Aula : 2 Integrais duplas sobre regiões gerais

2.2 Classificação

Na figura 1 podemos classificar como sendo do tipo 1: dydx

Para definir os limites de integração em relação a y, podemos traçar uma reta

imaginária paralela ao eixo y. Logo será a função menor até a função maior

,debaixo para cima, o limite de y. E o limite de x, é só ir ao eixo do x e pegar os

valores que serão duas constantes que está compreendida a figura.

A região limitada pelas curvas y= x2 e y= 4x –x2, pode ser descrita como de tipo I.

A interseção das curvas é feita igualando as duas funções:

X2=4x-x2

Igualamos a zero:

2x2- 4x=0

Encontramos as raízes que serão os pontos de intersecção das curvas.

Nesse caso x=0 e x=2.

Agora iremos montar duas tabelas, uma para cada função para desenhar o gráfico.

Para os valores de x utilizamos os valores encontrados na interseção das

curvas, nesse caso 0 e 2. E utilizamos um outro valor que esteja entre 0 e 2, e

encontramos os respectivos valores de y.

x Y=x2 y

0 Y=(0)2 0

1 Y= (1)2 1

2 Y=(2)2 4

x y= 4x –x2 y

0 Y= 4(0)-(0)2 0

1 Y= 4(1)-(1)2 3

2 Y=4(2)-(2)2 4

Observem que apenas o intervalo do meio dará diferente.

Graficamente então teremos a figura abaixo.

Logo os limites de integração em relação ao eixo x de 0 a 2.

E em relação a x a função menor até a função maior. Função menor y=x2 até a

função maior y= 4x –x2.

Na figura 2 podemos classificar como sendo do tipo 2: dxdy

Do mesmo modo para definirmos o limite de integração em relação a x traçamos

uma reta paralela só que agora ao eixo x. Então será a função menor até a

função maior, da esquerda para direita, o limite de x. E o limite de y, estará no

eixo do y, de uma constante a outra que estará compreendidos entre a figura.

Observe que:

1- Sempre a última integração é de uma constante!!

2- E o outro limite encontra-se sempre no eixo do x se for do tipo 1 ou no

eixo do y se for do tipo 2.

Exemplo

Seja a região limitada pelas curvas x = y2 - 1 e x = 1- y2.

Para encontrarmos os pontos de interseção devemos igualar as duas funções e

encontrar as raízes da equação do segundo grau.

Y2 – 1 = 1 – y2

2y2- 2 = 0

Y= +1 e – 1

Agora iremos montar a tabela.

x x = y2 - 1 y

-1 X= (-1)2-1 0

0 X= (0)2-1 -1

1 X= (1)2 -1 0

x x = 1- y2 y

-1 X= 1- (-1)2 0

0 X= 1-(0)2 1

1 X= 1-(-1)2 0

E então desenhamos o gráfico.

Os limites de integração serão dados por:

** No eixo y os intervalos vão de uma constante a outra, que são os valores dos

zeros da equação.

**E o eixo do x está indo de uma função a outra, da esquerda para direita, da

menor para a maior.

Exemplos:

1- Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y

= 1 + x2.

D

dAyx )2(

Primeiro passo é construir o gráfico, igualando as duas funções e classificando em

tipo 1 ou tipo 2 . E achando os limites da integração. Neste caso temos uma

integração do tipo 1 dy dx, os limites de x de -1 a 1. E os limites de y de 2x2 a 1+x2,

da função menor até a maior, debaixo para cima.

2- Seja D a região do plano xy delimitado pelos gráficos de y=x2 e y = 2x.

Calcule ⌡⌡(x3 + 4y) dA.

dxdyyxx

x

1

1

1

2

2

2)2(

dxyxyxy

xy

2

2

1

2

1

1

2

dxxxxxx 1

1

43222 42)1()1(

dxxxxx 1

1

234 123

1

123

245

3345

x

xxxx

15

32

Esse exemplo pode ser tanto do tipo 1 quanto do tipo 2.

Se for do tipo 1 dy dx, os limites de integraçao de x serão 0 a 2 e os limites

de y serão da função menor y=x2 até a função maior y=2x.

Agora podemos fazer também do tipo 2, dxdy. Neste caso, os limites de y

serão de 0 a 4 e os de x serão da função menor x= ½ y até a função maior

.

)4(

2

0

2

3

2

dydxyx

x

x

dxy

yx x

x

2

0

22

32)

2

4(

dxxxxxxx

2

0

22323 )(2.)2(22

)8(

2

0

52 dx -xx

2

0

63

63

8 x -

x

3

32

6

64

6

64

3

64 -

Podendo ser do tipo 1 ou do tipo 2 os resultados serão iguais. Assim, cabe a

você escolher a ordem da integração.

