apostila gams-2013 unesp

7/30/2019 Apostila Gams-2013 Unesp

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PESQUISA OPERACIONAL

DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAO DEMODELOS MATEMTICOS POR MEIO DALINGUAGEM GAMS

UNESPAneirson Francisco da Silva- Doutor Em Engenharia deProduo na linha de { Gesto e Otimizao-Pesquisa

Operacional) FEG-UNESP-2013Mestre em Engenharia de Produo-UNIFEI-2009
http://www.pdfonline.com/easypdf/?gad=CLjUiqcCEgjbNejkqKEugRjG27j-AyCw_-AP


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Prefcio

Dedico esse trabalhoA minha famlia, pela dedicao e peloapoio durante toda minha formao, em

especial para aos meus avs (in memoriam)Manuel Francisco da Silva e Maria Batista.


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Bons livros so capazes de mudar

Nossos destinos Allan Kardec


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Apresentao

Este livro teve como objetivo fornecer conceitos matemticos sobre a linguagem

de modelagem General Algebraic Modeling System GAMS. A estrutura deste

livro est constituda primeiramente pela reviso da histria da Pesquisa

Operacional, e em seguida uma explanao a respeito dos modelos lineares,

iniciando pelas particularidades desse modelo, teoria de redes e DEA. Tambm

so abordados modelos de otimizao combinatria.


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Sumrio

Captulo 1: Introduo Pesquisa Operacional ..................................................................6

Captulo 2: Estruturao de Modelos Lineares ....................................................................11

Captulo 3: Otimizao de Problemas Reais .......................................................................23

Captulo 4: Modelos Multiperodos ........................................................................................33

Captulo 5: Modelos Inteiros....................................................................................................40

Captulo 6: Otimizao em Redes e Grafos ........................................................................45

Captulo 7: Otimizao combinatria..................................................................................55

Captulo 8: Anlise por Envoltria de Dados .......................................................................63

Captulo 10: Otimizao Estocstica....................................................................................94

Captulo 11: Otimizao Multiobjetivo .................................................................................96

Captulo 12: Otimizao Quadrtica .................................................................................102


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Captulo 1: Introduo Pesquisa Operacional

1. A evoluo da pesquisa operacionalO termo Pesquisa Operacional PO foi empregado pela primeira vez em 1939. A partir de

individualizada e batizada, tornou-se possvel fixar suas origens em pocas remotas da histria

da cincia e da sociedade.

1.1. O mtodo da pesquisa operacional

A experimentao tomada no sentido restrito - isto , a manipulao fsica das variveis -

geralmente impossvel ou impraticvel quando se lida com organizaes governamentais,

militares ou industriais. Apesar disso, a experimentao s vezes possvel, particularmente nocaso de subsistemas, e desempenha papel importante na PO. Na maioria das vezes, entretanto, o

sistema global em estudo no pode ser submetido a um tratamento desta natureza. Quem

trabalha em pesquisa operacional geralmente obrigado a construir representaes do sistema e

do seu comportamento para se orientar durante a pesquisa. Os modelos em PO assumem a forma

de uma ou mais equaes ou inequaes para traduzir a condio de que algumas, ou todas as

variaes controladas s podem ser manipuladas dentro de limites. O conjunto destas equaes

constitui, ao mesmo tempo, um modelo de sistema e um modelo de deciso.A soluo pode ser extrada do modelo mediante experimentao (isto , por simulao) ou

mediante anlise matemtica. Para alguns tipos de funo f (por exemplo, relaes algbricas

elementares), desde que as restries no sejam numerosas, a matemtica clssica fornece

instrumentos perfeitamente adequados para a determinao dos melhores valores das variveis

controladas. Por outro lado, a funo fpode consistir em um conjunto de regras de clculo (um

algoritmo) que nos permita medir a utilidade (U) do desempenho para qualquer conjunto de

valores das variveis controladas e no controladas.

Em alguns casos o comportamento do elemento humano que toma a deciso no pode ser

representado no modelo. Ocorre a necessidade do uso de simulaes que envolvero a

participao de seres humanos, sendo denominados jogos de operaes.

A otimizao, portanto, produz a melhor soluo para o problema que foi modelado.
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A correspondncia entre modelo e realidade ter de ser aferida (testada) e a soluo avaliada.

Isto , teremos de comparar seu desempenho com o da poltica ou procedimento que ela ir

substituir. Os resultados da pesquisa devem ser implantados. nesta fase que se faz o teste e a

avaliao final da pesquisa; proporcionando, pois, ao especialista as maiores e melhores

oportunidades de aprender.

Cinco fases num projeto de PO:

1. Formulao do problema;

2. Construo do modelo;

3. Obteno da soluo;

4. Teste do modelo e avaliao da soluo;

5. Implantao e acompanhamento da soluo (manuteno).

As vantagens e desvantagens da utilizao de modelos foram assim definidas:

Vantagens

a) Emerge sob a forma grfica, para representar a realidade aprendida em

determinado momento;

b) Simplifica a visualizao da amplitude das variveis sem alterar a essncia;

c) Ajuda a identificar vrias relaes possveis entre os elementos da realidade;d) Possibilita compreender relaes complexas;

e) Serve como base para estabelecer e aprimorar parmetros.

Desvantagens

f) Limitaes na identificao de todas as variveis relevantes que influenciam em

determinada situao;

g) Problemas na definio das propriedades a serem mensuradas e na especificaode procedimentos para tal;

h) Dificuldades no entendimento entre os provedores e os usurios da informao.


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A representao simplificada de um problema prtico por meio de um modelo matemtico

permite que sobre ele se aplique tcnicas e mtodos que facilitam a obteno de uma soluo.

1.2. O impacto da pesquisa operacionalA Pesquisa Operacional tem tido um grande impacto crescente na administrao de empresas

nos anos recentes. Tanto o nmero quanto a variedade de suas aplicaes continuam a crescer

rapidamente. Algumas de suas tcnicas envolvem ide ias sofisticadas em cincias polticas,

matemtica, economia, teoria da probabilidade e estatstica. Como tambm sendo usada

amplamente em outros tipos de organizaes, inclusive negcios e indstria.

Muitas indstrias, inclusive a de aviao e msseis, automveis, comunicaes, computadores,

energia eltrica, eletrnica, alimentos, metalrgica, minerao, papel, petrleo e transporte, tmfeito uso extensivo da pesquisa operacional. Mesmo instituies financeiras, agncias

governamentais e hospitais tm aumentado rapidamente o uso que fazem da pesquisa

operacional.

Vejamos alguns dos problemas que tm sido resolvidos por tcnicas particulares de pesquisa

operacional:

Programao Linear: tem sido usada com sucesso na soluo de problemas relativos

alocao de pessoal, mistura de materiais, distribuio, transporte, carteira de

investimento, avaliao da eficincia;

Programao Dinmica: tem sido aplicada tambm com sucesso a reas como

planejamento de despesas de publicidade, distribuio do esforo de vendas e

programao de produo;

Teoria das Filas: tem tido aplicao na soluo de problemas relativos a congestionamento

de trfego, mquinas de servios sujeitas quebra, determinao do nvel de uma fora de

servio, programao do trfego areo, projetos de represas, programao de produo e

operao de hospitais;

Programao Inteira: que uma forma de programao linear onde as variveis podem

apenas apresentar nmeros inteiros. Tem sido utilizada na resoluo de problemas de

investimento dentre outros;


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Programao linear mista: que uma forma de programao linear onde as variveis

podem assumir valores binrios, inteiros e contnuos, este modelo tambm definido

como otimizao combinatria, enquadrando-se em problemas de dificuldades no

polinomiais NP-HARD;

Programao No Linear: modelo matemtico onde a funo objetivo, as restries ou

ambas, apresentam no linearidade em seus coeficientes.

Programao Multiobjetivo: uma forma de programao linear e no linear onde se

analisa mltiplas funes objetivos;

Goal Programming: uma extenso dos modelos de programao multiobjetivo, contendo

vrios modelos especficos para cada problema de deciso.

Outras tcnicas de pesquisa operacional, tais como teoria de estoque, teoria dos jogos,teoria dos grafos e simulao, tambm tem sido aplicadas com sucesso a(em) diversos contextos.

REFERNCIAS

BANKS, J.; CARSON, J. S.; NELSON, B. L.; NICOL, D. M. (2005). Discrete-event system simulation.4th ed. New Jersey: Prentice Hall. 608 p. ISBN 0-13-144679-7.

CLMACO, J. N.; ANTUNES, C. H.;ALVES,M. J. G Programao Linear Multiobjetiva: DoModelo de Programao Linear Clssico Considerao Explcita de Vrias Funes Objectivos .

