aula de Álgebra linear - 18 de outubro

8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 18 de Outubro

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l g e b r a L i n e a r

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1

C o o r d e n a d a s

E x e m p l o 2

M u d a n a d e B a s e

E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


B a s e e D i m e n s o

P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o

U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i s

C a m p u s J a t a

C o o r d e n a o d e M a t e m t i c a

3 1 d e o u t u b r o d e 2 0 1 1
http://find/http://goback/


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

O b j e t i v o s d a A u l a

D i m e n s o d a S o m a d e D o i s S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

O b j e t i v o s d a A u l a

D i m e n s o d a S o m a d e D o i s S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

S e j a W u m e s p a o v e t o r i a l s o b r e R


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

S e j a W u m e s p a o v e t o r i a l s o b r e R. J v i m o s q u e s e U e V

s o s u b e s p a o s d e W , e n t o U V e U + V t a m b m s o s u b e s p a o s d e W


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

S e j a W u m e s p a o v e t o r i a l s o b r e R. J v i m o s q u e s e U e V

s o s u b e s p a o s d e W , e n t o U V e U + V t a m b m s o s u b e s p a o s d e W . N o c a s o e m q u e a d i m e n s o d e W n i t a

a s d i m e n s e s d e U V e d e U + V e s t o r e l a c i o n a d a s c o n f o r m e v e r e m o s a s e g u i r .


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

P r o p o s i o

S e j a W u m e s p a o v e t o r i a l s o b r e R d e d i m e n s o n i t a


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

P r o p o s i o

S e j a W u m e s p a o v e t o r i a l s o b r e R d e d i m e n s o n i t a


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

P r o p o s i o

S e j a W u m e s p a o v e t o r i a l s o b r e R d e d i m e n s o n i t a . S e U

e V s o s u b e s p a o s d e W , e n t o :

d i m

(U

V

) +d i m

(U

+V

) =d i m U

+d i m V

D e m o n s t r a o .

E s t u d a r n a p g i n a 8 2 e 8 3 d e n o s s o l i v r o t e x t o .


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

E x a m p l e

C o n s i d e r e m o s o s s e g u i n t e s u b e s p a o s d e R4


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

E x a m p l e



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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

E x a m p l e


:

U = [( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )] e V = {( x , y , z , t )|x + y = 0 }


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

E x a m p l e


:

U = [( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )] e V = {( x , y , z , t )|x + y = 0 }.D e t e r m i n e m o s d i m

(U

V

)e d i m

(U

+V

).

B = {( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )} b a s e d e U


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

E x a m p l e


:


(U

V

)e d i m

(U

+V

).

B = {( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )} b a s e d e U


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

E x a m p l e


:


(U

V

)e d i m

(U

+V

).

B = {( 1 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , 0 )} b a s e d e U . L o g o d i m U

=2 .

O b s e r v e q u e :

u

V

u

= (x

,x

,z

,t

),o n d e x

,z

,t

R


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

E x a m p l e


:


(U

V

)e d i m

(U

+V

).


=2 .


u

V

u

= (x

,x

,z

,t

),o n d e x

,z

,t

R


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

E x a m p l e


:


(U

V

)e d i m

(U

+V

).


=2 .


u

V

u

= (x

,x

,z

,t

),o n d e x

,z

,t

R

x ( 1 ,1 , 0 , 0 ) + z ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + t (0 , 0 , 0 , 1 )


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

E x a m p l e


:


(U

V

)e d i m

(U

+V

).


=2 .


u

V

u

= (x

,x

,z

,t

),o n d e x

,z

,t

R

x ( 1 ,1 , 0 , 0 ) + z ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + t (0 , 0 , 0 , 1 ).L o g o V

= [(1

,1 , 0 , 0 ), (0 , 0 , 1 , 0 ), (0 , 0 , 0 , 1 )]


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

E x a m p l e


:


(U

V

)e d i m

(U

+V

).


