Álgebra linear - notas de aula
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AULA: 17.08.09 ÁLGEBRA LINEAR – José Américo ENGENHARIA DE PRODUÇÃO - UEZO CONTEÚDO BÁSICO
I. Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes II. Espaços vetoriais e bases III. Transformações lineares, autovalores e autovetores IV. Aplicações em programação linear
REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO
� Boldrini, - Álgebra Linear Editora
� Steinbruch, Alfredo – Álgebra Linear Editora MacGraw Hill
� Kolman, J. – Álgebra Linear e Aplicações Editora LTC, 1982
� Hoffman & Kunze – Álgebra Linear Editora LTC, 1976
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AULA: 18.08.09
MATRIZES
Revisão sobre matrizes, operações e propriedades
Uma matriz é um arranjo de objetos (números, vetores, funções etc.) dispostos em linhas e colunas.
A representação clássica para matrizes é a seguinte:
� � � ��� � �
Onde,
��� são os elementos ( que em geral serão números reais );
m = número de linhas;
n = número de colunas;
Note que
� � 1, 2, … ,� � � � � � 1, 2, … , � �
A ordem de uma matriz é o número de linhas pelo de colunas, ou seja: m x n. Exemplo 1
Construir a matriz � � � �� � � � � tal que � � � � 3� � ��
� � ���� ������ ������ ��� � � � 2 � 1 5 2 8 5 �
Se � " � , dizemos que � � � �� � � � é uma matriz retangular
Se � � �, então diz-se que A é um matriz quadrada.
Dizemos que duas matrizes � � � �� � � � e # � � $� � � � são iguais se somente se
%& ' � ( , ) & � '
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AULA: 18.08.09
Exemplo 2
Sejam as matrizes
A � � �1 x� � 1 4 1 � x � e B � � Y� 0 X� 3 � Se A e B são iguais, determine 23 4 56�
5� � �1 7 5� � 1 ; 5� � �1 3� � 0 7 23 � 16 23 4 16 � 0 7 3� � 1 ; 3� � �1 3� � 4 7 3 � 9 2 7 3� � 2 ; 3: � �2 1 � 3 � 3 7 3; � �2
I. 25� 4 3�6� 7 2� 4 16� 7 �� 4 2� 4 1 � 2� II. 25� 4 3�6� 7 2� 4 16� 7 �� � 2� 4 1 � �2� III.
Dizemos que uma matriz é nula quando todos os seus elementos são iguais a zero.
Uma matriz quadrada é diagonal se somente se %& ' � ( , ) & " ' e os a= = não são todos nulos.
EXEMPLO 3
� � F1 0 00 0 00 0 � 1G
MATRIZ IDENTIDADE
É uma matriz quadrada tal que %& ' � ( , ) & " ' e %& & � H
Geralmente, usa-se a notação abaixo:
I� � matriz Identidade de ordem �
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AULA: 18.08.09
EXEMPLO 4
I� � � 1 0 00 1 00 1 0 �
EXEMPLO 5
Considere o polinômio dado por ƒ236 � 3� � 53 4 6 e seja a matriz
� � O�1 1 0 1 P 2 x 2
Determine:
a) ƒ2�6 b) ƒ2��6
Solução:
a) ƒ2�6 � �� � 5� 4 6
�� � � . � � � �1 1 7 0 1 � � Q �1 Q 1 0 1 �
� 1 4 0 �1 4 1 0 4 0 0 4 1 � 7 � 1 0 0 1� 2x2
�5� � �5 � �1 1 0 1 � 7 � 5 � 5 0 � 5 � 2x2
6 . I� � 6. � 1 0 0 1 � 7 � 6 0 0 6 �
ƒ2�6 � � 1 0 0 1 � 4 � 5 � 5 0 � 5 � 4 � 6 0 0 6 � � � 12 � 5 0 2 �
Multiplica pela matriz identidade de mesma ordem
5
AULA: 18.08.09
Solução: b) ƒ2��6 2��6� � R 2�16� S� � �� ��� � O 1 0 0 1 P 2x2
5� � ��5 5 0 5 � 2x2
6. I� � � 6 0 0 6 �
ƒ2��6 � � 1 0 0 1 � 4 � �5 5 0 5 � 4 � 6 0 0 6 � � � 2 5 0 12 �
AULA: 24.08.09
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Sejam � � � �� � � � e # � � $� � � � duas matrizes de mesma ordem e seja T � UV .
