aula de Álgebra linear - 22 de novembro

8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 22 de Novembro

1/78

l g e b r a L i n e a r

T h i a g o V e d o V a t t o

C u r s o d e l g e b r a L i n e a r

I s o m o r s m o s e a M a t r i z d e u m a T r a n s f o r m a o L i n e a r

P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o

U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i s

C a m p u s J a t a

C o o r d e n a o d e M a t e m t i c a

2 2 d e n o v e m b r o d e 2 0 1 1
http://find/http://goback/


2/78



I s o m o r s m o s e

A u t o m o r s m o s

L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m

T r a n s f o r m a e s

L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

P a r t e I

I s o m o r s m o s e a M a t r i z d e u m a

T r a n s f o r m a o L i n e a r


3/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

O b j e t i v o s d a A u l a


4/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

N a n o s s a l t i m a a u l a v i m o s q u e


5/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

N a n o s s a l t i m a a u l a v i m o s q u e :

D e n i o ( I s o m o r s m o e A u t o m o r s m o )


6/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



E n t e n d e - s e p o r i s o m o r s m o d o e s p a o v e t o r i a l U n o e s p a o

v e t o r i a l V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F :

U V q u e s e j a b i j e t o r a


7/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o





U V q u e s e j a b i j e t o r a . U m i s o m o r s m o F

:U

U u m a u t o m o r s m o d e U .


8/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o






:U


P r o p o s i o

S e F u m i s o m o r s m o d e U e m V , e n t o F

1 : V U t a m b m u m i s o m o r s m o ( d e V e m U ) .


9/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o






:U


P r o p o s i o



A p r o p o s i o n o s m o s t r a q u e s e e x i s t e u m i s o m o r s m o F:

U

V

t a m b m e x i s t e u m i s o m o r s m o F

1 :V

U ( I s o m o r s m o

I n v e r s o d e F ) e d e v i d o a i s s o d i z e m o s ; n e s s e c a s o , q u e U e V s o

E s p a o s V e t o r i a i s I s o m o r f o s . D o i s e s p a o s v e t o r i a i s i s o m o r f o s U e

V m u i t a s v e z e s s o c o n s i d e r a d o s i n d i s t i n t o s


10/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o






:U


P r o p o s i o



A p r o p o s i o n o s m o s t r a q u e s e e x i s t e u m i s o m o r s m o F:

U

V

t a m b m e x i s t e u m i s o m o r s m o F

1 :V

U ( I s o m o r s m o

I n v e r s o d e F ) e d e v i d o a i s s o d i z e m o s ; n e s s e c a s o , q u e U e V s o

E s p a o s V e t o r i a i s I s o m o r f o s . D o i s e s p a o s v e t o r i a i s i s o m o r f o s U e

V m u i t a s v e z e s s o c o n s i d e r a d o s i n d i s t i n t o s . P a r a t a n t o , s e F o

i s o m o r s m o c o n s i d e r a d o d e U e m V , i d e n t i c a - s e c a d a e l e m e n t o

u

U c o m s u a i m a g e m F(

u)

V .


11/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

O s e g u i n t e r e s u l t a d o n o s p e r m i t e e s t a b e l e c e r u m a c a r a c t e r i z a o

p a r a o s i s o m o r s m o s e n t r e e s p a o s v e t o r i a i s d e d i m e n s o n i t a ,

e m t e r m o s d e d i m e n s o


12/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



e m t e r m o s d e d i m e n s o .

P r o p o s i o ( L e m a )

S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R

. S e d i m U=

n e

B= {u

1

, . . . , un

} u m a b a s e d e U


13/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o






. S e d i m U=

n e

B= {u

1

, . . . , un

} u m a b a s e d e U , e n t o , p a r a t o d a s e q u n c i a d e v

1

, . . . ,v

n

d e v e t o r e s d e V , a a p l i c a o F :

U

V , d e n i d a p o r

F

n

i

=1

i

u

i

=

ni

=1

i

v

i

l i n e a r e F (

u

i

) =v

i

(i

=1 , . . . , n )


14/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o






. S e d i m U=

n e

B= {u

1

, . . . , un


1

, . . . ,v

n


U


F

n

i

=1

i

u

i

=

ni

=1

i

v

i

l i n e a r e F (

u

i

) =v

i

(i

=1 , . . . , n ). A d e m a i s , s e G : U V

l i n e a r e G

(u

i

) =v

i

(i

=1

, . . . ,n

), e n t o G

=F


15/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o






. S e d i m U=

n e

B= {u

1

, . . . , un


1

, . . . ,v

n


U


F

n

i

=1

i

u

i

=

ni

=1

i

v

i

l i n e a r e F (

u

i

) =v

i

(i

=1 , . . . , n ). A d e m a i s , s e G : U V

l i n e a r e G

(u

i

) =v

i

(i

=1

, . . . ,n

), e n t o G

=F .

