gams technical paper

Introduo ao MPSGE e GAMS

ngelo Costa Gurgel

Dezembro 2010

PAEG Technical Paper No. 4

PAEG Technical Paper No.4

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Gurgel, A.C. (2010) Introduo ao MPSGE e GAMS. PAEG Technical Paper No.4. Viosa: DER/UFV.

Introduo ao MPSGE e GAMS

ngelo Costa Gurgel

PAEG Technical Paper No. 4

1. Introduo

O General Algebraic Modelling System (GAMS) (Brook et al, 2003) um

software que foi construdo para resolver problemas de programao (otimizao)

linear e no-linear. Contudo, esse programa demonstrou ser til em resolver muitos

problemas em economia, que so melhor representados como problemas de equilbrio

(soluo de sistemas de equaes e desigualdades).

O Mathematical Programming System for General Equilibrium (MPSGE) uma

linguagem de programao desenvolvida por Thomas Rutherford (Rutherford, 1999)

no incio dos anos 1980 para solucionar modelos econmicos de equilbrio ao estilo

Arrow-Debreu. O MPSGE usa como interface a linguagem de programao do GAMS.

Como resultado, se algum pretende usar o MPSGE, necessita tambm aprender a

sntax bsica do GAMS. Como o prprio nome indica, o MPSGE foi criado para resolver

modelos econmicos conhecidos como modelos aplicados (ou computveis) de

equilbrio geral (MAEG). Esses modelos consistem de agentes econmicos que

interagem entre si atravs de preos que emergem de mercados de bens e fatores de

produo. A palavra geral significa que todos os fluxos econmicos so

considerados, isto , existe um escoamento para cada fonte. Determinar um

equilbrio para um MAEG envolve descobrir preos, quantidades e rendas de

equilbrio.

2 - Passos em modelagem aplicada de equilbrio geral

Os passos usuais na modelagem de equilbrio geral so:

1 Especificao da dimenso do modelo:

- nmero de bens e fatores,


3


- nmero de consumidores,

- nmero de regies ou pases,

- nmero de mercados ativos;

2 Escolha das formas funcionais para as funes de produo, transformao e de

utilidade; especificao das restries, incluindo escolhas de produtos e insumos para

cada atividade;

3 Construo da base de dados com consistncia microeconmica e

macroeconmica

Os dados devem satifazer as seguintes condies: lucro zero (valor da produo igual

ao custo total) para todas as atividades, ou se os lucros forem positivos, indicao

das receitas geradas, como tambm, devem satisfazer as condies de equilbrio de

mercado (oferta = demanda) em todos os mercados.

4 Calibrao escolha dos parmetros para que as formas funcionais e a base de

dados sejam consistentes.

Por consistncia entende-se que os dados devem representar a soluo inicial do

modelo;

5 Replicao execuo do modelo de forma a verificar se este reproduz os dados

iniciais;

6 Experimentos e choques no modelo

Os passos 3 e 4 no so estritamente necessrios. O software pode ser

utilizado para anlises puras de simulao, em que no existem dados inicialmente.

Contudo, no aprendizado do software, pode ser bastante til comear escrevendo um

conjunto de dados micro-consistente e ento tranformar este em um cdigo de forma

que a soluo para o modelo reproduza os dados iniciais.

3 - A lgica do modelo

Como uma ilustrao de um modelo econmico simples, considere a tarefa de

descobrir um equilbrio para uma economia hipottica que consiste de dois agentes

econmicos: consumidores e produtores. Os consumidores possuem uma dotao

inicial dos fatores trabalho (L) e capital (K). Por simplicidade, existe apenas um

agente representativo consumidor nessa economia. A renda do consumidor

originada da venda de seus fatores de produo, e utilizada para o consumo de


4


bens finais na economia. Existem dois bens, X e Y, na economia. O consumidor obtm

um nvel de utilidade a partir do consumo desses bens. Os produtores so

representados atravs de empresas que compram as dotaes iniciais dos

consumidores para utiliz-las como insumos na produo dos bens finais. Os setores

de produo X e Y so caracterizados, respectivamente, pelas tecnologias de

produo X e Y disponveis. R a renda do consumidor. Ento, a nossa economia

simples possui dois setores (X e Y), dois fatores (L e K, que possuem oferta

inelstica), e um consumidor representativo (funo de utilidade W):

( )XX KLXX ,= (1) ( )YY KLYY ,= (2)

YX LLL +=* (3)

YX KKK +=* (4)

( )YXWW ,= (5) YpXprKwLR YX +=+=

** (6)

Esse sistema de equaes pode ser resolvido como um problema de otimizao

condicionada, do tipo: maximizar (5) sujeito a (1), (2), (3), (4) e (6).

Contudo, torna-se difcil e complicado definir o que deve ser maximizado se

existem diversos tipos de consumidores e/ou vrios pases. Uma forma alternativa de

resolver um sistema de equilbrio geral mais complexo converter o problema para

um sistema de equaes, e ento resolver tal sistema. Primeiro, resolvem-se os

problemas de minimizao de custos para produtores e consumidores relacionados ao

sistema de equaes, obtendo-se:

Funes de custo unitrio para X e Y: cx = cx(w,r), cy = cy(w,r)

Funo de custo (despesa) unitrio(a) para W e = e(px,py)

Ento, especifica-se o equilbrio como a soluo para um sistema de 9

equaes e 9 incgnitas. O problema de otimizao , dessa forma, convertido em

um problema de equilbrio na economia:


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(7) lucro zero para X px = cx(w,r)

(8) lucro zero para Y py = cy(w,r)

(9) lucro zero para W pw = e(px,py)

(10) oferta = demanda para X X = epx(px,py)W

(11) oferta = demanda para Y Y = epy(px,py)W

(12) oferta = demanda para W W = R / pw

(13) oferta = demanda para L L* = cxw X + cyw Y

(14) oferta = demanda para K K* = cxr X + cyr Y

(15) renda R = w L* + r K*

O MPSGE permite que o pesquisador escreva o problema representado pelas

equaes de (1) a (6) e ento este converte o problema no sistema de equaes de

(7) a (15). Ou seja, escreve-se as expresses gerais para as funes, com os insumos,

produtos e preos iniciais, e ento essas informaes so utilizadas para construir as

funes de custo e demanda relacionadas. O programa ir checar automaticamente

todas as condies de equilbrio dos mercados e de lucro zero. O MPSGE resolve essas

nove equaes para descobrir as nove icgnitas: X, Y, W, px, py, w, r e R.