Imprensa da Universidade de Coimbra, 2003

CHANG, C.T. Multi-Choice goal programming. The International Journal of Management Science,v.35, p. 389-396, 2007.

CHARNES, A., and COOPER, W.W., Goal Programming and Multiple Objective Optimizations.European Journal of operations Research, v.1, p. 39-54, 1977.

GOLDBARG, M. C. & LUNA, H. P. L. Otimizao combinatria e programao linear: Modelose algoritmos. Rio de Janeiro: Campus, 2005.

IGNIZIO, J.P., Introduction to Linear Goal Programming. A Sage University Paper, EnglewoodCliffs, New Jersey, 1985.

LAW, A. M.; KELTON, W. D. Simulation modeling and analysis. 3.ed. New York: McGraw-Hill,2000.


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LUCE, R. D; RAIFFA, H. Games and Decision: Introduction and Critical Survey. New York: JohnWiley, 1957.

MIRRAZAVI S. V ; JONES, F.J e TAMIZ. M . A comparison of genetic and conventional methods for

the solution of integer goal programmes. European Journal of Operational Research, v.132. p. 594-602, 2001.

MONTEVECHI, J. A. B., PINHO, A. F. de, FABIANO, L., & MARINS, F. A. S. Application ofdesign of experiments on the simulation of a process in an automotive industry . Proceedings of the2007 Winter Simulation Conference, 2007.

POWELL. J.G e PREMACHANDRA I.M. Accommodating diverse institucional investment objectivesand constraints using non-linear goal programming. European Journal of Operational Research,v.105, p. 447-456, 1998.


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Captulo 2: Estruturao de Modelos Lineares

2. Estruturao e otimizao de modelos lineares estacionrios

O anexo A contempla a linguagem de modelagem GAMS. Abordando as principais funes e a

estrutura dessa linguagem de modelagem, mostrando suas principais vantagens. O anexo B

contempla as principais linguagens de modelagens, abordando as principais vantagens da

linguagem GAMS em relao s demais linguagens.

Vamos iniciar a modelagem do problema do Giapetto pela linguagem GAMS. A linguagem GAMS

requer que o problema seja traduzido na forma algortmica.1- Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira. Soldados e trens. Um soldado vendido

por R$ 27,00 e usa R$ 10,00 de matria prima. Cada soldado que fabricado tem um custo

adicional de R$ 14,00 relativo mo de obra. Um trem vendido por R$ 21,00 e gasta R$

90,00. O custo de mo de obra adicional para cada trem de R$ 10,00. A fabricao destes

brinquedos requer dois tipos de mo de obra: Carpintaria e Acabamento. Um soldado

necessita de 2 horas para acabamento e 1 para carpintaria. Um trem necessita de 1 hora

para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter qualquer

quantidade de matria prima, mas tem a disposio at 100 horas de acabamento e 80 de

carpintaria. A demanda por trens ilimitada, mas a venda de soldados de no mximo 40

por semana. Giapetto quer maximizar seu lucro dirio. Formular o modelo matemtico que

poderia ser usado por Giapetto para maximizar seu lucro semanal.

1 passo: Modelar o problema. Vamos descrever as variveis do problema, o que na linguagem

GAMS chamada de (SETS ) numa traduo pode-se chamar de ndices ou conjuntos.

ndices:

Xi: Quantidade a ser produzida do produto i. O GAMS um software orientado ao objeto, logo

temos que declarar esses objetos que no caso so os i produtos e osjrecursos.


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Estruturao e otimizao de modelos lineares estacionrios________________________________ 12

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2 passo: Definir os parmetros (PARAMETER) do modelo: Neste caso sabemos a margem de

contribuio unitria por produto i. Portanto, necessrio esse parmetro que estar ligado ao

ndice i. Vamos chamar este parmetro de MCi. Outro parmetro com relao disponibilidade

dos recursos, sendo este parmetro ligado ao ndice j. Vamos chamar este parmetro de Aj.

Finalmente, devemos criar um parmetro que mostre o consumo unitrio de cada recurso por

produto, sendo este parmetro pertencente aos ndices i e j. Neste caso na linguagem GAMS deve

ser criado uma Tabela (TABLE), que vamos chamar de R i, j.

3 passo: Definir as variveis de deciso: Temos uma deciso que saber o valor da margem de

contribuio, vamos definir essa varivel de Xi. Na linguagem GAMS necessrio informar uma

varivel que vai definir a funo objetivo, neste caso chamaremos de Z, que vai definir os valores

timos de produo de cada produto.4 passo: Definir as equaes (EQUATIONS): as equaes so definidas por meio do nmero de

restries mais a funo objetivo. A primeira equao vai definir o valor da margem de

contribuio, portanto chamaremos a mesma de margem. A segunda equao vai determinar o

quanto ser consumido por recurso j vamos chamar essa equao de consumo. E a ltima

equao definir o limite mximo de demanda do produto soldado. Agora podemos resolver o

problema do Amigo Giapetto.

IiiX

SOLDADOX

Jj

IijAiXijR

IiiXiMCMax

0

40""

.

:asujeito

.Z

A Tabela 2.1 mostra alguns comandos bsicos da linguagem GAMS


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Smbolo Significado

G Define uma inequao de sinal maior ou igual

L Define uma inequao de sinal de menor ou igual

E Define uma equao (X= n)

So fixadores de ndices

Tambm um fixador de ndices

PROD Expresso para produto de uma srie

SUM Expresso para somatrio

Model Descreve o modelo estudado

Solve Descreve a utilizao de um solverespecfico

Display Recurso utilizado para calcular o primal e o dual

A Tabela 2.2 mostra as funes padro de GAMS.

Tabela 2.2- Funes padro em GAMS

Nome Descrio Definio Nmero de Argumentos

ABS Valor absoluto |ARG| 1

ARCTAN Arco Tangente Arctan (arg); resultado em

radianos

1

CEIL Funo teto Maior inteiro arg 1

COS Cosseno Cos (arg) argumento em

radianos

1

ERRORF Funo erro Integral de distribuio

normal padro

1

EXP Exponencial earg 1

FLOOR Funo piso Maior inteiro arg 1

LOG Logaritmo

natural

Log do arg na base e 1

Log10 Logaritmo Log de arg na base 10 1


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Nome Descrio Definio Nmero de Argumentos

comum

MAPVAL Funo

mapeamento

Atribuiu nmeros a valores

especiais

1

MAX Maior valor Max (arg1, arg2,...,argn) >1

MIN Menor valor Min (arg1, arg2,..,argn) >1

MOD Resto arg1-trunc(arg1/arg2) x

arg3

2

Normal Randmica

normal

Nmero aleatrio distribudo

normalmente com

argumento arg1 e desviopadro arg2

2*

POWER Potncia inteira

ROUND Arredondamento

SIGN Sinal

SIN Seno Sem (arg); arg em radianos

SQR Quadrado arg x arg 1

SQRT Raiz quadrada 1TRUNC Truncamento Sign (arg) x floor (abs(arg)) 1

UNIFORM Randmica

uniforme

Nmero aleatrio distribudo

uniformemente entre arg1 e

arg2

2*

A Figura 1.1 mostra os processos para obteno do modelo do Giapetto em linguagem GAMS.

Clicando em F9 obtido a soluo para este modelo. A soluo tima para este modelo seria.

Produzir 20 soldados e 60 trens gerando um lucro mximo de R$ 180,00 reais. O GAMS oferecealgumas estatsticas referentes ao tamanho do modelo, como se pode ver abaixo no caso do

modelo Giapetto. As contagens de BLOCKS se refere ao nmero de equaes genricas e

variveis. As contagens de SINGLEse refere as linhas e colunas individuais que esto sendo


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geradas na instancia particular do modelo. Para os modelos no lineares, so fornecidas outras

estatsticas para descrever o grau de no linearidade do problema (BROOKE et al., 1997).


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Figura 1.1- Modelo Giapetto em linguagem GAMS.

2- O Senhor Martins dono de uma oficina muito movimentada na cidade de Guaratinguet-

SP. Ele querendo maximizar seus retornos e tambm, visando realizao de novos

investimentos na sua oficina. Resolveu procurar voc/SA, para fazer um planejamento da

sua produo, visando maximizao do lucro, e identificar possveis reas para

realizao de novos investimentos. Os dados da empresa esto logo abaixo:

Tipo de Mquina Produto1

Produto 2 Produto 3 Tempodisponvel

Torno 5 3 5 400

Fresa 8 4 0 500

Furadeira 2 5 3 300

Lucro 20 15 18

Demanda Semanal

mxima

40 50 20

Uma oficina mecnica deseja alocar o tempo ocioso disponvel em suas mquinas para a

produo de trs produtos. A Tabela abaixo mostra as informaes sobre as necessidades de

horas de mquina para produzir uma unidade de cada produto, assim como a disponibilidade das

mquinas, o lucro dos produtos e a demanda mxima existente no mercado. Deseja-se o esquema

semanal de produo de lucro mximo.

