Hidrulica Experimental Notas de Aula - Verso 1.5 - 2015/s1

Prof. Milton DallAglio Sobrinho 1 QUANTIFICAO DOS ESCOMENTOS ........................................................ 01

1.1 Vazo e Fluxos ................................................................................. 01 1.2 Relao Bsica ente Velocidade e Vazo ......................................... 02 1.3 Fluxo de Grandezas Extensivas Transportadas ................................ 04 1.4 Vazo em Sees com Velocidade Varivel ...................................... 07 1.5 Exemplos Numricos ........................................................................ 09 1.6 Exerccios Sugeridos ........................................................................ 11 1.7 Relao Geral Entre Velocidade e Fluxos ......................................... 14 1.8 Exerccios Sugeridos ........................................................................ 19

2 DESCRIO DOS ESCOAMENTOS .............................................................. 21 2.1 Trajetria de uma Partcula Fluida ................................................ 21 2.2 Velocidade e Acelerao de uma Partcula Fluida ...................... 22 2.3 Linha de Corrente - Um Novo Ponto De Vista ................................... 25 2.4 Velocidade e Acelerao em um Ponto (Anlise Euleriana) ............... 27 2.5 Linha de Emisso e Linha de Tempo .............................................. 31 2.6 Perfis de Velocidade ....................................................................... 33 2.7 Classificao dos Escoamentos ...................................................... 34

3 CONSERVAO DE GRANDEZAS (Equao da Continuidade) ..................... 37 3.1 Conservao da Massa ................................................................... 37 3.2 Misturas Homogneas - Balano de Grandeza Extensiva N ........... 42 3.3 Equao Integral do Balano de Massa .......................................... 47 3.4 Discusso Sobre a Taxa de Variao da Grandeza no V.C. .............. 52 3.5 Exerccios ......................................................................................... 55

4 TRANSFORMAES DE ENERGIA NOS ESCOAMENTOS ........................... 57 4.1. Equao de Bernoulli ........................................................................ 57 4.2. Conservao da Energia nos Escoamentos ...................................... 59 4.3. Energias e Cargas na Equao de Bernoulli .............................. 63 4.4. Aplicao a Medies de Vazo e Velocidade .................................. 64

4.4.1. Medidor Venturi ...................................................................... 64 4.4.2. Tubo de Pitot .......................................................................... 65 4.4.3. Orifcios de pequenas dimenses ........................................... 66 4.4.4. Bocais em condutos forados ................................................. 68

4.5. Exerccios ......................................................................................... 69

5 TRANSFORMAO DE REYNOLDS (Relao Sistema x Volume de Controle) ... 73 5.1 Introduo ......................................................................................... 73 5.2 Do Sistema ao Volume de Controle .............................................. 73 5.3 Balano Global de Grandezas Extensivas ........................................ 76

6 BALANO GLOBAL DE ENERGIA .................................................................. 77

6.1 Aplicao a um V.C. em Regime Permanente .......................... 80 6.2 Problemas isotrmicos: bombas, turbinas hidrulicas e tubulaes ... 81 6.3 Exemplos Ilustrativos ....................................................................... 83 6.4 Efeito do Atrito nos Escoamentos ...................................................... 87

6.4.1. Perdas de Carga em Escoamento em Tubos ......................... 89 6.4.2. Sobre o Fator de Atrito ............................................................ 93

6.5 Efeitos das Bombas e Turbinas sobre as Cargas .............................. 99 6.6 Resumo das Transformaes de Energia ....................................... 102 6.7 Exerccios Propostos ...................................................................... 107

7 BALANO GLOBAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO ............................ 108 7.1 Aplicaes Elementares: Ps Defletoras ......................................... 109 7.2 Aplicaes Elementares: Curvas em Tubulaes ........................... 111 7.3 Aplicaes Elementares: Perdas em Expanso Brusca .................. 114 7.4 Aplicaes Elementares: Estruturas em Canais Abertos ................. 115 7.5 Exerccios Propostos ...................................................................... 118

A N E X O : RESPOSTA DOS EXERCCIOS PROPOSTOS ................................ 122 Diferenas em relao verso 1.4 (de 2014-s2) . Acrescentados os itens 6.4.1 e 6.4.2 num total de 9 pginas. Acrescentado o Anexo com as respostas no corpo do texto, 5 pginas.

CAPTULO 1: QUANTIFICAO DOS ESCOAMENTOS 1.1 Vazo ou Fluxo de Volume muito importante conhecer o volume de fluido que um escoamento transporta. Como os escoamentos so contnuos conveniente expressar o volume transportado por unidade de tempo, ou seja, pelo Fluxo de Volume, FVol, tambm conhecido como Vazo:

1.1

A vazo de gua transportada por um rio fundamental em muitos problemas prticos. Por exemplo, para sabermos se possvel utilizar a gua para abastecimento de uma cidade, ou se o rio comporta o lanamento de esgotos com um determinado nvel de tratamento. Para medir uma vazo podemos imaginar o experimento representado pela Figura 1.1, conhecido como mtodo volumtrico direto. Conhecemos o volume inicial de gua no reservatrio e, no instante t = 0, colocamos o recipiente sob o jato de gua, parando o cronmetro ao final de um tempo t qualquer, quando lemos o volume final. A diferena de volumes fornece o volume escoado durante o intervalo de tempo considerado.

Figura 1.1: Medio de volume transportado pelo escoamento num intervalo de tempo.

Aplicando a definio da equao 1.1 com o volume Vol e com o intervalo de tempo decorrido t, obtemos o valor da vazo mdia no perodo de tempo da medio:

t

VolQ

= ( Valor Mdio no intervalo t) 1.2

Para que a definio seja vlida no caso de escoamento varivel no tempo, interessa o valor instantneo.

tVolQ

t

= 0

lim

tddVolQ = (Valor Instantneo) 1.3

A dimenso do fluxo de volume [ M3 / T ], e as unidades mais comuns so m3/s, m3 /h, l / h, m3 /dia. Uma vazo s tem sentido quando associada a uma determinada seo. No caso da

)s/m(decorridoTempodoTransportaVolume

VAZOVolF3==

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 2 Figura 1.1, trata-se da seo de sada do tubo, com rea S. Um sinnimo de fluxo Taxa de Passagem. Ento podemos dizer tambm que a vazo a taxa de passagem de volume atravs de uma dada superfcie

Vazo um Fluxo de Volume, ou seja, a quantidade de volume por unidade de tempo que atravessa uma determinada rea.

_____ Fluxo de Massa

Em muitas ocasies importante conhecer a taxa de transferncia de massa atravs de uma seo de escoamento. Isso particularmente verdadeiro no caso de escoamentos compressveis. Dada uma seo qualquer de um escoamento, a quantidade de massa que atravessa a seo por unidade de tempo o Fluxo de Massa.

=

=tVol

tm

MF

QFM = 1.4

A dimenso do Fluxo de Massa [ M / T ], e as unidades so:( Kg/h ), ( ton/h ), ( Kg/s ), ( utm/s ) etc. 1.2 Relao Bsica entre Velocidade e Vazo Nossa experincia cotidiana, por exemplo, com torneiras e mangueiras de jardim, indica que a vazo funo da velocidade do escoamento. A velocidade do fluido um dos fatores principais para definir a capacidade de transporte de grandezas dos escoamentos. A outra a rea da seo transversal, conforme veremos neste item. Imagine o escoamento num duto retangular de seo transversal A, transportando gua, com velocidade V uniforme e constante no tempo, conforme esquema da Figura 1.2.

t=0 t = t

x

x

Vol

A

V

Figura 1.2: Escoamento uniforme num duto retangular volume que atravessa a seo.

O perfil uniforme significa que qualquer partcula tem a mesma velocidade. Alm disso, o movimento unidirecional, ou seja, ocorre apenas na direo x. Podemos marcar uma partcula qualquer com corante, e determinar sua velocidade por meio do deslocamento registrado num intervalo de tempo t dado:

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 3

txV

= ; valor mdio da velocidade no intervalo t. 1.5

Com a velocidade conhecida, fcil determinar quais partculas sero capazes de atravessar a sesso A num intervalo t. Basta ver que o deslocamento possvel nesse tempo x = V t . Conclumos que um volume igual ao hachurado ir atravessar a seo de rea A no intervalo t. Ento:

AVQtxA

tVolQ ===

1.6

A equao 1.6, embora simplificada, importantssima. empregada na grande maioria dos clculos de tubulao, com V igual velocidade mdia no tubo. As simplificaes adotadas foram: o mdulo da velocidade o mesmo em toda a seo A, a direo da velocidade a mesma em toda a seo A, a direo da velocidade perpendicular seo A. A primeira hiptese equivalente a afirmar que V a velocidade mdia na seo. J a segunda hiptese praticamente impossvel de ser satisfeita num escoamento real devido a presena dos contornos slidos, como as paredes do tubo ou o fundo dos canais. Posteriormente adaptaremos a equao 1.5 para uso num caso geral. Exemplo 1.1 : Uma tubulao com 50mm de dimetro interno abastece um caminho tanque de 15.000 l de capacidade com gasolina ( = 860 kg/m3). Sabendo que a velocidade mdia no tubo de 2,0 m/s, pede-se: a) Qual a massa de gasolina transportada; b) Vazo que sai do tubo; c) Fluxo de massa que entra no tanque; d) Qual o tempo de enchimento completo do tanque?

SOLUO: a) Pode-se usar o valor mdio porque a massa uniformemente distribuda. A partir da definio de massa especfica e sabendo que 1m3 equivale a 1000 litros, obtemos:

kglml

mkgVolm 12900)

10001()(15000)(860

3

3 ===

b) Sabendo que a vazo a velocidade multiplicada pela rea do escoamento, temos:

slitros

smm

smVAQ

mdA

/400393,000196,0)(2

00196,04050,0

43

2

222

===

===

c) Aplicando a definio do fluxo de massa,

s

kgs

mmkgQFM 377.3)(00393,0)(869

3

3 ===

d) O tempo de enchimento vem da aplicao da definio de vazo:

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 4

stsm

mQVolt

tVolQ 820.3

/00393,015

3

3

==

=

=

Exemplo 1.2 : Um fluido com massa especfica constante escoa pela reduo de dimetro de 100mm para 75mm representada na figura. Sabendo que a velocidade no tubo maior 1m/s, calcule a velocidade no tubo de menor dimetro.

x x

V1 V2

1 2

Vol2Vol1

Volume Constante

SOLUO : Como o volume de fluido no interior da reduo (tracejado na figura) constante, deduzimos que o volume trazido pelo tubo de 100mm em cada intervalo de tempo deve ser igual ao volume que sai pelo tubo menor no mesmo intervalo (Vol1 = Vol2 ). Mas, pela definio de vazo possvel calcular os volumes, j que o intervalo de tempo considerado o mesmo:

22211121 ; AxVoleAxVolmas

tVol

tVolQ ==

=

=

2

1122211

2211

AAVVAVAV

tAx

tAx

==

=

substituindo as reas,

smV

dd

dd

AA 78,178,1

075,01,0

44

2/

/

2

12

2

2

2

2

1

2

2

2

1 =====

1.3 Fluxo de Grandezas Extensivas Transportadas

Ao considerarmos um fluido escoando atravs de uma seo qualquer, podemos quantificar no s os fluxos de volume e massa do fluido, mas tambm a quantidade das grandezas extensivas que o fluido carrega em seu meio.

