COMPETÊNCIAS E HABILIDADES

 Ao concluir as etapas propostas neste desafio, você terá desenvolvido as competências e habilidades que constam, nas Diretrizes Curriculares Nacionais, descritas a seguir.

Aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos einstrumentais à Engenharia.

Projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados.

Identificar, formular e resolver problemas de Engenharia.

DESAFIO

O petróleo (do latim petroleum, onde petrus= pedra e oleum= óleo) é um recurso natural abundante, definido como um composto de hidrocarboneto, oleoso, inflamável,geralmente menos denso que a água e que possui uma coloração que varia do incolor até o preto.Na Antiguidade, era usado para fins medicinais e para lubrificação. Atribuíam-se ao petróleo propriedades laxantes, cicatrizantes e anti-sépticas. Atualmente, se configura a principal fonte de energia do planeta. Além de gerar gasolina, que serve de combustível para grande parte dos automóveis que circulam no mundo, vários produtos são derivados do petróleo, como por exemplo, a parafina, o asfalto, querosene, solventes e óleo diesel.O processo de extração do petróleo varia muito, de acordo com a profundidade em que o óleo se encontra, e pode estar nas primeiras camadas do solo ou até milhares de metros abaixo do nível do mar. A empresa Petrofuels tem como principal atividade, a extração depetróleo no Brasil.Para tanto, de tempo em tempo, são levantadas por geógrafos, agrônomos,paleontólogos, engenheiros e outros especialistas, regiões que apresentem maior probabilidade de se encontrar petróleo. Por meio de estudos com aviões sonda, satélites e de pequenos terremotos artificiais, essas regiões são selecionadas e se confirmada a presença de petróleo, inicia-se o projeto para extração do mesmo. Recentemente, a empresa Petrofuels descobriu gigantescas reservas na bacia de Santos.O desafio geral desta ATPS propõe identificar qual é a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído deste poço recém descoberto.Para tanto, quatorze desafios são propostos. Cada desafio, após ser devidamente realizado, deverá ser associado a um

número (0 a 9). Esses números, quando colocados lado a lado e na ordem de realização das etapas, fornecerão os algarismos que irão compor a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído.

Objetivo do DesafioEncontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels, que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém descoberto.

Produção Acadêmica

Resolução passo a passo de todos os exercícios propostos nas etapas, justificando por meio dos cálculos realizados, o porquê de cada alternativa ter sido descartada ou considerada.

Relatório com resultados gerais com os algarismos encontrados,escrevendo os milhões de metros cúbicos que poderão ser extraídos do novo poço de petróleo recém descoberto pela empresaPetrofuels.

.Participação

Para a elaboração desta atividade, os alunos deverão previamente organizar-se em Equipes de três a quatro participantes e entregar seus nomes, RAs e e-mails ao professor da Disciplina. Essas equipes serão mantidas durante todas as etapas.

PadronizaçãoO material escrito solicitado nesta atividade deve ser produzido de acordo com as Normas da ABNT¹, com o seguinte padrão:

Em papel branco, formato A4;

Com margens esquerda e superior de 3cm, direita e inferior de 2cm;

fonte Times New Roman tamanho 12, cor preta;

Espaçamento de 1,5 entre linhas;

Se houver citações com mais de três linhas, devem ser em fonte tamanho 10, com um recuo de 4cm da margem esquerda e espaçamento simples entre linhas;

Com capa, contendo:

Nome de sua Unidade de Ensino, Curso e Disciplina;

 

Nome e RA de cada participante;

Título da atividade;

Nome do professor da disciplina;

Cidade e data da entrega, apresentação ou publicação. Alguns elementos pré-textuais, textuais e pós-textuais, apresentados nessas normas são perfeitamente dispensáveis para o trabalho proposto e devem ser observadas as normas da ABNT para outros aspectos do trabalho. ETAPA 1 (tempo para realização: 05 horas) Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, a teoria de integrais indefinidas e definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você também irá aprender o conceito de integral como função inversa da derivada.Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)Façam as atividades apresentadas a seguir.1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.3. Façam o download do Software Geogebra. Este software servirá de apoio para a resolução de alguns desafios desta etapa. Para maiores informações, visitar as páginas:

GeoGebra. Disponível em: <http://www.geogebra.org/cms/pt_BR>. Acesso em:22 abr. 2012.

Curso de GeoGebra. Disponível em:<http://www.youtube.com/playlist?list=PL8884F539CF7C4DE3>. Acesso em:22 abr. 2012.

