões na modelação.

Não tendo em conta o resultado a negrito, pode concluir-se que a imperfeição que simula, de uma

forma mais segura, os efeitos da imperfeição geométrica global de L/1000 somada ao padrão de

tensões residuais introduzido pela realização da soldadura, estará entre L/250 (curva “a”) e L/150

(curva “c”).

Tabela 14 – Comparação dos resultados obtidos nos modelos com imperfeição global referente à

curva “a”

7.curva a - L/250 5.IMPbuckle+RS 6.IMPbuckleRS+RS

Posição Relativa das TR F (kN) F (kN) dif.(%) F (kN) dif.(%)

L=

4m

A direcção das TR

3981

4047 1.66% 4306 8.16%

B perpendicular às TR 3151 -20.85% 3863 -2.96%

C dir. oposta às TR 3948 -0.83% 4231 6.28%

L=

14m

A direcção das TR

2302

2666 15.81% 2663 15.68%


C dir. oposta às TR 2223 -3.43% 2376 3.21%

L=

21m

A direcção das TR

1341

1542 14.99% 1542 14.99%


C dir. oposta às TR 1325 -1.19% 1325 -1.19%

Tabela 15 – Comparação dos resultados obtidos nos modelos com imperfeição global referente à

curva “c”

7.curva c - L/150 5.IMPbuckle+RS 6.IMPbuckleRS+RS

Posição Relativa das TR F (kN) F (kN) dif.(%) F (kN) dif.(%)

L=

4m

A direcção das TR

3713

4047 9.00% 4306 15.97%

B perpendicular às TR 3151 -15.14% 3863 4.04%

C dir. oposta às TR 3948 6.33% 4231 13.95%

L=

14m

A direcção das TR

1958

2666 36.16% 2663 36.01%

B perpendicular às TR 2109 7.71% 2105 7.51%

C dir. oposta às TR 2223 13.53% 2376 21.35%

L=

21m

A direcção das TR

1171

1542 31.68% 1542 31.68%

B perpendicular às TR 1334 13.92% 1334 13.92%

C dir. oposta às TR 1325 13.15% 1325 13.15%

47

Pode concluir-se, também, que na situação em que a soldadura é feita do lado para onde está

aplicada a imperfeição geométrica global (modelos A), existe um aumento da resistência

especialmente nas colunas com 14 e 21 metros.

A posição da soldadura nos modelos B é claramente a mais prejudicial para a resistência das

colunas, o que faz com que a imperfeição correspondente à curva “a” nunca seja conservativa para

este caso. Estes factos estão associados a dois fenómenos que ocorrem em simultâneo:

i) No primeiro caso - modelos A, esquematizados na Figura 40 - quando se aplicam as tensões

residuais de tracção, que simulam o efeito do processo de soldadura, introduz-se uma pequena

deformação no sentido negativo do eixo dos yy (sentido oposto ao das tensões residuais).

Posteriormente, no caso dos modelos A, introduz-se uma imperfeição geométrica no sentido positivo

do eixo dos yy, e portanto com sentido oposto à deformação provocada pelas tensões residuais.

Sobrepondo os dois efeitos, a amplitude da verdadeira imperfeição fica reduzida, o que leva a que se

obtenha uma maior resistência.

Figura 40 – Resultado da soma das imperfeições - esquema explicativo

ii) A segunda circunstância que ajuda a explicar estes aumentos ou reduções da capacidade

resistente é o facto de a posição da linha neutra variar à medida que a zona inicialmente com maiores

compressões plastifica. A explicação desta evolução da posição da linha neutra está ilustrada na

Figura 41, e verifica-se essencialmente nas colunas com 4 e 14 metros de comprimento, uma vez que

para a coluna com 21 metros a carga aplicada nunca chega a ser suficiente para se atingir a

plastificação por compressão. De facto, a interacção entre instabilidade e plasticidade resulta numa

perda de rigidez local que dá origem a uma excentricidade na resultante das cargas que faz baixar a

carga última da coluna.

Figura 41 – Esquema explicativo do fenómeno de variação da posição da linha neutra no caso das

tensões residuais no sentido positivo do eixo y

48

A evolução da posição da linha neutra tem consequências parecidas com a primeira circunstância

mencionada, uma vez que introduz momentos flectores nas secções, que por sua vez dão origem a

curvaturas na coluna que se adicionam às já existentes antes da plastificação, dando origem a

reduções de resistência quando as curvaturas se somam e aumentos de resistência quando se

subtraem.

Por fim, uma nota sobre as deformadas que se obtêm quando o programa termina a análise.

Resumem-se, na Tabela 16, os resultados já apresentados na Tabela 13, identificando aqui, com

diferentes cores, as que correspondem a diferentes sentidos da deformada.

Tabela 16 – Resultados da análise (capacidade última) identificando os tipos das deformadas obtidas

L=4m L=14m L=21m

Direcção das TR Modelo Rult (kN) Rult (kN) Rult (kN)

1. IMPglobal - L/1000 4331 3097 1657

2. NoIMP+RS 4319 2511 1518

3.IMPbuckle 4276 3086 1657

4.IMPbuckleRS 4300 3106 1657

A -TR na direcção da imp. Global

5.IMPbuckle+RS 4047 2666 1542


B -TR na direcção perpendicular às imp. Global

5.IMPbuckle+RS 3151 2109 1334


C -TR no sentido oposto da imp. Global

5.IMPbuckle+RS 3948 2223 1325


7. IMPglobal - L/250 (curva a)

3981 2302 1341

7. IMPglobal - L/150 (curva c)

3713 1958 1171

Legenda:

Preto – deformada no sentido positivo do eixo y

Vermelho – deformada no sentido negativo do eixo y

Azul – deformada com sentido entre a parte positiva do eixo x e a parte negativa do eixo y

Nos modelos B a imperfeição geométrica global tem o sentido positivo do eixo x, o que conduz a que,

por um lado, a coluna encurve na direcção x e por outro, como as tensões residuais de tracção foram

aplicadas no sentido positivo do eixo dos yy, faz com que esta se desloque no sentido negativo deste

eixo. A conjugação dos dois efeitos faz com que a deformada não tenha um sentido claro,

deformando-se tanto na direcção x como y.

Nos modelos C todos os casos se deslocam no sentido positivo dos yy, uma vez que a imperfeição é

colocada nesse sentido e também porque as tensões residuais são aplicadas no sentido contrário o

que leva a peça a encurvar na direcção oposta às tensões residuais de tracção introduzidas.

Os modelos A não se comportam todos da mesma forma. Nas colunas com L=21m a imperfeição

geométrica global introduzida tem maior importância o que leva a que a coluna encurve para o

sentido positivo do eixo y. Na coluna com 14m de comprimento é evidente uma curvatura no sentido

49

negativo, ou seja, neste caso as tensões residuais e os dois fenómenos associados a estas, têm

maior relevância que o facto de se introduzirem as imperfeições globais no sentido positivo. Já a

coluna com 4 metros quase que se mantem recta, desviando-se apenas ligeiramente para o sentido

negativo do eixo dos yy.

Embora para secções tubulares da classe 4 as curvas de dimensionamento de colunas do

Eurocódigo 3 não se apliquem, compararam-se, na Tabela 17 os resultados obtidos recorrendo a

modelos numéricos com os que resultam da aplicação destas curvas.

Tabela 17 – Comparação dos resultados das curvas do EC3 com os modelos numéricos 5 e 6.

Curva a Curva c Modelos 5 e 6

Nrd (kN) Nrd (kN) Máximo Mínimo

L=4m = 0.297 0.978 4363.0 0.950 4240.0 4306 3863

L=14m = 1.041 0.637 2840.9 0.516 2303.9 2666 2105

L=21m = 1.562 0.347 1550.5 0.295 1317.6 1542 1325

Pela observação da Tabela 17 pode verificar-se que todos os valores obtidos nos modelos utilizados

se encontram dentro da mesma ordem de grandeza dos valores calculados pelas curvas de

dimensionamento, ajustando-se melhor aos obtidos pela curva de dimensionamento c.

Os valores máximos obtidos nas análises efectuadas não têm muita relevância porque as curvas de

dimensionamento do Eurocódigo 3 têm naturalmente de ser conservativas e portanto não consideram

os casos em que a resistência dos elementos aumenta devido às tensões residuais.

Em termos das resistências mínimas obtidas nos modelos verifica-se que, em geral, os valores da

resistência calculados pelas curvas não são mais desfavoráveis do que os resultados obtidos nos

modelos 5 e 6.

A única excepção é no caso da coluna com 21 metros, em que a curva de dimensionamento “c” se

revela mais penalizante do que os valores obtidos com os modelos numéricos. O contrário ocorre na

coluna com 4 metros de comprimento, para a qual o resultado da análise aponta para uma resistência

muito inferior à obtida por qualquer curva de dimensionamento.

Estas duas constatações estão de acordo com o esperado, uma vez que as curvas não foram

definidas para ter em consideração a encurvadura local que acontece nas cascas. A influência da

encurvadura local da casca torna-se mais evidente no caso da coluna curta porque nesta se atingem

tensões de compressão muito superiores às da coluna longa, visto que esta instabiliza globalmente

antes da encurvadura local ser relevante.

50

4.5. Conclusões

Parece evidente que as tensões residuais instaladas nas colunas tubulares influenciam a sua

resistência última.

Esta influência pode ser favorável (aumento da resistência), o que acontece, em geral, nos modelos

“A”, em que a soldadura longitudinal é executada no mesmo lado para onde se considera a curvatura

da imperfeição geométrica global. Contudo, as tensões residuais podem ter um efeito desfavorável

(redução da resistência) como se verificou em todos os restantes modelos, onde se constatou existir

uma conjugação desfavorável dos efeitos das excentricidades resultantes da imperfeição geométrica

global com a resultante das tensões residuais originadas durante a execução da soldadura

longitudinal.

Com as naturais reservas, decorrentes da dimensão da amostra analisada, constata-se que nas

colunas cuja capacidade resistente é condicionada pela ocorrência da encurvadura global – colunas

longas – a imperfeição geométrica equivalente a L/150, correspondente ao processo de fabrico

associado à curva de dimensionamento “c”, revela-se adequada para o seu dimensionamento. Já o

mesmo não se verifica com as colunas curtas, nas quais a encurvadura local antecede a instabilidade

global.

Pode ainda concluir-se que quanto menos esbelta é a coluna menor relevância no valor da sua carga

de colapso tem a posição relativa das tensões residuais face ao plano da curvatura inicial. Este facto

pode ser importante uma vez que permite uma maior previsibilidade dos efeitos em colunas curtas.

51

5. Simulação numérica do comportamento de um arco

5.1. Introdução

Para entender a importância da parcela das tensões residuais na resistência e comportamento de um

arco utilizou-se, tal como para as colunas analisadas no capítulo anterior, o software Abaqus. Este

software permite criar modelos de elementos finitos superficiais e introduzir neles, simultaneamente,

um determinado padrão de tensões residuais e de imperfeições geométricas. O programa realiza a

análise geometricamente não linear do comportamento do arco submetido a um conjunto de cargas

pré-definido.

A geometria do arco estudado foi definida de tal modo que ela possa simular, pelas suas dimensões,

um arco que suspende a cobertura da bancada de um estádio.

Trata-se do caso típico de um arco que permanece totalmente apoiado até que lhe são aplicadas

todas, ou quase todas, as cargas permanentes. De facto estes arcos são, habitualmente escorados

na totalidade do seu comprimento até que esteja montada toda a estrutura da cobertura subjacente a

eles.

Ao definir as cargas procurou-se, igualmente, que elas fossem representativas das cargas que se

exercem sobre a estrutura da cobertura de uma bancada.