Definies:

Grandeza : qualquer coisa que pode ser medida fisicamente. Por exemplo, temperatura, velocidade, massa, energia. Grandeza Intensiva: o valor da medida no depende da

quantidade de massa considerada Exemplos: temperatura, velocidade, massa especfica.

Grandeza Extensiva: o valor medido depende da quantidade de massa considerada. Exemplos: quantidade de calor, energia cintica, volume, massa.

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 5 O Fluxo de uma grandeza extensiva N qualquer pode ser dado em relao concentrao da grandeza, ou em relao quantidade especfica.

Fluxo de N em funo da sua concentrao CN :

=

=

= QCt

VolVolN

tNF NN VACF NN = 1.7

Fluxo em funo da quantidade especfica :

=

= MN Ftm

mNF VAFN = 1.8

Ilustrao: Uma deduo alternativa das equaes do fluxo ocorre ao considerar a analogia entre o escoamento e um trem em movimento, conforme a Figura 1.3. Os vages equivalem ao fluido em escoamento e os passageiros nos vages so anlogos s grandezas extensivas conduzidas pelo escoamento.

Seo SVEscoamento = Trem

Fluido = Vages

Pessoas = Grandeza N

Analogia:

VagesdeFluxo

EspecficaQuantidade

Fluxodedefinio

TempoUVagesNum

VagoPessoasNum

TempoUPessoasNumFluxoPessoas .

....

==

Figura 1.3: Analogia com trem em movimento para definio do fluxo de grandezas extensivas.

Pensando num vago como 1 m3 (unidade de volume), ou como 1 kg (un. de massa) de fluido, obtemos as equaes genricas dos fluxos pela extenso do raciocnio utilizado para calcular o fluxo de pessoas:

QTempodeUn.

Vol.deQuant.

C

Vol.deQuant.GrandezadaQuant.F

TempodeUn.MassadeQuant.

MassadeQuant.GrandezadaQuant.F

x

F

M

x

N

N

=

=

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 6 _____ Exemplos de Fluxos de Grandezas Extensivas Aprendemos nesse item que o fluxo de qualquer grandeza cuja quantidade total no fluido depende da massa de fluido considerada pode ser descrito em funo do fluxo de massa. Por exemplo, para algumas grandezas extensivas consideradas:

)( AVTcFCALOR = )(. AVVF MOVQ

=

)(2

2

. AVVF CINTICAE = )( AVeFENERGIA =

Em todos os exemplos vimos que sempre a quantidade especfica da grandeza multiplicada por uma parte comum que o Fluxo de Massa Esse termo representa, como j vimos, a quantidade da grandeza transportada (por Adveco) por unidade de massa do fluido transportador. Exemplo 1.3 : Um rio possui vazo de 10m3/s de gua com concentrao de slidos totais de 250mg/L. Calcular: a) o fluxo de massa de slidos totais e b) a massa de slidos transportada pelo rio em um dia. Soluo: a) uma vez conhecida a concentrao da grandeza extensiva (slidos totais), o fluxo dado pela equao 1.7.

sg

sm

mg

sm

mL

mgg

LmgFST 500.21025010)1000001,0250(

3

3

3

3 ===

b) a massa transportada num dia vem da definio do fluxo mdio (eq. 1.7):

diakgdias

skgtFm STST /000.216400.865,2 ===

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 7 1.4 Vazo em Sees com Velocidade Varivel

A hiptese de perfil uniforme utilizada na relao bsica praticamente nunca ocorre na prtica, devido influncia da viscosidade dos fluidos e ao fenmeno da adeso do fluido aos contornos slidos do escoamento. Nos fluidos reais sempre vai existir uma regio prxima aos contornos slidos com variao pronunciada da velocidade, chamada de camada limite.

Imagine um trecho de rio retilneo esquematizada na Figura 1.4, com a seo transversal com diferentes profundidades. A utilizao de traadores permite concluir que existe um perfil varivel de velocidades, que pode ser aproximado por 3 velocidades diferentes.

Corte da Seo Transversal

V3

V2

V1

V3V2V1

A1A2

A3

Seo Figura 1.4: Escoamento com velocidade varivel

A vazo pode ser considerada como a soma da contribuio de 3 sees distintas e independentes, com velocidades e reas diferentes.

332211321 AVAVAVQQQQ ++=++

generalizando para um nmero qualquer de reas, temos:

=

n

iii AVQ

1 1.9

_____ Discusso sobre Modelo de Medio O sinal de aproximadamente igual na equao 1.9 surge ao fazermos apenas 3

medies de velocidade para aproximar um perfil real de velocidades que varia continuamente, conforme a Figura 1.5.

A1

A2

A3

Seo

perfil

V3

V1real

V2perfilaproximado

Figura 1.5: Modelo de Escoamento Real e de Medio, com Velocidades Constantes

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 8

claro que o perfil aproximado no representa com perfeio o perfil real de velocidades, que varia continuamente. Entretanto, ao adotar um perfil composto de apenas 3 velocidades constantes, estamos adotando um modelo de medio que pode ser suficientemente exato para nossos propsitos.

Sabemos que o perfil real de velocidades no como descrito pelo modelo simplificado de medio. Podemos reduzir o erro de modelo fazendo mais medies de velocidade ao longo da seo transversal, mas o custo das medies adicionais necessrias pode no ser vivel.

O erro de modelo numa medio pode ser aceitvel ou no, dependendo de nosso objetivo. No caso de uma medio de vazo em rios utilizando flutuadores, pode ser aceitvel um modelo bem simplificado, se nosso objetivo for uma estimativa para fins de anteprojeto.

Pode-se perceber a partir da Figura 1.6, que a diviso da seo em reas menores e um maior nmero de medies de velocidade diminui o erro de modelo.

A1

A2

A3

Seo

perfilreal A2

Seo

aproximado com 3 velocidades aproximado com 6 velocidades

A1

A3

A4

A5

A6

perfilreal

Figura 1.6: Aumento do nmero de medies de velocidade diminui o erro de modelo.

O efeito do aumento do nmero de n de subreas consideradas na equao 1.7 pode

ser visualizado num grfico como o da Figura 1.7.

Figura 1.7: Aumento do nmero de medies de velocidade diminui o erro de modelo.

Vazo (m3/s)

Nmero de sub-reas

QRealQ6

Q1

1 2 3 j4 5 6 7 . . .

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 9

=

==n

iiinnnal

AVQQ1

Re limlim 1.10

O sinal de igualdade na equao 1.10 indica que no limite, para nmero muito grande de reas, deixa de existir o erro de modelo.

= AVdAQ 1.11 Pontos Importantes na equao 1.11

1. Velocidade na direo perpendicular a rea 2. dA o elemento diferencial de rea: a maior rea em que V pode ser

considerado constante (no a derivada da funo rea) 3. O limite da integrao A no operacional, apenas indica que os limites reais

devem cobrir toda a rea desejada. 4. Na vazo calculada resta apenas o erro de medio.

1.5. Exemplos Numricos Exemplo 1.4: Deseja-se saber a vazo de um crrego com a seo transversal dada na Figura 1.8. Tendo em vista os objetivos da medio, julgou-se suficiente a diviso da seo em duas sub-reas, nas quais foram medidas as velocidades seguintes: V1 = 0,3m/s e V2 = 0,7m/s. Determinar a vazo.

Figura 1.8: Seo transversal real e modelo adotado para a medio de velocidade.

Adotando-se o modelo de medio exposto na figura, tem-se:

Q Q1 + Q2 = V1A1 + V2A2

Q 0,3 (2,5 G 0,35/2) + 0,7 (0,9 G 0,8) = 0,13125 + 0,504 = 0,63525 Resposta: a vazo do rio aproximadamente 0,6m3/s, ou 600L/s.

Seo Real

Modelo Adotado

A1A2 0,8m

0,9m2,5m

0,35m

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 10 Exemplo 1.5: Um rio com seo retangular de 10m de largura com 1,5m de profundidade possui um perfil de velocidades dado na figura. Determinar a vazo.

Soluo:

1. Funo da velocidade

Observa-se que a velocidade varia linearmente com y. Ajustando-se uma reta aos pontos dados (y = 0, V = 0 e y = 10, V = 2) obtm-se:

:

V = 0,2y

2. Determinao do elemento diferencial de rea

Analisando a funo velocidade percebe-se que V no depende de z. Por isso podemos adotar o elemento diferencial de rea dado no esquema:

:

Elemento diferencial de rea adotado:

3.

Soluo, usando a equao 1.11

152

3,05,12,010

0

210

0====

=

=

ydyyVdAQy

yA

4. Resposta: A vazo do rio de 15m3/s

.

Exemplo 1.6: Um rio possui seo transversal que pode ser considerada triangular de acordo com a figura. O perfil de velocidades, dado na figura, o mesmo do exemplo 1.4. Pede-se calcular a vazo.

x

y 10m

Seo Transversal

1,5m

2,0m/s

Vista Superior

A z

y

dy

dA = z dy

z

1,5 y

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 11

Soluo:

1. Funo da velocidade

A velocidade varia linearmente com y como no exemplo anterior:

:

V = 0,2y

2. Determinao do elemento diferencial de rea

Analisando a funo velocidade percebe-se que V no depende de z. Por isso podemos adotar o elemento diferencial de rea dado no esquema, com dimenso finita na vertical:

:

O elemento de rea adotado pode ser escrito apenas em funo de y, pois h = 0,2y:

dA = 0,2ydy.

3.

33,133

04,02,02,010

0

310

0====

=

=

ydyyyVdAQy

yA

Soluo, usando a equao 1.11

4. Resposta: A vazo do rio de 13,3m3/s

.

1.6. Exerccios Sugeridos 1.6.1. Um escoamento de gua quente a 45C ( = 995kg/m 3) ocorre com velocidade de 2m/s num tubo com rea 0,01m2. A gua possui uma concentrao de 200mg/L de slidos totais. Pede-se: a) calcule a vazo de gua; b) calcule o fluxo de massa de gua; c) calcule o fluxo de slidos totais transportados pela gua; d) calcule o fluxo de energia trmica (quantidade de calor) em relao temperatura de referncia de 0C transportado pelo escoamento. Dado: calor especfico da gua c = 4180J/kgC.

