apostila_nocoes-de-financas-e-matematica-financeira.pdf
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SUMRIO
1 NOES DE FINANAS E MATEMTICA FINANCEIRA............................................. 2 1.1 O QUE FINANAS .................................................................................................... 2 1.2 ADAPTAO S MUDANAS..................................................................................... 3 1.3 CONSTRUINDO UMA IMAGEM................................................................................... 4 1.4 O PLANEJAMENTO FINANCEIRO DE UMA EMPRESA ............................................. 5 1.5 O PLANEJAMENTO FINANCEIRO DA FAMLIA.......................................................... 6 1.6 A RELAO ENTRE FINANAS E MARKETING....................................................... 7 1.7 RELAO ENTRE OBJETIVOS CORPORATIVOS E MARKETING ........................... 9 2 MATEMTICA FINANCEIRA APLICADA.................................................................... 9 2.1 FLUXO DE CAIXA ........................................................................................................ 9 2.2 JURO .......................................................................................................................... 11 2.3 TAXAS ........................................................................................................................ 12 2.4 TAXA DE JURO.......................................................................................................... 13 2.5 REGRAS BSICAS .................................................................................................... 14 2.6 CRITRIOS DE CAPITALIZAO DOS JUROS (SIMPLES E COMPOSTO)............ 15 3 JUROS SIMPLES E COMPOSTOS .............................................................................. 17 3.1 APLICAES PRTICAS DOS JUROS SIMPLES E COMPOSTOS ........................ 17 3.2 FRMULAS DE JUROS SIMPLES............................................................................. 18 3.3 MONTANTE E CAPITAL (JUROS SIMPLES)............................................................. 21 3.4 TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE (JUROS SIMPLES) ..................... 23 3.5 JURO EXATO E JURO COMERCIAL......................................................................... 26 3.6 EQUIVALNCIA FINANCEIRA................................................................................... 27 3.7 FRMULAS DE JUROS COMPOSTOS..................................................................... 28 3.8 TAXAS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS) .................................................... 33 3.9 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA (JUROS COMPOSTOS) .................................... 38 4 DESCONTOS ............................................................................................................. 42 4.1 DESCONTO SIMPLES ............................................................................................... 43 4.1.1 Desconto Racional (ou por dentro)................................................................... 43 4.2 DESCONTO COMPOSTO.......................................................................................... 47 4.2.1 Desconto composto por fora............................................................................. 48 4.2.2 Desconto Composto por dentro........................................................................ 50 5 PRESTAES ........................................................................................................... 55 6 PROJETOS DE INVESTIMENTOS EM MARKETING .................................................. 58 6.1 AVALIAO DE PROJETOS DE INVESTIMENTO EM MARKETING ....................... 60 LISTA DE EXERCCIOS................................................................................................... 66 REFERNCIAS ................................................................................................................ 75
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1 NOES DE FINANAS E MATEMTICA FINANCEIRA
1.1 O QUE FINANAS
Podemos conceituar Finanas como sendo a aplicao de uma srie de princpios
econmicos e financeiros para maximizar a riqueza ou o valor total de um negcio. Mais
especificamente, ao usar o valor presente lquido (fluxo de caixa futuro, descontado o
valor presente menos os custos originais) para medir a rentabilidade, uma empresa
maximiza a riqueza investindo em projetos e adquirindo ativos cujos retornos combinados
produzem os lucros mais altos possveis com os menores riscos. Na realidade, ningum
realmente sabe quando a riqueza mxima atingida, embora ela seja entendida como a
meta final de toda empresa. Uma maneira de descobrir a riqueza de uma empresa por
intermdio do preo de sua ao ordinria. Quando o preo das aes de uma empresa
aumenta, diz-se que a riqueza dos seus acionistas est aumentando. Por que o preo das
aes reflete a capacidade de uma empresa criar e aumentar riqueza? Porque o mercado
de aes um mecanismo muito eficiente. Portanto, o preo das aes reage muito
rapidamente a todas as informaes disponveis como tambm perspectiva de
mudanas futuras na riqueza da empresa. Atualmente, o mercado ainda mais eficiente
porque os investidores esto mais bem informados e os administradores utilizam mtodos
melhores e estratgias mais eficazes para evidenciar o seu desempenho. A proliferao
de computadores tem propiciado uma base mais ampla para selecionar as melhores
alternativas de investimento. Naturalmente, o advento da Internet revolucionou as formas
de procura, coleta e difuso de informaes a partir das quais so tomadas decises
empresariais mais seguras.
Atualmente, os administradores financeiros dispem de muitas ferramentas
sofisticadas para solucionar difceis problemas empresariais. Mas nem sempre foi assim.
Antes de 1970, a nfase incidia sobre as novas formas de atingir eficcia na
administrao do capital de giro, melhorando os mtodos para manuteno de registros
financeiros e de interpretao dos balanos patrimoniais e demonstrativos de resultados.
O horizonte das finanas se ampliou desde ento, e a nfase hoje recai sobre as formas
de orar com eficcia os recursos escassos e investir os capitais nos ativos ou projetos
que apresentam o melhor balanceamento de risco/retorno. A ateno tem se voltado ao
estudo das diferentes alternativas e do efeito de cada uma delas sobre o valor da
empresa. O foco mais importante so as opes de proteo contra os riscos do uso de
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derivativos financeiros. Mtodos mais aprimorados j esto disponveis para avaliar os
riscos e os lucros dos investimentos, como tambm para simular os resultados das
diferentes decises antes de se investir capitais limitados e escassos. A necessidade de
desenvolver planos em um longo prazo, para tirar proveito de novos instrumentos
financeiros e para entender os princpios das finanas internacionais, est se tornando
cada vez mais evidente.
O conhecimento de finanas no deve se restringir aos tesoureiros, controladores e
planejadores financeiros. Em qualquer empresa, se contadores, estatsticos e
profissionais de marketing, concomitantemente, fizerem uma avaliao e tiverem um
entendimento dos princpios de finanas, podero participar mais efetivamente do
processo decisrio. Diferentes departamentos devem participar da finalizao dos planos
elaborados pela rea financeira.
1.2 ADAPTAO S MUDANAS
A rea de finanas , em parte, cincia e, em parte, arte. A anlise financeira
fornece os meios de tomar decises de investimento flexveis e corretas, no momento
apropriado e mais vantajoso. Quando os administradores financeiros so bem-sucedidos,
ajudam a melhorar o valor das aes da empresa.
Um administrador emite sinais favorveis aos investidores ao estabelecer um
registro de demonstrativos financeiros seguros, mostrando retorno com um crescimento
rpido e contnuo, com um nvel mnimo de risco. Por que os sinais corretos so to
necessrios? Porque so os acionistas (investidores), fundamentalmente, que
determinam o valor de mercado da empresa a partir dos preos das aes que ela emite.
Se a empresa tiver um bom resultado, e as pessoas acreditarem que tal resultado ir se
manter, a valorizao ser grande. Ao contrrio, um mau resultado, com expectativas de
retornos desfavorveis e altos nveis de riscos, reduzir o valor das aes.
Para ter xito, os administradores financeiros precisam se envolver com as
mudanas que ocorrem constantemente no campo das finanas. Eles devem adotar
mtodos mais sofisticados para poder planejar melhor num ambiente de crescente
competitividade. Precisam lidar de forma eficiente com as mudanas que ocorrem dentro
e fora da empresa. Em resumo, os administradores financeiros so responsveis pelo
reconhecimento e pela resposta aos fatores de mudanas nos ambientes privados,
pblicos e financeiros.
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H uma crescente necessidade de escolher corretamente o momento para
introduzir novos produtos, para entregar produtos e servios que atendam s
necessidades atuais e em desenvolvimento, e para assegurar que as decises de
marketing sejam apoiadas por planos alternativos. Mudanas nos esforos de pesquisa e
produo so algumas vezes necessrias para garantir que os novos produtos possam
responder aos desafios de um mercado cada vez mais competitivo (em essncia, essa
uma das principais atividades de marketing: desenvolver novos produtos, novos mercados
para garantir a sobrevivncia da empresa).
1.3 CONSTRUINDO UMA IMAGEM
Muitas vezes, os planos financeiros mais bem-sucedidos no recebem a devida
ateno principalmente porque os administradores e/ou profissionais de finanas no
conseguem divulg-los ou os promovem excessivamente. No passado, essa informao
era transmitida aos analistas de ttulos que, por sua vez, informavam aos investidores
sobre os novos progressos que ocorriam na empresa. Mas, essa abordagem era muito
seletiva e atingia apenas alguns investidores. Geralmente, os funcionrios da empresa
divulgavam essa informao pelos jornais, pela televiso e por relatrios trimestrais e
anuais. Na melhor das hipteses, essa informao era espordica e sem imediao.
A meta deveria ser a disseminao de nova informao to rapidamente quanto
possvel, alcanando um grande nmero de investidores. A Internet est se tornando e
ir se consolidar como - um veculo eficaz para atingir essa meta.
A empresa deveria procurar fazer investimentos em reas que os investidores
associem a crescimento, atrao, e que possuam grande potencial. Infelizmente, muitas
empresas boas e financeiramente confiveis so associadas a reas pouco valorizadas.
Bons produtos no recebem o reconhecimento que merecem. A idia dirigir a ateno
dos investidores para as reas mais atraentes da empresa para conseguir uma melhor
valorizao. A empresa pode querer que os investidores saibam que ela est se
deslocando para reas mais atraentes de crescimento e rentabilidade. A responsabilidade
da empresa com os acionistas criar a melhor imagem possvel. Uma recente estratgia
de sucesso tem sido o emprego de aes de ativos especficos da empresa. Tal
estratgia consiste na emisso de uma nova ao para representar aquela parte dos
ativos que tm a melhor perspectiva financeira. Dessa forma, os investidores podem
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associar a ao a reas similares de alto valor e dar ao preo de uma ao de ativos
especficos da empresa todo o valor que ela merece.
Os administradores devem dar maior ateno a este conceito de construo da
imagem ao adquirirem novas empresas, ao criarem novas linhas de produtos ou a darem
novos rumos pesquisa. Essa parte da estratgia de investimento, seja real ou ilusria,
deve estar sempre presente na mente dos administradores quando tencionam mudar a
percepo que o investidor tem do potencial de investimentos da ao da empresa.
