engrenagens dimensionamento cilíndricas retas e helicoidais

Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 55

6. ENGRENAGENS – DIMENSIONAMENTO

As engrenagens podem falhar por duas maneiras distintas: Fadiga por flexão e

desgaste (fadiga de contato). Ambos os modos de falhas devem ser verificados!!

Dimensionamento de Engrenagens

- Fadiga por Flexão - Desgaste

O dimensionamento sempre consiste em comparar a tensão atuante com a resistência, ou seja:

σATUANTE ≤ σADMISSÍVEL

O dimensionamento pode ser feito de várias maneiras distintas, como:

a) Determinar o módulo (m) e a largura do dente (F) necessário para transmitir

uma certa potência: Determinar o módulo e a largura pela fadiga por flexão.

Posteriormente verificar se estes valores calculados são suficientes para

resistir ao desgaste. (Pode também iniciar pelo desgaste e verificar à flexão).

b) Determinar a máxima potência que um par de engrenagens conhecido pode

transmitir, ou seja, sua capacidade de transmissão. Neste caso o módulo e a

largura são conhecidos previamente. Determinar a capacidade de transmissão

para a fadiga por flexão e para a o desgaste. O menor valor será a capacidade

do par de engrenagens.

c) Se o material do pinhão for idêntico ao da coroa, dimensionar apenas o pinhão

(já que tem um número menor de dentes). Se as engrenagens forem

fabricadas com materiais distintos (com durezas distintas), dimensionar ambos:

pinhão e coroa.

d) Critério de aceite: 3p ≤ F ≤ 5p p = passo da engrenagem.


6.1 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS RETAS E HELICOIDAIS 6.1.1 Dimensionamento de Engrenagens Baseando-se na Flexão

Tensão atuante na Flexão (σ):

A tensão atuante nas engrenagens cilíndricas retas e helicoidais provocada pela

flexão é calculada usando-se a Eq. (6.1):

JKK

FmKKKW BH

sVOt 1'=σ

(6.1)

Wt = Força tangencial; KO = Fator de sobrecarga; K’V = Fator dinâmico (velocidade); KS = Efeito do tamanho m = módulo da engrenagem F = Largura do dente; KH = Fator de distribuição de carga; KB = Fator de correção da espessura; J = Fator geométrico

Tensão Admissível - Resistência à Flexão (σadm):

A resistência à fadiga por flexão pode ser determinada usando-se as equações

fornecidas pela AGMA. Existem inúmeras equações como estas, para inúmeros

materiais, que possibilitam a determinação da resistência à fadiga por flexão de

maneira detalhada e precisa.

Para determinação da tensão máxima que o material suporta, ou seja, a tensão de

resistência à flexão (σFP), serão usadas nesta disciplina apenas as equações (6.2) e

(6.3).

AÇOS TOTALMENTE ENDURECIDOS (Comum ao Carbono):

MPaHBFP 3885330 ,, +=σ Grau 1

ou (6.2)

MPaHBFP 1137030 += ,σ Grau 2


AÇOS LIGADOS E/OU ENDURECÍVEIS POR TRATAMENTOS

TERMOQUÍMICOS (AISI 4140, 4340, 8620, etc..)

MPaHBFP 8835680 ,, +=σ Grau 1

ou (6.3)

MPaHBFP 1107490 += ,σ Grau 2

A tensão admissível à flexão (σadm) pode ser determinada usando-se a equação

(6.4). Além da tensão máxima que o material suporta, vários fatores de correção são

usados no cálculo da tensão admissível:

RTN

FFP

adm KKY

Sσσ =

(6.4)

SF = Fator de Segurança da AGMA; YN = Fator de correção de tensões vida distinta de 107 ciclos; KT = Fator de Temperatura; KR = Fator de Confiabilidade.

DIMENSIONAMENTO: Tensão atuante ≤ Tensão Admissível σ ≤ σadm

6.1.2 Dimensionamento de Engrenagens Baseando-se no Desgaste

Tensão atuante no Desgaste (σc):

A tensão atuante nas engrenagens cilíndricas retas e helicoidais provocada pelo

desgaste é calculada usando-se a Eq. (6.5):

IRH

sVOt

pc ZZ

dFKKKKWC '=σ

(6.5)

CP = Coeficiente Elástico [MPa]1/2. d = Diâmetro primitivo da engrenagem; ZR = Coeficiente de acabamento superficial; ZI = Fator de Geometria. Os demais fatores têm o mesmo significado da Eq. (6.1).