1.6.2. Um rio recebe a gua de um afluente pouco antes de um trecho retilneo, com a seo dada na figura. No trecho indicado foram lanados flutuadores e medidas as concentraes de matria orgnica em 3 pontos de amostragem ao longo da seo transversal, conforme a

x

y 10m

Seo Transversal

2m

2,0m/s

Vista Superior

Az

y

dy

dA = h dyz h

y

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 12 figura com a seo de medio. A escala da seo dada pelo quadriculado com 0,5m de lado. Os valores medidos foram: V1 = 0,7m/s, V2 = 1,5m/s, V3 = 2,0m/s; C1 = 200mg/L, C2 = 195mg/L e C3 = 25mg/L.

Pede-se:

a) Adote e justifique um modelo de medio para a seo e para os perfis de velocidade e de concentrao;

b) com o modelo adotado em (a) calcule a vazo de gua no canal; c) com os modelos adotados em (a) calcule o fluxo de massa de matria orgnica

transportado pelo canal.

1.6.3. O reservatrio de acumulao de uma pequena hidreltrica recebe contribuio de 3 rios, com as vazes e contedo de slidos suspensos mdios dados na tabela. Rio 1 Rio 2 Rio 3 Sada

Vazo (m3/s) 10 20 40 QSAI CSS (mg/L) 100 2000 1000 100

a) Qual a vazo mdia de sada? b) Qual a taxa mdia de acmulo de massa de Slidos Suspensos no reservatrio? c) Sabendo que a massa especfica do material slido depositado no reservatrio de

1600 kg/m3, calcular a perda anual de volume til do reservatrio devido ao acmulo de slidos.

1.6.4. Um meio para determinar a vazo de rios consiste na injeo de substncias traadoras, como sais ou corantes. Numa determinao de vazo em um crrego foram lanados 2l/s de gua com uma concentrao de corante fluorescente igual a 5g/l. Numa seo a jusante, aps a completa mistura do traador, retirou-se uma amostra da gua, obtendo-se uma concentrao de corante de 0,2g/l. Qual a vazo do crrego?

1.6.5. A sua equipe executou medidas de velocidade e determinou trajetrias de partculas num trecho de rio onde se pretende lanar um efluente industrial, obtendo as trajetrias apresentadas. Observou ainda que as trajetrias de partculas ao longo do tempo praticamente no variam, podendo-se considerar o escoamento permanente. A velocidade na seo 1 praticamente uniforme em toda a seo e igual a 0,4m/s. Com base nessas informaes, responda as seguintes questes:

y

x

Rio

Afluente Seo de medio

Planta de Situao

1 2 3

Y

ZSeo de Medio

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 13

1

2

3

a

b

c

60m 25m 40m

2,5m 3m 1m

Seo 1 Seo 2 Seo 3

a'

a) Qual a vazo do rio e as velocidades nas sees 2 e 3 ? b) Se no ponto "a" forem lanados 150l/s de efluente com uma concentrao volumtrica de 500mg/l de uma substncia poluente inexistente no trecho a montante do rio, qual ser a concentrao resultante nos pontos "b", e "c"? c) Existe a alternativa de lanamento do outro lado do rio, no ponto a. Do ponto de vista dos habitantes da ilha, qual dos pontos prefervel? Justifique sua resposta. Dica: considere a diviso do escoamento pelas linhas de corrente e mistura completa em cada seo a jusante.

1.6.6. Dados os perfis de velocidade e de concentrao de Cloretos na gua do rio da figura, com seo aproximadamente triangular, pede-se calcular: a) o fluxo de volume em m3/s; b) o fluxo de massa de cloretos, em gramas por segundo. Dados VMax = 2,0m/s, CMax = 200mg/L e CMin = 200mg/L.

1.6.7. Um canal retangular de 1 m de profundidade e 3 m de largura, transporta gua salgada (= 1000 kg/m3) com concentrao igual a 100 mg/kg, com um perfil de velocidade dado pela equao abaixo, com V em (m/s) e a cota y em metros, com origem no fundo do canal:

[ ]V y= 15 1 1 2, ( ) . Pede-se calcular: a) velocidade mdia; b) fluxo de volume (vazo); c) fluxo de massa de gua no canal; d) fluxo de sal conduzido pelo canal.

x

y10m

Seo Transversal

2,0m

VMax

Vista Superior

A z

y

C Max

C Min

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 14 1.6.8. Para obter permisso legal para operar, uma indstria comprometeu-se a lanar no mximo 3 litros por segundo de efluentes com uma concentrao mxima de cianetos igual a 3 miligramas por por litro. Uma associao de defesa ambiental desconfia do cumprimento da lei pela indstria, mas uma comisso de vistoria formada para investigar o problema no foi bem recebida pela empresa. Em consequncia, voc foi consultado para reunir dados para amparar uma ao legal contra a indstria. Sua equipe fez medies da seo e velocidade do rio a montante da indstria suspeita, e das concentraes de cianeto acima e a jusante do ponto de lanamento, obtendo os seguintes dados: MONTANTE: V = 0,6m/s, A = 6,3m2, CCN = 0,0000mg/l JUSANTE : CCN = 0,0081mg/l Determinar se h base legal para processar a indstria. 1.7. Relao Geral Entre Velocidade e Fluxos

No item 1.4 deduzimos o caso de perfil de velocidades varivel, perpendicular seo considerada. No caso mais geral a seo pode ter forma e inclinao qualquer. Este caso ser trabalhado, em primeiro lugar, transformando a superfcie curva em uma superfcie aproximada por vrias superfcies planas. Assim, o problema geral de superfcie curva se reduz a uma sucesso de problemas de superfcies planas com inclinao qualquer.

A seguir mostraremos como calcular o fluxo atravs de uma superfcie plana de inclinao qualquer. _____ Passo inicial - Definio Vetorial da rea Uma superfcie plana de inclinao qualquer no espao pode ser definida pelo seu vetor rea, conforme mostra a Figura 1.9. Um elemento de rea dA definido como um vetor com mdulo dA e direo do versor n, normal superfcie considerada. O sentido do vetor rea considerado positivo quando se dirige para fora em relao a uma superfcie fechada. Se no existir uma superfcie fechada para referncia o vetor s possui direo definida.

dA

dA dA

dAdA

Figura 1.9: Definio vetorial da rea.

dA dA n

= sendo n

o versor normal 1.12

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 15 _____ Segundo passo identificar o volume que atravessa a seo Para isso iniciaremos com uma situao mais simples dada por velocidade constante na seo, (perfil uniforme) e rea com inclinao constante. Imaginemos ento um escoamento com perfil uniforme de velocidades, representado pelas linhas de corrente da Figura 1.10. A dimenso na direo z dz.

dx

dhds

dA

V

y

x Seo dA = dsdz

Figura 1.10: Fluxo de volume atravs de uma seo inclinada em relao velocidade.

O mdulo do vetor rea na Figura 1.10 dado por:

dzdsdA = O volume dado pela poro hachurada, que corresponde ao volume de um prisma cuja seo um losango de base dx e altura dh.

dzdhdxdVol = Temos, pela geometria da seo, que

cosdsdh =

cosdzdsdxdVol = cosdAdxdVol =

Lembrando a definio de fluxo e que dtVdx = , vem:

coscos dAVdA

dtdx

dtdVoldQ ===

1.13

A equao 1.13 indica um produto escalar entre os vetores da velocidade e da rea, de modo que:

AdVdQ

= 1.14 _____ Terceiro passo identificar a Integral de rea

J vimos no item 1.4 que um perfil qualquer de velocidades pode ser aproximado por segmentos elementares nos quais a velocidade constante. A mesma idia vlida para

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 16 dividirmos tambm uma seo de forma qualquer em vrios planos retilneos. Assim, qualquer rea e qualquer perfil podem ser aproximados, no limite, por uma sucesso de reas planas e perfis constantes, sendo que cada uma contribui com uma vazo elementar, conforme a equao 1.14. Veja a Figura 1.11.

Seo real

V

Perfil real

V

Perfil aproximado

Seo aproximada

1

2

3

4

V

V

V 4

3

2

1dA

dA

dA

dA

Situao real Modelo aproximado

Figura 1.11: Fluxo de volume atravs de uma seo qualquer.

Podemos repetir o raciocnio utilizado no item 1.4. A vazo total aproximada por uma soma que engloba as contribuies de toda a rea:

4321 dQdQdQdQQ +++

A aproximao exata no limite, quando o nmero de reas dA

idA.VQn

i

=

1

===

dAVQAdVQA

n

ini ..lim

1

1.15

O smbolo "A" na integral significa que o somatrio das contribuies deve envolver toda a rea A, e no que ela seja a varivel de integrao. Dependendo da forma da equao para expressar o elemento diferencial de rea dA, que depende da funo da velocidade, poderemos ter que efetuar uma integrao simples ou dupla. Uma vez que estabelecemos o fluxo de volume, fica fcil escrever diretamente a massa desse volume para encontrarmos a equao do fluxo de massa:

= dAVF AMASSA . 1.16 E, para uma grandeza extensiva N qualquer, vale a expresso geral:

= dAVF AN . 1.17

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 17

A equao 1.16 a forma mais geral para o fluxo de volume, e a 1.17 sua equivalente para fluxo de grandeza extensiva qualquer transportada pelo fluido.

_____ Sobre o significado do sinal na equao vetorial

Nas equaes 1.16, 1.17 e 1.18, vlidas em 2 e 3 dimenses, o sinal indica diretamente se o fluxo de entrada ou de sada

. Devemos lembrar que o sentido do vetor rea de dentro para fora, quando so definidas superfcies fechadas. Veja o esquema a seguir com a superfcie fechada de um Volume de Controle.

Figura 1.12: definio de reas de entrada e sada por meio do ngulo entre os vetores.

Toda vez que o ngulo entre os dois vetores for > 90 o produto escalar ser negativo. Isso s ocorre nos fluxos de entrada.

Por outro lado, um ngulo

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 18 Trata-se de um caso de velocidade constante ao longo da rea, pois a velocidade no funo de x ou de y. Assim, a equao 1.14 pode ser aplicada diretamente a toda a rea:

AVQAdVdQ

== Soluo:

( ) ( ) dmjijiAVQ /27512515025500,53 3==+== Comentrios

: A soluo terica porque, na prtica, a abertura da vala e o bombeamento iro alterar as condies de contorno, mudando as cargas e a direo da velocidade nas proximidades da abertura. Entretanto, o procedimento serve para ilustrar o clculo, assim como permite introduzir a discusso sobre o valor negativo do fluxo. Afinal, o que significa este sinal?

Exemplo 1.8: A figura mostra o trao de uma seo plana com 1m de espessura na direo z, perpendicular ao papel, submetido a um campo bidimensional de velocidades dado por V = 200 x i + 50 y j (m/s). Determinar o fluxo de volume que atravessa a seo A1 indicada na figura.