Essa forma de resolver o modelo econmico de equilbrio de Arrow-Debreu

consiste na formulao de um problema de complementariedade mista (MCP), onde

trs desigualdades devem ser satisfeitas: condio de lucro zero (ou custo unitrio

igual ao preo do bem), condio de equilbrio nos mercados (oferta igual a

demanda) e condio de balano da renda (despesas iguais s receitas). Um conjunto

de trs variveis no negativas deve ser determinado na soluo de um problema em

MCP: preos, quantidades (nveis de atividades em MPSGE) e nveis de renda.

A condio de lucro zero requer que qualquer atividade em operao deve

obter lucro zero, ou seja, o valor dos insumos deve ser igual ao valor da produo. A

varivel associada com essa condio o nvel de atividade y para os setores de

produo com retornos constantes de escala. Isto significa que sey > 0 (uma

quantidade positiva de y produzida) o lucro econmico deve ser igual a zero, ou o

lucro negativo e y = 0 (no ocorre a produo nesse caso).

A condio de equilbrio de mercado requer que qualquer bem com preo

positivo deve ter um balano entre oferta e demanda e qualquer bem com oferta em


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excesso deve ter um preo igual a zero. O vetor de preos p (que inclui os preos dos

bens finais, intermedirios e dos fatores de produo) a varivel associada.

A condio de balano da renda requer que, para cada agente (incluindo

entidades do governo), o valor da renda deve ser igual ao valor das dotaes dos

fatores e das receitas dos impostos: Renda = dotaes + receitas dos impostos

A vantagem de utilizar o MPSGE que o pesquisador no necessita gastar

tempo algum derivando algebricamente as condies de equilbrio. O MPSGE constri

essas condies automaticamente. Contudo, sempre til entender a representao

algbrica de um modelo particular. Deve-se ressaltar que o MPSGE uma ferramenta

para a formulao mas no para a soluo de problemas de complementariedade.

Para implementar o programa MPSGE devem ser utilizados solvers para soluo de

MCPs. O software GAMS possui dois solvers para MCPs: MILES e PATH. Geralmente o

ltimo recomendado para implementao de modelos escritos em MPSGE por ser

mais eficiente.

4 - Elementos e Palavras-chaves em MPSGE

Os elementos que formam um modelo de equilbrio geral em MPSGE podem ser

sintetizados, de maneira simples, da seguinte forma:

a) Declarao de parmetros e valores (notao do GAMS)

b) $ONTEXT (esse comando informa o compilador do GAMS para ignorar as linhas escritas aps este comando, porm, o compilador do MPSGE ir reconhecer a

declarao do modelo que se segue, captando as informaes declaradas no

programa)

c) Declarao do modelo

d) Declarao de setores, commodities, consumidores, variveis auxiliares

e) Blocos de produo

f) Blocos de demanda

g) Equaes de restries

h) $OFFTEXT (comando que retorna o controle do programa do MPSGE para o GAMS) i) Declaraes de comandos de incluso e resoluo (include e solver)

j) Clculos de parmetros de resultados em linguagem GAMS e declaraes de

exibio (display)


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A sintaxe do programa MPSGE realizada atravs de palavras-chaves e

comandos que sero interpretados pelo programa GAMS e pelo solver do MPSGE,

como declarao do modelo, de seus elementos (setores, commodities, consumidores

e variveis auxiliares) e dos blocos de produo, demanda e restries. As principais

palavras que definem um modelo de equilbrio geral em MPSGE so descritas a seguir:

SECTOR (ACTIVITY)

Atividades de produo que convertem insumos em produtos. A varivel associada a

um setor o seu nvel de atividade.

COMMODITY (MERCADOS)

Indica um bem ou fator. A varivel associada a uma commodity o seu preo, e no

sua quantidade.

CONSUMERS

Agentes que suprem os fatores, recebem receitas dos impostos, de markups e pagam

subsdios. Em modelos de competio imperfeita, proprietrios das empresas podem

ser designados como consumidores. A varivel associada a um consumidor a renda

que este recebe de todas as fontes.

AUXILIARY

Variveis adicionais, como frmulas de markup ou de impostos com valores

endgenos que so funes de outras variveis, como preos e quantidades. Note a

forma ortogrfica de apresentar as variveis auxiliares, pois erros causaram

problemas na execuo do MPSGE, geralmente difceis de serem identificados.

CONSTRAINT

Uma equao que tipicamente usada para determinar o valor de uma varivel

auxiliar.

Vamos mostrar um exemplo de um bloco de produo, capaz de construir uma

funo do tipo: X = F(L,K). A especificao deste bloco de produo em MPSGE se d

atravs da seguinte notao:

$PROD:X s:(elasticidade de substituio)

O:PX Q:(produo de X) P:(preo de X)

I:PL Q:(insumo L) P:(preo de L)


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I:PK Q:(insumo K) P:(preo de K)

Na primeira linha so especificados o nome da atividade (X), o valor das

elasticidades de substituio (campo s:) e de transformao (campo t: , no mostrado

no exemplo acima por se tratar de uma atividade que produz um nico produto). A

no especificao das elasticidades (campos s: e t:) faz com que o MPSGE atribua o

valor padro de zero a essas.

