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20

13.2

geometria descritivaeber nunes ferreira

MATERIAL PROVISÓRIOA CORREÇÃO NÃO FOI FINALIZADA

2


3.2 SINAIS

3.1 COORDENADAS

1. INTRODUÇÃO

ÍNDICE

2. SISTEMAS DE PROJEÇÃO

3. GEOMETRIA DESCRITIVA

3.2 REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA

3.3 VISTA DE PERFIL (TERCEIRA PROJEÇÃO)

4. ESTUDO DA RETA

4.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO

4.1 DETERMINAÇÃO DE RETAS

4.3 CLASSIFICAÇÃO DAS RETAS

4.3 PARTICULARIDADES

4.4 PERTINÊNCIA DE PONTO À RETA

4.5 PONTOS NOTÁVEIS DA RETA

4.5.1 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO HORIZONTAL

4.5.2 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO VERTICAL

4.5.3 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NA RETA DE PERFIL

4.5.4 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NAS DEMAIS RETAS

4.6 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS

4.6.1 ANÁLISE DAS POSIÇÕES RELATIVAS EM ÉPURA

4.7 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS DE PERFIL

4.8 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO

5. ESTUDO DOS PLANOS

5.1 DETERMINAÇÃO DE PLANOS

5.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS

5.3 CLASSIFICAÇÃO DOS PLANOS

5.4 RETAS PERTENCENTES AOS PLANOS


5.6 PERTINÊNCIA DA RETA AO PLANO EM ÉPURA

5.6.2 RETAS DO PLANO FRONTAL OU DE FRENTE

5.6.1 RETAS DO PLANO HORIZONTAL OU DE NÍVEL

01

01

06

07

08

09

10

13

13

13

13

20

22

23

23

23

24

25

26

26

29

30

32

46

45

42

40

39

35

34

32

3


5.6.3 RETAS DO PLANO DE PERFIL

5.6.4 RETAS DO PLANO VERTICAL

5.6.5 RETAS DO PLANO DE TOPO

5.7 RETAS DE MÁXIMO DECLIVE (MD) E MÁXIMA INCLINAÇÃO (MI)

5.7.1 QUADRO SÍNTESE DAS RETAS DE MD E MI

6. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

6.1 ÂNGULOS SÓLIDOS

6.3 POLIEDROS IRREGULARES

6.2 POLIEDROS REGULARES

6.4 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

7. SEÇÃO PLANA

7.1 EXEMPLOS

8.1 REBATIMENTO

8.2 MUDANÇA DE PLANO

8.3 ROTAÇÃO

8. MÉTODOS DESCRITIVOS

6.5 EXERCÍCIOS

6.6 DUAIS

8.1.1 EXEMPLOS

8.2.1 MUDANÇA DE PLANO DE PLANO VERTICAL

8.2.2 MUDANÇA DE PLANO HORIZONTAL

8.2.3 EXEMPLOS

9. PLANIFICAÇÃO

9.1 EXEMPLOS

10. PLANO QUALQUER E OS MÉTODOS DESCRITIVOS

11. BIBLIOGRAFIA

10.1 EXEMPLOS

5.6.6 RETAS DO PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA

5.6.7 RETAS DO PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA

5.6.8 RETAS DO PLANO QUALQUER

5.6.9 QUADRO SÍNTESE DE PERTINÊNCIA DE RETA A PLANOS

48

50

52

54

55

57

60

61

63

65

66

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71

72

74

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80

88

102

103

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117

120

127

137

138

144

145

146

4


1. INTRODUÇÃO

Vive-se em um mundo tridimensional, onde os objetos são descritos esquematicamente, fazendo-se referência à altura ,largura e profundidade. Durante muitos séculos, desde quando o homem pré-histórico esboçava suas caças nas paredes das cavernas procurou-se a forma de como representar objetos de um universo tridimensional em superfícies bidimensionais Este questionamento se dá, inicialmente, ao nível da representação dos objetos já existentes, mas em se tratando de elementos que ainda estão na mente do seu criador, o fato se agrava, e ainda mais quando um é o que concebe e outro é o que materializa. Nesse caso, torna-se imprescindível uma maneira de transmitir a idéia do projetista ao seu realizador. Com o advento da Revolução Industrial, esta necessidade tornou-se ainda mais imperativa, pois o sistema produtivo até então, utilizava-se de mão-de-obra artesanal, onde a "comunicação técnica" ainda não requeria um maior grau de complexidade. A partir do momento em que objetos passam a ser produzidos em quantidade considerável, fez-se necessário o uso da de uma representação projetiva baseada não mais no "olhar humano" que sabidamente vê e interpreta os objetos deformando suas medidas, ângulos e formas, mas, uma representação que contemplasse as reais medidas do objeto, para que sua confecção fosse precisa e confiável. Em sua genialidade, Gaspar Monge, com uma idéia "escandalosamente simples", revoluciona a representação de objetos tridimensionais, imprimindo-lhe um caráter técnico e de precisão. Gaspard Monge nasceu a 10 de maio de 1746, na cidade de Beaune e faleceu em Paris, a 28 de julho de 1818. Com 16 anos já revelava a diversidade de suas aptidões técnicas e intelectuais, mostrando sua habilidade como desenhista e inventor. Era possuidor de "dedos capazes de traduzir com fidelidade geométrica seus pensamentos".

Ao olharmos ao nosso redor, podemos perceber que estamos envolvidos por diferentes sistemas projetivos. Uma sessão de cinema,ou a simples sombra de um objeto que varia em função da direção dos raios luminosos, são suficientes para fazermos uma analogia com os diferentes sistemas projetivos. As diversas sombras ou imagens formadas se devem, entre outros fatores, a relação de distância com a superfície onde a sombra é projetada, à direção dos raios, e ao tipo de fonte luminosa, quer seja solar ou artificial.

2. SISTEMAS DE PROJEÇÃO

Consideremos um ponto qualquer no espaço, posicionado no finito ou no infinito, como sendo o olho de um observador. Se fosse possível interceptarmos com um plano,os raios visuais que chegam ao olho observador, teríamos uma imagem correspondente ao objeto observado. Esta imagem recebe o nome técnico de projeção.

Em função da grandeza do Sol, quando comparada a Terra, e de sua distância para com a mesma, podemos considerar seus raios paralelos entre si. Já a iluminação artificial é considerada puntiforme e sua emissão de raios luminosos se dá de forma radial. Tudo isto, determina diferentes resultados.

5


Também, ao colocarmos uma tela móvel diante dos raios luminosos de um projetor, obteremos distintas projeções (imagens) de acordo com a posição e o tipo de superfície da tela.

Analisando os exemplos anteriores, podemos fazer uma analogia com os elementos de um sistema de projeção. Um sistema de projeção é constituído por cinco elementos básicos. São eles: Centro de Projeção, Linha Projetante, Objeto, Projeção e Plano de Projeção.

Do centro de projeção (O) parte uma linha projetante (r) que, cortada pelo plano (a), determina a projeção P, do ponto (P).

(O)

( )P

P

(r)

Ângulo de Incidênciada linha Projetante

FINITO / INFINITO

Assim podemos estabelecer a seguinte relação:

Centro de ProjeçãoLinha ProjetantePonto ObjetivoProjeção do Ponto (P)Plano de Projeção

Fonte de Luz / Olho do observadorRaio Luminoso / Raio VisualObjetoSombra / ImagemTela / Anteparo

(O)( r )(P) P()

6


O centro de Projeção (P) é o ponto ou local de onde partem as linhas projetantes, podendo localizar-se no Finito ou Infinito, denominando-se centro Próprio ou Impróprio, respectivamente.

Quando consideramos o centro de projeção PRÓPRIO, as linhas projetantes partem divergentes em direção ao plano de projeção correspondendo assim aos raios de uma lâmpada incandescente. Desta forma, temos o Sistema Cônico de Projeção.

(O)

(A)

A

A

(A)

A

(A)

Quando consideramos o centro de projeção IMPRÓPRIO, as linhas projetantes partem paralelas em direção ao plano de projeção, correspondendo assim aos raios do sol.

Observe que no sistema Cilíndrico o ângulo de incidência de todas as linhas projetantes são iguais para uma mesma direção, e o centro de projeção não é percebido por se encontrar no infinito.

Estudaremos agora cada um dos sistemas, percebendo suas características e particularidades. Inicialmente, consideraremos o objeto (bidimensional) em uma posição fixa no espaço equidistante (paralelo) ao plano de projeção.

No Sistema Cônico a projeção não registra as reais dimensões do objeto, ou seja, ele NÃO É representado em sua verdadeira grandeza (VG). Observe que no exemplo da figura ao lado ocorre uma ampliação do objeto projetado. Neste sistema, o centro de projeção pode ocupar várias posições, o que interferirá no resultado da projeção.

(A)

A

(A)A

No Sistema Cilíndrico Oblíquo o objeto é representado em VERDADEIRA GRANDEZA, mas devido aos diferentes valores que o ângulo de incidência pode assumir (em função da direção das linhas projetantes) teremos várias opções para a localização da projeção sobre o plano.

Já no Sistema Cilíndrico Ortogonal, o objeto está expresso em sua VG mas, ao contrário dos sistemas anteriores, existe uma única projeção que o representa, pois a direção também é única.

(A)

A

7


Na figura ao lado,o sistema de projeção é o cilíndrico oblíquo; cilíndrico porque as linhas projetantes são paralelas entre si, e oblíquo porque o ângulo de incidência das linhas projetantes com o plano não é reto.

(A)

(B)

A B

(B)

(A)

AB

(C)

C

(B)

(A)

A B

(C)

C

(B)

(A)

A B

(C)

C

No sistema cônico, quando o objeto (bidimensional) não está paralelo ao plano, a projeção deixa de estar semelhante ao objeto no espaço. Já no sistema cilíndrico a projeção deixa de estar congruente ao objeto.

VGVG

VG

Conhecendo melhor o Sistema Cilíndrico Ortogonal (PROJEÇÃO ORTOÉDRICA)

A classificação oblíquo e ortogonal dentro do sistema cilíndrico não está em função do ângulo que a linha projetante forma com o objeto , e sim com o plano de projeção. Esta observação se faz necessária, pois até agora temos considerado o objeto paralelo ao plano, onde os ângulos que a linha projetante forma com o objeto e com o plano de projeção são iguais, no entanto serão diferentes quando não houver tal paralelismo.

Observe que nos desenhos anteriores o objeto não é projetado em suas dimensões reais, pois no Sistema Cilíndrico o paralelismo é a condição exigida para a obtenção da projeção em verdadeira grandeza. Veja a síntese do Sistema Cilíndrico Ortogonal de Projeção que é o sistema que fundamenta a Geometria Descritiva.

Na figura ao lado, o sistema de projeção é o cilíndrico ortogonal. Em ambas figuras o sistema é cilíndrico, classificação esta que está em função do paralelismo entre as projetantes.Quanto à classificação de oblíquo ou ortogonal, depende do ângulo de incidência da projetante com o plano de projeção. Neste caso, sendo o referido ângulo, reto, este recebe a classificação de ortogonal.

(A)

(B)

A B

a - A l inha projetante sempre será perpendicular ao plano de projeção.

b - O objeto somente será representado em sua VG quando estiver paralelo ao plano de projeção.

(A) (B)

A BVG90º

8


d - O que altera as dimensões da projeção em relação ao objeto é o ângulo do mesmo em relação ao plano de projeção.

c - A distância do objeto ao plano de projeção não interfere na dimensão da projeção, pois as linhas projetantes são paralelas, possuindo, portanto, um mesmo ângulo de incidência.

(A)

(B)

A B

(A)(B)

A B B

(A)(B)

A

(A) (B)

A BVG

(A) (B)

A BVG

(A) (B)

A BVG

(A) (B)

A BVG

(A) (B)

A B

(A)

(B)

A B

Veja o exemplo do círculo inscrito em um quadrado, posicionado de maneira paralela, oblíqua e perpendicular ao plano de projeção. As projeções comportam-se de formas diferentes.

PERSPECTIVA

VISTA ORTOÉDRICA

9


A geometria descritiva (GD)promove o estudo dos objetos através de suas projeções ortoédricas sobre planos perpendiculares entre si. Inicialmente utiliza-se de um plano horizontal e outro vertical. A partir destes dois elementos, Gaspar Monge cria um sistema projetivo que permite registrar a tridimensionalidade dos objetos. A interseção dos planos horizontal e vertical determina uma reta denominada de Linha de Terra que os divide em semi-planos e estes, por sua vez, delimitam o espaço em quatro regiões denominadas de "diedros". A linha de terra recebe duas barrinhas paralelas em suas extremidades posicionadas sobre o PH. Assim, a correta interpretação da linha de terra permite identificar as posições do PH e PV. Coube ao geômetra italiano Gino Lória o recurso de introduzir, no sistema mongeano de projeção, o terceiro plano perpendicular aos dois primeiros, plano este que recebe o nome de plano de perfil, PP. Embora o estudo da Geometria Descritiva contemple os quatro diedros, este material didático dará um enfoque quase que exclusivo ao primeiro diedro. Isto facilitará a transição entre o desenho técnico e o desenho arquitetônico.

Um ponto situado no espaço estabelece uma relação de distância com os planos de projeção. Portanto, cada ponto é definido por 3 coordenadas que são registradas através das projeções sobre os planos. Vale salientar que a Geometria Descritiva faz uso do Sistema Cilíndrico Ortogonal de Projeção, fato este que determina uma única projeção em cada plano de projeção. Antes de apresentarmos as coordenadas vamos estabelecer uma convenção para distinguirmos as diferentes projeções de um mesmo objeto em cada plano.

A projeção do ponto (P) no PH é denominada projeção horizontal P.

A projeção do ponto (P) no PV é denominada projeção vertical P'.

A projeção do ponto (P) no PP é denominada projeção de perfil P''.

A notação do ponto será feita com letras maiúsculas ou números do alfabeto arábico, que deverão estar entre parênteses. A expressão "Ponto" deve ser empregada somente para o objeto.

3. GEOMETRIA DESCRITIVA

PV PP

PH

PVPV

PHPH

1º

2º

3º

4ºDIEDRO

DIEDRO

DIEDRO

DIEDRO

(P)

P

P'P"

(P)

P

(P)P'

(P)

P"

10


IMPORTANTE: quando representarmos um objeto no diedro, estaremos utilizando somente os planos, Horizontal e Vertical de projeção, consequentemente o objeto será representado através de duas projeções; mas quando a representação for feita no triedro, estaremos inserindo o plano de Perfil que também é conhecido por Terceiro Plano.

A linha imaginária, que contém as projeções P e P', é denominada LINHA DE CHAMADA.

Para que possamos situar um objeto no espaço, precisamos conhecer as distâncias de seus pontos para com os planos de projeção. Assim, cada ponto é definido por um trio ordenado composto por x, y e z, denominados abcissa, afastamento e cota, respectivamente, onde:

3.1 COORDENADAS

Abcissa ( ): é a distância do ponto ao PP.abAfastamento ( ): é a distância do ponto ao PVafCota ( ): é a distância do ponto ao plano PHct

Está implícito que a "distância" é a menor possível,ou seja, medida sobre um alinhamento perpendicular ao plano.

IDENTIFIQUEMOS ALGUMAS IGUALDADES

PV

PH

PP

(P)

P

P'P"

PP

PV

PH

ab

0

af

ct

A distância do ponto (P) ao PP é igual à distância da Linha de Chamada à origem (intersecção dos três planos). Ambas traduzem a abcissa.

A distância do ponto (P) ao PV é igual à distância da projeção horizontal P à LT. Ambas traduzem o afastamento.

A distância do ponto (P) ao PH é igual à distância da projeção vertical P' à LT. Ambas traduzem a cota.

Logo, podemos ter duas definições para as coordenadas: uma ao nível espacial, relacionando o objeto ao plano, e outra ao nível projetivo, relacionando as projeções à Linha de Terra.

linha d

e c

ham

ada

linha de chamada

(P)

P

P'P"

PP

PV

PH

0

11


CONCEITO ESPACIAL

Abcissa (ab): é a distância do ponto ao PP.Afastamento (af): é a distância do ponto ao PV.Cota (ct): é a distância do ponto ao PH.

CONCEITO PROJETIVO

Abcissa: é a distância da Linha de Chamada à origem.Afastamento: é a distância da projeção horizontal à LT.Cota: é a distância da projeção vertical à linha de terra.

Então, os pontos (diferentes de projeções) situados:

à direita da origem possuem........................................................ abcissas positivas;á esquerda da origem possuem.................................................. abcissas negativas;acima do plano horizontal possuem ...................................................cotas positivas;abaixo do plano horizontal possuem .................................................cotas negativas;anteriores ao plano vertical possuem .................................afastamentos positivos eposteriores ao plano vertical possuem ...............................afastamentos negativos.

Visto que estaremos priorizando o Primeiro Diedro, estaremos excluindo os sinais negativos para afastamento e cota.

PV

PH

PP

Os planos de projeção, quando observados lateralmente, reduzem suas superfícies à linhas retas, e assemelham-se ao plano cartesiano da matemática, assumindo os mesmos valores (positivo e negativo), tanto para cota, quanto para o afastamento. Já a abcissa terá como referencial a origem marcada sobre a linha de terra.

3.2 SINAIS

É muito importante esta dupla conceituação das coordenadas, pois é objetivo da Geometria Descritiva registrar os objetos através de suas projeções, e isto exige que desenhemos usando o "conceito projetivo", mas que visualizemos o "conceito espacial", ou seja, se tivermos um objeto no espaço seremos capazes de desenhá-lo, e se nos depararmos com o seu desenho seremos capazes de concebê-lo.