Definimos:
1. A adição de A e B, pela expressão � 4 # � � �� � � 4 � $� � � �
2. A multiplicação por escalar T � � � T �� � � �
3. A Subtração � � # � � 4 2�#6 � � �� � � � � $� � � �
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AULA: 24.08.09
EXEMPLOS
1. Sejam � � O �1 3 5 7 P e # � O 2 �4 �1 �3 P. Pede-se:
a) � 4 #,�2# � # � �
b) Determine uma matriz X tal que � 4 X � � � #
Solução:
a) � 4 # � O 1 �1 4 4 P �2# � O �4 8 2 6 P
# � � � O 3 �7 �6 �10 P
b) X � �� # � �
7 � 1 �7 Y� � �10 � � � 1 3 5 7 � 7 � 2 �5 Y��� Y�Z� �
c) Determinar as matrizes x e y, tais que [ 3 4 5 � � 4 #23 � 5 � # � �� 33 � 2# 7 3 � �� B
X � \ :� Y] � Y� � �2 ^ X � \ :� Y] � Y� � �2 ^ , daí
_ � ` 1 �1 4 4 a � \ :� Y] � Y� � �2 ^ 7 \ Y� � ; � �: � 6 ^
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AULA: 24.08.09
PROPRIEDADES
1. � 4 # � # 4 �
2. � 4 2# 4 b6 � 2� 4 #6 4 b
3. T 2#�6 � 2T#6 �
4. (T 4 #6 � � T 4 #�
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Sejam � � � �� � � � c e # � � $ � �� c .A matriz produto de A por B , indicada por AB é dada por
Na prática, multiplicam-se as linhas de A pelas colunas de B e soma-se para obter cada elemento
EXEMPLO
2. Dados � � � �1 3 5 2 4 � 3 � e # � O 2 1 0 �1 4 5 P
Calcular:
a) �. #
b) #. �
Solução:
a) �. # � � �1 3 5 2 4 � 3 � O 2 1 0 �1 4 5 P
a) �deeef2�16. 2 4 3 . 2�16 2�16. 1 4 3 . 4 2�16. 0 4 3. 5 5. 2 4 22�16 5. 1 4 2. 4 5. 0 4 2. 5 4. 2 4 2�362�16 4 .1 4 2�36 . 4 4 . 0 4 2�36. 5
ghhhi
� � �5 11 15 8 13 10 11 �8 15 �
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AULA: 24.08.09
b) #. � � O 2 1 0 �1 4 5 P � �1 3 5 2 4 � 3 �
b) � F 22�16 4 1.5 4 0.4 2.3 4 1.2 4 02�36 2�162�16 4 4.5 4 5.4 2�16. 3 4 4.2 4 52�36 G
� O 3 8 41 �10 P
Note que �# " #�
Conclusão: A multiplicação não é uma operação comutativa.
MATRIZ TRANSPOSTA
Dada uma matriz � � � �� �� �
EXEMPLO 3
Dado � � � �1 3 5 2 4 � 3 � , determine At
temos:
At � O �1 5 4 3 2 � 3 P
PROPRIEDADES
1. 2�j6j � �
2. 2� 4 # 6j � �j 4 #j
3. 2� � #6j � �j � #j
4. 2�. #6j � #j . �j
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AULA: 24.08.09
MATRIZ QUADRADA
É toda matriz quadrada tal que os elementos acima da diagonal principal ou abaixo são nulos.
DETERMINANTE
Definimos o determinante de uma Mariz quadrada � � � �� � � � , e indicamos por det A ou 2� 6 ao número real tal que:
1) Det O a bc d P � ad � bc
2) Det � a�� a�� a��a�� a�� a�� a�� a�� a�� �
deeef a�� a�� a�� | a�� a�� a�� a�� a�� | a�� a�� a�� a�� a�� | a�� a��
ghhhi
� � � 4 4 4
REGRA DE LAPLACE
Det deeef a�� a�� a�� a�� a�� a�� a�� a�� a��
ghhhi
� a�� det � a�� a�� a�� a�� � � a�� det � a�� a�� a�� a�� � 4 a�� det � a�� a�� a�� a�� �
EXEMPLO 5
Calcule:
a) det deeef�1 2 5 0 1 3 3 �2 4
ghhhi �
deeef�1 2 5 | �1 2 0 1 3 | 0 1 3 �2 4 | 3 �2
ghhhi � �4 4 18 4 0 � 0 � 6 � 15 � �7
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AULA: 24.08.09
EXEMPLO 6
Encontre o valor de X tal que:
det deeef X 1 �1 2 �1 2 X �3 �2
ghhhi � 6
deeef X 1 �1 | X 1 2 �1 2 | 2 �1 X �3 �2 | X �3
ghhhi � 6
� 2X 4 3X 4 6 4 4 4 9X � X � 6 7 13X � �4 7 X � � 413
AULA: 25.08.09
PROPRIEDADES
1. det 2�. #6 � det � . det #
2. det 2� 6j � det �
3. o�p U � 1 , q�o� U é � ��pr�s �o��p�o�o� o� qro�� �
4. Se � é uma matriz quadrada diagonal, ou seja,
A � F a�� 0 t 00 a�� t 0u u v u 0 0 t aw wG
Então, det � � a�� . a��t aw w ( produto dos elementos da diagonal )
5. ( Generalização de 1) det � 2 a� . a�t aw 6 � det A� . det A�t det Aw
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AULA: 25.08.09
MATRIZ INVERSA
Diz-se que uma matriz quadrada A possui inversa # 2 qx �Y�6 se somente se: �. # � #. � � U�
Cálculo da Inversa:
Propriedade: � � R�� �S possui inversa se somente se � " 0
EXEMPLO 1
Seja � � � a b c d � � ad � bc " 0
Considere X � y x y z w | tal que �3 � 3� � U�
Determine x, y, z e w.