Soluo: Inicialmente necessrio definir a rea A1.em termos vetoriais. Observe o esquema: Temos: ndszAd

=

e tambm jdAidAAd xy

= , dyzsendszdAy == dxzdszdAx == cos Portanto, jdxzidyzAd

= dA

x

dAy A = dA nd

n

s

dA = z ds

dsdy

dx

A contribuio da densidade de fluxo na rea dA dada por:

( ) ( )jdxzidyzjyixAdVdQ +== 50200 Efetuando o produto escalar e lembrando que z = 1

dxydyxdQ 50200 =

O fluxo total a somatria de todas as contribuies ao longo da rea A, dada pela integral de dQ:

y

x0,5m 1,5m

1,5m

1,0m A 1

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 19

( )=

=

=

===

5,1

0,1

5,1

5,050200

y

y

x

xAdxydyxdQQ

A integral dupla no pode ser avaliada porque os limites no esto separados. Mas, ao longo do limite de integrao temos que dy = dx/2. Isto transforma a integral dupla em simples:

( )=

==

5,1

5,050100

x

xdxyxQ

Ainda no pode ser avaliada porque sobre a rea y funo de x. Para resolver, temos que notar que: x,,y 50750 += . Assim, o fluxo fica:

( ) 5,375,37275255,371005,1

5,0

25,1

5,0=== x

xdxxxQ

Resposta: A vazo que atravessa a seo A1 de Q = 37,5 m3/s. 1.8. Exerccios Sugeridos 1.8.1. Na seo definida pela figura foram observados os valores de velocidade dados por: V = (1 + 0,5xy) i + 0,2xy j + 0,2y k , sendo V(m/s) e x e y em metros. Calcular a vazo atravs da seo considerada.

1.8.2. A Figura mostra um trecho de um canal regular com seo parablica. Sabendo que a velocidade dada por V = 0,5 z2 i, e que a cota do fundo dada por Z = 0,5y2, calcular a vazo transportada.

1.8.3. Considere uma seo de escoamento paralela ao plano XZ, com 2 lados horizontais e 2 verticais. A seo quadrada com 2m de lado. Um dos lados horizontais est situado em z = 0m e y = 5m, entre x = 0m e x = 2m. Outro lado horizontal est situado em z = 2m (y=5m). Esta seo est num escoamento dado por = 0,2 + 0,22 + 0,1 , sendo V em (m/s) e ordenadas x, y e z em metros. Calcule a vazo atravs da superfcie.

y (m)

x (m)

Figura Ex. 2

(0,2)

(4,0)

(1,2)

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 20 1.8.4. Um fluido escoa atravs das sees hachuradas do V.C. mostrado na figura. Pede-se:

a) Sendo a velocidade em m/s dada por = 2 + 3 + 5 , calcule a vazo total que entra ou sai do V.C.

b) Com as velocidades do item anterior e sendo a concentrao de uma substncia dissolvida na gua dada por C (mg/L) = 20 mg/L calcule o fluxo de massa total da substncia que entra ou sai do V.C.

c) Com as velocidades do item anterior e sendo a concentrao de uma substncia dissolvida na gua dada por C (mg/L) = 20x + 20y, calcule o fluxo de massa total da substncia que entra ou sai do V.C.

d) Sendo a velocidade dada por = 2 + 3 + 5 . Calcule a vazo total que entra ou sai do V.C..

1.8.5. Um fluido escoa atravs da seo hachurada do V.C. mostrado na figura. Pede-se:

a) Sendo a velocidade em m/s dada por = 2 + 3 + 5 , calcule a vazo que entra ou sai do V.C.

b) Com as velocidades do item anterior e sendo a concentrao de uma substncia dissolvida na gua dada por C (mg/L) = 20 mg/L calcule o fluxo de massa da substncia que entra ou sai do V.C.

c) Com as velocidades do item anterior e sendo a concentrao de uma substncia dissolvida na gua dada por C (mg/L) = 20x + 20z, calcule o fluxo de massa da substncia que entra ou sai do V.C.

d) Sendo a velocidade dada por = 2 + 3 + 5 , calcule a vazo que entra ou sai do V.C. pela superfcie hachurada.

Figura 1

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 21

CAPTULO 2 DESCRIO ELEMENTAR DOS ESCOAMENTOS

A geometria de um escoamento qualquer fica completamente descrita pelo seu campo de velocidades pontuais. Algumas vezes mais vantajoso descrever um escoa-mento por meio de outras caractersticas cinemticas, que sero definidas neste captulo.

Ser demonstrado que existem dois mtodos fundamentais para descrever um escoamento: o mtodo Lagrangeano e o Euleriano. Entender as diferenas entre as duas formas de abordagem e as descries e caractersticas cinemticas derivadas de cada mtodo um dos objetivos deste captulo. O captulo tambm pretende que o leitor se familiarize com as tcnicas analticas e experimentais existentes para descrio dos escoamentos.

2.1 Trajetria De Uma Partcula Fluida

O conceito de trajetria bastante intuitivo. Imagine que voc pode marcar uma determinada partcula do escoamento, e anotar sua posio ao longo do tempo. O resultado uma linha definida como trajetria, ou seja, o lugar geomtrico ocupado por uma partcula ao longo do tempo, mostrada na Figura 2.1.

t=0t=1 t=2 t=3

t=4t=5

V(t=0)

x

y

Figura 2.1: Trajetria de uma partcula

As trajetrias podem ser obtidas na prtica por mtodo fotogrfico, lanando algumas partculas no escoamento e fazendo exposies sucessivas do mesmo negativo. As partculas slidas lanadas no escoamento assumem a funo de um traador, ou seja, de uma substncia que se move com a mesma velocidade do fluido em seu entorno. A trajetria pertence a uma partcula, que acompanhada no decorrer do tempo ao se deslocar pelo escoamento. Por isso se diz que a trajetria um conceito Lagrangeano de descrio do escoamento.

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 22 2.2 Velocidade e Acelerao de uma Partcula Fluida

_____ Velocidade de uma Partcula (Lagrange) O movimento de uma partcula de fluido em um escoamento, pela abordagem Lagrangeana, analisado de forma idntica a um ponto material com uma trajetria curvilnea. Imagine um ponto movendo-se entre P1 e P2 num plano x y (Figura 2.2).

P2

P1

x

y

s

j

i

s 2

s1

Figura 2.2: Vetor posio e vetor deslocamento entre dois pontos

O vetor posio

s em relao origem. Em P1:

+= jyixs 111 2.1

No ponto P2 o vetor posio aps o deslocamento pode ser escrito como s s+ ,

onde s o vetor deslocamento. Se o deslocamento s ocorrer num intervalo de tempo t,

a velocidade mdia durante o deslocamento V s tmdia = / . Sua direo a mesma do

deslocamento s sobre a corda P1P2.

A velocidade instantnea calculada tomando-se intervalos de tempo cada vez mais curtos. Com isso, o comprimento da corda tende a zero, e a direo tende para a tangente curva da trajetria em P1.

P 1

PP

P

43

2

s ( t1)

s ( t2) s ( t3)

P 1

P43

P

P2

V

VV

V

Figura 2.3: Velocidade instantnea como limite das velocidades mdias

Na Figura 3.3 observamos que, a velocidade instantnea sempre tangente trajetria, e dada pelo limite:

V st

dsdt

dsdt et s

= = =

0

lim 2.2

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 23 O mdulo do vetor a velocidade escalar da partcula, ds/dt, e a direo dada pelo versor tangente trajetria. A velocidade pode tambm ser calculada em coordenadas cartesianas, a partir das projees sobre os eixos x e y. Enquanto o deslocamento se d entre P1 e P2 as

componentes do deslocamento s movem-se entre x1 e x2 e entre y1 e y2.

jViVdtsdV

dtdy

Vty

Vy

dtdx

VtxVx

yx

ymdio

xmdio +==

=

=

=

=

2.3

A velocidade ao longo da trajetria a soma vetorial das componentes em x e y, e sempre tangente trajetria. _____ Acelerao de uma Partcula (Lagrange)

A abordagem Lagrangeana permite calcular facilmente a acelerao de uma partcula de fluido em um determinado ponto de sua trajetria ao longo do escoamento.

Quando o vetor velocidade tem sua direo constantemente mudada ao longo de uma trajetria curva, existe uma acelerao mesmo que o mdulo da velocidade seja constante. Pensando no movimento das componentes x e y, vemos que so movimentos retilneos acelerados, cuja soma vetorial compe o movimento ao longo da curva. Deste modo a acelerao pode ser calculada a partir das componentes em x e y.

a ddt Vx x= ; addt Vy y= 2.4

a dVdt a i a j

ddt V i

ddt V jx y x y= = + = + 2.5

a dVdt

ddt V i V jx y= = + 2.6

_____ Coordenadas Intrnsecas

Usando o sistema de coordenadas intrnsecas a acelerao da partcula ter as componentes tangencial e normal trajetria, mostradas na Figura 2.4:

ne

es

s

= + Figura 2.4: Sistema de coordenadas intrnsecas

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 24 _____ Acelerao Tangencial

ssV

Vt

Vlima s

s

ts

=

=

0

22

00 21limlim

sVa

sVV

ts

sV

tVa st

s

ts

==

=

=

2.7

_____ Acelerao Normal

A Figura 2.5 mostra o deslocamento de uma partcula entre P e P', com velocidade constante em mdulo, numa trajetria curva com raio r:

r

P

P

VV,

,

V

V

V

sr

r

,

Figura 2.5: Acelerao normal numa trajetria circular

A variao de velocidade entre P e P' dada por

V V V= ,. Por semelhana de tringulos, temos que:

VVs

r=

s o comprimento da corda PP', que aproximadamente igual ao arco de circunferncia entre P e P'. Este comprimento percorrido pelo ponto em um intervalo t, ou seja, PP V t' = :

V

VV t

rVt

Vr =

2

A relao torna-se exata no limite, quando t 0 e 0. Nessas condies temos a acelerao normal instantnea.

a VtVrn t

= =

0

2lim

A direo e o sentido so os mesmos de V, ou seja, segundo o raio da curva, no sentido da circunferncia para o centro:

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 25

a Vr en n= 2

2.8

O versor normal aponta sempre para fora da curva, o que explica o sinal negativo. A acelerao sempre dirigida em direo ao centro, portanto em sentido contrrio ao versor.

2.3 Linha de Corrente - Um Novo Ponto De Vista At aqui consideramos uma partcula de fluido, acompanhando seu deslocamento ao longo do tempo. Entretanto, em muitas anlises de escoamentos interessa descrever o movimento a partir da observao de um ponto fixo no espao, em uma seo de interesse.

Em oposio ao mtodo de Euler, no item 2.1 consideramos uma partcula fluida, acompanhando-a no espao, em seu movimento ao longo do tempo, definindo o conceito de trajetria.