Estas cargas são transmitidas ao arco por intermédio de pendurais. Resulta daí que as cargas

permanentes têm duas parcelas:

i) as cargas concentradas, aplicadas pelos pendurais verticais;

ii) o peso do tubo do arco que é uma carga distribuída em todo o seu comprimento.

Além destas, considerou-se a sobrecarga de utilização com uma intensidade de 0.3 kN/m2.

Por fim importa referir que a configuração escolhida para o eixo do arco é a que corresponde,

aproximadamente, ao antifunicular das cargas permanentes.

Não é exactamente o antifunicular porque, tratando-se de um tubo de 2,0 metros de diâmetro ele tem

de ser fabricado com segmentos rectos que são, depois soldados uns aos outros. Por essa razão,

surgem pequenos momentos flectores nas seções do arco, mesmo quando se exercem apenas as

cargas permanentes.

A análise efectuada refere-se somente ao comportamento do arco no seu plano.

5.2. Geometria e propriedades do arco

O arco analisado tem um vão de 221.5 m, e apresenta uma flecha máxima a meio vão de 31.4 m. O

eixo do arco é constituído por uma sequência de troços rectos, com comprimentos que variam entre

os 9.3 m e os 6 m. Entre cada ponto de aplicação de carga (pendural) o arco é facetado em três

troços rectos (Figura 42).

A geometria do arco foi obtida utilizando aproximadamente o anti funicular das cargas permanentes,

que incluem o peso próprio da estrutura e as restantes cargas permanentes correspondentes ao peso

dos revestimentos e equipamentos suspensos da cobertura. Ou seja, para a acção das cargas

52

permanentes apenas surgem compressões, e ligeiros momentos flectores devidos ao facto de os

troços que formam o arco serem rectos em vez de curvos.

Figura 42 – Geometria do arco (dimensões em milímetros)

A secção do arco é circular, com 2000 mm de diâmetro exterior e 30 mm de espessura.

- Aço S355, com tensão de cedência fy=355 MPa, tensão última fu=490 MPa, módulo de

elasticidade Es=210 GPa e coeficiente de poisson ν=0.3

-

= 66.67 ≥ 59.4 = 90ε

2 , com ε=0.81 para S355 Classe 4

- Área real= 185668 mm²

- Inércia=90.091 mm4

- Modulo de flexão elástico (Wel) = 90.091 mm3

- Resistência axial plástica (Nrd) = 65912.2 kN

- Momento resistente elástico (Mel) = 31982.2 kN.m

A secção é de classe 4 pelo que, em princípio, não se pode usar o momento resistente elástico para

realizar as verificações de segurança. No entanto, como o tubo em questão se encontra perto da

transição para a classe 3 avaliou-se a sua resistência como classe 3 para posterior comparação com

os resultados obtidos nos modelos numéricos.

O aço escolhido foi o S355 com uma relação constitutiva representada na Figura 43. O material

comporta-se elasticamente até à tensão de cedência (fy), depois ocorre o endurecimento até ser

atingida a tensão última (fu), e em seguida o aço perde totalmente a rigidez, pelo que no patamar final

apenas ocorre aumento das extensões.

A extensão última foi definida como sendo igual a 15 vezes a extensão de cedência, que é o mínimo

permitido pelo Eurocódigo 3 para aços estruturais cuja resistência possa ser avaliada de acordo com

os critérios nele fixados. Esta é uma hipótese que deverá ser bastante conservativa uma vez que a

extensão última habitual dos aços usados nas estruturas ultrapassa largamente este valor, sendo o

próprio EC3 a referir que a extensão após a rotura não é inferior a 15% para os aços de construção

53

que respeitem as normas EN10210-1 (aços com secção tubular enformados a quente) e EN10219-1

(aços com secção tubular enformados a frio).

Não foi necessário definir a tensão e extensão última do material, uma vez que o programa

interrompe as análises, devido a problemas de convergência numérica, quando para um dado

incremento de carga não se consegue atingir equilíbrio, sem que haja deslocamentos

exageradamente altos. Esta situação de instabilidade ocorre, habitualmente, já depois de se

ultrapassar a intensidade máxima da carga aplicada.

De facto, verifica-se que ao atingir o patamar de cedência a rigidez do elemento reduz-se muito,

iniciando-se nessa altura a fase dos grandes deslocamentos que precede a instabilidade do arco. De

qualquer forma verificou-se, no fim de cada análise, que as extensões máximas não foram excessivas

(não excedem os 15%).

Figura 43 – Diagrama tensões-extensões

Tal como nas colunas foram utilizados elementos finitos do tipo “S8R5”, que são elementos de casca

de reduzida espessura, com 8 nós, 5 graus de liberdade por nó e integração reduzida a 4 pontos. A

razão da escolha deste tipo de elemento foi a mesma que se explicou a propósito das colunas.

As condições de fronteira utilizadas nas simulações efectuadas consistiram em restringir todas as

translacções das nascenças do arco, podendo haver rotação, tratando-se portanto de um arco

biarticulado. Para impedir os deslocamentos do arco fora do seu plano, colocaram-se apoios móveis

no plano vertical e fixos na direcção horizontal perpendicular ao plano do arco, nas secções de

aplicação de carga.

Outro aspecto importante de referir, é que se considerou que as secções onde se aplicam as cargas,

não se deformam no seu plano. Mantêm sempre a sua geometria circular inicial. A introdução desta

particularidade no modelo pretende simular os reforços interiores que este tipo de arco possui

sempre, pelo menos nas zonas onde os pendurais se ligam ao arco. Para além disso, foi a forma

encontrada de evitar a rotura destas secções devidas à actuação das cargas concentradas.

5.3. Cargas aplicadas

O carregamento aplicado tem três componentes, o peso próprio do arco, as restantes cargas

permanentes da cobertura (peso da estrutura suspensa, dos revestimentos e dos pendurais), e por

fim, como acção variável, por simplicidade, apenas se aplicou a sobrecarga, uma vez que o objectivo

54

deste estudo consiste na análise do comportamento do arco tendo em conta as imperfeições e não

na verificação da sua segurança para as acções aplicadas. Todas as acções que se consideraram

têm a direcção e sentido da força da gravidade, ou seja sentido negativo do eixo y, o que simplifica a

análise.

Na Figura 44 está representado o arco e assinalados os pontos de aplicação das cargas

concentradas, os quais correspondem aos pontos onde os pendurais transferem as cargas para o

arco. O arco, quando perfeito, é simétrico no plano yz e, portanto, os pontos de aplicação de cargas

também são simétricos, (por exemplo o ponto “ref-1” é simétrico ao ponto “ref-10”).

Figura 44 – Geometria do arco e aplicação das cargas

O peso próprio do arco obtém-se multiplicando o seu comprimento pela área da secção e pelo peso

volúmico do aço, que se considerou igual a 78 kN/m3. O programa determina automaticamente o

peso do arco, 3384.1 kN.

As cargas permanentes e as sobrecargas aplicadas são apresentadas na Tabela 18, com e sem

majoração. O valor da sobrecarga corresponde a 0.3 kN/m2 e a restante carga permanente

corresponde a 0.79 kN/m2, distribuídos na cobertura. Na análise efectuada, as acções permanentes

são majoradas por 1.35 e as sobrecargas por 1.5.

Os pendurais não foram previamente tensionados pelo que a força instalada resulta simplesmente da

carga transmitida ao arco pelos pendurais quando se retiram os apoios construtivos da cobertura.

Tabela 18 – Cargas aplicadas no arco em kN

Não majorado Majorado (1.35 e 1.5)

Secção Permanentes Sobrecarga Permanentes Sobrecarga

ref1 -214.3 -81.4 -289.3 -122.1

ref2 -228.3 -86.7 -308.2 -130.0

ref3 -359.9 -136.7 -485.8 -205.0

ref4 -254.6 -96.7 -343.7 -145.0

ref5 -257.8 -97.9 -348.0 -146.8

ref6 -257.8 -97.9 -348.0 -146.8

ref7 -254.6 -96.7 -343.7 -145.0

ref8 -359.9 -136.7 -485.8 -205.0

ref9 -228.3 -86.7 -308.2 -130.0

ref10 -214.3 -81.4 -289.3 -122.1

total -2629.5 -998.6 -3549.9 -1497.8

total+pp -7012.2 -9616.3

55

Como as análises realizadas são geometricamente não lineares é relevante a sequência de aplicação

das cargas. Aplicaram-se, sempre, em primeiro lugar as cargas permanentes e só depois se

introduziram as sobrecargas. Estas exercem-se sobre uma geometria do arco já deformada pelas

cargas permanentes. Os factores de majoração foram introduzidos incrementando em conjunto as

cargas permanentes e as sobrecargas.

5.4. Imperfeições

Consideraram-se dois tipos de imperfeições: as imperfeições geométricas e as tensões residuais.

Tal como sucedeu para as colunas as imperfeições geométricas usadas para as simulações

efectuadas foram obtidas assumindo que elas têm as configurações dos modos de encurvadura e

atribuindo às amplitudes máximas os valores que os Eurocódigos estipulam.

5.4.1. Imperfeição geométrica global

Para a imperfeição geométrica global usou-se a configuração do 1º modo de encurvadura que se

determinou na análise de estabilidade do arco, o qual está representado na Figura 45. É de referir

que o modo de encurvadura coincide com o apresentado na parte 2 do Eurocódigo 3 (Pontes) [11],

para as imperfeições iniciais a considerar em arcos de pontes.

Figura 45 – 1º modo de encurvadura obtido numa análise elástica e de 1ª ordem de encurvadura

Tal como indicado no Eurocódigo 3 e reproduzido na Figura 23 deste documento, a amplitude

máxima da imperfeição é de L/600 para a curva de dimensionamento “a” e L/400 para a curva de

dimensionamento “c”, sendo L o vão do arco, que neste caso vale 221.5 m.

Estas imperfeições já contêm a parcela relativa às tensões residuais, e portanto, foi necessário

estabelecer uma imperfeição representativa apenas dos desvios da geometria para usar nos modelos

onde se introduzem separadamente as tensões residuais. Tal como para as colunas optou-se por

uma amplitude máxima igual a L/1000 para simular o efeito dos desvios geométricos iniciais globais,

sem contar, portanto, com a parcela das tensões residuais.

Assim na Tabela 19, são resumidas as imperfeições globais utilizadas.

56

Tabela 19 – Imperfeições globais usadas

Curva a Curva c Imperfeição s/ TR

Amplitude (m)

L/600 L/400 L/1000

0.3692 0.5538 0.2215

5.4.2. Imperfeição geométrica local

Como a secção do arco é de classe 4 seria conveniente, para tornar a simulação mais rigorosa,

encontrar forma de introduzir imperfeições locais nos elementos que constituem o arco.

A forma como se introduziu estas imperfeições nas colunas foi assemelhando-as aos modos de

encurvadura locais. No entanto, por existirem demasiadas singularidades ao longo dos tubos dos

arcos, tais como as que existem nas secções onde se aplicam as cargas e porque o eixo do arco é

constituído por troços rectos, os fenómenos de encurvadura local concentram-se sempre nestas

zonas particulares onde, por efeito das elevadas tensões de flexão que aí ocorrem, as tensões de

compressão são muito elevadas. Esta é a razão pela qual não se descortinou um modo que

permitisse introduzir imperfeições locais no arco suficientemente representativas do que sucede nos

arcos reais. Pensa-se que será um assunto a abordar em estudos posteriores que se dediquem a

este mesmo tema. Afigura-se, contudo, que neste caso concreto a esbelteza global é tão elevada que

os modos locais perdem relevância e, por maioria de razão, também as correspondentes

imperfeições.