=2 .


u

V

u

= (x

,x

,z

,t

),o n d e x

,z

,t

R

x ( 1 ,1 , 0 , 0 ) + z ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + t (0 , 0 , 0 , 1 ).L o g o V

= [(1

,1 , 0 , 0 ), (0 , 0 , 1 , 0 ), (0 , 0 , 0 , 1 )]. A m a t r i z s i m b l i c a d e s s e c o n j u n t o g e r a d o r j e s t e s c a l o n a d a :

1 1 0 00 0 1 0

0 0 0 1


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

E x a m p l e


:


(U

V

)e d i m

(U

+V

).


=2 .


u

V

u

= (x

,x

,z

,t

),o n d e x

,z

,t

R

x ( 1 ,1 , 0 , 0 ) + z ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + t (0 , 0 , 0 , 1 ).L o g o V

= [(1


1 1 0 00 0 1 0

0 0 0 1

L o g o p o d e m o s a r m a r c o m s e g u r a n a q u e

C= {( 1 ,1 , 0 , 0 ), ( 0 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 0 , 0 , 1 )} b a s e d e V


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

E x a m p l e


:


(U

V)

e d i m (

U+

V)

.


=2 .


u

V

u

= (x

,x

,z

,t

),o n d e x

,z

,t

R

x ( 1 ,1 , 0 , 0 ) + z ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + t (0 , 0 , 0 , 1 ).L o g o V

= [(1


1 1 0 00 0 1 0

0 0 0 1

L o g o p o d e m o s a r m a r c o m s e g u r a n a q u e

C= {( 1 ,1 , 0 , 0 ), ( 0 , 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 0 , 0 , 1 )} b a s e d e V e

q u e d i m V = 3 .


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

P o r o u t r o l a d o , d e c o r r e d a p r p r i a d e n i o d e s o m a d e

s u b e s p a o s q u e U + V = [B C ]



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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


s u b e s p a o s q u e U + V = [B C ]. A p a r t i r d i s t o p o d e m o s a c h a r u m a b a s e d e U

+V d o s e g u i n t e m o d o :

1 0 1 0

0 1 0 0

1 1 0 00 0 1 0

0 0 0 1



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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


s u b e s p a o s q u e U + V = [B C ]. A p a r t i r d i s t o p o d e m o s a c h a r u m a b a s e d e U

+V d o s e g u i n t e m o d o :

1 0 1 0

0 1 0 0

1 1 0 00 0 1 0

0 0 0 1

1 0 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 1 0 0



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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


s u b e s p a o s q u e U

+V

= [B

C

]. A p a r t i r d i s t o p o d e m o s

a c h a r u m a b a s e d e U+

V d o s e g u i n t e m o d o :

1 0 1 0

0 1 0 0

1 1 0 00 0 1 0

0 0 0 1

1 0 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 1 0 0

1 0 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0



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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


s u b e s p a o s q u e U

+V

= [B

C

]. A p a r t i r d i s t o p o d e m o s

a c h a r u m a b a s e d e U+

V d o s e g u i n t e m o d o :

1 0 1 0

0 1 0 0

1 1 0 00 0 1 0

0 0 0 1

1 0 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 1 0 0

1 0 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

L o g o d i m ( U + V ) = 4 e c o n s e q u e n t e m e n t e U + V = R4 .D i s t o s e g u e q u e d i m ( U V ) = 1



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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

D e n i o

U m a b a s e o r d e n a d a u m a b a s e n a q u a l x a m o s a o r d e m e m

q u e o s v e t o r e s d e v e m a p a r e c e r , o u s e j a , d e t e r m i n a m o s q u e m

o p r i m e i r o v e t o r , o s e g u n d o v e t o r , o t e r c e i r o v e t o r . . .

D e s t e m o d o a s b a s e s B = {( 1 , 1 ), ( 2 , 3 )} eC

= {(2 , 3 ), ( 1 , 1 )} d o R2 r e p r e s e n t a m b a s e s o r d e n a d a s d i f e r e n t e s .