12


Até agora, temos utilizado a perspectiva, que não é baseada no sistema cilíndrico ortogonal, para apresentação e compreensão da geometria descritiva. A partir deste momento, começaremos a caminhar no sentido de nos valer dela própria, para a análise de figuras e objetos no espaço.

Tomemos um ponto com coordenadas genéricas: (A) ( Ab ; Af ; Ct ). Entre o centro de projeção e o objeto, posicionaremos um observador que enxergue com "olhos do sistema cilíndrico ortogonal".

Atente para o fato de que o observador 1 percebe as coordenadas abcissa e afastamento, e o observador 2 percebe abcissa e cota. Novamente, uma das coordenadas não é percebida de acordo com a posição do observador.

Obs.: A origem sobre a linha de terra registra a posição a ser ocupada oportunamente pelo Plano de Perfil .

Consideremos que, após o registro das projeções, o objeto seja retirado; com isto, o observador nas posições 1 e 2, estaria recebendo as seguintes imagens.

LINHA DE TERRA

LINHA DE TERRA

POSIÇÃO 1 POSIÇÃO 2

Mas se unirmos as duas figuras pela Linha de Terra , teremos em um único desenho as coordenadas Ab, Af e Ct, onde a linha de chamada posiciona-se perpendicular à LT.

3.2 REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA

13


Outra maneira de obtermos o mesmo resultado seria submeter o Plano Horizontal a um giro de 90º no sentido horário.

ÚNICOOBSERVADOR

Esta operação denomina-se REBATIMENTO. Desta forma, o observador faz "leitura" de todas as coordenadas em uma única posição. Esta forma de representação denomina-se ÉPURA. Observe que o resultado é exatamente o mesmo quando da junção das imagens vistas separadamente pelo observador nas posições 1 e 2 na página anterior. ÉPURA - Chama-se épura a representação e o estudo dos problemas descritivos das figuras e corpos do espaço, dados por suas projeções nos dois planos ortogonais, depois da coincidência desses dois planos após o rebatimento. Este rebatimento poderia acontecer também com o giro do plano vertical sobre o horizontal no sentido anti-horário, e teríamos o mesmo resultado final; mas por questões didáticas adotaremos o giro horário do plano horizontal. Desta maneira, as projeções horizontais positivas, na representação em épura, após o rebatimento, passam a ser registradas abaixo da LT, respeitando, assim, o rebatimento. Como o plano vertical permanece fixo no espaço, as projeções verticais com cotas positivas continuam a ser registradas acima da LT. De igual maneira, as abcissas não sofrem alterações em face ao rebatimento, permanecendo positivas à direita da origem e negativas à esquerda. Devido ao fato dos planos horizontal e vertical receberem sobre si as três coordenadas necessárias ao estudo dos sólidos durante anos procurou-se desenvolver todos os estudos espaciais apenas com duas vistas ortogonais. No entanto, o uso sistemático do Plano de Perfil tornou a GD mais fácil. Então, o que acontece quando o Plano de Perfil está presente?

A

A'A"

af

af

ctct

A

A'

A"

af

af

ct

ct

Eix

o

A"

A

A'

af

af

ct ct

N e s t e e x e m p l o , o s planos foram rebatidos após o registro das três projeções, ou seja, a terceira projeção já existe. Mas como seria obter a terceira projeção à partir das p r o j e ç õ e s r e p r e s e n t a d a s apenas no diedro? Observe que a projeção sobre o Plano de Perfil é composta apenas pelas coordenadas afastamento e da cota.

Para que tenhamos um único observador com capacidade de leitura em épura dos três planos simultaneamente, faz-se necessário um segundo rebatimento, agora do Plano de Perfil que sofrerá um giro de 90º para a direita conforme a figura a seguir.

3.3 VISTA DE PERFIL (TERCEIRA PROJEÇÃO)

14


A'A'A' A"

AAA

1º PASSOLevar as informações relativas ao afastamento e cota até o eixo.

2º PASSOAlçar a distância correspondente ao afastamento até a LT.

3º PASSOCruzar as informações e obter a Vista de Perfil (3ª projeção).

A operação alçamento deve ser feita de maneira a manter inalterada a medida da informação que está sendo transportada. Para isto é necessário o uso do compasso ou do esquadro de 45º, apoiado na régua paralela.

A posição primitiva do plano PP é na abcissa "zero", por isto o eixo encontra-se junto à origem. No entanto um objeto pode possuir pontos que podem ficar à direita, à esquerda ou mesmo sobre o PP.

OU

A"

Centrar o compasso

A'

A

A' A"

A

A' A"

A

A" A'

A

OU

A" A"A' A'

A A

45º

15


Podemos concluir que em relação ao eixo, os resultados são iguais. No entanto, podemos nos deparar com situações em que utilizar o eixo sobre a origem pode dificultar a interpretação das projeções, o que não é desejável.

V'

V

V"

A

B

C

D

D" A" C" B"C'D'B'A'

V'

V

V"

A

B

C

D

D" A" C" B"

C'D'B'A'

O exemplo acima mostra o congestionamento causado pela sobreposição das projeções, embora ambos os desenhos estejam tecnicamente corretos. Visto que o objetivo deste material didático é facilitar o ensino da GD, estaremos, sempre que for conveniente, permitindo o deslocamento do eixo para uma abcissa diferente de zero ou ainda, utilizando um plano de perfil auxiliar. Observe que em todos os casos a terceira projeção está na mesma altura da projeção vertical. Tome isto como regra. Veja o exemplo a seguir.

VISTA SUPERIOR

VISTA FRONTAL VISTA LATERAL

VISTA LATERAL DIREITA (SE CONSIDERARMOS O OBJETO)

VISTA LATERAL ESQUERDA(SE CONSIDERARMOS O OBSERVADOR)

16


a - dois pontos distintos; b - um ponto e uma direção; c - dois planos secantes

( )r

( )r(A) (B)

(A)

4.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO

(A)

A

(B)

B

VG

( )A A ( )B B

VG

(A)

A

(B)

B

(A)

A

(B)

B

a- Equidistantes:

1- paralela 2- pertencente

b- Concorrentes:

1- oblíqua 2- perpendicular

4.3 CLASSIFICAÇÕES DAS RETAS

Dois pontos distintos no espaço podem definir sete tipos genéricos de retas. Primeiramente estaremos reunindo-as em três grupos.

Grupo 1 - Grupo das retas que estão perpendiculares a um dos planos de projeção e consequentemente paralelas aos outros dois. Assim possuem uma projeção pontual e duas projeções em verdadeira grandeza. São denominadas retas PROJETANTES.

VGVG

(s)

s' s"

s

PPPV

PH

(s)

s'

s"

s

VG

VG

PH

PPPVs'

s

PPPV

PH

(s)

s"

VG

VG

RETA VERTICAL RETA DE TOPO RETA FRONTO-HORIZONTAL

Uma reta pode ser determinada por:

4.1 DETERMINAÇÃO DAS RETAS

Chama-se projeção de uma reta sobre um plano ao lugar geométrico das projeções de todos os seus pontos sobre esse plano.

4. ESTUDO DA RETA

17


(s)

s' s"

s

PPPV

PH

VG

VG(s)

s'

s'

s"

s

PPPV

PH

(s)

s"

s

PPPV

PH

VG

RETA HORIZONTAL RETA FRONTAL RETA DE PERFIL

Grupo 2 - Grupo das retas que estão paralelas a somente um dos planos de projeção, consequentemente oblíqua aos outros dois. Assim possuem apenas uma projeção em verdadeira grandeza.

Grupo 3 - Grupo das retas oblíquas aos três planos de projeção. Suas projeções não possuem verdadeira grandeza.

(s)

s'

s"

s

PPPV

PH

RETA QUALQUER

Agora estudaremos, uma a uma, as retas. Você deverá utilizar a maquete do triedro para analisar a reta que será apresentada por sua perspectiva e épura.

VGVG

(s)

s' s"

s

PPPV

PH

VG

s' s"

s

PH

PPPV

VG

CARACTERÍSTICAS

NO ESPAÇO a reta é:- perpendicular ao PH;- paralela ao PV; e- paralela ao PP.

OS PONTOS da reta possuem:- abcissas iguais;- afastamentos iguais; e- cotas diferentes.

EM ÉPURA (Triedro) a projeção:- horizontal é pontual; e a- vertical é perpendicular à LT.

Possui VG no PV e PP.

a - RETA VERTICAL

18


s' s"

s

PH

PPPV

VG

VG

s'

s

PPPV

PH

(s)

s"

VG

VG

(s)

s'

s"

s

VG

VG

PH

PPPV

VG

VG s' s"

s

PH

PPPV

(s)

s"

s

PPPV

PH

VG

s' s"

s

PH

PPPV

VG

s'

CARACTERÍSTICAS

NO ESPAÇO a reta é:- paralela ao PH;- perpendicular ao PV; e- paralela ao PP.

OS PONTOS da reta possuem:- abcissas iguais;- afastamentos diferentes; e- cotas iguais.

EM ÉPURA (Triedro) a projeção:- horizontal é perpendicular à LT; e a- vertical é pontual.

Possui VG no PH e PP.

CARACTERÍSTICAS

NO ESPAÇO a reta é:- paralela ao PH;- paralela ao PV; e- perpendicular ao PP.

OS PONTOS da reta possuem:- abcissas diferentes;- afastamentos iguais; e- cotas iguais.

EM ÉPURA (Triedro) a projeção:- horizontal é paralela à LT;- vertical é paralela à LT; e a- projeção de perfil é pontual no PP.

Possui VG no PH e PV

CARACTERÍSTICAS

NO ESPAÇO a reta é:- paralela ao PH;- oblíqua ao PV; e- oblíqua ao PP.

OS PONTOS da reta possuem:- abcissas diferentes;- afastamentos diferentes; e- cotas iguais.

EM ÉPURA (Triedro) a projeção:- horizontal é oblíqua à LT; e a- vertical é paralela à LT.

Possui VG no PH.

b - RETA DE TOPO

c - RETA FRONTO-HORIZONTAL

d - RETA HORIZONTAL ou de NÍVEL

19


VG(s)

s'

s"

s

PPPV

PH

s's"

s

PH

PPPV

VG

(s)

s' s"

s

PPPV

PH

VG

s's"

s

PH

PPPV

VG

s'

s

PH

PPPV

(s)

s

s's"

PPPV

PH

VG

s"

VG

Esta é a única reta que possui verdadeira grandeza somente na vista de perfil (terceira projeção), daí alguns autores enfatizarem o assunto "vista de perfil", quase que exclusivamente para a reta de perfil.

A reta de perfil pode espacialmente tocar ou não a Linha de Terra, isto se reflete em épura

através de suas projeções. Observe as terceiras projeções destas retas de perfil, e compare-as. A

última delas possui afastamento nulo no mesmo ponto em que a cota também é nula, portanto é

uma reta de perfil perpendicular à LT. A outra é ortogonal à LT.

CARACTERÍSTICAS

NO ESPAÇO a reta é:- oblíqua ao PH;- paralela ao PV; e- oblíqua ao PP.

OS PONTOS da reta possuem:- abcissas diferentes;- afastamentos iguais; e- cotas diferentes.

EM ÉPURA (Triedro) a projeção:- horizontal é paralela à LT; e a- vertical é oblíqua à LT.

Possui VG no PV.

CARACTERÍSTICAS

NO ESPAÇO a reta é:- oblíqua ao PH;- oblíqua ao PV;- paralela ao PP.

OS PONTOS da reta possuem:- abcissas iguais;- afastamentos diferentes; e- cotas diferentes.

EM ÉPURA (Triedro) a projeção:- horizontal é perpendicular à LT; e a - vertical é perpendicular à LT.

Possui VG no PP.

e - RETA FRONTAL ou de FRENTE

f - RETA DE PERFIL

RETA DE PERFILORTOGONAL À LT.

RETA DE PERFILPERPENDICULAR À LT.

20


PPPV

PH

(s)

s's"

s

s'

s"

s

PH

PPPV

(s)

s'

s"

s

PPPV

PH

s' s"

s

PH

PPPV

g - RETA QUALQUER

CARACTERÍSTICAS

NO ESPAÇO a reta é:- oblíqua ao PH;- oblíqua ao PV; e- oblíqua ao PP.

OS PONTOS da reta possuem:- abcissas diferentes;- afastamentos diferentes;- cotas diferentes.

EM ÉPURA (Triedro) a projeção:- horizontal é oblíqua à LT; e- vertical é oblíqua à LT.

NÃO POSSUI PROJEÇÃO EM VERDADEIRA GRANDEZA

RETA QUALQUERREVERSA À LT.

RETA QUALQUERCONCORRENTE À LT.

Da mesma forma que a reta de perfil, a reta qualquer também poderá tocar ou não a LT sendo classificada de concorrente ou reversa à LT respectivamente. Faça com elas a mesma comparação que foi feita entre as retas de perfil.

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto. (Maquetes - Sequência B)

Dica: para memorizar o nome das retas utilize um cubo "aramado" com as faces paralelas aos planos de projeção.

- As serão as retas do 1º Grupo.arestas do cubo- As serão as retas do 2º Grupo.diagonais das faces- As serão as retas do 3º Grupo.diagonais do cubo

(fh)(v)

(t) (h)

(f)(p) (q)

RETAS DO 1º GRUPO RETAS DO 2º GRUPO RETAS DO 3º GRUPO

21


A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A"B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

EXEMPLO:

Os pontos (V) e (A) determinam uma reta

Os pontos (C) e (D) determinam uma reta

Os pontos (C) e (A) determinam uma reta

Os pontos (B) e (C) determinam uma reta

qualquer (3º Grupo)I

II

III

IV

abs = afs = cts =

Evidencie com caneta ou lápis colorido cada dupla de pontos nas épuras reduzidas A resposta correta é desejável, porém o raciocínio espacial é o principal objetivo. Por isso use as maquetes.

s s s

abs =

abs =

abs =

afs =

afs =

afs =

cts =

cts =

cts =

s

s

s

s

s

s

s

s

s

I II III

IV V VI

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequências B e C)

Quando necessário, corte o sinal de igual (=) para transformá-lo em diferente (=)

Analise pirâmide representada no triedro e preencha os espaços com o nome da reta e do grupo correspondente. Cada reta (segmento de reta) é determinada por dois pontos distintos.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO

Os pontos (C) e (V) determinam uma reta

Os pontos (V) e (G), eixo da pirâmide, determinam uma reta

V

VIIDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE

Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação das retas nos sólidos.

abs =

abs =

afs =

afs =

cts =

cts =

s

s

s

s

s

s

22


EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO CONTEÚDO

I

II

III

IV

V

VI

IDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE INFERIOR

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

I II III

IV V VI

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

Analise o hexaedro representado no triedro e preencha os espaços com o nome da reta e do grupo correspondente. Cada reta (segmento de reta) é determinada por dois pontos distintos.

Evidencie com caneta ou lápis colorido cada dupla de pontos nas épuras reduzidas A resposta correta é desejável, porém o raciocínio espacial é o principal objetivo. Por isso use as maquetes.

Os pontos (4) e (B) determinam uma reta

Os pontos (A) e (3) determinam uma reta

Os pontos (B) e (2) determinam uma reta

Os pontos (1) e (3) determinam uma reta

Os pontos (4) e (1) determinam uma reta

Os pontos (G) e (4) determinam uma reta

Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação das retas nos sólidos.

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequências B e C)

abs =

abs =

abs =

abs =

abs =

afs =

afs =

afs =

afs =

afs =

cts =

cts =

cts =

cts =

cts =

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

Quando necessário, corte o sinal de igual (=) para transformá-lo em diferente (=)

abs = afs = cts =s s s

23


4.3 PARTICULARIDADES

O estudo das retas envolve algumas particularidades que destacaremos a seguir.

Toda a reta paralela a um plano de projeção poderá pertencer a ele, bastando que a coordenada correspondente seja nula. Isto implica que, espacialmente, a reta se torne pertencente ao plano e coincidente com a própria projeção.

(A)

A

(B)

B

VG

paralela

( )A A ( )B B

VG

pertencente

Para evidenciarmos esta condição particular da reta vamos acrescentar por "sobrenome”, tal característica.

Assim sendo, as retas do segundo grupo, horizontal, frontal e de perfil podem pertencer a somente um plano de projeção.

RETA HORIZONTAL do PH RETA FRONTAL do PV RETA DE PERFIL do PP

(s) s

PPPV

PH

VG

s' s"

VG

(s) s'

PPPV

PH

s"

s

(s) s"

PPPV

PH

VG

s'

s

(s)

s' s"

s

PPPV

PH

VG

VG(s)

s'

s'

s"

s

PPPV

PH

(s)

s"

s

PPPV

PH

VG


(s)

s'

s"

s

PPPV

PH

A única reta que não pode pertencer a nenhum dos planos de projeção é a reta qualquer, pois a mesma se encontra oblíqua aos três planos de projeção.

24


RETA VERTICAL do PV

VG

VG

(s) s'

s"

s

PPPV

PH

RETA VERTICAL do PP

RETA VERTICAL do PV e do PP

VG

VG

(s)

s'

s"

s

PPPV

PH

VG (s) s's"

s

PPPV

PH

RETA de TOPO do PH

s

PPPV

PH

(s) VG

s"

VG

s'

RETA de TOPO do PP

RETA de TOPO do PH e PP

s'

PPPV

PH

(s) s"

VG

s

VG

RETA FRONTO-HORIZONTAL do PH

RETA FRONTO-HORIZONTAL do PV

RETA FRONTO-HORIZONTALdo PH e do PV (Linha de Terra)

(s)

s

VG

PH

PPPV s"

s'

VG

(s) s

VG

PH

PPPV

s"

s'

(s) s

VG

PH

PPPV

s"s'

VG

PPPV

PH

s'

(s) s"

VG

s

VGVG

(s)

s' s"

s

PPPV

PH

(s)

s'

s"

s

VG

VG

PH

PPPVs'

s

PPPV

PH

(s)

s"

VG

VG


As retas do primeiro grupo, vertical, de topo e fronto-horizontal podem pertencer a até dois planos de projeção.