)4(

4

0

2

3 dxdyyx

y

y

dyxyx y

y

2

4

0

4

44

dyy

yy

yyy

4

0

4

.2

44

2.44

2

84

64

4

0

22

32

dyyy

yy

4

0

322

5

3

3

2

8.2

2

5

4

64.3

yyyy

4

0

322

5

3

3

2

8.2

2

5

4

64.3

yyyy

3- Aplicações elementares das integrais duplas

3.1- Volumes pela integração dupla

Podemos calcular o volume através de uma integral dupla sob o gráfico de uma

função f não-negativa, contínua sobre uma região D dada.

Exemplos:

1-Determinar o volume do sólido delimitado por z= 4-x2, x=0,y=0, y=6 e x=2.

Neste caso podemos usar o teorema de Fubini.

4

0

322

5

3

3

2

165

8

192

yyyy

3

4.2

16

4

5

4.8

192

4 322

5

3

3

32

3

1281

5

4.128

3

1

3

4.2

16

4

5

4.8

192

4 322

5

3

3- Densidade e integrais duplas

Consideremos uma quantidade tal como massa ou carga elétrica distribuída de

um modo contínuo, uniforme ou não, sobre uma porção do plano xy.

Representamos esta função ϭ (sigma, pequena letra grega) de duas variáveis

como uma função densidade para estas duas distribuições dimensionais se,

para toda região admissível D no plano xy.

Que dará a soma contida em D.

3.4- Momentos e Centro de massa

Vamos supor que uma partícula P de massa m é situada no ponto (x, y) no

plano xy, como na figura abaixo. Logo, o produto mx, a massa m da partícula

multiplicada pela respectiva distância x do eixo y, é chamada de momento P em

relação ao eixo y. E de mesmo modo o produto my é chamado o momento de P

em relação ao eixo x.

Suponhamos que uma massa total m é continuamente distribuída sobre uma

região plana admissível D, sob a forma de uma película delgada de material,

onde chamamos de lâmina. Seja ϭ a função densidade para esta distribuição de

massa.

Se (x,y) é um ponto em D, vamos considerar o retângulo infinitesimal de dimensões

dx e dy como centro em (x,y). A massa contida neste retângulo é dada por dm=

ϭ(x,y)dxdy s sua distância ao eixo x vale y unidades, logo, seu momento em

relação ao eixo x é dado por (dm)y=ϭ(x,y)y dxdy. O momento total de toda a

massa na lâmina é obtido pela soma, isto é, pela integração de todos os

momentos infinitesimais. Então o momento Mx da lâmina em relação ao eixo x

é dado por:

Igualmente, o momento My da lâmina em relação ao eixo y é dado por:

Por definição, as coordenadas do centro de massa são:

Exemplos:

1- Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com

vértices (0,0) (1,0) e ( 2,0), sabendo que a função densidade é

δ(x,y) = 1+3x + y.

3.5- Momentos de inércia

Vamos imaginar a lâmina D girando em torno de um eixo L, com velocidade

angular constante w e seja δ(x,y) a distância da massa elementar dm ao eixo L,

como a figura acima. Se dE representa a energia cinética da massa dm, então:

Onde wδ é a velocidade escalar do corpo. A energia cinética total é, portanto,

A integral que figura do lado direito da figura é o momento de inercia da placa D em

relação ao eixo L e anota-se:

Em relação aos eixos coordenados, os momentos de inércia da placa D são:

Enquanto o momento de inércia polar em relação à origem é dado por:

Exemplos

Determinar os momentos de inércia Ix, Iy e Io da região limitada pelas curvas

y2=4x, x=4 e y=0 no primeiro quadrante.

3.6- Centroides

Para determinar as coordenadas do ponto de aplicação da resultante P,

denominado Baricentro ou Centro de Gravidade da superfície, basta

escrever somatórios de momentos dos pesos em relação aos eixos ,

ou sejam:

Levando tais expressões ao limite, tem-se:

Analogamente às considerações feitas para o Peso P, tem-se:

onde as coordenadas , denominadas Centróide ou Centro

Geométrico da superfície A, neste caso particular, coincidem

com as do Baricentro.

Exemplos:

Determinar as coordenadas do centro de gravidade da região R limitada no

primeiro quadrante por y=x3 e y= 4x.

c c

xdA ydAA dA x y

A A

1 1 2 2

1 1 2 2

...

...

c n n

c n n

Px x P x P x P

Py y P y P y P

c cP x xdP P y ydP