S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n i t a


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n i t a . D a d a u m a

{ }


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

b a s e o r d e n a d a B = {u1

, . . . , un

} d e V


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{ }


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


, . . . , un

} d e V , e n t o t o d o v e t o r vd e s s e e s p a o c o m b i n a o l i n e a r d e B . O u s e j a , e x i s t e m

1

, . . . , n

R d e m o d o q u e



{ }


34/95

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


, . . . , un


1

, . . . , n

R d e m o d o q u e :

v = 1

u

1

+ . . . + n

u

n



{ }


35/95

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


, . . . , un


1

, . . . , n


v = 1

u

1

+ . . . + n

u

n

f c i l p r o v a r q u e o s e s c a l a r e s q u e g u r a m n e s s a i g u a l d a d e

s o u n i v o c a m e n t e d e t e r m i n a d o s



= { }


36/95

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


, . . . , un


1

, . . . , n


v = 1

u

1

+ . . . + n

u

n


s o u n i v o c a m e n t e d e t e r m i n a d o s . D e f a t o , s u p o n h a m o s

v = 1 u 1 + . . . + n u n = 1 u 1 + . . . + n u n



= { }


37/95

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


, . . . , un


1

, . . . , n


v = 1

u

1

+ . . . + n

u

n



v = 1 u 1 + . . . + n u n = 1 u 1 + . . . + n u n

D e s t e m o d o



= { }


38/95

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


, . . . , un


1

, . . . , n


v = 1

u

1

+ . . . + n

u

n



v

= 1u

1 + . . . + nu

n = 1u

1 + . . . + nu

n

D e s t e m o d o :

1

u

1

+ . . . + n

u

n

(1

u

1

+ . . . + n

u

n

) = o



= { }


39/95

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


, . . . , un


1

, . . . , n


v = 1

u

1

+ . . . + n

u

n



v

= 1u

1 + . . . + nu

n = 1u

1 + . . . + nu

n

D e s t e m o d o :

1

u

1

+ . . . + n

u

n

(1

u

1

+ . . . + n

u

n

) = o

(1

1

)u

1

+ . . . + (n

n

)u

n

=o

C o m o o c o n j u n t o B L . I . , e n t o



= { , . . . , }


40/95

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

b a s e o r d e n a d a B {u1

, . . . , un


1

, . . . , n


v = 1

u

1

+ . . . + n

u

n



v

= 1u

1 + . . . + nu

n = 1u

1 + . . . + nu

n

D e s t e m o d o :

1

u

1

+ . . . + n

u

n

(1

u

1

+ . . . + n

u

n

) = o

(1

1

)u

1

+ . . . + (n

n

)u

n

=o

C o m o o c o n j u n t o B L . I . , e n t o :

1

1

= . . . = n

n

= 0



= { , . . . , }


41/95

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

b a s e o r d e n a d a B {u1

, . . . , un


1

, . . . , n


v = 1

u

1

+ . . . + n

u

n



v

= 1u

1 + . . . + nu

n = 1u

1 + . . . + nu

n

D e s t e m o d o :

1

u

1

+ . . . + n

u

n

(1

u

1

+ . . . + n

u

n

) = o

(1

1

)u

1

+ . . . + (n

n

)u

n

=o

C o m o o c o n j u n t o B L . I . , e n t o :

1

1

= . . . = n

n

= 0

L o g o : 1 = 1 , . . . , n = n .


D e n i o ( C o o r d e n a d a s d e u m v e t o r )


42/95

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

O s e s c a l a r e s

1

, . . . , n

q u e g u r a m n a i g u a l d a d e

v = 1

u

1

+ . . . + n

u

n

, c o n f o r m e v i s t o s , s o c h a m a d o s

c o o r d e n a d a s d o v e t o r v e m r e l a o s b a s e o r d e n a d a B .




