aula ga retas

A Reta e sua Posição no Plano Cartesiano

A Reta no Plano Cartesiano1

Enquanto as retas r e u cortam os dois eixos em pontos distintos, as retas s e t

cortam apenas um deles. Isso é decorrente do fato de as retas apresentarem

diferentes inclinações em relação ao eixo x. Notamos que t é uma reta vertical

e s é horizontal.


Inclinação de uma Reta




A inclinação de uma reta r em um plano cartesiano é a

medida do ângulo medido a partir do eixo x até a reta r,

com 0º 180º, conforme a figura a seguir:

A inclinação de uma reta r em um plano cartesiano é a

medida do ângulo medido a partir do eixo x até a reta r,

com 0º 180º, conforme a figura a seguir:

Inclinação de uma Reta

O Coeficiente Angular de uma Reta



Dada uma reta r, não vertical, seu coeficiente angular,

que indicaremos por m, é a tangente da inclinação

dessa reta, em relação ao eixo x.

Dada uma reta r, não vertical, seu coeficiente angular,

que indicaremos por m, é a tangente da inclinação

dessa reta, em relação ao eixo x.

Simétrico de um Ponto em Relação à Origem do Eixo Real



Dados A(xA, yA) e B(xB, yB)

dois pontos distintos de uma

reta r que não é vertical,

seu coeficiente angular é:

Dados A(xA, yA) e B(xB, yB)

dois pontos distintos de uma

reta r que não é vertical,

seu coeficiente angular é:

AB

AB

xxyy

m

6 EXEMPLOS COEFICIENTE ANGULAR

7 EXEMPLOS COEFICIENTE ANGULAR

Equações de uma Reta

Equação Fundamental de uma Reta


Dados um ponto (x0, y0) e o coeficiente angular m de uma reta r,

chamamos de equação fundamental de r à equação da forma:

y – y0 = m(x – x0)

Dados um ponto (x0, y0) e o coeficiente angular m de uma reta r,

chamamos de equação fundamental de r à equação da forma:

y – y0 = m(x – x0)

Exemplos Equação Fundamental da Reta9

A Reta no Plano Cartesiano10Equações de uma Reta

Equação Reduzida de uma Reta

Qualquer reta r, não paralela ao eixo das ordenadas,

pode ser representada por uma equação da forma y mx n

que é chamada de equação reduzida de r.

Qualquer reta r, não paralela ao eixo das ordenadas,

pode ser representada por uma equação da forma y mx n

que é chamada de equação reduzida de r.



Coeficiente Linear de uma Reta

Consideremos uma reta r dada pela sua equação reduzida y = mx + n e

façamos sua representação no plano cartesiano.

À ordenada n do ponto B, em que a reta intercepta o

eixo y, damos o nome de coeficiente linear da reta r.


Equação Reduzida de uma Reta e Função Afim

Você já estudou que uma função afim definida por

tem como gráfico uma reta não paralela ao eixo das ordenadas.

Reciprocamente, podemos dizer que uma reta (não vertical) é o gráfico de

uma função afim.

Além disso, vimos que a equação reduzida de uma reta nessas condições é

dada por:

Comparando e , podemos notar que a equação reduzida de uma

reta define uma função afim.



Equação Reduzida de uma Reta e Função Afim

Um fato importante é que não existe uma única equação geral para a reta,

pois caso a equação ax + by + c = 0 represente uma reta, tomando um k real

não nulo, a equação (ka)x + (kb)y + kc = 0 (que também é uma equação

geral) representa essa mesma reta.