1.4 O PLANEJAMENTO FINANCEIRO DE UMA EMPRESA
O oramento a ferramenta administrativa mais adequada para se planejar
financeiramente e, com segurana, as atividades operacionais de uma instituio, quer
sejam atividades rotineiras (tais como folha de pagamento, manuteno da frota de
veculos) ou peridicas (tais como projetos com tempo certo de durao, participao em
seminrios ou congressos). Os oramentos devem ser confeccionados,
preferencialmente, subdivididos em centros de custos, os quais refletiro as necessidades
de controle de cada conjunto de tarefas, grupos de pessoas ou eventos. Orar no s
significa estimar a real necessidade de recursos de um centro de custo durante um
determinado perodo como tambm avaliar com preciso a entrada dos recursos para
sustentar a operacionalidade da instituio, ou seja, consiste em responder, de forma
imediata, s seguintes perguntas:
1 - Nas prximas X semanas teremos disponibilidade para pagar os desembolsos
que iro ocorrer?
2 - Caso negativo, que desembolsos podero ser remanejados? Ou que entradas
de recursos podero ser antecipadas?
3 - Caso positivo e havendo disponibilidade de caixa, que investimentos podero
ser efetuados?
O acompanhamento dos eventos financeiros efetuado em tempo hbil e mediante
nmeros precisos atravs do fluxo de caixa. Essa ferramenta administrativa permite o
acompanhamento peridico - de acordo com as necessidades da instituio e, em tempo
real das origens e aplicaes dos recursos, o que possibilita decises em tempo hbil. O
fluxo de caixa permite responder s questes acima e garantem a sobrevivncia da
empresa.
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Os Administradores Financeiros costumam avaliar a sade financeira de uma
empresa sob trs aspectos:
1 Lucro Lquido: quanto foi o lucro lquido alcanado depois de suas operaes?
(medida absoluta);
2 Retorno sobre o Investimento: para cada R$ 1,00 investido qual foi o retorno
em termos percentuais? (medida relativa);
3 Fluxo de Caixa: a empresa teve disponibilidades financeiras para saldar e
honrar seus compromissos em dia? (medida de sobrevivncia).
Ganhar dinheiro o objetivo de toda e qualquer empresa privada. Maximizar o
capital o objetivo de seus proprietrios ou acionistas.
1.5 O PLANEJAMENTO FINANCEIRO DA FAMLIA
Tal qual uma empresa, uma famlia deve se planejar financeiramente para garantir
o atendimento das necessidades bsicas de seus membros: sade, alimentao,
moradia, educao, lazer dentre outros. Uma famlia que se planeja financeiramente
consegue viver de forma mais tranqila e consegue assegurar um futuro melhor para
todos os seus membros.
Quando falamos em Planejamento Financeiro Familiar, devemos usar a
racionalidade em todas as decises que envolvam recursos financeiros. Como exemplo,
podemos citar o planejamento para se conceber um filho, que um desejo de todos os
casais. Antes da concepo, pai e me devem ter certeza suficiente de que tero
recursos financeiros para essa nova despesa que vir. Segundo os especialistas, um
filho consome, em mdia, 30% do oramento familiar. Devemos estar preparados para
essa despesa. Muitos dos problemas sociais que enfrentamos atualmente so oriundos
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da ausncia de um planejamento familiar e, conseqentemente, da ausncia de recursos
financeiros para possibilitar uma boa educao, sade, alimentao etc. Um filho sem
educao, tem muito mais dificuldade para ter acesso a um bom emprego e garantir uma
boa renda. Sem renda e sem oportunidades, d-se incio a um novo ciclo, sem
planejamento e, conseqentemente, aumentar-se- a pobreza do pas e todos os
problemas sociais que enfrentamos atualmente.
Outro exemplo da ausncia de planejamento financeiro nas famlias de baixo poder
aquisitivo o que chamamos de bola de neve. Comumente, em razo da facilidade de
compra e dos prazos de pagamento oferecidos por lojas de diversos segmentos,
consumidores tendem a comprar, por exemplo, uma TV que custa vista R$ 399,00 em
12 prestaes mensais de R$ 55,00 (que gera, no final de 12 meses, um montante final
de R$ 660,00 ou juros de R$ 261,00, valor este, que poderia ser usado para adquirir
outros bens, caso houvesse sido adotada uma estratgia de poupar os recursos para se
comprar essa mesma TV com valor de vista, ou barganhando um desconto,
considerando-se o pagamento vista).
1.6 A RELAO ENTRE FINANAS E MARKETING
Os caminhos do marketing esto cada vez mais atrelados aos resultados
financeiros, como acontece em qualquer outro setor. Nesse mercado, contudo, nota-se
que as mudanas de comportamento dos indivduos, devido s influncias das novas
tecnologias, imprimiram agilidade ao dia-a-dia tanto dos profissionais como dos
consumidores. Nas reas de comunicao e marketing, os reflexos so muitos,
principalmente com relao fragmentao das verbas da publicidade e, nesse sentido,
uma das maiores preocupaes dos executivos do setor mensurar o retorno real aps a
realizao das aes de marketing.
As decises de marketing esto diretamente ligadas rea financeira. As decises
de produto englobam a identificao de oportunidades de lanamento de produtos e
servios, a adequao destes s necessidades e desejo dos clientes, a formulao de
estratgias de produto e linhas de produto (como diferenciao, posicionamento etc.) e a
administrao do ciclo de vida do produto. Com base no ciclo de vida de um produto,
pode-se projetar a receita da empresa (parte integrante de um oramento empresarial).
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Qtd (Mil)
RT
(R$
)
654321
5000
4000
3000
2000
1000
0
Grfico da Receita Total
FIGURA 1. Ciclo de Vida do Produto.
Com as informaes da demanda, pode-se projetar a receita da empresa conforme
abaixo:
Receita Total = Preo de Venda (Preo de Venda Praticado) x Qtd (Vendida)
GRFICO 1. Receita Total.
As decises de preo envolvem a seleo da estratgia de preo que gere
vantagem competitiva e diferenciao para cada produto ou linha de produto, bem como
maximize o retorno para a empresa, em termos financeiros e, como tambm, para os
parceiros da empresa (canais de distribuio).
As decises de promoes so aquelas relativas aos investimentos em estratgias
e atividades de comunicao (propaganda, marketing direto, relaes publicas,
CRESCIMENTOINTRODUO MATURIDADE DECLNIO
DE
MA
ND
A
TEMPO
CRESCIMENTOINTRODUO MATURIDADE DECLNIO
DE
MA
ND
A
TEMPO
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publicidade, eventos, seminrios) e promoo de vendas (sorteios, prmios, campanhas,
descontos de preos, brindes e outros).
Enfim, toda e qualquer deciso de marketing tem relao direta com a rea
financeira, pois a funo marketing e de vendas que so responsveis pela gerao de
receita para a empresa. Como todo e qualquer investimento, o investimento realizado na
rea de marketing tem um nico objetivo: aumentar a participao da empresa no
mercado, ou seja, gerar mais receita e ganho para a empresa.
1.7 RELAO ENTRE OBJETIVOS CORPORATIVOS E MARKETING
Ao investirem em aes de marketing de relacionamento com o mercado, as
empresas descobrem que a qualidade do atendimento nos estabelecimentos comerciais
est relacionada ao comprometimento dos profissionais de venda e, para isso, atentam
para a conquista de sua confiana para que eles vistam a camisa da marca. Para esse
resultado, entretanto, fundamental que esses profissionais sejam, e se sintam,
valorizados. Assim, o incentivo financeiro usado como nico benefcio no tem mais o
mesmo impacto de antes, o convvio se tornou essencial para estabelecer a relao de
confiana. Ento, nos programas de relacionamento com o mercado, h objetivo claro de
resgatar o comprometimento desses profissionais, cada vez mais capacitados e
especializados na funo que optaram como carreira.
Para se atingir um objetivo corporativo, o comprometimento deve ser de toda a
organizao e no somente da funo de marketing ou de produo.
2 MATEMTICA FINANCEIRA APLICADA
2.1 FLUXO DE CAIXA
Fluxo de Caixa um grfico contendo informaes sobre Entradas (Recebimento
de Valores) e Sadas (Pagamentos de Valores) de capital, realizadas em determinados
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perodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal (linha
de tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela
com essas mesmas indicaes.
Na representao grfica de um fluxo de caixa, as entradas so representadas com
uma seta para cima e as sadas so representadas com uma seta para baixo, conforme
demonstrado na abaixo:
FIGURA 2. Representao Grfica de um Fluxo de Caixa.
Considerando-se as movimentaes financeiras constantes no fluxo de caixa da
FIGURA 2, podemos descrever essas movimentaes como:
Perodo 0 Entrada de R$ 1.000;
Perodo 1 Sada de R$ 100;
Perodo 2 Sada de R$ 100;
Perodo 3 Sada de R$ 200;
Perodo 4 Sada de R$ 200;
Perodo 5 Sada de R$ 150;
Perodo 6 Sada de R$ 100.
Com a utilizao de um fluxo de caixa, uma empresa pode prever todas as suas
movimentaes financeiras (entradas e sadas) bem como pode estimar o saldo final em
um determinado perodo de tempo futuro. Essa prtica conhecida como Planejamento
Financeiro ou Oramento Empresarial.
Com base no fluxo de caixa da Figura 2, podemos afirmar que o saldo final
(previsto) no perodo 6 ser de R$ 150,00 resultantes da diferena entre valores a receber
e a pagar. Podemos projetar o saldo utilizando a frmula abaixo:
0
1 2 3 4 5 6
R$ 1.000
R$ 100 R$ 100 R$ 200 R$ 200 R$ 150 R$ 100
0
1 2 3 4 5 6
R$ 1.000
R$ 100 R$ 100 R$ 200 R$ 200 R$ 150 R$ 100
0
1 2 3 4 5 6
R$ 1.000
R$ 100 R$ 100 R$ 200 R$ 200 R$ 150 R$ 100
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Saldo Final = Valor das Entradas Valor das Sadas
Saldo Final = R$ 1.000 R$ 850
Saldo Final = R$ 150,00
Caso o saldo final seja negativo, a empresa necessitar de recursos financeiros
para saldar e honrar seus compromissos em dia. Nesse caso, poder utilizar limites ou
linhas de crdito disponveis no mercado financeiro (mediante pagamento de juros). Uma
outra alternativa tentar negociar a prorrogao de algum pagamento junto aos seus
fornecedores para evitar que o caixa fique com o saldo negativo evitando assim, o
pagamento de juros financeiros para bancos ou instituies financeiras. O pagamento de
juros (sobre recursos tomados para cobrir o caixa) considerado uma despesa ruim e
afeta diretamente o Lucro Lquido Final da Empresa, reduzindo assim, a sua rentabilidade
(retorno sobre o Capital).
2.2 JURO
A matemtica financeira trata, em essncia, do estudo do valor do dinheiro ao
longo do tempo. O seu objetivo bsico o de efetuar anlises e comparaes dos vrios
fluxos de entrada e sada de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos.