Tensão Admissível - Resistência ao Desgaste (σC,adm):

A resistência à fadiga por contato superficial (ou desgaste) pode ser determinada

usando-se equações baseadas na dureza do material. Estas equações são retiradas

das normas ANSI/AGMA. Existem inúmeras equações como estas, para inúmeros

materiais, que possibilitam a determinação da resistência à fadiga por flexão.

Para determinação da tensão máxima que o material suporta, ou seja, a tensão de

resistência ao desgaste (σHP), serão usadas nesta disciplina apenas as equações

(6.6). Estas equações foram desenvolvidas para:

- Vida de 107 ciclos

- Força externa unidirecional (FM ≠ 0) – Engrenagens em extremidades;

- Se FM = 0 (Caso de engrenagens intermediárias), o valor da tensão

(σHP) calculado deve ser multiplicado por 0,7;

- Confiabilidade de 99%.

MPaHBHP 200222 += ,σ Grau 1

ou (6.6)

MPaHBHP 237412 += ,σ Grau 2

A tensão admissível ao desgaste (σC,adm) pode ser determinada usando-se a

equação:

RTHN

HHP

admC KKCZ

Sσσ =, (6.7)

SH = Fator de Segurança da AGMA; CH = Fator de razão de dureza; KT = Fator de Temperatura; KR = Fator de Confiabilidade ZN =YN = Fator de correção de tensões vida distinta de 107 ciclos;

σC ≤ σC,admDIMENSIONAMENTO: Tensão atuante ≤ Tensão Admissível


6.1.3 Fatores de Correção

Os fatores de correção utilizados nas Equações (6.1), (6.4), (6.5) e (6.7) São

determinados através de tabelas e gráficos, retirados da AGMA.

FLEXÃO Fator Geométrico – (J)

Engrenagens Cilíndricas Retas

Fig. 6.1: Fator geométrico (J) - Engrenagens Cilíndricas Retas - ângulo de ação

φ=200


Tab. 6.1: Fator geométrico (J) - Engrenagens Cilíndricas Retas com ângulo de ação φ = 250

Número de Dentes do Pinhão - NP NC

12 14 17 21 26 35 55 135

P C P C P C P C P C P C P C P C

12

14 0,28 0,28

17 0,28 0,30 0,30 0,30

21 0,28 0,31 0,30 0,31 0,31 0,31

26 0,28 0,33 0,30 0,33 0,31 0,33 0,33 0,33

35 0,28 0,34 0,30 0,34 0,31 0,34 0,31 0,34 0,34 0,34

55 0,28 0,36 0,30 0,36 0,31 0,36 0,31 0,36 0,34 0,36 0,36 0,36

135 0,28 0,38 0,30 0,38 0,31 0,38 0,31 0,38 0,34 0,38 0,36 0,38 0,38 0,38

- Machine Design – R.L. Norton – pg. 737

Engrenagens Cilíndricas Helicoidais

Coroa com N = 75 dentes

Fig. 6.2: Fator geométrico (J) - Engrenagens Cilíndricas Helicoidais - ângulo de ação

normal φN = 200 e N = 75 Dentes

Correção do Fator Geométrico (J) para Coroa com Número de dentes N ≠

75 dentes. J = J (Fig. 6.2) X Correção (Fig. 6.3).


Fig. 6.3: Correção do Fator geométrico (J) para N ≠ 75 dentes - Engrenagens

Cilíndricas Helicoidais - ângulo de ação normal φN = 200

Fator de correção da espessura - KB

Algumas vezes a espessura do aro da engrenagem não é suficientemente grande

para suportar o esforço aplicado. Em conseqüência pode ocorrer a falha por fadiga no

aro e não no dente. Este fator é usado para corrigir esta distorção. O cálculo do fator

de correção da espessura (KB) pode ser feito através da Equação (6.8) ou Fig. 6.4.

≥⇒⇒⇒⇒⇒

<⇒=

2101

21242261

,,

,,ln,

B

BBB

m

mmK

(6.8)

t

RB h

tm = Veja a Figura 6.4.


tg

ht

mB=tg/ht

Fig. 6.4: fator de correção da espessura (KB)

FLEXÃO E DESGASTE

Fator dinâmico - velocidade (K’V)

O fator de correção de velocidades, ou fator dinâmico, procura considerar os efeitos

dinâmicos atuantes nas engrenagens, os quais podem provocar erros de

transmissão. Vibrações, desalinhamento, desbalanceamento, atrito, entre outros

fatores, provocam estes erros. Assim, as tensões atuantes devem ser corrigidas pelo

fator dinâmico (K’V).