Resolvendo o exemplo do senhor Martins.

1 passo: Descrever os ndices e conjuntos:i, j Os objetos so os i produtos ejrecursos

2 passo: Descrever os parmetros.

Ri, j: Consumo unitrios por produto i de cada recursoj.

Aj: Quantidade disponvel do recursoj.


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Di: Demanda mxima por produto i.

Li: Lucro unitrio por produto i.

3 passo: Descrever as variveis de deciso.

Xi: Define a produo do produto i.

Z: Expresso da funo objetivo.

4 passo: Descrever as equaes.

5 passo: Construo do modelo matemtico.

IiiX

iDiX

JjjAijR

IiiX

IiiXiL

,0

:asujeito

Max Z


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Figura 1.2: Modelo matemtico exemplo 2 em linguagem GAMS.

Soluo tima: Produzir 40 unidades do produto 1, 32 unidades do produto 2 e 20 unidades do

produto 3. Gerando um lucro mximo de R$ 1.640,00.

Soluo Dual: Produto 1 R$ 14,00, produto 3 R$ 9,00 e Furadeira R$ 3,00. Interpretao

econmica do dual. Se a oficina aumentasse a demanda do produto 1 em uma unidade o lucro

aumentaria em R$ 14,00. Se a usina aumentasse a demanda em uma unidade do produto 2, o

lucro aumentaria em R$ 9,00. Se o tempo disponvel de utilizao da furadeira fosse aumentada

em uma hora o lucro aumentaria em R$ 3,00.


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Problemas propostos

1 Uma indstria fabrica dois tipos de papel e para isso utiliza somente uma mquina. Devido a

certas restries de matria prima, no se pode diariamente produzir mais do que 4 tons de

papel do tipo A, nem mais do que 6 tons do tipo B. Requer-se 1 hora da mquina para produzir 1

ton. de papel do tipo A e 1 hora para produzir 1 ton. de papel do tipo B. O lucro por ton.

produzida de R$ 2,00 para o papel do tipo A e de R$ 5,00 para o papel do tipo B. O tempo de

utilizao da mquina de 8 horas/dia. Elaborar o plano timo de produo.

2 Uma pequena indstria usa trs tipos de matrias primas, P, Q, R para a fabricao de dois

produtos A e B. As matrias primas em disponibilidade na fbrica so:

20 unidades de P;12 unidades de Q; e

16 unidades de R.

Por razes tecnolgicas, uma unidade do produto A necessita respectivamente de 2, 2 e 4

unidades de matrias primas P, Q e R. Para o produto B esses coeficientes tcnicos so 4, 2 e 0,

respectivamente. O fabricante sabe que o lucro na produo de A de 0,5 unidades monetrias e

de B de 1 unidade monetria. Qual o lucro mximo e quais as quantidades produzidas das

mercadorias A e B para se obter o lucro mximo?

3 Uma companhia de investimento dispe de R$ 100.000,00 para investir em aes e letras

imobilirias.

Sua poltica de aplicao consiste em:

Empregar, no mximo, 50% do disponvel em aes; e

Empregar, no mximo, 60% do disponvel em letras imobilirias.

Atravs de uma pesquisa de mercado, a companhia verificou que deveria empregar, no mximo,

40% do disponvel, na diferena entre o dobro da quantidade investida em aes e a quantidade

investida em letras; e empregar, no mximo, 1% do disponvel na soma da oitava parte investida

em aes com a quinta parte investida em letras.


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As aes produzem uma rentabilidade de 5% ao ms e as letras 4% ao ms. Qual o investimento

timo?

4 Uma fbrica de canetas quer saber do Departamento de Engenharia quantas canetas de cada

tipo (standard, luxo e esferogrfica) devero ser produzidas, para que o lucro da empresa seja

mximo.

INFORMAES:

a) Do departamento de Produo

Produes mximas mensais possveis para cada um dos tipos de canetas (isto ,

produzir-se s um tipo):

Standard 15.000Luxo 10.000

Esferogrfica 20.000

b) Do Departamento de Vendas

Mximo de vendas mensais para cada um dos tipos:

Standard 12.000

Luxo 8.000

Esferogrfica 30.000

c) Do Departamento de Contabilidade

Lucro unitrio para cada tipo:

Standard R$ 0,70

Luxo R$ 0,50

Esferogrfica R$ 0,30

5 Uma fbrica de automveis e caminhes possui os seguintes departamentos;

1. Estamparia de pranchas metlicas;

2. Montagem de motores;

3. Montagem de automveis; e

4. Montagem de caminhes.


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O departamento 1 deve estampar, no mnimo por ms, as pranchas necessrias para 25.000

automveis ou 35.000 caminhes, ou as correspondentes combinaes de automveis e

caminhes. O departamento 2 deve no mnimo por ms, montar 33.333 motores de automveis e

16.667 motores de caminhes ou as correspondentes combinaes de motores de automvel e

caminho. O departamento 3 pode montar e terminar 40.000 automveis e o departamento 4,

mensalmente 25.000 caminhes (ambos utilizando sua capacidade mxima).

Com o constante aumento do combustvel, a fbrica sabe que o prejuzo na fabricao de um

automvel de R$ 500,00 e na fabricao de um caminho de R$ 200,00. Qual a quantidade de

automveis e caminhes a ser produzida a fim de que a fbrica tenha o menor prejuzo possvel,

dadas as condies atuais do mercado?

6 Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regio de vendas. Elenecessita transportar 200 caixas com laranjas, tendo um lucro de 20 u.m. por caixa, pelo menos

100 caixas com pssegos a 10 u.m. de lucro por caixa e no mximo 200 caixas com tangerinas a

30 u.m de lucro por caixa. Construir o modelo matemtico que permita ao vendedor carregar o

caminho de modo a obter o lucro mximo.

7 Um fazendeiro est estudando a diviso de sua propriedade nas seguintes atividades

produtivas. A (Arrendamento) Destinar certa quantidade de alqueires para a plantao de cana

de acar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $ 300,00

por alqueire por ano. P (Pecuria) Usar outra parte para criao de gado de corte. A

recuperao das pastagens requer adubao (100 kg / Alq) e irrigao (100.000 l de gua / Alq)

por ano. O lucro estimado nessa atividade de $ 400,00 / Alq no ano. S (Plantio de Soja) Usar

uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e

200.000 l de gua / Alq para irrigao por ano. O lucro estimado nessa atividade de $ 500,00

por alqueire no ano. Disponibilidade de recursos por ano:

12.750.000 l de gua;

14.000 kg de adubo; e

100 alqueires de terra.

Quanto alqueire dever destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno?


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REFERNCIAS

ANDRADE, E. L. Introduo Pesquisa Operacional. LTC, Rio de Janeiro, Brasil, 2004.

BROOKE, A.; KENDRICK, D. & MEERAUS, A. GAMS: Sistema geral de modelagem algbrica. SoPaulo: Edgard Blcher, 1997.

CAIXETA-FILHO, J. V . Pesquisa Operacional: Tcnicas de otimizao em aplicadas asistemas agroindustriais. 2 .ed. So Paulo: Atlas, 2004.

COLIN, E.C. Pesquisa Operacional: 170 aplicaes em Estratgia, Finanas, Logstica,Produo, Marketing e Vendas. Rio de Janeiro LTC, 2007.

LACHTERMACHER, G. pesquisa operacional na tomada de deciso: Modelagem em Excel. 2ed.- Rio de Janeiro: Elsevier, 2004.

LINS, M .P. E; CALBA, G.M. Programao Linear: com aplicaes em teoria dos jogos eavaliao de desempenho (Data Envelopment Analysis). Rio de Janeiro; Intercincia - 2006.

GOLDBARG, M. C; LUNA, H. P. L. Otimizao combinatria e programao linear: Modelos ealgoritmos. Rio de Janeiro: Campus, 2005.


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Captulo 3: Otimizao de Problemas Reais

3. Desenvolvimento e otimizao de problemas reais por meio do GAMS

comum durante o desenvolvimento de modelos matemticos nos depararmos com problemas onde h

limites de demanda para determinados produtos. Como exemplo, iremos modelar um problema em

linguagem GAMS. Os dados esto dispostos abaixo. O Quadro 3.1 refere-se aos recursos disponveis na

fazenda para realizao das atividades leiteiras e de corte.