Receber uma quantia hoje ou no futuro no , evidentemente, a mesma coisa. Em
princpio, uma unidade monetria hoje no prefervel mesma unidade monetria
disponvel amanh. Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo
envolve um sacrifcio, que deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros.
Dessa forma, so os juros que, efetivamente, induzem o adiamento do consumo,
permitindo a formao de poupanas e de novos investimentos na economia.
As taxas de juros devem ser diferentes de maneira a remunerar:
O risco envolvido na operao (emprstimo ou aplicao), representado
genericamente pela incerteza com relao ao futuro;
A perda do poder de compra do capital motivada pela inflao. A inflao um
fenmeno que corri o capital e o valor do dinheiro, determinando um volume cada
vez menor de compra com o mesmo montante com o passar do tempo;
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Os juros devem gerar um lucro para o capital emprestado ou aplicado ao
proprietrio do capital como forma de compensar a sua privao por determinado
perodo de tempo. Esse ganho estabelecido basicamente em funo das
diversas outras oportunidades de investimentos e definido por custo de
oportunidade.
2.3 TAXAS
Taxa um ndice numrico relativo cobrado sobre um capital para a realizao de
alguma operao financeira.
No importando se a capitalizao simples ou composta, existem trs tipos principais de
taxas:
Taxa Nominal: quando o perodo de formao e incorporao dos juros ao
Capital no coincide com aquele a que a taxa est referida;
Exemplos:
1. 1200% ao ano com capitalizao mensal.
2. 450% ao semestre com capitalizao mensal.
3. 300% ao ano com capitalizao trimestral.
Taxa Efetiva: quando o perodo de formao e incorporao dos juros ao Capital
coincide com aquele a que a taxa est referida.
Exemplos:
1. 120% ao ms com capitalizao mensal.
2. 450% ao semestre com capitalizao semestral.
3. 1300% ao ano com capitalizao anual.
Taxa Real: a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionria do perodo da operao.
Exemplo: Se a taxa de inflao mensal foi de 30% e um valor aplicado no incio do ms
produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, ento o resultado igual
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a 1,326 sobre cada 1 unidade monetria aplicada. Assim, a variao real no final deste
ms, ser definida por:
Taxa real = 1,326 / 1,30 = 1,02, o que significa que a taxa real no perodo foi de 2%.
2.4 TAXA DE JURO
A taxa de juro o coeficiente que determina o valor do juro, isto , a remunerao
do fator capital utilizado durante certo perodo de tempo.
As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (ms, semestre, ano etc.) e
podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa
unitria.
A taxa percentual refere-se aos centos do capital, ou seja, ao valor dos juros para
cada centsima parte do capital.
Por exemplo, um capital de R$ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juros, ao final
deste perodo:
Juro = R$ 10,00 x 20 = R$ 200,00
O capital de R$ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a
remunerao total da aplicao no perodo , portanto, R$ 200,00.
A taxa unitria centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade de
capital em certo perodo de tempo.
No exemplo acima, a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20
(20% / 100) por unidade de capital aplicada, ou seja:
Juro = R$ 1.000 x 0,20 = R$ 200,00
R$ 1.000,00
100
X 20 Juro =
R$ 1.000,00 x
100
20 Juro =
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A transformao da taxa percentual em unitria se processa simplesmente pela
diviso da notao em percentual por 100. Para a transformao inversa, basta multiplicar
a taxa unitria por 100. Conforme exemplos abaixo:
Taxa Percentual Taxa Unitria
1,5% 0,015
8% 0,08
17% 0,17
86% 0,86
120% 1,20
1.500% 15,0
Nas frmulas de matemtica financeira todos os clculos so efetuados utilizando-
se a taxa unitria de juros. Podemos usar as seguintes frmulas para encontrar a taxa
unitria e a taxa percentual:
Taxa Unitria (i) = r / 100, onde: r = taxa percentual
Taxa Percentual (r) = i x 100, onde i = taxa unitria
Nos enunciados dos exerccios deste mdulo todas as taxas de juros sero
apresentadas em taxa percentual. Porm, como citado acima, utilizaremos nas frmulas
de matemtica financeira a taxa unitria. Os resultados finais devero ser convertidos
para taxas percentuais.
2.5 REGRAS BSICAS
Nas frmulas de matemtica financeira, tanto o prazo da operao como a taxa de
juros devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo. Por
exemplo, admita que um fundo de poupana esteja oferecendo juros de 2% ao ms e os
rendimentos creditados mensalmente. Nesse caso, o prazo a que se refere taxa (ms) e
o perodo de capitalizao do fundo (mensal) so coincidentes, atendendo regra bsica.
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Se uma aplicao foi efetuada pelo prazo de um ms, mas os juros definidos em taxa
anual, no h coincidncia nos prazos e deve ocorrer necessariamente um rateio.
indispensvel para o uso das frmulas financeiras transformar a taxa de juro anual para o
intervalo de tempo definido pelo prazo da operao, ou vice-versa, o que for considerado
mais apropriado para os clculos. Somente aps a definio do prazo e da taxa de juro na
mesma unidade de tempo que as formulaes da matemtica financeira podem ser
operadas.
Os critrios de transformao do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo
podem ser efetuados atravs das regras de juros simples (mdia aritmtica) e de juros
compostos (mdia geomtrica), dependendo do regime de capitalizao definido para a
operao.
2.6 CRITRIOS DE CAPITALIZAO DOS JUROS (SIMPLES E COMPOSTO)
Os critrios (regimes) de capitalizao demonstram como os juros so formados e
sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Nessa conceituao
podem ser identificados dois regimes de capitalizao dos juros: simples (ou linear) e
composto (ou exponencial).
O regime de capitalizao simples comporta-se como se fosse uma progresso
aritmtica (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Nesse critrio, os
juros incidem sobre o capital inicial da operao (aplicao ou emprstimo), no se
registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados.
Por exemplo, admita um emprstimo de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5 anos,
pagando-se juros simples razo de 10% ao ano. O quadro abaixo ilustra a evoluo
dessa operao no perodo, indicando os vrios resultados.
Ano Saldo no incio
de cada ano
(R$)
Juros apurados para cada
ano (R$)
Saldo devedor ao
final de cada ano
(R$)
Crescimento
anual do saldo
devedor (R$)
Incio do 1 Ano - - 1.000,00 -
Fim do 1 Ano 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00 100,00
Fim do 2 Ano 1.100,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.200,00 100,00
Fim do 3 Ano 1.200,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.300,00 100,00
Fim do 4 Ano 1.300,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.400,00 100,00
Fim do 5 Ano 1.400,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.500,00 100,00
-
MTE CETAM - SETRAB
16
Algumas observaes podem ser apresentadas:
Os juros, por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial de R$ 1.000,00,
apresentam valores idnticos ao final de cada ano (0,10 x R$ 1.000,00 = R$
100,00);
Em conseqncia, o crescimento dos juros no tempo linear (no exemplo, cresce
R$ 100,00 por ano), revelando um comportamento idntico a uma progresso
aritmtica. Os juros totais da operao atingem, em 5 anos, R$ 500,00;
Se os juros simples ainda no forem pagos ao final de cada ano, a remunerao do
capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial (R$ 1.000,00), no
ocorrendo remunerao sobre os juros que se formam no perodo. Assim, no 5
ano, a remunerao calculada de R$ 500,00 obtida com base no capital
emprestado h 5 anos, ignorando-se os R$ 400,00 de juros que foram se
acumulando ao longo do tempo;
Como os juros variam linearmente no tempo, a apurao do custo total da dvida
no prazo contratado processada simplesmente pela multiplicao do nmero de
anos pela taxa anual, isto : 5 anos x 10% ao ano = 50% para 5 anos.
O regime de capitalizao composta incorpora ao capital no somente os juros
referentes a cada perodo, mas tambm os juros sobre os juros acumulados at o
momento anterior. um comportamento equivalente a uma progresso geomtrica (PG)
em que os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no incio do perodo
correspondente (e no unicamente sobre o capital inicial).
Admitindo-se no exemplo anterior, que a dvida de R$ 1.000,00 deva ser paga em
juros compostos taxa de 10% ao ano, tem-se os resultados ilustrados no quadro a
seguir.
Ano Saldo no incio
de cada ano
(R$)
Juros apurados para cada
ano (R$)
Saldo devedor ao
final de cada ano
(R$)
Crescimento
anual do saldo
devedor (R$)
Incio do 1 Ano - - 1.000,00 -
Fim do 1 Ano 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00 100,00
Fim do 2 Ano 1.100,00 0,10 x 1.100,00 = 110,00 1.210,00 110,00
Fim do 3 Ano 1.210,00 0,10 x 1.210,00 = 121,00 1.331,00 121,00
Fim do 4 Ano 1.331,00 0,10 x 1.331,00 = 133,10 1.464,10 133,10
Fim do 5 Ano 1.464,10 0,10 x 1.464,10 = 146,41 1.610,51 146,41
-
MTE CETAM - SETRAB
17
As seguintes observaes so vlidas:
No primeiro perodo do prazo total, os juros simples e compostos igualam-se (R$
100,00), tornando tambm idntico o saldo devedor de cada regime de
capitalizao. Assim, para operaes que envolvam um s perodo de incidncia
de juros (tambm denominado de perodo de capitalizao), indiferente o uso do
regime de capitalizao simples ou composto, pois ambos produzem os mesmos
resultados;
A diferena entre os critrios estabelece-se em operaes com mais de um perodo
de capitalizao. Enquanto os juros simples crescem linearmente, configurando
uma PA, os juros compostos evoluem exponencialmente, segundo o
comportamento de uma PG. No regime composto, h uma capitalizao dos juros,
tambm entendida por juros sobre juros; os juros so periodicamente incorporados
ao saldo devedor anterior e passam, assim, a gerar juros. Quanto maior for o
nmero de perodos de incidncia dos juros, maior ser a diferena em relao
capitalizao simples.
Os juros passam a crescer linearmente a partir do 2 perodo de capitalizao.
Quanto maior o perodo de capitalizao, maior ser a incidncia de juros sobre
juros.
3 JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
3.1 APLICAES PRTICAS DOS JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
Os juros simples, principalmente diante de suas restries tcnicas, tm aplicaes
prticas bastante limitadas. So raras as operaes financeiras e comerciais que formam
temporalmente seus montantes de juros segundo o regime de capitalizao linear. O uso
de juros simples restringe-se principalmente s operaes praticadas no mbito do curto
prazo.