A partir da segunda linha, na primeira coluna so apresentados os nomes das

commodities que representam insumos (campo I:) e produtos (campo O:). Na segunda

coluna so apresentados os valores das commodities (campos Q:). Esses valores so as

quantidades de referncia dessas commodities no equilbrio inicial, que so utilizados

para calibrao do modelo. A no declarao desses campos interpretada pelo

MPSGE como o valor padro de 1 para as quantidades. Na terceira coluna so

declarados os preos de referncia das commodities (compo P:), tambm usados para

calibrao do modelo. O valor padro, na falta de declarao destes, tambm

considerado 1).

Um exemplo especfico seria o bloco de produo declarado da seguinte

forma:

$PROD:X s:1 !(o nome da atividade X, a funo Cobb-Douglas)

O:PX Q:100 P:1 !(PX uma commoditie X)

I:PL Q:75 P:1 !(PL a commodity trabalho)

I:PK Q:25 P:1 !(PK a commodity capital)

O MPSGE constri a funo de custo subjacente ao bloco de produo a partir

das quantidades e preos de referncia. No resultado do modelo, os valores

associados com as commodities so seus preos (uma vez que a funo de custo seja

construda).

As quantidades e preos de referncia (preenchidas nos campos Q: e P:) so

usadas apenas na construo da funo de custo correspondente. Os seus valores no

so repassados ao solver como valores iniciais das variveis.


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Todas as funes CES de retornos constantes so completamente especificadas

a partir de um ponto de referncia dado pelas quantidades e preos de insumos e

produtos e pela elasticidade de substituio (essas informaes servem para

determinar a inclinao da isoquanta). Dessa forma, a quantidade de informao

declarada no bloco de produo especifica completamente a funo de produo

(custo unitrio).

Algumas observaes importantes:

1 necessrio usar algum editor de texto padro (DOS, epsilon, etc.) para criar e

editar programas. O programa GAMS vem com um editor de texto, o GAMS-IDE. Este

editor suficiente para iniciar o aprendizado com o GAMS e o MPSGE, apesar de

existerem outros editores mais eficientes e poderosos. Para abrir o GAMS-IDE procure

pelo boto de atalho do mesmo criado durante o processo de instalao na rea de

trabalho.

2 o arquivo com o programa tipicamente deve ser salvo com a extenso .gms. O

resultado da resoluo do programa ser escrito com o mesmo nome do programa, no

mesmo diretrio, porm, com a extenso .lst (list).

3 quando se utiliza o editor GAMS-IDE, o programa em GAMS ser executado a partir

do click no boto com uma seta vermelha na barra superior do programa (comando

Run GAMS), ou clicando F9.

4 Existem duas formas de inserir comentrios em um arquivo em GAMS, sem

interferir no modelo. Uma forma iniciar uma linha com *, na primeira coluna

desta. A segunda forma utilizando o formato $ontext .... $offtext, que mais

indicado para longos blocos ou linhas de comentrios.

5 - Exemplo: um modelo 2x2

Na seo 3 descreveu-se brevemente como o MPSGE encontra um equilbrio.

importante saber que o MPSGE resolve um modelo no como um problema de

otimizao, mas como um equilbrio em um sistema de desigualdades. Contudo, para

que um pesquisador formule um programa simples em MPSGE no necessrio saber

disso. muito mais importante para um iniciante conhecer a sintaxe da linguagem do

MPSGE. Uma grande vantagem do MPSGE que este est baseado em funes de

utilidade e de produo de elasticidade de subsitutio constante (CES). O uso dessas


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funes permite uma represntao flexvel de como os insumos so combinados no

processo produtivo ou como bens e servios so combinados para o consumo de um

agente. Para introduzir a sintaxe do MPSGE, consideremos novamente a economia

simples descrita na seo 3 (o arquivo M1_MPS.gms, localizado na pasta exercicios do

CD-ROM contm a sintaxe descrita a seguir).

Modelos econmicos de equilbrio geral so baseados em dados usualmente

organizados em Matrizes de Contabilidade Social (MCS). Consideremos os dados

apresentados na Tabela 1 como uma MCS1 com trs setores de produo, X, Y e W e

cinco mercados, X, Y, W, L e K. Como as variveis associadas com cada commoditie

(bem ou fator) so os preos, iniciam-se tais variveis pela letra P.

Tabela 1 Matriz de Contabilidade Social retangular

Setores de produo Consumidores

Mercados X Y W CONS

PX 100 -100

PY 100 -100

PW 200 -200

PK -25 -75 100

PL -75 -25 100

Uma MCS descreve um conjunto de dados que usualmente referenciado

como equilbrio inicial (benchmark). Os nmeros representam os valores (preos

multiplicados por quantidades) das transaes econmicas em um dado perodo do

tempo. Uma entrada positiva segnifica um valor de produo (ou de vendas). Uma

entrada negativa reflete um valor de insumo (ou compra). As condies de lucro

1 A matriz da Tabela 1 uma MCS retangular. Uma MCS retangular difere de uma MCS quadrada em vrios aspectos, apesar de ambas serem capazes de representar uma mesma economia com seus fluxos. A MCS quadrada est balanceada quando a soma da linha se iguala a soma da coluna correspondente. Uma MCS retangular est balanceada quando cada linha e coluna apresentam uma soma igual a zero. Opta-se aqui por utilizar a MCS retangular pois ela facilita a compreenso e entrada de dados no modelo de equilbrio geral.


