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Carregamentos Combinados(Projeto de Eixos e Árvores)

Mecânica dos Materiais II

Universidade de Brasília – UnB

Departamento de Engenharia Mecânica – ENM

Grupo de Mecânica dos Materiais – GAMMA

Definições

Eixos e árvores são

componentes mecânicos que

sustentam os elementos de

máquinas, podem ter perfis

lisos ou compostos, onde são

montadas as engrenagens,

polias, rolamentos, volantes,

manípulos e outros elementos

de maquinas.

Os eixos e as árvores podem ser fixos ou giratórios:

Classificação – Quanto a Função

Eixos fixos - Os elementos como as

engrenagens e as polias giram

apoiadas no eixo que permanece fixo.

Árvores ou eixo-árvore giratório - O

eixo se movimenta, junto com seus

elementos ou independentemente

deles, como eixos de afiadores

(esmeris), rodas de trole (trilhos),

eixos de máquinas-ferramenta, eixos

sobre mancais.

Definições – Quanto ao Tipo

Eixos Maciços

Eixos Vazados

Eixos Cônicos

Eixos Roscados

Eixos Ranhurados

Definições – Quanto aos Esforços

Sob o aspecto estrutural, os

eixos são elementos que

podem sofrer esforços de

flexão, tração/compressão ou

torção.

Dependendo do tipo de

operação, os eixos devem ser

dimensionado para cargas

estáticas (parado ou com

rotação muito baixa) ou

dinâmica (altas rotações).

O dimensionamento deve ser realizado

considerando os modos de falha por:

Falha Estática: comparado-se as tensões

críticas que atuam no mesmo com os

limites de resistência do material (Sy ou Srt)

Fadiga: Comparado-se as tensões críticas

que atuam no mesmo com o limite de

resistência a fadiga nos pontos em que essas

tensões atuam.

Deflexão/Distorção: Comparado-se as

distorções e deflexões críticas atuantes no

eixo com as deflexões admissíveis


Elementos de Transmissão de Esforços – Polias

Relações Básicas

A A B Br r

Motivo: Velocidade da correia é constante

Relação entre as rotações dos eixos

Função das Polias

A – Movida

B – Motora

C - Tensionadora

A B A A B B

A B B A

Pot Pot T T

T r T r

Relação entre os Torques dos eixos

Ramo Tensionado

da Correia

Ramo “Frouxo”

da Correia


Esforços Transmitidos Para o Eixo Calculo das Forças F1 e F2

Ramo Tensionado da Correia

Ramo “Frouxo” da Correia

F1 = Força no Ramo Tensionado

F2 = Força no Ramo Frouxo

Fi = Tensão de Montagem da Correia

Fc = Tensão devido a Força Centrifuga

T = Torque do Eixo

D = Diâmetro da Polia

f = Coeficiente de Atrito

= Ângulo de Abraçamento (rad)

m = densidade linear da correia

2

2c

DF m

FR

Equilíbrio de Forças

F1

F2

FRy

FRx

Equilíbrio de Torques

Elementos de Transmissão de Esforços – Polias


Elementos de Transmissão de Esforços – Engrenagens

Cilíndricas de Dentes Retos

Engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular

em diversas aplicações. Existem várias opções de engrenagens de

acordo com o uso a qual ela se destina.

de = diâmetro externo

di = diâmetro interno

dp = diâmetro primitivo

a = addendum

d = deddendum

Nomenclatura Básica

c = folga

F = largura

p = passo

rf = raio do filete



Cilíndricas de Dentes Retos

Engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular

em diversas aplicações. Existem várias opções de engrenagens de

acordo com o uso a qual ela se destina.

Razão de Velocidades e Torques

p p c cd d

c

p

p c c pT d T d



Cilíndricas de Dentes Retos – Esforços Resultantes do Processo de Engrenamento

= 20o

2T

TF

D

cos

TFF

R TF F Tan



Cilíndricas de Dentes Inclinados, ou Helicoidais (Engrenamento mais Suave)

Razões de Velocidades e Torques

Relações similares aos definidas para as engrenagens

de dentes retos

p p c cd d

c

p

p c c pT d T d



Esforços Resultantes do Processo de Engrenamento

Cilíndricas de Dentes Inclinados, ou Helicoidais R T tF F Tan

2 2T

T PF

D D

a TF F Tan

T

n

FF

Tan Tan



Cônicas de Dentes Retos

Razões de Velocidades e Torque

C CP P

C C P P

Sinr Dn

n r D Sin

P C C PT D T D DP

rP



Cônicas de Dentes Retos

Análise dos Esforços

R TF F Tan Cos

2 2T

T PF

D D

a TF F Tan Sin

Definições – Quanto aos Vínculos

Elementos de Apoio dos Eixos– Mancais

Dispositivo fixo fechado, em

geral de ferro ou de bronze,

sobre o qual se apoia um eixo

girante, deslizante ou oscilante.