No entanto, as operaes que adotam juros simples, alm de apresentarem
geralmente prazos reduzidos, no costumam apurar o seu percentual de custo (ou
-
MTE CETAM - SETRAB
18
rentabilidade) por esse regime. Os juros simples so utilizados para o clculo dos valores
monetrios da operao (encargos a pagar, para emprstimos, e rendimentos financeiros,
para aplicaes), e no para a apurao do efetivo resultado percentual.
importante ressaltar, ainda, que muitas taxas praticadas no mercado financeiro
(nacional e internacional) esto referenciadas em juros simples, porm a formao dos
montantes das operaes processa-se exponencialmente (juros compostos). Por
exemplo, a Caderneta de Poupana paga tradicionalmente uma taxa de juros de 6% ao
ano para seus depositantes, creditando todo ms o rendimento proporcional de 0,5%. A
taxa referenciada para essa operao linear, porm os rendimentos so capitalizados
segundo o critrio de juros compostos, ocorrendo ao longo dos meses juros sobre juros.
Para uma avaliao mais rigorosa do custo ou rentabilidade expressos em
percentual, mesmo para aquelas operaes que referenciam suas taxas em juros simples,
sugerida a utilizao do critrio de juros compostos. Tecnicamente mais correto por
envolver a capitalizao exponencial dos juros, o regime composto reconhecidamente
adotado por todo o mercado financeiro e de capitais.
Uma observao mais detalhada ainda, revela que outros segmentos alm do
mercado financeiro tambm seguem as leis dos juros compostos, tais como o estudo do
crescimento demogrfico, do comportamento dos ndices de preos da economia, da
evoluo do faturamento e de outros indicadores empresariais de desempenho, dos
agregados macroeconmicos, da apropriao contbil de receitas e despesas financeiras
etc.
De um modo geral, o consumidor deve ficar atento aos juros praticados pelo
mercado. Embora representem uma taxa pequena se capitalizada mensalmente, podem
transformar-se em uma taxa bastante elevada com o prolongamento dos perodos.
3.2 FRMULAS DE JUROS SIMPLES
O valor dos juros calculado a partir da seguinte expresso:
J = C x i x n
Onde:
J = valor dos juros expresso em unidades monetrias;
C = capital. o valor (em R$) representativo de determinado momento;
-
MTE CETAM - SETRAB
19
i = taxa de juros, expressa em sua forma unitria;
n = prazo.
Essa frmula bsica tanto para o clculo dos juros como para outros valores
financeiros mediante simples reduo algbrica:
Exemplos:
Um capital de R$ 80.000,00 aplicado taxa de 2,5% ao ms durante um
trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados nesse perodo.
Soluo: C = R$ 80.000,00
i = 2,5% a.m. (0,025)
n = 3 meses
J =?
J = C x i x n
J = 80.000,00 x 0,025 x 3
J = R$ 6.000,00
Um negociante tomou um emprstimo pagando uma taxa de juros simples de 6%
ao ms durante nove meses. Ao final deste perodo, calculou em R$ 270.000,00 o total
dos juros incorridos na operao. Determinar o valor do emprstimo.
Soluo: C = ?
i = 6% a.m. (0,06)
n = 9 meses
J = R$ 270.000,00
C = J
i x n
i = J
C x n
n = J
C x i
C = J
i x n
i = J
C x n
n = J
C x i
C = J
i x n
C = J
i x n
-
MTE CETAM - SETRAB
20
C = R$ 500.000,00
Um capital de R$ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupana por 11 meses,
produzindo um rendimento financeiro de R$ 9.680,00. Pede-se calcular a taxa de juros
oferecida por essa operao.
Soluo: C = R$ 40.000,00
i = ?
n = 11 meses
J = R$ 9.680,00
i = 0,022 ou 2,2% ao ms.
Uma aplicao de R$ 250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao ms
produz, ao final de determinado perodo, juros de R$ 27.000,00. Calcular o prazo da
aplicao.
Soluo: C = R$ 250.000,00
i = 1,8% a.m. (0,018)
n = ?
J = R$ 27.000,00
C = 270.000,00
0,06 x 9C =
270.000,00
0,54C =
270.000,00
0,06 x 9C =
270.000,00
0,06 x 9C =
270.000,00
0,54C =
270.000,00
0,54
i = J
C x n
i = J
C x n
i = 9.680,00
40.000,00 x 11i =
9.680,00
440.000,00i =
9.680,00
40.000,00 x 11i =
9.680,00
440.000,00
n = J
C x i
n = J
C x i
-
MTE CETAM - SETRAB
21
n = 6 meses
3.3 MONTANTE E CAPITAL (JUROS SIMPLES)
Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa peridica de juro por
determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante, e identificado
em juros simples por M. Em outras palavras, o montante constitudo do capital mais o
valor acumulado dos juros, isto :
M = C + J
No entanto, sabe-se que:
J = C x i x n
Substituindo essa expresso na frmula do montante supra, e colocando-se C em
evidncia:
M = C + C x i x n M = C (1 + i x n)
Evidentemente, o valor de C desta frmula pode ser obtido atravs de simples
transformao algbrica:
n = 27.000,00
250.000,00 x 0,018n =
27.000,00
4.500,00n =
27.000,00
250.000,00 x 0,018n =
27.000,00
4.500,00
C = M
(1 + i x n)C =
M
(1 + i x n)C =
M
(1 + i x n)
-
MTE CETAM - SETRAB
22
A expresso (1 + i x n) definida como fator de capitalizao (ou de valor futuro
FVF) dos juros simples. Ao multiplicar um capital por esse fator, corrige-se o seu valor
para uma data futura, determinando o montante. O inverso, ou seja, 1/(1 + i x n)
denominado de fator de atualizao (ou valor presente FVP). Ao se aplicar o fator sobre
um valor expresso em uma data futura, apura-se o seu equivalente numa data atual.
Graficamente, tem-se:
Exemplos:
Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 taxa de 1,5% ao ms durante 8 meses.
Determinar o valor acumulado ao final deste perodo.
Soluo:
C = R$ 18.000,00
i = 1,5% a.m. (0,015)
n = 8 meses
M = ?
M = C (1 + i x n)
M = 18.000,00 (1 + 0,015 x 8)
M = 18.000,00 x 1,12 = R$ 20.160,00
Uma dvida de R$ 900.000,00 ir vencer em 4 meses. O credor est oferecendo
um desconto de 7% ao ms caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje.
Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidao da dvida.
Soluo:
C = ?
i = 7% a.m. (0,07)
n = 4 meses
M = R$ 900.000,00
C = M
(1 + i x n)C =
M
(1 + i x n)
-
MTE CETAM - SETRAB
23
C = R$ 703.125,00
3.4 TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE (JUROS SIMPLES)
Para se compreender mais claramente o significado dessas taxas deve-se
reconhecer que toda operao envolve dois prazos: (1) o prazo a que se refere taxa de
juros; e (2) o prazo de capitalizao (ocorrncia) dos juros.
Como exemplo, admita um emprstimo bancrio a uma taxa (custo) nominal de
24% ao ano. O prazo a que se refere especificamente taxa de juros anual. A seguir,
deve-se identificar a periodicidade de ocorrncia dos juros. Ao se estabelecer que os
encargos incidiro sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos
considerados so coincidentes.
O crdito direto ao consumidor promovido pelas Financeiras outro exemplo de
operao com prazos iguais. Caracteristicamente, a taxa cobrada definida ao ms e os
juros capitalizados tambm mensalmente. Outro exemplo o financiamento de uma
compra em uma determinada loja de eletrodomsticos. A taxa cobrada definida ao ms
e os juros so capitalizados ao ms.
Mas, em inmeras outras operaes esses prazos no so coincidentes. O juro
pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa, devendo-se nesta situao ser definido
como o prazo da taxa que ser rateado ao perodo de capitalizao.
Por exemplo, sabe-se que a Caderneta de Poupana paga aos seus depositantes uma
taxa de juros de 6% ao ano, a qual agregada (capitalizada) ao principal todo ms
atravs de um percentual proporcional de 0,5%. Tem-se aqui, ento, dois prazos: prazo
da taxa (ano) e o prazo de capitalizao (ms).
necessrio para o uso das frmulas de Matemtica Financeira, conforme foi
abordado anteriormente, expressar esses prazos diferentes na mesma base de tempo.
C = 900.000,00
( 1 + 0,07 x 4)C =
900.000,00
1,28C =
900.000,00
( 1 + 0,07 x 4)C =
900.000,00
1,28
-
MTE CETAM - SETRAB
24
Ou transforma-se o prazo especfico da taxa para o de capitalizao ou, de maneira
inversa, o perodo de capitalizao passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de
juros.
No regime de juros simples, diante de sua prpria natureza linear, essa
transformao processada pela denominada taxa proporcional de juros tambm
denominada de taxa linear ou nominal. Essa taxa proporcional obtida da diviso entre a
taxa de juros considerada na operao e o nmero de vezes em que ocorrero os juros
(quantidade de perodos de capitalizao).
Por exemplo, para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalizao for definida
mensalmente (ocorrero 12 vezes juros no perodo de um ano), o percentual de juros que
incidir sobre o capital a cada ms ser:
A aplicao de taxas proporcionais ou equivalentes muito difundida,
principalmente em operaes de curto e curtssimo prazo, tais como: clculo de juros de
mora, descontos bancrios, crditos de curtssimo prazo, apurao de encargos sobre
saldo devedor de conta corrente bancria etc.
As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo
capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros.
Por exemplo, em juros simples, um capital de R$ 500.000,00, se aplicado a 2,5% ao ms
ou 15% ao semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros.
Isto :
J (2,5% a.m.) = R$ 500.000,00 x 0,025 x 12 = R$ 150.000,00
J (15% a.s.) = R$ 500.000,00 x 0,15 x 2 = R$ 150.000,00
Os juros produzidos pelas duas taxas de juros so iguais, logo so definidas como
taxas equivalentes.
Taxa Proporcional =18%
12
= 1,5% ao ms.Taxa Proporcional =18%
12
= 1,5% ao ms.Taxa Proporcional =18%
12
= 1,5% ao ms.Taxa Proporcional =18%
12
= 1,5% ao ms.
-
MTE CETAM - SETRAB
25
No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas
equivalentes so consideradas a mesma coisa, sendo indiferente a classificao de duas
taxas de juros como proporcionais ou equivalentes.
No exemplo ilustrativo acima, observe que 2,5% a.m. equivante a 15% a.s.,
verificando-se ainda uma proporo entre as taxas. A taxa de 2,5% est relacionada ao
perodo de um ms, e a de 15% a seis meses, Logo:
Exemplos:
Calcular a taxa anual equivalente a: (a) 6% ao ms; (b) 10% ao bimestre.
