aula de Álgebra linear - 17 de novembro

8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 17 de Novembro

1/60

l g e b r a L i n e a r

T h i a g o V e d o V a t t o

C u r s o d e l g e b r a L i n e a r

T e o r e m a d o N c l e o e d a I m a g e m e R e s u l t a d o s D e c o r r e n t e s

P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o

U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i s

C a m p u s J a t a

C o o r d e n a o d e M a t e m t i c a

1 8 d e n o v e m b r o d e 2 0 1 1
http://find/http://goback/


2/60



T e o r e m a d o N c l e o

e I m a g e m

C o r o l r i o

I s o m o r s m o s e

A u t o m o r s m o s

E x e m p l o s

P r o p o s i o

P a r t e I

T e o r e m a d o N c l e o e d a I m a g e m e

R e s u l t a d o s D e c o r r e n t e s


3/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

O b j e t i v o s d a A u l a


4/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

N a l t i m a a u l a e s t u d a m o s o s e g u i n t e r e s u l t a d o


5/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

N a l t i m a a u l a e s t u d a m o s o s e g u i n t e r e s u l t a d o :

P r o p o s i o ( T e o r e m a d o N c l e o e I m a g e m )

S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s d e d i m e n s o n i t a s o b r e R


6/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o




. D a d a

u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F

:U

V , e n t o


7/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o




. D a d a

u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F

:U

V , e n t o :

d i m U=

d i mK e r (

F) +

d i mI m (

F)


8/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

P r o p o s i o

S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R c o m a m e s m a d i m e n s o

n i t a n e s u p o n h a m o s F

:U

V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r .

E n t o s o e q u i v a l e n t e s a s s e g u i n t e s a r m a e s


9/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

P r o p o s i o



:U


E n t o s o e q u i v a l e n t e s a s s e g u i n t e s a r m a e s :

A r m a o I F s o b r e j e t o r a


10/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

P r o p o s i o



:U



A r m a o I F s o b r e j e t o r a ;

A r m a o I I F b i j e t o r a


11/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

P r o p o s i o



:U




A r m a o I I F b i j e t o r a ;

A r m a o I I I F i n j e t o r a


12/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

P r o p o s i o



:U





A r m a o I I I F i n j e t o r a ;

A r m a o I V F t r a n s f o r m a u m a b a s e d e U e m u m a b a s e d e V

( i s t o , s e B u m a b a s e d e U , e n t o F (

B)

u m a

b a s e d e V ) .


13/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

P r o p o s i o



:U








B)

u m a

b a s e d e V ) .


14/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I .


15/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I .

P o r h i p t e s e I m (

F) =

V


16/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I .


F) =

V . L e v a n d o e m c o n t a q u e d i m U=

d i m V


17/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I .


F) =


d i m V ,

a f o r m u l a d i m U=

d i mK e r (

F) +

d i mI m (

F)

e q u i v a l e e n t o a

d i mK e r (F ) = 0


18/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I .


F) =


d i m V ,


d i mK e r (

F) +

d i mI m (

F)


d i mK e r (F ) = 0 . L o g o K e r (F ) = {o } e F i n j e t o r a


19/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I .


F) =


d i m V ,


d i mK e r (

F) +

d i mI m (

F)


d i mK e r (F ) = 0 . L o g o K e r (F ) = {o } e F i n j e t o r a . E n t o F

b i j e t o r a .


20/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

P r o p o s i o



:U








B)

u m a

b a s e d e V ) .


21/60




e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I I I .



22/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I I I .

b v i o .



23/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

P r o p o s i o



:U








B)

u m a

b a s e d e V ) .



24/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I I V .



25/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I I V .

S e n d o B= {

u

1

, . . . ,u

n

}u m a b a s e d e U m o s t r e m o s q u e

F(

B) = {

F(

u

1

), . . . ,F

(u

n

)} u m a b a s e d e V



26/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I I V .

S e n d o B= {

u

1

, . . . ,u

n


F(

B) = {

F(

u

1

), . . . ,F

(u

n

)} u m a b a s e d e V . O b s e r v e m o s d e

i n c i o q u e F

(B

)t e m t a n t o s v e t o r e s c o m o B p e l o f a t o d e F s e r

i n j e t o r a



27/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I I V .

S e n d o B= {

u

1

, . . . ,u

n


F(

B) = {

F(

u

1

), . . . ,F

(u

n


i n c i o q u e F

(B

)t e m t a n t o s v e t o r e s c o m o B p e l o f a t o d e F s e r

i n j e t o r a . E n t o b a s t a m o s t r a r q u e F(

B)

L . I



28/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I I V .

S e n d o B= {

u

1

, . . . ,u

n


F(

B) = {

F(

u

1

), . . . ,F

(u

n


i n c i o q u e F(

B)

t e m t a n t o s v e t o r e s c o m o B p e l o f a t o d e F s e r


B)

L . I . S u p o n h a m o s

1

, . . . , n

R e 1

F(

u

1

) + . . . + n

F(

u

n

) =o



29/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I I V .

