aula de Álgebra linear - 24 de novembro

8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 24 de Novembro

1/45

l g e b r a L i n e a r

T h i a g o V e d o V a t t o

C u r s o d e l g e b r a L i n e a r

M a t r i z d e u m a T r a n s f o r m a o L i n e a r

P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o

U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i s

C a m p u s J a t a

C o o r d e n a o d e M a t e m t i c a

2 4 d e n o v e m b r o d e 2 0 1 1
http://find/http://goback/


2/45



M a t r i z d e u m a

T r a n s f o r m a o

L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r t e I

M a t r i z d e u m a T r a n s f o r m a o L i n e a r


3/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

O b j e t i v o s d a A u l a


4/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

D e n i o

S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R

d e d i m e n s o m e n

r e s p e c t i v a m e n t e


5/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

D e n i o



r e s p e c t i v a m e n t e . C o n s i d e r e m o s u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r

F

:U

V


6/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

D e n i o




F

:U

V . D a d a s a s b a s e s B

= {u

1

, . . . ,u

n

}d e U e

C= {

v

1

, . . . ,v

m

}d e V


7/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

D e n i o




F

:U


= {u

1

, . . . ,u

n

}d e U e

C= {

v

1

, . . . ,v

m

}d e V , e n t o c a d a u m d o s v e t o r e s

F(

u

1

), . . . ,F

(u

n

)e s t e m V e c o n s e q u e n t e m e n t e c o m b i n a o

l i n e a r d a b a s e C


8/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

D e n i o




F

:U


= {u

1

, . . . ,u

n

}d e U e

C= {

v

1

, . . . ,v

m


F(

u

1

), . . . ,F

(u

n


l i n e a r d a b a s e C :

F(

u

1

) = 1 1

v

1

+ . . . + m 1

v

m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

F(

u

n

) = 1 n

v

1

+ . . . + m n

v

m


9/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

D e n i o




F

:U


= {u

1

, . . . ,u

n

}d e U e

C= {

v

1

, . . . ,v

m


F(

u

1

), . . . ,F

(u

n



F(

u

1

) = 1 1

v

1

+ . . . + m 1

v

m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

F(

u

n

) = 1 n

v

1

+ . . . + m n

v

m

D e s t e m o d o a m a t r i z m

n s o b r e R


10/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

D e n i o




F

:U


= {u

1

, . . . ,u

n

}d e U e

C= {

v

1

, . . . ,v

m


F(

u

1

), . . . ,F

(u

n



F(

u

1

) = 1 1

v

1

+ . . . + m 1

v

m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

F(

u

n

) = 1 n

v

1

+ . . . + m n

v

m


n s o b r e R

:

1 1

. . . 1 n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

m 1

. . . m n


11/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

D e n i o




F

:U


= {u

1

, . . . ,u

n

}d e U e

C= {

v

1

, . . . ,v

m


F(

u

1

), . . . ,F

(u

n



F(

u

1

) = 1 1

v

1

+ . . . + m 1

v

m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

F(

u

n

) = 1 n

v

1

+ . . . + m n

v

m


n s o b r e R

:

1 1

. . . 1 n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

m 1

. . . m n

c h a m a d a M a t r i z d e F e m r e l a o s b a s e s B e C


12/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

D e n i o




F

:U


= {u

1

, . . . ,u

n

}d e U e

C= {

v

1

, . . . ,v

m


F(

u

1

), . . . ,F

(u

n



F(

u

1

) = 1 1

v

1

+ . . . + m 1

v

m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

F(

u

n

) = 1 n

v

1

+ . . . + m n

v

m


n s o b r e R

:

1 1

. . . 1 n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

m 1

. . . m n

c h a m a d a M a t r i z d e F e m r e l a o s b a s e s B e C . U s a r e m o s

p a r a i n d i c a r e s s a m a t r i z a n o t a o

(F

)B

,C


13/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

S e F u m o p e r a d o r l i n e a r e c o n s i d e r a r m o s B = C , e n t o

d i r e m o s a p e n a s m a t r i z d e F e m r e l a o b a s e B p a r a i n d i c a r

a m a t r i z a c i m a d e n i d a e u s a r e m o s a n o t a o (

F)

B

p a r a

r e p r e s e n t - l a ;


14/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

S e F u m o p e r a d o r l i n e a r e c o n s i d e r a r m o s B = C , e n t o

d i r e m o s a p e n a s m a t r i z d e F e m r e l a o b a s e B p a r a i n d i c a r

a m a t r i z a c i m a d e n i d a e u s a r e m o s a n o t a o (

F)

B

p a r a

r e p r e s e n t - l a ;

S e m p r e q u e n o h a j a d v i d a s q u a n t o a o p a r d e b a s e s q u e

e s t a m o s c o n s i d e r a n d o e s c r e v e r e m o s a p e n a s (

F)

e m r e l a o a

e s s e p a r d e b a s e s .