Temos:
� � F a b 7 c d 7 G y x y Q Qz w | � O 1 00 1 P
[ �o 4 $s � 1 �5 4 $} � 0� e [ ~3 4 os � 0 ~5 4 o} � 1�
[ �3 4 $s � 1 2o6 ~3 4 os � 0 2�$6�
� �o3 4 $os � o�~$3 � $os � 0 � 2�o � $~63 � o 7 3 � o�o � $~
Substituindo-se, temos: ~o�o � $~ 4 os � 0 7 3 � �~�o � $~
Logo,
3 � oo�p � � s � �~o�p�
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AULA: 25.08.09
Agora,
� �5 4 $} � 0 2o6 ~5 4 o} � 1 2�$6 �
[ �o5 4 $o} � 0 �~$5 � $o} � �$ � 2�o � $~65 � �$ 7 5 � �$o�p�
Conclusão:
X � 1o�p� � yx y z w|
Note que, para matrizes de grande porte, esse processo é lento e demorado. Por isso, vamos utilizar o
método das operações elementares (OE).
As OE são realizadas apenas sobre as linhas da matriz.
As operações permitidas são:
OE1: Permutar Linhas
�� � ��
OE2: Multiplicar uma linha por um número real não-nulo.
�� � T��
OE3: Permutar uma linha pela soma dessa linha com o múltiplo de outra
�� � �� 4 T��
Usando a técnica das OE para inversão de matrizes, devemos observar os seguintes passos:
1. Verificar se o�p� " 0
2. Colocar, lado a lado, a matriz � e a matriz U� e utilizar as OE até que
RA | InS 7 OE RIn | AY�S
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AULA: 25.08.09 EXEMPLO 2
Dado � � � �1 3 2 1 � determine �Y� usando OE
Temos:
��1 3 | 1 0 2 1 | 0 1 � �� � 2�16 ��
� 1 �3 | �1 0 2 1 | 0 1 � �� � �� � 2��
� 1 �3 | �1 0 0 7 | 2 1 � �� � ��Z
\ 1 �3 | �1 0 0 1 | �Z �Z^ �� � �� 4 3��
F 1 0 | � �Z �Z 0 1 | �Z �Z G �� � �� 4 3��
Logo, �Y� � F� �Z �Z �Z �Z G
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AULA: 25.08.09
EXEMPLO 3
Determine a inversa da matriz
� �deeef�1 2 �2 3 �1 6 1 �3 3
ghhhi
Temos:
� �deeef �1 2 �2 | 1 0 0 3 �1 6 | 0 1 0 1 �3 3 | 0 0 1
ghhhi �� � 2�16 ��
� �deeef 1 � 2 2 | �1 0 0 3 �1 6 | 0 1 0 1 �3 3 | 0 0 1
ghhhi �� � 2�16 ��
� �deeef 1 �2 2 | �1 0 0 3 �1 6 | 0 1 0 1 �3 3 | 0 0 1
ghhhi �� � �� � 3�� �� � �� � ��
� �deeef 1 �2 2 | �1 0 0 0 5 0 | 3 1 0 0 �1 1 | 1 0 1
ghhhi �� � 15 �� �� � 2�16��
� �deeeef 1 �2 2 | �1 0 0 0 1 0 | 35 15 0 0 1 �1 | �1 0 �1
ghhhhi �� � �� 4 2�� �� � �� � ��
� �deeeeef 1 0 2 | 15 25 0 0 1 0 | 35 15 0 0 0 1 | � 85 �15 �1
gh
hhhhi �� � 2�16��
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AULA: 25.08.09
� �deeeeef 1 0 2 | 15 25 0 0 1 0 | 35 15 0 0 0 1 | 85 15 1
ghhhhhi �� � �� � 2��
� �deeef 1 0 0 | �3 0 2 0 1 0 | 35 15 0 0 0 1 | 85 15 1 ghh
hi �� � �� � 2��
Logo,
�Y� �deeef�3 0 235 15 085 15 1ghh
hi
EXERCÍCIO:
Determine a inversa se possível
a)
deeef �3 1 4 5 �2 �1 6 0 �7
ghhhi
b)
deeeeef�2 1 0 4 1 �3 1 �2 �1 5 2 6 3 �6 0 �5
ghhhhhi
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AULA: 31.08.09