5.4.3. Tensões residuais

As tensões residuais consideradas nas análises do arco foram as mesmas utilizadas na simulação

das colunas, variando apenas em intensidades e larguras de distribuição, visto que a secção

transversal é diferente. Apresentam-se, de seguida, os parâmetros que condicionam as tensões

residuais consideradas e a sua distribuição.

Aw=

= m² ; p=0.9 – (soldadura por arco submerso)

∑ =

=0.4563m =456.3mm

Ou seja o bloco de tensões de tracção tem 2x456.3=912.7 mm

p – factor de eficiência do processo;

Aw – área de soldadura adicionada (mm2);

c – largura de metade bloco de tensões de tracção na zona adjacente à soldadura;

Tal como para as colunas, foi necessário auto-equilibrar as tensões residuais. Daí resultou o padrão

que se mostra nas Figuras 46 e 47. Este padrão foi auto-equilibrado num elemento rectilíneo,

correspondente a um troço do arco.

57

Figura 46 – Padrão das tensões residuais inserido em cada troço recto

Figura 47 – Padrão de tensões residuais ao longo do perímetro de uma secção do tubo (MPa)

Com as tensões residuais pretende-se simular os efeitos de uma soldadura longitudinal. A posição

em que a soldadura é executada torna-se importante porque ela define as zonas de cada secção

onde vão aparecer as tensões de tracção e de compressão, as quais se adicionam às tensões

produzidas pelos esforços devidos ao carregamento.

Consideraram-se, por isso, cinco posições diferentes para a soldadura, as quais geram outras tantas

distribuições das tensões residuais. Às três primeiras posições correspondem soldaduras contínuas e

alinhadas ao longo de todo o arco e as restantes representam soldaduras cuja posição alterna em

troços consecutivos. Na Tabela 20, estão ilustradas esquematicamente as posições relativas das

tensões residuais consideradas.

58

Tabela 20 – Posição da soldadura e respectivas tensões residuais nos 5 casos escolhidos

Posição da soldadura

Descrição Ilustração

Posição 1 Soldadura na parte superior da secção tubular,

contínua em todo o arco.

Posição 2 Soldadura na parte lateral da secção tubular,


Posição 3 Soldadura na parte inferior da secção tubular,


Posição 4 Soldadura alternada entre troços consecutivos,

entre a parte superior e inferior da secção tubular.

Posição 5 Soldadura alternada entre troços consecutivos,

entre as partes laterais da secção tubular.

5.5. Modelos e análises realizados

A primeira análise foi realizada com o propósito de se obterem os modos de encurvadura do arco

submetido às cargas permanentes aplicadas.

Conhecidos os modos de encurvadura definem-se as imperfeições geométricas a considerar nos

restantes modelos que depois se construíram. Utilizou-se unicamente o primeiro modo de

encurvadura, que é representado na Figura 45.

Importa referir que este modo de encurvadura consiste num abaixamento da metade direita do arco,

no sentido positivo do eixo do x, e na subida da outra metade do arco, no sentido negativo do eixo x.

Este modo é importante pois as análises seguintes foram feitas com três distribuições distintas da

sobrecarga: i) a actuar em todo o arco; ii) a actuar na metade esquerda e iii) aplicada na metade

direita.

5.5.1. Modelos 1 – posição das sobrecargas

Como se referiu consideraram-se três distribuições da sobrecarga. O modelo “M1_1”, no qual as

sobrecargas são aplicadas em todo o arco, o modelo “M1_2” em que as sobrecargas solicitam

59

apenas o lado esquerdo do arco, e por fim o modelo “M1_3” em que as sobrecargas actuam na

metade direita do arco.

Nestes modelos os carregamentos verticais (carga permanente e sobrecarga) são aplicados num

arco perfeito. Nos modelos seguintes combinam-se estes três tipos de carga aplicada com os vários

tipos de imperfeição, ou seja, tensões residuais e imperfeições geométricas globais.

5.5.2. Modelos 2 – Imperfeição geométrica global

Nos modelos 2 consideraram-se as três imperfeições já referidas no subcapítulo 5.4.1. Construiu-se o

modelo “M2_1”, com uma amplitude da imperfeição geométrica máxima igual a L/1000.

Os modelos “M2_2” e “M2_3” correspondem a imperfeições com amplitude máxima, respectivamente

de L/600 (curva “a”) e L/400 (curva “c”). Os resultados obtidos nestes dois modelos servem de

comparação com os que se obtêm nos modelos com tensões residuais e imperfeições geométricas

globais, uma vez que as imperfeições definidas no Eurocódigo, englobam as duas parcelas.

Os três modelos têm de ser conjugados com os três casos possíveis de distribuição das sobrecargas,

como se pode ver na Figura 48 para o caso do modelo “M2_1”. Deste modo resultam 9 modelos

conjugados: “M2_1-M1_1”, “M2_1-M1_2”, “M2_1-M1_3”, “M2_2-M1_1”, “M2_2-M1_2”, “M2_2-M1_3”,

“M2_3-M1_1”, “M2_3-M1_2”, “M2_3-M1_3”.

Figura 48 – Modelos 2 – 3 padrões de distribuição da sobrecarga relativamente à imperfeição geométrica

global

5.5.3. Modelos 3 – Tensões residuais

No subcapítulo 5.4.3, apresentaram-se, na Tabela 20, os 5 casos de posicionamento da soldadura, e

os respectivos padrões de tensões residuais.

Mais uma vez conjugaram-se estas cinco distribuições das tensões residuais com as três

distribuições distintas da sobrecarga, obtendo-se 15 modelos. No entanto, ao contrário do que

60

acontece quando se introduz a imperfeição geométrica global, é irrelevante considerar a sobrecarga a

actuar apenas do lado esquerdo ou do lado direito porque os resultados obtidos com os dois tipos de

carregamentos são iguais uma vez que o arco permanece simétrico em relação ao eixo y.

Esta constatação permite analisar apenas 10 modelos, que se resumem na Tabela 21. Estas

combinações são referidas por: “M3_1 – M1_1”, “M3_1 – M1_2”, “M3_2 – M1_1”, “M3_2 – M1_2”,

“M3_3 – M1_1”, “M3_3 – M1_2”, “M3_4 – M1_1”, “M3_4 – M1_2”, “M3_5 – M1_1”, “M3_5 – M1_2”.

Tabela 21 – Combinações de modelos com tensões residuais e sobrecarga

Modelo 3 Ilustração Modelo 1 Ilustração

M3_1

M1_1

M1_2

M3_2

M1_1

M1_2

M3_3

M1_1

M1_2

M3_4

M1_1

M1_2

M3_5

M1_1

M1_2

61

5.5.4. Modelos 4 – Tensões residuais e Imperfeição geométrica global

Os modelos 4 englobam as várias combinações possíveis envolvendo as distribuições da sobrecarga,

as posições das tensões residuais e a configuração imperfeição geométrica global. A única amplitude

que interessa combinar com as tensões residuais é a de L/1000 uma vez que não engloba os efeitos

das tensões residuais.

Tal como para o modelo 3, consideraram-se 15 combinações diferentes, mas neste caso todas são

relevantes, visto que, quando se introduz a imperfeição geométrica, passa a ser relevante a posição

da sobrecarga na metade esquerda ou na metade direita do arco.

Estes modelos são referidos com a nomenclatura dos modelos anteriores mas precedidos de “M4-”,

ficando, por exemplo, para o primeiro caso “M4 – M3_1 – M1_1”, que é o modelo que corresponde a

conjugação das solicitações do primeiro modelo 3, com as do primeiro modelo 1 e com a imperfeição

geométrica global.

5.6. Apresentação e discussão dos resultados

Antes de se apresentarem os resultados das análises feitas com os modelos de elementos finitos

superficiais, indicam-se, de seguida, os esforços axiais e os momentos flectores obtidos numa análise

geometricamente não linear de um modelo constituído por elementos lineares e sem quaisquer

imperfeições geométricas. O programa de cálculo empregue foi o SAP2000. Os resultados

representados nos diagramas das Figuras 49 a 54 foram exportados do programa. Com esta primeira

análise pretendeu-se dispor de diagramas de referência que possibilitassem, não só, uma melhor

compreensão dos efeitos das várias modificações que os modelos mais complexos foram sofrendo,

mas também a aferição dos resultados a que se foi chegando.

Figura 49 – Diagrama de esforços axiais - cargas permanentes

Figura 50 – Diagrama de momentos flectores - cargas permanentes

62

Para as cargas permanentes os esforços máximos são 8571.4 kN e 1953.9 kN.m respectivamente

para o esforço normal e para o momento flector. Pela observação da Figura 50, constata-se que a

grandeza dos momentos flectores correspondentes às cargas permanentes é bastante reduzida. É

algo que já se esperava, uma vez que a geometria adoptada para o arco é próxima do antifunicular

das cargas permanentes. Os momentos flectores existentes têm a sua justificação no facto de o arco

ser formado por segmentos rectos e também devido aos momentos de segunda ordem causados

pela deformação do arco e pelas consequentes excentricidades, entre o seu eixo e o antifunicular.

Figura 51 – Diagrama de esforços axiais - cargas permanentes + sobrecarga em todo o arco

Figura 52 – Diagrama de momentos flectores - cargas permanentes + sobrecarga em todo o arco

Analisando as Figuras 51 e 52 e comparando-as com as figuras referentes aos resultados apenas

das cargas permanentes, pode-se concluir que a sobrecarga aplicada em todo o arco dá origem a

distribuições de esforços muito semelhantes às que ocorrem quando estão aplicadas apenas as

cargas permanentes. Isto acontece porque as intensidades das forças concentradas correspondentes

à sobrecarga apresentam uma distribuição idêntica à das cargas concentradas geradas pela carga

permanente, mas com intensidades de apenas cerca de 38% das cargas permanentes. No caso da

carga permanente há que adicionar a carga distribuída correspondente ao peso do arco.

Como foi referido anteriormente, a secção tem uma resistência axial plástica de 65912.2 kN e um

momento resistente que deverá ser um pouco inferior a 31982.2 kN.m pois esta seria a resistência

elástica caso a secção fosse de classe 3. Os esforços máximos de cálculo que resultam desta

combinação de acções (1.35xcarga permanente + 1.5xsobrecarga) são NEd=10277.34 kN e

MEd=1806.76 kN.m.

Poderá pensar-se que a intensidade dos carregamentos introduzidos foi muito baixa, tendo em conta

a diferença entre os valores máximos de cálculo e as capacidades resistentes. Convém no entanto,

63

lembrar que mais tarde se introduzirão as imperfeições geométricas e os carregamentos assimétricos

e que estes dois factores produzem momentos flectores no arco muito superiores aos que aqui se

observam.

Figura 53 – Diagrama de esforços axiais - cargas permanentes + sobrecarga na metade direita do arco

Figura 54 – Diagrama de momentos flectores - cargas permanentes + sobrecarga na metade direita do

arco

Com a sobrecarga aplicada apenas na metade direita do arco obtêm-se os esforços máximos de

9489.97 kN e 17821.30 kN.m, respectivamente o esforço axial de compressão e o momento flector.

Comparando os esforços obtidos com a sobrecarga aplicada em todo o arco, o esforço axial reduziu,

porque a intensidade da carga total é menor, mas o momento flector resultante é cerca de dez vezes

superior, pois valia 1806.76 kN.m para o caso da sobrecarga aplicada em todo o arco. A combinação

de acções resultante da aplicação da sobrecarga na metade direita do arco já produz esforços que se

aproximam mais da resistência à flexão composta da secção. Contudo as secções ainda têm alguma

folga que permitirá absorver os efeitos gerados pela introdução das imperfeições geométricas e das

tensões residuais.