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zero, equilbrio de mercado e balano da renda implicam que a soma de cada linha e

soma de cada coluna deve igualar-se a zero.

Para ilustrar como uma MCS equilibrada, considere as coluna e linha

referentes a X e PX na Tabela 1. A produo do setor X utiliza (compra) 25 unidades2

de trabalho e 75 unidades de capital, produzindo e vendendo 100 unidades do bem X.

A soma das linhas da coluna X igual a zero. Isso assegura que ocorre lucro zero no

setor X. A linha PX mostra que 100 unidades de X que so produzidas (entrada

positiva) sero consumidas pelo setor W (entrada negativa). A soma da linha PX

igual a zero, evidenciando que a oferta se iguala demanda (equilbrio de mercado)

para o bem X.

Como simplificao, algumas vezes uma conveno adotadar a normalizao

de todos os preos como iguais a um, no equilbrio inicial de uma MCS. Dessa forma,

as quantidades na MCS representam despesas, ou quanto de um bem ou fator podem

ser comprados por uma unidade monetria. Deve-se notar que uma economia ao

estilo Arrow-Debreu apenas depende de preos relativos. Ao se dobrar preos,

dobram-se lucros e renda, e os resultados sobre as quantidades (ou nveis de

atividades) permanecem os mesmos. O valor absoluto dos preos no tem impacto no

resultado de equilbrio.

Como mencionado anteriormente, no necessrio formular uma

representao algbrica das funes de produo e de utilidade com o uso do MPSGE.

O pesquisador necessita apenas fornecer as quantidades, preos e elasticidades de

referncia (no equilbrio inicial). O MPSGE ento, construir as funes de utilidade e

produo com base nas informaes fornecidas. Ao solucionar o modelo, o MPSGE

retorna os valores de equilbrio para as variveis descritas nos blocos de setores

($SECTORS), commodities ($COMMODITIES) e consumidores ($CONSUMERS).

No exemplo da economia descrita anteriormente, temos dois produtos (X e Y),

dois fatores (L e K) e um consumidor (CONS). Uma linha e uma coluna extras so

introduzidas (PW e W) de forma a representar explicitamente a utilidade derivada do

consumo agregado. Como ser descrito posteriormente, a utilidade poderia ser

representada diretamente no bloco de demanda ($DEMAND)3.

2 O termo unidade refere-se, aqui, ao valor, ou seja, preo vezes quantidade. 3 Um bloco separado para representar a utilidade permite introduzir impostos no consumo na anlise de bem-estar.


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O programa iniciado com a declarao do ttulo (title), que ser imprimido

na listagem da soluo. Aps o ttulo, usualmente, so declarados escalares (scalars),

parmetros (parameters) e conjuntos (sets) no formato habitual do GAMS. Esses

elementos no so necessrios no nosso exemplo de modelo esttico simples, mas

tornam-se muito teis quando se trabalha com MCS maiores, com vrios setores e

commodities. A prxima parte do programa deve ser escrita no formato do MPSGE,

como a seguir:

$ONTEXT $MODEL:NAME

Esses dois comandos mudam o controle do compilador do GAMS para o MPSGE.

O nome do modelo deve ser escolhido pelo pesquisador. Nosso exemplo ser chamado

de M1_MPS. O nome do modelo deve ser um nome vlido para um arquivo, uma vez

que um arquivo NAME.GEN (M1_MPS.GEN no nosso caso) ser gerado pelo programa.

Aps o nome do modelo devem ser declarados os setores, atravs do comando:

$SECTORS:. Os setores determinam como os insumos so convertidos em produtos.

As variveis declaradas como setores representam os nveis de atividades e esto

associadas com as condies de lucro zero, ou seja, asseguram que um setor de

produo obtm lucro zero. No modelo M1_MPS consideramos trs setores: X, Y e W.

Comentrios podem ser adicionados ao programa MPSGE aps o sinal !.

A seguir, so declaradas as commodities atravs do comando:

$COMMODITIES:. As variveis declaradas correspondem aos preos. Essas esto

associadas s condies de equilbrio nos mercados, ou seja, o programa deve

assegurar que a oferta de cada commoditie deve igualar-se sua demanda. No

modelo M1_MPS temos cinco commodities: preos dos bens (PX e PY), preos dos

fatores (PL e PK), e o ndice de preo para o bem-estar (PW).

O prximo passo consiste em declarar os consumidores, atravs do comando

$CONSUMERS:. Os consumidores ofertam os fatores de produo e recebem a

utilidade advinda do consumo dos bens. A varivel relacionada aos consumidores a

renda de todas as fontes. A renda est associada sua condio de balano, ou seja,

o programa deve assegurar que a renda total igualada ao consumo total. No modelo

exemplificado existe apenas um consumidor representativo (CONS).


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Declarados setores, commodities e consumidores, pode-se proceder

especificao das funes de produo atravs dos blocos de produo, $PROD:.

Esses blocos definem a regra pela qual insumos so transformados em produtos

(tecnologia). A declarao do bloco de produo para o setor X do modelo M1_MPS, a

seguir, demonstra a estrutura de um bloco de produo.

$PROD:X s:1 O:PX Q:100 I:PL Q:25 A:CONS T:TX I:PK Q:75 A:CONS T:TX

Esse bloco descreve uma funo de produo Cobb-Douglas, determinada pelo

campo s:1, que significa que a elasticidade de substituio entre insumos deve ser

igual unidade. Os insumos so PL e PK (representados pelos campos I:PL e I:PK). O

produto PX (O:PX). Esse setor de produo converte 25 unidades de PL e 75

unidades de PK em 100 unidades de PX. Essa funo de produo poderia ser

matematicamente representada como X = L0,25K0,75. A Figura 1 ilustra a calibrao de uma funo de produo para os preos e quantidades de benchmark.