Quadro 3.1- Recursos disponveis

Abreviatura RESTRIES

AT rea total disponvel para a atividade leiteira ha/ano

TR Custo da terra (devendo ser considerado o custo de oportunidade e o custo de manuteno

adubao, reforma de pasto, limpeza e destoca) R$/anoBE Custo e despesas com benfeitorias (considerando-se a depreciao, o custo de oportunidade e

o custo de manuteno) R$/ano

MI Custo e despesas com mquinas e implementos (considerando-se a depreciao, o custo deoportunidade e o custo de manuteno) R$/ano

EQ Custo e despesas com equipamentos (considerando-se a depreciao, o custo deoportunidade e o custo de manuteno) R$/ano

RE Custo e despesas com reprodutores (considerando-se a depreciao e o custo deoportunidade) R$/ano

AL Custo e despesas com alimentao (considerando-se o gasto com concentrados, suplementose forrageiras e o custo alternativo) R$/ano

PV Custo e despesas com produtos veterinrios (considerando-se o gasto e o custo alternativo) R$/ano

IA Custo e despesascom inseminao artificial (considerando-se o gasto e o custo alternativo) R$/ano

TE Custo e despesas com transferncia de embries (considerando-se o gasto e o custoalternativo) R$/ano

DA Gastos com despesasadministrativas(considerando-se tambm o custo alternativo) R$/ano

MK Gastos com marketing e propaganda (considerando-se tambm o custo alternativo) R$/ano

MO Custo e despesas com mo-de-obra (considerando-se o gasto efetivo, os encargos pagos e ocusto alternativo) R$/ano

A Tabela 3.1 mostra os recursos disponveis e o consumo por categoria de animal para o ano de 2004.


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Desenvolvimento e Otimizao de Modelos Lineares Prticos Por Meio do GAMS______________ 24

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Tabela 3.1- Consumo anual por animal.

RestriesRecursos

disponveis UnidadesRECURSOS CONSUMIDOS POR

CATEGORIA

Bezerras Bezerros Novilhas Vacas Touro

AT 196,50 ha/ano 0,09 0,09 0,25 0,35 0,42TR 39.493,39 R$/ano 43,37 32,81 66,12 88,78 1535,85

BE 9.894,38 R$/ano 4,07 3,08 3,16 68,26 10,99

MI 51.601,87 R$/ano 70,83 53,59 45,25 276,01 57,34

EQ 13.605,94 R$/ano 3,73 2,83 2,17 99,14 15,12

RE 2.432,04 R$/ano 10,35 7,83 6,59 0,94 0,00

AL 235.063,69 R$/ano 161,32 122,07 393,56 1239,10 261,18

PV 19.243,82 R$/ano 42,26 31,98 27,62 73,10 21,38

IA 3.923,65 R$/ano 16,69 12,63 10,64 1,52 0,00

TE 7.240,00 R$/ano 30,81 23,31 19,63 2,81 0,00

DA 35.535,30 R$/ano 34,14 25,83 19,83 214,86 78,97

MK 18.089,05 R$/ano 69,52 52,60 51,92 5,61 80,40

MO 51.729,07 R$/ano 42,60 32,23 28,87 316,79 114,95RO

Oramento disponvel: R$ 487.852,20Essa Tabela foi obtida por meio de rateio, considerando o consumo efetivo de recursos e o tempo d

permanncia de cada categoria animal na propriedade. Para garantir a sustentabilidade econmica

produo de leite e da produo animais da Fazenda , foram inseridas restries adicionais quantidades mximas e mnimas que cada categoria animal deveria possuir, conforme apresentado

Tabela 3,2. Esses valores so baseados na taxa de lotao histrica da fazenda no ano de 2003.

Tabela 3.2- Categorias de animais

Categoria Qtde Mxima Qtde MnimaX1 95 39X2 135 53X3 170 60X4 200 100

X5 12 -O oramento disponvel de R$ 487.852,20. O objetivo maximizar a quantidade de animais. Formule o

modelo utilizando-se da linguagem GAMS.


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25

ndices:

i associado s categorias de animais, iI, I= {Bezerras, Bezerros, Novilhas, Vacas e Touros}.

jassociado s categorias dos recursos,jJ, J= {AT, TR, BE, MI, EQ, RE, AL, PV, IA, TE, DA, MK, MO,RO}.

Parmetros:

Pj: associado ao ndicejdefine os limites mximos de cada recurso.

Ri, j: associado ao consumo unitrio do recursojpor categoria de animal i.

D2i: demanda mnima por categoria de animal i.

Di: demanda mxima por categoria de animal i.

Variveis:

Xi: Quantidade por categoria de animal.

Z: Associada ao clculo da funo objetivo.

Vamos introduzir outro comando na linguagem GAMS denominado SCALAR neste caso esse comando vai

representar uma constante que no est ligado a nenhum ndice.

IiIiX

IiiDiXIiiDiX

JjjP

IiiXjiR

n

iiX

2

:asujeito

Max Z

Para este modelo temos um problema de programao inteira. Este assunto ser discutido nos prximos

captulos. Portanto, resolveremos o mesmo por meio da otimizao linear tradicional.

A Figura 3.1 mostra o modelo em linguagem GAMS. A soluo tima no inteira seria: bezerras= 39

bezerros= 132,33, novilhas= 132,172, vacas= 127,773 e touro= 8,71. Utilizando 486.350,05 do

oramento.


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27

Figura 3.1- Modelo agricultura em GAMS.

As ( ) e as( ) so indexadores de ndices na linguagem GAMS.

Exemplo 4: Alocao de tarefas.

Uma empresa de correios deseja estabelecer o nmero de funcionrios de horrios integral que deve

contratar para iniciar suas atividades. Para faz-lo, recebeu uma matriz da empresa com o nmero

mnimo de funcionrios por dia da semana. Estas informaes se encontram na Tabela 3.3. O sindicato

dos empregados de franqueadores dos correios mantm um acordo sindical que determina que cada

empregado deve trabalhar cinco dias consecutivos e folgar em seguida dois dias, e que as franquias

devem ter apenas empregados com horrio integral. Desenvolva e otimize o modelo de maneira a

determinar o nmero total de empregados que a franquia deve contratar e o nmero de empregados por

dia, utilizando a linguagem de modelagem GAMS.


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28

Tabela 3.3- Dados do problema da empresa correios.

Dia da semana Nmero de funcionrios

Domingo 11

Segunda-feira 18

Tera-feira 12

Quarta-feira 15

Quinta-feira 19

Sexta-feira 14

Sbado 16

Figura 3.2- Modelo correios pelo GAMS.


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29

Exemplo de deciso entre fazer ou comprar:

A turbo motores LTDA, uma fbrica de motores especiais, recebeu recentemente R$ 100.000,00 em

pedidos de seus trs tipos de motores. Cada motor necessita de um determinado nmero de horas de

trabalho no setor de montagem e acabamento. A turbo motores deseja determinar quantos motores

devem ser produzidos em sua fbrica e quantos devem ser produzidos de forma terceirizada para

atender demanda de pedidos. A Tabela 3.4 mostra as informaes referentes a esta empresa.

Tabela 3.4- Dados da empresa turbo motores.

Modelo 1 2 3 Disponibilidade

Demanda 3000 unid 2500 unid 550 unid

Montagem 1 h/unid 2h/unid 0,5 h/unid 6000 h

Acabamento 2.5 h/unid 1h/unid 4h/unid 10000h

Custo de

produo

R$ 50 R$ 90 R$ 120

Terceirizao R$ 65 R$ 92 R$ 140

ndices:

p: associado produo,pP, P= {1,2,3}.

j: associado aos recursosjJ, J= {Montagem, acabamento}.

Parmetros:

Aj: associado disponibilidade dos recursosj.

Produzirp,: associado ao consumo da recursojpelo produtop.

Custop: associado ao custo de produo do produtop.

Cusp: associado ao custo de terceirizao.

Cp jdefine o quanto o produtop utiliza do recursoj.

demandap,: associado a deciso unitria de produo e terceirizao.

Variveis.

Xp: quantidade a ser fabricada do produtop.

Yp: quantidade a ser terceirizada do produtop.Modelo matemtico:


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30

,,

:aSujeito

pcustoMin Z

IpYIpX

JjjA

Pp

jpCpX

pDemandapYpX

PppCuspY

PppX

A figura 3.3 resume o desenvolvimento desse modelo em GAMS.