25


Um ponto pertence a uma reta quando suas projeções pertencem às projeções de mesmo nome da reta, ou seja:

- a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta - a projeção vertical do ponto sobre a projeção vertical da reta - a terceira projeção do ponto sobre a terceira projeção da reta

4.4 PERTINÊNCIA DE PONTO À RETA

(s)

s'

s"

s

PPPV

PH

s'

s

PH

PPPV

P’

P’P”

PP

(P)

s"

P”

(s)

(P)

P' P'

P"

P"

P

P

s' s'

s"s"

s

s

PPPV

PH

VG VG

RETA DE PERFIL VISTA DE PERFIL

Qualquer que seja a reta e um ponto pertencente a ela, estas três condições deverão ser satisfeitas; mas, excetuando-se a reta de perfil, as demais retas podem ser analisadas apenas no diedro (PH e PV), ou seja, um ponto pertencerá a reta se as projeções do ponto pertencerem as respectivas projeções horizontal e vertical da reta.

Portanto, a reta de perfil deverá necessariamente ser analisada nas três projeções, o que implica na obtenção da terceira projeção.

26


São pontos onde a reta atravessa planos notáveis. Estaremos enfocando a interseção das retas com os planos horizontal e vertical de projeção. Estes pontos onde a reta "fura" o plano são denominados de traços de reta. (Na GD traço = interseção)

4.5 PONTOS NOTÁVEIS DA RETA

O traço de uma reta sobre um plano é sempre um ponto único. Em relação aos planos horizontal e vertical no ambiente do primeiro diedro a reta pode concorrer com eles em três posições genéricas: no PH, no PV e sobre a Linha de Terra. Então o que temos a fazer é a identificação da existência destes pontos na reta.

Uma reta somente possui traço sobre um plano quando for concorrente a ele; estando equidistante (paralela ou pertencente) não possuirá o traço. Considerando o ambiente Diédrico e a posição da reta, ela poderá ter de um a dois traços. A exceção fica para a reta frontohorizontal, que é a única reta não concorrente ao PH e PV.

PV

PH

(V)

(H)

TRAÇOS DA RETA NOS PLANOS HORIZONTAL E VERTICAL DE PROJEÇÃO

PONTO NO PV

B

B’PONTO NO PH

A

A’

PONTO NA LT

C C’

4.5.1 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO HORIZONTAL

VG(s)

s'

s"

s

"H

H'

H(H)

PPPV

PH

H’

H

A'

A B

B'

s’

s

O traço horizontal (H) sempre pertencerá ao plano horizontal pois, sempre terá cota nula. Portanto, em épura prolonga-se a projeção vertical até a LT (onde a cota se torna nula) e determina-se a l inha de chamada do ponto (H) procurado. A projeção H pertencerá a projeção s e a projeção H' pertencerá a projeção s'.

4.5.2 DETERMINAÇÃO DO TRAÇO VERTICAL

V"

(s)

s' s"

sV

V'(V)

PPPV

PH

A'V’

V

A

B

B's’

s

O traço vertical (V) sempre pertencerá ao plano vertical pois, sempre terá afastamento nulo.Portanto, em épura prolonga-se a projeção horizontal até a LT (onde o afastamento se torna nulo) e determina-se a linha de chamada do ponto (V) procurado.

A projeção V pertencerá a projeção

s e a projeção V' pertencerá a

projeção s'.

27


VG

A

A'

B'

H’

r'

r B H

H’

V’

H

V

r'

r

VG

A

V

B

r

A' B' V’r'

EM RESUMO TEMOS:

Para determinarmos um traço prolonga-se inicialmente a projeção de nome contrário até que a mesma concorra com a LT, onde será determinada a linha de chamada correspondente ao traço procurado. Atenção: esta regra não é válida para a reta de perfil que exige a determinação de seus pontos na vista de perfil. Vejamos outros exemplos em épura.

Se a reta é concorrente à LT, mas possui dois traços (retas de perfil e qualquer), eles estarão coincidentes na própria LT, ou seja, o ponto de afastamento nulo, também é o ponto de cota nula. Atente para o fato de que dois pontos coincidentes não definem uma reta.

H'H(H)VV'(V)

PPPV

PH

(s) s'

s"

H" V"

s

Observe nos exemplos anteriores que duas projeções encontram-se obrigatoriamente sobre a LT. São elas:

V - projeção horizontal do traço vertical (projeção referente ao afastamento nulo); H' - projeção vertical do traço horizontal. (projeção referente a cota nula).

Ou seja, V H' na LT. Tome isto como regra.

A obtenção dos traços horizontal e vertical na reta de perfil é realizada através da utilização da terceira projeção (vista lateral), pois neste tipo de reta a simples análise no diedro não é suficiente para a identificação da pertinência do ponto à reta. Desta maneira, temos que prolongar a terceira projeção da reta que encontrará as projeções H" e V" e retornar com as informações para a abcissa correspondente determinando assim as projeções dos traços horizontal e vertical respectivamente.

4.5.3 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NA RETA DE PERFIL

28


(s)

s'

s"

s

VG

VG

PH

PPPV

VGVG

(s)

s' s"

H"H'

s H( )H

PPPV

PH

s'

s

PPPV

PH

(s)

s"

V"

V

V'( )V


V"

(s)

s' s"

sV

V'(V)

PPPV

PH

VG(s)

s'

s"

s

"H

H'

H(H)

PPPV

PH

(s)

s' s"

s

H"

V"

H(H)

H'V

V'(V)

PPPV

PH


H'

(s) s' s"

s

H"

V"

V

H(H)

V'(V)

PPPV

PH

H'H(H)VV'(V)

PPPV

PH

(s) s'

s"

H" V"

s

(s)

s

s's"

PPPV

PH

H" V"

H'H(H)VV'(V)

RETA QUALQUER RETA QUALQUER RETA DE PERFIL

ORTOGONAL À LT

PERPENDICULAR À LTCONCORRENTE À LTREVERSA À LT

4.5.4 TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NAS DEMAIS RETAS

29


(a) (b)

COINCIDENTES

CONCORRENTES

PARALELAS

PERPENDICULARES

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)(b)

REVERSAS

(a)

(b)

(c)

(r)

ORTOGONAIS

(a)

(b)

(r)

(c)

a - Quando coplanares podem ser:

4.6 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS

RETAS QUE ADMITEM A POSSIBILIDADE DE PERTENCEREM A UM MESMO PLANO

Quando concorrentes, e formarem um ângulo reto,

são denominadas de retas perpendiculares.

Tanto as retas paralelas, quanto as

concorrentes, podem pertencer a planos

d is t in tos , mas a inda ass im são

consideradas coplanares, pois sempre

existirá um plano que as contenham

b - Quando não coplanares podem ser:

RETAS QUE NÃO ADMITEM A POSSIBILIDADE DE PERTENCEREM A UM MESMO PLANO

Todas as retas de um plano que não concorrem com uma reta perpendicular a ele são denominadas ortogonais em relação à referida reta.

Todas as retas de um plano que não concorrem com uma reta oblíqua a ele são denominadas reversas, ou ainda revessas em relação à referida reta.

Duas retas podem:- não possuir ponto comum (paralelas e reversas);- possuir um único ponto comum (concorrentes ou incidentes);- possuir mais de um ponto comum (coincidentes).

Com exceção das retas de perfil, poderemos, através da análise das projeções no diedro (PH e PV), conhecer qual é a posição relativa entre ambas, isto porque a reta de perfil necessita de ser analisada no triedro.

a- Retas Concorrentes: duas retas coplanares que possuem um único ponto comum são denominadas concorrentes ou incidentes.

Teorema: duas retas concorrentes projetam-se em geral, segundo projeções concorrentes.

4.6.1 ANÁLISE DAS POSIÇÕES RELATIVAS EM ÉPURA

30


b’

PRIMEIRO CASO

AS PROJEÇÕES DE MESMO NOMESÃO PARALELAS ENTRE SI.

DUAS PROJEÇÕES DE MESMO NOMESE CONFUNDEM E AS OUTRAS DUASSÃO PARALELAS.

DUAS PROJEÇÕES PONTUAIS DEMESMO NOME SÃO DISTINTAS.

SEGUNDO CASO TERCEIRO CASO

a’

b

a

b’

a’

ba

b’

a’

b

a

b’

PRIMEIRO CASO

AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME,DAS DUAS RETAS, NÃO CONCORREM EM

UMA MESMA LINHA DE CHAMADA.

UMA PROJEÇÃO PONTUAL NÃOPERTENCE À PROJEÇÃO DE MESMO

NOME DA OUTRA RETA.

SEGUNDO CASO

a’

b

a

b’

a’

ba

b’

PRIMEIRO CASO

AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME,DAS DUAS RETAS, CONCORREM EM

UMA MESMA LINHA DE CHAMADA.

DUAS PROJEÇÕES DE MESMO NOME,SE CONFUNDEM, E AS OUTRAS DUAS

SÃO CONCORRENTES.

UMA PROJEÇÃO PONTUAL PERTENCEA PROJEÇÃO DE MESMO NOME DA

OUTRA RETA.

SEGUNDO CASO TERCEIRO CASO

a’

b

a

b’

a’

ba

b’a’

ba

b- Retas Paralelas: duas retas coplanares, que não possuem ponto comum são denominadas, retas paralelas. Teorema: duas retas paralelas projetam-se em geral, segundo projeções paralelas.

c- Retas Reversas: duas retas são reversas quando não possuírem ponto comum e não forem paralelas; portanto, poderemos identificá-las por exclusão, ou observando os dois casos abaixo.

Duas retas concorrentes podem ser perpendiculares. Veja o teorema de Monge na página seguinte

Duas retas reversas podem ser ortogonais.

31


ORTOGONAIS

(s)

rs

(r)

PERPENDICULARES

(s)

(r)

r

sVG

PERPENDICULARES

(s)

(r)

rsVG

b’b’

a’a’

A’

A

B’

B

R’

R

S’

Sb

ba

a

d- Retas Coincidentes: duas retas são coincidentes quando suas projeções de mesmo nome se confundem. Na prática, é uma única reta com dois nomes. Atenção: podemos ter segmentos não coincidentes sobre retas coincidentes.

e- Perpendicularismo

Teorema de Monge: "Quando duas retas são perpendiculares entre si no espaço, sendo uma

delas paralela a um plano dado, sem que a outra seja perpendicular ao plano, as projeções destas

duas retas sobre o plano são perpendiculares entre si.

... e ortogonais se forem reversas.

Mas quando uma for paralela e a outra perpendicular ao plano, basta a projeção pontual pertencer à outra projeção e serão perpendiculares entre si no espaço ...

... contudo, se a projeção pontual estiver fora, serão ortogonais.

Observação: quando duas retas perpendiculares ou ortogonais no espaço (casos particulares de retas concorrentes e retas reversas respectivamente) estiverem oblíquas a um plano dado, somente serão identificadas, com o uso de métodos descritivos,mas por hora poderemos identificá-las como concorrentes ou reversas.

PERPENDICULARES

(s)

(r)

r

sVG

Em épura, isto significa que, se uma projeção de uma reta forma um ângulo reto com a projeção em VG de uma outra, as retas serão perpendiculares se concorrentes...

32


PARALELAS COICIDENTES CONCORRENTES PERPENDICULARES

PP PP

PP

PPPV PV PV PV

PH PH PH PH

(a)

(a) (a)

(b)(b)

(b)(a)

a"a"

a"

a"

b" b"

b"

b"(b)

a" b"

PARALELAS

PPPV

PH

(a)

(b)

a" b"PV

PARALELAS

PPPV

PH

(a)

(b) a"

b"

ORTOGONAIS

PPPV

PH

(b)(a)

PP

a"

b"

REVERSAS

PV

PH

(b)

(b)

(a)

4.7 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS DE PERFIL

No estudo das posições relativas entre duas retas de perfil, iremos recorrer ao uso da terceira projeção, também conhecida por vista lateral. Podemos encontrá-las em duas situações genéricas: quando possuírem a mesma abcissa e quando as abcissas forem distintas.

a - Duas Retas de Perfil em uma mesma abcissa.

POSSUINDO A MESMA ABCISSA JAMAIS SERÃO REVERSAS OU ORTOGONAIS.

b - Duas Retas de Perfil em abcissas diferentes

POSSUINDO ABCISSAS DIFERENTES, JAMAIS SERÃO CONCORRENTES OU PERPENDICULARES.

projeções de perfilparalelas

projeções de perfilcoincidentes

projeções de perfilconcorrentes

projeções de perfilperpendiculares

projeções de perfilparalelas

projeções de perfilcoincidentes

projeções de perfilconcorrentes

projeções de perfilperpendiculares

33


A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A"B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

Analise a pirâmide representada no triedro e preencha os espaços com o nome da posição relativa entre cada dupla de retas. As posições relativas entre duas retas distintas podem ser: paralelas, concorrentes, perpendiculares, reversas, ortogonais. Lembre-se que retas perpendiculares e retas ortogonais são casos particulares das retas concorrentes e retas reversas respectivamente.

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"


A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

EXEMPLOS:

I II III

IV V VI

concorrentes

paralelas

(1º caso)

(2º caso)

I

II

III

IV

V

VIIDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE

As retas dadas pelos pontos (V)(A) e (V)(B) são

As retas dadas pelos pontos (A)(B) e (C)(D) são

As retas dadas pelos pontos (A)(C) e (B)(D) são

As retas dadas pelos pontos (A)(B) e (C)(V) são

As retas dadas pelos pontos (A)(D) e (V)(B) são

As retas dadas pelos pontos (V)(G) e (C)(B) são

Evidencie com caneta ou lápis colorido cada dupla de retas (segmentos) nas épuras reduzidas.

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequência B)

Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação das posições relativas das retas nos sólidos.

34


A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

Analise o hexaedro representado no triedro e preencha os espaços com o nome da posição relativa entre cada dupla de retas. As posições relativas entre duas retas distintas podem ser: paralelas, concorrentes, perpendiculares, reversas, ortogonais. Lembre-se que retas perpendiculares e retas ortogonais são casos particulares das retas concorrentes e retas reversas respectivamente.

Evidencie com caneta ou lápis colorido cada dupla de retas (segmentos) nas épuras reduzidas.

I

II

III

IV

V

VI


As retas dadas pelos pontos (A)(4) e (D)(1) são

As retas dadas pelos pontos (4)(B) e (A)(C) são

As retas dadas pelos pontos (G)(1) e (D)(4) são

As retas dadas pelos pontos (D)(2) e (4)(B) são

As retas dadas pelos pontos (A)(D) e (2)(3) são

As retas dadas pelos pontos (C)(3) e (B)(2) são

Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação das posições relativas das retas nos sólidos.

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequência B)

I II III

IV V VI

35


(A)

(B)(C)

PH

PVPP

TRÊS PONTOS DISTINTOSNÃO COLINEARES

(A)

PH

PVPP

UMA RETA E UM PONTOEXTERIOR A ELA

PH

PVPP

DUAS RETASCONCORRENTES

PH

PV

PP

DUAS RETASPARALELAS

PH

PVPP

UMA RETA EUMA DIREÇÃO

5.1 DETERMINAÇÃO DE PLANOS

Na geometria elementar temos planos definidos por:

5. ESTUDO DOS PLANOS

Assim como as retas, os planos podem ocupar várias posições em relação aos planos de projeção, recebendo por isso nomes diferentes. A GD representa os planos, além dos modos fornecidos pela geometria elementar, pelos seus traços. Traço de plano é a reta resultante da interseção deste em outro plano.

36


TRAÇO HORIZONTAL TRAÇO VERTICAL TRAÇO DE PERFIL

Q'

Qo

Q

O traço de um plano sobre o plano horizontal de projeção é uma reta de cota nula, sendo denominada de TRAÇO HORIZONTAL. O traço de um plano sobre o plano vertical de projeção é uma reta de afastamento nulo, sendo denominada de TRAÇO VERTICAL. Denominaremos de TRAÇO DE PERFIL ou TERCEIRO TRAÇO, a interseção do plano com o plano de perfil. Este traço será uma reta de abcissa constante.

Estaremos adotando as iniciais dos nomes genéricos dados aos planos na língua portuguesa. Utilizando por exemplo o plano (Q) temos:

As posições dos traços de um plano em relação à LT são variáveis, isto é, podem os traços ocupar posições diferentes, conforme a situação do plano, mas quando um plano for oblíquo à LT, determinará sobre ela um único ponto de concorrência. Deste ponto nascem os traços horizontal e vertical.

O valor da abcissa deste ponto, permite determinar os traços dos planos à partir do conhecimento da angulação destes com a LT.

Este ponto recebe a notação em épura de Qo

para um plano (Q), To para um plano (T) e assim por

diante. Lembre-se que ele possui afastamento e cota

nulos, mas, sua abcissa pode assumir diferentes

valores.

37


PARALELOS COINCIDENTES

b) - quando oblíquos:

CONCORRENTES PERPENDICULARES

Na GD quando um plano está perpendicular a um plano de projeção, ele é denominado de plano projetante. Esta particularidade, se bem entendida, facilitará em muito o estudo dos planos. Antes de classificarmos os planos segundo suas posições no triedro, detalharemos melhor as características dos planos projetantes. Denominaremos o traço (interseção) resultante do perpendicularismo entre dois planos de traço projetante. (Um dos dois é plano de projeção).