SISTEMAS LINEARES A história da matemática relata que os problemas do cotidiano sempre nos levaram a criar modelos matemáticos para explicar os fenômenos envolvidos no processo. Atualmente, várias áreas do conhecimento ( Engenharia, Física, Medicina, etc. ) usam sistemas lineares para resolver problemas oriundos da realidade. Por exemplo, sabemos que o hidrogênio (H�6 reage com o oxigênio (O�6 para produzir (H�O6. A pergunta é: “quanto de H� e O� precisamos?” Tal pergunta corresponde à relação xH� 4 yO� 7 zH�O Como não há modificação na quantidade de átomos, obtemos que há igualdade entre esse número
no início e no fim da reação, ou seja:
23 � 2s 2 ��r� q ��6 25 � s 2 ��r� q ��6
Daí obtemos o sistema linear
2U6 [ 23 � 2s � 0 25 � s � 0�
Para compreender tal reação devemos encontrar um termo (x,y,z) que satisfaça simultaneamente
as equações do sistema 2U6.
Em sistemas de pequeno porte 2 3 x 3; 4 x 46 há métodos diretos de busca da solução. Porém,
para sistemas mais complexos 2200 x 300; 1024 x 1780; �p~6 é necessário desenvolver ferramentas mais
eficientes para resolve-los ( ou apenas saber se possuem solução ).
DEFINIÇÃO 1: um sistema linear de � equações e � incógnitas é uma expressão do tipo:
2U6 ����� a��x� 4 a��x�t4 a�wxw � b� a��x� 4 a��x�t 4 a�wxw � b� u u u u a��x� 4 a��x�t4 a�wxw � b�
�
Em termos matriciais podemos representar 2U6 na forma �x � #,
Onde:
R � S � � �� �� � é a matriz dos coeficientes
R # S � � #� �� � � é a matriz coluna dos termos independentes
3 � R 3 �S � é a matriz das incógnitas
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AULA: 31.08.09
Uma outra matriz associada ao sistema 2U6 é a matriz ampliada 2��6 definida por
�� � R� u #S � � 2 � �6
DEFINIÇÃO 2: Uma solução de 2U6 é uma ênupla 2X� , X� t ,X 6 que satisfaz simultaneamente às m
equações.
DEFINIÇÃO 3: Dois sistemas A�x� � B� e A�x� � B� são equivalentes, se somente se, possuem a mesma
solução.
EXEMPLO 1
Seja o sistema
[ 23 4 5 � 3 3 � 5 � 5 � 33 � 8 7 3 � 83 5 � 83 � 5 7 5 � �7 3
Agora, na forma matricial
� 2 1 1 �1� � � X Y � � y 3 5 |
A matriz ampliada 2��6 será:
� 2 1 | 3 1 �1 | 5 � �� � �� �� � ��
Usando OE, temos:
` 1 �1 | 52 1 | 3 a �� � �� � 2��
` 1 �1 | 50 3 | �7 a �� � �� ��
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AULA: 31.08.09
\ 1 �1 | 5 0 1 | � Z� ^ �� � �� 4 ��
F 1 0 | ]� 0 1 | � Z� G
Assim, o sistema equivalente é
� 3 � ]� 5 � � Z� �
DEFINIÇÃO 4: Dada uma matriz A� � w , dizemos que B� � w é linha reduzida equivalente à matriz A, se
somente se, B for obtida de A por um n finito de operações elementares ( OE ).
DEFINIÇÃO 5: Dada uma matriz A� � w , dizemos que B� � w é linha reduzida na forma escada equivalente à
A, se somente se,
1. O primeiro elemento não-nulo da primeira linha não-nula é 1
2. Coluna que contém o primeiro elemento não-nulo de cada linha possui todos os outros elementos
iguais a zero.