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31

Figura 3.3- Modelo de deciso de compra ou terceirizao em GAMS

Soluo tima: Produzir P1=3.000; P2= 500; P3= 500, terceirizando a produo de P2= 2.000. Gerando um

custo mnimo= R$ 43.900,00.

REFERNCIAS


BROOKE, A.; KENDRICK, D. & MEERAUS, A. GAMS: Sistema geral de modelagem algbrica. So PauloEdgard Blcher, 1997.


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32

CAIXETA-FILHO, J. V . Pesquisa Operacional: Tcnicas de otimizao em aplicadas a sistemasagroindustriais. 2 .ed. So Paulo: Atlas, 2004.

COLIN, E.C. Pesquisa Operacional: 170 aplicaes em Estratgia, Finanas, Logstica, ProduoMarketing e Vendas. Rio de Janeiro LTC, 2007.

LACHTERMACHER, G. pesquisa operacional na tomada de deciso: Modelagem em Excel. 2 ed.- Rio

de Janeiro: Elsevier, 2004.

LINS, M .P. E; CALBA, G.M. Programao Linear: com aplicaes em teoria dos jogos e avaliao dedesempenho (Data Envelopment Analysis). Rio de Janeiro; Intercincia - 2006.

MEDEIROS, A. L. ; MONTEVECHI, J. A. B. ; TURRIONI, J. B. ; SILVA, L.B ; MENDES, L. Otimizao doplanejamento produtivo a partir da programao linear: uma aplicao na pecuria leiteira.. In: XI SIMPEP -Simpsio de Engenharia de Produo. Anais do XI Simpsio de Engenharia de Produo. Bauru :FEB/UNESP, 2004.

GOLDBARG, M. C; LUNA, H. P. L. Otimizao combinatria e programao linear: Modelos e

algoritmos. Rio de Janeiro: Campus, 2005.

SHIMIZU, T. Deciso nas organizaes: introduo aos problemas de deciso encontrados nas

organizaes e nos sistemas de apoio deciso. So Paulo: Atlas, 2010.


33/126

Desenvolvimento e Otimizao de Modelos Dinmicos____________________________________ 33

33

Captulo 4: Modelos Multiperodos

4. Desenvolvimento e otimizao de modelos multiperodo por meio do GAMS

A maioria dos problemas de otimizao prticos so multiperodo, e neste caso o modelo

matemtico torna-se mais complexo. Resolvamos o problema de estoque:

Uma empresa de barcos precisa determinar quantos veleiros devem ser produzidos durante cada

um dos 4 prximos trimestres. A demanda de cada um dos trimestres : primeiro trimestre, 40

veleiros; segundo trimestre, 60 veleiros, terceiro trimestre, 75 veleiros, quarto trimestre, 25

veleiros. A empresa quer atender a demanda prontamente. No incio do primeiro trimestre, a

empresa tem 10 veleiros em estoque. No incio de cada trimestre, a empresa precisa decidir

quantos veleiros devem ser produzidos durante o trimestre. Por simplicidade, assume-se que os

veleiros so fabricados durante um trimestre podem ser usados para atender a demanda deste

trimestre. Durante cada trimestre, a empresa pode produzir at 40 veleiros com sua mo de obra

regular a um custo de R$ 400,00 por veleiros. Tendo de trabalhar com horas extras durante o

trimestre, a empresa pode produzir veleiros a mais a um custo total de R$ 450,00 por barco. No

final de cada trimestre aps ter ocorrido a produo e a demanda do trimestre ter sido atendida,

um custo de transporte ou armazenagem de R$ 20,00 por barco ocorre. Desenvolva o modelo

matemtico por meio do software GAMS.

Soluo:

ndices

j Perodos, jJ;

Conjuntos

J Conjunto associado aos perodos {1, 2,...,4};

Parmetros

aj Custo de produo em horas normais ;

bj Custo de produo utilizando horas extras

c Custo de estocagem;

dj Demanda no perodo j;


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34

ej Capacidade de produo utilizando horas normais;

Variveis

xj O quanto produzir no perodo j utilizando horas normais;

yj O quanto produzir no perodo j utilizando horas extras;

kj O quanto produzir no perodo j para estoque.

JjjkjyjxJjjdjkjyjxjk

Jjjejx

Jj Jjjkjcjyjb

Jjjxja

,0,0,01

Minimizar

A Figura 4.1 mostra este modelo em linguagem GAMS.


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35

Figura 4.1- Modelo dinmico de estoque em linguagem GAMS.

Soluo tima: produo utilizando horas normais: t1=40; t2= 40; t3= 40 e t4= 25.

Produo utilizando horas extras: t2= 10; t3= 35.

Estoques: t1= 10. Custo mnimo R$ 7.840,00

Exemplo 2: Fluxo de caixa multiperodo.

Uma empresa est construindo um novo restaurante que integrar a sua cadeia no prximo ano.

Para tal, necessita de um total de R$ 500.000,00 que ser pago construtora em duas parcelas de

R$ 150.000,00 ao final do 2 e 5 meses, e uma parcela de R$ 200.000,00 ao trmino da


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36

construo no fim do 7 ms. A empresa dispe de 4 tipos de investimentos que podem ser

utilizados a fim de gerar caixa para quitar a construo de maneira a reduzir a necessidade total

de caixa. Informaes:

Investimento Aplicao disponvel

no incio dos meses

Meses de durao da

aplicao

Retorno ao final do

investimento

Tipo A 1,2,3,4,5,6,7 1 1.5%

Tipo B 1,3,5 2 3.2%

Tipo C 1,4 3 4.5%

Tipo D 1 7 9%

Soluo:

ndices:

j: associado aos tipos de investimento.

m: associado aos meses.

a: associado s aplicaes disponveis.

Parmetros:

Investimentosj, a, m: associado a alocado do disponvel a no tipo de investimentojno ms m.

Dm: associado parcela a ser paga no ms m.

Variveis:

Z associada funo objetivo.

Utilizadoj, a: associada ao valor aplicado no tipo de investimentojdo disponvel a.

0Utilizado

DUtilizado.tosInvestimen

:asujeito

UtilizadoDUtilizadoCUtilizadoBAUtilizadoMin Z

aj,

n

aj,

maj,ma,j,

1111

A Figura 4.2 contempla o modelo fluxo de caixa em linguagem GAMS.


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37

Figura 4.2- Modelo fluxo de caixa em linguagem GAMS.


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38

Exerccios propostos

Uma fbrica produz refrigeradores,freezers e fornos. A demanda mensal mdia destes produtos

, respectivamente, de 115.000, 58.000 e 48.000 unidades, e segue um esquema de mdias

mveis com perodo de 4, isto , a demanda de quatro meses consecutivos e constantes ao longo

do tempo. A demanda registrada nos ltimos trs meses foi seguinte:

Demanda mensal por (unidades)

Produto Julho Agosto Setembro

Refrigerador 125.000 108.000 136.000

Freezer 57.000 52.000 73.000

Forno 45.000 36.000 58.000

Para fabricar estes produtos, trs recursos bsicos so necessrios (MDO, MP e energia), cujosconsumos unitrios esto apresentados no quadro abaixo.

Consumo unitrio

Produto MDO/ horas Material Kg Energia kWh

Refrigerador 1,4 17 25

Freezer 1,7 21 23

Forno 1,1 10 17

A fbrica dispe de 1.900 empregados na linha de produo, cada um dos quais trabalha 200horas por ms. O custo de armazenamento mensal de uma unidade de cada produto R$ 10, R$ 13,

R$ 8, respectivamente. A disponibilidade mensal de energia 5,5 x 106 KW/h. A empresa poder

comprar at 3.850 ton/ ms de material, que poder ser armazenado a um custo mensal de R$

0,15kg. Desenvolva o modelo matemtico que permita determinar o plano timo de produo-

material-pessoal para os prximos 12 meses, de modo a garantir que todos os empregados

entrem em frias (1 ms) durante este perodo. Considere que no incio do ms de outubro no

existe estoque de produto acabado e que o estoque de matria-prima de 3.200 toneladas.REFERNCIAS




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39





SHIMIZU, T. Deciso nas organizaes: introduo aos problemas de deciso encontradosnas organizaes e nos sistemas de apoio deciso . So Paulo: Atlas, 2010.


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40

Captulo 5: Modelos Inteiros

5. Desenvolvimento e otimizao de modelos inteiros por meio do GAMS

Supondo que a empresa X, tenha uma disponibilidade mxima de R$ 650 reais para realizar

vrios investimentos. A taxa mnima de atratividade requerida por esta empresa 10%, para

cada um dos projetos. Os projetos 1 a 6 so mutuamente excludentes, ou seja, a escolha de um

elimina os outros 5.