S e n d o B= {

u

1

, . . . ,u

n


F(

B) = {

F(

u

1

), . . . ,F

(u

n


i n c i o q u e F(

B)



B)


1

, . . . , n

R e 1

F(

u

1

) + . . . + n

F(

u

n

) =o . D i s t o r e s u l t a p e l a

l i n e a r i d a d e d e F q u e :

F(

1

u

1

+ . . . + n

u

n

) =o



30/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I I V .

S e n d o B= {

u

1

, . . . ,u

n


F(

B) = {

F(

u

1

), . . . ,F

(u

n


i n c i o q u e F(

B)



B)


1

, . . . , n

R e 1

F(

u

1

) + . . . + n

F(

u

n



F(

1

u

1

+ . . . + n

u

n

) =o

S e n d o F i n j e t o r a s e g u e q u e :

1

u

1

+ . . . + n

u

n

=o



31/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I I I I V .

S e n d o B= {

u

1

, . . . ,u

n


F(

B) = {

F(

u

1

), . . . ,F

(u

n


i n c i o q u e F(

B)



B)


1

, . . . , n

R e 1

F(

u

1

) + . . . + n

F(

u

n



F(

1

u

1

+ . . . + n

u

n

) =o

S e n d o F i n j e t o r a s e g u e q u e :

1

u

1

+ . . . + n

u

n

=o

C o m o B L . I . c o n c l u i - s e q u e :

1

= 2

= . . . = n

=o



32/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

P r o p o s i o



:U








B)

u m a

b a s e d e V ) .



33/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I V

I

.



34/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I V

I

.

S e j a v V



35/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I V I.

S e j a v V . T o m a n d o u m a b a s e B = {u1

, . . . , un

} d e U , e n t o n o s s a h i p t e s e g a r a n t e q u e F

(B

) = {F

(u

1

), . . . ,F

(u

n

)} u m a

b a s e d e V



36/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I V I.


, . . . , un


(B

) = {F

(u

1

), . . . ,F

(u

n

)} u m a

b a s e d e V . L o g o v c o m b i n a o l i n e a r d e F(

B)



37/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I V I.


, . . . , un


(B

) = {F

(u

1

), . . . ,F

(u

n

)} u m a


B)

:

v=

1

F(

u

1

) + . . . + n

F(

u

n

), c o m

1

, . . . , n

R



38/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

I V I.


, . . . , un


(B

) = {F

(u

1

), . . . ,F

(u

n

)} u m a


B)

:

v=

1

F(

u

1

) + . . . + n

F(

u

n

), c o m

1

, . . . , n

R

C o m o F l i n e a r p o d e m o s a r m a r q u e :

v=

F(

1

u

1

+ . . . + n

u

n

)



39/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

D e n i o ( I s o m o r s m o e A u t o m o r s m o )



40/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o


E n t e n d e - s e p o r i s o m o r s m o d o e s p a o v e t o r i a l U n o e s p a o

v e t o r i a l V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F :

U V q u e s e j a b i j e t o r a



41/60



e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o


E n t e n d e - s e p o r i s o m o r s m o d o e s p a o v e t o r i a l U n o e s p a o

v e t o r i a l V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F :

U V q u e s e j a b i j e t o r a . U m i s o m o r s m o F

:U

U u m a u t o m o r s m o d e U .



E x a m p l e s


42/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

O o p e r a d o r i d n t i c o I

:U U d a d a p o r I (u ) = u p a r a t o d o

v e t o r u d o e s p a o t r i v i a l m e n t e u m a u t o m o r s m o d e U



E x a m p l e s


43/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o



v e t o r u d o e s p a o t r i v i a l m e n t e u m a u t o m o r s m o d e U ;

F : R2

P 1 (R) d e n i d a p o r F (x , y ) = x + ( x + y )t t a m b m u m i s o m o r s m o



E x a m p l e s


44/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o




F : R2

P 1 (R) d e n i d a p o r F (x , y ) = x + ( x + y )t t a m b m u m i s o m o r s m o . D e f a t o .

M o s t r e m o s q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r



E x a m p l e s


45/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o




F : R2

P

1 (R)d e n i d a p o r F

(x , y ) =

x

+ (x

+y

)t

t a m b m u m i s o m o r s m o . D e f a t o .

M o s t r e m o s q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r . P a r a t a n t o

b a s t a m o s t r a r a c o n d i o :

F(

u+

v) =

F(

u) +

F(

v)



E x a m p l e s


46/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o




F : R2

P


(x , y ) =

x

+ (x

+y

)t




F(

u+

v) =

F(

u) +

F(

v)

V e r i q u e m o s q u e F i n j e t o r a



E x a m p l e s


47/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o




F : R2

P


(x , y ) =

x

+ (x

+y

)t




F(

u+

v) =

F(

u) +

F(

v)

V e r i q u e m o s q u e F i n j e t o r a :

F ( x1

,y

1

) = F (x2

,y

2

)



E x a m p l e s


48/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o




F : R2

P


(x , y ) =

x

+ (x

+y

)t




F(

u+

v) =

F(

u) +

F(

v)