3. Toda linha nula ocorre abaixo das linhas não nulas
4. ( Escada ) o número de zeros à frente do primeiro elemento não-nulo aumenta até que só restam
zeros
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AULA: 31.08.09
EXEMPLO 2
�1 00 10 0� forma escada!
P=2
�1 0 0 00 �1 0 00 0 0 1� não é escada!
�0 2 11 0 30 0 0� não é escada!
�0 1 �3 0 20 0 0 1 20 0 0 0 0� forma escada!
DEFINIÇÃO 6: Seja B� � w a matriz linha reduzida à forma escada de A� � w . Então o posto 2�6 da matriz A
é o numero de linhas não-nulas de B. A nulidade ( de grau de liberdade – GL ) é o número 2� � �6
AULA: 01.09.09
TEOREMA 1: Considere um sistema linear de m equações e n incógnitas. Esse sistema poderá ser:
a. Compatível, se somente se P�� � P�� , ou seja, possui solução se somente se o ponto da matriz
ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.
b. Compatível e determinado, se somente se, P�� � P�� � n , ou seja, nesse caso possui solução
única.
c. Incompatível, se somente se, P�� " P�� , ou seja, não possui solução.
d. Compatível e indeterminado, se somente se P�� � P�� � P � �
Aqui o sistema possui infinitas soluções e as soluções são dadas em função do número de variáveis
livres ou grau de liberdade ( GL ) dado por:
�� � � � � 2 q�o� � é q �ú��rq o� ��~ó���p�� 6
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AULA: 01.09.09
Exemplo 1: Retornando ao exemplo da reação
xH� 4 yO� 7 zH�O
Já vimos que o sistema obtido é
23 � 2s � 0 25 � s � 0�
Passando à forma matricial, a matriz ampliada será:
� 2 0 �2 | 0 0 2 �1 | 0�
� 2 0 �2 | 0 0 2 �1 | 0� �� � �� �� �� � �� ��
\ 1 0 �1 u 0 0 1 � �� u 0^ �� � �� �� �� � �� ��
P�� � 2 � P�� 7 compatível
Como, � � 2 � 3, então temos
�� � � � � 7 3 � 2 � 1 ( variável livre ) � � 1
Logo, retornando ao sistema inicial temos:
¤ x � z � 0 y � �� z � 0 � 7 � 3 � s ; 3 � ¥� 5 � � � s �
Assim uma solução particular, para s � 2 , temos:
3 � 2 � 5 � 1
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AULA: 01.09.09
deeef 1 0 0 0 | �3 0 1 0 0 | �1 0 0 0 0 | 1
ghhhi
Mc
Ma
P�� � 3 2 número de linhas não nulas 6 ; P�� � 2 2 número de linhas não nulas 6
EXEMPLO 2
Determine o posto e a nulidade ( se houver ) da matriz:
deeef 1 2 1 0 �1 0 3 5 1 �2 1 1
ghhhi
Solução:
deeef 1 2 1 0 �1 0 3 5 1 �2 1 1
ghhhi �� � �� 4 �� �� � �� � ��
deeef 1 2 1 0 0 2 4 5 0 �4 0 1
ghhhi
�� � 12 �� �� � �14 ��
deeeef 1 2 1 0 0 1 2 52 0 1 0 �14
ghhhhi �� � �� � 2 �� �� � �� � ��
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AULA: 01.09.09
deeeeef 1 0 �3 �5 0 1 2 52 0 0 �2 �114
ghhhhhi �� � �12 ��
deeeef 1 0 �3 �5 0 1 2 ;� 0 0 1 � ��]
ghhhhi → Pa � 3 ;
�� � � � � 7 4 � 3 � 1 2 q�o� � é �º o� ~q�x��� 6
MÉTODO DA ELIMINAÇÃO GAUSSIANA OU MÉTODO DE GAUSS
Consiste em, utilizar OE para transformar a matriz ampliada em matriz triangular superior.
A → OE1 A1 → OE2 A2 → OE3 t → OEn An ; onde An é triangular superior.
Depois o sistema será resolvido por substituição.