Aps a realizao dos clculos obtiveram os seguintes resultados

Tabela 5.1- Dados do problema.Projeto Investimento Inicial/

(UM 1.000,00)Valor Presente p/ I=10% p/UM 1.000,00

1 R$ 150,00 R$ 500,00

2 R$ 160,00 R$ 515,00

3 R$ 170,00 R$ 555,00

4 R$ 210,00 R$ 530,00

5 R$ 180,00 R$ 565,00

6 R$ 240,00 R$ 595,00

7 R$ 200,00 R$ 500,008 R$ 150,00 R$ 400,00

9 R$ 70,00 R$ 30,00

10 R$ 250,00 R$ 350,00

11 R$ 150,00 R$ 300,00

Selecionar o portflio de projetos que maximize o valor presente desta empresa. Os recursos

disponveis so de R$ 650.

Soluo:

ndices:

p: associado aos projetos disponveis,pP, P={1,2,...,11}.

Parmetros:

Ip: capital disponvel para investir no projetop.


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Desenvolvimento e Otimizao de Modelos Inteiros______________________________________ 41

41

VPLp: Valor presente do projetop.

Variveis:

Xp: associado escolha do projetop.

Modelo matemtico:

10,

650

16

:asujeito

Max Z

pX

pIpX

PppX

PppVPLpX


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Figura 5.1- Modelo MIP1 em GAMS.

Soluo tima: Investir nos projetos: P1, P7, P8 e P11. Gerando um VPL mximo R$ 1.700,00.

Exemplo 2:

Uma indstria quer se expandir, construindo nova Fbrica ou em Itajub ou em Guaratinguet.

Tambm ser considerada a construo de um novo Depsito na cidade que for selecionada para

receber a nova Fbrica. O Valor Presente Lquido de cada alternativa est na Tabela 5.2. A ltimacoluna d o Capital Requerido para os investimentos, sendo o capital total disponvel $25

milhes. Achar a combinao vivel de alternativas que Maximize o Valor Presente Lquido Total.

Tabela 5.2- Dados para a construo da nova Fbrica.

Deciso Sim ou No VPL Capital

Requerido

1 Fbrica em Itajub 7.000.000 20.000.000

2 Fbrica em Guaratinguet 5.000.000 15.000.0003 Depsito em Itajub 4.000.000 12.000.000

4 Depsito em Guaratinguet 3.000.000 10.000.000

Soluo: Modelo Matemtico:


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43

A Figura 5.2 mostra este modelo em linguagem GAMS.

Figura 5.2- Modelo MIP2 em linguagem GAMS.


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Soluo tima: Construir tudo em Guaratinguet. Gerando um VPL mximo de R$ 8.000.000,00.

Repare que utilizamos o solver MIP (CPLEX 12.1.0), sendo este, o solver mais adequado para

resolver problemas mistos, binrios e inteiros.

REFERNCIAS






GOLDBARG, M. C; LUNA, H. P. L. Otimizao combinatria e programao linear: Modelos e

algoritmos. Rio de Janeiro: Campus, 2005.


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45

Captulo 6: Otimizao em Redes e Grafos

6. Desenvolvimento e otimizao de modelos de rede por meio do GAMS

De forma geral, modelos de rede so utilizados em casos especiais de otimizao linear que so

mais bem analisados por meio de uma representao grfica.

Modelos de rede so diagramas compostos por uma coleo de vrtices ou ns ligados entre si

por um conjunto de arcos, conforme mostra a Figura 6.1. Os ns so os crculos e os arcos so as

retas de ligao.

Figura 6.1- Componentes de uma rede.

Os problemas modelados como redes geralmente apresentam nmeros associados aos ns e aos

arcos. Em problemas de transporte modelados como redes, por exemplo, os nmeros associados

aos ns podem representar a quantidade de produtos ofertados ou demanda pelo n, ao passo

que os valores dos arcos podem refletir os custos de transporte (ou tempo, ou distncia) entre

um n e o outro. Diversos problemas de tomada de deciso prticos esto categorizados como

problemas de Rede. Entre eles pode-se citar: Problemas de Transporte; Escala de Produo; Rede de Distribuio; Problemas de Menor

Caminho; Problemas de fluxo mximo; Problemas de caminho crtico; Problemas de

rvores geradoras mnimas.

A Figura 6.2 contempla um exemplo de redes em problemas de transporte.


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Desenvolvimento e Otimizao de modelos de redes______________________________________ 46

46

Figura 6.2- Exemplo de problemas de transporte.

Sendo os ns 1, 2 e 3 as origens e os demais ns os destinos.Exemplo 1:

Uma empresa fabricante de bicicletas possui trs fbricas localizadas no Rio, em So Paulo e em

Belo Horizonte. A produo da empresa deve ser entregue em Recife, Salvador e Manaus.

Considerando os custos de transporte unitrios, a capacidade de produo das fbricas e a

demanda dos centros consumidores ilustrados na Tabela a seguir.

Determine quanto deve ser produzido e entregue por fbrica em cada centro consumidor, de

forma a minimizar os custos de transporte.Fbrica/

ConsumidorRecife Salvador Manaus Capacidade

Rio 25 20 30 2000

SP 30 25 25 3000

BH 20 15 23 1500

Demanda 2000 2000 2000 6000/6.500

Soluo:ndices:

i: associado s fbricas, iI, I= {Rio, SP, BH}.

j: associado aos destinos,jJ, J={Recife, Salvador, Manaus}.


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Parmetros:

Ci, j: associado ao envio da fbrica i para o destinoj.

ai: associado capacidade mxima de armazenagem da fbrica i.

bj: associado demanda requerida pelo destinoj.

Variveis:

Xij: associada quantidade a ser enviada da fbrica i para o destinoj.

Modelo matemtico:

JjIijiX

Ii

JjiajiX

Jj

Ii j

b

ji

X

Ii JjjiCjiXMin

,,0

:asujeito

A Figura 6.3 mostra este modelo em GAMS.


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48

Figura 6.3: Modelo Rede 1.

Este modelo pode ser representado por um formato de rede conforme contemplado pela Figura

6.4.

Figura 6.4- Modelo de rede do exemplo 1.

Em modelos de transporte as equaes devem estar equilibradas, isto , oferta total= demanda

total. Entretanto, podemos adotar um fluxo de balanceamento.

Hiptese do Problema Tipo de Restrio

Oferta > Demanda Entradas-Sadas Oferta ou demanda do n

Oferta < Demanda Entradas- Sadas Oferta ou Demanda do n

Oferta= Demanda Entradas-Sadas= Oferta ou demanda do n


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49

A Tabela abaixo apresenta um plano de manuteno de uma estufa dinmica da Pintura a P

LTDA. Uma das aplicaes desse tipo de estufa curar a tinta p (de alta resistncia) que

aplicada em peas metlicas. Por meio de um processo eletromagntico, o p de tinta fica

impregnado na pea, que levada para dentro da estufa. Quando a pea entra na estufa a uma

temperatura de aproximadamente 200 graus, a tinta derrete e fica impregnada na pea, num

processo denominado cura da tinta. Em casos de produo de alto volume de peas pequenas e

mdias, produtos so fixados em gancheiras, que so transportados por trilhos que passam

dentro da estufa aquecida.

Atividade Descrio Predecessor

imediato

Tempo [hs]

A Desligar e desaquecer a estufa - 6

B Avaliar rolamentos danificados - 4

C Trocar rolamentos danificados B, A 7

D Avaliar e trocar resistncias danificadas A 8

E Limpar estufa internamente D 10

F Lubrificar trilho com grafite C 2

G Fazer inspeo final E, F 1

H Religar estufa G 2

Figura 6.5- Atividades de um projeto de manuteno


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50

As atividades A e B no possuem atividades precedentes e, portanto, no h arestas de entrada. A

atividade C possui arestas como predecessores imediatos, as atividades A e B. A atividade D

possui como predecessor apenas a atividade A. As outras atividades so introduzidas na rede da

mesma forma. Os nmeros na construo da rede, algumas regras so levadas em considerao.