O s v e t o r e s v

1

, . . . ,v

n

n e s t e l e m a n o s o n e c e s s a r i a m e n t e d i s t i n t o s

e n t r e s i . P o d e m , i n c l u s i v e , s e r t o d o s i g u a i s . M a s o s

u

i

(i

=1

, . . . ,n

)s o d i s t i n t o s e n t r e s i p o i s B u m a b a s e d e U .


16/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

D e m o n s t r a o .

P a r a d e m o n s t r a r e s s e r e s u l t a d o d e v e m o s


17/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o


P a r a d e m o n s t r a r e s s e r e s u l t a d o d e v e m o s :

M o s t r a r q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r


18/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



M o s t r a r q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r B a s t a m o s t r a r q u e

F(

w

1

+w

2

) = F

(w

1

) +F

(w

2

)


19/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o




F(

w

1

+w

2

) = F

(w

1

) +F

(w

2

); ( E x e r c c i o )

M o s t r a r q u e F(

u

i

) =v

i


20/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o




F(

w

1

+w

2

) = F

(w

1

) +F

(w

2

); ( E x e r c c i o )


u

i

) =v

i

O b s e r v e m o s q u e


21/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o




F(

w

1

+w

2

) = F

(w

1

) +F

(w

2

); ( E x e r c c i o )


u

i

) =v

i

O b s e r v e m o s q u e :

F (u1

) = F (1 u1

+ 0 u2

. . . + 0 un

)


22/78





L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o




F(

w

1

+w

2

) = F

(w

1

) +F

(w

2

); ( E x e r c c i o )


u

i

) =v

i


F (u1

) = F (1 u1

+ 0 u2

. . . + 0 un

)

=1 v

1

+0 v

2

. . . +0 v

n



23/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o




F(

w

1

+w

2

) = F

(w

1

) +F

(w

2

); ( E x e r c c i o )


u

i

) =v

i


F (u1

) = F (1 u1

+ 0 u2

. . . + 0 un

)

=1 v

1

+0 v

2

. . . +0 v

n

=v

1



24/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o




F(

w

1

+w

2

) = F

(w

1

) +F

(w

2

); ( E x e r c c i o )


u

i

) =v

i


F (u1

) = F (1 u1

+ 0 u2

. . . + 0 un

)

=1 v

1

+0 v

2

. . . +0 v

n

=v

1

L o g o c a c l a r o q u e F(

u

i

) =v

i

.



25/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o


M o s t r a r q u e s e G:

U V l i n e a r e G (ui

) =v

i

, e n t o G=

F



26/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o




) =v

i

, e n t o G=

F

S e j a w

U



27/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o




) =v

i

, e n t o G=

F

S e j a w

U . E n t o w s e e s c r e v e d e m a n e i r a n i c a ,

c o m o w

= n

i

=1

i

u

i

. C o m o G l i n e a r

G(

w) =

G

n

i

=1

i

u

i



28/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o




) =v

i

, e n t o G=

F

S e j a w


c o m o w= n

i

=1

i

u

i


G(

w) =

G

n

i

=1

i

u

i

=

ni

=1

i

G

(u

i

)



29/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o




) =v

i

, e n t o G=

F

S e j a w


c o m o w= n

i

=1

i

u

i


G(

w) =

G

n

i

=1

i

u

i

=

ni

=1

i

G

(u

i

)

=

ni

=1

i

F(

u

i

)




30/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



) =v

i

, e n t o G=

F

S e j a w


c o m o w= n

i

=1

i

u

i


G(

w) =

G

n

i

=1

i

u

i

=

ni

=1

i

G

(u

i

)

=

ni

=1

i

F(

u

i

)

=F

ni

=1

iu

i




31/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



) =v

i

, e n t o G=

F

S e j a w


c o m o w= ni = 1 i u i . C o m o G l i n e a r

G(

w) =

G

n

i

=1

i

u

i

=

ni

=1

i

G

(u

i

)

=

ni

=1

i

F(

u

i

)

=F

ni

=1

iu

i

=

F

(w

)




32/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



) =v

i

, e n t o G=

F

S e j a w


c o m o w= ni = 1 i u i . C o m o G l i n e a r

G(

w) =

G

n

i

=1

i

u

i

=

ni

=1

i

G

(u

i

)

=

ni

=1

i

F(

u

i

)

=F

ni

=1

iu

i

=

F

(w

)

w , c o m o w a r b i t r r i o , G=

F .