Figura 1 Calibrao da funo de produo

O MPSGE especifica a funo de produo com um simples ponto de

referncia. Nesse exemplo especifica-se explicitamente apenas quantidades de

referncia. Os preos de referncia so considerados como unitrios. Preos relativos

K

L

75

25

Isoquanta X = 100 (s:1)

Isocusto (inclinao = -1)


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dos insumos determinam a inclinao da funo de isocusto, que por sua vez, se

igualam inclinao da isoquanta no ponto das quantidades de referncia. Isso

significa que o bloco de produo descrito anteriormente idntico a:

$PROD:X s:1 O:PX Q:100 P:1 I:PL Q:25 P:1 A:CONS T:TX I:PK Q:75 P:1 A:CONS T:TX

A curvatura da isoquanta determinada pelo s, definido como a elasticidade

de substituio entre os insumos. No exemplos, s = 1 sgnifica que a funo de

produo uma Cobb-Douglas. O valor padro para a elasticidade s, na ausncia da

declarao deste parmetro, considerado como zero. Quantidades e preos de

referncia no equilbrio inicial so utilizados apenas para calibrao. Eles no so

utilizados pelo programa como valores iniciais das variveis (valores iniciais so,

geralmente, todos considerados como unitrios). O bloco de produo Y similar ao

X, com exceo dos seguintes caracteres (includos apenas no bloco de produo X):

A:CONS T:TX. Esses caracteres representam a possibilidade de se cobrar um imposto

(definido pelo campo T: como TX) no uso dos fatores de produo L e K. A receita do

imposto ser destinada ao agente representativo CONS (definido pelo campo A:).

O bloco de produo para W (bem-estar) serve como uma ferramenta para

converso do consumo dos bens X e Y em utilidade derivada de um consumo

agregado. No modelo simples exemplificado introduzimos esse bloco de produo

apenas para propsito de ilustrao. Poderamos eliminar o bloco de produo W e

mudar o bloco de demanda para:

$DEMAND:CONS D:PX Q:100 D:PY Q:100 E:PL Q:100 E:PK Q:100

Contudo, em modelos mais complicados, a representao do bem-estar como

um bloco de produo pode ser til, por permitir a incluso de impostos ao consumo,


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uma vez que o MPSGE no aceita a imposio de impostos diretamente no bloco de

demanda.

O bloco de demanda representa a restrio de balano da renda do

consumidor. O bloco de demanda do modelo M1_MPS representado por:

$DEMAND:CONS

D:PW Q:200

E:PL Q:100

E:PK Q:100

O consumidor recebe sua renda das dotaes de fatores K e L (E:PK e E:PL) e

demanda a commodity PW (D:PW). As quantidades de referncia (campos Q) so

usadas para calibrao da funo de utilidade da mesma forma que o bloco de

produo calibra as funes de produo.

As linhas do modelo em MPSGE terminam com os seguintes comandos:

$OFFTEXT $SYSINCLUDE mpsgeset NAME

NAME significa o nome do modelo, no exemplo dado, M1_MPS. Esses comandos

mudam o controle do compilador do MPSGE de volta para o GAMS.

O prximo comando define o nmero mximo de iteraes que sero

realizadas pelo solver.

NAME.ITERLIM = 0;

Quando esse nmero definido como zero, o solver no ir resolver o modelo,

mas sim, retornar os valores nos quais os dados iniciais se baseiam. Definir o nmero

de iteraes como zero importante para assegurar que os dados de benchmark

(descritos na MCS) representam a soluo inicial de equilbrio.

A prxima linha define o numerrio do modelo, escolhido neste caso como o

ndice de preo do consumidor, PW. Este preo fixado como sendo igual a 1. A


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definio do numerrio significa que todos os demais preos do modelo devem ser

tomados em referncia ao numerrio.

As duas prximas linhas de comandos so utilizadas para solicitar ao programa

a execuo do modelo:

$INCLUDE NAME.GEN SOLVE NAME USING MCP;

A soluo para o modelo, que ser apresentada em um arquivo de listagem (no

exemplo dado, arquivo M1_MPS.lst), ser apresentada com a seguinte estrutura:

LOWER LEVEL UPPER MARGINAL

---- VAR X . 1.000 +INF .

---- VAR Y . 1.000 +INF .

---- VAR W . 1.000 +INF .

---- VAR PX . 1.000 +INF .

---- VAR PY . 1.000 +INF .

---- VAR PL . 1.000 +INF .

---- VAR PK . 1.000 +INF .

---- VAR PW 1.000 1.000 1.000 EPS

---- VAR CONS . 200.000 +INF .

Na soluo, as colunas LOWER e UPPER mostram os limites inferior e superio

das variveis, respectivamente. O valor zero representado por um ponto. +INF

significa infinito. A coluna LEVEL reporta o valor encontrado como soluo da

execuo do modelo. A coluna MARGINAL representa o valor de complementariedade

da varivel (valor sombra). Deve-se dar uma ateno especial s colunas LEVEL e

MARGINAL. A complementariedade implica que, em equilbrio, o valor da varivel

ser positivo ou o valor marginal ser positivo, mas nunca ambos ao mesmo tempo.

Se ambos aparecerem como positivos, necessrio checar o modelo.