Solução Passo 1 (Equipe)

O SURGIMENTO DA INTEGRAL

ResumoMuitas demarcações de terrenos na antiguidade, não eram figuras poligonais. Com o intuito de calcular essas áreas, foram desenvolvidos os estudos sobre integrais. Em seguida, muitos matemáticos dedicaram seus esforços com intenção desenvolver o conceito de integração já não mais somente com o objetivo inicial de calcular áreas. Alguns deles foram Newton-Leibniz, Cauchy, Riemann e Lebesgue os quais serão apresentados de forma sucinta neste artigo

  1 IntroduçãoO conceito de integral é mais antigo que o de derivada. Enquanto este surgiu noséculo XVII, à idéia de integral, como área de uma figura plana ou volume de umsólido, surge e alcança um razoável desenvolvimento com Arquimedes (285-212a.C.)na antiguidade. Naquela época, entretanto, a matemática era muito geométrica, nãohavia simbologia desenvolvida, portanto, faltavam recursos para o natural desabrochar de um “calculo integral” sistematizado. Devido a isto, os problemas que se punham eram os de calcular áreas, volumes e comprimentos de arcos. Por exemplo: suponhamos dada uma função f: [a; b] IR,limitada no intervalo[a; b]. Admitamos, por simplicidade, que f  seja não negativa, isto é, f (x ) ≥ 0, x IR. Consideremos o conjuntoS={(x, y) IR²; a x b, 0  y f (x)},formadas pelos pontos compreendidos entre os eixos das abscissas, o gráfico de f e arestas verticais  x = a e x = b. Qual a área deste conjunto? Em primeiro lugar, é necessário dizer o que significa a “área” de S , e em seguida, tentar calculá-la.A área de um subconjunto limitado S no plano IR² deve ser um número real.Como defini-lo? Podemos admitir que sabemos calcular a áreas de polígonos e tomar como aproximações por falta deste número as áreas dos polígonos contidos emS . Isto equivale a pôr: a área de S  é o supremo das áreas dos polígonos contido emS .Poderíamos também considerar as áreas dos polígonos que contém S .Como aproximações por excesso para a área de S . Neste caso, definiríamos a área deS como o ínfimo das áreas dos polígonos que contém S . Porém, estes dois métodos de definir a área de S nem sempre conduzem a um mesmo resultado.Ao considerar a área de um conjunto S  podemos, por simplicidade, restringir nossa atenção a polígonos de um tipo especial, que chamaremos de polígonos retangulares, os quais são reuniões de retângulos justapostos cujos lados são paralelos aos eixos x= 0 e y= 0.Mais particularmente ainda, se o conjunto S é determinado por uma função nãonegativa  f: [a; b]  IR, de modo que S={(x,y) IR²;a x b=0,y=0 de modo que S={( x, y) E IR²; a <x< b, 0< y < f ( x)}, basta considerar os polígonos retangulares formados por retângulos cujas bases inferior e estão sobre os eixos das abscissas e cujas bases superiores tocam o gráfico da função conforme a figura 1.

 

A área de S , por falta, será definida como integral inferior (figura 1) e a área porexcesso, como integral superior de f .A teoria da integral desenvolveu-se, segundo as idéias de Newton e Leibnizcomo o inverso da derivada. Entretanto, Cauchy retornou a concepção de Leibniz com o estudo da integral na classe das funções contínuas em um intervalo [a; b]. De posse da noção de limite definiu integral para uma função contínua em[a; b] representada por: f (x) dx Posteriormente o conceito de integral de Cauchy foi estendido à classe das funções quase contínuas por Riemann. O passo decisivo na teoria de integral foi da do em 1901 por Lebesgue.

2 Integral De Newton-LeibnizConsidere uma função contínua y = f (x), dado em um intervalo [a; b], salvo seu sinal neste intervalo (figura 2). A figura, limitada pelo gráfico desta função no intervalo[a; b]e as linhas retas x = a e x = b, é chamado de trapezóide curvilíneo. Para calcular a área de trapezóides curvilíneos a seguinte propriedade é usada:Se f é uma função contínua e não-negativa no intervalo [a; b], e F sua primitiva neste intervalo, então a área A que corresponde à área do trapezóide curvilíneo, é igual a um incremento da primitiva no intervalo [a; b], isto é a = f (b) – f (a).Considere uma funçãoS (x), em um intervalo[a; b]dado. Se a x b, então S (x)é a área da parte do trapezóide curvilíneo, que é colocado na esquerda de uma linha vertical reta, passando pelo ponto de coordenadas (x; 0). Note que, se  x = a, entãoS(a)= 0e se x=b, entãoS (b

) = A( Aé a área do trapezóide curvilíneo). Ou seja,( )   ( ) () ( ) ()   ( ) isto é,S ( x) é uma primitiva para f ( x). De acordo com a propriedade básica das primitivas, x [a;b] tem-seS ( x) = F ( x) +C ondeC é alguma constante, F é uma das primitivas para uma função f .Para encontrar C , substituímos x=

aem F (a) +C =S (a) = 0, donde,C = - F (a) eS ( x) = F ( x)- F (a). Porque a área do trapezóide curvilíneo é igual aS (b), substituindo x=