Para terminar esta primeira análise, que se realizou no modelo de peça linear, apresenta-se, na

Figura 55, o diagrama de momentos no arco resultante de uma análise linear, para a sobrecarga

aplicada na metade direita. Trata-se do caso de carga em que o comportamento do arco é mais

afectado pela não linearidade geométrica.

Com a análise linear obtém-se um momento máximo de 6495.93 kN.m, valor que, comparado aos

17821.30 kN.m que resultam da análise não linear, é muito menor. Pode, então, depreender-se a

grande importância que os momentos de segunda ordem assumem numa estrutura bastante

deformável como esta, em que o esforço normal é elevado e passa a actuar excentricamente

64

relativamente ao centro de gravidade das secções na estrutura deformada, dando origem a

momentos flectores elevados.

Figura 55 – Diagrama de momentos resultante da análise linear - cargas permanentes + sobrecarga na

metade direita do arco

Depois de analisado o comportamento do arco sem imperfeições sujeito aos carregamentos

anteriormente descritos passou-se à análise dos modelos de elementos finitos bidimensionais com

recurso ao Abaqus.

Nas análises que se realizaram nos modelos explicados no capítulo 5.5 a intensidade das cargas

verticais foi sendo aumentada até se atingir a rotura. O procedimento adoptado consistiu em aplicar

primeiramente as cargas permanentes majoradas, que incluem o peso próprio do arco e as cargas

permanentes provenientes da cobertura suspensa e em seguida aplicar as sobrecargas, com a

distribuição já referida, aumentando a sua intensidade até que ocorra a rotura do arco.

Na Tabela 22 apresentam-se os resultados de todas as análises efectuadas, já com as percentagens

que representam a diferença entre os resultados obtidos na análise do arco sem quaisquer

imperfeições e o modelo correspondente ao mesmo tipo de carregamento, mas incluindo as

imperfeições geométricas e/ou as tensões residuais.

Os resultados exprimem as intensidades das sobrecargas, representadas pelo parâmetro λ, que

causaram a rotura. O parâmetro λ define a relação entre a sobrecarga de rotura e a sobrecarga

regulamentar majorada (0.3x1.5=0.45 kN/m2).

65

Tabela 22 – Resultados das análises não lineares (parâmetro λ)

Sobrecarga no arco todo (M1_1)

Sobrecarga na metade esquerda (M1_2)

Sobrecarga na metade direita (M1_3)

Arco Perfeito 14.980 1.832 1.832

Imperfeição L/1000 M2_1 3.085 -79.4% 2.114 15.4% 1.561 -14.8%

Imperfeição L/600 M2_2 2.565 -82.9% 2.310 26.1% 1.387 -24.3%

Imperfeição L/400 M2_3 2.025 -86.5% 2.565 40.0% 1.175 -35.9%

Tensões Residuais

M3_1 12.900 -13.9% 1.422 -22.4% 1.422 -22.4%

M3_2 20.180 34.7% 1.227 -33.0% 1.227 -33.0%

M3_3 12.830 -14.4% 1.400 -23.6% 1.400 -23.6%

M3_4 26.070 74.0% 1.412 -22.9% 1.412 -22.9%

M3_5 12.350 -17.6% 1.244 -32.1% 1.244 -32.1%

Tensões Residuais +

Imperfeição Geométrica Global

(L/1000)

M4 - M3_1 2.277 -84.8% 1.697 -7.4% 1.159 -36.7%

M4 - M3_2 2.323 -84.5% 1.505 -17.8% 0.963 -47.4%

M4 - M3_3 2.206 -85.3% 1.677 -8.5% 1.138 -37.9%

M4 - M3_4 2.287 -84.7% 1.688 -7.9% 1.150 -37.2%

M4 - M3_5 2.401 -84.0% 1.524 -16.8% 0.978 -46.6%

Uma primeira constatação óbvia é a de que o arco sem imperfeições suporta cargas muito superiores

quando a sobrecarga é aplicada em toda a extensão comparativamente à situação em que a

sobrecarga é aplicada apenas em metade do arco.

Esta constatação vai ao encontro do esperado. Como a geometria do arco foi definida de modo a

gerarem-se quase só esforços normais de compressão para a actuação das cargas permanentes,

quando a sobrecarga está aplicada em todo o arco os esforços que o solicitam são semelhantes

(quase só de compressão) e portanto os momentos flectores são muito reduzidos.

É de referir que os momentos flectores podem ter três origens distintas. Em primeiro lugar, os

momentos flectores de primeira ordem gerados pelo carregamento assimétrico quando se aplica a

sobrecarga só em metade do arco. As outras duas origens são semelhantes. Em ambas é o efeito

das excentricidades das compressões na geometria deformada que causa os momentos de segunda

ordem. As excentricidades podem ser provocadas pelas imperfeições iniciais propositadamente

criadas ou resultantes da deformação devida às cargas.

Outro facto que se pode observar é o aumento da resistência nos casos dos modelos com

sobrecarga aplicada na metade esquerda, uma vez que esta carga vertical provoca uma deformação

contrária à imperfeição geométrica introduzida, levando o arco a subir.

Nos modelos 3, em que apenas se introduziram os vários padrões de tensões residuais, sem

imperfeições geométricas, é possível verificar que certas posições da soldadura podem levar a

ganhos de resistência dependendo do carregamento. Os ganhos mais óbvios são os obtidos nos

casos dos modelos M3_2 - M1_1 e M3_4 - M1_1.

66

É igualmente possível constatar que existem duas posições da soldadura que são claramente mais

condicionantes para a resistência do arco quando a sobrecarga está aplicada apenas na metade

direita. São as que correspondem aos modelos M3_2 e M3_5, respectivamente o modelo com uma

soldadura contínua na parte lateral da secção tubular circular e o modelo com a soldadura alternada

em troços consecutivos, mas também nas partes laterais da secção. Esta constatação permite

separar as cinco posições de soldadura em dois grupos: os que têm a soldadura lateral (alternada ou

não) e os que têm a soldadura nos topos da secção (superior, inferior e alternado).

Nos modelos com a soldadura lateral as tensões de compressão surgem nas zonas inferior e superior

da secção tal como está representado na Figura 56. Essas são precisamente as duas zonas mais

solicitadas da secção quando o arco fica sujeito a momentos flectores no seu plano.

Figura 56 – Posição das compressões nos casos de a) soldadura na parte lateral da secção e

b) momentos flectores no plano do arco

Nas Tabelas 23 e 24, que a seguir se apresentam, incluíram-se apenas os resultados obtidos com os

modelos M1_1 e M1_3, os quais são comparados com os obtidos nos arcos onde se introduziram as

imperfeições totais correspondentes às curvas “a” e “c”, respectivamente.

Tabela 23 – Comparação dos resultados com o modelo onde se aplica a imperfeição da curva “a”

Sobrecarga no arco

todo (M1_1) Sobrecarga na

metade direita (M1_3)

Imperfeição L/600 (curva a)

M2_2 2.565 1.387

Tensões Residuais

M3_1 12.900 402.9% 1.422 2.5%

M3_2 20.180 686.7% 1.227 -11.5%

M3_3 12.830 400.2% 1.400 0.9%

M3_4 26.070 916.4% 1.412 1.8%

M3_5 12.350 381.5% 1.244 -10.3%



(L/1000)

M4 - M3_1 2.277 -11.2% 1.159 -16.4%

M4 - M3_2 2.323 -9.4% 0.963 -30.6%

M4 - M3_3 2.206 -14.0% 1.138 -18.0%

M4 - M3_4 2.287 -10.8% 1.150 -17.1%

M4 - M3_5 2.401 -6.4% 0.978 -29.5%

67

Tabela 24 – Comparação dos resultados com o modelo onde se aplica a imperfeição da curva “c”

Sobrecarga no

arco todo (M1_1) Sobrecarga na metade

direita (M1_3)

Imperfeição L/400 (curva c)

M2_3 2.025 1.175

Tensões Residuais

M3_1 12.900 537.0% 1.422 21.0%

M3_2 20.180 896.5% 1.227 4.4%

M3_3 12.830 533.6% 1.400 19.1%

M3_4 26.070 1187.4% 1.412 20.2%

M3_5 12.350 509.9% 1.244 5.9%



(L/1000)

M4 - M3_1 2.277 12.4% 1.159 -1.4%

M4 - M3_2 2.323 14.7% 0.963 -18.1%

M4 - M3_3 2.206 8.9% 1.138 -3.1%

M4 - M3_4 2.287 12.9% 1.150 -2.1%

M4 - M3_5 2.401 18.6% 0.978 -16.7%

Antes de analisar o conteúdo das tabelas importa recordar que as imperfeições dos modelos 3 são

unicamente as tensões residuais e, por isso, quando conjugados com uma sobrecarga distribuída em

todo o arco originam momentos flectores muito baixos. Esta circunstância permite entender a razão

dos valores tao altos do parâmetro de carga, inscritos nas primeiras 5 linhas da primeira coluna.

Analisando a Nas Tabelas 23 e 24, que a seguir se apresentam, incluíram-se apenas os resultados

obtidos com os modelos M1_1 e M1_3, os quais são comparados com os obtidos nos arcos onde se

introduziram as imperfeições totais correspondentes às curvas “a” e “c”, respectivamente.

Tabela 23, pode concluir-se que a curva “a” conduz a valores do parâmetro de carga superiores ao

obtido em todos os modelos que incluem o padrão de tensões residuais e a imperfeição geométrica

global inicial de L/1000.

Para os modelos com sobrecarga em toda a extensão do arco (M1_1) a imperfeição da curva “c” é

conservativa (Tabela 24), ou seja, nos modelos com as tensões residuais e imperfeição geométrica

obtêm-se resistências superiores (entre 9% e 19%) às atingidas no modelo com a imperfeição

geométrica equivalente de L/400. No entanto, nos modelos com a sobrecarga apenas do lado direito

do arco obtêm-se resistências inferiores ao modelo com a imperfeição da curva “c”.

Como para estes casos, em que a sobrecarga é aplicada apenas do lado direito do arco, se

obtiveram valores de resistência inferior ao que as curvas de dimensionamento indiciam procurou-se

determinar a amplitude da imperfeição que seria necessário introduzir para obter um parâmetro λ

inferior aos que se obteve nos modelos com as tensões residuais mais desfavoráveis e a imperfeição

geométrica, simultaneamente.

Feita esta análise conclui-se que a imperfeição geométrica com a qual se obtinham todos os

resultados do lado da segurança se situa entre L/300 e L/290, com os parâmetros de carga λ a

valerem respectivamente 0.973 e 0.945. De notar que a amplitude da imperfeição inicial

recomendada no Eurocódigo 3 – parte 2 para arcos com características referentes à curva “d” é

precisamente L/300.

68

Por fim, importa deixar uma nota sobre o comportamento do material nos casos estudados. Na

Figura 57 podem observar-se as distribuições de tensões normais em três secções distintas do

modelo "M4-M3_2-M1_3", que é o de menor capacidade resistente. As três secções são a de meio

vão e as secções mais esforçadas de cada metade do arco.

Figura 57 – Distribuição de tensões normais em três secções distintas do arco no modelo "M4-M3_2-

M1_3"

A secção de meio vão (secção B) conserva praticamente o padrão de tensões residuais introduzido,

com a única diferença que existe um acréscimo relativamente uniforme, de cerca de 50 MPa, das

tensões de compressão. Mas nas outras duas secções observam-se zonas onde o material está

plastificado, por conjugação dos efeitos dos momentos flectores e das tensões residuais iniciais.