Os mancais classificam-se em

duas categorias:

i) Mancais de deslizamento, e

ii) Mancais de rolamento.


Elementos de Apoio dos Eixos–Arranjo de Rolamentos

Combinação livre/fixa de

rolamento de duas carreiras

de esferas de contato angular

e rolamento de rolos

cilíndricos

Combinação livre//livre

Arranjos de rolamentos

"flutuantes" com rolamentos

rígidos de esferas.

Combinação fixa/livre de

rolamentos autocompensadores

com rolamento autocompensador

de esferas e rolamento de rolos

toroidais


Elementos de Apoio dos Eixos–Arranjo de Rolamentos

Arranjo de rolamentos

ajustados com rolamentos de

rolos cônicos

Arranjo de rolamentos

ajustados com rolamentos de

esferas de contato angular

Problema - Exemplo

Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos

1

Identificação dos Componentes

1 - Motor

2 – Flange de Acoplamento

3 – Rolamento Rígido de Esferas

4 – Transmissão utilizando Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos

5 – Rolamento Rígido de Esferas contato angular

6 – Transmissão utilizando Engrenagem Cônica de Dentes Retos

2 3

4

5

6

Sistema de Acionamento

(Características)

Potencia: 85 kW

Vel. Ang.: 3600 rpm

40 % da

Potencia 60 % da

Potência

Sentido de

Rotação

200

600

800

1 - Identificação dos Elementos de Máquina e Suas Funções


1

6

Identificação dos Componentes

1 - Motor

2 – Flange de Acoplamento

3 – Rolamento Rígido de Esferas

4 – Engrenagem Cilíndrica de Dentes Retos

5 – Rolamento Rígido de Esferas contato angular

6 – Engrenagem Cônica de Dentes RetosSistema de Acionamento

(Características)

Potencia: 185 kW

Vel. Ang.: 3600 rpm

2 3

4

5

Dp = 300mm

Dp = 200mm

Engrenagem de

Dentes Retos

Engrenagem de

Conica

= 30º

1 - Identificação dos Esforços Atuantes nos Elementos de Transmissão


1

6

Sistema de Acionamento

(Características)

Potencia: 85 kW

Vel. Ang.: 3600 rpm

2 3

4

5

Torque de Saída do Motor:

Sentido de

Rotação e

do Torsor

TP

rpm

kWPT

3600

85

mNT 47.225

T4 = 90.188 N∙m

T6 = 135.282 N∙m

1 - Identificação dos Esforços Atuantes nos Elementos de Transmissão


1

6

2 3

4

5

Esforços Atuantes na Engrenagem 4

a

a'

x

y

z

Plano x

Corte a-a’