43/95

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


1

, . . . , n


v = 1

u

1

+ . . . + n

u

n



A s c o o r d e n a d a s d e u m v e t o r d e p e n d e m d o c o n c e i t o d e

b a s e o r d e n a d a , p o i s e m u m a b a s e n o - o r d e n a d a n o

s e r i a p o s s v e l d e t e r m i n a r a s c o o r d e n a d a s d o s v e t o r e s




44/95

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


1

, . . . , n


v = 1

u

1

+ . . . + n

u

n





s e r i a p o s s v e l d e t e r m i n a r a s c o o r d e n a d a s d o s v e t o r e s




45/95

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


1

, . . . , n


v = 1

u

1

+ . . . + n

u

n





s e r i a p o s s v e l d e t e r m i n a r a s c o o r d e n a d a s d o s v e t o r e s ;

c o n v e n i e n t e a s s o c i a r u m a m a t r i z s c o o r d e n a d a s d o

v e t o r v




46/95

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


1

, . . . , n


v = 1

u

1

+ . . . + n

u

n







v e t o r v




47/95

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


1

, . . . , n


v = 1

u

1

+ . . . + n

u

n







v e t o r v . A s s i m , s e v=

1

u

1

+ . . . + n

u

n

, e m r e l a o


, . . . , un

}, c o n s i d e r a - s e a m a t r i z n

1 a s e g u i r c o m o a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e v e m

r e l a o b a s e o r d e n a d a B


P r o f . E s p . :



48/95

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


1

, . . . , n


v = 1

u

1

+ . . . + n

u

n







v e t o r v . A s s i m , s e v=

1

u

1

+ . . . + n

u

n

, e m r e l a o


, . . . , un

}, c o n s i d e r a - s e a m a t r i z n

1 a s e g u i r c o m o a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e v e m

r e l a o b a s e o r d e n a d a B .

1

.

.

.

n

B

o u

1

.

.

.

n


P r o f . E s p . :

E x a m p l e

{ + + }


49/95

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

f c i l v e r i c a r q u e B = {1 , 1 + t , 1 + t 2 } u m a b a s e o r d e n a d a d e P

2

(R)


P r o f . E s p . :

E x a m p l e

= { + + 2 }


50/95

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

f c i l v e r i c a r q u e B = {1 , 1 + t , 1 + t } u m a b a s e o r d e n a d a d e P

2

(R) . A c h e m o s a s c o o r d e n a d a s d e f ( t ) = 2 + 4 t + t 2 e m r e l a o b a s e o r d e n a d a d e P

2

{R}


P r o f . E s p . :

E x a m p l e

= { + + 2 }


51/95

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


2


2

{R}:

2+

4 t+

t

2 =x 1

+y

(1

+t

) +z

(1

+t

2 )


P r o f . E s p . :

E x a m p l e

= { + + 2 }


52/95

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


2


2

{R}:

2+

4 t+

t

2 =x 1

+y

(1

+t

) +z

(1

+t

2 )

2 + 4 t + t 2 = (x + y + z ) + y t + z t 2


P r o f . E s p . :

E x a m p l e

= { + + 2 }


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T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


2


2

{R}:

2+

4 t+

t

2 =x 1

+y

(1

+t

) +z

(1

+t

2 )

2 + 4 t + t 2 = (x + y + z ) + y t + z t 2

L o g o t e m o s o s i s t e m a


P r o f . E s p . :

E x a m p l e

= { , + , + 2 }


54/95

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

f c i l v e r i c a r q u e B {1 , 1 + t , 1 + t } u m a b a s e o r d e n a d a d e P

2


2

{R}:

2+

4 t+

t

2 =x 1

+y

(1

+t

) +z

(1

+t

2 )

2 + 4 t + t 2 = (x + y + z ) + y t + z t 2

L o g o t e m o s o s i s t e m a :

z=

1

y = 4x

+y

+z

=2


P r o f . E s p . :

