Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas

1.Introdução

2.Resolução de Exemplos

1. Introdução

Alguns problemas de volume são muitodifíceis de lidar pelos métodos das seçõesanteriores. Por exemplo, vamos considerar oproblema de encontrar o volume de um sólidoobtido pela rotação ao redor do eixo y pela regiãolimitada por y = 2x2 -x3 e y = 0, conforme a figuraa seguir.

1. Introdução

Se a fatiarmos perpendicularmente ao eixoy, obteremos uma arruela. Mas para calcularmos osraios interno e externo da arruela, teríamos deresolver a equação cúbica y = 2x2 - x3 para x emtermos de y; isto não é fácil.

1. Introdução

1. Introdução

Felizmente existe um método, chamadoMétodo das Cascas Cilíndricas, que é mais fácilde usar em casos como esse. A figura a seguirmostra uma casca cilíndrica de raio interno r1, raioexterno r2 e altura h. O seu volume V é calculadopela subtração do volume V1 do cilindro interno dovolume V2 do cilindro externo.

1. Introdução

2 1V V V= −

( )2 2 2 22 1 2 1V r h r h r r h= − = −π π π

( )( )2 1 2 1V r r r r h= + −π

( )2 12 12

2r r

V h r r+= −π

1. Introdução

Se fizermos

2 1 (a espessura da casca) r r r∆ = −

( )2 1 (o raio médio da casca)1

2

r r r= +

então a fórmula para o volume de uma cascacilíndrica se torna

2V rh r= ∆πe pode ser memorizada como

[circunferência] [altura] [espessura]V ⋅ ⋅=

1. Introdução

Agora considere S como o sólido obtido pelarotação ao redor do eixo y da região limitada pory = f (x) [onde f (x) ≥ 0], y = 0, x = a e x = b, ondeb > a ≥ 0, conforme mostrado na figura abaixo

1. Introdução

Dividimos o intervalo [a, b] em nsubintervalos [xi-1, xi] de mesma largura ∆x econsideremos o ponto médio do i-ésimosubintervalo. Se o retângulo com base [xi-1, xi] ealtura é girado ao redor do eixo y, então oresultado é uma casca cilíndrica com raio médio ,altura e espessura ∆x, conforme a figura aseguir.

ix

( )if x

ix( )if x

1. Introdução

( ) ( )2 i iV x f x x = ∆

π

2V rh r= ∆π

1. Introdução

Portanto, uma aproximação para o volume Vde S é dada pela soma dos volumes dessas cascas:

( )1 1

2n n

i i ii i

V V x f x x= =

= = ∆∑ ∑ π

Essa aproximação torna-se melhor quandon → ∞. Mas, pela definição de integral, sabemos que

( ) ( )1

lim 2 2bn

i ini a

x f x x x f x dx→∞ =

∆ =∑ ∫π π

1. Introdução

O volume do sólido na figura abaixo, obtidopela rotação ao redor do eixo y da região sob acurva y = f (x) de a até b é:

( ) onde 02 b

a

a bV x f x dx ≤ <= ∫ π

1. Introdução

A melhor maneira para se lembrar dafórmula anterior é pensar em uma casca típica,cortada e achatada como na figura abaixo, comraio x, circunferência 2πx, altura f (x) e espessura∆x ou dx.

( ) ( )circunferência altura

2 b

a

V x f x dx = ∫��� ���

π

1. Introdução

Esse tipo de argumento será útil em outrassituações, tais como quando giramos ao redor deoutras retas além do eixo y.

1. O método do disco

Exemplo 1: Determine o volume do sólido obtidopela rotação ao redor do eixo y da região limitadapor y = 2x2 – x3 e y = 0.

1. O método do disco

Solução: Do esboço da figura abaixo, vemos queuma casca típica tem raio x, circunferência 2πx ealtura f (x) = 2x2 – x3.

1. O método do disco

Então, pelo método das cascas, o volume é:

( )2b

a

V x f x dx= ∫ π

( ) ( )2 2

2 3 3 4

0 0

2 2 2 2V x x x dx x x dx= − = −∫ ∫π π

24 5

0

1 1 32 162 2 8

2 5 5 5x x = − = − =

π π π

1. O método do disco

A figura abaixo mostra o gráfico geradopelo computador do sólido resultante:

1. O método do disco

Exemplo 2: Determine o volume de um sólidoobtido pela rotação ao redor do eixo y da regiãoentre y = x e y = x2.

1. O método do disco

Solução: A região e uma casca típica sãomostradas na figura abaixo. Vemos que a cascatem raio x, circunferência 2πx e altura x – x2.

1. O método do disco

Então o volume é:

( )2b

a

V x f x dx= ∫ π

( ) ( )1 1

2 2 3

0 0

2 2V x x x dx x x dx= − = −∫ ∫π π

13 4

0

1 1 1 12 2

3 4 3 4 6x x = − = − =

ππ π

1. O método do disco

O exemplo a seguir mostra que o método dacasca funciona bem também quando giramos aoredor do eixo x. Simplesmente, temos de desenharum diagrama para identificar o raio e a altura dacasca.

1. O método do disco

Exemplo 3: Use cascas cilíndricas para determinaro volume do sólido obtido pela rotação ao redor doeixo x da região sob a curva y = x1/2 de 0 a 1.

1. O método do disco

Solução: Para usar as cascas escrevemos y = x1/2

como x = y2, conforme a figura abaixo.

1. O método do disco

Pela rotação ao redor do eixo x, vemos queuma casca típica tem raio y, circunferência 2πy ealtura 1 – y2. Então o volume é

( )2b

a

V y f y dy= ∫ π

( ) ( )1 1

2 3

0 0

2 1 2V y y dy y y dy= − = −∫ ∫π π

12 4

0

1 1 1 12 2

2 4 2 4 2y y = − = − =

ππ π

1. O método do disco

Exemplo 4: Determine o volume do sólido obtidopela rotação da região limitada por y = x – x2 ey = 0 ao redor da reta x = 2.

1. O método do disco

Solução: A figura abaixo mostra a região e a cascacilíndrica formada pela rotação ao redor da reta x = 2.Esta tem raio 2 – x, circunferência 2π (2 – x) e alturax – x2.

1. O método do disco

O volume do sólido é

( )2b

a

V x f x dx= ∫ π

( )( ) ( )1 1

2 3 2

0 0

2 2 2 3 2V x x x dx x x x dx= − − = − +∫ ∫π π

14 3 2

0

1 12 2 1 1

4 4 2x x x = − + = − + =

ππ π