O tamanho da aresta no tem associao com as atividades;

As atividades iniciadas no final da aresta no podem ser iniciadas antes das atividades que

so iniciadas no inicio da arestas;

As atividades so representadas exclusivamente pelo seu incio e trmino (evento inicial e

final);

Ns no podem ser duplicados;

Dois ns s podem ser conectados por uma nica aresta;OBS: A funo objetivo neste caso o tempo total, logo definida por H+2, ou seja, o horrio de

trmino da ltima atividade. Com relao s atividades A e B, como no h nenhuma atividade

predecessora tem-se A=B= 0. Sobre a modelagem das atividades que possuem predecessoras,

como por exemplo, a atividade C, que tem a atividade A e B como predecessoras, tem-se:

4ou4

6ou6

BCBC

ACAC

A figura 6.6 mostra a modelagem em GAMS


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51


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52

Figura 6.6- Modelo CPM EM GAMS

Exerccios propostos

1) Considere a reconstruo de um armazm que ser feito. As atividades associadas so

apresentados na Tabela a seguir:

Atividad

e

Descrio Predecessor

imediato

Tempo

[dias]

A Demolir o armazm - 2

B Comprar materiais para atividade de

alvenaria

- 1

C Separar material reutilizvel A 1

D Escavao de fundaes A 2

E Preparao do acesso ao depsito A 1

F Fazer lista de outros materiais necessrios C 1

G Fazer fundaes de concreto B, D 2

H Fazer acesso E 1

I Levantar paredes de alvenaria B, G 8

J Nivelar cho e fazer o contra piso F, G 2

K Instalar fiao e sistema eltrico F, I 1

L Acabar paredes K, M, N 5

M Fazer telhado F, I 1


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N Acabar piso de concreto J 5

O Montar calhas e tubulaes de escoamento F, M 1

P Limpar H, L, O 1

Crie a rede associada ao projeto de reconstruo e indique qual o menor tempo para realizao

do projeto. Qual o caminho crtico?

2) A pessoa responsvel pelo plano de atividade do armazm cometeu dois pequenos erros.

Ela introduziu duas relaes da precedncia imediata redundantes. Isso uma falha

conceitual e acontece nos planos de atividades mal feitos. Quais so as duas relaes de

precedncia que no deveriam ter sido colocadas no plano?

REFERNCIAS



CAIXETA-FILHO, J. V . Pesquisa Operacional: Tcnicas de otimizao em aplicadas asistemas agroindustriais. 2 .ed. So Paulo: Atlas, 2004.




MEDEIROS, A. L. ; MONTEVECHI, J. A. B. ; TURRIONI, J. B. ; SILVA, L.B ; MENDES, L.Otimizao do planejamento produtivo a partir da programao linear: uma aplicao na pecuria

leiteira.. In: XI SIMPEP - Simpsio de Engenharia de Produo. Anais do XI Simpsio deEngenharia de Produo. Bauru : FEB/UNESP, 2004.



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SHIMIZU, T. Deciso nas organizaes: introduo aos problemas de deciso encontrados

nas organizaes e nos sistemas de apoio deciso . So Paulo: Atlas, 2010.


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Captulo 7: Otimizao combinatria

7. Desenvolvimento de modelos de otimizao combinatria por meio do GAMS

Neste tpico vamos comentar sobre problemas de dificuldade polinomial (P) e problemas de

dificuldade no polinomiais (NP).

Problemas polinomiais so problemas cujos algoritmos conhecidos fornecem solues que

podem ser obtidas por meio de uma funo polinomial de n tamanho de entrada, ou seja: f(n) =

O(nk) sendo que(k) uma constante. Problemas NP so problemas cujos algoritmos de soluo

conhecidos so baseados em enumerao, seja ela implcita ou no. De maneira geral, o nmero

de combinaes possveis assustadoramente grande, fazendo com que os algoritmos

enumerativos no consigam resolver problemas com grande nmero de entradas em tempo

hbil. So denominados algoritmos de tempo exponencial e, nestes contextos que se encaixam

os problemas de otimizao combinatria. Os problemas NP podem ser classificado, conforme

(COLIN, 2007):

Problemas NP - Completos: so problemas que possuem uma forte evidncia da no

existncia de um algoritmo cujo tempo de soluo seja uma funo polinomial do

tamanho da entrada. So considerados os mais difceis da classe NP, e, se algum deles for

resolvido em tempo polinomial, ento todos os problemas NP tambm sero.

Quando se sabe que um problema de otimizao NP - difcil, tem-se a certeza de que nem

sempre a soluo tima ser encontrada. Portanto, tem se aplicado mtodos heursticos, como

por exemplo, algoritmos genticos, colnias de formigas, busca tabu, dentre outras. Abaixo

encontra-se o modelo do problema do Caixeiro-Viajante (CV), sendo este modelo de otimizao

combinatria.


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Desenvolvimento e Otimizao de Modelos de otimizao combinatria_______________________56

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0u,1,0subrotasSo

n)2,3,...,jn;3,...,2,ij;(i1-nnxuu

chegadadeRestrio

sadadeRestrio

:asujeito

.Min Z

j,

ji,ji

1,

1,

1 1,,

ji

n

j

ji

n

i

ji

n

i

n

j

jiji

X

X

X

XC

As restries de sada e de chegada so binrias, e garantem que cada um dos xij seja 0 ou 1. As

restries de sada garantem que para cada cidade haver apenas uma rota de sada e,

analogamente uma chegada para as restries de chegada.

As restries de sub-rotas ou sub-circuitos garantem que a soluo tima no contenha sub-

circuitos.

Exemplo1:

PARA

Sede P1 P2 P3 P4

Sede 5 3.8 2.2 2.4P1 5 2.6 3.1 5.1

P2 3.8 2.6 1.6 2.8

P3 2.2 3.1 1.6 2.3

DE

P4 2.4 5.1 2.8 2.3

A Figura 7.1 mostra a soluo deste problema por meio da linguagem GAMS.


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,


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58


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59


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60


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Figura 7.1-Modelo caixeiro viajante em GAMS.

A Figura 7.2 mostra os caminhos a serem percorridos.


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Figura 7.2-Modelo Caixeiro Viajante otimizado pelo GAMS.

OBS: com n vrtices h2

)!1( n ciclos distintos.


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Captulo 8: Anlise por Envoltria de Dados

8. Desenvolvimento e otimizao de modelos de anlise por envoltria de dados por

meio do GAMS

Em termos de programao matemtica, a anlise por envoltria de dados (DEA- Data

Envelopment Analysis), tambm chamada de anlise de fronteiras ou anlise de eficincia,

considerada uma tcnica relativamente nova. Ao mesmo tempo, tambm considerada um dos

sucessos recentes da programao linear. Em DEA existem as chamadas DMU- Decision Making

Units, ou seja, as unidades tomadoras de deciso.

Em linhas gerais, a DEA avalia problemas com mltiplos recursos (usados para gerar produtos e

ou servios e mltiplas sadas para cada unidade,(COLIN, 2007). A capacidade com que as DMUs

conseguem gerar sadas para determinadas entradas define sua eficincia. Supe-se que as DMUs

menos eficientes podem melhorar sua eficincia at o limite das melhores unidades , cuja

eficincia de 100%. Mais especificamente, a DEA determina, segundo Colin (2007):

A melhor prtica- grupo das DMUs mais eficientes;

As DMUs menos eficientes comparadas com as melhores prticas;

A quantidade de recursos utilizados de forma improdutiva nas DMUs menos eficientes;

Para cada uma das DMUs menos eficientes, o grupo das unidades de melhor prtica que

so mais parecidas com elas e que poderiam ser usadas como benchmarks.

Antes de prosseguir com o DEA, vamos entender alguns significados.

Eficcia Capacidade da unidade produtiva atingir as metas previamente estabelecidas;

Produtividade Razo entre o que foi produzido e o que foi gasto para produzir. Ex.:

Peas/H.h;

Eficincia Conceito relativo que compara o que foi produzido com o que poderia ter sido

produzido. Pode ser entendida como uma comparao entre as produtividades

observadas;


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Desenvolvimento e Otimizao de modelos de anlise por envoltria de dados_________________ 64

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Se uma unidade atingiu a meta, foi eficaz. Se conhecermos os recursos que a unidade dispunha

podemos avaliar se esta foi produtiva. Se soubermos quais foram os resultados da concorrncia

podemos avaliar a eficincia da unidade (SOARES DE MELLO, 2005).

Segundo Batista (2009) as empresas ou unidades produtivas tm como principal funo a

produo de bens e servios. A teoria da produo mostra como as empresas podem tomar

decises de produo baseadas na minimizao dos custos e como estes custos podem variar

com o volume produzido.

Quando h dois insumos, h uma forma de descrever as relaes de produo, conhecida

como isoquanta. Para Pindyck e Rubinfeld (2002). A isoquanta representa todas as possveis

combinaes de insumos que resultam no mesmo volume de produo, conforme Figura 3.