EXEMPLO 3
1º 2�6 3 4 5 � 2 53 � 45 � 1�
23
AULA: 01.09.09
Temos:
� 1 1 | 2 5 �4 | 1 � �� � �� � 5 ��
� 1 1 | 2 0 �9 | �9 � �� � �19 ��
� 1 1 | 2 0 1 | 1 � → [ 3 4 5 � 2 5 � 1� → 3 � 1
Logo, S ( 1, 1 )
AULA: 08.09.09
EXERCICIOS – LISTA 1. e
deeef 2 1 �3 | 5 3 �2 2 | 5 5 �3 �1 | 16
ghhhi �� � �� � �� �� � �� � ��
deeef 2 1 �3 | 5 1 �3 1 | 0 3 �4 2 | 11
ghhhi
�� � �� �� � ��
deeef 1 �3 1 | 0 2 1 �3 | 5 3 �4 2 | 11
ghhhi �� � �� � 2 �� �� � �� � 3 ��
deeef 1 �3 1 | 0 0 7 �5 | 5 0 5 �1 | 11
ghhhi
�� � �Z �� �� � �; ��
24
AULA: 08.09.09
deeeef 1 �3 1 | 0 0 1 � ;Z | ;Z 0 1 � �; | ��;
ghhhhi �� � �� � ��
deeeef 1 �3 1 | 0 0 1 � ;Z | ;Z 0 0 � �]�; | ;��;
ghhhhi �� � �; �] ��
deeeef 1 �3 1 | 0 0 1 � ;Z | ;Z 0 0 1 | �ª«
ghhhhi →
����� 3 � 35 4 s � 0 5 � ;Z s � ;Z s � �ª«
� P�� � 3 P�� � 3 Solução única!
OBSERVAÇÃO
É possível, em muitos casos, que a solução obtida não coincida com a efetiva do problema. Isso
ocorre porque a sequência de OE escolhidas pode não ser a sequência “ótima”. Às vezes é preciso refazer as
OE para tentar chegar à matriz solução.
Vejamos a solução do exercício 1.e usando a Regra de Cramer:
¬ �deeef 2 1 �3 | 2 1 3 �2 2 | 3 �2 5 �3 �1 | 5 �3 ghh
hi � 4 4 10 4 27 4 3 4 12 � 30 � 26
Agora,
¬ � deeef 5 1 �3 | 5 1 5 �2 2 | 5 �2 16 �3 �1 | 16 �3 ghh
hi � 10 4 32 4 45 4 5 4 30 � 96 � 26
25
AULA: 08.09.09
¬ �deeef 2 5 �3 | 2 5 3 5 2 | 3 5 5 16 �1 | 5 16 ghh
hi � �10 4 50 � 144 4 15 � 64 4 74 � �78
¬® � deeef 2 1 5 | 2 1 3 �2 5 | 3 �2 5 �3 16 | 5 �3 ghh
hi � �52
Logo,
����� 3 � ¯°̄ � �ª�ª � 1 5 � ¯±̄ � YZ]�ª � �3 s � ¯²̄ � Y;��ª � �2
� → ( 1, -3 , -2 )
Testando a solução:
2216 � 3 � 32�26 � 5 7 2 � 3 4 6 � 5 3216 � 22�36 4 22�26 � 5 7 3 4 6 � 4 � 5
5216 � 32�36 � 12�26 � 16 7 5 4 9 4 2 � 16
EXERCÍCIO – LISTA
1. J
deeef 1 5 4 �13 | 3 3 �1 2 5 | 2 2 2 3 �4 | 1 ghh
hi �� � �� � 3 �� �� � �� � 2 ��
deeef 1 5 4 �13 | 3 0 �16 �10 44 | �7 0 �8 �5 22 | �5
ghhhi �� � 2 �� � ��
26
AULA: 08.09.09
deeef 1 5 4 �13 | 3 0 �16 �10 44 | �7 0 0 0 88 | �3 ghh
hi
�� � � ��ª �� �� � �]] ��
deeeef 1 5 4 13 | 3 0 1 ;] ��: | � Z�ª 0 0 0 1 | � ��� ghh
hhi
P�� � 3 � P�� �� � � � � 7 4 � 3 � 1 2 ³�r�á³�� ��³r�! 6 compatível e indeterminado!