B

V AVAK

+=

200' (6.9)

( )( ) 3212250

15650

VQB

BA

−=

−+=

,

V = Velocidade tangencial em (m/s);

QV define a qualidade da engrenagem. QV = 3,4,5,6...11. As engrenagens comerciais

mais usadas possuem QV variando de 3 até 9. Os cálculos das constantes A e B da

Eq. (6.9) são limitados pelo valor máximo da velocidade para cada qualidade da

engrenagem (número QV). A velocidade máxima pode ser calculada pela Equação


( ) ( )[ ]2200

3−+= V

máxtQAV (6.9a)

Fator de sobrecarga – KO Os valores de sobrecarga estão mostrados na Tab. 6.2.

Tab. 6.2: Fatores de Sobrecarga

Máquina Conduzida Motor

Uniforme Choque Médio Choque Pesado

Uniforme 1,00 1,25 1,75

Choque Leve 1,25 1,50 2,00

Choque médio 1,50 1,75 2,25

Efeito do tamanho - KS m < 5,0mm KS = 1,0 m ≥ 5,0mm KS = 1,25

Fator de distribuição de carga - KH

Este fator procura corrigir o fato da força tangencial não se distribuir uniformemente

ao longo da largura (F) do dente. Esta distribuição não uniforme da força pode ser

provocada por desalinhamento da árvore e/ou imperfeições da forma do dente. Os

valores de KH estão mostrados na Tab. 6.3.

Tab. 6.3: Fator de distribuição de carga - KH

Largura da Face – F (mm)

KH

< 50 1,6 <150 1,7 <250 1,8 <500 2,0

Recomenda-se que a razão entre a largura do dente (F)e o diâmetro primitivo seja

inferior a 2, ou seja, 2≤dF


Fator de correção de tensões para vida distinta de 107 ciclos – (ZN = YN)

Todos os cálculos da AGMA são realizados para uma vida de 10 milhões de ciclos

(107). Se a vida desejada for diferente deste valor, as tensões calculadas deverão ser

corrigidas através dos fatores de correção de tensões para vida distinta de 107 ciclos

(ZN = YN). Estes valores podem ser determinados através das Figuras 6.5 e 6.6.

Fig. 6.5: Fator de correção de vida YN

Fig. 6.6: Fator de correção de vida ZN


Fator de Confiabilidade - KR

Tab. 6.4: Fator de Confiabilidade - KR

Confiabilidade KR 0,9999 1,50

0,999 1,25

0,99 1,00

0,90 0,85

0,50 0,70

Fator de Temperatura - KT

Para T ≤ 120 oC KT = 1,0

Para T > 120 oC KT > 1,0

DESGASTE

Fator Geométrico – (ZI)

12 ±=

G

G

N

ttI m

mmSenCos

Zφφ

(6.10)

mG = razão de velocidades - P

C

P

CG d

dNN

==m

mG+1 = Engrenagens externas; mG-1 = Engrenagens internas.

mN = 1,0 para Engrenagens Cilíndricas Retas;

Engrenagens cilíndricas Helicoidais:

( )[ ] ( )[ ] ( ) tCPbCCbPPN

N rrrarrarZZ

pm φsen

,+−−++−+=⇒= 2

1222

122

950

rP; rC = Raios das circunferências primitivas do Pinhão e da Coroa;

rbP; rC = Raios das circunferências de base do Pinhão e da coroa.


rb = r.cosφ

a = altura da cabeça do dente

Coeficiente Elástico CP [MPa]1/2

O coeficiente elástico depende dos materiais em contato. Ele pode ser determinado

pela equação (6.11) ou através da Tab. (6.5).

21

22 11

1

−+

−=

C

C

P

PP

EE

Cνν

π (6.11)

νP, νC = Coeficientes de Poisson do Pinhão e da Coroa

EP, EC = Módulos de Elasticidade do Pinhão e da Coroa.

