Aula 3 - ÁlgebraE

Ellís CarvalhoLuiz Afonso

Nu(T) = {v ∈ V / T(v) = 0}

Im(T) = {w ∈ W / w = T(v), para algum v ∈ V}

Teorema: dim Nu(T) + dim Im(T) = dim V.

Revisando Núcleo e Imagem...

T(v) = T(u) -> v = u

Uma transformação é injetiva se e somente se Nu(T) = {0}.

T: ℛ³→ℛ² T(x, y, z) = (x + y, x + z)

Transformação Injetiva

w ∈ W -> ∃ v ∈ V / T(v) = w

Uma transformação é sobrejetiva se e somente se Im(T) = W ou dim Im(T) = dim W, onde W é o contra-domínio da transformação.

Transformação Sobrejetiva

Uma transformação é bijetiva se ela for injetiva e sobrejetiva.

A isso, damos o nome de isomorfismo.

T é bijetiva -> dim V = dim W

Transformação Bijetiva

Exercício

A partir disso, verifique injetividade e sobrejetividade para T, S, SoT e ToS.

Para uma transformação linear possuir inversa, ela deve ser bijetiva.

Logo, dim V = dim W.

Inversa de uma transformação

A matriz de uma transformação linear é uma forma de representar a transformação.

Seu uso se deve à facilidade que ela oferece, uma vez que a transformação “T(v) = u” pode ser feita pela multiplicação de matrizes:

[T]βα x [v]β = [u]α.

Onde [v]β é a representação do vetor ‘v’ na base β, [u]α o vetor ‘u’ na base α e [T]β

α a matriz da transformação T de β para α.

Matriz de uma transformação

α = { u1, u2, ... , um }β = { v1, v2, ... vn }

u = x1.u1 + x2.u2 + ... + xm.um

v = y1.v1 + y2.v2 + ... + yn.vn

Matriz de uma transformação

mx

xx

u...2

1

ny

yy

v...2

1

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

T

...............

...

...

21

22221

11211

Como achar [T]βα?

Observe que quando v = v1

E para esse v1, temos

Matriz de uma transformação

0...01

v

mx

xx

uvT...

)( 2

1

1

Como pode ter surgido T(v1) ?

x1 = 1.a11 + 0.a12 + ... + 0.a1n

x2 = 1.a21 + 0.a22 + ... + 0.a2n

...

Matriz de uma transformação

0...01

...............

...

...

...)(

21

22221

11211

2

1

1

mnmm

n

n

m aaa

aaaaaa

x

xx

uvT

Dessa forma temos: a11 = x1 a12 = x2 ... a1m = xm

Analogamente podemos fazer isso com os vetores v2, v3 ... e vn

Matriz de uma transformação

E chegamos a seguinte matriz da transformação:

Matriz de uma transformação

)(

...)()( 21 nvTvTvT

T

Uma forma rápida de encontrar uma T qualquer nas bases canônicas:

α = { (1,0,...,0), (0,1,...,0) , ... , (0,0,...,1) } ou

{1,t,..,tm} ou etc...

Obs.: dim(α) pode ser diferente de dim(β)

Atenção: Nem todos os espaços podem ser escritos na forma canônica. Exemplo: Se o domínio de T fosse o plano x+y+z=0 do R3, esse método não poderia ser aplicado.

Matriz de uma transformação

1000

,0100

,0010

,0001

Lembremos de 2 propriedades das transformações lineares:

λ . T(v) = T(λ.v)

T(v) + T(u) = T(v+u)

Matriz de uma transformação

Se temos:

T(x1,y1,...,z1) = (a1,b1,...,c1) T(x2,y2,...,z2) = (a2,b2,...,c2) T(x3,y3,...,z3) = (a3,b3,...,c3)

Atenção: (x1,y1,...,z1), (x2,y2,...,z2), (x3,y3,...,z3) ... Devem formar um gerador do domínio. Senão a transformação não será definida.

Matriz de uma transformação

Podemos fazer uma combinação linear das transformações a fim de obter:

T(1,0,..,0), T(0,1,..,0),... e T(0,0,..,1) A maneira mais prática de fazer isso é

colocar os vetores v e u “emparelhados” em uma matriz e deixá-la na forma escada:

Matriz de uma transformação

..................

............0...100...01

..................

..................

222

111..

222

111

222

111

tsrtsr

cbacba

zyxzyx

LC

Observe que agora temos a matriz:

Então basta transpô-la e obtemos a matriz de transformação:

Matriz de uma transformação

...)0,...1,0()0,...0,1(

............0...100...01TT

)(

...)()( 21 nvTvTvT

T

Ainda de:

Que representa na verdade: T(1,0,...0) = (r1, s1, ..., t1) T(0,1,...0) = (r2, s2, ..., t2) ...

Podemos fazer: x.T(1,0,...0) = x.(r1, s1, ..., t1) y.T(0,1,...0) = y.(r2, s2, ..., t2) ...

E somar: T(x,y,...,z) = (x.r1 + y.r2 + ..., x.s1 + y.s2, ..., ... )

Matriz de uma transformação

...)0,...1,0()0,...0,1(

............0...100...01TT

E dessa forma, podemos escrever facilmente a matriz de transformação linear nas bases canônicas a parti de sua representação de costume:

Ex: T(x,y,z) = (x + y – z, y, -x+2z)

Matriz de uma transformação

201010111

T

Matriz de uma transformação Questões:

Qual a matriz de transformação T na bases canônicas?

000312101303

1000010000100001

211101011112

1110101011011111

..LC

3

Nu(T) = v | T(v) = 0

Nu(T) = { (1,-3,0,0), (0,0,0,1) }

Matriz de uma transformação

031301000213

T

0031301000213

wzyx

T

000000100003/11

wzyx

T

u = T.v T-1.u = T-1.T.v v = T-1.u

Inverte-se T:

T-1(x,y,z) = (x-½y+ ½ z,x- ½ y- ½ z,-x+y)

Matriz de uma transformação

0112/12/112/12/11

1T

S( a0+a1t+a2t² ) = ( a1+a2, a0+2a1+4a2 ) α e β são as bases canônicas do P2 e R².

Matriz de uma transformação

421110

S

Exemplo:

Matriz de uma TL composta

Im( SoT ) = { (3,0,1,0), (1,-1,0,1),(4,-1,1,1), (1,-4,-1,4) } = { (3,0,1,0), (0,3,1,-3) }

Im( ToS ) = { (4,2,0), (0,3,0), (-4,4,0) } = { (1,0,0), (0,1,0) }

Matriz de uma TL composta

4110110141101413

SoT

000432404

ToS

Exercício

Algumas “teóricas”:Falso: contra-exemplo:T(x,y) = (x,y,0)S(x,y,z) = (y,z)

SoT(x,y) = (y,0)(claramente não-isomorfismo)

Falso: contra-exemplo:T(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f)S(a,b,c,d,e,f) = (a,b,c,d,e,f,0)SoT(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f,0)

Se a transformação tem uma inversa, essa inversa tem uma inversa também que é a própria transformação.

Como uma transformação tem inversa se e somente se for um isomorfismo, a inversa dessa transformação é isomorfismo.