15/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

E x a m p l e ( C l c u l o d a M a t r i z d a T r a n s f o r m a o L i n e a r )

C o n s i d e r e F: R3 R2

F(

x , y , z ) = (x + y , y + z )

Q u a l a m a t r i z d e F e m r e l a o s b a s e s :

B= {u

1

= (1 , 2 , 3 ); u

2

= (1 , 2 , 0 ); u

3

= (1 , 0 , 0 )} e

C= {

v

1

= (1

,0

);v

2

= (4

,5

)}?


16/45


17/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1



F(

x , y , z ) = (x + y , y + z )


B= {u

1

= (1 , 2 , 3 ); u

2

= (1 , 2 , 0 ); u

3

= (1 , 0 , 0 )} e

C= {

v

1

= (1

,0

);v

2

= (4

,5

)}?

P r i m e i r a m e n t e v e r i q u e m o s o s v a l o r e s d e F(

u

1

), F

(u

2

)e F

(u

3

).

F(

1,

2,

3) = (

3,

5)


18/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1



F(

x , y , z ) = (x + y , y + z )


B= {u

1

= (1 , 2 , 3 ); u

2

= (1 , 2 , 0 ); u

3

= (1 , 0 , 0 )} e

C= {

v

1

= (1

,0

);v

2

= (4

,5

)}?


u

1

), F

(u

2

)e F

(u

3

).

F(

1,

2,

3) = (

3,

5)

F(

1,

2,

0) = (

3,

2)


19/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1



F(

x , y , z ) = (x + y , y + z )


B= {u

1

= (1 , 2 , 3 ); u

2

= (1 , 2 , 0 ); u

3

= (1 , 0 , 0 )} e

C= {

v

1

= (1

,0

);v

2

= (4

,5

)}?


u

1

), F

(u

2

)e F

(u

3

).

F(

1,

2,

3) = (

3,

5)

F(

1,

2,

0) = (

3,

2)

F(

1,

0,

0) = (

1,

0)


20/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1



F(

x , y , z ) = (x + y , y + z )


B= {u

1

= (1 , 2 , 3 ); u

2

= (1 , 2 , 0 ); u

3

= (1 , 0 , 0 )} e

C= {

v

1

= (1

,0

);v

2

= (4

,5

)}?


u

1

), F

(u

2

)e F

(u

3

).

F(

1,

2,

3) = (

3,

5)

F(

1,

2,

0) = (

3,

2)

F(

1,

0,

0) = (

1,

0)

A g o r a e s c r e v a m o s o s v e t o r e s o b t i d o s c o m o c o m b i n a o l i n e a r d o s

v e t o r e s d a b a s e C


21/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(3 , 5 ) =

x

(1 , 0 ) +

y

(4 , 5 )


22/45





L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(3 , 5 ) =

x

(1 , 0 ) +

y

(4 , 5 )

= (x

,0

) + (4 y

,5 y

)



23/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(3 , 5 ) =

x

(1 , 0 ) +

y

(4 , 5 )

= (x

,0

) + (4 y

,5 y

)

= (x

+4 y

,5 y

)



24/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(3 , 5 ) =

x

(1 , 0 ) +

y

(4 , 5 )

= (x

,0

) + (4 y

,5 y

)

= (x

+4 y

,5 y

)

D e s t e m o d o o b t e m o s o s i s t e m a l i n e a r : x

+4 y

=3



25/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(3 , 5 ) =

x

(1 , 0 ) +

y

(4 , 5 )

= (x

,0

) + (4 y

,5 y

)

= (x

+4 y

,5 y

)


+4 y

=3

5 y=

5



26/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(3 , 5 ) =

x

(1 , 0 ) +

y

(4 , 5 )

= (x

,0

) + (4 y

,5 y

)

= (x

+4 y

,5 y

)


+4 y

=3

5 y=

5

C u j a s o l u o s e r x= 1 e y = 1



27/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(3 , 5 ) =

x

(1 , 0 ) +

y

(4 , 5 )

= (x

,0

) + (4 y

,5 y

)

= (x

+4 y

,5 y

)


+4 y

=3

5 y=

5

C u j a s o l u o s e r x= 1 e y = 1 .

L o g o :

(3 , 5 ) =

1

(1 , 0 ) +

1

(4 , 5 )



28/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1



F(

x , y , z ) = (x + y , y + z )


B= {u

1

= (1 , 2 , 3 ); u

2

= (1 , 2 , 0 ); u

3

= (1 , 0 , 0 )} e

C= {

v

1

= (1

,0

);v

2

= (4

,5

)}?


u

1

), F

(u

2

)e F

(u

3

).

F(

1,

2,

3) = (

3,

5) = 1 (1 , 0 ) + 1 (4 , 5 )

F(

1,

2,

0) = (

3,

2)

F(

1,

0,

0) = (

1,

0)


v e t o r e s d a b a s e C .