F ( x1

,y

1

) = F (x2

,y

2

) x1

+ ( x1

+ y1

)t = x2

+ ( x2

+ y2

)t



E x a m p l e s


49/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o




F : R2

P


(x , y ) =

x

+ (x

+y

)t




F(

u+

v) =

F(

u) +

F(

v)


F ( x1

,y

1

) = F (x2

,y

2

) x1

+ ( x1

+ y1

)t = x2

+ ( x2

+ y2

)t

x1

= x2

e x

1

+ y1

= x2

+ y2



E x a m p l e s


50/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o




F

: R2

P


(x , y ) =

x

+ (x

+y

)t




F(

u+

v) =

F(

u) +

F(

v)


F ( x1

,y

1

) = F (x2

,y

2

) x1

+ ( x1

+ y1

)t = x2

+ ( x2

+ y2

)t

x1

= x2

e x

1

+ y1

= x2

+ y2

x

1

= x2

e y

1

= y2



E x a m p l e s


51/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o




F

: R2

P


(x , y ) =

x

+ (x

+y

)t




F(

u+

v) =

F(

u) +

F(

v)


F ( x1

,y

1

) = F (x2

,y

2

) x1

+ ( x1

+ y1

)t = x2

+ ( x2

+ y2

)t

x1

= x2

e x

1

+ y1

= x2

+ y2

x

1

= x2

e y

1

= y2

D a d o f (t ) = a + b t P

1

(R) b a s t a t o m a r u = ( a , b a ) p a r a q u e s e t e n h a F (u ) = f ( t )



E x a m p l e s


52/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o




F

: R2

P


(x , y ) =

x

+ (x

+y

)t




F(

u+

v) =

F(

u) +

F(

v)


F ( x1

,y

1

) = F (x2

,y

2

) x1

+ ( x1

+ y1

)t = x2

+ ( x2

+ y2

)t

x1

= x2

e x

1

+ y1

= x2

+ y2

x

1

= x2

e y

1

= y2

D a d o f (t ) = a + b t P

1

(R) b a s t a t o m a r u = ( a , b a ) p a r a q u e s e t e n h a F (u ) = f ( t ) . E n t o F s o b r e j e t o r a .



P r o p o s i o


53/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o

S e F u m i s o m o r s m o d e U e m V , e n t o F

1 :V

U t a m b m

u m i s o m o r s m o ( d e V e m U )



P r o p o s i o


54/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o


1 :V

U t a m b m


D e m o n s t r a o .

S u p o n h a m o s v

1

,v

2

V e F

1 (

v

1

) =F

1 (

v

2

) =u



P r o p o s i o


55/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o


1 :V

U t a m b m




1

,v

2

V e F

1 (

v

1

) =F

1 (

v

2

) =u . E n t o

F(

u) =

v

1

e F(

u) =

v

2



P r o p o s i o


56/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o


1 :V

U t a m b m




1

,v

2

V e F

1 (

v

1

) =F

1 (

v

2

) =u . E n t o

F(

u) =

v

1

e F(

u) =

v

2

. D a v

1

=v

2



P r o p o s i o


57/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o


1 :V

U t a m b m




1

,v

2

V e F

1 (

v

1

) =F

1 (

v

2

) =u . E n t o

F(

u) =

v

1

e F(

u) =

v

2

. D a v

1

=v

2

. L o g o F

1

i n j e t o r a



P r o p o s i o


58/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o


1 :V

U t a m b m




1

,v

2

V e F

1 (

v

1

) =F

1 (

v

2

) =u . E n t o

F(

u) =

v

1

e F(

u) =

v

2

. D a v

1

=v

2

. L o g o F

1

i n j e t o r a

P a r a v e r i c a r q u e F

1

s o b r e j e t o r a b a s t a o b s e r v a r q u e d a d o

u

U , t o m a n d o v=

F(

u)

t e r e m o s



P r o p o s i o


59/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o


1 :V

U t a m b m




1

,v

2

V e F

1 (

v

1

) =F

1 (

v

2

) =u . E n t o

F(

u) =

v

1

e F(

u) =

v

2

. D a v

1

=v

2

. L o g o F

1

i n j e t o r a


1


u


F(

u)

t e r e m o s :

F

1 (

v) =

F

1 (

F(

u)) =

u

F i c a c o m o e x e r c c i o m o s t r a r q u e F

1

u m a t r a n s f o r m a o

l i n e a r



P r o p o s i o


60/60


e I m a g e m

C o r o l r i o



E x e m p l o s

P r o p o s i o


1 :V

U t a m b m




1

,v

2

V e F

1 (

v

1

) =F

1 (

v

2

) =u . E n t o

F(

u) =

v

1

e F(

u) =

v

2

. D a v

1

=v

2

. L o g o F

1

i n j e t o r a


1


u


F(

u)

t e r e m o s :

F

1 (

v) =

F

1 (

F(

u)) =

u

F i c a c o m o e x e r c c i o m o s t r a r q u e F

1

u m a t r a n s f o r m a o

l i n e a r . P a r a t a n t o b a s t a m o s t r a r a c o n d i o :

F

1 (u

+v

) = F

1 (u

) +F

1 (v

)

aula de Álgebra linear - 17 de novembro

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