A soluo do modelo mostra que os dados de benchmark (representados na

MCS) so consistentes com o equilbrio do modelo. Podemos verificar isso pelo fato de


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que todos os valores na coluna MARGINAL terem sedo igualados a zero aps a

replicao do benchmark (ou seja, aps a execuo do modelo com o comando

ITERLIM igual a zero). Os nveis de atividade de X, Y e W no equilbrio so iguais a um

(e no iguais a 100 e 200, como na MCS), bem como os nveis de preos. A renda de

equilbrio do agente representativo, nica varivel a preservar o valor observado na

MCS, igual a 200.

Iniciantes em MPSGE costumam achar confuso que os nveis das atividades

sejam iguais unidade no equilbrio inicial. Trata-se apenas de uma re-escalao das

variveis para facilitar anlises de experimentos futuros, de forma a tornar mais

simples o clculo de mudanas em valores percentuais a partir de desvios do valor 1.

Para retornar o valor dos nveis de atividades no re-escalados, necessrio

multiplicar os nveis retornados na soluo do modelo pelos valores dos campos Q:

nos blocos de produo, ou valores iniciais da MCS. Por exemplo, o nvel de atividade

de X igual a 1 multiplicado por 100.

Existem outras maneiras de obter os nveis atuais das atividades na listagem

da soluo do modelo. Contudo, por razes numricas, recomendado manter os

valores no equilbrio inicial prximos da unidade. Por isso, a melhor maneira de obter

os nveis iniciais das atividades usar um bloco denominado de $REPORT, onde os

valores iniciais da MCS so recriados.

Todos os valores para os nveis de atividades e preos so pr-efinidos como

iguais a um. Apenas a varivel CONS, que representa o nvel de renda do consumidor,

tratada de forma diferente. Esta determinada pelas dotaes dos fatores.

Lembre-se que a condio de balano da renda afirma que a renda igual ao valor

das dotaes, que, por sua vez igual demanda total. Para o modelo

exemplificado, a renda igual a 200, uma vez que a dotao de capital (E:PK) 100

e a dotao de trabalho (E:PL) de 100, e os preos PK e PL so predefinidos como

iguais a um.

Como dito anteriormente, o modelo determina apenas preos relativos. Dessa

forma, se determinarmos preos iguais a 2 no equilbrio incicial, a varivel CONS ser

calculada como 400. Para checar isso basta modificar o modelo pela incluso das

seguintes linhas, aps o comando $SYSINCLUDE mpsgeset M1_MPS e antes do comando

$INCLUDE M1_MPS.GEN:


18


PX.L = 2;

PY.L = 2;

PW.L = 2;

PK.L = 2;

PL.L = 2;

Tal modificao ser refletida na listagem da soluo como um aumento em

todos os preos e no nvel de renda, como a seguir:


---- VAR X . 1.000 +INF .

---- VAR Y . 1.000 +INF .

---- VAR W . 1.000 +INF .

---- VAR PX . 2.000 +INF .

---- VAR PY . 2.000 +INF .

---- VAR PL . 2.000 +INF .

---- VAR PK . 2.000 +INF .

---- VAR PW . 2.000 +INF .

---- VAR CONS . 400.000 +INF .

Devido determinao apenas de preos relativos, usual que um dos preos

seja fixado pelo pesquisador. Se nenhum preo for fixado inicialmente (ou seja,

nenhum bem for escolhido como numerrio), o MPSGE ir predeterminar uma

normalizao de preo para o modelo. A normalizao padro fixa o nvel de renda

do consumidor mais rico como numerrio.

O modelo pode tambm ser especificado em um formato diferente. Ao invs

de usar nmeros nos campos de referncias de preos e quantidades, podem ser

utilizados parmetros introduzidos no comeo do programa e conjuntos diversos, que

sero utilizados para calibrao nos campos dos blocos de produo e demanda.


19


Aps a calibrao do benchmark, experimentos podem ser conduzidos atravs

de choques ao modelo, como por exemplo, a introduo de impostos ou mudanas na

dotao de trabalho. importante lembrar de alterar o limite de iteraes antes de

simular os choques, o que feito atravs do comando do GAMS NAME.ITERLIM=2000;.

O programa ir parar to logo este limite seja atingido se a soluo no tiver sido

encontrada at ento.

6 Exerccios com o Modelo M1_MPS

Inicie o editor de texto GAMS-IDE. O editor pode ser acessado atravs do

windows explorer na pasta GAMS23.3 (o processo de instalao costuma criar uma

tecla de atalho no desktop para esse programa). Para trabalhar com o editor de texto

GAMS-IDE, necessrio iniciar um novo projeto, ou abrir um j criado. Ento, crie um

novo projeto (File/Project/New Project), salvando-o com o nome de exercicios

dentro da pasta Exercicios_MPSGE, a mesma onde est localizado o arquivo

M1_MPS.gms. Sempre que criar um novo projeto, procure salv-lo em uma pasta

diferente da pasta do GAMS, como por exemplo, dentro da pasta Meus Documentos.

Executar projetos dentro da pasta onde o GAMS est instalado pode gerar erros de

execuo difceis de serem identificados.

Abra o arquivo M1_MPS.gms localizado na pasta Exercicios_MPSGE. Esse

arquivo apresenta o modelo exemplificado na sesso anterior. Corra o cursor pelo

arquivo de forma a visualizar toda a sintaxe do programa descrita na sesso anterior.