Contudo, ao analisar estes diagramas de tensão verifica-se que o comportamento do arco está

praticamente todo dentro do regime elástico. Conclui-se, assim, que a carga última é determinada

pela instabilidade global e não por se ter atingido a extensão limite de plastificação do aço.

69

5.7. Conclusões

A primeira conclusão evidente dos resultados obtidos é a de que as tensões que produzem o colapso

do tubo são as de compressão provocadas pela flexão, quer se trate de flexão gerada pelas cargas

assimétricas aplicadas no arco, quer a sua origem sejam os momentos de 2ª ordem causados pelos

esforços normais de compressão numa geometria já deformada e com plastificações assimétricas

das secções do arco.

Outra conclusão relevante é que a posição da soldadura longitudinal tem importância para a

resistência de um arco. Quando a soldadura provoca tensões residuais de compressão nas partes

superior e inferior da secção verificam-se decréscimos significativos na resistência global do arco,

uma vez que os momentos flectores provocam plastificações precoces em zonas onde já existiam

tensões de compressão, plastificações essas que reduzem consideravelmente a rigidez e a

resistência à flexão, além de darem origem a excentricidades de 2ª ordem.

Apesar disto, em resultado das análises realizadas constata-se que os modelos do arco estão

praticamente sempre dentro do regime elástico exceptuando localmente e para níveis de carga

próximos da carga última. Deste modo, esta carga última é sempre determinada pela perda de

equilíbrio resultante da instabilidade global do arco, para a qual contribuem evidentemente as perdas

de rigidez das zonas locais plastificadas.

Por fim, verifica-se que as tensões residuais representam uma parcela muito importante das

imperfeições iniciais que o Eurocódigo 3 recomenda para os arcos. Tendo em conta que a

imperfeição geométrica inicial que resulta no mesmo parâmetro de carga λ que a conjugação de

L/1000 com o caso mais condicionante das tensões residuais é L/290 (763.8 mm), então a parcela

relativa à imperfeição geométrica inicial (L/1000 = 221.5 mm) representa apenas 29% da imperfeição

equivalente total, enquanto os efeitos das tensões residuais teriam um peso de 71%. Evidentemente

que esta conclusão é valida para os arcos formados por tubos enformados a frio com soldadura

longitudinal, aqueles em que as tensões residuais instaladas são muito mais importantes.

71

6. Análise comparativa do arco com e sem viga de

rigidez

6.1. Introdução

No capítulo anterior analisou-se o comportamento estrutural de um arco isolado sem considerar a

existência de qualquer outro elemento estrutural nos modelos de cálculo. Verifica-se que a

capacidade resistente do arco é muito sensível a factores que originam momentos flectores, tais

como a aplicação de cargas assimétricas e/ou a existência de imperfeições geométricas assimétricas.

Em geral, a função dos arcos é sustentarem (ou suspenderem) outras estruturas secundárias que

funcionam em conjunto com eles. A rigidez dessas estruturas, mesmo que diminuta, pode beneficiar o

comportamento dos arcos, principalmente porque atenua as intensidades dos momentos flectores

máximos causados pelas assimetrias das cargas ou do eixo do arco.

Constituem casos típicos representativos da importância da rigidez de flexão da estrutura suportada,

as pontes em arco. Quanto maior for a rigidez do tabuleiro menores são os esforços de flexão no

arco.

Situação idêntica acontece nas coberturas de grandes áreas. A estrutura secundária da cobertura

pode contribuir decisivamente para a redução dos esforços no arco donde ela é suspensa.

Figura 58 – Arco e viga de rigidez que sustentam a cobertura do estádio da luz

O objectivo desta parte do estudo é avaliar os benefícios que um elemento com rigidez de flexão

apreciável pode trazer ao comportamento do arco e, principalmente, à sua capacidade resistente.

72

Os benefícios foram avaliados comparando as cargas de colapso do modelo formado pelo arco e pela

viga de rigidez com as do modelo em que o arco está isolado.

Fruto de alguma pesquisa efectuada em projectos de coberturas de estádios suspensas de arcos,

decidiu-se escolher uma viga de rigidez cuja rigidez de flexão é igual a metade da rigidez de flexão do

arco.

6.2. Geometria e propriedades da viga de rigidez

A secção adoptada para a viga de rigidez é uma secção circular oca com 1700mm de diâmetro

exterior e 25mm de espessura da parede. A sua rigidez de flexão representa cerca de metade da

rigidez de flexão do arco.

As características geométricas de secção da viga são as seguintes:

-

= 68 ≥ 59.4 (90xε

2), para S355 - Classe 4

- Área= 131554 mm²

- Inércia=46.147 mm4

- Módulo de flexão elástico (Wel) = 54.290 mm3

O esforço axial e o momento flector resistentes valem:

- Resistência axial plástica (Nrd) = 46701.7 kN

- Momento resistente elástico (Mel) = 19273.1 kN.m

A viga de rigidez tem um apoio em cada uma das suas extremidades que lhe restringe os

deslocamentos verticais mas nenhuma das rotações. Os deslocamentos horizontais longitudinais

estão impedidos apenas numa das extremidades. É de referir que, do facto de esta viga ter apoios

próprios (não sendo “flutuante” como sucede por vezes), resulta que parte da carga aplicada no arco

passará agora a ser encaminhada pela viga para os apoios. Esta circunstância, por si só, já contribui

para os acréscimos da carga de colapso do arco.

As transferências de cargas entre a viga e o arco são, habitualmente, feitas por meio de pendurais

verticais. Assumiu-se que a rigidez axial destes pendurais é infinita, para não introduzir mais uma

variável nas comparações dos resultados. Deste modo, introduziu-se no modelo a condição de iguais

deslocamentos verticais das secções de aplicação da carga no arco e os deslocamentos das secções

situadas no mesmo plano vertical.

É preciso ter em atenção que os pendurais podem, na realidade, instabilizar por compressão e

portanto deixar de transmitir carga à viga de rigidez. No entanto não se teve em consideração essa

possibilidade, para não dificultar mais a interpretação dos resultados.

6.3. Análises efectuadas

As imperfeições adoptadas nesta análise são exactamente as mesmas que foram consideradas para

o arco sem viga de rigidez, quer em termos de imperfeição geométrica global do arco, quer de

tensões residuais.

Em relação aos modelos apenas se efectuaram análises correspondentes aos modelos 1, 2 e 4,

excluindo-se, portanto, os modelos 3 que correspondem aos casos cuja imperfeição é apenas a

devida às tensões residuais.

73

Os padrões de carregamento mantiveram-se iguais, um primeiro caso com a sobrecarga em todo o

arco e um segundo caso com a sobrecarga na metade direita do arco (excluiu-se o caso da

sobrecarga na metade esquerda por já se ter verificado que esta conduz a resultados sempre mais

favoráveis).

6.4. Apresentação e discussão dos resultados

6.4.1. Carga última

Na Tabela 25 apresentam-se os resultados obtidos para o parâmetro de carga (λ), nos modelos

analisados.

Tabela 25 – Resultados da análise do arco com viga de rigidez (parâmetro λ)

Sobrecarga no

arco todo (M1_1)

Sobrecarga na metade direita

(M1_3) Arco Perfeito 26.370 25.26

Imperfeição L/1000 M2_1 23.41 -11.2% 24.33 -3.7%

Imperfeição L/600 M2_2 22.74 -13.8% 24.45 -3.2%

Imperfeição L/400 M2_3 22.25 -15.6% 24.28 -3.9%



(L/1000)

M4 - M3_1 21.99 -16.6% 24.85 -1.6%

M4 - M3_2 24.56 -6.9% 27.27 8.0%

M4 - M3_3 22.18 -15.9% 25.20 -0.2%

M4 - M3_4 22.77 -13.7% 25.20 -0.2%

M4 - M3_5 24.47 -7.2% 27.28 8.0%

i) A primeira conclusão evidente é que as cargas de colapso do arco nestes modelos são, muito

superiores às que se obtiveram em qualquer dos modelos anteriores. O parâmetro λ é, no mínimo, 10

vezes superior, comparando os mesmos modelos com e sem viga de rigidez. Esta é uma indicação

da enorme importância do efeito de estabilização proporcionado por estas estruturas “secundárias” no

comportamento estrutural do arco.

ii) Tal como no caso do arco isolado é possível verificar-se que as diferenças entre os resultados

obtidos para o arco perfeito e para os modelos com imperfeições são muito superiores no caso de a

sobrecarga estar aplicada em toda a extensão do arco. Na verdade, é neste caso que as

imperfeições assumem um papel mais relevante na introdução de momentos flectores, que são a

causa determinante do colapso. Quando a sobrecarga se exerce em metade do arco, assimetria da

carga já é, por si só, a causa mais importante dos momentos flectores.

iii) Outra constatação que deriva dos resultados obtidos nestas análises é o facto de nos modelos

com sobrecarga aplicada do lado direito o aumento da imperfeição geométrica global não

corresponder sempre a uma diminuição do parâmetro de carga (λL/400< λL/1000< λL/600). Estes

resultados embora possam parecer estranhos, não têm a sua origem em qualquer erro. Elas devem-

se à forma como se está a modelar a imperfeição. No caso em que o arco não tem a viga de rigidez é

fácil perceber que a imperfeição mais desfavorável corresponde ao primeiro modo de encurvadura do

arco em que a amplitude máxima da imperfeição se situa entre os pendurais “2 e 3” e entre os

74

pendurais “8 e 9”. Quando se introduz a viga isto deixa de ser verdade, passando a amplitude

máxima mais desfavorável a situar-se mais perto do meio vão do arco, ou seja, entre os pendurais “3

e 4”, ou entre ao pendurais “5 e 6”. No entanto, como a imperfeição geométrica global que se está a

introduzir apenas tem em conta o arco, acontece que há casos em que uma maior amplitude da

imperfeição pode ser menos desfavorável que uma amplitude menor.

Nas Figuras 59 e 60 apresentam-se duas imagens da deformada do arco, retiradas do programa de

cálculo (Abaqus), respectivamente do modelo sem e com viga de rigidez onde se pode observar

claramente que, para os modelos com sobrecarga aplicada no lado direito do arco, a secção de rotura

não é a mesma. No caso do arco sem a viga, a secção de rotura situa-se aproximadamente na zona

onde a amplitude da imperfeição geométrica é máxima, mas no outro isso não sucede.

Figura 59 – Modelo M4 - M3_1 - M1_3 para o caso do arco sem viga de rigidez

Figura 60 – Modelo M4 - M3_1- M1_3 para o caso do arco com viga de rigidez

iv) Importa ainda referir que nos modelos 4 é possível agrupar os resultados em dois grupos. O

primeiro grupo corresponde aos modelos em que as tensões residuais simulam soldaduras feitas na

parte superior e/ou na parte inferior da secção, que corresponde aos modelos “M4 - M3_1”, “M4 -

M3_3” e “M4 - M3_4”. O segundo grupo engloba os modelos em que as tensões residuais aplicadas

correspondem a soldaduras situadas nas laterais da secção, sempre do mesmo lado (“M4 - M3_2”)

ou alternadas (“M4 - M3_5”). Dentro de cada grupo as cargas de colapso são muito próximas umas

das outras.

Esta observação vem reforçar a ideia de que a posição relativa da soldadura entre troços

subsequentes não tem muita importância para o fenómeno que se está a estudar, mas que é

relevante a diferença entre os efeitos de soldadura colocadas na zona lateral ou na zona

superior/inferior da secção. Salienta-se que o aspecto atrás referido diz respeito apenas à capacidade

resistente do arco.