Se considerarmos um ponto do escoamento e tentarmos descrever as velocidades de todas as partculas do escoamento que passam pelo ponto especificado (abordagem Euleriana), teremos uma descrio diferente das velocidades. No podemos nos valer da trajetria, pois no estamos mais acompanhando as partculas e cada partcula que sucessivamente passa pelo ponto de interesse pode ter uma trajetria diferente. Para desenvolver o equacionamento Euleriano, portanto, necessrio usar o conceito de Linhas de Corrente

_____ Linhas de Corrente

Uma representao dos escoamentos pode ser obtida quando se traam linhas contnuas que so, em cada ponto, tangentes ao vetor velocidade. Essas linhas so chamadas de Linhas de Corrente. Podem ser obtidas por meio de uma fotografia do escoamento, onde se lanou um grande nmero de partculas visveis. Com um tempo de exposio apropriado, cada partcula deixar no negativo um segmento correspondente ao caminho percorrido durante o tempo de exposio, conforme demonstra o esquema da Figura 2.6.

A anlise do escoamento a partir de um ponto fixo no espao denominada Anlise Euleriana, ou mtodo de Euler (1707-1783).

O ponto de vista que considera uma partcula chamado de Anlise Lagrangeana, ou mtodo de Lagrange (1736-1813).

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 26

Linha de Corrente:une pontos na direo

trajetria de uma posio no incio

posio no final

partcula marcada

V

V tangente ao trao

tangente a V

do intervalo

do intervalo

Figura 2.6: Esquema mostrando a tcnica de traado de linhas de corrente

importante observar que as linhas de corrente descrevem simultaneamente a direo instantnea de muitas partculas. A Linha de Corrente pertence ao escoamento, ou seja, descreve as direes do campo de velocidades num dado instante, ao passo que as trajetrias pertencem a uma determinada partcula ao longo do tempo.

A Figura 2.7 mostra um exemplo real de visualizao num escoamento bidimensional ao redor de um perfil de asa. Nesse caso a gua foi marcada com partculas de p de alumnio, deixando os traos brancos que se pode ver na fotografia. Com esse apoio pode-se traar facilmente as linhas de corrente do escoamento. Mais exemplos dessa tcnica podem ser vistos no Rui Vieira, cap. 1 vol.2, Cinemtica.

Figura 2.7: Exemplo de visualizao de escoamento para traar linhas de corrente. Fonte Rui Vieira.

Para no esquecer Linhas de corrente (Euler): exposio nica da foto, muitas partculas Trajetria (Lagrange): uma partcula, mltiplas exposies do mesmo

negativo

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 27

2.4 Velocidade e Acelerao em um Ponto (Anlise Euleriana) Vamos considerar uma Linha de Corrente e as partculas que passam por um ponto P de um escoamento com velocidade varivel no tempo e no espao. Imagine, por exemplo as linhas de corrente no interior de um tubo curvo que drena um reservatrio de gua. Com a diminuio do nvel na caixa, a velocidade diminui em cada ponto, e, ao passar pela curva, cada partcula sofre uma acelerao que muda a direo de sua velocidade. Essa situao esquematizada na Figura 2.8.

Figura 2.8: Variaes da velocidade num escoamento no permanente numa curva de tubulao.

_____ Acelerao Local:

Ao medirmos a velocidade VP num ponto P em dois intervalos de tempo

, podemos verificar uma variao, conforme o esquema vetorial da Figura 2.9.

Figura 2.9: Variao local da velocidade: mesmo ponto, dois instantes de tempo.

A taxa de variao da velocidade com o tempo em um dado ponto

Portanto, a acelerao local dada por

do escoamento chamada de Acelerao Local. Corresponde a uma acelerao, das partculas que passam pelo ponto P, que ocorre no decorrer do tempo.

P

Q

L.C.

P

Q

L.C.

VQ (t+ t)

VP (t+ t)VP ( t )

VQ ( t )

(a) - tempo t (b) - tempo t + t

VP (t+ t)

- VP ( t )

V

Variao Local ( no ponto P)

tVa

tLocal

0lim

=

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 28

aLocal = 0limt VP(t+t) VP(t) t = Vt 2.12 sendo V(P, t) e V(P, t + t) a velocidade de duas partculas que passam pelo ponto P nos dois instantes de tempo considerados. O limite corresponde derivada da velocidade em relao ao tempo. Foi usado o smbolo de derivada parcial em 2.12 porque a velocidade depende tambm da localizao no espao. _____ Acelerao Convectiva:

Podemos tambm observar dois pontos diferentes no mesmo instante de tempo

, como os pontos P e Q da Figura 2.8 e verificarmos que suas velocidades VP e Vq so diferentes, seja em mdulo ou direo ou em ambos, conforme o esquema vetorial da Figura 2.10.

Figura 2.10: Variao convectiva da velocidade: dois pontos no mesmo instante de tempo.

O esquema vetorial mostra que as partculas do escoamento esto sofrendo uma variao se deslocarem s no espao entre os pontos P e Q. A taxa de variao no tempo sentida pela partcula ao se deslocar no espao chamada de Acelerao Convectiva. A variao da velocidade no espao dada por:

VConvectiva = VQ(t) VP(t) A partcula sofre esta variao de velocidade no tempo que levou para percorrer a distncia s entre os pontos P e Q com velocidade V, ou seja, t = s/V: Portanto, a acelerao convectiva dada por

aConvectiva = 0limt VQ(t) VP(t) t = 0limt VQ(t) VP(t) s/V 2.13 No limite quando t tende a zero o deslocamento tambm fica infinitesimal, ou seja, s0, e a equao 2.13 fica: aConvectiva = V 0lims VQ(t) VP(t) s = V V s 2.14 Em que dispensamos a identificao do ponto porque os pontos P e Q coincidem no limite. interessante observar que a velocidade com que a partcula se desloca entre os dois pontos influencia na acelerao que a partcula sofre. Mesmo que exista uma grande diferena de velocidade entre os dois pontos, se a partcula demorar muito tempo no deslocamento a acelerao convectiva ser pequena.

V

VP ( t )

VQ ( t )

Variao Convectiva (entre ponto P e Q)

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 29 _____ Acelerao Total: Derivada Substantiva

Uma partcula de fluido no escoamento sente simultaneamente as duas aceleraes. Assim, a acelerao da partcula, medida com variveis com variveis Eulerianas, dada por: = + a = V

t + V V

s 2.15

Para tornar clara a distino entre o uso de variveis Lagrangeanas e Eulerianas, usa-se definir a acelerao com o operador que chamamos de derivada substantiva, definido a seguir:

DVDt

= Vt

+ V Vs

2.16 Em que a notao DV/Dt indica que a derivada uma operao a ser efetuada com

as velocidades de uma determinada partcula da substncia em escoamento, ou seja, variveis Lagrangeanas. O segundo membro da equao 2.16 , conforme deduzimos, a mesma quantidade (acelerao sentida pela partcula) definida com as variveis Eulerianas (velocidades medidas em pontos definidos do espao).

O resultado da equao 2.16 pode ser deduzido tambm a partir das regras do clculo de funes de vrias variveis, pois V = f (s, t), sendo s a coordenada intrnseca que define a trajetria. Assim, segundo o clculo:

V Vt tVs s dV

Vt dt

Vs ds= + = +

no limite, 2.17

A acelerao fica ento:

a Vtdtdt

Vs

dsdt

Vt V

Vs= + = +

2.18

Euler

Local Convectiva

Acelerao de uma partcula

Lagrange

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 30 Uma apresentao alternativa de 2.15 ou 2.18 a seguinte:

a Vt sV

= +

( )

2

2 2.19

_____ Taxa de variao de outras grandezas

O conceito de variao local e convectiva surge sempre que precisarmos avaliar taxas de variao no tempo de uma grandeza qualquer usando informaes Eulerianas.

A Figura 2.11 ilustra o caso com a temperatura sentida pelos ocupantes de um carro durante uma viagem de Ilha Solteira para So Carlos. A informao Euleriana disponvel a variao local das temperaturas medidas nas duas cidades. Qual a taxa de variao mdia no tempo, sentida pelos ocupantes do carro, que viaja com janelas abertas?

Figura 2.11: Ilustrao de clculo de taxa de variao Lagrangeana com variveis Eulerianas.

A taxa de variao mdia (Lagrangeana) dada por:

= 10 30 23 17 = 20 6 = 3,33/ A taxa de variao local em ISA dada por:

= 20 30 23 17 = 10 6 A velocidade mdia do carro

= 4206 = 72/ A taxa de variao convectiva da temperatura dada por:

= 72 25 30 420 = 10 6

Portanto, variao Lagrangeana = Local mais Convectiva.

17 18 19 20 21 22 23

30

25

20

15

10

Temperatura em ISA (C)

t (h)

17 18 19 20 21 22 23

30

25

20

15

10

Temperatura em S.Carlos (C)

t (h)

Ilha SolteiraSo Carlost = 17h

s = 0 kmT = 30 C

t = 23hs = 420 kmT = 10 C

Variveis Eulerianas

Taxa de variao da temperatura no carro = ?

Varivel Lagrangeana

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 31

2.5 Linha de Emisso e Linha de Tempo _____ Linha de Emisso Se injetarmos continuamente um corante num determinado ponto do escoamento, obteremos ao fim de um certo tempo uma figura chamada de Linha de Emisso. A Figura 2.9 apresenta duas fotografias obtidas no tnel hidrodinmico do DEM-FEIS/UNESP, contendo vrtices que se formam a jusante de obstculos nos escoamentos. A seta mostra o sentido do escoamento.

(a)

(b)

ponto de emisso do corante

vrtice

Figura 2.9: Linhas de emisso de ponto a jusante de cilindro. Fotos: cortesia do Prof. Edson Del Rio.

Todas as partculas marcadas com o corante passaram em instantes anteriores pelo ponto de injeo do corante. Portanto, o conjunto de vrtices constitui a linha de emisso do ponto de injeo do corante, identificado na foto (a) pelo ponto branco.

Uma linha de emisso o lugar geomtrico ocupado pelas partculas que passaram por um dado ponto do escoamento em instantes anteriores. Cada ponto do escoamento pode ter uma linha de emisso diferente, e como a linha de emisso uma representao instantnea, pode variar ao longo do tempo. A forma mais comum de linhas de emisso que observamos no dia a dia proporcionada pelas chamins de fbricas.Os diferentes padres de escoamento identificados pelos vrtices das fotos (a) e (b) ocorrem devido variao da velocidade do fluido. O mesmo tipo de estrutura (vrtices a jusante de um cilindro) pode ser visualizado por meio das linhas de corrente, conforme o exemplo da Figura 2.10. No caso da figura foi utilizada a tcnica do p de alumnio, obtendo-se a foto com tempo de exposio suficientemente longo para que as trajetrias apaream como traos brancos.