Observe que as linhas projetantes, ao incidirem perpendicularmente sobre o plano de projeção, têm suas trajetórias sobre o plano (), o que implica na localização das projeções dos elementos pertencentes a este plano, sobre o próprio traço projetante. Quando um plano é projetante, seu traço representa, não somente a si próprio, mas, toda infinita superfície plana.

Quando um plano não é projetante, seu traço traduz tão somente sua interseção com o plano de projeção, portanto todos os demais elementos do plano projetam-se fora dele. Então podemos concluir que:

O traço projetante recebe sobre si todas as projeções de mesmo nome, dos elementos pertencentes ao plano. Tome isto como regra.

Isto significa que: - o traço horizontal, quando projetante, recebe as projeções horizontais dos elementos pertencentes ao plano; - o traço vertical, quando projetante, recebe as projeções verticais dos elementos pertencentes ao plano; e - o traço de perfil, quando projetante, recebe as projeções de perfil dos elementos pertencentes ao plano.

Um plano em relação a outro plano poderá estar oblíquo ou equidistante.

a) - quando equidistantes:

5.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS

38


PORÇÃO ÚTILDO PLANO NO

1º DIEDRO

PH

PV PP

PLANO DE PERFILPLANO HORIZONTAL

PH

PV PP

PH

PV PP

PLANO FRONTAL

PHPH

PPPV

PLANO QUALQUER

PLANO DE TOPO

PH

PV PP

PLANO PARALELO À LT

PH

PV PP

PLANO VERTICAL

PH

PV PP

PLANO QUE PASSA PELA LT

PV PP

PH

5.3 CLASSIFICAÇÃO DOS PLANOS

Os planos são ilimitados, o que permite que os mesmos alcancem mais de um diedro. Contudo, priorizaremos o estudo dos planos às suas porções úteis no primeiro diedro, ou seja, todos os pontos que possuam afastamentos e cotas iguais ou superiores a zero.

Analisados em relação aos três planos de projeção, os planos podem ser classificados em três grupos.

Grupo 2 - Grupo dos planos que são perpendiculares a somente um dos planos de projeção, e consequentemente, oblíquos aos outros dois.

Grupo 1 - Grupo dos planos que são paralelos a um dos planos de projeção, e consequentemente, perpendiculares (projetantes) aos outros dois.

Grupo 3 - Grupo dos planos que são oblíquos aos três planos de projeção, consequentemente, jamais será paralelo ou perpendicular a qualquer um dos planos de projeção.

O entendimento do conceito de plano projetante é estendido as figuras planas no espaço. Sempre que uma figura plana estiver perpendicular a um plano sua projeção sobre ele, será um segmento de linha reta.

39


a - PLANO HORIZONTAL ou DE NÍVEL (PLANO PROJETANTE NO PV E NO PP)

b - PLANO FRONTAL ou DE FRENTE (PLANO PROJETANTE NO PH E NO PP)

c - PLANO DE PERFIL (PLANO PROJETANTE NO PH E NO PV)

PH

PV PP

(P)

P

P'

Po

P'

P

Po

PH

PV PP

(F)

F

F"

F

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:- perpendicular ao PH;- paralelo ao PV; e- perpendicular ao PP.

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:- perpendicular ao PH;- perpendicular ao PV; e- paralelo ao PP.

PH

PV PP

(L)

L' L''L'

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:- paralelo ao PH;- perpendicular ao PV; e- perpendicular ao PP.

CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)- possui apenas o traço vertical paralelo à LT.

CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO):possui apenas o traço horizontal paralelo à LT

CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)- os t r aços ho r i zon ta l e ve r t i ca l são perpendiculares à LT.

L''

F''

40


PV PP

(T)To

T'T"

T

PH

PV PP(Z)

Z

Z"Z'

Zo

PH

PV PP

(K)

K

K'

K''

K"

K'

K

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:- perpendicular ao PH;- oblíquo ao PV; e- oblíquo ao PP.

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:- oblíquo ao PH;- oblíquo ao PV; e- perpendicular ao PP.

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:- oblíquo ao PH;- perpendicular ao PV; e- oblíquo ao PP.

CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO):- traço vertical oblíquo à LT; e- traço horizontal perpendicular à LT.

CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)- traço horizontal oblíquo à LT; e- traço vertical perpendicular à LT.

CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)- traços horizontal e vertical paralelos à LT.

d - PLANO DE TOPO (PLANO PROJETANTE NO PV)

e - PLANO VERTICAL (PLANO PROJETANTE NO PH)

f - PLANO PARALELO A LT (PLANO PROJETANTE NO PP)

Z'

Zo

Z''

T

To

T'T''

41


PV PP

PH

X X'

X" (A)

A'

A

(X)

X"

X X'

A’ A”

A

PHPV

PPPV

(Q)Q"Q'

Q

Qo

Q'

Q

Qo

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO- oblíquo ao PH;- oblíquo ao PV; e- oblíquo ao PP.

CARACTERÍSTICAS NO ESPAÇO:- oblíquo ao PH;- oblíquo ao PV; e- perpendicular ao PP.

CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)- traços horizontal e vertical coincidentes na LT.

CARACTERÍSTICAS EM ÉPURA (DIEDRO)- traços horizontal e vertical oblíquos à LT.

h - PLANO QUALQUER (ÚNICO PLANO NÃO PROJETANTE)

g - PLANO QUE PASSA PELA LT (PLANO PROJETANTE NO PP)

Este plano não consegue ser definido por seus traços no diedro, pois para os mesmos traços pode o plano assumir diferentes angulações com o PV e o PH, necessitando portanto, de um ponto que o fixe no espaço. No exemplo abaixo o ponto (A) é o ponto auxiliar.

Q''

42


PH

PV PP

( )t

(v)(p)

PH

PV PP

(t)

(f)

(q)

PH

PV PP

(fh)

(h)

(t)

PH

PV PP

(fh)

(v)

( )f

PH

PV PP(fh)

(p)

(q)

PH

PV PP(v)

(q)

(h)

PHPV

PPPV

(q)

(f)

(p)

(h)

PVPP

PH

(fh)

q)(

p)(

Antes de analisarmos em épura, a pertinência das retas aos planos, apresentaremos os tipos de retas genéricas que cada plano pode conter. Atente para o fato de que o plano qualquer é o único plano que contém quatro tipos diferentes de retas, enquanto os demais, apenas três. Lembre-se que os traços dos planos (que são retas), já revelam tipos de retas pertencentes ao plano.

5.4 RETAS PERTENCENTES AOS PLANOS

PLANO FRONTAL PLANO DE PERFILPLANO HORIZONTAL

PLANO VERTICAL PLANO PARALELO À LTPLANO DE TOPO

PLANO QUALQUERPLANO QUE PASSA PELA LT

h- horizontal f - frontal v - vertical t - de topo fh - fronto-horizontal p - de perfil q - qualquer

Abreviações dos nomes das retas:

43


A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

Analise a pirâmide representada no triedro e preencha os espaços com o nome do plano definido pelos três pontos indicados. Lembre-se de que três pontos distintos não colineares no espaço determinam um Plano.


A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

EXEMPLOS:

I II III

IV V VI

I

II

III

IV

V

VI

IDENTIFIQUE O PONTO (G) NO CENTRO DA BASE

Evidencie com caneta ou lápis colorido cada triângulo formado pelas retas (segmentos) nas épuras reduzidas.

Os pontos (V),(C) e (B) determinam um plano

Os pontos (A),(B) e (C) determinam um plano

Os pontos (A),(G) e (V) determinam um plano

Os pontos (V),(A) e (D) determinam um plano

Os pontos (V),(D) e (B) determinam um plano

Os pontos (A),(B) e (V) determinam um plano

de TOPO

VERTICAL

PARALELO a LT

FIGURA - FIGURA - LINHA



A B

CD

V

A' B'C' C" A"B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

Figuras Planas doGrupo 1



PROJEÇÕES EM FORMA DE:FIGURA (EM VG) - LINHA - LINHA

PROJEÇÕES EM FORMA DE:FIGURA - FIGURA - LINHA

PROJEÇÕES EM FORMA DE:FIGURA - FIGURA - FIGURA

VG

QUADRO SÍNTESE

Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação de figuras planas nos sólidos.

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequências B e D)

Exemplos:

44


Analise o hexaedro (cubo) representado no triedro e preencha os espaços com o nome do plano definido pelos três pontos indicados. Lembre-se de que três pontos distintos não colineares no espaço determinam um Plano.

I

II

III

IV

V

VI


Solicite outras listas complementares com exercícios de identificação de figuras planas nos sólidos.

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

Os pontos (A),(2) e (4) determinam um plano

Os pontos (4),(B) e (2) determinam um plano

Os pontos (A),(D) e (2) determinam um plano

Os pontos (1),(3) e (C) determinam um plano

Os pontos (D),(1) e (3) determinam um plano

Os pontos (D),(1) e (G) determinam um plano

I II III

IV V VI

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

Evidencie com caneta ou lápis colorido cada triângulo formado pelas retas (segmentos) nas épuras reduzidas.




PROJEÇÕES EM FORMA DE:FIGURA (EM VG) - LINHA - LINHA

PROJEÇÕES EM FORMA DE:FIGURA - FIGURA - LINHA

PROJEÇÕES EM FORMA DE:FIGURA - FIGURA - FIGURA

VG

QUADRO SÍNTESE

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequências B e D)

45


x’

x

s’ s’

s s

r’ r’

r r

A' A'

A A

1’

1

2’

2

PH

PV

(s)

(r)

(x)

s’ s’

x’

x

s s

r’ r’

r r

A' A'

A A

1’

1PH

PV

(s)

(r)

(x)

5.6 PERTINÊNCIA DA RETA AO PLANO EM ÉPURA

De maneira prática uma reta pertence a um plano quando possui dois pontos distintos sobre ele. Apresentaremos cinco condições para uma reta pertencer a um plano para analise em épura.

As condições a e b não requerem a utilização dos traços do plano.

a - Toda reta concorrente com duas retas de um plano, em pontos distintos, pertence ao plano

b - Toda reta concorrente com uma reta de um plano e paralela a outra do mesmo plano está contida no plano.

46


PV

PH

Qo

Q(H)

)(V

(s)

Q’

H'

A'

s'

s

A

B'Q'

Q

Qo

B

V'

H

V

PV

PH

Qo

Q

( )A

(V) (H)

(s)

Q'

PV

PH

Qo

Q(H)

(s)

Q'

Q'

Q

Qo

s'

A’

B'

B

H'

As

H

As condições c e d utilizam-se dos traços do planoc - Toda reta que tem seus traços (V) e (H) distintos, sobre os traços de mesmo nome do plano, está contida no plano.

Quando uma reta (qualquer ou perfil) possuir os dois traços, e estes forem coincidentes (isto só acontece na LT), embora sejam nominalmente dois pontos se constituem geometricamente em um único ponto, o que não é suficiente para determinar a pertinência da reta sobre o plano. Neste caso, faz-se necessário a utilização de um ponto auxiliar sobre o plano.

d - Toda reta que se apóia em um dos traços do plano e é paralela ao outro, está contida no plano.

47


PLANO PARALELO À LT

PROJETANTE NO PP

K"

K’

K

A'

H’ H”

V”

s'

s

AH

B'

V’

B

V

s”

A”

B"

K"K'

KH'

(s) s' s"

s

H"

V"

V

H( )H

V'( )V

PPPV

PH

(K)

B

a'

a

A'

A

B'

T'

T

To

B

r

A

r' A' B'

T'

T

To

PLANO DE TOPO

PH

PV PP

(a)

a

T

To

a'T'

e - CASOS IMEDIATOS (PLANOS PROJETANTES) - Toda reta (neste caso válido para qualquer ente geométrico possível de pertencer a um plano) que possui sua projeção sobre o traço projetante de mesmo nome, pertence ao plano. (Ver páginas 34)

O único plano não projetante é o plano qualquer, portanto ele está fora desta análise.

Os demais planos poderão ser analisados no diedro, exceto os planos paralelos à LT e os planos que passam pela LT, que deverão ser analisados no triedro (uso da terceira projeção).

É importante salientar que nesta condição de análise, não se necessita dos traços da reta, mas quando determinados obedecerão às condições respectivas expostas anteriormente.

A seguir apresentaremos através da perspectiva e da épura as retas pertencentes a cada plano, observe que os traços das retas pertencem aos traços de mesmo nome do plano.

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto. (Maquetes - Sequência E)

PROJETANTE NO PV

48


PPPV

PH

L'

(L)L"

(s)

s"

s

"V

V

s' V'

(V)

L'L"

(s)

s's"

s

PPPV

PH

(L)

PLANO HORIZONTALreta de topo

PLANO HORIZONTALreta fronto-horizontal

PLANO HORIZONTAL / reta de topo

L'

B

A

s

V

L"s"A" B"s' A' B' V' V" VG

VG

5.6.1 RETAS DO PLANO HORIZONTAL OU DE NÍVEL

A's'

s A

B'L' L"

B VG

VG

PLANO HORIZONTAL / reta fronto-horizontal

s" A" B"

49


L"L'(s)

s' s"

s

V

V'(V)PPPV

PH

(L)

PLANO HORIZONTALreta horizontal

(s)

s

s' s"

PPPV

PHF

F"

(F)

PLANO FRONTALreta fronto-horizontal

A's'

s A

B'

F"

F

BVG

VG

PLANO FRONTAL / reta fronto-horizontal

s” A" B"

5.6.2 RETAS DO PLANO FRONTAL OU DE FRENTE

A's'

s

s" A"

A

B'L' L"B"

B

VG

V' V"

V

PLANO HORIZONTAL / reta horizontal

RETAS DO PLANO HORIZONTAL OU DE NÍVEL (Continuação)

50


PPPV

PH

(s)

F

F"

(F)

s'

s

s"

H(H)

s'

s"

PPPV

PH

F

F"

s

H(H)

H'

(F)(s)

PLANO FRONTALreta vertical

PLANOFRONTALreta frontal

PLANO FRONTAL / reta vertical

F

F''

B' B"

A' A"

s' s"

H"

s A B H

VG VG

H'

PLANO FRONTAL / reta frontal

A'

s'

sA

B'

F"

R

B

VG

H'

H

s"

A"

B"

H"

RETAS DO PLANO FRONTAL ou DE FRENTE (Continuação)

51


(s)

s

s' s" PPPV

PH

V"

Po

P'

P

V

V'(V)

(P)

PLANO DE PERFILreta vertical

PLANO DE PERFILreta de topo

P'

P

Po

VG VG

s A B H

H'

A' A”

s"

B' B”

H"

PLANO DE PERFIL / reta vertical

s’

5.6.3 RETAS DO PLANO DE PERFIL

PLANO DE PERFIL / reta de topo

B

A

s

V

s"A" B"s' A' B' V' V" VG

VG

P'

Po

P

H(H)

(s)

s

PPPV

PH

H"

P'

P

(P)

s"s'

Po

H'

52


(s)

s

s' s"

PPPV

PH

H" V"

Po

P'

P

H'H(H) VV'(V)

(P)

P"

(s)

s' s"

s

Po

P'

P

H"

V"

H(H)

H'V

V'(V)

PPPV

PH

(P)

PLANO DE PERFILreta de perfil perpendicular

a linha de terra

PLANO DE PERFILreta de perfil ortogonal

a linha de terra

P'

P

Po

A'

s'

s

A

PLANO DE PERFIL / reta de perfil perp. a LT

s"

A"

V" H"V V' H H'

VG

A'

H"

V"

s'

s

A

H

B'

V'

B

PLANO DE PERFIL / reta de perfil ort. a LT

A"

V H'

s"

B"

VG

Po

P'

P

RETAS DO PLANO DE PERFIL (Continuação)

53


Z

Z'

Z"

Zo

(Z)(s) s' s"

H"H'

s H(H)

PPPV

PH

Z

Z' V"

Z"

(Z)

(s)

s' s"

s

ZoV

V'(V)

PPPV

PH

PLANO VERTICALreta vertical

PLANO VERTICALreta horizontal

A' s'

s

s"A"

A

B'

Z'

Z

Zo

Z"

B"

B

V' V"

V

PLANO VERTICAL / reta horizontal

VG

VG VG

s A B H

H'

A' A"

s"

B' B"

Z'

Z

Zo

Z"

H"

PLANO VERTICAL / reta vertical

s'

5.6.4 RETAS DO PLANO VERTICAL

54


H'

(s)

s'

s"

sZo

Z'

Z"

(Z)

Z

H"

V"

V

H(H)

V'(V)PPPV

PH

Z

Z'

Z"

(Z)(s)

s'

s"

s

Zo

H"

V''

PPPV

PH

H'H(H) VV'(V)

PLANO VERTICALreta qualquer reversa

a linha de terra

PLANO VERTICALreta qualquer concorrente

a linha de terra

A'

s

s’ s"A"

A

B'

Z'

Z

Zo

Z"

B"

B

PLANO VERTICAL / reta qualquer conc. a LT

V V’ H H’

V” H”

H'

A'

s

s"

A"

A

B'

Z'

Z

Zo

Z"

B"

B

H"

V' V"

H

V

PLANO VERTICAL / reta qualquer reversa a LT

s'

RETAS DO PLANO VERTICAL (Continuação)

55


T ''

T

To

T'

(s)

s'

s"

s

H"H'

H(H)

PPPV

PH

(T)

T

To

T'

T ''

(s)

s'

s"

s

V"

V

(T)

PLANO DE TOPOreta de topo

PLANO DE TOPOreta frontal

VG

VG

T

To

T"

s"A" B"

B

PLANO DE TOPO / reta de topo

A

s

T'

V"

V

s'A' B' V'

5.6.5 RETAS DO PLANO DE TOPO

VG

T

To

T"

s"

A"

B"

B

H"

PLANO DE TOPO / reta frontal

A sH

T'

s'

A'

B'

H'