E x a m p l e

= { , + , + 2 }


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T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

f c i l v e r i c a r q u e B {1 , 1 + t , 1 + t } u m a b a s e o r d e n a d a d e P

2


2

{R}:

2+

4 t+

t

2 =x 1

+y

(1

+t

) +z

(1

+t

2 )

2 + 4 t + t 2 = (x + y + z ) + y t + z t 2


z=

1

y = 4x

+y

+z

=2

C u j a s o l u o (3 , 4 , 1 )


P r o f . E s p . :

E x a m p l e

f c i l v e r i c a r q u e B = {1 , 1 + t , 1 + t 2 } u m a b a s e


56/95

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

{ , + , + }o r d e n a d a d e P

2


2

{R}:

2+

4 t+

t

2 =x 1

+y

(1

+t

) +z

(1

+t

2 )

2 + 4 t + t 2 = (x + y + z ) + y t + z t 2


z=

1

y = 4x

+y

+z

=2

C u j a s o l u o (3 , 4 , 1 ) . L o g o a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e f

(t

)s e r


P r o f . E s p . :

E x a m p l e

f c i l v e r i c a r q u e B = {1 , 1 + t , 1 + t 2 } u m a b a s e


57/95

T h i a g o

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

{ , , }o r d e n a d a d e P

2


2

{R}:

2+

4 t+

t

2 =x 1

+y

(1

+t

) +z

(1

+t

2 )

2 + 4 t + t 2 = (x + y + z ) + y t + z t 2


z=

1

y = 4x

+y

+z

=2

C u j a s o l u o (3 , 4 , 1 ) . L o g o a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e f

(t

)s e r :

3

4

1


P r o f . E s p . :

T h i a g o


58/95

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n


P r o f . E s p . :

T h i a g o


59/95

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l d e d i m e n s o n e c o n s i d e r e m o s

d u a s b a s e s d e V : B = {u1

, . . . , un

} e C = {v1

, . . . , vn

}


P r o f . E s p . :

T h i a g o


60/95

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3



, . . . , un

} e C = {v1

, . . . , vn

}.

E n t o h u m a n i c a f a m l i a d e e s c a l a r e s

i j

d e m a n e i r a q u e


P r o f . E s p . :

T h i a g o


61/95

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3



, . . . , un

} e C = {v1

, . . . , vn

}.


i j

d e m a n e i r a q u e :

v

1

= 1 1

u

1

+ . . . + n 1

u

n

.

.

.

.

.

.

v

n

= 1 n

u

1

+ . . . + n n

u

n


P r o f . E s p . :

T h i a g o


62/95

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3



, . . . , un

} e C = {v1

, . . . , vn

}.


i j

d e m a n e i r a q u e :

v

1

= 1 1

u

1

+ . . . + n 1

u

n

.

.

.

.

.

.

v

n

= 1 n

u

1

+ . . . + n n

u

n

o u e m n o t a o d e s o m a t r i o :

v

j

=n

i

=1

i j

u

i

(j = 1 , 2 , . . . , n )


P r o f . E s p . :

T h i a g o


63/95

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


P r o f . E s p . :

T h i a g o


64/95

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

D e n i o ( M a t r i z d e M u d a n a d e B a s e )

A m a t r i z q u a d r a d a d e o r d e m n :

P

=

1 1

. . . 1 n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

n 1

. . . n n

c h a m a - s e m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e B p a r a a b a s e C .


P r o f . E s p . :

T h i a g o

E x a m p l e

= {( ) ( )}


65/95

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

Q u a l a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e B= {( 2 , 0 ), ( 2 , 1 )} p a r a

a b a s e C = {( 3 , 0 ), ( 3 , 2 )} d o R2 ?