Note que:
} � � �]]
Logo,
5 4 ;] s 4 ��: ¶� �]] · � � Z�ª e 3 4 55 4 4s � 13 ¶� �]] · � 3
Onde Z � IR
3.b
3 4 5 � 5 3 � ¸5 � 5�
Então:
� 1 1 5 1 k 5 � �� � �� � ��
� 1 1 5 0 k � 1 0 � → � 1 1 | 5 0 1 | 0 �
1) Solução única � ¸ � 1 � 1 7 ¸ � 2 P�� � 2 � P��
2) Se ¸ � 1 � 0 7 ¸ � 1 � várias soluções P�� � 1 � P�� �� � 1
27
AULA: 15.09.09
ESPAÇOS VETORIAIS
Sejam º " 0 munido das operações de soma e multiplicação por escalar, assim definidas:
Soma: º x º 7 º 2x, ³6 7 x 4 ³
Multiplicação: IR x º 7 º 2T, ³6 7 T³
DEFINIÇÃO
Dizemos que V é um espaço vetorial (EV) sobre IR, se somente se, satisfaz às seguintes
propriedades:
1. x 4 2³ 4 }6 � 2x 4 ³6 4 }
2. x 4 ³ � ³ 4 x
3. ¼ 0 � ³ | 0 4 ³ � ³ 4 0 � ³
4. ¼ � ³ � ³ | ³ 4 2�³6 � 2�³6 4 ³ � 0
5. T 2³ 4 x6 � T ³ 4 T x
6. 2T 4 ½6³ � � ³ 4 ½ ³
7. 2T ½6³ � � 2½ ³6 � ½ 2T ³6
8. 1³ � ³
EXEMPLO 1
Seja ³ � UV� � 23, 56/3, 5 � UV � , mostre que UV� é um EV sobre UV .
Sejam x � 23� , 5�6, ³ � 23� , 5�6 , } � 23�, 5�6 �� UV� � T , ½ � UV
28
AULA: 15.09.09 Temos: 1. x 4 2³ 4 }6 � 23� , 5�6 4 23� 4 3� , 5� 4 5�6 � 23� 4 23� 4 3�6 ,� 5� 4 2 5� 4 5�6 6 2UV 7 ���q~��p�³�6 � 23� 4 �3� 6 4 3� � ,� 25� 4 � 5�6 4 5� � 6 � 23� 4 �3� ,� � 5� 4 � 5�6 4 23� , 5� � 6
� 2x 4 ³6 4 }
2. x 4 �³� � 23� 4 �3� ,� � 5� 4 � 5�6� � 23� 4 �3� ,� � 5� 4 � 5�6� � ³ 4 x
3. Seja 07 � 20, 06. Daí: � 07 4 ³ � 20 4 �3� ,� 0 4 5� 6 � 2 �3� ,� 5� 6 � ³ 4. seja ³ � 23� , 5�6. Então: �³ � 2�3� , �5�6. Daí, � ³ 4 2�³6 � 23� 4 2�3� 6, 5� 4 2� 5�6 6 � 20, 06 � 07 5. T 2³ 4 x6 � T �23� 4 �3� ,� � 5� 4 � 5�6�� � 2T �23� 4 �3� 6,� �T 2 5� 4 � 5�6 6�� � 2T��3� , �T 5� 6 4� 2�T3� , � α5�6 �� � T�� 23� , � 5� 6 4� �T 23� , � 5�6 �� � T ³ 4 T x 6. 2T 4 ½6³ � 2T 4 ½623� , 5�6 � 22T 4 ½6�3� , 2T 4 ½65�6 � 2T�� 3� 4 ½ 3� , �T �5� 4 ½� �5�6 � �T� 23� , 5�6 4 ½ 23� , 5�6 � � ³ 4 ½ ³ 7. 2T ½6³ � 2T ½623� , 5�6 � 2 2T ½6�3� , 2T ½65�6 � 2 �T 2½��3� 6 , �T 2½�5�6 6 � � 2½ ³6 8. 1³ � ³ � 21�3� , 15�6 � 23� , 5�6 � ³
29
AULA: 15.09.09 Logo, UV� é um EV sobre UV Abaixo listaremos alguns dos EV mais utilizados:
1. UV � 23� , 3� t 3 6 ; 3� � UV �
2. M� � w 2UV6 � ��A= À � � � w ; A= À � UV � �
3. P w � 2�Á 4 �� t 4 t� tw ; a= � UV � � DEFINIÇÃO 2 Seja V um EV sobre UV e seja W C V. Dizemos que W é um subespaço de V se somente se: 1. 0 � W 2. º 4 T � Â; )T � UV
Cuidado! w y x ³³7 4 }7 � 23, 56 " 23 , 96 } � 23 , 56 � UV�/ 5 � 3�� não é SV.
EXEMPLO 1
Seja P � � 2�Á 4 �� t 4 �� t� ; a= � UV � � mostre que P � à P w . Temos:
1. 0 Ä 0 4 0 t 4 0 t� � P �
2. Sejam º � �Á 4 �� t 4 �� t� e  � $Á 4 $� t 4 $� t� em P �
1 2
2
1
³7 � 21 , 16 }7 � 21 , 16 5 � 3�
30
AULA: 15.09.09 Temos: º 4 T  � 2 �Á 4 �� t 4 �� t� 6 4 2 T $Á 4 α$� t 4 α$� t� )
� 2 �Á 4 T $Á 6 2 �� 4 α$� 6 p 4 2 �� 4 α$� 6 t�
� ~Á 4 ~� p 4 ~� p� 4 P �
Logo,
P � � P w
AULA: 21.09.09
FALTA CONTEÚDO
AULA: 22.09.09
FALTA CONTEÚDO
AULA: 28.09.09
FALTA CONTEÚDO
31
AULA: 29.09.09
EXEMPLO 3
a) ½ � 1 , 1 � p , 1 4 p�� é base de P�?
b) Seja Å 2p6 � 2�p� � � 3p 4 5 , determine RP2t6S Æ
Solução:
a) temos que ½ é linearmente independente ( LI ) e gera P2 .