33/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

P r o p o s i o ( T e o r e m a 2 )

D o i s e s p a o s U e V d e d i m e n s o n i t a s o i s o m o r f o s s e , e

s o m e n t e s e , d i m U=

d i m V



34/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

P r o p o s i o ( T e o r e m a 2 )

D o i s e s p a o s U e V d e d i m e n s o n i t a s o i s o m o r f o s s e , e

s o m e n t e s e , d i m U=

d i m V .


( E x e r c c i o )



35/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e

R



36/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o


R;

I n d i c a r e m o s p o r L

(U , V ), d a q u i p a r a f r e n t e , o C o n j u n t o d a s

T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s d e U e m V



37/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o


R;

I n d i c a r e m o s p o r L

(U , V ), d a q u i p a r a f r e n t e , o C o n j u n t o d a s

T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s d e U e m V ;

S e U =V , o C o n j u n t o d o s O p e r a d o r e s L i n e a r e s d e U s e r

d e n o t a d o p o r L(

U)

.



38/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

D e n i o ( S o m a d e T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s )



39/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o


D a d o s F , G L (U , V ), d e n i m o s a s o m a F + G d a s t r a n s f o r m a e s l i n e a r e s F c o m G d a s e g u i n t e m a n e i r a



40/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o


D a d o s F , G L (U , V ), d e n i m o s a s o m a F + G d a s t r a n s f o r m a e s l i n e a r e s F c o m G d a s e g u i n t e m a n e i r a :

F+

G:

U V e (F + G )(u ) = F ( u ) + G (u ),u U



41/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

A a p l i c a o s o m a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r , b a s t a

d e m o n s t r a r q u e

F,

G

L(

U,

V)

e R



42/78




L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



F,

G

L(

U,

V)

e R

: ( V e r i c a r c o m o

E x e r c c i o )

(F

+G

)(u

1

+u

2

) = (F

+G

)(u

1

) + (F

+G

)(u

2

)




43/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



F,

G

L(

U,

V)

e R


E x e r c c i o )

(F

+G

)(u

1

+u

2

) = (F

+G

)(u

1

) + (F

+G

)(u

2

)

P a r a a a d i o

(F

,G

) F

+G e m L

(U

,V

)v a l e m a s s e g u i n t e s

p r o p r i e d a d e s F , G , H L (U , V )




44/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



F,

G

L(

U,

V)

e R


E x e r c c i o )

(F

+G

)(u

1

+u

2

) = (F

+G

)(u

1

) + (F

+G

)(u

2

)

P a r a a a d i o

(F

,G

) F

+G e m L

(U

,V


p r o p r i e d a d e s F , G , H L (U , V ): ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )

A s s o c i a t i v a




45/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



F,

G

L(

U,

V)

e R


E x e r c c i o )

(F

+G

)(u

1

+u

2

) = (F

+G

)(u

1

) + (F

+G

)(u

2

)

P a r a a a d i o

(F

,G

) F

+G e m L

(U

,V



A s s o c i a t i v a F+ (

G+

H) = (

F+

G) +

H




46/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



F,

G

L(

U,

V)

e R


E x e r c c i o )

(F

+G

)(u

1

+u

2

) = (F

+G

)(u

1

) + (F

+G

)(u

2

)

P a r a a a d i o

(F

,G

) F

+G e m L

(U

,V




G+

H) = (

F+

G) +

H ;

C o m u t a t i v a




47/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



F,

G

L(

U,

V)

e R


E x e r c c i o )

(F

+G

)(u

1

+u

2

) = (F

+G

)(u

1

) + (F

+G

)(u

2

)

P a r a a a d i o

(F

,G

) F

+G e m L

(U

,V




G+

H) = (

F+

G) +

H ;

C o m u t a t i v a F+

G=

G+

F




48/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



F,

G

L(

U,

V)

e R


E x e r c c i o )

(F

+G

)(u

1

+u

2

) = (F

+G

)(u

1

) + (F

+G

)(u

2

)