Tab. 6.5: Valores do coeficiente elástico CP (MPa)1/2

Material da Coroa Material Pinhão

Aço Ferro fundido

Bronze com alumínio

Bronze com Estanho

Aço 191 181 162 158

Ferro fundido 181 174 158 154

Bronze com alumínio 162 158 145 141

Bronze com Estanho 158 154 141 137

Coeficiente de acabamento superficial - ZR

O uso do coeficiente de acabamento superficial (ZR) procura quantificar o efeito do

acabamento superficial das engrenagens. Os valores de ZR ainda não foram definidos

pela AGMA.

USAR ZR = 1,0 Engrenagens extremamente grosseiras - USAR ZR > 1,0


Fator de razão de dureza - CH

O pinhão tem um número de dentes menor que a coroa. Em conseqüência, os dentes

do pinhão serão submetidos a um número de ciclos maior que a coroa. Para que haja

um desgaste uniforme entre ambas as engrenagens, o pinhão deve ter uma dureza

maior que a coroa. O fator de dureza (CH) procura ajustar as resistências superficiais

para que haja um desgaste uniforme. Ele deve ser calculado para a coroa, usando-se

a equação

( 11 −+= GH mAC ' ) (6.12)

( ) ( )

71006980

210

71211029810988 33

,,

,

,,,,

'

'

'

>⇒=

<⇒=

≤≤⇔−

= −−

BC

BP

BC

BP

BC

BP

BC

BP

HHA

HHA

HH

HHA

(6.12a)

Resumo: Especificação de engrenagens: • Sistema de dente: módulo, φ, a, b. • Largura do dente, Número de dentes • Material do pinhão e coroa: Dureza, resistência, etc.. • Qualidade de fabricação. Especificação do Serviço: • Potência, velocidade. Sobrecarga • Confiabilidade, vida. • Montagem.


EXERCÍCIOS

1. Um par de engrenagens cilíndricas retas deve transmitir 15 CV a 1150 rpm. Especifique tudo que for necessário (necessidades do projeto) e dimensione as engrenagens. Explique detalhadamente cada decisão tomada.

2. A engrenagem A, com 25 dentes, está acoplada a um motor que transmite 3

kW a 600 rpm no sentido horário. As engrenagens B e C têm 65 e 55 dentes, respectivamente. Todas as engrenagens são cilíndricas retas. Utilize coeficiente de segurança igual a 1,6. O material do pinhão é um aço comum ao carbono, Grau 1. Determine:

- O módulo e a largura do dente destas engrenagens baseado na flexão. - Especifique as durezas necessárias às engrenagens para que os

valores calculados anteriormente sejam adequados ao desgaste. - Faça todas as análises necessárias à especificação das engrenagens.

C

B

A

3. Uma engrenagem cilíndrica helicoidal tem 85 dentes, ângulo de ação normal de 200, ângulo de inclinação da hélice de 300. Esta engrenagem deverá ser acoplada a um pinhão que transmite 5 kW a 1150 rpm. O número de dentes do pinhão é o mínimo necessário par que não haja interferência. Especifique os materiais para ambas engrenagens. Especifique e Determine todas as dimensões destas engrenagens. Tome as decisões que forem necessárias ao dimensionamento.

4. Considere o sistema de elevação de cargas abaixo. O motor está acoplado ao

redutor. Deseja-se uma redução de 10:1 na velocidade de rotação do motor. Deseja-se que uma massa M = 150 kg suba (ou desça) com uma velocidade máxima de 0,8 m/s. A massa está presa em um cabo de aço que se enrola em uma polia com diâmetro dPOLIA. Proponha o trem de engrenagens para o redutor. Determine a rotação e a potência do motor. Considere o efeito da inércia.

Dimensione árvore AB. Proponha comprimentos para esta árvore. Especifique um material para esta árvore. Explique detalhadamente todo o dimensionamento. dPOLIA. = 12 a 16 vezes o diâmetro da árvore AB.


Faça um dimensionamento completo das engrenagens do redutor. Explique as decisões tomadas. Selecione um dos seguintes parâmetros, em cada opção: Confiabilidade:95% ou 90,0% de confiabilidade. Sobrecarga: O motor trabalha com Choques moderados; Montagem: Precisão Vida - Deseja-se que este redutor trabalhe durante: 7 anos, funcionando 18 horas por dia, 26 dias/mês ou 10 anos funcionando 8 horas/dia, 20 dias/mês. Selecione o material e as demais condições de trabalho, se necessário. Faça uma tabela, mostrando claramente os parâmetros acima selecionados.

M

POLI

A

A B

RED

UTO

R

MOTOR

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