Aula 19

Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares

Revisão da Integral Definida

definida para Subdividimos em subintervalos

de comprimento

Escolha

Soma de Riemann

( )f x ,a x b [ , ]a b n

1[ , ]i ix x ( ) /x b a n

*1[ , ]i i ix x x

*

1

( )n

ii

f x x

*

1

lim ( )n

in

i

f x x

( )b

af x dx

Caso Especial

( ) 0f x

( ) b

af x dx área sob a curva ( ) de até . y f x a b

Integrais Múltiplas

Volumes e Integrais Duplas

definida em um retângulo

Suponhamos

Seja o sólido que está contido na região

acima de e abaixo do gráfico de

( , )z f x y

2

[ , ] [ , ]

( , ) | ,

R a b c d

x y a x b c x d

( , ) 0f x y

S

R .f

Volumes e Integrais Duplas

Objetivo: determinar o volume de

3( , , ) | 0 ( , ), ( , )S x y z z f x y x y R .S

Procedimentos

1) Dividir o retângulo em sub-retângulos.

Para isso dividimos em subintervalos de comprimento

e dividimos em subintervalos de

comprimento

R[ , ]a b m

1[ , ]i ix x

( ) /x b a m

[ , ]c d 1[ , ]i iy y

( ) /y d c n

Procedimentos

2) Traçando retas paralelas aos eixos coordenados, passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos

Cada um dos quais com área

1 1

1 1

[ , ] [ , ]

( , ) | ,

ij i i j j

i i j j

R x x y y

x y x x x y x y

.A x y

Procedimentos

* *( , ) - ponto amostraij ijx y

Aproximação do Volume

* *

volume da caixa retangular é dado por

( , )ij ijf x y A

Aproximação do Volume

* *

1 1

( , )

(Soma Dupla de Riemann)

m n

ij iji j

V f x y A

Aproximação do Volume

Intuitivamente percebemos que a aproximação dada melhora quando aumentarmos os valores de portanto devemos concluir que

* *

,1 1

lim ( , )m n

ij ijm ni j

V f x y A

e ,m n

Integral Dupla sobre o Retângulo

Definição:

se esse limite existir.

Se então

* *

,1 1

( , ) lim ( , )m n

ij ijm n

i jR

f x y dA f x y A

( , ) 0,f x y

( , )R

V f x y dA

Exemplo 1

Estime o volume do sólido que está acima do quadrado e abaixo do parabolóide elíptico

[0,2] [0,2]R 2 216 2 .z x y

Volume das caixas aproximadoras

Melhor aproximação do volume

Exemplo 2

Se calcule a integral

2{( , ) | 1 1, 2 2},R x y x y

21R

x dA

2 211 (1) 4 2

2R

V x dA

2

2 2

Se 1

1 e 0

z x

x z z

Regra do Ponto MédioRegra do Ponto Médio

1

1

é o ponto médio de [ , ] e

é o ponto méido de [ , ]i i i

j j j

x x x

y x x

Exemplo 3

Use a Regra do Ponto Médio com

para estimar o valor da integral

onde

2m n

2( , ) | 0 2,1 2 .R x y x y

2( 3 ) ,R

x y dA

Exemplo 3

Solução: Usando a Regra do Ponto Médio com

calcularemos no centro de

quatro sub-retângulos de acordo com a

figura

2,m n 2( , ) 3f x y x y

Exemplo 3

Então temos

A área de cada sub-retângulo é

1 2 1 2

1 3 5 7, , e .

2 2 4 4x x y y

1.

2A

Exemplo 3

Logo

Portanto, temos

Valor Médio

O valor médio de uma função de uma variável definida em é

Analogamente, o valor médio de uma função de duas variáveis definida em um retângulo contido em seu domínio é dado por

méd

1( )

b

af f x dx

b a

f[ , ]a b

f

méd

1( , )

( ) R

f f x y dAA R

onde ( ) é a área de .A R R

R

Valor Médio

Se , a equação

diz que a caixa com base e altura tem o mesmo volume que o sólido delimitado pelo gráfico de

( , ) 0f x y

R

.f

méd( ) ( , )R

A R f f x y dA médf

Observação

Se descreve uma região

montanhosa e vc corta os topos dos morros

na altura então pode usá-los para

encher os vales de forma a tornar plana a

Região.

( , )z f x y

médf

Observação

Exemplo 4

O mapa do contorno na figura a seguir mostra a quantidade da precipitação de neve, em polegadas, no Estado do Colorado, em 20-21 de dezembro de 2006 (O Estado tem formato retangular com medidas 388 milhas na direção leste-oeste e 276 milhas na direção norte-sul). Utilize o mapa de contornos para estimar a precipitação média no Colorado nesses dias.

Mapa de Contornos

Mapa de Contornos

Exemplo 4

Logo e é a queda de neve, em polegadas

onde

Usando a Regra do Ponto Médio com

(dividimos em 16 sub-retângulos de tamanhos iguais)

( , )f x y

4m n

Exemplo 4

Logo a área de cada sub-retângulo é

Exemplo 4

Propriedades das Integrais Duplas

1)

2)

3) Se ( , ) ( , ) ( , ) em , entãof x y g x y x y R

( cte.)c

Integrais Iteradas

contínua em

A notação irá significar que

é mantido fixo e é integrado em

relação a de e

Esse procedimento é chamado integração

parcial em relação a

( , )z f x y

x ( , )f x y

[ , ] [ , ]R a b c d

( , )d

cf x y dy

y y c .y d

.y

Integrais Iteradas

( ) ( , )d

cA x f x y dy

integral iterada

( ) ( , )b b d

a a cA x dx f x y dy dx

( , ) ( , )b d b d

a c a cf x y dy dx f x y dy dx

( , ) ( , )d b d b

c a c af x y dxdy f x y dx dy

Exemplo 1

Calcule o valor das integrais

3 2 2 32 2

0 1 1 0( ) ( )a x ydy dx b x ydxdy

Solução a)

Solução b)

Teorema de Fubini

Se for contínua no retângulo

Então

( , ) | ,R x y a x b c y d

( , ) ( , )b d

a cR

f x y dA f x y dy dx

f

( , )d b

c af x y dxdy

Teorema de Fubini

Justificativa razoável de sua validade!

( , ) 0f x y

Aproximação do VolumeAnalogamente

( )d

cV A y dy

( ) ( , )b

aA y f x y dx

( , ) ( ) ( , )d d b

c c aR

f x y dA V A y dy f x y dxdy

Exemplo 2

Calcule a integral dupla

onde

{( , ) | 0 2, 1 2}R x y x y

2( 3 ) ,R

x y dA

Solução 1

Solução 2

Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 3

Calcule onde

[1,2] [0, ].R sen( ) ,R

y xy dA

Solução 1

Solução 2

Solução 2

Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 4

Determine o volume do sólido que é delimitado pelo parabolóide elíptico

os planose os três planos coordenados.

2 22 16,x y z

S

2 e 2, x y

Solução