Eng A Eng B

FtB-A

FtA-B

FrB-A

FrA-B

Eng A

Eng B

3

4

2 2 90,188

300 10B AT

TF

D

601.25B ATF N

FT4= FTB-A

= 601,25 N

20B A B A

o

r TF F Tan

Fr4= FtB-A

= 218,84 N

TA TB

1.1 - Identificação dos Esforços Atuantes Sobre o Eixo – Engrenagem 4


FT4= 601,25 N

FT4

Fr4

Fr4= 218,84 N

1.2 - Identificação dos Esforços Atuantes nos Elementos de Transmissão


1

6

2 3

4

5

Esforços Atuantes na Engrenagem 6

x

y

z

Eng A

Eng B

3

6

2 2 135.282

200 10d cT

TF

D

FT6= FTd-c

= 1352,8 N

Fr6= Frc

= 426,418 Nx

y y

z

Eng c

Eng c

Eng d

, T

FTd-c

FTc-d

Frc

Fad

FacFrc

Fad

Frd

20 30

R T

o o

T

F F Tan Cos

F Tan Cos

a TF F Tan Sin

Fa6= Fac

= 246,193 N


FT4= 601,25 N

FT4

Fr4

Fr4= 218,84 N

FT6

FT6= 1352,8 N

Fa6

Fa6= 246,193 N

Fr6= 426,418 N

Fr6

1.3 - Identificação dos Esforços Atuantes Sobre o Eixo – Engrenagens 4 e 6

mN

dFM aFz

a

025.0

2

6

66


FT4= 601,25 N

FT4

Fr4

Fr4= 218,84 N

FT6

FT6= 1352,8 N

Fa6

Fa6= 246,193 N

Fr6= 426,418 N

Fr6

R1z

R1y

R2z

R2y

2 – Identificação e Cálculo das Reações nos Apoios

mN

dFM aFz

a

619.24

2

6

66


FT4= 601,25 N

Fr6= 426,418 N

2.1 – Identificação e Cálculo das Reações nos Apoios – Plano Z

R1y

y

x

R2y

mNMaFz 619.246

Mz

Plano Z

a =200 mm

b = 600 mm

c = 800 mm

0006

64 2 ay FzTTz McFbRaFxM

+

R2y= 727.943 N

006

641 ay FzrTz MbcFabFbRbxM R1y

= 299.727 N



R1z

z

xR2z

Plano y

a =200 mm

b = 600 mm

c = 800 mm

00064 2 cFbRaFxM Try y

+

Fr4= 218,84 N

FT6= 1352,8 N

R2z= 1730.81 N

00641 bcFabFbRbxM Try z


2.3 – Identificação e Cálculo das Reações nos Apoios – Plano Y

R1z

z

xR2z

Plano y

a =200 mm

b = 600 mm

c = 800 mm

00064 2 cFbRaFxM Try y

+

R2z= 1730.81 N

00641 bcFabFbRbxM Try z

R1z= 596.831 N

Fr4= 218,84 N

FT6= 1352,8 N


Fa6

3 – Construção dos Diagramas de Esforços Internos

mN

dFM aFz

a

619.24

2

6

66


FT4= 601.25 N

Fr6= 426.418 N

3.1 – Construção dos Diagramas de Esforços Internos – Plano Z

y

x

mNMaFz 619.246

Plano ZR2y

= 727.943 N

R1y= 299.727 N

299.727

301.523

426.418

0

24.619

59.945

60.665

Cortante, Vy

Momento, Mz


Plano y

R2z= 1730.81 N

R1z= 596.831 N

Fr4= 218,84 N

FT6= 1352,8 N

z

x

596.831377.991

1352.8

0

119.366

270.56

Cortante, Vz

Momento, My0

3.1 – Construção dos Diagramas de Esforços Internos – Plano Y


Plano y

z

x

246.193Normal, Nx

Torsor, Tx

3.1 – Construção dos Diagramas de Esforços Internos – Esforços Normal e Torsor

T4 = 90.188 N∙m T6 = 135.282 N∙m

TMotor = 225.47 N∙m T = 135.282 N∙m T = 135.282 N∙mFa6

= 246,193 N

R2x= 246,193 N

225.47135.282


Fa6

3.2 – Diagrama Resultante de Esforços Fletores

mN

dFM aFz

a

619.24

2

6

66


FT4, Fr4 FT6

, Fr6, Mz6

4 –Estimativa das Tensões Máximas atuantes em cada Seção do Eixo

xR1y

, R2y R1x

, R1y

24.619

Momento Resultante, MR

133.573277.278

246.193Normal, Nx

Torsor, Tx

225.47135.282

2

4

d

N

A

N xxxx

34

16

32

2

d

T

d

dT

xx

Maxx

34

32

64

2

d

M

d

dM

RR

Maxxx

Ver Flexão Não-Simétrica

no final da apresentaçao


4.1 – Identificação das Componentes Tensor das Tensões2

4

d

N

A

N xxxx

34

16

32

2

d

T

d

dT

xx

Maxx

34

32

64

2

d

M

d

dM

RR

Maxxx

Tx

MR

Nx


4.2 – Cálculo da Tensão Equivalente - Tresca

34

16

32

2

d

T

d

dT

xx

Maxx

23

432

d

N

d

M xR

Maxxx

Maxxx

Maxx

0xy

xyxx

σ

2

2

,22

xy

yyxxyyxx

bpa

2

2

122

xyxxxx

2

2

322

xyxxxx

02

Como yy = 0, temos:

≥ 0 ≤ 0

𝜏𝑚𝑎𝑥 =32𝑀𝑅

2𝜋𝑑3+4𝑁𝑥2𝜋𝑑2

2

+16𝑇𝑥𝜋𝑑3

2

⟹ 𝜏𝑚𝑎𝑥=𝜎1 − 𝜎3

2=

𝜎𝑥𝑥2

2

+ 𝜏𝑥𝑦2


4.2 – Cálculo da Tensão Equivalente – Von Mises

34

16

32

2

d

T

d

dT

xx

Maxx

23

432

d

N

d

M xR

Maxxx

Maxxx

Maxx 2

1222222

62

1z xy zx yxzzyyxM i s e s

2

1222

122

3622

1

xx xxM i s e s

2

12

3

2

23

163

432

d

T

d

N

d

M xxRM is es


5 – Dimensionamento do Eixo Contra Escoamento – Tresca

Tx

MR

Nx

Eixo Falhará quando a tensão de cisalhamento

máxima no ponto crítico do componente atingir o

mesmo valor da tensão de cisalhamento máxima do

corpo de prova no momento do seu escoamento, num

ensaio de tração, 𝑆𝑎𝑑𝑚.

Condição Limite:

Caso Particular, Nx = 0

→𝑆𝑎𝑑𝑚2

=4

𝜋𝑑3𝑀𝑅

2 + 𝑇𝑥2

⟹ 𝑑 =8

𝜋𝑆𝑦𝑀𝑅

2 + 𝑇𝑥 2

13

𝑆𝑎𝑑𝑚2

=32𝑀𝑅

2𝜋𝑑3+4𝑁𝑥2𝜋𝑑2

2

+16𝑇𝑥𝜋𝑑3

2


5 – Dimensionamento do Eixo Contra Escoamento – Mises

Tx

MR

Nx

Eixo Falhará por Escoamento se a Tensão

Equivalente de Mises, Mises, for Igual ou Superior

a Tensão de Escoamento do Material, Sy.

Condição Limite:

Caso Particular, Nx = 0

3

1

2234

16

xR

y

TMS

d

2

12

3

2

23

163

432

d

T

d

N

d

MS xxR

M is esy

2

122

334

1 6xRy TM

dS


5 – Dimensionamento do Eixo Contra Escoamento – Materiais Utilizados

Os eixos e árvores são fabricados em aço ou ligas de aço, pois os materiais metálicos

apresentam melhores propriedades mecânicas do que os outros materiais. Por isso, são

mais adequados para a fabricação de elementos de transmissão:

• eixos com pequena solicitação mecânica são fabricados em aço ao carbono;

• eixo-árvore de máquinas e automóveis são fabricados em aço-níquel;

• eixo-árvore para altas rotações ou para bombas e turbinas são fabricados em aço

cromo-níquel;

• eixo para vagões são fabricados em aço-manganês.

Quando os eixos e árvores têm finalidades específicas, podem ser fabricados em cobre,

alumínio, latão. Portanto, o material de fabricação varia de acordo com a função dos

eixos e árvores


5 – Dimensionamento do Eixo Contra Escoamento – Materiais Utilizados


6 – Dimensionamento do Eixo Contra Deflexões Excessivas

Fa6

mN

dFM aFz

a

619.24

2

6

66

y

y

EI

M

dx

zd

2

2

z

z

EI

M

dx

yd

2

2


6 – Dimensionamento do Eixo Contra Deflexões Excessivas

Faixas de Deflexões e Inclinações Admissíveis em Projetos de Eixos

Flexão Não-Simétrica

Apresentação do Problema

Considerando a viga prismática apresentada na figura abaixo e submetida a dois momentos fletores, My e Mz.

Descreva o campo de tensões resultante da aplicação desses esforços internos;

y

x

z

Mz

My

y

z

My

Mz

Vista Frontal


Análise do Problema

y

xz

Mz

My

y

z

My

Mz

Agora, vamos avaliar o estado de tensões atuante no ponto P devido a presença dos fletores, My

e Mz.

P

r

a

b

a = r∙Cos()

b = r∙Sin()y

z

x

z

z

y

y

xI

SinM

I

CosM rrr

,

y'

z'

z

z

Mx

y

y

Mx

I

SinM

I

CosM

z

y

r

r

yMxzMx



y

xz

Mz

My

Uma vez identificado a função que descreve o campo de tensões, x(r,), vamos avaliar o lugar

geométrico onde as tensões x(r,) são iguais a zero.