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 32

Figura 2.10: Vrtices observados pelas linhas de corrente. Obtida de VIEIRA, R.C.C.S.

Voc pode observar tambm com facilidade as linhas de emisso de um bocal de mangueira de jardim. Movimente a mo de forma ritmada em um percurso fixo, e divirta-se com os desenhos que o jato forma no ar. Esses desenhos nada mais so que as linhas de emisso do bocal da mangueira em movimento. Observe como a trajetria de cada gota de gua em particular completamente diferente da linha de emisso. A Figura 2.11 mostra um esquema das linhas de emisso que podem ser obtidas com esse simples experimento.

Trajetria de uma partcula

t 1 t 2 t 3 t 4 t 5

v

Oscilao do bocal

Trajetria

Trajetria

Trajetria

Linha de Emisso

Posies em tempos anteriores

Figura 2.11: Exemplo esquemtico de Linha de Emisso de um bocal oscilante.

A linha de emisso foi desenhada na Figura 2.11 unindo a posio de diferentes partculas num mesmo instante. As trajetrias extremas e a central so apresentadas em tracejado e em pontilhado os espaos percorridos pelas partculas a cada de ciclo do bocal. Se a frequncia do movimento de oscilao variar as linhas de emisso resultantes

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 33 descrevero curvas mais abruptas (para aumento da frequncia) ou mais suaves (para diminuio da frequncia de oscilao). _____ Linha de Tempo A Linha de Tempo individualizada marcando-se num determinado instante as partculas alinhadas segundo algum critrio de interesse. Diversas linhas de tempo podem ser obtidas fotografando-se o escoamento ao longo do tempo. A Figura 2.12 mostra exemplos de duas linhas de tempo, marcadas com (b) e (c), obtidas com injeo de bolhas de hidrognio na linha (a).

(a) (b) (c)

Figura 2.12: Exemplo de linhas de tempo construdas com injeo de bolhas de hidrognio

A Figura 2.12 mostra como linhas de tempo marcadas pelo mtodo de bolhas de hidrognio podem ser usadas para determinar a diferena de velocidades num escoamento. As bolhas so geradas por eletrlise da gua que ocorre no contato com um fio submetido a uma corrente polarizada. As bolhas de hidrognio so carreadas pelo escoamento, servindo como traador. Observa-se na linha (a) o lugar onde inicialmente as partculas foram marcadas. A corrente eltrica foi fornecida durante um intervalo de tempo conhecido, gerando muitas linhas de tempo que foram carreadas pelo escoamento. A foto s permite visualizar com clareza a primeira linha de tempo (c), marcada no incio do pulso de corrente, e a ltima (b), que recebeu as bolhas em (a) no final do pulso de corrente.

2.6 Perfis de Velocidade A representao grfica em escala das velocidades ao longo de uma linha perpendicular direo da velocidade d origem a um perfil. Um perfil pode ser obtido experimentalmente, ou calculado por meio de equaes do escoamento. A tcnica utilizada para determinar experimentalmente um perfil depende da escala e do tipo de escoamento. Uma experincia simples consiste em medir o perfil de velocidades do ar prximo superfcie da terra. Nesse caso as velocidades podem ser medidas com anemmetros de conchas. Um resultado possvel desse experimento representado na Figura 2.13 (a).

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 34

Figura 2.13: Exemplos de perfis verticais de velocidade.

Existem escoamentos em que a velocidade varia segundo duas direes, como por exemplo em um rio. As velocidades so menores perto das margens, aumentando em direo ao centro do rio. Alm disso, considerando um determinado ponto do rio, a velocidade varia na direo vertical, conforme a Figura 2.13 (b). menor junto ao fundo, atinge um mximo em algum ponto intermedirio e depois decresce ligeiramente at a superfcie (veja figura). As velocidades em rios e canais so medidas com um equipamento semelhante ao anemmetro de conchas, chamado molinete fluviomtrico. Escoamentos em escala menor so medidos com outras tcnicas. Como exemplo, podemos medir as velocidades do ar no interior de dutos utilizando a anemometria de fio quente.

2.7 Classificao dos Escoamentos

_____ Escoamentos Unidimensionais, Bidimensionais e Tridimensionais

Em algumas situaes, como no caso de tubos com escoamento em altas velocidades, o perfil de velocidades praticamente constante, podendo ser desprezadas as variaes na seo para fins prticos. Nessas condies o escoamento determinado apenas pela velocidade mdia na seo do escoamento, originando os chamados escoamentos unidimensionais, ou 1D. Num escoamento 1-D basta saber a ordenada da seo para determinarmos a velocidade no ponto desejado. Observando os diversos exemplos de escoamento que nos rodeiam, podemos verificar que em alguns deles, devido a condies de simetria, basta apenas um perfil de velocidades para descrever o escoamento. Esse o caso do escoamento a baixas

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 35 velocidades em dutos circulares, e do escoamento do ar sobre a superfcie plana da Terra. No importa ao longo de qual linha foram obtidas as velocidades, os perfis resultantes sero idnticos. Esses escoamentos so chamados bidimensionais ou 2-D. Para determinar a velocidade num escoamento 2-D precisamos conhecer duas coordenadas do ponto desejado. No caso de um rio o escoamento no fica totalmente determinado apenas com um perfil vertical, pois os perfis variam conforme a distncia da margem. Esses casos definem os escoamentos tridimensionais, ou 3-D. Para determinar a velocidade num escoamento 3-D necessrio saber as coordenadas x, y e z do ponto desejado. _____ Outras Classificaes dos Escoamentos

Aprendemos que quando o critrio de anlise dos escoamentos o nmero de variveis necessrias descrio do campo de velocidades obtemos sua classificao em uni, bi e tridimensionais. Outros critrios podem ser utilizados.

Massa especfica Utilizando a massa especfica, podemos dividir os escoamentos em compressveis, quando a massa especfica varia de uma seo para outra ou incompressveis, quando permanece constante. Observe que a classificao pertence ao escoamento, e no ao fluido: um mesmo fluido pode participar de escoamentos compressveis e incompressveis, dependendo dos gradientes de presso observados.

Quando a massa especfica varia em uma mesma seo do escoamento temos os chamados escoamentos estratificados, em oposio aos no estratificados, em que a massa especfica constante na seo.

Tempo Quando o critrio de classificao o tempo, devemos escolher uma dada seo do escoamento e observar o que ocorre. Se as grandezas no variarem temos um escoamento permanente, em oposio aos no-permanentes, tambm chamados de transientes.

Comparao entre sees Num dado instante de tempo podemos considerar o comportamento de uma grandeza em duas sees. O mais comum utilizarmos a velocidade para esta anlise, dando origem a duas situaes: escoamento uniforme, quando no h variao de mdulo, direo e sentido da velocidade, e no uniforme ou variado quando ocorre o oposto.

Comportamento dinmico Existem escoamentos em que os fluidos escoam em camadas perfeitamente definidas, como lminas superpostas, e com velocidades tambm perfeitamente definidas. So os chamados escoamentos laminares. Outros escoamentos apresentam um comportamento desordenado, com mistura de quantidades macroscpicas de fluido na direo transversal velocidade mdia. Nesses escoamentos a velocidade apresenta

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 36 flutuaes aleatrias em torno de um valor mdio, e so chamados de escoamentos turbulentos. _____ Outras Grandezas que descrevem os escoamentos

Outras grandezas so necessrias para caracterizar completamente um escoamento, e sua enumerao depende do tipo de problema.

Considerando o escoamento de um fluido sem misturas e isotrmico, as outras grandezas necessrias so a presso, a massa especfica e a cota geomtrica, que definem, conjuntamente com a velocidade, a energia mecnica total.

No caso de um escoamento destinado a resfriar uma determinada pea ou equipamento, a temperatura passa a ser importante tambm.

Em escoamentos que envolvem misturas de substncias, necessrio acrescentar a concentrao para descrever completamente o problema.

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 37

CAPTULO 3: CONSERVAO DE GRANDEZAS

Equao da Continuidade Aplicaremos aqui o conceito familiar de conservao de massa, discutindo como sua aplicao em fenmenos de transporte possvel na anlise Euleriana, ou seja, usando volumes de controle e no um sistema.

Um caso prtico interessante a operao de reservatrios de gerao de energia. necessrio manter um contnuo controle do volume represado, para enfrentar as pocas sem chuvas, controlar as cheias e obter um rendimento timo de turbinas.

3.1 Conservao da Massa A regio escolhida para a anlise chamada de Volume de Controle. Um Volume de Controle uma poro definida do espao onde se d o escoamento, com quantidade de massa que pode variar, conforme a Figura 3.1:

Figura 3.1: Fluxos de massa num volume de controle.

Podemos dizer, para um determinado intervalo de tempo t:

m INICIAL + m ENTRA m SAI = m FINAL m FINAL m INICIAL = m = m ENTRA m SAI 3.1 A equao 1.1 est ligada a um intervalo de tempo t. Como os escoamentos so contnuos, mais conveniente escrever as taxas mdias no intervalo de tempo, dividindo a equao 3.1 por t:

tm

tm

tm SE

=

Os termos do segundo membro so Fluxos

de Massa mdios no intervalo t.

sQeQsFeFtm

MM ==

3.2

A equao 3.2 exata quando as vazes no variam no tempo t ou quando so usados os valores mdios no intervalo de tempo. No caso de fluxos variveis, necessrio usar um valor instantneo, obtido pelo limite da variao da massa quando t tende a zero.

Fe

Fs

mAe As

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 38

sFeFdtdm

MM = 3.3

A equao 3.3 diz que A taxa instantnea de variao da massa igual ao saldo dos fluxos de entrada e sada

_____ balano de volumes No exemplo da usina hidreltrica e em muitos casos da prtica a massa especfica no varia. Esse o caso dos chamados escoamentos incompressveis. Para constante, o balano de massas fica equivalente a um balano de volumes:

se QQtVol

tm

=

=

3.4

se QQtVol

=

3.5

A equao 3.5 diz que A taxa mdia de variao do volume igual diferena de vazes de entrada e sada

_____ fluxos variveis no tempo

Quando a vazo varia no tempo, pode-se usar o mesmo raciocnio, mas escrevendo a frmula com valores instantneos.

se QQdtdVol

= 3.6

Nesse caso, cada pequeno intervalo diferencial de tempo dt traz uma variao diferencial no volume dVol.