56


T

To

T 'T ''H"

V"

(s) s'

s"

s

PPPV

PHH'H(H)VV'(V)

(T)

PLANO DE TOPOreta qualquer reversa

a linha de terra

PLANO DE TOPOreta qualquer concorrente

a linha de terra

H'

A'

s'

s

s"

A"

A

B'

T'

T

To

T"

B"

B

H"

V' V"

H

V

PLANO DE TOPO / reta qualquer reversa a LT

A'

s'

s

s"

A"

A

B'

T'

T

To

T"

B"

B

PLANO DE TOPO / reta qualquer conc. A LT

V V’ H H’ V” H”

T ''

T

To

'TV"

V (s)

s' s"

s H"H'

H(H)

V'

PPPV

PH

(T)

(V)

RETAS DO PLANO DE TOPO (Continuação)

57


K"

K'

(K)

K

(s)

s' s"

s

PPPV

PH

K"K'

KH'

(s) s' s"

s

H"

V"

V

H(H)

V'(V)

PPPV

PH

(K)

PLANO PARALELO À LTreta fronto-horizontal

PLANO PARALELO À LTreta qualquer reversa

a linha de terra

5.6.6 RETAS DO PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA

PV

PH

PP

A'H’ H”

V”

s'

s

AH

B'

V’

K"

K'

K

B

V

PLANO PARALELO A LT / reta qualquer reversa a LT

s”

A”

B"

PV

PH

PP

A' s'

sA

B'

K"

K’

K

B

VG

VG

PLANO PARALELO A LT / reta fronto-horizontal

s” A" B"

58


K'

K"

K

(s)

s' s"

s

H"

V"

H(H)

H'V'

V'

(V)

PPPV

PH

(K)

PLANO PARALELO À LTreta de perfil ortogonal

a linha de terra

X"

XX' (s)

s's"

s

(X)

PPPV

PH

PLANO QUE PASSA PELA L.T.reta fronto-horizontal

A' s'

sA

B'

X"

B

VG

VG

PLANO QUE PASSA PELA LT / reta fronto-horizontalponto auxiliar (M)

M’ M"

M

s" A" B"

X X'

5.6.7 RETAS DO PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA

PV

PH

PP

A'

H''

V''

s'

s

A

H

B'

V'

K"

K'

K

B

PLANO PARALELO A LT / reta de perfil ort. a LT

s''

A''

B"

V H'

VG

RETAS DO PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA (Continuação)

Faz-se necessário o uso de

uma reta e um ponto auxiliar

(M)

M'

M

M"

59


X"

XX'

(X)

(s)

s's"

s

H" V"

PPPV

PH

H'H(H)

VV'(V)

X"

XX'

H"V"

(s)

s's"

s

PPPV

PH

H'H(H)

VV'(V)

(X)

PLANO QUE PASSA PELA LTreta de perfil

perpendicular a linha de terra

PLANO QUE PASSA PELA LTreta qualquer concorrente

a linha de terra

s'

X"

M'

M

X X'

A'

s

s"

A"

A

PLANO PARALELO A LT / reta qualquer conc. A LT

V V' H H'

V" H"

M"

A'

s'

s

A

X"

PLANO QUE PASSA PELA LT / reta de perfil perp. a ltponto auxiliar (M)

s"

A"

M’ M"

M

V" H"

V V’ H H’VG

X X'



RETAS DO PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA (Continuação)



60


Q'

Q

H'

(s)

s'

s"

sQoH"

H(H)

PPPV

PH

(Q)

PLANO QUALQUERreta frontal

PLANO QUALQUERreta horizontal

A's'

s

s" A"

A

B'

Q'

Q

Qo

Q"

B"

BVG

V' V"

V

PLANO QUALQUER / reta horizontal

Q'

Q

Qo

Q"

s' s"

A"A’

B'

VG

B"

B

H"H'

PLANO QUALQUER / reta frontal

As

H

5.6.8 RETAS DO PLANO QUALQUER

Q'

Q

PPPV

PH

(s)

s' s"

sQo

Q"V"

V

V'

(Q)

(V)

No plano Qualquer todas as retas horizontais são paralelas ao traço horizontal do plano.

No plano Qualquer todas as retas frontais são paralelas ao traço vertical do plano.

61


Qo

Q'

Q"

Q

(Q)

(s)

s' s"

s H"

V"

H(H)

H'

V

V'(V)

PPPV

PH

Qo

Q'Q"

Q

(Q)

(s)

s' s"

sH"

V"

H(H)

H'V

V'(V)

PPPV

PH

PLANO QUALQUERreta de perfil ortogonal

a linha de terra

PLANO QUALQUERreta qualquer reversa

a linha de terra

A'

s'

s

s"

A"

VG

A

B'

Q'

Q

Qo

Q"

B"

B

H

V' V"

H"V H'

PLANO QUALQUER / reta de perfil ort. à LT

H'

A'

s'

s

s"

A"

A

B'Q'

Q

Qo

Q"B"

B

H"

V' V"

H

V

PLANO QUALQUER / reta qualquer reversa a LT

RETAS DO PLANO QUALQUER (Continuação)

No plano Qualquer todas as retas de perfil são paralelas ao traço de perfil do plano.

62


H'H(H)VV'(V)

PPPV

PH

s'

s"

Qo

Q'

Q"

Q

H" V"

s (Q)

(s)

PLANO QUALQUERreta qualquer concorrente

a linha de terra

Quando uma reta qualquer possuir os dois traços coincidentes (isto só acontece na LT),

embora nominalmente sejam dois pontos, geometricamente se constituem em um único ponto, o que

não é suficiente para determinar a pertinência da reta sobre o plano. Assim, faz-se necessária a

utilização de um ponto auxiliar sobre o plano (P) que por sua vez necessita de uma reta auxiliar

(preferencialmente as retas horizontal e frontal do plano).

Faz-se necessário o uso de uma reta e um ponto auxiliar

P'

s'

a' a"

a

s

s"

P"

P

Q'

Q

Q"

Va

V'a V"a

PLANO QUALQUER / reta qualquer conc. a LT(reta horizontal auxiliar)

Qo V" H"

V V' H H'

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequência E)

RETAS DO PLANO QUALQUER (Continuação)

63


5.7 QUADRO SÍNTESE DE PERTINÊNCIA DE RETA A PLANOS

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequências A e E)

64


5.7 RETAS DE MÁXIMO DECLIVE (MD) E MÁXIMA INCLINAÇÃO (MI)

São as retas de um plano que formam o maior ângulo possível com os planos Horizontal e/ou Vertical de projeção respectivamente, ou seja, formam o mesmo ângulo que o plano, ao qual pertencem, forma com o PV e ou com o PH. Sendo a reta (i) o traço (interseção) entre os planos genéricos (A) e (B), que formam entre si um ângulo , podemos fazer as seguintes considerações. (Tomemos = 45º, por exemplo)

(s)

(i)

(A)

(B)

(t)

(u)

(t)

(u)

(s)

O plano (A) pode conter infinitas retas sobre si. Estas retas poderão formar com o plano (B) diferentes ângulos que podem variar de 0º a 45º (neste caso o valor de =45º).

A reta (s), perpendicular ao traço entre os planos, forma com o plano (B) um ângulo de 45º.

A reta (t), oblíqua ao traço entre os planos, forma com o plano (B) um ângulo superior a 0º e inferior a 45º. A reta (u), paralela ao traço entre os planos, forma um ângulo igual a 0º com o plano (B), estando, portanto equidistante em relação ao referido plano.

Observando a reta (s), podemos concluir que toda reta pertencente ao plano (A) que formar um ângulo reto como o traço (i), formará o maior ângulo possível com o plano (B), que é o valor de alfa.

Se esta análise for estendida aos planos que possuem traços sobre o Plano Horizontal de projeção (PH), podemos afirmar que: toda reta do plano, que formar um ângulo reto com o traço horizontal também formará o maior ângulo possível com o PH. Estas retas são denominadas de Retas de Máximo Declive.

(s)

PH

TRAÇO HORIZONTAL

RETA DE MÁXIMO DECLIVE RETA DE MÁXIMA INCLINAÇÃO

(s)

PV

TRAÇO

VERTI

CAL

Em relação aos planos que possuem traços sobre o Plano Vertical de projeção (PV), podemos afirmar que: toda reta do plano, que formar um ângulo reto com o traço vertical também formará o maior ângulo possível com o PV. Estas retas são denominadas de Retas de Máxima Inclinação

65


Todo este raciocínio exemplificado através de planos não projetantes é extensivo aos planos projetantes em relação ao PH e PV (Os planos projetantes são aqueles perpendiculares aos planos de projeção). O fato de o plano ser ou não ser projetante interfere apenas na representação em épura. Observe que nos planos NÃO PROJETANTES, a reta perpendicular ao traço do plano gera sobre o PH ou PV, uma projeção também perpendicular ao traço. Já nos planos PROJETANTES, a reta perpendicular ao traço, também é perpendicular ao PH ou PV, gerando assim, uma projeção pontual sobre o traço correspondente.

Vejamos estas retas de MD e MI no plano Qualquer.

Em épura a reta de máximo declive de planos não projetantes no PH, é caracterizada por possuir sua projeção horizontal também perpendicular ao traço horizontal.

Na página seguinte, apresentamos um quadro síntese com todos os Planos e suas respectivas retas de máximo declive e/ou máxima inclinação.

H'

A'

s

A

Q'

Q

Qo

B

V

H(H)

V’(V)

s'

B'

90º

H'

A'

s

A

Q'

Q

B

V

H(H)

V’(V)

s'

B'

Qo

90º

(s) (s)

(A)

(A)

(s)(s)

(A)

(A)

PH

PV

TRAÇO HORIZONTAL

TRAÇO HORIZONTAL

TRAÇ

O V

ERTI

CAL

TRAÇ

O V

ERTI

CAL

PV

PH

66


PHPV

PV

(q)

PHPV

PV

(q)

PH

PV

(t)

PH

PV

(v)

PH

PV

(v)

PH

PV

(t)

PH

PV

(f)

PH

PV

(h)

PH

PV

(t)

PH

PV

(v)

PV

(p)

PH

PV

p)(

Q

s'

s

Q'

Q

Qo

s

s'

Q'

Q

Qo

s

s'

Q

Qo

s

Q'

s'

Q

Qo

Q'

s'

s

s

Q'

Q

Qo

s'

Q

s'

V’

V H’

H

s

Q'

s'

s

Q'

Q

Qo

s

Q'

Q

Qos'

90º

s

Q'

Q

s'

Qo

90º

Q'

s

s'

MÁX. INCLINAÇÃOMÁXIMO DECLIVE MÁX. INCLINAÇÃOMÁXIMO DECLIVE

5.7.1 QUADRO SÍNTESE DAS RETAS DE MÁXIMO DECLIVE E MÁXIMA INCLINAÇÃO

PL

AN

O H

OR

IZO

NTA

LP

LA

NO

FR

ON

TA

LP

LA

NO

DE

PE

RF

ILP

LA

NO

DE

TO

PO

PL

AN

O V

ER

TIC

AL

PL

AN

O Q

UA

LQ

UE

RP

LA

NO

P

AR

AL

EL

O A

LT

PL

AN

O Q

UE

PA

SS

A P

/ L

T

- Não existe reta de MD;

- Todas as retas de topodo plano são retas de MI;

- Sobre este plano, todas asretas de MD são perpendicularesas retas fronto-horizontais.

- Sobre este plano, todas asretas de MI são perpendicularesas retas fronto-horizontais.

- Sobre este plano, todas asretas de MD são perpendicularesas retas de de topo.

- Sobre este plano, as retas deMD são perpendiculares a todasas retas de topo. As retas de MIsão perpendiculares a todasas retas frontais.

- Sobre este plano, as retas deMD são perpendiculares a todasas retas horizontais. As retas deMI são perpendiculares a todasas retas verticais

- Sobre este plano, as retas deMD são perpendiculares a todasas retas horizontais. As retas deMI são perpendiculares a todasas retas frontais.

- Não existe reta de MI;

- Todas as retas verticaisdo plano são retas de MD;

- Todas as retas verticaisdo plano são retas de MD;

- Todas as retas frontais doplano são retas de MD;

- Todas as retas verticais doplano são retas de MD;

- Todas as retas verticais doplano são retas de MD;

- Sobre este plano todas as retasde MD são simultaneamenteretas de MI.

- Todas as retas de perfil doplano são retas de MD e MIsimultaneamente.

- Todas as retas de topodo plano são retas de MI;

- Todas as retas de topo doplano são retas de MI;

- Todas as retas horizontais doplano são retas de MI;

- Todas as retas de topo doplano são retas de MI;

PL

AN

O H

OR

IZO

NTA

LP

LA

NO

FR

ON

TA

LP

LA

NO

DE

PE

RF

ILP

LA

NO

DE

TO

PO

PL

AN

O V

ER

TIC

AL

PL

AN

O Q

UA

LQ

UE

RP

LA

NO

P

AR

AL

EL

O A

LT

PL

AN

O Q

UE

PA

SS

A P

/ L

T

OBSERVAÇÕES(PERSPECTIVA) (PERSPECTIVA) (ÉPURA) (ÉPURA)

A'

s'

s

A

Q"

s'' A''

M'M''

M

Q' Q

67


Se soltarmos uma moeda sobre um plano, o percurso da mesma será correspondente ao de uma reta de MD. A reta de MD também determina o ângulo que o Plano (X) forma com o PH.

O ângulo que a reta (r) forma com o plano PH é menor do que o ângulo que (X) forma com o PH.

PH

(X)

(s)

PH

(X)

(r)

s

Q'

Q

Qo

s'

90º

s

s'

90º

A'

B'

C'

A B

C

O ângulo que a reta (s) forma com o plano PH é igual ao ângulo que (X) forma com o PH.

O ângulo que uma reta de MD forma com o PH é o mesmo formado pelo plano (X) com o PH. Se esta reta for uma qualquer será necessário o uso de um método descritivo para o obtenção de sua VG. As retas de MD e MI podem ser determinadas sem a necessidade de recorrer aos traços do Plano. Veja os desenhos abaixo. Uma reta de MD de um plano qualquer definido por seus traços e outro definido por uma figura triangular. Veja as observações no quadro da página anterior.

O triângulo (ABC) é uma porção de plano Qualquer. O lado (AC) é uma reta horizontal, portanto, é paralela ao traço do horizontal do Plano. Se apoiarmos uma reta sobre o triângulo de forma que a projeção horizontal s seja perpendicular a projeção horizontal AC, podemos afirmar que (1B) é uma reta de MD da figura.

1'

1

1'

1 2

2'

s'

s

s'

s

A B

A

C

C'A'

B' B'

A' C'

B

C A figura acima é um telhado de quatro águas. O segmento (12) é a reta de MD. Por ser uma reta frontal a projeção vertical expressa a VG do ângulo com o PH.

1 2

1'

2'

em VG

não é a VG do ângulo

A figura acima é o mesmo telhado de quatro águas em uma posição que o triângulo (ABC) é um plano Qualquer. O segmento (12) é a reta de MD. Por ser uma reta qualquer a projeção vertical não expressa a VG do ângulo com o PH.

68


6. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Só

lido

sG

eo

mé

tric

os

Po

lied

ros

Regulares

Tetraedro (4 Faces)Hexaedro (6 Faces)Octaedro (8 Faces)

Dudecaedro (12 Faces)

Icosaedro (20 Faces)

Prisma

Regular

Regular

Reto

Reto

Reto

Reta

Oblíquo

Oblíquo

Oblíquo

OblíquaPirâmide

Irregulares

Cone

Cilindro

Esfera

Só

lido

s d

eR

evo

luçã

o

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequência A)

69


Um feixe de três semi-retas não coplanares partem de um ponto (P) no espaço. Cada dupla sucessiva de semi-retas determina o que denominamos "Ângulo Sólido", onde temos = ângulo da face e = ângulo diedro.

( )P

( )r

( )s

( )t

11

1 = Ângulo entre (Pr) e (Ps)

2

3

= Ângulo entre (Ps) e (Pt)

= Ângulo entre (Pt) e (Pr)

1 = Ângulo Diedro entre as faces que contém (Pr)

2

3

= Ângulo Diedro entre as faces que contém (Ps)

= Ângulo Diedro entre as faces que contém (Pt)

Os ângulos sólidos são formas abertas ilimitadas. Se o feixe for composto por quatro direções o ângulo sólido é denominado ângulo quadraedro. Se forem cinco, ângulo pentaedro e assim sucessivamente.

No exemplo abaixo o ângulo sólido é denominado ângulo triedro, pois é formado por três direções.

(P)

( )y

( )w

( )z

( )x

( )v

A interseção do ângulo sólido com um plano determinará polígonos côncavos ou convexos classificando assim os ângulos sólidos.

Ângulos das faces iguais entre si determinam ângulos diedros iguais e consequentemente o ângulo sólido é regular e é convexo. O ângulo sólido possui uma direção denominada eixo que forma ângulos iguais com cada semi-reta do feixe. Quando o eixo é interceptado por um plano perpendicular a ele, determinará um polígono regular.

6.1 ÂNGULOS SÓLIDOS

70


QUADRADO

A

0,70

71 A

A / 2

ALTURA

DA F

ACE

ALT

UR

AD

A FA

CE

ALTU

RA

DA FA

CE

A / 2

0,86

60 A

0,5

773 A

0,8

660 A

A

0,8

167 A

ALT

UR

AD

A F

AC

E

Ângulo CentralÂngulo DiedroRaio CircunsferaRaio InsferaRaio MeiasferaVolumeÁrea do Envoltório

109º 28'70º 32'0,6124 A0,2041 A0,3536 A

30,1179 A

21,7321 A

6.2.1 TETRAEDRO

6.2 POLIEDROS REGULARES

Poliedro é todo sólido limitado por polígonos planos. Pitágoras e Platão desenvolveram cálculos sobre os poliedros regulares, e em seguida, Euclides prova que os poliedros regulares são apenas cinco, e estuda a inscrição deles em uma esfera.