0,

z

z

y

y

xI

SinM

I

CosM rrr

0

z

z

y

y

I

SinM

I

CosM

y

z

z

y

I

I

M

M

Cos

SinTan

x

0

My

Mz

MR

q

qTanM

M

z

y

y

z

I

ITanTan

x

q 0

y

z

My

Mz

P

r

a

b

y'

z'



y

xz

Mz

My

y

z

My

Mz

Uma vez identificado a função que descreve o campo de tensões, x(r,), vamos avaliar o lugar

geométrico onde as tensões x(r,) são iguais a zero.

z'

'

'

0 z

yTan

x

q

TanI

I

z

yTan

y

z

x

'

'

0

y'

q


Exemplo – Seção Quadrada

y

xz

Mz

My

y

z

My

Mz

z'

y'

45o

b 100mm h 100mm

Iyy b3 h

12 Izz b

h3

12

Mzz 100N m Myy 100N m

q atanMyy

Mzz

180

45

atanIzz

Iyy

Myy

Mzz

180

45

h

b


Exemplo – Seção Retangular

y

xz

Mz

My

y

z

My

Mz

z'

y'

45o

h

b

b 100mm h 200mm

Iyy b3 h

12 Izz b

h3

12

Mzz 100N m Myy 100N m

q atanMyy

Mzz

180

45

atanIzz

Iyy

Myy

Mzz

180

75.964

atanh

2

b2

Myy

Mzz

180

75.964


FT4= 601,25 N

Fr6= 426,418 N


R1y

y

x

R2y

mNMaFz 619.246

Mz

Plano Z

a =200 mm

b = 600 mm

c = 800 mm

+

FT4= 601,25 N

Fr6= 426,418 N

Decomposição dos Carregamentos

R1yy

x

R2y

mNMaFz 619.246

Mz

a =200 mm

b = 600 mm

c = 800 mm

+

FT4= 601,25 NR14y R24y

R16y R26y

Fr6= 426,418 N

R1Mzy R2MzymNM

aFz 619.246

Mz


a =200 mm

b = 600 mm

c = 800 mm

+

FT4= 601,25 N

R14y R24y

R16yR26y

Fr6= 426,418 N

R1MzyR2Mzy

mNMaFz 619.246

Mz


a =200 mm

b = 600 mm

c = 800 mm

+

FT4= 601,25 N

R14y R24y

4166,200

600

20025,601

24

L

PaR

y

8333,400

600

40025,601

)(14

L

aLPR

y

N

RTotal

25,601

...4166,200...8333,400

Porque -400,... E -200,.... ?


a =200 mm

b = 600 mm

c = 800 mm

+

R16yR26y

Fr6= 426,418 N

...557333,568

600

800418,426

26

a

PLR

y

...1393333,142

600

200418,426

16

a

PbR

y

N

RTotal

18,4261

...1393333,142...557333,568


a =200 mm

b = 600 mm

c = 800 mm

+

R1MzyR2Mzy

mNMaFz 619.246

Mz

N

a

MR z

M y

032,41

600

619,24

2

...032,41

600

619,24

1

N

a

MR z

Mzy

0032,41032,41 TotalR

N

NRy

726,299

032,41139333,142...83333,4001

N

NRy

942,727

032,4155733333,568...4166,2002


a =200 mm

b = 600 mm

c = 800 mm

+

FT4= 601,25 N

R14y R24y4166,200

600

20025,601

24

L

PaR

y

8333,400

600

40025,601

)(14

L

aLPR

y

-400,8333... N

200,4166... N

-80,16666 Nxm


a =200 mm

b = 600 mm

c = 800 mm

+

R16yR26y

Fr6= 426,418 N

...557333,568

600

800418,426

26

a

PLR

y

...1393333,142

600

200418,426

16

a

PbR

y

142,1393333... N

-426,418 N

85,2836 Nxm

28,42787 Nxm


a =200 mm

b = 600 mm

c = 800 mm

+

R1MzyR2Mzy

mNMaFz 619.246

Mz

N

a

MR z

M y

032,41

600

619,24

2

...032,41

600

619,24

1

N

a

MR z

Mzy

-41,032... N

-8,2064 Nxm-24,619... Nxm


a =200 mm

b = 600 mm

c = 800 mm

+

FT4= 601,25 N Fr6

= 426,418 NR1y

x

R2y

mNMaFz 619.246

Mz

-400,8333... N

200,4166... N

142,1393333... N

-426,418 N

-41,032... N


a =200 mm

b = 600 mm

c = 800 mm

+

FT4= 601,25 N Fr6

= 426,418 NR1y

x

R2y

mNMaFz 619.246

Mz

28,42787 Nxm

-8,2064 Nxm

-24,619... Nxm

-59,945 Nxm

-80,16666 Nxm

60,6646 Nxm

85,2836 Nxm

-24,619 Nxm


+

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