P r o f . E s p . :

T h i a g o

E x a m p l e

= {( ) ( )}


66/95

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


a b a s e C = {( 3 , 0 ), ( 3 , 2 )} d o R2 ?(

3,

0) =

x

1

(2

,0

) +y

1

(2

,1

)( 3 , 2 ) = x

2

( 2 , 0 ) + y2

( 2 , 1 )


P r o f . E s p . :

T h i a g o

E x a m p l e

= {( ) ( )}


67/95

V e d o V a t t o

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


a b a s e C = {( 3 , 0 ), ( 3 , 2 )} d o R2 ?(

3,

0) =

x

1

(2

,0

) +y

1

(2

,1

)( 3 , 2 ) = x

2

( 2 , 0 ) + y2

( 2 , 1 )

E s t e s i s t e m a l i n e a r c o m p o s t o p e l o s s i s t e m a s


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

E x a m p l e

= {( , ), ( , )}


68/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

Q u a l a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e B {( 2 , 0 ), ( 2 , 1 )} p a r a a b a s e C = {( 3 , 0 ), ( 3 , 2 )} d o R2 ?

(3

,0

) =x

1

(2

,0

) +y

1

(2

,1

)( 3 , 2 ) = x

2

( 2 , 0 ) + y2

( 2 , 1 )

E s t e s i s t e m a l i n e a r c o m p o s t o p e l o s s i s t e m a s :

2 x

1

+ 2 y1

= 3y

1

= 0e

2 x

2

+ 2 y2

= 3y

2

= 2


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

E x a m p l e

= {( , ), ( , )}


69/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

Q u a l a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e B {( 2 , 0 ), ( 2 , 1 )} p a r a a b a s e C = {( 3 , 0 ), ( 3 , 2 )} d o R2 ?

(3

,0

) =x

1

(2

,0

) +y

1

(2

,1

)( 3 , 2 ) = x

2

( 2 , 0 ) + y2

( 2 , 1 )


2 x

1

+ 2 y1

= 3y

1

= 0e

2 x

2

+ 2 y2

= 3y

2

= 2

C u j a s s o l u e s s e r o x

1

= 32

, y

1

=0 , x

2

= 12

e y

2

=2


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

E x a m p l e



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D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

{( , ), ( , )}a b a s e C = {( 3 , 0 ), ( 3 , 2 )} d o R2 ?

(3

,0

) =x

1

(2

,0

) +y

1

(2

,1

)( 3 , 2 ) = x

2

( 2 , 0 ) + y2

( 2 , 1 )


2 x

1

+ 2 y1

= 3y

1

= 0e

2 x

2

+ 2 y2

= 3y

2

= 2


1

= 32

, y

1

=0 , x

2

= 12

e y

2

=2 . L o g o

a m a t r i z d e m u d a n a d a b a s e B p a r a a b a s e C s e r


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

E x a m p l e



71/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

{( , ), ( , )}a b a s e C = {( 3 , 0 ), ( 3 , 2 )} d o R2 ?

(3

,0

) =x

1

(2

,0

) +y

1

(2

,1

)( 3 , 2 ) = x

2

( 2 , 0 ) + y2

( 2 , 1 )


2 x

1

+ 2 y1

= 3y

1

= 0e

2 x

2

+ 2 y2

= 3y

2

= 2


1

= 32

, y

1

=0 , x

2

= 12

e y

2

=2 . L o g o

a m a t r i z d e m u d a n a d a b a s e B p a r a a b a s e C s e r :

P =

3 /2 01 /2 2


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

P r o p o s i o ( P r o b l e m a 1 )

S e a m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e B p a r a a b a s e C


72/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

P = (i j

) e a m a t r i z d a m u d a n a d a b a s e C p a r a a b a s e D Q = (

i j

) , q u a l a m a t r i z d e m u d a n a d e B p a r a D ?