A variao total num dado tempo finito o somatrio das variaes diferenciais ao longo do intervalo de tempo considerado. Analiticamente, isto se consegue pela integrao da equao diferencial da equao 3.6:

dVol = (Qe Qs)dt

==t

t se

t

tTOTALdtQQdVolVol

00

)( 3.7

_____ aproximao numrica A integral da equao 3.7 muitas vezes no tem soluo analtica. Para casos em que a soluo analtica no existe ou inconveniente, pode-se chegar ao resultado por aproximao numrica. Para isso divide-se o tempo total numa sucesso de intervalos de tempo finitos t, no qual as vazes so consideradas constantes. Obtemos ento:

=

+==

n

iSE

n

ii

tnt

tTOTALtQQVolVolVol

11)(0

0 3.8

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 39 claro que a equao 3.8 possui um erro, pois as vazes variam continuamente. A aproximao torna-se mais fina medida que decresce o intervalo de tempo considerado, ou seja, aumenta o limite n do somatrio de parcelas finitas. A equao s totalmente exata no limite para t 0. O limite da srie infinita de somas , como sabemos, equivalente integral:

=

=

=

t

ti

itTOTALdVolVolVol

010lim 3.9

Assim, como em vrios casos da prtica, a quantidade n de somas a ser efetivamente realizada depende dos objetivos do clculo. Usualmente, quanto mais rpida a variao dos fluxos no tempo, menor deve ser o intervalo de tempo t adotado. _____ balano de massas

Se for conveniente lidar com a massa, a equao 3.7 fica:

=t

t

t

t sseeTOTALdtQdtQm

0 0

3.10

O segundo membro foi dividido em duas parcelas porque num caso geral a massa especfica pode variar. J o caso da variao de volume s tem sentido em escoamento incompressvel, e dividir ou no os termos de entrada e sada dos fluxos apenas uma questo de convenincia e/ou clareza. EXEMPLO 3.1: Um reservatrio prismtico com rea da base Ab = 10m2 possui um volume inicial de 20 m3 e recebe, durante 1 hora, uma vazo mdia de 10m3/h, fornecendo uma vazo mdia de 30m3/h. Com esses valores mdios o reservatrio fica completamente vazio aps 1 hora. Determine a dinmica da variao de nvel no reservatrio por meio de um grfico do nivelo em funo do tempo, para os casos seguintes. ___ Caso 1: vazes constantes Temos apenas um intervalo de tempo para aplicar a equao 3.5: Vol = (10 30) t = -20 t, e a variao do nvel linear, conforme os grficos.

Q(m3/h)

10

20

30QS

QE

0 0,5 1,0

t (h)

Nvel (m)

1,0

2,0

3,0

0 0,5 1,0

t (h)

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 40 ___ Caso 2: vazo constante de entrada e sada de 60 m3/h durante a ltima meia hora: Neste caso temos dois intervalos de 0,5h, em que as vazes so constantes, nos quais podemos usar a equao 3.5:

Vol1 = (10 0) t = 10(m3/h) G 0,5 h = + 5 m3 Vol1 = Vol0 + Vol1 = 25m3 Vol2 = (10 60) t = -50(m3/h) G 0,5 h = - 25 m3 Vol2 = Vol1 + Vol2 = 0m3

Usando a equao 3.5 em 2 intervalos de tempo consecutivos chegamos ao mesmo resultado final do caso 1 (reservatrio vazio). Isto lgico, uma vez que as vazes mdias no variaram.

Observamos que neste caso o nvel aumentou durante o primeiro intervalo, como demonstra o grfico a seguir.

A equao 3.7 fornece a variao total nos dois intervalos de tempo, levando ao

mesmo resultado final: VolTOTAL = Vol1 + Vol2 = + 5 25 = - 20 m3 VolFINAL = VolINICIAL + VolTOTAL = 20 20 = 0m3 Comentrio

Assim, para conhecer em detalhe a evoluo dos nveis de gua no reservatrio, com vazes que variam continuamente, necessrio utilizar intervalos de tempo cada vez menores. No limite, chega-se equao 3.9. O exemplo 3.2 mostra um caso prtico da situao de vazes variveis.

: Os casos 1 e 2 ilustram que podemos chegar ao mesmo resultado final, mas com dinmicas diferentes. Somente com a diviso em dois intervalos de tempo foi possvel captar a variao real de nvel no caso 2.

EXEMPLO 3.2: Um reservatrio prismtico com rea da base Ab = 10m2 recebe uma vazo constante de 10m3/h. A vazo de sada em m3/h dada por Qs = 10H, sendo H a cota do nvel da gua em metros. Considerando que inicialmente a gua est na cota Hi = 5,0m, Calcular o nvel aps decorrido 1 hora.

Q(m3/h)

10

QS

QE

0 0,5 1,0

t (h)

Nvel (m)

1,0

2,0

3,0

0 0,5 1,0

t (h)

60

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 41

Anlise: como neste problema a vazo de sada varia continuamente, a soluo exata precisa partir do balano instantneo. A variao total de volume ser encontrada pela integrao do balano instantneo. Soluo:

= = 10 10

A equao diferencial resultante no pode ser integrada porque h 3 variveis (Vol, H e t).

Usando a relao entre volume e altura do nvel dgua podemos reduzir a 2 variveis:

=

= 10 10 10 10 10 = Com as variveis separadas podemos integrar

10 10 105 = 10

Fazendo a mudana de variveis: = 10 10 = 10

40 = 10 ln |40 = |01 ln 40 = 1

40

= 1 = 14,715 10 10 = 14,715 = 2,471 Resposta: ao final de 1 hora o nvel ser de 2,471m e o volume ser 24,71m3.

EXEMPLO 3.3: Resolva o problema 3.2 utilizando mtodo numrico aproximado (eq. 3.7) utilizando t de 6 minutos (0,1h). Anlise: o mtodo numrico considera que os fluxos se mantm constantes durante o intervalo. Evidentemente esta hiptese contm um erro, j que o fluxo de sada varia continuamente. Esta a razo pela qual a soluo numrica contm erros, sendo apenas uma aproximao da soluo.

Qe = 10 m3/h

Qs = 10H m3/hH

dVol = AB dH

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 42 Para o primeiro intervalo de tempo (i = 1): Qs = 10 5 = 50m3/h 1 = (10 50) 0,1 = 43 Vol1 = 46m3 H1 = 4,6m Segundo intervalo de tempo (i = 2) Qs,2 = 10 4,6 = 46m3/h 2 = (10 46) 0,1 = 3,63 Vol2 = 42,4m3 H2 = 4,24m Resumindo para os demais intervalos: Qs,3 = 10 4,24 = 42,4m3/h 2 = (10 42,4) 0,1 = 3,243 Vol3 = 39,16m3 H3 = 3,916m 3 = (10 39,16) 0,1 = 2,963 Vol4 = 36,2m3 H4 = 3,620m 4 = (10 36,2) 0,1 = 2,623 Vol5 = 33,58m3 H5 = 3,358m 5 = (10 33,58) 0,1 = 2,3583 Vol6 = 31,222m3 H6 = 3,1222m 6 = (10 31,222) 0,1 = 2,12223 Vol7 = 29,0998m3 H7 = 2,91m 7 = (10 29,10) 0,1 = 1,913 Vol8 = 27,19m3 H8 = 2,719m 8 = (10 27,19) 0,1 = 1,7193 Vol9 = 25,471m3 H9 = 2,5471m 9 = (10 25,471) 0,1 = 1,54713 Vol10 = 23,9239m3 H10 = 2,392m Resposta: a soluo numrica iterativa com intervalos de tempo de 0,1h indica um nvel dgua no reservatrio de 2,392m ao fim de 1 minuto. Obs: A soluo numrica apresentou erro de -3,2%, que tende a diminuir com intervalos de tempo menores.

3.2 Misturas Homogneas - Balano de Grandeza Extensiva N Normalmente a gua em escoamento no pura, mas misturada com vrias substncias sobre as quais possvel ter informao por meio do balano de massas. Vimos no item anterior que a taxa de variao da massa igual diferena entre os fluxos de entrada e sada. Esse raciocnio vlido no s para a massa do fluido em escoamento, mas tambm para as outras massas e grandezas dependentes da massa que o fluido transporta em seu meio. N = Ne Ns

= , , 3.11

Mas os Fluxos responsveis pelas quantidades Ne e Ns da grandeza extensiva dependem do fluxo de massa e das concentraes, pois:

FN = FM FN = Q Ento, para valores mdios no intervalo de tempo,

= 3.12

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 43 Lembrando que quando os fluxos variam no tempo, o balano deve ser escrito para um instante de tempo:

= 3.13 EXEMPLO 3.4: Considere um recipiente com 100 litros de gua temperatura de 20C, recebendo 1 L/s de gua a 80C e com uma vazo de sada de 1L/s. Durante os instantes iniciais a gua sai com temperatura de 20C, mas depois disso a gua sai com a temperatura mdia do reservatrio. Isto quer dizer que a gua no reservatrio bem misturada. Analise o transiente da temperatura da gua no reservatrio, supondo que a variao da massa especfica da gua com a temperatura desprezvel. Calcule a variao da quantidade de calor armazenada em 10 segundos e a temperatura mdia da gua na caixa ao final deste perodo. Adote = 995 kg/m3 e calor especfico c = 4,18kJ/kgC.

Soluo: Parte a) _____ Anlise do transiente A grandeza extensiva considerada a quantidade de calor: = ( 0) = = ( 0) Como a temperatura da gua varia continuamente, o fluxo de calor que deixa o reservatrio tambm varia, de forma que o balano de energia s vlido instantaneamente, e deve ser expresso na forma diferencial:

= ( ) = em que a temperatura de referncia adotada foi T0 = 0.

O balano de massa da gua no reservatrio mostra que = , pois o regime permanente ( no h variao da massa no reservatrio) e com massa especfica constante (no h variao do volume no reservatrio).

Assim, o balano de energia fica:

= ( ) Fazendo = ( ) a equao do balano pode ser escrita como:

=

= 1

AeAS

Fe

FS

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 44

Lembrando que o tempo de deteno hidrulico, definido como =

, o tempo

mdio de permanncia de cada partcula no reservatrio.

A equao acima pode ser integrada facilmente, entre um instante de tempo inicial ti em que a temperatura do reservatrio Ti e um tempo t qualquer, obtendo-se:

=

=

Que a soluo para o transiente de temperatura no reservatrio. Quando o tempo tende ao instante inicial, T tende a Ti e 1; por outro lado, quando o tempo muito grande, 0 e T Te.

Observe que a soluo no depende da massa especfica nem do calor especfico do fluido no reservatrio, apenas depende da relao entre o volume do reservatrio e a vazo de alimentao, dado pelo tempo de deteno hidrulico. Desta forma a soluo vale para qualquer problema semelhante, podendo ser expressa pelo grfico adimensionalizado da figura seguinte.

Resposta adimensional da temperatura no reservatrio

Parte b) ____ clculo da temperatura aps 10 segundos

Basta substituir os valores numricos na equao do transiente

=

=

sendo o tempo de deteno dado por: =

= 100 1/ = 100 . Assim, 80 (10) = (80 20)10 100

(10) = 80 60 0,904 = 25,7 Resposta: a temperatura da gua no reservatrio aps 10 segundos ser de 25,7C.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4

/

i

t /

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 45 EXEMPLO 3.5: Calcule numericamente um valor aproximado para a temperatura da gua do reservatrio do exemplo anterior ao final de 10 segundos. Soluo: Para utilizar uma aproximao numrica da equao diferencial do balano de energia, vamos considerar que os fluxos permanecem constantes ao longo do intervalo de tempo finito adotado.

