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  • CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV - Reforo Suplementar -

    - Curso de Engenharia de Computao -

    1

    SUPERFCIES : CILNDRICAS , ESFRICAS E QUDRICAS

    Q(x,y,z)

    1. Problema 2 pgina 836 , JS : a) Esboar o grfico de y = ex como uma curva em . b) Esboar o grfico de y = ex como uma superfcie cilndrica em . c) Descrever e esboar a superfcie cilndrica z = e y . Resoluo : a) b) c)

    1. Cilindros e superfcies de revoluo . Entendemos como superfcie de revoluo aquela obtida pela rotao de uma dada curva C em tor-

    no de um eixo fixo, denominado eixo de rotao . Portanto, uma superfcie cnica de revoluo aquela gerada pela rota-

    o parcial de duas retas concorrentes em torno de uma das bissetrizes ; uma superfcie esfrica obtida pela rotao com-

    pleta de um semicrculo em torno do dimetro. Cumpre ressaltar que o eixo de rotao no deve ter, necessariamente, pontos

    comuns com a curva C : uma superfcie cilndrica de revoluo, por exemplo, no intercepta seu eixo de rotao .

    eixo de rotao

    superfcie cnica

    de revoluo

    geratriz

    eixo de rotao

    X

    Y

    Z

    r

    x + y = r : superfcie cilndrica de revoluo

    X

    Y

    Z

    r

    y + z = r : superfcie cilndrica de revoluo

    Superfcies cilndricas . Uma superfcie cilndrica aquela constituda por todas as retas paralelas (geratrizes) a uma reta dada e que passam por uma curva plana (diretriz) tambm conhecida .

    - A curva plana C denomina-se trao da superfcie cilndrica no plano considerado .

    C : y = f(x)

    curva plana dada

    (diretriz)

    X

    Y

    Z

    O retas paralelas (geratrizes) y = f(x) :

    superfcie

    cilndrica em P(x,y,0)

    Curva plana C : diretriz (situada no plano XOY)

    Reta PQ : geratriz (paralela ao eixo OZ)

    Equao da superfcie cilndrica em : y = f(x)

    Mutatis mutandis, se variarmos as posies dos eixos :

    Curva plana C : diretriz (situada no plano XOZ)

    Reta PQ : geratriz (paralela ao eixo OY)

    Equao da superfcie cilndrica em : z = g(x)

    Curva plana C : diretriz (situada no plano YOZ)

    Reta PQ : geratriz (paralela ao eixo OX)

    Equao da superfcie cilndrica em : z = h(y)

    (0, 1, 0) (0, 1, 0)

    curva exponencial no plano XOY : y = f(x) = ex

    superfcie cilndrica exponencial em : y = f(x, z) = e x diretriz (ou trao) : y = f(x) = e x geratrizes : retas paralelas ao eixo OZ

    superfcie cilndrica exponencial em : z = f(x, y) = e y diretriz (ou trao) : z = f(y) = e y geratrizes : retas paralelas ao eixo OX

    - fcil verificar que os grficos b e c representam a mesma superfcie cilndrica, variando-se apenas as posies dos eixos no sistema referencial . Se mantivssemos o sistema original, a posio da superfcie seria alterada .

    geratriz

    geratriz

    Analogamente, podemos tratar : x = (y) , x = (z) e y = (z) .

    > plot3d ( exp(x),

    x = -3..3, z = -5..5 ) ; > plot3d ( exp(y),

    x = -5..5, y = -3..3 ) ;

    > plot ( exp(x),

    x = -3..3 ) ;

    Neste curso de Clculo II estaremos umbilicalmente apegados ao sistema algbrico computacional Maple, explorando seus inesgotveis recursos nas abordagens algbricas e geomtricas . Como primeiro ensaio, analisare- mos alguns casos clssicos de superfcies, no espao tridimensional, para melhor compreenso das lies subsequentes :

  • 2

    cilindro parablico

    2. Problemas 3 a 8 pgina 836 , JS : Descrever e esboar os grficos das superfcies

    3) y + 4z = 4 4) z = 4 x 6) y z = 4 7) z = cos x 8) x - y = 1

    Resolues :

    2 22 2 y z3 ) y 4z 4 1

    4 1 : elipse de semieixos a = 2

    e b = 1

    - trao no plano YOZ : (diretriz)

    - geratrizes paralelas ao eixo OX

    cilindro elptico

    24 ) z 4 x : parbola de vrtice no eixo OZ, concavidade para baixo

    - trao no plano XOZ: (diretriz)

    - geratrizes paralelas ao eixo OY

    X

    0

    Z

    Y

    46 ) y z 4 z

    y : hiprbole equiltera com assntotas OY e OZ

    - diretrizes (traos) no plano YOZ :