Soluo:
a) i = 6% x 12 = 72% a.a.
b) i = 10% x 6 = 60% a.a.
Calcular a taxa de juros semestral proporcional a: (a) 60% ao ano; (b) 9% ao
trimestre.
Soluo: conforme foi demonstrado, deve haver uma igualdade entre a proporo das
taxas e entre os perodos a que se referem.
a)
1
6
2,5
15
=1
6
2,5
15
1
6
2,5
15
=
i =60%
12
X 6 = 30% a.s.i =60%
12
X 6 = 30% a.s.
Pois =12
6
60
i
=
12
6
60
30
=
Pois =12
6
60
i
=
12
6
60
30
=
-
MTE CETAM - SETRAB
26
b)
ou: i = 9% x 2 = 18% a.s.
Calcular o montante de um capital de R$ 600.000,00 aplicado taxa de 2,3% ao
ms pelo prazo de um ano e cinco meses.
Soluo: M = ?
C = R$ 600.000,00
n = 1 ano e 5 meses (17) meses
i = 2,3% a.m. (0,023)
M = C (1 + i x n)
M = 600.000,00 (1 + 0,023 x 17) = R$ 834.600,00
Uma dvida de R$ 30.000,00 a vencer dentro de um ano saldada 3 meses antes.
Para a sua avaliao antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Apurar
o valor da dvida a ser pago antecipadamente,
Soluo: M = R$ 30.000,00
C = ?
i = 15% ao ano (15% / 12 = 1,25% ao ms)
n = 3 meses
C = 30.000,00 / (1 + 0,0125 x 3) = R$ 28.915,66
3.5 JURO EXATO E JURO COMERCIAL
comum nas operaes de curo prazo, em que predominam as aplicaes com
taxas referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em nmero de dias. Nesses
casos, o nmero de dias pode ser calculado de duas maneiras.
Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendrio do ano civil (365 dias). O
juro apurado dessa maneira determina-se juro exato;
i =9%
3
X 6 = 18% a.s.i =9%
3
X 6 = 18% a.s.
-
MTE CETAM - SETRAB
27
Pelo ano comercial, o qual admite o ms com 30 dias e ao ano com 360 das. Tem-
se, por esse critrio, a apurao do denominado juro comercial ou ordinrio.
Como exemplo, 12% ao ano equivale, pelos critrios enunciados, a uma taxa diria
de:
a)
b)
Na ilustrao acima, o juro comercial dirio ligeiramente superior ao exato pelo
menor nmero de dias considerado no intervalo de tempo.
3.6 EQUIVALNCIA FINANCEIRA
O problema da equivalncia financeira constitui-se no raciocnio bsico da
matemtica financeira. Conceitualmente, dois ou mais capitais representativos de uma
certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados
iguais numa data comum.
Como exemplo, R$ 120,00 vencveis daqui a um ano e R$ 100,00, hoje, so
equivalentes a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, uma vez que os R$ 100,00,
capitalizados, produziriam R$ 120,00 dentro de um ano, ou os R$ 120,00, do final do
primeiro ano, resultariam em R$ 100,00 se atualizados para hoje. Ou seja, ambos os
capitais produzem, numa data de comparao (data focal) e a taxa de 20% ao ano,
resultados idnticos. Graficamente:
=
18%
.Juro Exato =
365
= 0,032877% a.d. .=
18%
.Juro Exato =
365
= 0,032877% a.d. .
=
18%
.Juro Comercial =
360
= 0,0333333% a.d. .=
18%
.Juro Comercial =
360
= 0,0333333% a.d. .
-
MTE CETAM - SETRAB
28
Exemplo:
Determinar se R$ 438.080,00 vencveis daqui a 8 meses equivalente a se
receber hoje R$ 296.000,00, admitindo-se uma taxa de juros simples de 6% ao ms.
Soluo: M = C (1 + i x n) M = 296.000,00 x (1 + 0,06 x 8) M = R$ 438.080,00
C = M (1 + i x n) C = 438.080,00 / (1 + 0,06 x 8) C = R$ 296.000,00
Logo, os capitais so equivalentes taxa de 6% ao ms. Portanto, a essa taxa de
juros indiferente receber R$ 296.000,00 hoje ou R$ 438.080,00 daqui a 8 meses.
3.7 FRMULAS DE JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada perodo
so acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do perodo. Esse
montante, por sua vez, passar a render juros no perodo seguinte formando um novo
montante (constitudo do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros
formados nos perodos anteriores), e assim por diante.
Esse processo de formao dos juros diferente daquele descrito para os juros
simples, em que unicamente o capital rende juros, no ocorrendo remunerao sobre os
juros formados em perodos anteriores.
Tecnicamente, o regime de juros compostos superior ao de juros simples,
principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos, conforme foi comentando
anteriormente. No critrio composto, a equivalncia entre capitais pode ser apurada em
qualquer data, retratando melhor a realidade das operaes que o regime linear (juros
simples).
R$ 100,00 R$ 120,00
M = 100,00 x (1 + 0,20 x 1)
C = 120,00 / (1 + 0,20 x 1)
R$ 100,00 R$ 120,00
M = 100,00 x (1 + 0,20 x 1)
C = 120,00 / (1 + 0,20 x 1)
-
MTE CETAM - SETRAB
29
No regime de juros compostos, os juros so capitalizados, produzindo juros sobre
juros periodicamente.
Para melhor desenvolver este conceito e definir suas frmulas de clculo, admita
ilustrativamente uma aplicao de R$ 1.000,00 taxa composta de 10% ao ms.
Identificando-se por VP o valor presente (capital) e VF o valor futuro (montante), tm-se
os seguintes resultados ao final de cada perodo:
- Final do 1 ms: o capital de R$ 1.000,00 produz juros de R$ 100,00 (10% x R$
1.000,00) e um montante de R$ 1.100,00 (R$ 1.000,00 + R$ 100,00), ou seja:
VF = VP x (1 + i)
VF = 1.000,00 x (1 + 0,10) = R$ 1.100,00
- Final do 2 ms: o montante do ms anterior (R$ 1.100,00) o capital deste 2 ms,
servindo de base para o clculo dos juros deste perodo. Assim:
VF = VP x (1 + i)
VF = VP x (1 + i) x (1 + i)
VF = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10)
VF = 1.000,00 x (1 + 0,10)2 = R$ 1.210,00
Logo, podemos deduzir que a frmula para obteno do montante (Valor Futuro):
VF = VP x (1 + i)n
- Final do 3 ms: dando seqncia ao raciocnio de juros compostos:
VF = VP x (1 + i)n
VF = 1.000,00 (1 + 0,10)3
VF = R$ 1.331,00
- Final do ensimo ms: aplicando-se a evoluo dos juros compostos exposta para cada
um dos meses, o valor futuro obtido atravs da aplicao da VF = VP x (1 + i)n.
Generalizando-se:
-
MTE CETAM - SETRAB
30
Onde (1 + i)n o fator de capitalizao (ou fator de valor futuro), FVF (i, n) a juros
compostos, e 1 / (1 + i) n o fator de atualizao (ou fator de valor presente), FVP (i, n) a
juros compostos.
A movimentao de um capital ao longo de uma escala de tempo em juros
compostos se processa mediante a aplicao desses fatores.
Alternativamente ao uso de calculadoras financeiras ou cientficas, existem tabelas
desenvolvidas em muitos livros de finanas que apresentam os resultados desses fatores
para diferentes valores de i e n.
Por outro lado, sabe-se que o valor monetrio dos juros (J) apurado pela
diferena entre montante (VF) e o capital (VP), podendo-se obter o seu resultado tambm
pela seguinte expresso:
Como:
Colocando-se VP em evidncia:
Exemplos:
Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto dever ela depositar
hoje numa alternativa de poupana que rende 1,7% de juros compostos ao ms?
Soluo: VF = R$ 27.500,00
VF = PV x (1 + i)n VP = VF
(1 + i)nVF = PV x (1 + i)n VP =
VF
(1 + i)n
J = VF - VP
VF = PV x (1 + i)n
J = VP x [(1 + i)n 1]
-
MTE CETAM - SETRAB
31
n = 1 ano (12 meses)
i = 1,7% a.m. (0,017)
VP = ?
De fato, uma aplicao de R$ 22.463,70 hoje, a 1,7% ao ms de juros compostos,
produz ao final de um ano o montante de R$ 27.500,00 ou seja:
VF = 22.463,70 x (1 + 0,017)12 = R$ 27.500,00
Considerando-se ainda a taxa composta de 1,7% ao ms, pelo conceito de valor
presente (VP) indiferente a essa pessoa receber R$ 22.463,70 (valor presente) hoje ou
esse valor capitalizado ao final de 12 meses. Efetivamente, esses valores, mesmo
distribudos em diferentes datas, so equivalentes para uma mesma taxa de juros de
1,7% ao ms.
Qual o valor de resgate de uma aplicao de R$ 12.000,00 em um ttulo pelo prazo de 8
meses taxa de juros compostas de 3,5% ao ms?
Soluo: VF = ?
n = 8 meses
i = 3,5% a.m. (0,035)
VP = R$ 12.000,00
VF = VP x (1 + i)n
VF = 12.000,00 x (1 + 0,035)8
VF = 12.000,00 x 1,316809 = R$ 15.801,71
VP = VF
(1 + i)nVP =
VF
(1 + i)n
VP = 27.500,00
(1 + 0,017)12VP =
27.500,00
(1 + 0,017)12
VP = 27.500,00
(1,017)12VP =
27.500,00
(1,017)12
VP = 27.500,00
1,224197 VP = R$ 22.463,70VP =
27.500,00
1,224197 VP = R$ 22.463,70
-
MTE CETAM - SETRAB
32
Uma aplicao de R$ 22.000,00 efetuada em certa data produz, taxa composta
de juros de 2,4% ao ms, um montante de R$ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o
prazo da operao.
Soluo: VF = 26.596,40
n = ?
i = 2,4% a.m. (0,024)
VP = R$ 22.000,00
VF = VP x (1 + i)n
26.596,40 = 22.000,00 x (1 + 0,024)n
1,208927 = (1,024)n
Aplicando-se logaritmos, tem-se:
Log 1,208927 = n x log 1.024
Uma pessoa possui 3 prestaes no valor de R$ 280,00 que iro vencer
respectivamente em maro, abril e maio. Considerando-se que a taxa do financiamento
de 2,4% ao ms, at que valor compensa antecipar o pagamento das prestaes para
fevereiro?
Soluo: VF1 = R$ 280,00
VF2 = R$ 280,00
VF3 = R$ 280,00
n = 3
i = 2,4% a.m. (0,024)
VP = ?