75

Na Tabela 26 encontram-se os mesmos resultados apresentados na Tabela 25 mas com as

percentagens calculadas tendo como referência o modelo com a imperfeição geométrica

correspondente à curva “c”.

Tabela 26 – Comparação dos valores do parâmetro λ obtidos com o modelo onde se aplica a imperfeição

da curva "c"

Sobrecarga no arco todo (M1_1)

Sobrecarga na metade direita

(M1_3)

Imperfeição L/400 M2_3 22.25 24.28



(L/1000)

M4 - M3_1 21.99 -1.2% 24.85 2.3%

M4 - M3_2 24.56 10.4% 27.27 12.3%

M4 - M3_3 22.18 -0.3% 25.20 3.8%

M4 - M3_4 22.77 2.3% 25.20 3.8%

M4 - M3_5 24.47 10.0% 27.28 12.4%

v) Analisando os resultados pode constatar-se que os modelos para os quais os parâmetros de carga

(λ) obtidos são superiores aos que resultam da aplicação das imperfeições referentes à curva de

dimensionamento “c” são aqueles onde a sobrecarga é aplicada apenas na metade direita do arco, ao

contrário do que acontecia quando não se tinha a viga de rigidez.

vi) Quase todos os valores apresentados na Tabela 26 indiciam que é segura a consideração da

imperfeição máxima igual a L/400. Tal não se sucedia nos modelos sem viga de rigidez, onde dois

dos casos apresentavam percentagens negativas da ordem dos 18%. A grande diferença, para a

melhoria no comportamento do arco resulta, indubitavelmente, da existência da viga de rigidez e do

efeito que ela tem como elemento unificador dos deslocamentos verticais e, nessa medida,

redistribuidor dos esforços no arco.

vii) Importa apresentar a explicação relativa ao resultado obtido no modelo “M4 - M3_1 – M1_1”. Este

modelo tem uma particularidade face a todos os outros, a rotura ocorre do lado esquerdo do arco,

numa secção entre os pendurais 2 e 3, algo que não se verifica em mais nenhum modelo que se

tenha analisado até agora. Mais a frente será discutido este caso com maior detalhe.

76

6.4.2. Deslocamentos no arco

Na Tabela 27, apresentam-se os valores do parâmetro de carga (λ), o deslocamento total máximo no

plano do arco (U), e do deslocamento vertical máximo (U2) para os arcos com e sem viga de rigidez.

Tabela 27 – Resultados do parâmetro de carga e dos deslocamentos para os casos do arco com e sem

viga de rigidez

Sobrecarga no arco todo

(M1_1)

Sobrecarga na metade

direita (M1_3)

λ U (m) U2 (m) λ U (m) U2 (m)

Arc

o s

em

vig

a d

e r

igid

ez

Arco Perfeito 14.980 0.864 0.864 1.832 1.308 1.200

Imperfeição L/1000 M2_1 3.085 2.120 2.296 1.561 2.929 2.709

Imperfeição L/600 M2_2 2.565 2.248 2.430 1.387 2.989 2.769

Imperfeição L/400 M2_3 2.025 2.358 2.544 1.175 2.996 2.779

Tensões Residuais

+

Imperfeição

Geométrica Global

(L/1000)

M4 - M3_1 2.277 2.348 2.540 1.159 3.025 2.799

M4 - M3_2 2.323 1.279 1.388 0.963 2.328 2.148

M4 - M3_3 2.206 2.376 2.574 1.138 3.172 2.933

M4 - M3_4 2.287 2.193 2.376 1.150 3.141 2.905

M4 - M3_5 2.401 1.282 1.392 0.978 2.239 2.065

Arc

o c

om

vig

a d

e r

igid

ez

Arco Perfeito 26.37 0.777 0.777 25.26 6.182 5.824

Imperfeição L/1000 M2_1 23.41 3.988 3.767 24.33 6.078 5.733

Imperfeição L/600 M2_2 22.74 4.078 3.852 24.45 6.319 5.969

Imperfeição L/400 M2_3 22.25 4.273 4.040 24.28 6.488 6.138

Tensões Residuais

+

Imperfeição

Geométrica Global

(L/1000)

M4 - M3_1 21.99 3.372 3.175 24.85 6.283 5.931

M4 - M3_2 24.56 4.636 4.405 27.27 7.345 6.951

M4 - M3_3 22.18 3.648 3.433 25.20 6.486 6.121

M4 - M3_4 22.77 3.785 3.564 25.20 6.472 6.110

M4 - M3_5 24.47 4.613 4.382 27.28 7.350 6.955

viii) Em termos de comportamento global a viga de rigidez, estando solidária com o arco de tal modo

que os deslocamentos verticais dos dois elementos sejam iguais, provoca uma redistribuição das

cargas e, consequentemente, de esforços no arco, tornando-os mais uniformes ao longo do seu

desenvolvimento e reduzindo a intensidade dos esforços de flexão. Deste modo aumenta a

capacidade de carga do arco e quando a rotura se verifica os deslocamentos são muito superiores,

registando-se já para esses níveis de carga importantes plastificações.

77

ix) Outra constatação curiosa é o facto de, nos modelos com a viga de rigidez, quando a sobrecarga

está aplicada apenas em metade do arco, a deformação antes da rotura ser, em geral, muito superior

ao que se observa quando a sobrecarga esta aplicada em todo o arco.

6.4.3. Análise das tensões

Para compreender melhor a influência da posição da soldadura no comportamento do arco,

apresentam-se, nas Figuras 61, 62, 64 e 65, as tensões normais na secção do tubo em três secções

distintas do arco, a de meio vão e as secções mais esforçadas de cada lado do arco. As tensões

correspondem ao instante antes do colapso do arco.

Escolheu-se analisar apenas os modelos “M4 - M3_1” e “M4 - M3_2”, que correspondem,

respectivamente, à soldadura situada no topo da secção e na parte lateral da secção, sem

alternâncias entre troços. Tal como se referiu anteriormente, estes dois modelos podem ser

representativos, em termos de resultados globais, do que acontece nos modelos “M4 - M3_3”/ “M4 -

M3_4” e “M4 - M3_5”, respectivamente.

x) Observando as Figuras 61, 62, 64 e 65 pode, em primeiro lugar, verificar-se que a secção do meio

vão permanece, em todas elas, com o padrão de tensões semelhante ao padrão de tensões residuais

que se introduziu, com a diferença que a intensidade das tensões de compressão aumenta

significativamente. Tendo em conta este facto, pode concluir-se, comparando os padrões de tensões

da secção de meio vão dos vários modelos, que o incremento de tensões de compressão é muito

maior nos casos em que a sobrecarga é aplicada em todo o arco. Tomando, como exemplo, a

máxima tensão de tracção constata-se que nos modelos com sobrecarga em todo o arco esta passa

de +355 MPa para cerca de +80 MPa, enquanto nos casos em que a sobrecarga está aplicada

apenas na metade esquerda, as tensões variam apenas para cerca de +200 MPa. Os acréscimos de

tensões de compressão são portanto da ordem dos 275 MPa e 155 MPa, consoante a sobrecarga se

exerce em todo o arco ou só na metade direita.

xi) Os modos de rotura do arco podem ser agrupados em dois casos distintos, tal como já se referiu

no capítulo anterior. Quando a sobrecarga se estende a todo o arco, a rotura ocorre com o arco

submetido, principalmente, a esforços de compressão, enquanto no caso de a sobrecarga estar

aplicada apenas na metade direita os esforços que originam a rotura são de flexão. Obviamente que

se está a falar do início da análise incremental, uma vez que no final, devido ao incremento dos

deslocamentos iniciais do eixo do tubo (os devidos à imperfeição introduzida), as secções onde se dá

a rotura apresentam também momentos flectores muito elevados. No entanto importa referir que

essas secções já estavam parcialmente plastificadas antes de os momentos flectores assumirem um

papel tão importante.

78

Figura 61 – Distribuição das tensões normais em três secções obtidas no modelo M4–M3_1–M1_1 [MPa]

Figura 62 – Distribuição das tensões normais em três secções obtidas no modelo M4–M3_2–M1_1 [MPa]

79

Sobrecarga a actuar em todo o arco (M1_1- Figuras 61 e 62):

xii) Analisando as tensões nas secções condicionantes em termos da resistência do arco, ou seja os

diagramas de tensões que estão à esquerda e à direita nas figuras anteriores, pode observar-se que

no caso da soldadura no topo da secção é, claramente, a secção da esquerda que atinge a rotura

muito antes da outra sequer começar a plastificar, algo que não acontece quando a soldadura está na

zona lateral da secção. Neste caso ambas as secções estão bastantes plastificadas com as tensões

máximas a apresentarem valores da mesma ordem de grandeza (-420 MPa). Esta constatação é

importante para perceber a razão pela qual o tubo com tensões residuais devidas à soldadura feita na

lateral da secção tem maior capacidade de carga (λ=24.56) do que o tubo com soldadura no topo da

secção (λ=21.99). Entende-se que quando os esforços são mais uniformes ao longo do arco, este

tem maior capacidade de carga.

xiii) A explicação para esta distribuição de tensões pensa-se estar associada à variação da posição

da linha neutra devida à plastificação parcial da secção por compressão. Quando a soldadura está na

lateral do arco, se a secção fica submetida a tensões de compressão uniformes (compressões

simples), plastifica uma zona inferior e outra zona superior da secção como se pode ver na Figura 63.

Estas plastificações não alteram a posição da linha neutra na direcção vertical, apenas se desloca na

horizontal e portanto só seria relevante caso o modo de instabilidade preponderante do arco fosse

fora do seu plano, o que não sucede por se ter impedido os deslocamentos nessa direcção.

Figura 63 – Variação da posição da linha neutra devida à compressão simples no caso "M4-M3_2-M1_1”

Quando a soldadura é feita no topo da secção, o diagrama de tensões residuais não é simétrico em

relação a um eixo horizontal, o que faz com que a linha neutra se vá deslocando verticalmente à

medida que vão surgindo plastificações e esse deslocamento provoque o aumento dos momentos

flectores, aumento esse, que acelera o processo de rotura do arco.

A distribuição de tensões normais apresentada nas Figuras 61 e 62, não traduz o atrás referido

porque correspondem ao instante imediatamente anterior à rotura em que os esforços na secção já

não são apenas de compressão mas incluem momentos flectores já bastante relevantes.

xiv) Olhando para as distribuições das tensões no instante antes da rotura, verifica-se que no modelo

"M4 - M3_1 - M1_1” os momentos flectores são bastantes superiores aos que solicitam o modelo

80

"M4 - M3_2 - M1_1”, o que é mais um indício da importância do efeito que tem a posição da

soldadura e consequente variação da posição da linha neutra devido às plastificações do aço.

Figura 64 – Distribuição das tensões normais em três secções obtidas no modelo M4 - M3_1 - M1_3 [MPa]

Figura 65 – Distribuição das tensões normais em três secções obtidas no modelo M4 - M3_2 - M1_3 [MPa]

81

Sobrecarga a actuar em metade do arco (M1_3 – Figuras 64 e 65):

xv) Nos modelos em que a sobrecarga actua apenas no lado direito do arco, torna-se evidente que as

tensões normais correspondentes aos momentos flectores de 1ª ordem têm logo à partida uma

importância muito elevada. Parte da totalidade da sobrecarga é redistribuída pela viga que a

transfere, quer para a outra metade do arco, quer directamente para o apoio mais próximo, reduzindo

os esforços de flexão no arco e aumentando os de compressão.