P a r a a a d i o

(F

,G

) F

+G e m L

(U

,V




G+

H) = (

F+

G) +

H ;


G=

G+

F ;

E l e m e n t o N e u t r o




49/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



F,

G

L(

U,

V)

e R


E x e r c c i o )

(F

+G

)(u

1

+u

2

) = (F

+G

)(u

1

) + (F

+G

)(u

2

)

P a r a a a d i o

(F

,G

) F

+G e m L

(U

,V




G+

H) = (

F+

G) +

H ;


G=

G+

F ;

E l e m e n t o N e u t r o A t r a n s f o r m a o l i n e a r n u l a 0 :

U

V

t a l q u e F+

0=

F




50/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



F,

G

L(

U,

V)

e R


E x e r c c i o )

(F

+G

)(u

1

+u

2

) = (F

+G

)(u

1

) + (F

+G

)(u

2

)

P a r a a a d i o

(F

,G

) F

+G e m L

(U

,V




G+

H) = (

F+

G) +

H ;


G=

G+

F ;


U

V

t a l q u e F+

0=

F ;

E l e m e n t o O p o s t o




51/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



F,

G

L(

U,

V)

e R


E x e r c c i o )

(F

+G

)(u

1

+u

2

) = (F

+G

)(u

1

) + (F

+G

)(u

2

)

P a r a a a d i o

(F

,G

) F

+G e m L

(U

,V




G+

H) = (

F+

G) +

H ;


G=

G+

F ;


U

V

t a l q u e F+

0=

F ;

E l e m e n t o O p o s t o P a r a t o d a t r a n s f o r m a o l i n e a r F e x i s t e a

t r a n s f o r m a o (

F)

t a l q u e F+ (

F) =

0 .




52/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

D e n i o ( P r o d u t o d e T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s )




53/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o


D a d o s F L (U , V ) e R , d e n i m o s a p r o d u t o F d e F p o r d a s e g u i n t e m a n e i r a




54/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o


D a d o s F L (U , V ) e R , d e n i m o s a p r o d u t o F d e F p o r d a s e g u i n t e m a n e i r a :

F : U V e ( F )(u ) = F (u ),u U




55/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

A a p l i c a o p r o d u t o t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,

b a s t a d e m o n s t r a r F L (U , V ) e , R




56/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o


b a s t a d e m o n s t r a r F L (U , V ) e , R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )

(F )( u1

+u

2

) = F ( u1

) + F (u2

)




57/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(F )( u1

+u

2

) = F ( u1

) + F (u2

)

P a r a a m u l t i p l i c a o

R

L

(U

,V

) F e m L

(U

,V

)v a l e m

a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s , R e F , G L ( U , V )




58/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(F )( u1

+u

2

) = F ( u1

) + F (u2

)


R

L

(U

,V

) F e m L

(U

,V

)v a l e m

a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s , R e F , G L ( U , V ) :( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )





59/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(F )( u1

+u

2

) = F ( u1

) + F (u2

)


R

L

(U

,V

) F e m L

(U

,V

)v a l e m


A s s o c i a t i v a ()

F= (

F)




60/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(F )( u1

+u

2

) = F ( u1

) + F (u2

)


R

L

(U

,V

)

F e m L

(U

,V

)v a l e m



F= (

F)

;

D i s t . d a S o m a d o s E s c a l a r e s




61/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(F )( u1

+u

2

) = F ( u1

) + F (u2

)


R

L

(U

,V

)

F e m L

(U

,V

)v a l e m



F= (

F)

;

D i s t . d a S o m a d o s E s c a l a r e s ( + )

F=

F+

F




62/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(F )( u1

+u

2

) = F ( u1

) + F (u2

)


R

L

(U

,V

)

F e m L

(U

,V

)v a l e m



F= (

F)

;


F=

F+

F ;

D i s t . d a S o m a d a s T r a n s f o r m a e s




63/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(F )( u1

+u

2

) = F ( u1

) + F (u2

)


R

L

(U

,V

)

F e m L

(U

,V

)v a l e m



F= (

F)

;


F=

F+

F ;

D i s t . d a S o m a d a s T r a n s f o r m a e s (F + G ) = F + G




64/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(F )( u1

+u

2

) = F ( u1

) + F (u2

)


RL

(U

,V

) F e m L

(U

,V

)v a l e m



F= (

F)

;


F=

F+

F ;

D i s t . d a S o m a d a s T r a n s f o r m a e s (F + G ) = F + G ;E l e m e n t o N e u t r o




65/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(F )( u1

+u

2

) = F ( u1

) + F (u2

)


RL

(U

,V

) F e m L

(U

,V

)v a l e m



F= (

F)

;


F=

F+

F ;

D i s t . d a S o m a d a s T r a n s f o r m a e s (F + G ) = F + G ;E l e m e n t o N e u t r o 1 F

=F .




