Aula 3 - Introdução ao Estudo de Anéis e Subanéis

Objetivos

Espera-se que o estudante ao final deste conteúdo possa:

– Compreender o conceito de Anéis e Subanéis;

– Realizar operações que envolvem Anéis e Subanéis:

Assunto Anéis e Subanéis

IntroduçãoEstudamos anteriormente um sistema matemático que, apoiado por algu-

mas propriedades, serve para provar algumas das operações fundamentais

vistas em determinados conjuntos e subconjuntos, como por exemplo: O

produto de dois números complexos z = a + bi e w = c + di é definido por zw

= (ac – bd) + (ad +bc)i. Mas, ainda era ínfima essa ideia, diante da imensidão

da Álgebra Abstrata e da evolução, bem avançada, da Geometria através

dos Elementos de Euclides (c.300 a.C), por exemplo. Contudo, o trabalho

de William R. Hamilton (1805 – 1865) e outros matemáticos, como Bombelli

(1526 - 1572), que deu um passo decisivo na introduzindo o simbolismo

apropriado para as operações permitindo a manipulação de expressões e

fórmulas, colaborou já no século XIX para a criação de inúmeras “estruturas

algébricas” novas, entre as quais as de “corpo” e “anel”. O conceito de

anel inspira-se nas propriedades compartilhadas pelo sistema dos números

inteiros. A primeira definição de anel foi dada em 1914 pelo alemão A. Fra-

enkel (1891 – 1965), conquanto o nome já houvesse sido introduzido por D.

Hilbert (1852 – 1943) perto do final do século XIX.

Anel

Um sistema matemático constituído de um conjunto não vazio A e um par

UABÁlgebra II 3

de operações sobre A, respectivamente uma adição (x,y) x + y e uma

multiplicação (x,y) xy (ou x.y), é chamado anel se:

(A1) O par (A, ) é um grupo abeliano;

(A2) a , b, c € A, tem-se a (b c) = (a b) c

(A3) a , b, c € A,tem-se a a (b c)= a b a c

(b c)= a = b a c a

Obs1: Observe que para termos um anel precisamos que a terna (A, , )

seja, necessariamente, um grupo abeliano, ou seja, tenha intrinsecamente

satisfeitas as propriedades da: associatividade, elemento neutro, elemento

simétrico e comutatividade, mais, a complementaridade de A2 e A3.

De uma forma mais destrinchada poderíamos dizer que temos um anel

quando:

(i)(R,+) é um grupo abeliano, ou seja;

a+(b+c)=(a+b) +c, a,b e c € R;

0 € R; a + 0 =a, a € R;

a € R, - a € R ; a + (-a)= 0

a+b =b+a a,b € R

(ii) é associatica, ou seja satisfaz;

a.(b.c) = (a.b) . c, a, b e c € R

(iii) Valem a distributividade

a. (b+c) = (a.b) + (a.c) (b+c).a = (c.a), a,b e c € R

Obs2: Entende-se que R é o mesmo que A, dado na primeira dedução de

anel e, que ambos, são conjuntos não vazios. E o ponto logo em seguida de

ii simboliza a operação de multiplicação.

Álgebra IIUAB 4

Doravante, usaremos os símbolos de e para denotarmos as operações

de adição e multiplicação, respectivamente.

Porém, algumas conseqüências dessas propriedades nos levam a outros ti-

pos de anéis, para quando R ou A já é um anel, são eles:

Anel Comutativo

A terna (A, , ) é um anel comutativo, quando a operação é co-

mutativo, ou seja, vale a relação a b = b a.

Anel com Unidade

A terna (A, , ) é um anel com unidade, quando a operação tem

elemento neutro em A, valendo a relação: a 1A = 1A a = a.

Usaremos 0A para simbolizar o elemento neutro da operação adição( )

e 1A para o elemento neutro da multiplicação ( ).

Anel Comutativo com Unidade

A terna (A, , ) é um anel comutativo com unidade, quando a opera-

ção for comutativa e admitir elemento neutro em A.

Anel de Integridade

A terna (A, , ) é um anel de integridade, quando a, b € A, tem–se

a b = 0A a = 0A ou b = 0A , valendo a lei do anulamento do produto.

Sendo a e b elementos não nulos do anel A tais que a b = 0A ou b a = 0 A, diz-se que a e b são divisores próprios do zero em A.

Obs3: Deixaremos uma maior minúcia da definição de Anel de Integridade,

para a semana 5.

Achamos necessário apresentar alguns exemplos sobre anéis comutativos,

são eles:

# Exemplo1

UABÁlgebra II 5

ambas usuais em Z. A operação multiplicação é comutativa e 1 é o elemento

neutro para esta operação.

# Exemplo2

(operação multiplicação), ambas usuais em Z. Para cada caso, a operação

multiplicação é comutativa e 1 é o elemento neutro para esta operação.

# Exemplo3

Para todo n ≥ 0, seja n = {na; a € Z}. Com as operações induzidas pelas ope-

rações de , temos que (n

e não tem elemento neutro para esta operação, se n ≠ 1.

# Exemplo4

Sejam R= n = { 0,1,2,...,n - 1 }, n ≥ 0,+ e operações em n, definidas por:

a+b = a+b ,

a b = ab , para todo a , b € n.

( n -

mento neutro 1. Também chamado de anel dos inteiros módulo n.

Lembrete: Para todo a , b € n, temos: a = b a b mod n

a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n.

# Exemplo5

Seja R = {ƒ: ;ƒ é função}, ƒ e g € definimos, (ƒ+g) € e (ƒ.g) €

, por:

(ƒ+g) (x)=ƒ(x)+g(x), x €

(ƒ.g) (x)=ƒ(x) . g(x), x €

(R, +, . ) é um anel comutativo com 1.