Poliedro composto de quatro faces iguais ao TRIÂNGULO EQUILÁTERO

PLANIFICAÇÃO

h hh

(A)

(B)

(C)

(V)

(A)

(B)

(C)

(V)

h

h

DODECAEDRO (12) ICOSAEDRO (20)OCTAEDRO (8)HEXAEDRO (6)TETRAEDRO (4)

71


Poliedro composto de seis faces iguais ao QUADRADO.

PLANIFICAÇÃO


70º 32'90º 00'0,8660 A0,5 A0,7071 A

3 A

26A

6.2.2 HEXAEDRO

PLANIFICAÇÃO

Poliedro composto de oito faces iguais ao TRIÂNGULO EQUILÁTERO. Pode ser compreendido como sendo duas pirâmides de base quadrada unidas pela base.

6.2.3 OCTAEDRO

1,4142 A

A

A

QUADRADO

CIRCUNSFERA

MEIASFERA

INSFERA

HEXÁGONOREGULAR

A = Aresta

INSFERA

MEIASFERA CIRCUNSFERA


90º109º 28'0,7071 A0,4082 A0,5 A

3 0,4714 A

23,4641 A

A

A D

iagonal d

oQ

uadra

do

Diago

nal d

o

Qua

drad

o

CIRCUNSFERA

MEIASFERA

INSFERA

A = Aresta

Cubo apoiado peladiagonal do sólido

72


DIAGONAL FACE2,6185 A

A = Aresta0,5

257A

0,8

507A

0,8

507A

1,6180 A

A

0,8

507A

0,6

882A

Apóte

ma

Raio

Circu

ns.

0,5

878A

0,9

511

A

A

1,3766 A

DECÁGONOREGULAR

1,3766 A


41º 49'116º 34'1,4013 A1,1135 A1,3092 A

37,6631 A

220,6457 A

PLANIFICAÇÃO

6.2.4 DODECAEDRO

73


0,3091 A

A

0,6882 A

0,8507 A

0,3091 A

A / 2A / 2

1,6182 A

DECÁGONOREGULAR

0,5

257A

0,8

509A

0,5

257A


63º 26'138º 11'0,9511 A0,7558 A0,8090 A

32,1817 A

28,6603 A

6.2.5 ICOSAEDRO

Retângulo Áureo

Triedro deRetângulos Áureos

A = Aresta

As ligações dos vérticesgeram o Icosaedro

Curiosidade

PLANIFICAÇÃO

74


PRISMA RETO PRISMA OBLÍQUO PRISMA REGULAR

ALÉM DE RETO POSSUI BASEPOLIGONAL REGULAR

ARESTAS LATERAISPERPENDICULARES À BASE

ARESTAS LATERAISOBLÍQUAS À BASE

ORTOEDRO - É o paralelepípedo que possui suas faces iguais a quadrados e retângulos. Os ângulos diedros são sempre retos.

ROMBOEDRO - É o paralelepípedo que possui as suas faces iguais ao losango.

TRONCO DE PRISMA - Quando um prisma é seccionado por um plano não paralelo a base

PIRÂMIDE - Poliedro irregular tendo por base um polígono e arestas laterais convergentes à um vértice que é o ápce do sólido, formando faces triangulares..

PIRÂMIDE RETA PIRÂMIDE OBLÍQUA PIRÂMIDE REGULAR

ALÉM DE RETA POSSUIBASE POLIGONAL REGULAR

O EIXO É PERPENDICULAR À BASE

O EIXO ÉOBLÍQUO À BASE

TRONCO DE PIRÂMIDE - Quando uma pirâmide é secionadas de tal forma a perder o vértice (ápice) podendo possuir bases paralelas ou não conforme o plano secante

Eixo - linha que une o centro da base ao ápce da pirâmide

h

eixoeixo=h

PARALELEPÍPEDO - É o prisma que tem paralelogramos como base. Assim sendo, todas as suas faces são paralelogramos, possuindo portanto, 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. Por possuir faces paralelas duas a duas, qualquer face pode ser tomada como base.

PRISMA - Poliedro irregular formado por duas bases poligonais, paralelas e iguais e por faces laterais que são paralelogramos.

6.3 POLIEDROS IRREGULARES

75


6.4 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

São sólidos gerados através da rotação de uma figura plana qualquer em torno de um eixo imaginário.

Cilindro - Sólido de revolução gerado através da rotação de um retângulo em torno de um eixo coincidente com um de seus lados.

CILINDRO RETO

GERATRIZESPERPENDICULARES

À BASE

CILINDRO OBLÍQUO

GERATRIZESOBLÍQUAS

À BASE

PLANIFICAÇÃO

O cilindro é formado por duas bases circulares paralelas e uma superfície cilíndrica. Sua planificação é portanto dois círculos (bases) e um retângulo onde um dos lados é a altura do sólido (geratriz) e o outro lado é a retificação da base (circunferência retificada = 3 diâmetro + 1/7 do diâmetro)

D

D

Sólidos de revolução Regulares

3D+1/7D ou 2r

h

D D 1/7D

D = DIÂMETRO

geratriz

diretriz

geratriz

diretriz

76


Cone - Sólido de revolução gerado através da rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo coincidente com um de seus catetos.

geratriz

diretriz

Planificação

O cone é formado por uma base circular e uma superfície cônica. Sua planificação é portanto um círculo (base) e um triângulo mistilíneo onde dois dos lados são a lateral do sólido (geratriz) e o outro lado é um arco de circunferência que possui como comprimento o perímetro da base e como raio a geratriz.

CONE RETO

O EIXO É PERPENDICULAR

À BASE

Esfera - Sólido de revolução gerado através da rotação de uma semi-circunferência em torno de um eixo coincidente com o diâmetro.

geratriz

diretriz

CONE OBLÍQUO

O EIXO ÉOBLÍQUO À BASE

ARAIO DA BASE

rRAIO = GERATRIZ

g

B

= .

=.

=.

77


(V) ( ? ; ? ; 6)

(A) (-7 ; 4 ; 1)

(B) (-5 ; ? ; 1)

(C) (-1 ; ? ; 1)

(D) (-3 ; 1 ; 1)

Represente no DIEDRO as projeções da PIRÂMIDE RETA DE BASE RETANGULAR conhecendo-se as coordenadas de seus vértices.

6.4 EXERCÍCIOS

Utilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequência A)

0

Anotações:

78


Nomeie os pontos projetados em Épura de acordo com a perspectiva.

(A)

(B)

(V)

(C)(D)

(E)

(F)

(A)(B)

(V)

(C)

(D)

(E)

(F)


PERSPECTIVA ARAMADA

PERSPECTIVA ARAMADAUtilize as maquetes relacionadas a este assunto.(Maquetes - Sequência A)

79


(A)

(B)

(V)

(C)(D)(E)

(F)


PERSPECTIVA ARAMADA

30º

30º

Folha A4

Utilize folhas A4 para representar no triedro os vários sólidos cujas maquetes foram montadas.

80


45º

45º

30º

30º


81


30º

30º

45º

45º15º

60º

60º


82


Os poliedros duais são também chamados recíprocos.

Chama-se dual de um poliedro ao poliedro que se obtém unindo por os centros das faces consecutivas do primeiro através de retas, ou seja, ao poliedro formado por dois poliedros, um dentro do outro, de modo que os vértices do sólido interior coincidam com o centro das faces do sólido exterior.

Dual do octaedro:Em cada vértice do octaedro concorrem quatro faces. Unindo os centros dessas faces obtemos um quadrado. Procedendo da mesma forma para as faces que convergem em cada um dos vértices, obtemos seis quadrados que são as faces do cubo dual do octaedro, ou seja, o cubo é o poliedro dual do octaedro

Dual do cubo: Consideremos um cubo. Em cada um dos seus vértices concorrem três faces cujos centros são equidistantes entre si. Unindo esses três centros obtemos então um triângulo equilátero. Como o cubo tem oito vértices, é possível formar, da mesma maneira, oito triângulos equiláteros que constituem um octaedro regular. Por este motivo, diz-se que o octaedro é o poliedro dual do cubo.

6.6 DUAIS

Dual do tetraedro: O tetraedro é o poliedro dual do tetraedro.

Dual do icosaedro: E o icosaedro é o poliedro dual do dodecaedro.

Dual do dodecaedro: Em cada vértice do icosaedro concorrem cinco triângulos. Unindo os centros desses triângulos, obtém-se um pentágono regular e, repetindo o processo para cada um dos doze vértices do icosaedro, obtêm-se doze pentágonos que são as faces de um dodecaedro regular, ou seja, o dodecaedro é o poliedro dual do icosaedro.

83


Seção Plana é a interseção de um plano com um sólido. Para se obter a seção plana de um poliedro teremos que identificar em épura onde o plano intercepta as arestas (ou geratrizes). O ambiente triédrico facilita este raciocínio em virtude de sete dos oito planos serem projetantes. Assim, esta identificação fica facilitada. O único plano não projetante é o Plano Qualquer que é obliquo aos três planos de projeção. Ele exige um conhecimento mais específico para a realização desta tarefa, ou podemos nos valer dos métodos descritivos para posicioná-lo de forma que ele se torne projetante. Aí não teremos dificuldade. Exemplificaremos após o assunto Métodos Descritivos. Os planos duplamente projetantes no triedro (planos do primeiro grupo: Horizontal, Frontal e Perfil) geram seções planas em Verdadeira Grandeza, pois estão paralelos a um dos planos de projeção. Isto não acontece nos demais planos. Para se obter a Verdadeira Grandeza da seção plana de um sólido pode ser necessário o uso de um dos métodos descritivos ou das combinações destes. Este assunto será visto posteriormente ainda neste material didático.

7. SEÇÃO PLANA

Vale lembrar que a Geometria Descritiva aqui apresentada tem o objetivo de fazer a transição do Desenho Técnico para o Desenho Arquitetônico. O desenho mecânico certamente exigiria um aprofundamento maior. Por isso, vamos utilizar o conceito de plano projetante.

O processo consiste em determinar os pontos das arestas que pertencem ao traço onde o plano é perpendicular ao plano de projeção.

Denominaremos o traço de um plano perpendicular a outro, de traço projetante, sendo portanto, o resultado do perpendicularismo de um plano em relação a um plano de projeção.

Observe que as linhas projetantes, ao incidirem perpendicularmente sobre o plano de projeção, tem suas trajetórias sobre o plano (), o que implica na localização das projeções dos elementos pertencentes a este plano, sobre o próprio traço projetante. Quando um plano é projetante, seu traço representa, não somente a si próprio, mas também a toda infinita superfície plana.

O TRAÇO PROJETANTE RECEBE SOBRE SI TODAS AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME, DOS ELEMENTOS PERTENCENTES AO PLANO.

A B

CD

V

A' B'C'D'

V'

VG

H'

1 2

34

1’ 4’ 2’ 3’

84


A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

VG

H’ H”

1 2

34

1’ 4’ 2’ 3’ 4” 3” 1” 2”

PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA

PLANO HORIZONTAL PLANO PROJETANTE NO PV E PP.

A seção é composta por retas: de topo e fronto-horizontal

85


A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

F

F”

VG

1 2 3 4

1’

2’ 3’

4’

2” 3”

1” 4”


PLANO FRONTAL PLANO PROJETANTE NO PH E PP.

A seção é composta por retas: frontal e fronto-horizontal

86


A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

P

P’

VG

2”3”

1”4”

2’ 3’

1

2

3

4

1’ 4’

Po


PLANO DE PERFIL PLANO PROJETANTE NO PH E PV.

A seção é composta por retas: de topo e de perfil.

87


A B

CD

V

A'

B'C' C" A" B"

D'

V'

D"

V"

T’

1 2

34

T

To

4’1’

2’3’ 2”3”

4” 1”

A seção é composta por retas: de topo e qualquer.


PLANO DE TOPO (PROJETANTE NO PV)

88


A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"V’

Vo

V

1’

2’

3’

1

2

3

2”

3”

1”

A seção é composta por retas: horizontal e qualquer.


PLANO VERTICAL (PROJETANTE NO PH)

89


A B

CD

V

A' B'C' C"D'

V'

D"

V"

A" B"

1’ 2’

3’4’ 3" 4"

1" 2"

1 2

34

W'

W

w"

A seção é composta por retas: fronto-horizontal e qualquer.


PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA (PROJETANTE NO PP)

90


A seção é composta por retas: fronto-horizontal e qualquer.


PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA (PROJETANTE NO PP)

3" 4"

1" 2"

VG

(3)R

(2)R

(1)R

(4)R

R R

R R

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

3" 4"

1" 2"

4' 3'

2'1'

4 3

21

VG

W'W

w"

CENTRAR OCOMPASSO

91


A'

D'

B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

X'

X

1

3

4

2"

4'

1'

2'

3'

2

4"

3" 1"

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

A"D"B"C"

1"4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

X'

X

1 2

3 4

2' 3'

4'1' 4"

3"2"

1"

Hexaedro / Plano de Topo

Exemplo: Hexaedro / Plano Vertical

7.1 EXEMPLOS

92


A B

CD

1 2

4 3

B' C'

1' 4' 2' 3'

C" D"

A" B"

1"4" 2"3"

W'

W

A' D'

W"

1 2

34

1' 2'

3'4'

1" 2"

3" 4"

W

A

B

C

D

E

F

A' E'B' D' C"F" D"F' C' A" B"E"

V' V"

V

1'

2'

3'

4'

5'

1 2 3 4 5

3"

5"1"

2" 4"

W"

Exemplo:Hexaedro / Plano Paralelo a LT.

Exemplo: Pirâmide Regular de Base Hexagonal / Plano Frontal

93


A B

C

DE

F

V

A' E' B' D'

V'

C" F"E" D"F' C' A" B"

V"

X'

X

1

2

3

6

5

5"

1"

2"

4"

3"

4

7

1' 7'

2' 6'

5' 3'

4'

6"

7"

A B

C

DE

F

V

A' E' B' D'

V'

C" F"E" D"F' C' A" B"

V"

X'

X

1'

2'

3'

4'

1

2

3

4

1"

2"

4"

3"

Exemplo: Pirâmide Regular de Base Hexagonal / Plano Vertical

Exemplo:Pirâmide Regular de Base Hexagonal / Plano de Topo

94


W"

A'

A

A"

W

W'

Cone Reto / Plano Paralelo a LT

W

A'

A

A"

1'

2'

3'

4'

5'

1 2 3 4 5

5"1"

2" 4"

3"

W"

Exemplo: Cone Reto / Plano Frontal

Exemplo:

95


A B

CD

1 2

34

1' 4' 2' 3'

A' D' B' C' C" D" A" B"

3" 4" 1" 2"

W' W"1' 2' 3'4'

1 2

34

1" 2"4" 3"

A

B

C

D

1

2

4

3

C' D' A' B'

3' 4' 1' 2'

C" D" B" A"

3" 2" 1" 4"

W

1' 2'

3'4'

1 2 3

4

1" 2"

4" 3"

Exemplo: Prisma Oblíquo / Plano Frontal

Prisma Oblíquo / Plano HorizontalExemplo:

96


A

B

C

D

E

FV

A'

E'

B'

D'

C"

F"

E"

D"

F'

C'

A"

B"

X

PL

AN

O F

RO

NTA

L

12

34

2'

4'

3'

1'

1"

4"2"

3"

X"

V'

V"

AB

C

DE

F

V

A'

E'

B'

D'

V'

C"

F"

E"

D"

F'

C'

A"

B"

V"

X'

PL

AN

O H

OR

IZO

NTA

L

12

3

45

6

2'

4'

3'

1'

5'

6'

1"

2"

3"

6"

4"

5"

X"

Exemplos:

97


A

B

C

D

E

F

A'

E'

B'

D'

C"

F"

D"

F'

C'

A"

B"

E"

V'

V"

V

X'

X

PL

AN

O D

E T

OP

O

2'

4'

3'

1'

6'

123

4 5

6

5'

1"

2"

3"

6"

4"

5"

Exemplos:

A

B

C

D

V

V' A

'B

'C

'D

'A

"B

"C

"D

"

V"

X'

PL

AN

O H

OR

IZO

NTA

L

1

2

3

4

2'

4'

3'

1'

1"

2"

3"

4"

X'

98


A

B

C

A'

B'

C'

V'

V"

C"

A"

B"

V

X'

PL

AN

O H

OR

IZO

NTA

L

1

2

3

1'

3'

2'

1"

2"

3"

Exemplos:

AB

C

A'

B'

C'

V'

V

V"

C"

A"

B"

X

PL

AN

O F

RO

NTA

L

12

3

2'

3'

1'

1"

2"

3"

X"

99


ABC

D

V

A'

B'

C'

C"

A"

B"

D'

V'

D"

V"

X

PL

AN

O F

RO

NTA

L

X"

12

34

2'

4'

3'

1'

1"

2"

3"

4"

A

B

C

D

V

A'

B'

C'

C"

A"

B"

D'

D"

V"

V'

X'

PL

AN

O V

ER

TIC

AL

Xo

X

2'

4'

3'

1'

1"

2"

3"

4"

1

2

3

4

OB

SE

RV

E Q

UE

O Â

NG

UL

O D

E "

X"

CO

M A

L.T

. É

45º

IST

O F

AZ

CO

M Q

UE

AS

PR

OJE

ÇÕ

ES

HO

RIZ

ON

TA

L

E D

E P

ER

FIL

SE

JA

M E

XA

TE

ME

NT

E IG

UA

IS.