Para motivos de ilustrao, supondo que X1 fosse mo de obra e X2 matria prima, ao

dobrar-se a quantidade de insumos a produo mais do que dobra, para o caso de rendimentos

crescentes. Quando o rendimento de escala constante, significa que, quando se dobra a

quantidade de insumos a produo tambm dobra, ou seja, mantm-se a mesma proporo, e

quando o retorno decrescente, ocorre quando se dobra a quantidade de insumos e a produo

cresce de forma bem tmida ou pouco expressiva.

Figura 8.1- Rendimentos de escala. Fonte: Pindyck e Rubinfeld (2002)

Charnes, Cooper e Rhodes (1978) abordaram DEA pela primeira vez ao desenvolverem

um modelo para uma nova medida de eficincia na avaliao de programas pblicos.

Cooper, Seiford e Tone (2006) definem alguns critrios de entrada e sada que cada DMU


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deve atender. So eles:

As variveis e Decision Making Units (DMUs) ou unidade de tomada de deciso devem ser

escolhidas de modo a representar o interesse dos gestores, sendo as DMU = {Pases,

professores, cidades, departamentos, dentre outros};

H dados numricos positivos para cada entrada e sada, sendo que se deve preferir o uso

de um menor do nmero de entradas comparado ao nmero de sadas.

A Figura 4 contempla um exemplo da avaliao da eficincia, sendo as DMU (lojas) = {A,

B,..., H}, e as variveis de entrada inputos funcionrios e a varivel de sada output as vendas.

Realizando o clculo de produtividade, isto , a razo entre a sada pela entrada, percebe-se que

apenas a DMU B foi eficiente, conforme a reta em vermelho, demonstrando que a DEA envelopa

todas as DMUs.

Figura 8.2- Exemplo da modelagem de problemas de avaliao de eficincia. Fonte. Cooper. Seiford; Tonne (2006).

Mello et al. (2005) diz que h trs direes que podem ser adotadas nas projees das

DMUs ineficientes sobre a fronteira de produo, conforme ilustrado na Figura .


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Figura 8.3- Representao Grfica para o modelo DEA trs orientaes do modelo. Fonte: Mello et al.(2005)

Um procedimento chamado de orientao a input, cujo objetivo minimizar os inputs

enquanto pelo menos mantm os nveis atuais de outputs, outro chamado de orientao a

output, cujo objetivo maximizar os nveis de outputs mantendo o mesmo consumo atual de

inputs, e uma terceira opo tenta combinar ambas as orientaes, sendo representado pelos

modelos Aditivos (Additive models) ou baseados em folgas (Slack Based Measure) (SANTOS;

MARINS; SALOMON, 2011).

O modelo DEA CCR (Charnes, Cooper e Rhodes, 1978) apresentado no modelo abaixo.

Os pesos para varivel de entrada e sada do modelo geral da DEA podem ser obtidos a partir da

soluo do modelo proposto por Charnes; Cooper; Rhodes (1978), dado por (1) (4):

m

i

ii

s

r

rr

o

xv

yu

w

10

10

.

.max

S.a:

nj

xv

yu

m

i

jii

s

r

rjr

,...,2,1,1

1

1

.,...,2,1,0 srur

.,...,2,1,0 mivi


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com j representando o ndice da DMU, j=1,...,n; r o ndice da sada, com r = 1,...,s; i o ndice da

entrada, i = 1,...,m; yrj o valor da r-sima sada para a j-sima DMU, xi j o valor da i-sima entrada

para a j-sima DMU, ur o peso associado a r-sima sada; vi o peso associado a i-sima entrada,

wo a eficincia relativa de DMUo, que a DMU sob avaliao; e yr0 e xio so os coeficientes

tecnolgicos das matrizes de dados de sadas e entradas, respectivamente.

Caso wo = 1, a DMU0 eficiente quando comparada s demais unidades consideradas no modelo.

Caso wo


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A Figura 8.4 mostra a soluo deste modelos por meio do GAMS. Lembrando-os que


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Figura 8.4- Modelo DEA em GAMS

Basicamente o que muda de um modelo para o outro a funo objetivo e a equao 4 (calculo

4). Vamos interpretar a soluo tima para o ltimo modelo. W2= 0,9 ; W3= 7.1% e V2= 8.3%.

Neste caso as sadas adultos e jovens so importantes para manter a eficincia mxima do

hospital 3. Deve-se conservar a mo de obra. A Figura 8.5 contempla um exemplo de como

modelar o dual de um problema de DEA.


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Figura 8.5- Modelo primal e Dual de problemas de DEA.

Pelo GAMS tambm possvel rodar vrios modelos continuamente. Vamos mostrar um exemplo

tomando como base o exemplo exposto acima. A Figura 8.6 mostra este exemplo.


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Figura 8.6: Modelo DEA GLOBAL.

Repare que inseriu-se mais uma varivel e tambm algumas equaes e, ao rodar o modelo, deve

ser informado apenas as equaes pertencentes ao modelo desejado.


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Outro tipo de modelo DEA que iremos ver neste livro conhecido por BCC (Banker, Charnes e

Cooper, 1984). No modelo DEA CCR h retornos de escalas constantes, vlido para unidades

operando em escala tima. No modelo BCC ou VRS, substitui o axioma da proporcionalidade pelo

axioma da convexidade linear, soma dos lambdas igual a 1. Fronteira cncava e linear por parte,

tambm chamado de retorno variveis de escala.

uj, i.,, vu

k,uyuxv

xvS.a.:

uyuMax E

ij

j

jkj

j

iki

i

ici

j

jjff

* 0

0*

1

*.

.1

1

00

As eficincias no modelo DEA BCC so maiores ou iguais as eficincias do modelo CCR. No modelo

CCR as eficincias independem da orientao; os outros resultados de DEA dependem da

orientao

No modelo BCC todos os resultados de DEA dependem da orientao. A Figura 8.7 mostra as

diferenas entre estes modelos.

Figura 8.7- Modelos DEA

A figura 8.8contempla a soluo deste exemplo pelo modelo BCC ou (VRS).


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Figura 8.8- Modelagem em GAMS modelo DEA BCC ou VRS

Neste exemplo foi necessrio acrescentar outro conjunto (sets) chamado u que vai pertencer avarivel do modelo BCC.

Modelo de Supereficincia

A Supereficincia tem como objetivo ranquear as unidades de anlise, ou seja, estabelecer uma

ordem decrescente de prioridade.

A ideia bsica remover a restrio que limita que o valor da eficincia seja de no mximo 1 ou

100. Desta forma, restrio que, a sada menos a entrada devem ser igual a zero retirada do

modelo.

x, y.,, vu

n...,c,, kxv-yu

xvS.a.:

yuMax E

ij

m

i

iki

s

j

jkj

m

i

ici

s

j

jcjc

0

,,,210

1

11

1

1

x, y.,i, vju

m

iicxivS.a.:

s

jyjcjuMax Ec

0

11

1


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Tomando com exemplo o modelo BCC anterior a modelagem da Supereficincia seria:


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Hospital Eficincia Supereficincia

Hospital 1 1 2,888

Hospital 2 0,827 0,827

Hospital 3 1 1,613

Percebe-se que se a DMU no eficiente seu valor na Supereficincia igual ao valor de suaineficincia. Em resumo a melhor DMU seria o hospital 1 seguido pelo hospital 2.

Modelo aditivo:

Os modelos de DEA anteriores (CCR e BCC) minimizao a utilizao dos insumos com o mesmo

volume de produo (modelos orientados a insumo) ou maximizam a produo, com a mesma

utilizao de insumos (orientados ao produto), (FERREIRA e GOMES, 2009).

O modelo aditivo pressupe que o valor marginal das folgas dos insumos e produtos maiores do

que zero seja igual. Deste modo, necessrio cautela ao se empregar esse modelo, uma vez que:

a) as unidades de medida utilizadas para os insumos e produtos influenciam os resultados, ou

seja, unidades diferentes resultam escores de eficincia diferentes; b) preciso cuidado para no

somar medidas que no sejam comensurveis. Desse modo, recomenda-se, alis como deve ser


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em todos os casos em que utilizam-se modelos de DEA um bom conhecimento e experincia com

o setor e organizaes em anlise.

Este modelo foi desenvolvido por Charnes et al. (1985).

Jjj

teConstorno

Jjj

Variveltorno

Jjj

rAcrescentaRVE

RrIiJjrsisj

Rr

Jjryjryj

Ii

Jjixjixjas

rrrs

Iiis

1

tanRe1

Re1 :

,,,0,,

0

0:.

max

Sendo: j define a importncia as DMus benchmarks, yrj matriz dos produtos r para a dmu j, xij

matriz dos insumos i para a dmuj. yr0 matriz dos produtos rpara a dmu que est sob anli

apostila gams-2013 unesp

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