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o




73/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

P = (i j


i j


S u p o n h a m o s B = {u1

, . . . , un

}, C = {v1

, . . . , vn

} eD

= {w1

, . . . ,w

n

}


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o




74/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

P = (i j


i j



, . . . , un

}, C = {v1

, . . . , vn

} eD

= {w1

, . . . ,w

n

}. A d e n i o d e m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e n o s g a r a n t e q u e :

v

j

=n

i =1

i j

u

i

e w

k

=n

j =1

j k

v

j

(j,

k=

1,

2, . . . ,

n)


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



( )


75/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

P = (i j


i j



, . . . , un

}, C = {v1

, . . . , vn

} eD

= {w1

, . . . ,w

n


v

j

=n

i =1

i j

u

i

e w

k

=n

j =1

j k

v

j

(j,

k=

1,

2, . . . ,

n)

D a p a r a k = 1 , 2 , . . . , n


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



( )


76/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

P = (i j


i j



, . . . , un

}, C = {v1

, . . . , vn

} eD

= {w1

, . . . ,w

n


v

j

=n

i =1

i j

u

i

e w

k

=n

j =1

j k

v

j

(j,

k=

1,

2, . . . ,

n)

D a p a r a k = 1 , 2 , . . . , n :

w

k

=n

j

=1

j k

n

i

=1

i j

u

i


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



( )


77/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

P = (i j


i j



, . . . , un

}, C = {v1

, . . . , vn

} eD

= {w1

, . . . ,w

n


v

j

=n

i =1

i j

u

i

e w

k

=n

j =1

j k

v

j

(j,

k=

1,

2, . . . ,

n)

D a p a r a k = 1 , 2 , . . . , n :

w

k

=n

j

=1

j k

n

i

=1

i j

u

i

=

n j

=1

n

i

=1

i j

j k

u

i

.


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



( )


78/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

P = (i j


i j



, . . . , un

}, C = {v1

, . . . , vn

} eD

= {w1

, . . . ,w

n


v

j

=n

i =1

i j

u

i

e w

k

=n

j =1

j k

v

j

(j,

k=

1,

2, . . . ,

n)

D a p a r a k = 1 , 2 , . . . , n :

w

k

=n

j

=1

j k

n

i

=1

i j

u

i

=

n j

=1

n

i

=1

i j

j k

u

i

.

L o g o a m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e B p a r a D a m a t r i z P Q .


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o


79/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


S e a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e u V e m r e l a o b a s e B :

X=

x

1

.

.

.

x

n

e a m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e d e B p a r a C P = (i j

) ,q u a l a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e u e m r e l a o b a s e C ?


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o


80/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


S e a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e u V e m r e l a o b a s e B :

X=

x

1

.

.

.

x

n

e a m a t r i z d e m u d a n a d e b a s e d e B p a r a C P = (i j

) ,q u a l a m a t r i z d a s c o o r d e n a d a s d e u e m r e l a o b a s e C ?


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

S e j a Y =

y

1

.

.

.

y

n

a m a t r i z d e s e j a d a


81/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

S e j a Y =

y

1

.

.

.

y

n

a m a t r i z d e s e j a d a . T e m o s e n t o q u e p a r a , = , . . . ,


82/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

i,

j 1, . . . ,

n :

u =

ni

=1

x

i

u

i =

n j

=1

y

j

v

j


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

S e j a Y =

y

1

.

.

.

y

n

a m a t r i z d e s e j a d a . T e m o s e n t o q u e p a r a i,

j=

1, . . . ,

n :


83/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

, , ,

u =

ni

=1

x

i

u

i =

n j

=1

y

j

v

j

C o m o c a d a v

j

=

n

i =1

i j

u

i

, e n t o :

u =

ni =1

x

i

u

i


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

S e j a Y =

y

1

.

.

.

y

n


j=

1, . . . ,

n :


84/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

, , ,

u =

ni

=1

x

i

u

i =

n j

=1

y

j

v

j

C o m o c a d a v

j

=

n

i =1

i j

u

i

, e n t o :

u =

ni =1

x

i

u

i =

n j =1

y

j

ni =1

i j u i


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

S e j a Y =

y

1

.

.