Exemplos:

100


PL

AN

O P

AR

AL

EL

O A

LIN

HA

DE

TE

RR

A

ABC

D

XY

C'

B'

D'

A'

X'

Y'

X" Y

"

D"

C"

A"

B" X"

XX'

12

3

45

6

1'

2'

4'

3'

5'

6'

1"

4"

5"

6"

3"

2"

1"

B

C

D

XY

A

C'

B'

D'

A'

X'

Y'

X" Y"

D"

C"

A"

B"

X"

PL

AN

O Q

UE

PA

SS

A P

EL

A L

INH

A D

E T

ER

RA

XX

'

1"

6"

3"

1'

2'

4'

3'

5'6'

2"

5"

4"

1

2

3

4

5

6

Exemplos:

101


A

B

C

D

XY

C'

B'

D'

A'

X' Y

'

X"

Y"

C"

D"

A"

B"

PL

AN

O F

RO

NTA

L

X

X"

2'

1'

3'

4'

5'

6'

12

34

56

1"

2"

3"

6"

5"

4"

A

B

C

D

XY

C'

B'

D'

A'

X' Y

'

X"

Y"

C"

D"

A"

B"

X'

XXo

PL

AN

O D

E P

ER

FIL

1"

2"

3"

4"

2'

4'

3'

1'

1 2 3

4

Exemplos:

102


O' 1

O' 2

O" 1

O" 2

O1

O2

X'

PL

AN

O H

OR

IZO

NTA

L

X"

123

41'

4'

2'

3'

4"

3"

1"

2"

O' 2

O' 1

O1

O2

O" 2

O" 1

X

X'

1

2

3

4

5

6

7

812

11

9

10

2'

4'

3'

1'

5'

6'

7' 8

'

12'

10'

11'

9'

1"

2"

3"

6"

4"

5"

7"

8"

9"

10"

11"

12"

PL

AN

O D

E T

OP

O

Exemplos:

103


PL

AN

O P

AR

AL

EL

O A

LIN

HA

DE

TE

RR

A

O" 1

O" 2

O' 2 O

2

O' 1

O1

X"

12

34

3"

4"

2'

4'

3'

1'

1"

2"

V'

V

V"

O"

X

X'

PL

AN

O V

ER

TIC

AL

1'

6'

2'

3'

4'5

'

7'

1"

2"

3"

6"

4"5

"

7"

2

34

5

6

17

Exemplos:

104


V'

VO

O'

V"

O"

X

X'

PL

AN

O D

E T

OP

O

1

2

34

5

67

8

9

10

11

12

1'

2'

12'

3'

11'

4'

10'5

'9'6

'8'

7'

1"

2"3"

6"

4"

5"

7"

8"

9"

10"

11"

12"

O'

V'

V"

O"

V

O

X

X'

PL

AN

O D

E T

OP

O

2'

4'

3'

1'

5'

6'

7'

1

23

4

5

67

a'

b'

c'

d'

e' e

dac

b

e"

d"

c"

b"

a"

5"

7"

1"

2"

3"

4"

6"

105


8. MÉTODOS DESCRITIVOS

Vários problemas da Geometria Descritiva são solucionados com maior facilidade ao usarmos

os métodos descritivos. Eles valem-se de uma alteração do sistema (planos ortoédricos) ao redor do

objeto ou da alteração da posição do objeto em relação aos planos de projeção. O objetivo principal é

a obtenção da projeção em Verdadeira Grandeza através do paralelismo entre o objeto e o plano de

projeção.

São três os métodos descritivos: Rebatimento, Rotação e Mudança de Plano.

Rotação - consiste em girarmos um objeto em torno de

um eixo (preferencialmente perpendicular a um dos

planos de projeção) buscando uma nova posição do

mesmo.

Mudança de Plano - consiste em mudarmos os Planos

Horizontal e/ou Vertical de projeção para obtermos novas

projeções. (É muito utilizado no desenho arquitetônico)

Rebatimento - consiste girar o plano que contém uma

figura (ou outro ente geométrico) para que ele coincida ou

fique paralelo com um dos planos de projeção. Este giro

se dá ao redor de uma reta do plano que recebe o nome de

charneira. (As retas projetantes são as mais utilizadas).

Os traços do plano podem ser utilizados como charneira.

Neste caso após o rebatimento o plano que contém a

figura coincidirá com o plano de projeção.

eix

oPV

PH

PH

PV

REBATIMENTO

SOBRE PV

REBATIMENTO

SOBRE PH

VG

VG

PV

MUDANÇA DE PV

PH

PV1

106


REBATIMENTO SOBRE PH REBATIMENTO SOBRE PV

PH

PV

VG

Charneira

Os planos, Horizontal, Frontal e Perfil não necessitam do Rebatimento quando o objetivo é a

Verdadeira Grandeza das figuras a eles pertencentes. Todo e qualquer objeto pertencente ao plano

estará projetado em VG nos respectivos planos de projeção com os quais eles são paralelos.

No desenho abaixo temos duas charneiras distintas para obtenção das VGs.

O Rebatimento promovea igualdade das cotas.

O Rebatimento promovea igualdade dos afastamentos.

PH

PV

VG

Charneira

8.1 REBATIMENTO

Rebatimento - consiste girar o plano que contém uma figura (ou outro ente geométrico) para

que ele coincida ou fique paralelo com um dos planos de projeção. Este giro se dá ao redor de uma

reta do plano que recebe o nome de charneira. Nos exemplos abaixo foram utilizados: o traço

horizontal para o Rebatimento sobre o PH, traço vertical para o Rebatimento sobre o PV e o traço de

perfil para o Rebatimento sobre o PP.

REBATIMENTO SOBRE PP

O Rebatimento promovea igualdade das abcissas.

PV

PH

VG

Charneira

A B

C

A' B'C'D'

V'

T'

T

To

4'1'4'1'2'3'R R R R

VG

(4)R

(3)R

(2)R

(1)R

CE

NT

RA

R O

CO

MP

AS

SO

VG DA FACE LATERAL

D

V

1 2

34 3

2

V'

V

VG DE V3

VG DE V2

2'3'

2'3'

CE

NTR

AR

O

CO

MPA

SS

O

Ch

arn

eir

a

107


A B

CD

V

A'

B'C'

C" A" B"D'

V'

D"

V"

T'

1 2

34

T

To

4'1'

2'3'

4'1'2'3'R R R R

VG

(4)R

(3)R

(2)R

(1)R

2''3''

4'' 1''

CE

NT

RA

R O

CO

MP

AS

SO

A SEÇÃO É COMPOSTA POR RETAS: DE TOPO E QUALQUER.


PLANO DE TOPO (PROJETANTE NO PV)

VG

REBATIMENTO DA SEÇÃOSOBRE O PH.

CONSERVAM-SE OSASFASTAMENTOS.

8.1.1 EXEMPLOS

108


A B

CD

V

A' B'C' C"A" B"

D'

V'

D"

V"V’

Vo

V

1’

2’

3’

1

2

3

2”

3”

1”

VG

(3)R

(2)R

(1)R

1R2R3R

CE

NT

RA

R O

CO

MP

AS

SO

A SEÇÃO É COMPOSTA POR RETAS: HORIZONTAL E QUALQUER.


PLANO VERTICAL (PROJETANTE NO PH)

VG

REBATIMENTO DA SEÇÃOSOBRE O PV.

CONSERVAM-SE AS COTAS

109


A B

CD

V

A' B'C' C"D'

V'

D"

V"

A" B"

1’ 2’

3’4’ 3" 4"

1" 2"

1 2

34

3" 4"

1" 2"

VG

(3)R

(2)R

(1)R

(4)R

W'

W

w"

R R

R R

CENTRAR O

COMPASSO

A SEÇÃO É COMPOSTA POR RETAS: FRONTO-HORIZONTAL E QUALQUER.


PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA (PROJETANTE NO PP)


CONSERVAM-SE AS ABCISSAS.

VG

VG

110


A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

3" 4"

1" 2"

4’ 3’

2’1’

4 3

21

3" 4"

1" 2"

VG

(3)R

(2)R

(1)R

(4)R

R R

R R

W'W

CENTRAR OCOMPASSO

w"

A SEÇÃO É COMPOSTA POR RETAS: FRONTO-HORIZONTAL E QUALQUER.

ATENÇÃO:O REBATIMENTO PRODUZ UMA SOBREPOSIÇÃO DE PROJEÇÕES VERTICAISCOM A FIGURA REBATIDA.


PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA (PROJETANTE NO PP)


CONSERVAM-SE AS ABCISSAS.

111


X'

XA

B

C

D

E

F

H

G

A'D' B'C'

E'H' F'G'

5'

2'

3'

4'

1'

1

2

3

4

5

VG

(1)R

(2)R

(3)R

(4)R

(5)R

Ch

X'R

REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PH / TRAÇO HORIZONTAL = CHARNEIRA

Seção Plana isolada do sólido(ESCALA REDUZIDA)

X'

X

5'

2'

3'

4'

1'

1

2

3

4

5

VG

(1)R

(2)R

(3)R

(4)R

(5)R

Ch

X'R

112


VG

(1)R

(2)R

(3)R

(4)R(5)R

X'

XA

B

C

D

E

F

H

G

A'

D' B'C'

E'H' F'G'

5'

2'

3'

4'

1'

1

2

3

4

5

Ch

XR

REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PV / TRAÇO VERTICAL = CHARNEIRA


VG

(1)R

(2)R

(3)R

(4)R(5)R

X'

X

5'

2'

3'

4'

1'

1

2

3

4

5

Ch

XR

113


X'

X

A'

B'

C'

D'

A BCD

E FGH

C"

D"

A"

B"

E"

H"F"

G"

E'

H'F'

G'

X"

1'

2'3'

1

23

3" 2"

1"

VG

(1)R

(2)R

(3)R

Ch



X'

X

E"

X"

1'

2'3'

1

23

3" 2"

1"

VG

(1)R

(2)R

(3)R

Ch

114


REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PH / TRAÇO HORIZONTAL = CHARNEIRA

X'

X

A'

B'

C'

D'

A BCD

E FGH

C"

D"

A"

B"

E"

H"F"

G"

E'

H'F'

G'

X"

1'

2'3'

1

23

3" 2"

1"

VG

(1)R

(2)R(3)R

Ch

X'

X

X"

1'

2'3'

1

23

3" 2"

1"

VG

(1)R

(2)R(3)R

Ch

Seção Plana isoladado sólido

(ESCALA REDUZIDA)

115


A B

CD

E F

H G

A' D' B' C'

E' H' F' G'X'

X

1' 2'

3'4'

1

2 3

4

VG

(1)R(2)R

(3)R (4)R

Ch


Seção Plana isolada do sólido

(ESCALA REDUZIDA)

X'

X

1' 2'

3'4'

1

2 3

4

VG

(1)R(2)R

(3)R (4)R

Ch

116


A

B

C

D

E

F

H

G

C' D' A' B'

G' H' E' F'X'

X

1' 2'

3'4'

1

2

3

4

X'R

VG

(1)R

(2)R

(3)R

(4)R

Ch

REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PH - TRAÇO HORIZONTAL = CHARNEIRA


X'

X

1' 2'

3'4'

1

2

3

4

X'R

VG

(1)R

(2)R

(3)R

(4)R

Ch

117


VG

(1)R (2)R

(3)R(4)R

REBATIMENTO SOBRE O PV

A B

CD

V

C' D'A' B'

V'

C" D"B"A"

V"

X"

1' 2'

3'4'

1 2

34

1" 2"

4"3"

X'XCh

REBATIMENTO DO PLANO (X) SOBRE O PV / LINHA DE TERRA = CHARNEIRA


VG

(1)R (2)R

(3)R(4)R

REBATIMENTO SOBRE O PV

X"

1' 2'

3'4'

1 2

34

1" 2"

4"3"

X'XCh

118


8.2 MUDANÇA DE PLANO

Na Mudança de Plano, o objeto permanece fixo. O sistema é que se modifica ao redor do objeto. Podemos alterar o PV ou PH mantendo-os perpendiculares entre si. A alteração pode ser sucessiva, mas não simultânea. A Linha de Terra é a interseção do PH e PV, por isto, este processo determinará uma nova linha de terra.

MPHPH1

PV

PH

PV

PH

PV1

MPV

LINHA DE TERRA ORIGINAL LINHA DE TERRA NA 1ª MUDANÇA LINHA DE TERRA NA 2ª MUDANÇA(Um par de barrinhas a mais) (Dois pares de barrinhas a mais)

Utilizaremos as abreviações:

MPV para Mudança de Plano VerticalMPH para Mudança de Plano Horizontal

O desenho arquitetônico utiliza o conceito da Mudança de Plano Vertical para construção das vistas e cortes. Logicamente que a disposição na prancha vale-se de maior liberdade.

119


Em épura a mudança de plano vertical deve seguir os seguintes procedimentos:

- escolha convenientemente a posição da nova linha de terra

- traçar as novas linhas de chamadas à partir da projeção horizontal

- transporte as cotas correspondentes

A

A'

A'1

ct

ct

MPV

(s)

s'

s

PV

PH

MUDANÇA DE PV

PV1

s'1 V.G.

PV

PH

MUDANÇA DE PV

PV1

A'1(A)

A'

A

ctct

PV

PH

PV1

MPV

8.2.1 MUDANÇA DE PLANO DE PLANO VERTICAL

120


A

A'

A1

af

af

MPH

MPH

PH1

PV

PH

MUDANÇA DE PH

(A)

A' A1

PH1

PV

PHA

af

af

Em épura a mudança de plano horizontal deve seguir os seguintes procedimentos:

- escolha convenientemente a posição da nova linha de terra

- traçar as novas linhas de chamadas à partir da projeção vertical

- transporte os afastamentos correspondentes

MUDANÇA DE PH

(s) s'

s

s1

PH1

PV

PH

VG

8.2.1 MUDANÇA DE PLANO DE PLANO HORIZONTAL

121


MPV

MPVMPH

MPH

t h f v

q

p

fh fh

ORGANOGRAMA DE MUDANÇA DE PLANO APLICADO ÀS RETAS

t - reta de topoh - reta horizontalq - reta qualquerp - reta de perfilf - reta frontalv - reta verticalfh - reta fronto-horizontal

MPV - Mudança de Plano Vertical

MPH - Mudança de Plano Horizontal

MPV

MPVMPH

MPHH T V F

Q

P P

// à LTP/p/ LT

ORGANOGRAMA DE MUDANÇA DE PLANO APLICADO AOS PLANOS

H - PLANO HORIZONTAL



T - PLANO DE TOPO

Q - PLANO QUALQUER

V - PLANO VERTICAL

F - PLANO FRONTAL

P - PLANO DE PERFIL

// à LT - PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA

P / p / LT - PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA

122


A'

A

B'

B

C'

C

A1C1

B1

A'2

MPV

MPH

C'2

B'2

VG

B3

A3

C3

1ª Mudança

2ª Mudança

3ª MudançaMPH

MPH

(AB) qualquer

(AB) horizontal

(AB) de topo

(AB) de topo

A'

A

B'

B

C'

C

A2

C2

B2

A'1

MPV

C'1

B'1

VG

B'3

A'3

C'3

1ª Mudança

2ª Mudança

3ª Mudança

MPV

(AB) qualquer

(AB) frontal

(AB) vertical

(AB) vertical

MPV

MPVMPH

MPH

t h f v

q

p

fh fh

t - reta de topoh - reta horizontalq - reta qualquerp - reta de perfilf - reta frontalv - reta verticalfh - reta fronto-horizontal



Nos exemplos abaixo temos a obtenção da Verdadeira Grandeza da figura plana através da transformação das retas. O objetivo é transformar uma reta qualquer em reta projetante, topo ou vertical, o que determina um plano Horizontal ou Frontal respectivamente. O organograma de mudança de plano aplicado aos planos da página anterior também é válido aos mesmos exemplos.

FIGURA DEFINE UM PLANO QUALQUER


FIGURA DEFINE UM PLANO DE TOPO

FIGURA DEFINE UM PLANO HORIZONTAL



FIGURA DEFINE UM PLANO VERTICAL

FIGURA DEFINE UM PLANO FRONTAL

123


A BCD

E

F

C'

B'

D'

A'

E' F'

MPV

B C

E'1C'1

D'1

F'1 A'1

B'1

A B

C

DE

F

V

A' E' B' D'

V'

F' C'

MPH

C

B

A

D

E

F

V1

1

1

1

1

1

1

8.2.3 EXEMPLOS

Exemplos de Mudança de Plano aplicada aos sólidos.

124


D

EF

74

56

G

1'

V'

A'

8

7

6

5

4

3

8'

7'

2'

6'

3'

5'

4'

H'

G'

B'

F'

C'

E'

D'

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

V

8H

1 2A B

21'

22'

23'

24'

25' 26'

27'

28'

3C

A1

H1

G1

B1

C1

D1

E1

F1

V1

2A'2

B2

C'

2D

'

2E'

2F'

2G

'

2H

'

2V'

MPH

MPV

EXEMPLO

O uso dos objetos no Primeiro Diedro determinam as projeções horizontais sempre do mesmo lado inferior da linha de terra, ou seja do lado das barrinhas.

125


X'

XA

B

C

D

E

F

H

G

A'

D' B'C'

E'H' F'G' G" H" F" E"

A"B"C" D"

5'

2'

3'

4'

1'

1

2

3

4

5

1"

2"

3"

4"

5"

VG11

21

31

41

51

MPH

EXEMPLO

Mudança de Plano utilizada para determinação da VG da Seção Plana.

126


Transformação do Plano Qualquer em Plano de Topo através de Mudança de Plano

O plano Qualquer poderia ter sido transformado em Plano Vertical, no entanto, a VG da seção plana seria a mesma.