Depois, faa os seguintes exerccios:

a) Execute o arquivo usando o programa GAMS. Para executar o arquivo, click no

boto com uma seta vermelha na barra superior do programa (comando Run GAMS),

ou clique F9. O GAMS gera durante a execuo do modelo um arquivo de extenso

.log e um arquivo de extenso .lst que detalham o processo de execuo.

b) Corra o cursor pelo arquivo de extenso .lst, arquivo M1_MPS.lst, at encontrar a

mensagem:

S O L V E S U M M A R Y


20


c) Os resultados do modelo so apresentados a partir dessa mensagem. Pode-se

perceber que o modelo encontra-se em equilbrio, uma vez que os nveis das variveis

so iguais unidade e os marginais so iguais a zero, como descrito na seo

anterior.

d) Desequilibre o modelo, alterando o valor do campo Q:75 no bloco de produo

PROD:Y para Q:50 no arquivo M1_MPS.gms. Execute novamente o modelo, e procure

no arquivo M1_MPS.lst as alteraes ocorridas. O modelo continua em equilbrio?

Voc saberia explicar o que aconteceu?

e) Altere o valor das elasticidades no arquivo M1_MPS.gms. Mas antes, corrija o valor

do campo Q:50 no bloco de produo PROD:Y para Q:75, como originalmente. Altere

agora o valor do campo s:1, no bloco de produo PROD:Y, para s:5. Execute

novamente o modelo, e verifique no arquivo M1_MPS.lst as alteraes ocorridas. O

modelo est em equilbrio? Voc saberia explicar o que aconteceu?

f) Implemente um experimento de imposio de impostos no uso de fatores. No

arquivo M1_MPS.gms, corrija o valor do campo s:5, no bloco de produo PROD:Y,

para s:1. Ento procure pelo primeiro comando $exit, que aparece logo aps os

comandos $include e solve. O comando $exit indica para o GAMS que o programa

deve terminar ali, ou seja, o GAMS no deve ler e executar as linhas aps esse

comando. Coloque um asterisco na frente do comando $exit, para que o GAMS passe

a ignorar esse comando. Dessa forma, o GAMS ir executar os comandos aps essa

linha. Os comandos a seguir tm a funo de implementar um experimento, ou um

choque, na economia representada no modelo. O primeiro experimento consiste na

imposio de um imposto ao uso dos fatores de produo pelo setor X. Esse imposto

determinado pelo parmetro TX (observe o bloco de produo PROD:X), que foi

definido com o valor de zero antes do modelo ser declarado (verifique isso no

arquivo). Agora, com o asterisco antes do comando $exit, o GAMS ir ler o novo valor

de TX (igual a 0,5, ou seja, um imposto ad-valorem de 50% sobre o uso dos fatores).

Logo aps, seguem os comandos $include e solve solicitando ao GAMS que o modelo

seja novamente executado. Agora, execute o modelo e visualize o arquivo de


21


resultados M1_MPS.lst. Procure pela segunda ocorrncia da mensagem S O L V E S

U M M A R Y no arquivo. Note que deve aparecer um S O L V E S U M M A R Y para

cada comando solve do arquivo M1_MPS.gms (a primeira ocorrncia dessa mensagem

apresenta o equilbrio inicial, a segunda ocorrncia corresponde aos resultados da

implementao do choque). Veja e tente interpretar os resultados.

g) Implemente um experimento de imposio de impostos no uso de fatores com uma

anlise de sensibilidade de elasticidades. No arquivo M1_MPS.gms, altere a

elasticidade do bloco de produo de W (PROD:W) de s:1 para s:0. Implemente o

modelo novamente, considerando a imposio dos impostos de 0,5 sobre o uso de

fatores pelo setor X. Tente interpretar os resultados (confira ao final do arquivo .lst

os resultados obtidos).

h) Implemente um experimento de aumentando na oferta do fator trabalho.

Primeiro, no arquivo M1_MPS.gms corrija a elasticidade no bloco de produo de W

(PROD:W) de s:0 para s:1. Ento, procure pelo segundo comando $exit, que aparece

logo aps os comandos $Include e solve do experimento de imposio de impostos.

Coloque um asterisco na frente do comando $exit, para que o GAMS leia as linhas

aps esse comando. Os comandos a seguir tm a funo de implementar um segundo

experimento na economia representada no modelo. Esse experimento consiste na

duplicao da dotao do fator de produo L. Essa duplicao determinada pelo

parmetro endow, definido antes do modelo como sendo igual a 1. Agora, com o

asterisco antes do comando $exit, o GAMS ir ler o novo valor de endow (igual a 2, ou

seja, uma duplicao, ou aumento de 100%, na dotao do fator L) e o modelo ser

novamente resolvido, atravs dos comandos $include e solve. Execute o modelo e

visualize os resultados no arquivo M1_MPS.lst. Procure pela terceira ocorrncia da

mensagem S O L V E S U M M A R Y . Tente interpretar os resultados.

i) Anlises de sensibilidade: implemente outras mudanas em elasticidades no modelo

e tente interpretar os resultados do modelo para os dois experimentos.

7 - Resultados dos Exerccios


22


Resultados e interpretao do exerccio f

Resultados:


---- VAR X . 0.845 +INF .

---- VAR Y . 1.147 +INF .

---- VAR W . 0.985 +INF .

---- VAR PX . 1.165 +INF .

---- VAR PY . 0.859 +INF .

---- VAR PL . 0.903 +INF .

---- VAR PK . 0.739 +INF .

---- VAR PW 1.000 1.000 1.000 2.132E-12

---- VAR CONS . 196.946 +INF .

Os resultados mostram que os impostos no uso dos fatores de produo

distorcem a produo do setor X, que diminui (de 1 para 0,845), deslocando fatores

para o setor Y, que aumenta a sua produo. O preo do bem X aumenta como

resultado do maior custo de produo e da queda na oferta desse setor. Como o fator

K usado de forma mais intensiva no setor X, seu preo diminui mais intensamente,

enquanto o fator L, usado de forma mais intensiva no setor Y, sofre menor reduo

de preo. Como o ndice de preos do consumidor, PW, fixo, as variaes em preos

indicam o quanto estes se distanciam relativamente do ndice de preos do

consumidor. A renda do consumidor sofre uma pequena reduo, j que este

recebem renda dos fatores de produo que tiveram seus preos reduzidos com o

choque. Note que o ndice de bem-estar do consumidor (W) diminui para 0,985,

indicando que o imposto distorce a alocao dos fatores na economia gerando

ineficincia.