26.596,40
22.000,00= (1.024)n
26.596,40
22.000,00= (1.024)n
log 1,208927
log 1,024n =
0,082400
0,010300= = 8 meses
log 1,208927
log 1,024n =
0,082400
0,010300= = 8 meses
VP =
VF
(1 + i)nVP =
VF
(1 + i)n
-
MTE CETAM - SETRAB
33
VP = 273,44 + 267,03 + 260,77
VP = R$ 801,24
Neste caso, compensa antecipar o pagamento das prestaes pagando-se, em
valores de fevereiro, R$ 801,24. Acima desse valor, no se compensa fazer a
antecipao.
3.8 TAXAS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS)
Em se tratando de juros simples, foi comentado que a taxa equivalente a prpria
taxa proporcional da operao. Por exemplo, a taxa de 3% ao ms e 9% ao trimestre so
dias proporcionais, pois mantm a seguinte relao:
So tambm equivalentes, pois promovem a igualdade dos montantes de um
mesmo capital ao final de certo perodo de tempo.
Por exemplo, em juros simples um capital de R$ 80.000,00 produz o mesmo montante em
qualquer data se capitalizado a 3% ao ms e 9% ao trimestre.
FVF (i = 3% a.m., n = 3 meses) = 80.000,00 x (1 + 0,03 x 3) = R$ 87.200,00
FVF (i = 9% a.m., n = 1 trimestre) = 80.000 x (1 + 0,09 x 1) = R$ 87.200,00
280,00
(1 + 0,024)1VP = +
280,00
(1 + 0,024)2+
280,00
(1 + 0,024)3
280,00
(1 + 0,024)1VP = +
280,00
(1 + 0,024)2+
280,00
(1 + 0,024)3
280,00
(1,024)1VP = +
280,00
(1,024)2+
280,00
(1,024)3
280,00
(1,024)1VP = +
280,00
(1,024)2+
280,00
(1,024)3
1=
3
3
9Prazos Taxas
1=
3
3
9Prazos Taxas
-
MTE CETAM - SETRAB
34
O conceito enunciado de taxa equivalente permanece vlido para o regime de juros
compostos diferenciando-se, no entanto, a frmula de clculo da taxa de juros. Por se
tratar de capitalizao exponencial, a expresso da taxa equivalente composta a mdia
geomtrica da taxa de juros do perodo inteiro, isto :
Onde: q = nmero de perodos de capitalizao.
Por exemplo, a taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre de
1,66%, ou seja:
i6 = 1,0166 1 = 0,0166 ou 1,66% ao ms
Assim, para um mesmo capital e prazo de aplicao, indiferente (equivalente) o
rendimento de 1,66% ao ms ou 10,3826% ao semestre. Ilustrativamente, um capital de
R$ 100.000,00 aplicado por dois anos produz:
Para i = 1,66% ao ms e n = 24 meses:
VF = VP x (1 + i)n = VF = 100.000,00 x (1 + 0,0166)24 = R$ 148.457,63
Para i = 10,3826% ao semestre e n = 4 semestres:
VF = VP x (1 + i)n = VF = 100.000,00 x (1 + 0,103826)4 = R$ 148.457,62
Outro exemplo visa facilitar o melhor entendimento do conceito e clculo de taxa
equivalente de juros no regime exponencial (composto).
iq = 1 + i - 1
q
iq = 1 + i - 1iq = 1 + i - 1
q
i6 = 1 + 0,103826 - 1
6
i6 = 1 + 0,103826 - 1
6
i6 = 1,103826 - 1
6
i6 = 1,103826 - 1
6
-
MTE CETAM - SETRAB
35
Um certo banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicao financeira
de 12% ao semestre (ou 2% ao ms). Dessa maneira, uma aplicao de R$ 10.000,00
produz, ao final de 6 meses, o montante de R$ 11.200,00 (10.000,00 x 1,12).
Efetivamente, os 12% constitui-se na taxa de rentabilidade da operao para o perodo
inteiro de um semestre, e, em bases mensais, esse percentual deve ser expresso em
termos de taxa composta.
Assim, os 12% de rendimentos do semestre determinam uma rentabilidade efetiva
mensal de 1,91% e no de 2% conforme enunciado acima.
De outra maneira:
i6 = 1,019068 1 = 0,019068 i6 = 1,91% ao ms.
Naturalmente, ao se aplicar R$ 10.000,00 por 6 meses a uma taxa composta de
1,91% ao ms, chega-se ao montante de R$ 11.200,00:
VF = VP x (1 + i)n VF = 10.000,00 (1 + 0,0191)6 = R$ 11.202,13
Verifica-se, ento, que o processo de descapitalizao da taxa de juro no regime
composto processa-se pela apurao de sua mdia geomtrica, ou seja, da taxa
equivalente. Nesse caso, o percentual de juro considerado representa a taxa efetiva de
juro da operao.
Exemplos:
Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestralmente equivalentes a 25%
ao ano?
Soluo:
a) Taxa de juros equivalente mensal
i6 = 1,12 - 1
6
i6 = 1,12 - 1
6
i6 = 1 + 0,12 - 1
6
i6 = 1 + 0,12 - 1
6
-
MTE CETAM - SETRAB
36
i = 25% ao ano (0.25)
q = 1 ano (12 meses)
i12 = 1,018769 1 i12 = 0,018769 i12 = 1,877% a. m.
b) Taxa de juros equivalente trimestral
q = 1 ano (4 trimestres)
i4 = 1,057371 1 i4 = 0,057371 i4 = 5,737% a. t.
Explicar a melhor opo: aplicar um capital de R$ 60.000,00 taxa de juros
compostos de 9,9% ao semestre ou taxa de 20,78% ao ano.
Soluo: para a identificao da melhor opo apura-se o montante para as duas taxas e
para um mesmo perodo. Por exemplo: n = 1 ano.
i12 = 1 + 0,25 - 1
12
i12 = 1 + 0,25 - 1
12
iq = 1 + i - 1
q
iq = 1 + i - 1iq = 1 + i - 1
q
i12 = 1,25 - 1
12
i12 = 1,25 - 1
12
i4 = 1 + 0,25 - 1
4
i4 = 1 + 0,25 - 1
4
i4 = 1,25 - 1
4
i4 = 1,25 - 1
4
-
MTE CETAM - SETRAB
37
VF (9,9% a.s.) = 60.000,00 x (1 + 0,099)2 = R$ 72,468,00
VF (20,78% a.a.) = 60.000,00 x (1 + 0,2078)1 = R$ 72.468,00
Produzindo resultados iguais para um mesmo perodo, diz-se que as taxas so
equivalentes. indiferente para um mesmo prazo, e para o regime de juros compostos
aplicar 9,9% a.s. ou a 20,78% a.a.
Demonstrar se a taxa de juros de 11,8387% ao trimestre equivalente taxa de
20,4999% para cinco meses. Calcular tambm a equivalente mensal composta dessas
taxas.
Soluo: uma maneira simples de identificar equivalncia de taxas de juros apurar o
MMC de seus prazos e capitaliz-las para este momento. Se os resultados forem iguais
na data definida pelo MMC, diz-se que as taxas so equivalentes, pois produzem, para
um mesmo capital, montantes idnticos.
Sabendo-se que o MMC dos prazos das taxas de 5 meses (3 meses e 5 meses),
tm-se:
a) (1 + 0,118387)5 1 = 74,9688% para 15 meses
b) (1 + 0,204999)3 1 = 74,9688% para 15 meses
As taxas de 11,8387% ao trimestre e 20,4999% para 5 meses so equivalentes
compostas, pois quando capitalizadas para um mesmo momento produzem resultados
iguais.
Taxa equivalente Mensal (descapitalizao):
a)
i3 = 1+ 0,118387 - 1
3
i3 = 1+ 0,118387 - 1
3
i3 = 1,118387 - 1
3
i3 = 1,118387 - 1
3
-
MTE CETAM - SETRAB
38
i3 = 1,038000 1 i3 = 0,038000 i3 = 3,8% a. m.
b)
i5 = 1,038000 1 i5 = 0,038000 i5 = 3,8% a. m.
Por serem equivalentes, a taxa mensal igual.
3.9 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA (JUROS COMPOSTOS)
A taxa efetiva de juros a taxa dos juros apurada durante o prazo n, sendo
formada exponencialmente atravs dos perodos de capitalizao. Ou seja, taxa efetiva
o processo de formao de juros pelo regime de juros compostos ao longo dos perodos
de capitalizao. obtida pela seguinte expresso:
Taxa Efetiva (if) = (1 + i)q - 1
Onde q representa o nmero de perodos de capitalizao dos juros.
Por exemplo, uma taxa de 3,8% ao ms determina um montante efetivo de juros de
56,45% ao ano, ou seja:
if = (1 + 0,038)12 1 = 56,45% a.a.
Quando se diz, por outro lado, que uma taxa de juros nominal, geralmente
admitido que o prazo de capitalizao dos juros (ou seja, perodo de formao e
incorporao dos juros ao principal) no o mesmo daquele definido para a taxa de juros.
Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada
mensalmente. Os prazos no so coincidentes. O prazo de capitalizao de um ms e o
prazo a que se refere taxa de juros igual a um ano (12 meses).
i5 = 1+0,204999 - 1
5
i5 = 1+0,204999 - 1
5
i5 = 1,204999 - 1
5
i5 = 1,204999 - 1
5
-
MTE CETAM - SETRAB
39
Assim, 36% ao ano representam uma taxa nominal de juros, expressa para um
perodo inteiro, a qual deve ser atribuda ao perodo de capitalizao (nesse caso, a
capitalizao mensal).
Quando se trata de taxa nominal comum admitir-se que a capitalizao ocorre
por juros proporcionais simples. Assim, no exemplo, a taxa por perodo de capitalizao
de 36% / 12 = 3% ao ms (taxa proporcional ou linear).
Ao se capitalizar essa taxa nominal, apura-se uma taxa efetiva de juros superior
quela declarada para a operao. Baseando-se nos dados do exemplo ilustrativo acima,
tem-se:
- Taxa nominal da operao para o perodo = 36% ao ano
- Taxa proporcional simples
(taxa definida para o perodo de capitalizao) = 3% ao ms
- Taxa efetiva de juros: if = (1 + 0,36 / 12)12 1 = 42,6% ao ano
Observe que a taxa nominal no revela a efetiva taxa de juros de uma operao.
Ao dizer que os juros anuais so de 36%, mais capitalizados mensalmente, apura-se que
a efetiva taxa de juros atinge 42,6% ao ano.