Em funo dos fluxos de massa e volume, a variao da quantidade de calor armazenada calculada por:

= ; = = ( ) = 995

3 4,18

0,001 3 (80 20) 10 = 2495,5 Essa quantidade de calor, acrescentada massa da caixa, permite calcular o acrscimo de temperatura:

= 2495,5 0,13 995 3 4,18 = 6,0 Resposta: A temperatura da caixa ao final do intervalo de 10 segundos ser de 26,0C, aproximadamente. Comentrios: Note que o erro da soluo numrica aproximada foi de 0,3C em relao soluo analtica. Este erro tende a diminuir com a adoo de menores intervalos de tempo.

Se o clculo for repetido para mais um intervalo de 10 segundos o acrscimo de temperatura ser menor, porque maior quantidade de energia deixa o reservatrio, visto que a gua sair mais quente.

A soluo numrica partiu da premissa que a gua no reservatrio permanece a 20C durante todo o intervalo de tempo considerado. Evidentemente, esta simplificao implica em que a resposta possui certo erro. Entretanto, o erro tende a diminuir com o intervalo de tempo considerado no clculo. EXEMPLO 3.6: Considere novamente o reservatrio do exemplo 3.4, levando em conta a variao da massa especfica com a temperatura. Calcule numericamente a temperatura da gua ao final de 10 segundos.

Dados: (80C) = 971,8kg/m3

(20C) = 998,2kg/m3 c = 4,18 kJ/kgC Ae

AS

Fe

FS

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 46 Anlise: este problema envolve o balano transiente de massa da gua, visto que, com o aumento da temperatura causado pela entrada de gua quente, o reservatrio de volume constante ir conter cada vez menos massa; alm disso, a outra grandeza envolvida a energia, tambm com balano transiente, visto que a sada de gua cada vez mais quente conduzir cada vez mais energia para fora da caixa e o fluxo de entrada de energia trmica constante. Em vista dessas dificuldades, torna-se mais simples resolver o problema por aproximao numrica. Soluo: A grandeza extensiva considerada a quantidade de calor: N mc T T= ( )0 . A variao da quantidade de calor no perodo dada por:

= = ( + ) () mas tambm podemos expressar a variao por meio dos Fluxos:

= = Expressando agora os fluxos de energia em funo dos fluxos de massa e volume,

= ; = ( 0) = ( 0) Considerando a temperatura de referncia T0 como nula e substituindo os valores numricos, temos as quantidades de energia que entraram e saram:

= 971,8 34,18 80 () 1 0,001 3 10 () = 3249,7 = 998,2 34,18 20 () 1 0,001 3 10 () = 834,5

= 2415,2 Conhecendo a quantidade de calor aduzida, o clculo da variao da temperatura depende da quantidade de massa no reservatrio. A massa final obtida pelo balano de massas:

m m m m F F tm kg

m m m kg

e s e s

f i

x x

= =

= =

= + =

( )( , , , , ) ,

,971 8 0 001 998 2 0 001 60 1 584

98 416

= = 2415,2 98,416 4,18 = 5,87 Resposta: Portanto, a temperatura ao final de 10 segundos ser 25,9 C.

Para continuar o clculo da aproximao numrica ao longo do prximo intervalo de tempo precisamos da massa especfica da gua temperatura de 25,9C. Continuam valendo as observaes dos exemplos anteriores. Ao assumir que as temperaturas permanecem constantes ao longo de todo intervalo de tempo a soluo

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 47 numrica carrega um erro de aproximao. Como antes, este erro tende a diminuir com o intervalo de tempo considerado. 3.3. Equao Integral do Balano de Massa Nosso prximo desafio ser descrever matematicamente o balano, de forma que seja vlida para uma situao geral, admitindo-se velocidades variveis e com inclinao qualquer em relao s sees de entrada e sada da regio de interesse, que chamada de Volume de Controle. _____ Volume de Controle

O Volume de Controle (VC) uma regio definida do espao. A massa livre para entrar e sair do VC, que ento pode possuir massa varivel com o tempo. As grandezas num VC so usualmente mais fceis de quantificar com variveis Eulerianas. A Figura 3.2 traz de forma esquemtica um escoamento qualquer representado por suas linhas de corrente, e um volume de controle. O Volume de Controle conceitualmente diferente do sistema. Um Sistema uma quantidade definida de massa. Por isso normalmente mais fcil quantificar as grandezas de um sistema usando variveis Lagrangeanas. Num escoamento, um sistema pode mudar de forma, acompanhando o escoamento, mas sempre contm a mesma massa.

Volume de Controle

L.C.

Superfcie de Controle

Figura 3.2: Representao esquemtica de volume de controle num escoamento.

Um sistema no muito til para efetuar balanos de massa em escoamentos. Todas as equaes de balanos usam como base um volume de controle. Isso ocorre porque no h interesse, por exemplo, em saber qual gua se encontra num reservatrio, e sim quanta gua? a pergunta importante. Salvo raras excees, toda gua igual do ponto de vista da soluo de problemas prticos. Por exemplo, no caso de hidreltricas, necessrio operar o reservatrio com segurana e produo tima de energia eltrica. Portanto interessa equacionar o problema a partir do reservatrio, uma regio fixa do espao (VC), e no a partir de cada massa de gua que escoa no rio (Sistema).

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 48 Outra razo, talvez menos bvia, que as variveis que utilizamos para descrever os escoamentos so Eulerianas. Isso significa que foram medidas em pontos definidos do espao, e no em partculas definidas de matria. ____ Balano

Para o balano geral de massa vamos imaginar um VC com fluxos que entram e saem por vrias sees de entrada e sada. Inicialmente vamos simplificar o efeito de todas as entradas em uma s e de todas as sadas tambm em uma s. Vamos pensar agora no efeito dos fluxos de entrada e sada do nosso VC. Se isso parece difcil com um VC abstrato, podemos pensar no conhecido problema do reservatrio, conforme a Figura 3.3, com o mesmo resultado:

F M

rea de Entrada

M,e

FM,s

rea Lateral

rea de Sada t

V.C.

Figura 3.3: Reservatrio atuando como volume de controle num escoamento.

Sabemos que o balano de massa pode ser expresso por:

F F MtM E M S, ,

=

3.14

Sabemos tambm que os fluxos podem ser expressos pela integral vista no item 3.1. Mas, para substituirmos sem erro na equao do balano, necessrio lembrar do sinal algbrico includo na integral. O sinal consequncia do produto escalar da velocidade e rea, devido conveno de sentido para o vetor normal. Veja o esquema da Figura 3.4:

L.C.

Superfcie de Controle

VdA

dAdA

V

V

reas de SadaSinal positivo

reas LateraisValor nulo

reas de EntradaSinal negativo

Figura 3.4: Sentido do vetor rea em relao a densidades de fluxo de entrada e sada.

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 49 Outro resultado interessante da integral que ao longo da superfcie de controle existem apenas reas de entrada, de sada ou reas laterais. Uma rea lateral aquela onde no h fluxo de entrada ou sada, como se a superfcie fosse impermevel. Nas reas lateriais o vetor velocidade sempre fica perpendicular ao vetor rea, fazendo com que o produto escalar seja nulo. Com as propriedades da integral em mente, podemos escrever ento que:

= dAVF AEEM ., 3.15-a

= dAVF ASSM ., 3.15-b

onde os limites AE e AS nas integrais referem-se s reas de entrada e sada, respectivamente. Utilizando ento a notao geral de fluxos de entrada e sada das equaes 3.15 na expresso do balano, temos:

tM

F

dA.V

F

dA.V

S,M

AS

E,M

AE

=

3.16

Podemos agora levar as integrais para o segundo membro, e tambm acrescentar um termo nulo, sem alterar o balano:

0...

,,

=+++

NULO

AL

SM

AS

EM

AEdAV

F

dAV

F

dAVTM 3.17

Uma propriedade interessante da integrao nos permite somar todos os limites de integrao numa mesma integral, de forma que podemos escrever:

0. =+

++ dAVt

M

SC

ALASAE

3.18

A equao 3.18 vlida apenas se os Fluxos permanecerem constantes durante o intervalo de tempo t considerado. Se a velocidade variar alteram-se os fluxos e o balano que escrevemos deixa de ser vlido. Para que a ideia fique exata preciso pensar na variao de massa que ocorre em um tempo t muito pequeno. Somente nesse caso o fluxo instantneo igual ao mdio, mesmo nos regimes transientes.

Escrevendo ento o balano para o caso do limite de t 0 temos:

0=+

dAVdtdM

SC 3.19

A equao 3.19 utiliza valores instantneos das velocidades e da taxa de variao da massa. Portanto, continua vlida mesmo durante os transientes.

Notas de Hidrulica Experimental verso 1.5 2015/s1 50 _____ Equacionando a taxa de variao da massa no VC ( = termo dM / dt )

Para encerrar o balano integral de massa num V.C. falta explicitar como, de uma forma geral, calculada a massa contida no VC.

Se imaginarmos uma massa especfica uniforme

= onde Vol o volume total. ao longo de todo o volume, fica

muito fcil:

Desta forma a taxa fica:

dMdt

= d dt

( Vol) 3.20 A equao 3.20 descreve a variao de massa dos chamados modelos concentrados, em que apenas um valor de qualquer das grandezas consideradas descreve toda a massa considerada. O equacionamento concentrado de uma dada grandeza pode ser adotado para um Volume de Controle ou para um Sistema.

Num caso geral a massa especfica pode variar ao longo do volume de controle. Basta, por exemplo, que varie a temperatura ou a salinidade do fluido para que cada ponto do fluido tenha um diferente. Como avaliar a massa total? Nesses casos necessrio usar os modelos distribudos. O modelo distribudo pode ser necessrio para descrever tanto um V.C. como um Sistema.

Como exemplo, a Figura 3.5 mostra o esquema de um esturio, regio onde os rios desguam no mar. Esturios so estudados em hidrulica ambiental, pela sua importncia como reas de reproduo de muitas espcies.

Figura 3.5: Corte esquemtico de esturio, com variao da massa especfica da gua.

Os esturios so regies em que a salinidade da gua depende da proporo da mistura entre as guas do mar e do rio. A mistura influenciada pela vazo do rio, pela topografia, pelos ventos e principalmente pelas mars. A massa especfica da gua varia no espao e no tempo, tornando necessrio o uso de modelos distribudos. Uma aproximao razovel para a massa M nos modelos distribudos pode ser obtida se dividirmos o volume total em vrios pequenos volumes Vol . Esses volumes so to

mar alta

mar baixa

Riogua doce

gua salg