Álgebra IIUAB 6

Subanel

Usaremos a mesma ideia de subgrupo, para denotarmos um subanel.

Sendo a terna (A, , ) um anel e L um subconjunto não vazio de A. Po-

demos dizer que L é um subanel, se e somente se:

a) O subconjunto L é fechado para as operações que subsidia o conjunto A

de estrutura de anel;

b) Sendo a terna ( L, , ) também um anel.

Lembremos o seguinte:

i. Se A é um anel, então A é um grupo aditivo;

ii. Um subconjunto não vazio de um grupo aditivo e um subgrupo desse gru-

po se, e somente se, é fechado para a subtração. Então a proposição anterior

pode ser formulada da seguinte forma:

“Sejam A um anel e L um subconjunto não vazio de A. Então L é um subanel

de A se, e somente se, L é um subgrupo do grupo aditivo (A,+) e ab perten-

cem a L, quaisquer que sejam os elementos a, b pertencente a L.”

# Exemplo6

L = {a + b√2 | a, b € Z}. L é um subanel de R, pois, se a + b√2, c + d√2 € L,

então:

( i ) (a + b√2) - (c + d√2) = (a – c) + (b – d) √2 € L

Outra forma de identificarmos um subanel se dá quando:

x,y € B x+ y € B (B é fechado)

x,y € B x+(- y) x-y € B (B fechado para a diferença)

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x, y € B x.y € B (B é fechado para produto)

0 € B (o elemento neutro de A pertence a B)

Assim podemos considerar a soma e o produto como operações em B. Se

(B, +, .) for anel com as operações de A, dizemos então que B é um subanel

de A.

Exercícios Comentados1.Prove que a terna ({0}, +, . ) é um anel.

De fato:

adição (+).

2. Prove que (M2( R = não é um anel comutativo.

De fato, pois:

3. Seja A um anel com unidade. Se a A e m, n são números naturais. Prove

que:

i. aman = am+n

ii. (am)n = amn

Demonstrando por indução em n.

aman = am+n

Álgebra IIUAB 8

i. Se n = 0, então ama0 = am m = am + 0. Portanto, a propriedade vale

para n = 0.

ii. Seja r ≥ 0 um número natural e suponhamos amar = am+r.

Então:

amar+1 *= am(ara) **= (amar) a ***= (am+r)a *= a(m + r)+1.

Portanto, se a propriedade vale para r ≥ 0, vale também para r+1. De onde,

pelo primeiro princípio de indução, vale para todo n ≥ 0. Observe que as

passagens assinaladas com * usamos a definição de r ≥ 0 (r+1); na passagem

assinalada com **, a associatividade da multiplicação; e na *** a hipótese

de indução.

(am)n = amn

i. Se n = 0, então (am)0 = a . Portanto, a propriedade vale para n = 0.

ii. Seja r ≥ 0 um número natural e suponhamos (am)r = a .

Então:

(am)r+1 *= (am)r am **= amr am ***= amr+m = am(r+1). Portanto, se a propriedade

vale para r ≥ 0, vale também para r + 1. De onde, pelo primeiro princípio de

indução, vale para todo n ≥ 0. Observe que na passagem assinalada com *

usamos a definição e as com ** a hipótese de indução e as com *** a pro-

priedade anterior.

4. Prove que Z[√p] é um subanel de R.

De fato, Z[√p] está contido em R e mais:

(i) 0 = 0 √p €

(ii)x =a+b√p, y=c+d√p x-y = (a-c)+(b-d) √p

(iii)x =a+b√p, y=c+d√p x . y = (ac+pdb)+(bc+ad)√p

e portanto Z[√p] = {a+b√p; com a,b pertencentes a Z} é um subanel de R.

UABÁlgebra II 9

5. Mostre que A={0,1} , um conjunto formado por dois elementos, é um

anel.

Definamos as operações de soma e produto de tal maneira que o

0 funcione como o zero e 1 como o um. Então:

0 + 0= 0; 0+ 1= 1; 1 + 1= 0; 0.0 = 0; 0+ 1= 0; 1. 1= 1.

Note em particular que, neste exemplo, vale a relação -1= 1 .

Exercícios Propostos1. Sendo um A um anel prove que:

i. a . 0 = 0, para todo a A;

ii. (- a) . (- a) = a2

2. Mostre que o conjunto Q dotado da lei de composição + e . abaixo defi-

nida é um anel.

i. a + b = a + b – 1

ii. a . b = a + b – ab

3. Seja A um anel com unidade. Se 2 A e 3, 4 são números naturais. Prove

que:

i. 23 . 24 = 27

4. Mostre que é um subanel de .

5. Prove que o conjunto dota d da lei usual de adição e da multiplicação

definida por a.b = 0, para qualquer a e b em , é um anel.

ResumoNesta aula apuramos o estudo de grupo, mediante a apresentação da com-

plementaridade das propriedades associatividade da multiplicação e distribu-

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esquerda, ampliando assim, o sistema matemático para a definição de anel.

Foram trabalhadas as propriedades sinequanon para que tenhamos um anel

e mostramos a diversidade da terna (A, +, .) com suas devidas restrições.

Minimizamos o conceito de subanel reduzindo-o ao fechamento da soma,

subtração e do produto.

Referências

GONÇALVES, A. Introdução a Álgebra. Rio de Janeiro: IMPA Coleção

Projeto Euclides, 1998.

HEFEZ, A. Curso de Álgebra, volume 1 (3ª edição). Rio de Janeiro: IMPA Coleção Universitária, 1999.

IEZZI, G e HYGINO, H. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 2001.

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