Para que 36% ao ano fossem considerados a taxa efetiva, a formao mensal dos
juros deveria ser feita a partir da taxa equivalente composta, ou seja:
i12 = 1,025955 1 i12 = 0,025955 i12 = 2,6% a. m.
Ao se capitalizar exponencialmente essa taxa de juros equivalente mensal, chega-
se, evidentemente, aos 36% ao ano.
if = (1 + 0,026)12 1 = 36% a.a.
iq = 1 + i - 1
q
iq = 1 + i - 1iq = 1 + i - 1
q
i12 = 1 + 0,36 - 1
12
i12 = 1 + 0,36 - 1
12
i12 = 1,36 - 1
12
i12 = 1,36 - 1
12
-
MTE CETAM - SETRAB
40
Convenciona-se, nesta apostila, quando houver mais de um perodo de
capitalizao e no houver uma meno explcita de que se trata de uma taxa efetiva, que
a atribuio dos juros a esses perodos deve ser processada atravs da taxa proporcional.
Por outro lado, quando os prazos forem coincidentes (prazo da taxa e o de formao dos
juros) a representao da taxa de juros abreviada. Por exemplo, a expresso nica
10% a.a. indica que os juros so tambm capitalizados em termos anuais.
Exemplos:
Um emprstimo no valor de R$ 11.000,00 efetuado pelo prazo de um ano taxa
nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizados trimestralmente. Pede-se
determinar o montante e o custo efetivo do emprstimo.
Soluo: admitindo-se, de acordo com a conveno adotada, que a taxa de juros pelo
perodo de capitalizao seja proporcional simples, tem-se:
Taxa nominal (linear)
i = 32% a.a.
Descapitalizao proporcional i = 32% / 4 = 8% a.t.
Montante do emprstimo VF = VP x (1 + i)n VF = 11.000,00 x (1 + 0,08)4
VF = R$ 14.965,38
Taxa Efetiva
if = (1 + i)n -1 if = (1 + 0,08)4 1 if = 36,05% a.a.
Sendo 24% ao ano a taxa nominal de juros cobrada por uma instituio, calcular o
custo efetivo anual, admitindo-se que o perodo de capitalizao dos juros seja:
Mensal;
Trimestral;
Semestral.
Soluo:
a) Custo efetivo (if) = (1 + 0,24 / 12)12 1 = 26,82% a.a.
-
MTE CETAM - SETRAB
41
b) Custo efetivo (if) = (1 + 0,24 / 4)4 1 = 26,25% a.a.
c) Custo efetivo (if) = (1 + 0,24 / 2)2 1 = 25,44% a.a.
Uma aplicao financeira promete pagar 42% ao ano de juros. Sendo de um ms o
prazo de aplicao, pede-se determinar a sua rentabilidade efetiva considerando-se os
juros de 42% ao ano, como:
Taxa Efetiva;
Taxa Nominal.
Soluo:
a) Taxa Efetiva a rentabilidade mensal a taxa equivalente composta de 42% ao
ano.
I12 = 1,029653 1 i12 = 0,029653 i12 = 2,97% a.m.
Capitalizando-se exponencialmente os juros de 2,97% ao ms, chega-se,
evidentemente, taxa efetiva anual de 42%, isto :
(1 + 0,0297)12 1 = 42% a.a.
Taxa Nominal a rentabilidade mensal de 42% ao ano definida pela taxa
proporcional simples, isto :
i = 42% / 12 i = 3,5% a.m.
Ao se capitalizar exponencialmente essa taxa para o prazo de um ano, chega-se a
um resultado efetivo superior taxa nominal dada de 42% ao ano:
if = (1 + 0,035)12 1 if = 51,10% a.a.
i12 = 1 + 0,42 - 1
12
i12 = 1 + 0,42 - 1
12
i12 = 1,42 - 1
12
i12 = 1,42 - 1
12
-
MTE CETAM - SETRAB
42
Logo, 51,10% ao ano a taxa efetiva anual da operao, sendo de 42% a taxa
declarada (nominal).
Muitas vezes, o mercado financeiro define, para uma mesma operao, expresses
diferentes de juros em termos de sua forma de capitalizao. Por exemplo, uma linha de
crdito de cheque especial costuma ser definida, na prtica, tanto por taxa efetiva como
por taxa nominal. Nessas condies, para a comparabilidade dos custos essencial que
se referenciem as taxas segundo um mesmo critrio de apurao dos juros. importante
que a pessoa que ir realizar e/ou calcular as transaes esteja atenta a essas taxas.
4 DESCONTOS
Entende-se por valor nominal o valor do resgate, ou seja, o valor definido para um
ttulo em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o prprio montante da
operao.
A operao de se liquidar um ttulo antes de seu vencimento envolve geralmente
uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Dessa maneira, desconto
pode ser entendido como a diferena entre o valor nominal de um ttulo e seu valor
atualizado apurado n perodos antes de seu vencimento.
Por outro lado, valor descontado de um ttulo o seu valor atual na data do
desconto, sendo determinado pela diferena entre o valor nominal e o desconto, ou seja:
Valor Descontado = Valor Nominal Desconto
As operaes de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros
simples como no de juros compostos. Tanto no regime linear como no composto, ainda
so identificados dois tipos de desconto: a) desconto por dentro ou racional e; b)
desconto por fora ou bancrio ou comercial.
-
MTE CETAM - SETRAB
43
4.1 DESCONTO SIMPLES
4.1.1 Desconto Racional (ou por dentro)
O desconto racional, tambm denominado de desconto por dentro, incorpora os
conceitos e relaes bsicas de juros simples, conforme desenvolvido no incio desta
apostila.
Assim, sendo Dr o valor do desconto racional, C o capital (ou valor atual), i a taxa
peridica de juros e n o prazo do desconto (nmero de perodos que o ttulo negociado
antes de seu vencimento), tem-se a conhecida expresso de juros simples:
Dr = C x i x n
Pela prpria definio de desconto e introduzindo-se o conceito de valor
descontado no lugar de capital no clculo do desconto, tem-se:
Dr = N x Vr
Sendo N o valor nominal (ou valor de resgate, ou montante) e Vr o valor
descontado racional (ou valor atual) na data da operao.
Como:
Tem-se:
A partir dessa frmula possvel calcular o valor do desconto racional obtido de
determinado valor nominal (N), a uma dada taxa simples de juros (i) e a um determinado
prazo de antecipao (n).
N
1 + i x nVr = C =
N
1 + i x nVr = C =
N x i x n
1 + i x nDr =
N x i x n
1 + i x nDr =
-
MTE CETAM - SETRAB
44
J o valor descontado, conforme definio apresentada, obtido pela seguinte
expresso de clculo:
Observe, uma vez mais, que o desconto racional representa exatamente as
relaes de juros simples descritas no incio desta apostila. importante registrar que o
juro incide sobre o capital (valor atual) do ttulo, ou seja, sobre o capital liberado da
operao. A taxa de juro (desconto) cobrada representa, dessa maneira, o custo efetivo
de todo o perodo do desconto.
Exemplo:
Seja um ttulo de valor nominal de R$ 4.000,00 vencvel em um ano, que est
sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de
juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado dessa operao.
Soluo: representada graficamente.
Desconto:
N
1 + i x nVr =
N
1 + i x nVr =
0 9 12 mesesi = 42% a.a.
= 3,5% a.m.
Vr N = R$ 4.000,00
0 9 12 mesesi = 42% a.a.
= 3,5% a.m.
Vr N = R$ 4.000,00
N x i x n
1 + i x nDr =
N x i x n
1 + i x nDr =
4.000,00 x 0,035 x 3
1 + 0,035 x 3Dr =
4.000,00 x 0,035 x 3
1 + 0,035 x 3Dr =
420,00
1,105Dr =
420,00
1,105Dr =
-
MTE CETAM - SETRAB
45
Dr = R$ 380,10
Valor descontado: Valor descontado = Valor Nominal Desconto
Vr = N - Dr
Vr = 4.000,00 380,10 = R$ 3.619,90
Ou
Vr = R$ 3.619,90
Utilizando-se a segunda expresso (Vr), consegue-se chegar ao valor descontado
de forma mais rpida.
4.1.2 Desconto Bancrio (ou Comercial, ou por fora)
Esse tipo de desconto, simplificadamente por incidir sobre o valor nominal (valor de
resgate) do ttulo, proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas
operaes. Observe que, ao contrrio dos juros por dentro, que calculam os encargos
sobre o capital efetivamente liberado na operao, ou seja, sobre o valor presente, o
critrio por fora apura os juros sobre o montante, indicando custos adicionais ao tomador
de recursos.
A modalidade de desconto por fora amplamente adotada pelo mercado,
notadamente em operaes de crdito bancrio e comercial em curto prazo.
O valor desse desconto, genericamente denominado de desconto por fora (DF),
no regime de juros simples determinado pelo produto do valor nominal do ttulo (N), da
taxa de desconto peridica por fora contratada na operao (d) e do prazo de
antecipao para o desconto (n). Isto :
DF = N x d x n
N
1 + i x nVr =
N
1 + i x nVr =
4.000,00
1 + 0,035 x 3Vr =
4.000,00
1 + 0,035 x 3Vr =
-
MTE CETAM - SETRAB
46
O valor descontado por fora (VF), aplicando-se a definio, obtido:
VF = N DF
VF = N N x d x n
VF = N (1 - d x n)
Exemplo: Para melhor avaliar as diferenas dos tipos de descontos, so desenvolvidos os
mesmos exemplos utilizados anteriormente no desconto racional (ou por dentro).
Seja um ttulo de valor nominal de R$ 4.000,00 vencvel em um ano, que est
sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa de
desconto adotada, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operao.
Soluo: analogamente.
Desconto: DF = N x d x n
DF = 4.000,00 x 0,035 x 3 DF = R$ 420,00
Observe que o maior valor dos juros cobrados pelo ttulo deve-se ao fato, conforme
ressaltado anteriormente, de o desconto por fora ser aplicado diretamente sobre o valor
nominal (valor de resgate) e no sobre o valor atual como caracterstico das operaes
de desconto racional.
Em verdade, o valor do desconto for fora equivale, num mesmo momento do
tempo, ao montante do desconto por dentro, supondo-se as mesmas condies de
prazo e taxa. Isto :
0 9 12 mesesd = 42% a.a.
= 3,5% a.m.
VF N = R$ 4.000,00
0 9 12 mesesd = 42% a.a.
= 3,5% a.m.