.

y

n


j=

1, . . . ,

n :


85/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

, , ,

u =

ni

=1

x

i

u

i =

n j

=1

y

j

v

j

C o m o c a d a v

j

=

n

i =1

i j

u

i

, e n t o :

u =

ni =1

x

i

u

i =

n j =1

y

j

ni =1

i j u i =

ni =1

n j =1

i j y j

u

i


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

S e j a Y =

y

1

.

.

.

y

n


j=

1, . . . ,

n :


86/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

u =

ni

=1

x

i

u

i =

n j

=1

y

j

v

j

C o m o c a d a v

j

=

n

i =1

i j

u

i

, e n t o :

u =

ni =1

x

i

u

i =

n j =1

y

j

ni =1

i j u i =

ni =1

n j =1

i j y j

u

i

L o g o c o m o a s c o o r d e n a d a s s o n i c a s : x

i

=

n

j =1

i j

y

j


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

S e j a Y =

y

1

.

.

.

y

n


j=

1, . . . ,

n :


87/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

u =

ni

=1

x

i

u

i =

n j

=1

y

j

v

j

C o m o c a d a v

j

=

n

i =1

i j

u

i

, e n t o :

u =

ni =1

x

i

u

i =

n j =1

y

j

ni =1

i j u i =

ni =1

n j =1

i j y j

u

i


i

=

n

j =1

i j

y

j

o u

x

1

= 1 1

y

1

+ . . . + n 1

y

n

.

.

.

.

.

.

x

n

= 1 n

y

1

+ . . . + n n

y

n


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

S e j a Y =

y

1

.

.

.

y

n


j=

1, . . . ,

n :


88/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

u =

ni

=1

x

i

u

i =

n j

=1

y

j

v

j

C o m o c a d a v

j

=

n

i =1

i j

u

i

, e n t o :

u =

ni =1

x

i

u

i =

n j =1

y

j

ni =1

i j u i =

ni =1

n j =1

i j y j

u

i


i

=

n

j =1

i j

y

j

o u

x

1

= 1 1

y

1

+ . . . + n 1

y

n

.

.

.

.

.

.

x

n

= 1 n

y

1

+ . . . + n n

y

n

E m n o t a o M a t r i c i a l X=

P Y o u e q u i v a l e n t e m e n t e

Y P

1

X .


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o


S e {u1

, . . . , un

} u m a b a s e d e V e P = (i j

) u m a m a t r i z i n v e r s v e l , e n t o o s n v e t o r e s v = n

= u p a r a t o d o


89/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

j

i =1 i j i

j=

1, . . . ,

n t a m b m f o r m a m u m a b a s e d e V ?


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o


S e {u1

, . . . , un


) u m a m a t r i z i n v e r s v e l , e n t o o s n v e t o r e s v

j

= n=

i j

u

i

p a r a t o d o


90/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

i =1

j=

1, . . . ,


S u p o n h a m o s

n j =1

x

j

v

j

= 0


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o


S e {u1

, . . . , un



j

= n=

i j

u

i

p a r a t o d o


91/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

i 1

j=

1, . . . ,


S u p o n h a m o s

n j =1

x

j

v

j

= 0

E n t o :

n j =1

x

j

n

i =1

i j

u

i


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o


S e {u1

, . . . , un



j

= ni =1

i j

u

i

p a r a t o d o


92/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u b e s p a o s

E x e m p l o 1


E x e m p l o 2


E x e m p l o 3

P r o b l e m a 1

P r o b l e m a 2

P r o b l e m a 3

j = 1 , . . . , n t a m b m f o r m a m u m a b a s e d e V ? S u p o n h a m o s

n j =1

x

j

v

j

= 0

E n t o :

n j =1

x

j

n

i =1

i j

u

i

=

n j =1

n

i =1

i j

x

j

u

i

= 0

D a

n

i =1

i j

x

j

=0


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o


S e {u1

, . . . , un



j

= ni =1

i j

u

i

p a r a t o d o


93/95

D i m e n s o d a

S o m a d e D o i s

S u

aula de Álgebra linear - 18 de outubro

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