Tendo em consideração a intensidade do momento flector inicial e a distribuição das tensões

residuais aplicadas analisou-se a evolução da posição da linha neutra na secção e a sua influência no

aumento dos momentos flectores, tal como se tinha feito, para a compressão simples, com o intuito

de perceber os fenómenos que justificam a diferença das capacidades resistentes. Apresentam-se

nas Figuras 66 e 67 as distribuições de tensões residuais, a posição da linha neutra quando parte da

secção plastifica e os esforços gerados por esta variação da posição da linha neutra.

Figura 66 – Variação da posição da linha neutra devida à flexão simples no caso "M4 - M3_1 - M1_3”

Figura 67 – Variação da posição da linha neutra devida à flexão simples no caso "M4 - M3_2 - M1_3”

Importa referir que não se consideraram nestes esquemas que as zonas traccionadas pudessem

plastificar por tracção, uma vez que existe sempre alguma compressão uniforme no arco que impede

que tal aconteça.

xvi) Analisando os esquemas anteriores pode perceber-se que, mais uma vez, o padrão de tensões

residuais que simula os efeitos da soldadura lateral torna a distribuição de tensões mais semelhante,

82

nas duas secções críticas do arco. Pensa-se ser esta a razão para que o arco soldado lateralmente

tenha maior capacidade de carga.

xvii) Os efeitos da diferença na distribuição de tensões entre as duas secções críticas podem ser

observados nas Figuras 64 e 65. A secção está dividida em 19 elementos finitos e em todas as

secções 5 desses elementos apresentam valores da tensão axial superiores à tensão de cedência do

material, excepto na secção da esquerda do modelo "M4 - M3_1 – M1_3”, em que apenas 3

elementos estão plastificados. Esta constatação reforça a ideia de que a variação da posição linha

neutra na secção é o factor decisivo que mais contribui para a redução da capacidade de carga do

arco.

6.4.4. Fenómenos locais

xviii) O valor obtido para o parâmetro de carga no modelo “M4 - M3_1 – M1_1” é o valor mais baixo

registado, sendo inferior ao valor obtido tendo em conta as imperfeições recomendadas pelo

Eurocódigo 3 para a curva “c”. Como já se referiu atrás, este caso é o único em que a rotura ocorre

numa secção situada na metade esquerda do arco.

xix) Em geral, a extensão da zona plastificada em todos os modelos é muito superior do lado direito

(Figura 69), do que do lado esquerdo (Figura 70). Quando o arco está próximo de atingir a rotura a

extensão da zona plastificada começa a instabilizar localmente formando ondulações na superfície do

tubo. Este fenómeno foi descrito anteriormente no capítulo onde se abordou o comportamento das

cascas cilíndricas sujeitas a compressão e é bem visível na Figura 71.

Figura 68 – Localização dos fenómenos locais no arco e escala de intensidades da tensão axial

Figura 69 – Extensão da zona plastificada do lado direito do arco

83

Figura 70 – Extensão da zona plastificada do lado esquerdo do arco

Figura 71 – Ondulação da superfície do tubo

xx) No caso do modelo “M4 - M3_1 – M1_1” ocorre o fenómeno de ovalização do tubo, que é visível

na Figura 72. Quando esta ovalização se inicia o colapso é quase imediato, uma vez que o tubo fica

achatado reduzindo-se a capacidade das secções para resistir ao momento flector.

Figura 72 – Ovalização do tubo

6.4.5. Parcelas correspondentes às imperfeições geométricas globais e às

tensões residuais

Como o resultado da carga última para o modelo “M4 - M3_1 - M1_1” está fora dos limites da

segurança tendo em conta a curva “c” (L/400) procurou-se encontrar qual amplitude máxima da

imperfeição geométrica equivalente para a qual se obtém um parâmetro de carga inferior ao obtido

neste modelo.

xxi) A amplitude máxima da imperfeição geométrica equivalente a introduzir no modelo

“M4 - M3_1 - M1_1” com a qual se obtinha um parâmetro de carga do lado da segurança é L/365

(607 mm), ou seja, ligeiramente superior aos L/400 correspondente à curva “c”, mas ainda bastante

abaixo dos L/300 da curva “d”. Com uma amplitude de L/365 para a amplitude máxima da imperfeição

geométrica equivalente obteve-se um parâmetro de carga, λ= 21.93.

84

xxii) Importa referir que no arco sem a viga de rigidez a situação mais condicionante correspondia a

uma imperfeição geométrica equivalente de L/290. Comparando este valor com L/365 que foi

determinado para o arco com viga de rigidez, somos levados a concluir que a imperfeição geométrica

equivalente estipulada no Eurocódigo 3 pressupõe que os tabuleiros das pontes em que ela se insere

tenham uma rigidez de flexão não desprezável.

xxiii) Da amplitude total da imperfeição (607 mm, máximo), 221.5 mm (36.5%) correspondem à real

imperfeição geométrica introduzida no arco modelado, ou seja os L/1000, e os restantes 385.5mm

(63.5%) correspondem à parcela atribuível aos efeitos das tensões residuais.

Na Tabela 28 indicam-se, para os arcos sem e com viga de rigidez, nas duas primeiras linhas, os

valores das amplitudes máximas da imperfeição geométrica equivalente a que corresponde uma

carga de colapso igual à calculada para um arco com uma imperfeição geométrica real igual a L/1000

no qual se introduziram as tensões residuais da soldadura.

A importância relativa das tensões residuais é representada, em cada caso, pela relação entre a

grandeza da diferença entre as imperfeições geométricas equivalentes e real e o valor da primeira

expressa em termos de percentagem.

Juntaram-se os valores das mesmas imperfeições mas correspondentes às curvas “a” e “c” da parte 2

do Eurocódigo 3 [11].

Tabela 28 – Parcelas das tensões residuais e da imperfeição geométrica

Imperfeição geométrica

equivalente Imperfeição geométrica

real Parcela relativa às tensões

residuais

[mm] [mm] % [mm] %

sem viga L/290 764

L/1000 221.5

29.0% L/408 542.5 71.0%

com viga L/365 607 36.5% L/575 385.5 63.5%

curva a L/600 369 60.0% L/1500 147.5 40.0%

curva c L/400 554 40.0% L/667 332.5 60.0%

xxiv) Pela análise desta tabela pode constatar-se que a parcela referente às tensões residuais

assume um papel sempre muito importante, caso se considere que a amplitude máxima da

imperfeição geométrica global pode ser representada por L/1000. A observação da tabela permite,

também, confirmar o que tinha sido exposto anteriormente: a importância das tensões residuais para

a determinação da capacidade resistente do arco é muito superior no caso em que o arco não está

acoplado a uma viga de rigidez.

85

6.5. Conclusões

A introdução da viga de rigidez nos modelos que simulam o comportamento do arco é muito benéfica

em termos de ganhos de resistência e ductilidade. Este benefício resulta da redistribuição das cargas

aplicadas proporcionada pela viga, da qual resulta uma redução considerável dos valores dos

momentos flectores máximos actuantes para o mesmo nível de carga.

Com a viga de rigidez os esforços de compressão no arco aumentam, o que provoca maiores

plastificações do material, não funcionando, quase só em regime elástico, como acontecia em geral

quando o arco era simulado isoladamente. Este acréscimo dos esforços de compressão faz com que

ocorram fenómenos de plastificação e instabilização local nos tubos que provocam a variação da

posição da linha neutra, nomeadamente a ondulação das paredes do tubo e a ovalização da secção.

Estes efeitos acabam por ser as causas da rotura que ocorre nestes modelos.

No que se refere à capacidade resistente do arco, o padrão de tensões residuais que simula uma

soldadura longitudinal lateral é mais favorável, contrariando o que se observou quando o arco era

simulado sem viga de rigidez.

A situação mais desfavorável no que se refere à capacidade resistente do arco é a soldadura ser feita

no topo da secção do tubo, precisamente o contrário do que acontecia quando se fez a análise do

arco sem viga de rigidez, em que este era o caso mais favorável. Admite-se que tal diferença se deve

ao facto de no arco isolado os momentos flectores terem variações mais bruscas do que sucede nos

casos em que a viga de rigidez proporciona “amortecimento” dos efeitos das cargas concentradas,

distribuindo o seu efeito por uma extensão mais alargada do arco. As zonas de plastificação são, por

esse motivo, mais extensas no arco com viga de rigidez do que no arco isolado, onde a rotura ocorre

numa zona muito localizada.

Em geral a imperfeição geométrica equivalente estabelecida para a curva “c” na parte 2 do

Eurocódigo 3 constitui uma boa simulação dos efeitos das imperfeições reais (geométricas e tensões

residuais) correspondentes a uma imperfeição geométrica inicial de L/1000, acrescida dos efeitos dos

diagramas de tensões residuais considerados. Portanto, caso se conheça com rigor a geometria

deformada do arco, em teoria, para simular o efeito das tensões residuais, deve adicionar-se uma

imperfeição correspondente a L/667, que corresponde à diferença entre os L/400 da imperfeição

equivalente e os L/1000 da imperfeição geométrica real.

Constituem uma excepção ao que se afirmou anteriormente os resultados obtidos no modelo

“M4 - M3_1 - M1_1”, no qual se tem uma soldadura longitudinal contínua na parte superior do arco.

Nesse caso o parâmetro de carga obtido é inferior ao que resulta da análise do modelo com a

imperfeição geométrica correspondente à curva “c”. Para esse caso conclui-se que a imperfeição

equivalente adequada é igual a L/365, (superior ao valor L/400 da curva “c”).

Confirma-se portanto que a parcela das imperfeições geométricas globais equivalentes propostas

pelo Eurocódigo 3, a que correspondem as tensões residuais, continua a ser maior que a parcela da

imperfeição geométrica real.

87

7. Comentários, conclusões globais e sugestões para

desenvolvimentos futuros

Ao longo do trabalho foram retiradas conclusões parciais, designadamente no final dos capítulos em

que são analisadas as colunas, o arco isolado e o arco em conjunto com a viga de rigidez. Contudo, é

conveniente haver alguma cautela na generalização destas conclusões tendo em conta diversas

razões que se identificam de seguida:

a) A configuração do diagrama de tensões residuais utilizado para simular os efeitos das

soldaduras foi escolhido com base nas indicações fornecidas na bibliografia para tensões

residuais em chapas soldadas e depois adaptado à geometria circular da secção. Teve-se

também em conta, para verificação, o exemplo encontrado na bibliografia para um tubo de

secção quadrada com uma soldadura longitudinal.

Importa contudo ter presente que a configuração das tensões residuais existentes no final das

operações de corte e soldadura de chapas depende muito dos processos utilizados nessas

operações. As velocidades de elevação das temperaturas, a intensidade desta elevação, a

forma como se processa o arrefecimento são, entre outros, parâmetros que influenciam o

padrão e a grandeza das tensões residuais. Em peças com geometrias e cordões de

soldadura iguais as tensões residuais podem ser muito diferentes.

Embora os diagramas de tensões sejam sempre auto equilibrados e, portanto, a sua

configuração não afecte o valor da capacidade resistente de secções que possam ficar

totalmente plastificadas, quando se trata de seções das classes 3 e 4 a rotura ocorre antes da

plastificação da secção e é influenciada pela configuração do diagrama das tensões

residuais, como se viu.

Pensamos ser desejável que se investigue, em posteriores trabalhos, a influência da forma do

diagrama das tensões residuais na carga de colapso de arcos, eventualmente recorrendo a

diagramas reais de secções circulares.

b) Outra fonte de interrogações é a fiabilidade dos modelos numéricos adoptados. Até que ponto

eles simulam o comportamento de peças reais?