    - geratrizes paralelas ao eixo OX

    cilindro hiperblico

    7 ) z cos x : cossenoide - diretriz (trao) no plano XOZ :

    - geratrizes paralelas ao eixo OY

    2 28 ) x y 1 : hiprbole equiltera com os eixos transverso e no transverso em OX e OY, respectivamente

    - diretrizes (traos) no plano XOY :

    - geratrizes paralelas ao eixo OZ

    superfcie cilndrica hiperblica

    superfcie cilndrica senoidal

    2 2y z1

    4 1

    2z x 4

    4z

    y

    Analogamente, se considerarmos , tal equao

    representar a mesma superfcie cilndrica, porm com

    a orientao dos eixos cartesianos modificada .

    4y

    z

    z cos x

    2 2x y 1

    > plot3d ( 4-x^2, x = -3..3, y = -3..3, axes = framed ) ;

    > with (plots): implicitplot3d

    ( y^2+4*z^2 = 4, x = -10..10, y = -2..2, z = -1..1 );

    plot3d ( 4/y, x = -5..5, y= -3..3 ) ;

    > plot3d ( cos(x), x = -3*Pi..3*Pi, y = -3..3,

    style = patch and contour, axes = framed ) ;

    > with (plots): implicitplot3d ( x^2-y^2 = 1,

    x = -3..3, y =- 4..4, z = -5..5 ) ;

  • 3

    2. Superfcies qudricas .

    Conceituamos uma superfcie qudrica como um conjunto de pontos de cujos ternos coordena- dos (x, y, z) satisfazem a equao do 2. grau, com trs variveis, da forma

    onde A, B, C, D, ... , J so coeficientes numricos dados . Mediante as operaes de rotao e/ou translao, tal equao

    pode ser escrita numa das formas

    configurando a equao reduzida de uma superfcie qudrica .

    Basicamente, o estudo das qudricas constitui uma extenso tridimensional do estudo analtico das

    cnicas , em , bastando lembrar que naquela ocasio partimos da equao do 2. grau, com duas variveis,

    extraindo desta as equaes das curvas resultantes das intersees de um plano com uma superfcie cnica de revoluo :

    crculo, elipse, hiprbole, parbola, retas concorrentes, ponto etc .

    Usualmente, classificamos as superfcies qudricas de acordo com o esquema que segue :

    2 2 2Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J 0 ,

    2 2 2 2 2

    2 2

    2 2

    Ax By Cz J 0 ou Ax By Iz 0

    ou Ax Cz Hy 0

    ou By Cz Gx 0 ,

    2 2Ax By Cxy Dx Ey F 0 ,

    Elipsoides

    Elipsoide (propriamente)

    Esfera (caso particular)

    Ponto (caso trivial)

    Hiperboloides Hiperboloide de uma folha

    Hiperboloide de duas folhas

    Paraboloides Paraboloide elptico

    Paraboloide de revoluo

    Paraboloide hiperblico

    Superfcies qudricas

    Cones Cone elptico

    Cone de revoluo

    Para dirimir as possveis dvidas suscitadas pelo estudo terico desse assunto e, sobretudo, evitar

    as costumeiras confuses motivadas pela aparente semelhana das equaes dessas superfcies, analisaremos separadamente

    cada um dos casos, buscando enfatizar o cunho algbrico-geomtrico caracterstico de cada entidade estudada :

    Elipsoide

    Equao :

    2 2 2

    2 2 2

    x y z1

    a b c

    - Tal equao uma extenso da equao da elipse para o

    espao tridimensional, com o centro geomtrico na origem.

    - Todos os traos (sees planas perpendiculares aos eixos)

    configuram elipses .

    -

    Neste caso, se a = 0, o lugar geomtrico se reduz ao centro.

    2 2 2 2a b c x y z a : superfcie esfrica de raio a e centro na origem .

    Hiperboloide

    de uma folha

    Grfico Equao :

    2 2 2

    2 2 2

    x y z1

    a b c

    - Tal equao uma extenso da equao da hiprbole para

    o espao tridimensional .

    - Traos horizontais elipses .

    - Traos verticais hiprboles .

    - a = b (traos horizontais circulares) hiperboloide de

    revoluo .

    - A varivel cujo coeficiente negativo assinala o eixo de

    simetria da superfcie .

    Grfico

  • 4

    Equao :

    Hiperboloide

    de duas folhas

    Grfico Equao :

    2 2 2

    2 2 2

    x y z1

    a b c

    - Tal equao uma extenso da equao da hiprbole para

    o espao tridimensional .

    - Traos horizontais elipses, se z = k > c ou z = k < - c .

    - Traos verticais hiprboles .

    - a = b (traos horizontais circulares) hiperboloide de