�Á 4 �� t 4 �� t� � R AÁ A� A�S deeef 1 t t� ghhhi
γ � 1 , p , p�� é base canônica de P2 7 dim P2 � 3 OBSERVAÇÃO
Se dim V � � , então qualquer conjunto de � vetores (LI) forma uma base B.
Vamos tentar mostrar que ½ é ( LI ). Considere a combinação linear:
� 216 4 $ 21 � p 6 4 ~ 2 1 4 p�6 Ä 0 , ) p
� 4 $ � $ p 4 ~ 4 ~ p� Ä 0 , ) p
2� 4 $ 4 ~ 6 � $ p 4 ~ p� Ä 0 , ) p
�� 4 $ 4 ~ � � 0 �� $ � � 0 7 $ � 0 � ~ � � 0 7 ~ � 0 7 � � 0
Logo,
½ é ( LI ), de modo que forma base P2
Solução:
c) Å 2p6 � 2�p� � � 3p 4 5 ,
Devemos encontrar a, b, c � IR tais que Å 2p6 Ä � .1 4 $ 2 1 � p 6 4 ~ 2 1 4 p� 6, ) p
32
AULA: 29.09.09
2� 4 $ 4 ~ 6 � $ p 4 ~ p� Ä 2 p� � 3p 4 5
a 4 b 4 c � 5 7 a � 0 – b � �3 7 b � 3 �
Daí,
RP2t6S Æ � � 0 3 2 �
EXEMPLO 4
Considere ainda º � Å� determine se ½ � 2 , 1 4 p � p� , 3 4 2p�� é base de Å� . Encontre RP2t6S Æ para Å 2p6 � 2�p� � � 3p 4 5
Solução:
Temos que mostrar que ½ é ( LI )
� 226 4 $ 21 4 p � p� 6 4 ~ 2 3 4 2p�6 Ä 0 , ) p 2� 4 $ 4 $ p � $ p� 4 3 ~ 4 2 ~ p� Ä 0 , ) p
22� 4 $ 4 3 ~ 6 4 $ p 4 2 �$ 4 2 ~ 6 p� Ä 0 �2 � 4 $ 4 3 ~ � � 0 7 � � 0 2 3 6 � $ � � 0 ( 1 ) � $ 4 2 ~ � � 0 7 ~ � 0 2 2 6
Agora temos, �2 � 4 $ 4 3 ~ � � 5 � $ � � �3
�� $ 4 2 ~ � � 2 7 ~ � � ��
7 � � 194
~ � 2
33
β’ β
β
β’ β
AULA: 29.09.09
Logo,
R2�p� � � 3p 4 5S Æ � deeeeef 194 �3 � 12
ghhhhhi
MUDANÇA DE BASE
Em vários problemas práticos, a modelagem nos leva a situações onde o modelo apresentado é
complexo e sua resolução demanda grande esforço computacional.
Para diminuir a complexidade do problema e otimizar o processo de resolução, é aconselhável
utilizar uma mudança de base , permitindo assim uma resolução equivalente e mais rápida.
Vejamos como isso se processa.
Seja V um espaço vetorial º � � , ½ � º� , º� t º � � ½Í � Â� ,Â� t  � Bases de V.
Considere v � V. Pelo Teorema 1, podemos escrever
2U6 ����� w� � a��v� 4 a��v� t 4 aw �vw w� � a��v� 4 a��v� t 4 aw �vwu u u u ww � a�wv� 4 a�wv� t 4 aw wvw
�
Reduzindo 2U6 à forma matricial, obtemos:
� 2 1 1 �1� � deeef w� w�u ww ghh
hi � deeeefa�� a�� t aw � a�� a�� t aw �u u ua�w a�w t aw w ghh
hhi deeef v� v�u vw ghhhi
Rw S β’ � RI S RvS
RI S �deeeefa11 a12 t a1 n a2 1 a22 t a 2 n u u uan 1 an 2 t an n ghh
hhi é a matriz da base β para β’.