VF N = R$ 4.000,00
-
MTE CETAM - SETRAB
47
Dr = R$ 380,10
DF = R$ 420,00
Para uma taxa de 3,5% a.m. e um perodo de desconto de 3 meses, conforme
estabelecido na ilustrao, tm-se:
DF = Dr (1 + i x n)
DF = 380,10 x (1 + 0,035 x 3)
DF = 380,10 x (1,105)
DF = R$ 420,00
O clculo do valor descontado (VF) desenvolvido:
VF = N (1 d x n)
VF = 4.000,00 x (1 0,035 x 3)
VF = 4.000,00 x (0,895)
VF = R$ 3.580,00
Torna-se evidente que o devedor desse ttulo, descontado pelo desconto bancrio
(ou comercial, ou por fora), assume encargos maiores do que aqueles declarados para a
operao.
A taxa de juros efetiva dessa operao no equivale taxa de desconto utilizada.
Note que, se so pagos R$ 420,00 de juros sobre um valor atual de R$ 3.580,00, a taxa
de juros assume o seguinte percentual efetivo:
i = R$ 420,00 / R$ 3.580,00 i = 11,73% a.t.
Logo, no desconto por fora fundamental separar a taxa de desconto (d) e a taxa
efetiva de juros (i) da operao. Em toda operao de desconto por fora h uma taxa
implcita (efetiva) de juros superiores taxa declarada.
4.2 DESCONTO COMPOSTO
-
MTE CETAM - SETRAB
48
O desconto composto, utilizado basicamente em operaes em um longo prazo,
pode ser identificado, igualmente ao desconto simples, em dois tipos: o desconto por
dentro (racional) e o desconto por fora.
4.2.1 Desconto composto por fora
O desconto composto por fora caracteriza-se pela incidncia sucessiva da taxa de
desconto sobre o valor nominal do ttulo, o qual deduzido, em cada perodo, dos
descontos obtidos em perodos anteriores.
Nesta conceituao, o desconto composto por fora apresenta os seguintes
resultados numa sucesso de perodos:
1 Perodo: VF1 = N D
Como: DF = N x d
Tem-se:
VF1 = N N x d
VF1 = N (1 d)
O valor N (1 d) o novo valor nominal sobre o qual incidir a taxa de desconto no
perodo seguinte:
2 Perodo: DF2 = N (1 d) x d
Logo: VF2 = VF1 DF2
VF2 = N (1 d) N (1 d) x d
VF2 = N Nd (N + Nd) x d
VF2 = N Nd Nd + Nd2
VF2 = N 2Nd - Nd2
Colocando N em evidncia:
VF2 = N (1 2d + d2)
VF2 = N (1 d)2
3 Perodo: DF3 = N (1 d)2 x d
Logo: VF3 = VF2 DF3
VF3 = N (1 d)2 N (1 d)2 x d
VF3 = N (1 2d + d2) N (1 2d + d2) x d
VF3 = N 2dN + Nd2 Nd + 2d2N Nd3
-
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VF3 = N (1 2d + d2 d + 2d2 d3)
VF3 = N (1 3d + 3d2 d3)
VF3 = N (1 d)3
E assim sucessivamente at o ensimo perodo.
Ensimo perodo: generalizando o desenvolvimento do desconto composto por
fora, obtm-se a seguinte expresso de clculo:
VF = N (1 d)n
Como: DF = N VF
Tem-se: DF = N N (1 d)n
DF = N [1 (1 d)n]
Por apresentar rarssimas aplicaes prticas, os exerccios desse tipo de
desconto composto ficam restritos ao exemplo abaixo desenvolvido.
Exemplo:
Um ttulo de valor nominal de R$ 35.000,00 negociado atravs de uma operao
de desconto composto por fora 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto
adotada atinge 5% ao ms. Pede-se determinar o valor descontado, o desconto e a taxa
de juros efetiva da operao.
Soluo: N = R$ 35.000,00 VF = ?
n = 3 meses
DF = ?
d = 5% a.m.
i = ?
Desconto:
DF = N [1 (1 d)n]
DF = 35.000,00 [1 (1 0,05)3]
-
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DF = 35.000,00 x 0,142625
DF = R$ 4.991,88
Valor Descontado: VF = N (1 d)n
VF = 35.000,00 (1 0,05)3
VF = R$ 30.008,12
Ou :
VF = N - DF
VF = 35.000,00 - 4.991,88 = R$ 30.008,12
Taxa efetiva de juros:
35.000,00 = 30.008,12 (1 + i)3
1,0526 = 1 + i i = 0,0526 ou: 5,26% a.m.
4.2.2 Desconto Composto por dentro
0 3 (meses)
N = R$ 35.000,00VF = R$ 30.008,12
0 3 (meses)
N = R$ 35.000,00VF = R$ 30.008,12
35.000,00= (1 + i)3
3
30.008,12
335.000,00
= (1 + i)3
3
30.008,12
3
1,166351 = (1 + i)
3
1,166351 = (1 + i)
3
-
MTE CETAM - SETRAB
51
Conforme comentado, o desconto composto por dentro ou (racional) aquele
estabelecido segundo conhecidas relaes do regime de juros compostos.
Assim sendo, o valor descontado racional (Vr) equivale ao valor presente de juros
compostos, conforme apresentado anteriormente nesta apostila, ou seja:
Por outro lado, sabe-se que o desconto obtido pela diferena entre o valor
nominal (resgate) e o valor descontado (valor presente). Logo, o desconto racional (Dr)
tem a seguinte expresso de clculo:
Dr = N Vr
Dr = N
Colocando-se N em evidncia:
Dr = N
Por exemplo, suponha que uma pessoa deseja descontar uma nota promissria 3
meses antes de seu vencimento. O valor nominal desse ttulo de R$ 50.000,00. Sendo
4,5% ao ms a taxa de desconto racional, o valor lquido recebido (valor descontado) pela
pessoa na operao atinge:
Vr = R$ 43.814,83
O valor do desconto racional, por seu lado, soma a:
N
(1 + i)nVr =
N
(1 + i)nVr =
N
(1 + i)n
N
(1 + i)n
( 1(1 + i)n1 - ) ( 1
(1 + i)n1 - )
50.000,00
(1 + 0,045)3Vr =
50.000,00
(1 + 0,045)3Vr =
N
(1 + i)nVr =
N
(1 + i)nVr =
-
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Dr = N Vr
Dr = 50.000,00 43.814,83 = R$ 6.185,17
Por se tratar de desconto racional (por dentro), a taxa efetiva de juros a prpria
taxa de desconto considerada, isto :
50.000,00 = 43.814,83 (1 + i)3
1,045 = 1 + i
i = 4,5% a.m.
Exemplos:
Sabe-se que um ttulo, para ser pago daqui a 12 meses, foi descontado 5 meses
antes de seu vencimento. O valor nominal do ttulo de R$ 42.000,00 e a taxa de
desconto de 3,5% ao ms. Calcular o valor lquido liberado nessa operao sabendo-se
que foi utilizado o desconto composto por dentro.
Soluo:
50.000,00
3
43.814,83= (1 + i)3
350.000,00
3
43.814,83= (1 + i)3
3
= (1 + i)33
1,141166 = 1 + i
3
1,141166 = 1 + i
3
0 7 12 mesesi = 3,5% a.m.
Vr N = R$ 42.000,00
0 7 12 mesesi = 3,5% a.m.
Vr N = R$ 42.000,00
N
(1 + i)nVr =
N
(1 + i)nVr =
-
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Vr = R$ 35.362,87
O valor do desconto racional:
Dr = N Vr
Dr = 42.000,00 35.362,87 = R$ 6.637,13
Calcular o valor do desconto racional de um ttulo de valor nominal de R$
12.000,00 descontado 4 meses antes de seu vencimento taxa de 2,5% ao ms.
Soluo: Dr = ?
N = R$ 12.000,00
n = 4 meses
i = 2,5% a.m.
Dr = N
Dr = 12.000,00
Vr =42.000,00
(1 + 0,035)5Vr =
42.000,00
(1 + 0,035)5
( 1(1 + i)n1 - ) ( 1
(1 + i)n1 - )
( 1(1 + 0,025)41 - ) ( 1
(1 + 0,025)41 - )
-
MTE CETAM - SETRAB
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Dr = 12.000,00 x 0,094049 R$ 1.128,59
Um banco libera a um cliente R$ 6.800,00 provenientes do desconto de um ttulo
de valor nominal de R$ 9.000,00 descontado taxa de 4% a.m. Calcular o prazo de
antecipao em que foi descontado esse ttulo.
Soluo: Vr = R$ 6.800,00
N = R$ 9.000,00
n = ?
i = 4% a.m.
log (1,04)n = log 1,323529
n x log 1,04 = log 1,323529
n = 0,121733 / 0,017033 n = 7,146891 n = 7,15 meses
N
(1 + i)nVr =
N
(1 + i)nVr =
6.800,00 = 9.000,00
(1 + 0,04)n6.800,00 =
9.000,00
(1 + 0,04)n
(1,04)n = 9.000,00
6.800,00(1,04)n =
9.000,00
6.800,00
n = log 1,323529
log 1,04n =
log 1,323529
log 1,04
-
MTE CETAM - SETRAB
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5 PRESTAES
cada vez mais demandado o uso do clculo financeiro na definio de
estratgias comerciais de compra e venda, analisando a atratividade dos vrios planos
financeiros que comumente so divulgados pelo comrcio em geral. Para as vrias
decises econmicas a serem tomadas por uma empresa ou por uma pessoa fsica,
indispensvel o conhecimento da taxa efetiva de juros embutidos nas operaes a prazo,
e o seu confronto com o desconto concedido em operaes vista.
A aplicao da matemtica financeira nas operaes comerciais objetiva
determinar:
A efetiva reduo do preo da mercadoria/produto, causada pelas condies de
pagamento concedidas para determinada taxa de inflao ou custo de
oportunidade;
O percentual de desconto nas operaes vista que seria equivalente concesso
do prazo respectivo;
Para determinado nvel de inflao, quais os planos de venda a prazo
considerados economicamente mais interessantes.
O objetivo da avaliao dessas estratgias comparar as vrias alternativas de
venda expressas em moeda constante, ou seja, com poder de compra de mesma data.
Evidentemente, o fluxo de valores das vendas poderia tambm ser descontado por um
custo de oportunidade de mercado, como a taxa de desconto bancrio de duplicatas, sem
que isso alterasse a essncia do raciocnio apresentado.
Por outro lado, o enfoque das estratgias de vendas a ser adotado neste item
preferencialmente voltado para o lado do vendedor, apurando-se assim a perda da venda.
De forma oposta, essa perda transforma-se em benefcio para quem compra.
A frmula de matemtica financeira para se calcular uma prestao a seguinte:
Onde, PMT a prestao.