Neste aspecto considera-se que seria útil investigar as alterações do comportamento dos

tubos e do arco resultantes de:

utilizar, nos modelos, um material que exiba algum endurecimento, em vez de ter o

comportamento elástico – perfeitamente plástico assumido na análise dos tubos rectos;

pequenas modificações nas zonas onde são aplicadas as cargas concentradas no arco,

tais como as que resultam da introdução de anéis rígidos de reforço, simples ou duplos;

variações na rigidez de flexão da viga de rigidez;

variações na relação entre a cargas permanentes e as cargas variáveis aplicadas no

arco;

88

introdução da rigidez dos pendurais e a eventual desactivação? de alguns deles para

carregamentos elevados e assimétricos;

c) Para além destas sugestões considera-se ser igualmente de interesse analisar as seguintes

questões:

efeito das soldaduras transversais que são inevitáveis em tubos de comprimentos

superiores aos produzidos pelas siderurgias;

consequências da existência de mais de uma soldadura longitudinal;.

pesquisa dos padrões de imperfeições geométricas reais de tubos laminados e de tubos

produzidos em fábrica, com o intuito de definir, fundamentalmente a imperfeição inicial a

adicionar às tensões residuais;

definição das imperfeições geométricas reais registadas, quer estas se refiram a pontes

do tipo bowstring ou a coberturas de recintos desportivos, como o caso que se estudou,

cujo conhecimento, em conjunto com o que resulta da consideração de um padrão de

tensões residuais realmente medido, permitiria avaliar a real importância das

imperfeições iniciais no comportamento estrutural do arco metálico;

generalização do estudo a arcos com outras características e a comparação dos

resultados obtidos, ou seja, avaliação das diferenças que se obtêm em arcos com

secções de classes diferentes da classe 4, ou em arcos constituídos por troços

curvilíneos ou com secções transversais de configuração diferente da circular;

d) Por último, e no que se refere aos possíveis desenvolvimentos deste estudo, não pode deixar

de se referir a necessidade de sustentar os resultados obtidos através da sua comparação

com os que se obtêm em ensaios dos tubos reais.

Não obstante as limitações apontadas, os estudos realizados permitiram enumerar as seguintes

conclusões:

i) No que se refere aos tubos rectos comprimidos:

As tensões residuais instaladas nas colunas tubulares influenciam a sua resistência

última.

A influência pode ser favorável (aumento da resistência), o que acontece, em geral,

quando a soldadura longitudinal é executada no mesmo lado para onde se considera a

curvatura da imperfeição geométrica global. Este caso ocorre com bastante frequência,

uma vez que o processo de execução da soldadura faz com que a convexidade da peça

fique do lado da soldadura, devido às altas temperaturas, à fusão e à plastificação do aço

que ocorrem nas suas proximidades.

Podem, contudo, ser desfavoráveis (redução da resistência), como se verificou em todos

os restantes casos estudados. Neles constatou-se existir uma conjugação penalizante

dos efeitos das excentricidades resultantes da imperfeição geométrica global com a

resultante das tensões residuais originadas no processo de soldadura longitudinal.

Nas colunas cuja capacidade resistente é condicionada pela ocorrência da encurvadura

global – colunas longas – a curva de dimensionamento “c” revela-se adequada para o seu

89

dimensionamento. Já o mesmo não se sucede com as colunas curtas, nas quais a

encurvadura local antecede a global.

Quanto menos esbelta é a coluna menor relevância no valor da sua carga de colapso tem

a posição relativa das tensões residuais face ao plano da curvatura inicial. Esta conclusão

pode ser importante, visto que indicia uma maior previsibilidade dos efeitos da soldadura

longitudinal em colunas curtas.

ii) No que se refere ao comportamento de arcos tubulares de grande vão suportando cargas

suspensas:

Arco isolado

As tensões que produzem o colapso do tubo são as de compressão provocadas pela

flexão, quer se trate de flexão gerada pelas cargas assimétricas aplicadas no arco, quer a

sua origem sejam os momentos de 2ª ordem causados pelos esforços normais de

compressão numa geometria já deformada e com plastificações assimétricas das

secções do arco.

A posição da soldadura longitudinal tem importância para a resistência de um arco.

Quando a soldadura provoca tensões residuais de compressões nas partes superior e

inferior da secção, verificam-se decréscimos significativos na resistência global do arco,

uma vez que os momentos flectores plastificam em primeiro lugar as zonas onde já

existem tensões de compressão, reduzindo consideravelmente a rigidez e a resistência à

flexão das secções onde elas se localizam, além de darem origem a excentricidades de

2ª ordem nessas mesmas secções.

Os modelos do arco comportam-se, quase sempre, dentro do regime elástico

exceptuando localmente e para níveis de carga já próximos da carga última. Deste modo,

esta carga última é sempre determinada pela perda de equilíbrio resultante da

instabilidade global do arco, para a qual contribuem evidentemente as perdas de rigidez

das zonas locais plastificadas.

As tensões residuais representam uma parcela muito importante das imperfeições iniciais

que o Eurocódigo 3 recomenda para os arcos. Tendo em conta que a imperfeição

geométrica inicial que resulta no mesmo parâmetro de carga λ que a conjugação de

L/1000 com o caso mais condicionante das tensões residuais é L/290 (763.8 mm), então

a parcela relativa à imperfeição geométrica inicial (L/1000 = 221.5 mm) seria apenas 29%

do total, enquanto os efeitos das tensões residuais teriam um peso de 71%.

Arco acoplado a uma viga de rigidez

A introdução da viga de rigidez nos modelos que simulam o comportamento do arco é

muito benéfica em termos de ganhos de resistência e ductilidade. Este benefício resulta

da redistribuição das cargas aplicadas proporcionada pela viga, da qual resulta uma

redução considerável dos valores dos momentos flectores máximos actuantes.

Com a viga de rigidez os esforços de compressão aumentam, o que provoca maiores

plastificações do material, não funcionando, quase só, em regime elástico como

acontecia em geral quando o arco era simulado isoladamente. Este acréscimo dos

90

esforços de compressão faz com que ocorram fenómenos de plastificação e

instabilização local nos tubos, os quais provocam a variação da posição da linha neutra, a

ondulação das paredes do tubo e a ovalização da secção. Estes efeitos acabam por ser

as causas da rotura dos modelos analisados neste estudo.

No que se refere à capacidade resistente do arco o padrão de tensões residuais que

simula uma soldadura longitudinal lateral é mais favorável, contrariando o que se verificou

quando o arco era simulado sem viga de rigidez.

A situação mais desfavorável, no que se refere à capacidade resistente do arco, é a

soldadura ser feita no topo da secção do tubo, precisamente o contrário do que acontecia

quando se fez a análise do arco sem viga de rigidez, em que este era o caso mais

favorável. Admite-se que tal diferença se deve ao facto de no arco isolado os momentos

flectores terem variações mais bruscas do que sucede nos casos em que a viga de

rigidez proporciona “amortecimento” dos efeitos das cargas concentradas, distribuindo o

seu efeito por uma extensão mais alargada do arco. As zonas de plastificação são, por

esse motivo, mais extensas no arco com viga de rigidez do que no arco isolado, onde a

rotura ocorre numa zona muito localizada.

Em geral, a imperfeição geométrica equivalente estabelecida para a curva “c” na parte 2

do Eurocódigo 3 constitui uma boa simulação dos efeitos das imperfeições reais

(geométricas e tensões residuais) correspondentes a uma imperfeição geométrica inicial

de L/1000, acrescida dos efeitos dos diagramas de tensões residuais considerados.

Portanto, caso se conheça com rigor a geometria deformada do arco, em teoria, para

simular o efeito das tensões residuais deve adicionar-se uma imperfeição correspondente

a L/667, que corresponde à diferença entre os L/400 da imperfeição equivalente e os

L/1000 da imperfeição geométrica real.

Constitui uma excepção ao que se afirmou no ponto anterior, os resultados obtidos no

modelo em que se tem uma soldadura longitudinal contínua na parte superior do arco. O

parâmetro de carga obtido no respectivo modelo é inferior ao que resulta da análise do

modelo com a imperfeição geométrica correspondente à curva “c”. Para esse caso

concluiu-se que a imperfeição equivalente adequada é igual a L/365, (inferior ao valor

L/400 da curva “c”).

Constata-se que a parcela das imperfeições geométricas globais equivalentes, propostas

pelo Eurocódigo 3, que corresponde às tensões residuais, é maior do que a parcela da

imperfeição geométrica real.

Estas conclusões referem-se aos exemplos estudados, devendo encarar-se com reservas a sua

generalização a outros casos, dado que o comportamento dos arcos depende de diversas variáveis

tais como a sua geometria, as cargas que lhes são aplicadas e as relações entre elas e as

imperfeições neles existentes. Assim, pode afirmar-se, de forma um pouco “simplista”, que cada caso

é um caso e, portanto, que a generalização das conclusões apresentadas só poderá ser validada

após a execução de estudos muito mais exaustivos que considerem as possíveis variações de todos

aqueles parâmetros.

91

Apesar desta evidente limitação, pode afirmar-se que os objectivos enunciados para este estudo

foram cumpridos. Os seus resultados constituem indicadores a explorar em posteriores investigações

dedicadas ao comportamento mecânico e à avaliação das condições de segurança de tubos e de

arcos tubulares reais.

93

Referências

[1] António Reis and Dinar Camotim, Estabilidade Estrutural. Amadora, Portugal: McGRAW-HILL de

Portugal, 2000.

[2] ECCS, Manual on Stability of steel structures, 1976.

[3] EN10210 - Comité Europeu de Normalização (CEN) - Hot finished hollow sections of non-alloy

and fine grais steels, 2006.

[4] EN1993-1-6 - Comité Europeu deNormalização (CEN)- "Eurocódigo 3: Projecto de estruturas de

aço, Parte 1-6: Resistência e estabilidade de estruturas de casca", 2007.

[5] ECCS, Buckling of steel shells - European design recomendations, 2008.

[6] EN1993-1-1 - Comité Europeu de Normalização (CEN) - "Eurocódigo 3: Projecto de estruturas de

aço, Parte1-1: Regras gerais e regras para os edifícios", 2005.

[7] Lars Ingvarsson, "Cold-Forming Residual stresses. Effect on Buckling.," in Third specialty

conference on cold-formed steel structures, St. Louis, Missouri, USA, 1975.

[8] Jacques Rondal, "Residual Stresses in cold-rolled profiles," CONSTRUCTION & BUILDING

MATERIALS, vol.1, Setembro 1987.

[9] Marco Heinßmann, ENTWURF UND IMPLEMENTIERUNG EINER DATENSTRUKTUR ZUR

ERFASSUNG VON IMPERFEKTIONEN AN STAHLBAUTEILEN. Weimar, 2000.

[10] C. C. Weng and Teoman Pekoz, "Residual stresses in cold-formed steel members," in Ninth

International Specialty Conference on Cold-Formed Steel Structures, St. Louis, Missouri, USA,

1988.

[11] EN1993-2 - Comité Europeu de Normalização (CEN) - "Eurocodigo 3: Projecto de estruturas de

aço, parte 2: Pontes Metálicas - Annex D, 2006.

[12] EN1090 - Comité Europeu deNormalização (CEN) - Execution of steel structures and aluminium

structures, 2009.

[13] António Santos Carvalho Cabral Araújo Correia, Análise não linear de estruturas tridimensionais:

aplicação à análise de estruturas em arco, 2005, Tese de Mestrado em Engenharia de

Estruturas. Instituto Superior Técnico.

[14] G. Valtinat. and T. Faber, "Buckling resistance of Hollow sections of high strenght steel, taking

into acount the variation in yield strenght and Residual stresses across the thickness of the wall,"

Tubular Structures IX, p. 283, 2001.

comportamento estrutural de colunas e arcos tubulares ... · influência das imperfeições locais...

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