Determinação da Equação Reduzida da Reta Conhecendo a Equação Geral

Vejamos agora como obter a partir da equação geral ax + by + c = 0, de

uma reta s, com b não nulo, a sua equação reduzida. Isolando y no primeiro

membro da equação, temos:

ax + by + c = 0 ⇒ by = ax c ⇒

Chamando de m e de n, temos y = mx + n, que é a equação

reduzida da reta considerada.

b

cx

b

ay

b

a

b

c


Determinação da Equação Reduzida da Reta Conhecendo a Equação Geral

Dada uma equação geral ax + by + c = 0 de uma reta r

não vertical, os coeficientes angular e linear dessa reta

são dados por:

Dada uma equação geral ax + by + c = 0 de uma reta r

não vertical, os coeficientes angular e linear dessa reta

são dados por:

b

cn

b

am rr e

Exemplos Equação Reduzida da reta16

A Reta no Plano Cartesiano20Posições Relativas entre Duas Retas no Plano

Retas Paralelas

Duas retas distintas r e s,

não verticais, com coeficientes

angulares mr e ms,

respectivamente,

são paralelas se, e somente se,

mr = ms e seus coeficientes

lineares nr e ns são diferentes.

Duas retas distintas r e s,

não verticais, com coeficientes

angulares mr e ms,

respectivamente,

são paralelas se, e somente se,

mr = ms e seus coeficientes

lineares nr e ns são diferentes.


Retas Paralelas

Observações:

1. Duas retas verticais distintas sempre são paralelas entre si.

2. Caso duas retas, r e s, sejam coincidentes, temos:

• mr = ms (coeficientes angulares iguais entre si)

• nr = ns (coeficientes lineares também iguais entre si)

Ou seja, duas retas coincidentes têm a mesma equação reduzida.


Posições Relativas entre Duas Retas no Plano

Retas Concorrentes

Duas retas, r e s, não verticais, com coeficientes angulares,

respectivamente, mr e ms, são concorrentes entre si se, e

somente se, mr ms.

Duas retas, r e s, não verticais, com coeficientes angulares,

respectivamente, mr e ms, são concorrentes entre si se, e

somente se, mr ms.

Exemplos Posições Relativa de Retas23


Retas Perpendiculares

Duas retas r e s com coeficientes angulares

mr e ms, respectivamente, são perpendiculares se,

e somente se, mr ms = –1.

Duas retas r e s com coeficientes angulares

mr e ms, respectivamente, são perpendiculares se,

e somente se, mr ms = –1.

Observação

Uma reta r paralela ao eixo y e outra reta s paralela ao eixo x são

perpendiculares entre si mesmo não sendo válida a relação

acima, pois nesse caso r não possui coeficiente angular.

Exemplos – Retas Perpendiculares27

Exemplos – Retas Perpendiculares28


Ângulos Entre Retas Concorrentes

Temos tg = mr e tg = ms.

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um

triângulo é igual a 180º.

Logo, + (180º – ) + = 180º. Assim, = –

e tg = tg ( – ) .

Como é a medida de um ângulo agudo, a

tangente de é positiva.

Daí, vem:

Exemplos – Ângulos entre Retas30

Exemplos – Ângulos entre Retas31

Cont. do Exemplo Anterior32

A Reta no Plano Cartesiano33Distâncias e Áreas

Distância Entre um Ponto e uma Reta

Se as coordenadas do ponto Q são xQ e yQ, e a equação da reta s na forma geral é ax + by + c = 0, a distância de Q a s é dada por:

22

,

||,d

ba

cbyaxdsQ QQ

sQ


Distância Entre Duas Retas Paralelas

Sabemos que a distância entre as retas paralelas é igual à distância de um

ponto A qualquer de uma delas, por exemplo, da reta r, à outra reta. Assim,

para calcular a distância entre duas retas paralelas, basta escolher um ponto

de uma delas e fazer a distância desse ponto à outra reta.

Exemplo – Distância entre Ponto e Reta35


Área de uma Região Triangular

Consideremos um triângulo cujos vértices são

P = (xP, yP ), Q = (xQ, yQ) e R = (xR, yR).

A área do triângulo PQR é dada por:

1

1

1

sendo,21

RR

QQ

PP

PQR

yx

yx

yx

DDA

Exemplo-Área de uma Região Triangular39

Exemplo-Área de uma Região Triangular40

Cont. Exemplo Anterior41

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