66/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

D e n i o ( C o m p o s i o d e T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s )




67/78



L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

D e n i o ( C o m p o s i o d e T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s )

S e j a m U , V e W e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R

. S e F :

U

V e

G:

V W s o t r a n s f o r m a e s l i n e a r e s , d e n i - s e a a p l i c a o c o m p o s t a F

G d e F e G d a s e g u i n t e m a n e i r a :

G F : U W e (G F )(u ) = G (F (u )),u U




A a p l i c a o c o m p o s t a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,


68/78


L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o

b a s t a d e m o n s t r a r q u e

F , G L (U , V ) e R





( )


69/78


L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o


F , G L (U , V ) e R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )

(G

F)( u

1

+u

2

) = (G F )(u1

) + (G

F)(

u

2

)





( ) R


70/78


L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(G

F)( u

1

+u

2

) = (G F )(u1

) + (G

F)(

u

2

)

N o c a s o e m q u e U

=V

=W . P o i s q u a n d o i s s o a c o n t e c e

(G

,F

) G

F p a s s a a s e r u m a o p e r a o e m L

(U

)q u e

a p r e s e n t a a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s

F,

G,

H

L(

U)





( ) R


71/78


L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(G

F)( u

1

+u

2

) = (G F )(u1

) + (G

F)(

u

2

)


=V


(G

,F

) G

F p a s s a a s e r u m a o p e r a o e m L

(U

)q u e


F,

G,

H

L(

U)

:

( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )






( ) R


72/78


L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(G

F)( u

1

+u

2

) = (G F )(u1

) + (G

F)(

u

2

)


=V


(G

,F

) G

F p a s s a a s e r u m a o p e r a o e m L(

U)

q u e


F,

G,

H

L(

U)

:


A s s o c i a t i v a (

H G ) F = H (G F )





( ) R


73/78


L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(G

F)( u

1

+u

2

) = (G F )(u1

) + (G

F)(

u

2

)


=V


(G

,F

) G


U)

q u e


F,

G,

H

L(

U)

:



H G ) F = H (G F );E l e m e n t o N e u t r o





( ) R


74/78


L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(G

F)( u

1

+u

2

) = (G F )(u1

) + (G

F)(

u

2

)


=V


(G

,F

) G


U)

q u e


F,

G,

H

L(

U)

:



H G ) F = H (G F );E l e m e n t o N e u t r o I

F

=F

I=

F , o n d e I o o p e r a d o r

i d n t i c o





( ) R


75/78


L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(G

F)( u

1

+u

2

) = (G F )(u1

) + (G

F)(

u

2

)


=V


(G

,F

) G


U)

q u e


F,

G,

H

L(

U)

:




F

=F

I=


i d n t i c o ;

D i s t r i b u t i v a d a A d i o





( ) R


76/78


L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(G

F)( u

1

+u

2

) = (G F )(u1

) + (G

F)(

u

2

)


=V


(G

,F

) G


U)

q u e


F,

G,

H

L(

U)

:




F

=F

I=


i d n t i c o ;

D i s t r i b u t i v a d a A d i o H (

F+

G) =

H

F+

H

G






( ) R


77/78

L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(G

F)( u

1

+u

2

) = (G F )(u1

) + (G

F)(

u

2

)


=V


(G

,F

) G


U)

q u e


F,

G,

H

L(

U)

:




F

=F

I=


i d n t i c o ;


F+

G) =

H

F+

H

G e

(F

+G

) H

=F

H+

G

H






( ) R


78/78

L e m a

T e o r e m a 2

O p e r a e s c o m


L i n e a r e s

S o m a

P r o d u t o p o r

E s c a l a r

C o m p o s i o



(G

F)( u

1

+u

2

) = (G F )(u1

) + (G

F)(

u

2

)


=V


(G

,F

) G


U)

q u e


F,

G,

H

L(

U)

:




F

=F

I=


i d n t i c o ;


F+

G) =

H

F+

H

G e

(F

+G

) H

=F

H+

G

H ;

aula de Álgebra linear - 22 de novembro

Documents