Resultados e interpretao do exerccio g

Resultados:



23


---- VAR X . 1.000 +INF .

---- VAR Y . 1.000 +INF .

---- VAR W . 1.000 +INF .

---- VAR PX . 1.200 +INF .

---- VAR PY . 0.800 +INF .

---- VAR PL . 0.800 +INF .

---- VAR PK . 0.800 +INF .

---- VAR PW 1.000 1.000 1.000 EPS

---- VAR CONS . 200.000 +INF .

Com a elasticidade igual a zero, temos uma funo de consumo do tipo

leontief, ou seja, o consumidor demanda os bens em propores fixas, no podendo

substituir um bem pelo outro quando da mudana de preos de um deles. Isso

significa que, independente de mudanas nos preos, ele deve continuar consumindo

os bens na proporo de 1:1, como no equilbrio inicial. Dessa forma, como o

consumidor obrigado a consumir ambos os bens, e o equilbrio determina o

esgotamento total da produo (oferta igual demanda), os nveis de produo de X

e Y no se alteram. Contudo, o preo do bem X sofre um aumento por conta do

imposto sobre o uso dos fatores, enquanto o preo do bem Y diminui. A renda do

consumidor no afetada, bem como o seu consumo, que continua sendo da mesma

quantidade dos dois bens. Contudo, para acomodar os preos mais altos do bem X

devido ao imposto, o bem Y torna-se mais barado. Note que o nvel de bem-estar do

consumidor no sofre alterao (W = 1), uma vez que o consumidor continua

consumindo as mesmas quantidades dos bens. Por fim, os preos dos fatores de

produo reduzem na mesma proporo, uma vez que a renda do consumidor

continua a mesma, porm parte desta renda agora determinada pela receita dos

impostos.

Resultados e interpretao do exerccio h

Resultados:


24



---- VAR X . 1.189 +INF .

---- VAR Y . 1.682 +INF .

---- VAR W . 1.414 +INF .

---- VAR PX . 1.189 +INF .

---- VAR PY . 0.841 +INF .

---- VAR PL . 0.707 +INF .

---- VAR PK . 1.414 +INF .

---- VAR PW 1.000 1.000 1.000 1.137E-13

---- VAR CONS . 282.843 +INF .

A duplicao da quantidade disponvel do fator L promove um aumento no

nvel de produo dos setores X e Y, sendo este aumento mais pronunciado no setor

Y, j que este setor utiliza de forma mais intensiva o fator L. O grande aumento

relativo da produo de Y promove queda no seu preo. Como o bem X fica

relativamente mais escasso na economia, o seu preo aumenta. A renda do

consumidor aumenta bastante, de 200 para 282,84, j que este agente representativo

dotado dos fatores L e K e, portanto, recebe a renda proveniente da venda destes

fatores. Note que o preo do fator L cai, uma vez que a sua oferta dobra na

economia, enquanto o preo do fator K aumenta, j que agora este relativamente

mais escasso em comparao com o fator L. O aumento da renda e da disponibilidade

de bens na economia so revertidos em aumento do consumo, e portanto, do ndice

de bem-estar, dado por W.

8 - lgebra do modelo MPSGE

A esta altura, o leitor deve estar se perguntando: mas cad as equaes do

modelo de equilbrio geral construdas a partir do modelo MPSGE? Essas equaes

so apresentadas no modelo m1_mcp.gms, disponvel na pasta Exerccios_MPSGE. O

modelo m1_mcp.gms produz exatamente os mesmos resultados do modelo

m1_mpsge.gms, mas apresenta o modelo em lgebra de um problema de


25


complementariedade mista (MCP). As equaes do modelo m1_mcp.gms so as

equaes que o modelo MPSGE constri quando se monta um modelo como o m1-

_mpsge.gms. Essas equaes representam as condies de lucro zero e de equilbrio

entre oferta e demanda determinadas pelos blocos do MPSGE, bem como a condio

de balano da renda do consumidor. As equaes de lucro zero igualam a equao de

custo unitrio de produo ao preo do bem, enquanto as equaes de equilbrio

entre oferta e demanda igualam as funes de demanda dos bens ou dos fatores ao

total ofertada dos bens ou dotao dos fatores. Deve-se notar que, tanto as funes

de custo unitrio quanto as funes de demanda so apresentadas na sua forma

calibrada pela proporo (calibrated share form), como descrito em Rutherford

(2002)4. Para verificar que a lgebra do modelo m1_mcp.gms produz os mesmos

resultados do modelo m1_mpsge.gms, abra o modelo m1_mcp.gms, na pasta

exerccios_MPSGE, e execute o modelo. Procure os resultados e compare-os com os

do modelo m1_mpsge.gms.

Bibliografia

Brooke, A., Kendrick, D., Meeraus, A., Raman, R. GAMS: a users guide. GAMS

Development Corporation, 262 p., 1998. (http://www.gams.com/)

Rutherford, T. F. Applied General Equilibrium Modeling with MPSGE as a GAMS

Subsystem: An Overview of the Modeling Framework and Syntax. Computational

Economics 14, 1999, p. 1-46.

Rutherford, T. F. Lecture Notes on Constant Elasticity Functions. University of

Colorado, November 2002. (mimeo).

4 Esse texto encontra-se disponvel na pasta Documentos do CD de distribuio do PAEG.

gams technical paper

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