29/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(3

,2

) =x

(1

,0

) +y

(4

,5

)



30/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(3

,2

) =x

(1

,0

) +y

(4

,5

)= (

x,

0) + (

4 y,

5 y)



31/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(3

,2

) =x

(1

,0

) +y

(4

,5

)= (

x,

0) + (

4 y,

5 y)

= (x

+4 y

,5 y

)



32/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(3

,2

) =x

(1

,0

) +y

(4

,5

)= (

x,

0) + (

4 y,

5 y)

= (x

+4 y

,5 y

)

D e s t e m o d o o b t e m o s o s i s t e m a l i n e a r :

x + 4 y = 3



33/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(3

,2

) =x

(1

,0

) +y

(4

,5

)= (

x,

0) + (

4 y,

5 y)

= (x

+4 y

,5 y

)


x + 4 y = 3

5 y=

2



34/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(3

,2

) =x

(1

,0

) +y

(4

,5

)= (

x,

0) + (

4 y,

5 y)

= (x

+4 y

,5 y

)


x + 4 y = 3

5 y=

2

C u j a s o l u o s e r x= 7

5

e y= 2

5



35/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(3

,2

) =x

(1

,0

) +y

(4

,5

)= (

x,

0) + (

4 y,

5 y)

= (x

+4 y

,5 y

)


x + 4 y = 3

5 y=

2

C u j a s o l u o s e r x= 7

5

e y= 2

5

.

L o g o :

(3 , 2 ) =7

5

( 1 , 0 ) +2

5

(4 , 5 )




36/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1


F(

x , y , z ) = (x + y , y + z )


B= {u

1

= (1 , 2 , 3 ); u

2

= (1 , 2 , 0 ); u

3

= (1 , 0 , 0 )} e

C= {

v

1

= (1

,0

);v

2

= (4

,5

)}?


u

1

), F

(u

2

)e F

(u

3

).

F(

1,

2,

3) = (

3,

5) = 1 (1 , 0 ) + 1 (4 , 5 )

F(

1,

2,

0) = (

3,

2) =

7

5

(1

,0

) +2

5

(4

,5

)

F(

1,

0,

0) = (

1,

0)





37/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(1

,0

) =x

(1

,0

) +y

(4

,5

)



38/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(1

,0

) =x

(1

,0

) +y

(4

,5

)= (

x,

0) + (

4 y,

5 y)



39/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(1

,0

) =x

(1

,0

) +y

(4

,5

)= (

x,

0) + (

4 y,

5 y)

= (x

+4 y

,5 y

)



40/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(1

,0

) =x

(1

,0

) +y

(4

,5

)= (

x,

0) + (

4 y,

5 y)

= (x

+4 y

,5 y

)


x + 4 y = 1



41/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(1

,0

) =x

(1

,0

) +y

(4

,5

)= (

x,

0) + (

4 y,

5 y)

= (x

+4 y

,5 y

)


x + 4 y = 1

5 y=

0



42/45




L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(1

,0

) =x

(1

,0

) +y

(4

,5

)= (

x,

0) + (

4 y,

5 y)

= (x

+4 y

,5 y

)


x + 4 y = 1

5 y=

0

C u j a s o l u o s e r x=

1 e y=

0




43/45



L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1

P a r a t a n t o :

(1

,0

) =x

(1

,0

) +y

(4

,5

)= (

x,

0) + (

4 y,

5 y)

= (x

+4 y

,5 y

)


x + 4 y = 1

5 y=

0

C u j a s o l u o s e r x=

1 e y=

0 .

L o g o :

(1

,0

) =1

(1

,0

) +0

(4

,5

)





44/45



L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1


F(

x , y , z ) = (x + y , y + z )


B= {u

1

= (1 , 2 , 3 ); u

2

= (1 , 2 , 0 ); u

3

= (1 , 0 , 0 )} e

C= {

v

1

= (1

,0

);v

2

= (4

,5

)}?


u

1

), F

(u

2

)e F

(u

3

).

F(

1,

2,

3) = (

3,

5) = 1 (1 , 0 ) + 1 (4 , 5 )

F(

1,

2,

0) = (

3,

2) =

7

5

(1

,0

) +2

5

(4

,5

)

F(

1,

0,

0) = (

1,

0) =

1(

1,

0) +

0(

4,

5)







45/45



L i n e a r

O b s e r v a e s

E x e m p l o 1


F(

x , y , z ) = (x + y , y + z )


B= {u

1

= (1 , 2 , 3 ); u

2

= (1 , 2 , 0 ); u

3

= (1 , 0 , 0 )} e

C= {

v

1

= (1

,0

);v

2

= (4

,5

)}?


u

1

), F

(u

2

)e F

(u

3

).

F(

1,

2,

3) = (

3,

5) = 1 (1 , 0 ) + 1 (4 , 5 )

F(

1,

2,

0) = (

3,

2) =

7

5

(1

,0

) +2

5

(4

,5

)

F(

1,

0,

0) = (

1,

0) =

1(

1,

0) +

0(

4,

5)


v e t o r e s d a b a s e C . D e s t e m o d o a M a t r i z d a T r a n s f o r m a o L i n e a r

F e m r e l a o a s b a s e s B e C s e r :

(F

)B , C

=

1

7

5

1

1

2

5

0

aula de Álgebra linear - 24 de novembro

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