Seção plana em VG através de Mudança de Plano

A

1

1’

2

2’

3

3’

4

4’

5

5’

6

6’

A’

B

B’

C

C’

D

D’

E

E’

F

F’

1’

A’

B’

C’

D’

E’

F’

2’

3’

4’

5’

6’

MPV

1’

MPH

1

2 3

4

5

6

VG

Q'

Q

Q'1

P'

Q0 P

P'1

O ponto (P) é auxiliar e pode pertencer a qualquer parte do Plano (Q). No entanto, é mais fácil utilizar um ponto pertencente ao Traço Vertical Q' visto que o plano Qualquer não projetante e exige retas auxiliares para determinar um ponto sobre sua superfície.

127


A

1

1’

2

2’

3

3’

4

4’

5

5’

6

6’

A’

B

B’

C

C’

D

D’

E

E’

F

F’

1’

A’

B’

C’

D’

E’

F’

2’

3’

4’

5’

6’

VG

(1)R

(2)R

(3)R

(4)R

(5)R

(6)R

EXEMPLO

Transformação do Plano Qualquer em Plano de Topo através de Mudança de Plano.A VG da seção foi obtida através do Rebatimento.

EXEMPLO

Q'

Q

Q'1

P'

P

P'1

Q0

VG da aberturaangular de

(Q) com o PH

128


A inclinação do telhado na vista frontal (projeção vertical) expressa um ângulo que não está em Verdadeira Grandeza. A MUDANÇA DE PLANO permite determinar o ângulo geometricamente correto.

EXEMPLOS

Ângulo

em V

G

Ângulo Irreal(Aparenta ser maior)

Exercício Proposto(ESCALA REDUZIDA)

129


45º60º

r

r'

s'

s

A E

B F

C G

D H

Considere a altura do edifício com 7,5m na escala 1/100

Faça Mudança de Plano Vertical mantendo o edifício afastado1m do novo PV.

45º

60º

r

r'

s'

s

A E

B F

C G

D H

D' A' C' B'

H' E' G' F'

4' 1'

3' 2'

2

3

4

1

1'4'

2'3'

P'

P

P'1

ME

DID

AS

TR

AN

SP

OR

TA

DA

SD

A N

OV

A P

RO

JEÇ

ÃO

VE

RT

ICA

L

A melhor posição da cobertura do edifício dado pelo paralelepípedo abaixo é a seção promovida pelo plano que contém as retas (r) e (s). Assim, a cobertura teria a melhor posição possível para uso de placas de aquecimento solar na busca de maior eficiência energética. Complete a épura e determine a nova cobertura.

EXEMPLO

Exercício Proposto(ESCALA REDUZIDA)

Q'

Q0

Q

Q01

Q'1

V'

VH'

H

130


8.3 ROTAÇÃO

Rotação - consiste em girarmos um objeto em

torno de um e ixo, pre ferenc ia lmente

perpendicular a um dos planos de projeção,

buscando uma nova posição do mesmo.

eix

oPV

PH

São três os elementos necessários para a execução da Rotação:

a- Eixo de Rotação, preferencialmente reta de topo, vertical ou fronto-horizontal. Outras retas

exigirão uso do método descritivo Mudança de Plano para torná-las projetantes.

b- Raio de Rotação, segmento de reta perpendicular ao eixo (para eixos projetantes, o raio será

sempre uma reta paralela a no mínimo um dos planos de projeção)

a- Amplitude da rotação, abertura angular do deslocamento da projeção rotacionada

eixo vertical

eixo

PV

PH

eixo de topo

PV

PH

eixo

eixo fronto-horizontal

131


t - reta de topoh - reta horizontalq - reta qualquer (NÃO POSSUI V.G.)

p - reta de perfilf - reta frontalv - reta verticalfh - reta fronto-horizontal

EIXO DE RETA VERTICAL

EIXO DE RETA DE TOPO

RETA QUALQUER EM RETA FRONTAL UTILIZANDO EIXO DE RETA VERTICAL

EIXO CONCORRENTE AEXTREMIDADE DO SEGMENTO

EIXO CONCORRENTE AOPROLONGAMENTO DO SEGMENTO

A'

e'

eA

B'

B

B'1

B1

V.G

.

A'1

A1

A'

e'

e A

B'

B

B'1

B1

V.G

.

A'1

A1

ORGANOGRAMA DE ROTAÇÃO APLICADO ÀS RETAS

EIXOVERTICAL

EIXODE

TOPOt h f v

q

p

fh fh

EIXODE

TOPO

AFASTAMENTOSIGUAIS

COTASIGUAIS

ABCISSASIGUAIS

EIXOVERTICAL

132


EIXO E O SEGMENTOSÃO RETAS REVERSAS

A'

e'

e

A

B'

B

B'1

B1

V.G.

A'1

A1

P

P1

LINHA AUXILIA

R

LINHA AUXILIAR

PA = P1A1

USO DE LINHA AUXILIAR(PROLONGAMENTO DO SEGMENTO AB)

E DO PONTO AUXILIAR 1

O SEGMENTO DE RETA PERPENDICULAR É UMA RETAQUE MEDE A DISTÂNCIA ENTRE A RETA QUALQUER DADA

E O EIXO DE RETA VERTICAL

EIXO DE RETA VERTICAL EIXO DE RETA DE TOPO

t h f v

q

p

fh fh

ORGANOGRAMA DE ROTAÇÃOAPLICADO ÀS RETAS

133


RETA QUALQUER EM RETA DE PERFIL UTILIZANDO EIXO DE RETA VERTICAL



A'

e'

e

A

B'

B

B'1

B1

A'1

A1

A'

e'

e A

B'

B

B'1

B1




A'

e'

e

A

B'

B

B'1

B1

A'1

A1

P

P1

LINHA A

UXILIAR

LIN

HA

AU

XIL

IAR

PA = P1A1




t h f v

q

p

fh fh


134


A'

A

B'

B

B'1

B1

VG

A'1

A1


e'

e

A'e'

e

A

B'

B

B'1

B1

VG



A'

e'

e

A

B'

B

B'1

B1

VG

A'1

A1

P'

P'1

LINHA AUXILIAR

LINHA AUXILIAR

P'A' = P'1 A'1





RETA QUALQUER EM RETA HORIZONTAL UTILIZANDO EIXO DE RETA DE TOPO


t h f v

q

p

fh fh


135


RETA QUALQUER EM RETA DE PERFIL UTILIZANDO EIXO DE RETA DE TOPO

A'e'

e

A

B'

B

B'1

B1


A'

A

B'

B

A'1

e'

e

B'1

B1


A1

A'

e'

e

A

B'

B

B'1

B1

A'1

A1

P'

P'1

LINHA AUXILIAR

LIN

HA

AU

XIL

IAR

P'A' = P'1 A'1







t h f v

q

p

fh fh


136


A'

A

B'

B

e'1

B'1

B1

VG

A'1

A1

V.G

.

B2

A2

A'2 B'2

C'

C

C'1

C1

V.G.

A'3 B'3

C'1

C'3

e1

e2

e3

e'3

e'2

2ª ROTAÇÃ

O

B3

A3

C2 C3

V.G

.

ROTAÇÃO DA RETA QUALQUER

A'

A

B'

B

e'1

e1

B'1

B1

VG

.

A'1

A1

e2 B2 A2V.G.

V.G

.

B2

A2

A'2B'2A'2 B'2 V.G.

qualquerorizh ontal

e'2

ROTAÇÃO DE FIGURA PLANA

EXEMPLOS


t h f v

q

p

fh fh


137


A'

A

B'

B

e'1B'1

B1

VG

A1 B2 A2

VG

VG

B2A2

A'2B'2

A'2

B'2

V.G.

qualqu

er

A'1

latnoziroh-otnorffron

tal

e'2

e2

e1


t h f v

q

p

fh fh


ROTAÇÃO DA RETA QUALQUER

138


A B

C

DE

F

V

A' E' B' D'

V'

F' C'

A' E'

B' D'

V'

F'

C'

e

e'

F

C

B A

D E

V

EXEMPLO

Rotação usando eixo de topo

139


5

A 1

B 2

C 3

4

A' D' B' C'

5' 1' 2'

D

E

E'

3'4'

A'

D'

B'

C'

5'

1'

2'

E'

3'

4'

e'

e

5

A 1

B2

C 3

4D

E

EXEMPLO

Rotação usando eixo de topo

140


9. PLANIFICAÇÃO

A planificação é o procedimento de "desmontar o sólido com todas as superfícies em Verdadeira Grandeza. Por isto, ele só é possível com o uso dos Métodos Descritivos.

A B

C

A' B'C'D'

V'

T’

T

To

4’1’

4’1’2’3’R R R R

VG

(4)R

(3)R

(2)R

(1)R

CE

NT

RA

R O

CO

MP

AS

SO

VG DA FACE LATERAL

D

V

1 2

34 3

2

V'

V

4

1

V

VG DE V3

VG DE V2VG DE V3

VG DE V4

2’3’

2’3’

4’1’V

CE

NT

RA

R O

CO

MP

AS

SO

CE

NTR

AR

O

CO

MPA

SS

O

4

1

3

2

2

1

3

4

V

V

V

VG

DE

V2

VG DE V3

VG DE V4

VG DE V1VG DE V2

A B

D C

VG

DE

V3

VG

DE

V1

VG

DE

V4

V3 = V2

V1 = V4

PERSPECTIVA

21A

2

3

B

1

V

D

4

3

4

V

V

V

PERSPECTIVA

21A

2

3

B

3

4

4

C

D

1

V

V

V

VG

141


21A

2

3

B

1

V

D

4

3

4

V

V

V

21A

2

3

B

3

4

4

C

D

1

V

V

V

VG

VG

1

43

2

2

1

3

4

A B

D C

V3 = V2

V1 = V4

9.1 EXEMPLOS

A B

C

DE

F

V

A'E' B'D'

V'

F' C'

X'

1

2

3

6

5

4

1'

2'6'

5'3'

4' X'

3'2'

2

5

UTILIZE EIXO DE TOPOSOBRE O PONTO (V)PARA ROTAÇÕES DASARESTAS LATERAIS

X

(5)R

(6)R

(4)R

(3)R

(2)R

(1)R

VG de V2 = V6

VG de V5 = V3

Dada as projeções da PIRÂMIDE REGULAR DE BASE HEXAGONAL e a seção produzida pelo plano de Topo, pede-se: planificar o tronco de pirâmide (a parte que contém a base).

(V1) e (V4) estão sobre retas frontais.

142


EXEMPLOS

1

1

6

6

22

5

3

3

5

4

4

A

E

F

B

CD

3

4

56

É importante "pendurar" a VG da seçãopara a planificação ficar completa.

143


Complete a planificação do Tronco de Cilindro. O retângulo abaixo corresponde planificação da superfície lateral do cilindro.

0... 12

O'

O'1

O1 O2

O"2

X

X'

1

2

3

4

5

6

7

812

11 9

10

Complete no TRIEDRO a representação da Seção Plana e determine a Verdadeira Grandeza da seção através do método descritivo REBATIMENTO (sobre o PH) ou MUDANÇA DE PLANO.

EXEMPLO DE EXERCÍCIO PROPOSTO

144


PL

AN

O D

E T

OP

O

O' 2

O' 1

O1

O2

O" 2

O" 1

X

X'

1

2

3

4

5

6

7

812

11

9

10

2'

4'

3'

1'

5'

6'

7' 8

'

12'

10'

11'

9'

VG

DA

SE

ÇÃ

O P

LA

NA

(11)R

(10)R

(12)R

(1)R (2

)R

(3)R

(4)R

(9)R

(5)R

(8)R

(6)R

(7)R

1"

2"

3"

6"

4"

5"

7"

8"

9"

10"

11"

12"

RE

BA

TIM

EN

TO

MEDIDAS TRANSPORTADASPARA O CILINDRO PLANIFICADO

EXEMPLO

145


EXEMPLO

PLANO DE TOPO

O'

2

O'1

O1 O2

O"2

O"1

X

X'

1

2

3

4

5

6

7

812

11 9

10

2'

4'

3'

1'

5'

6'

7'

8'

12'

10'

11'

9'

1" 2"

3"

6"

4"

5"

7"

8"

9"

10"

11"

12"

MPH

ME

DID

AS

TR

AN

SP

OR

TA

DA

SP

AR

A O

CIL

IND

RO

PLA

NIF

ICA

DO

VGDA SEÇÃO

(11)R

(10)R(12)R

(1)R

(2)R

(3)R

(4)R

(9)R

(8)R

(6)R

(7)R

(5)R

146


12

3

4

5

67

8

1211

9

10

1

BASEINFERIOR

VG DA SEÇÃO

12

3

4

5

67

8

1211

9

10

1

BASESUPERIOR

VG DA SEÇÃO

EXEMPLO

147


10. PLANO QUALQUER E OS MÉTODOS DESCRITIVOS

148


10.1 EXEMPLOS

Seção plana em VG através de Mudança de Plano

A

1

1’

2

2’

3

3’

4

4’

5

5’

6

6’

A’

B

B’

C

C’

D

D’

E

E’

F

F’

1’

A’

B’

C’

D’

E’

F’

2’

3’

4’

5’

6’

MPV

1’

MPH

1

2 3

4

5

6

VG

Q'

Q

Q'1

P'

Q0 P

P'1

O ponto (P) é auxiliar e pode pertencer a qualquer parte do Plano (Q). No entanto, é mais fácil utilizar um ponto pertencente ao Traço Vertical Q' visto que o plano Qualquer não projetante e exige retas auxiliares para determinar um ponto sobre sua superfície.

149


11. BIBLIOGRAFIA

ARNHEIM, Rudolf. Arte e percepção visual: uma psicologia da visão criadora. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 503p.

JÚNIOR, Alfredo dos Reis Príncipe. Geometria Descritiva Volume 1

JÚNIOR, Alfredo dos Reis Príncipe. Geometria Descritiva Volume 2

SÁ, José Ricardo Cunha da Costa e. Edros. São José dos Campos: Ed. PINI, 1982, 124p.

ULBRICHT, S. M. Geometria e Desenho - História, Pesquisa e Evolução, 1a ed. Florianópolis, S. M. Ulbricht, 1998.

WONG, Wucios. Princípios de Forma e Desenho. Tradução Alvamar Helena Lamparelli. São Paulo: Martins Fontes, 1998.

150


HEXAEDRO / CUBO

PARALELEPÍPEDO

PRISMA REGULAR DEBASE TRIANGULAR

PIRÂMIDE REGULAR DEBASE HEXAGONAL

OCTAEDRO

PRISMA REGULAR DEBASE HEXAGONAL

PRISMA REGULAR DEBASE PENTAGONAL

TETRAEDRO

CILIINDRO RETO CONE RETO

12

11

10 98

7

6

5

43

21

MODELOS REDUZIDOS PARA VISUALIZAÇÃO

Sequência E 12 Páginas11 em papel (color plus ou cartolina)

01 em transparência laser ou jato de tinta (acetato mais grosso)

páginas 16 a 27

Sequência D 5 Páginas04 em papel (color plus ou cartolina)

01 em transparência laser ou jato de tinta (acetato mais grosso)

páginas 11 a 15

Sequência C 3 Páginas03 em papel (color plus ou cartolina)

páginas 08 a 10

Sequência A 4 Páginas04 em papel (color plus ou cartolina)

páginas 02 a 05

MAQUETES

s' s"

s

PH

PPPV

VG

VG

dobrar

dobrar

VG

VGs's"

s

PH

PP PV

dobrar

dobrar

VG

s' s"

s

PH

PPPV

VG

dobrar

dobrar

s's"

s

PH

PPPV

VG

s' s"

s

PH

PPPV

VG

s'

s

PH

PP PV

s"

VG

s's"

s

PH

PP PV

VG

s'

s"

s

PH

PPPV

s' s"

s

PH

PPPV

(A) (A)

(A)

(B)

(B)

(B)

(1)(2)

(1)(2

)

(C)

(C) (D) (D

)

(3)

(3)

(4)

(4)

(1)(2)

(4)(3

)

(C) (D)

CO

LA

R

CO

LA

R

CO

LA

RC

OLA

R

CO

LA

RC

OLA

R

CO

LA

R

CO

LA

R

A"

1"

A'D' B'C'

1'4' 2'3'

D"B"C"

4"2"3"

D 4

C 3

B 2

A 1

(V)

(A) (B)

(D)

(C)

(C)

COLAR

CO

LA

R

COLAR

CO

LA

R

(A) (B

)

(D)

(V)

(V)

(V)

RECORTE E MONTE

A B

CD

V

A' B'C' C" A" B"D'

V'

D"

V"

Sequência B 2 Páginas02 em papel (color plus ou cartolina)

páginas 06 a 07

X'X''

X

Plano Vertical

X'X''

X

Plano de Topo

Plano Vertical

PH

PVPP

Plano de Topo

PH

PV PP

VG

X

X''

VG

X' X''

Plano Frontal

PH

PVPP

VG

Plano Horizontal

PH

PV PP

VG

Plano que Passa pela LT

Plano que Passa pela LT

PVPP

PH

X'

X''

X

Plano Paralelo à LT

Plano Paralelo à LT

PH

PV PP

X'

X''

X

VG

X'

X

Plano de Perfil

PH

PV PP

VG

PH

PP PV

Plano Qualquer

X'

X

X''

Pla

no

qu

e P

as

sa

pe

la L

T

X'

X

X''

Pla

no

Pa

rale

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LT

X

XX

''

Pla

no

Ve

rtic

al

XX

''

X'

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no

de

To

po

X

X''

X'

Pla

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Pla

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erf

il

X'

X

Pla

no

Fro

nta

l

X

X''

Pla

no

Ho

rizo

nta

l

X'

X''

MINIATURAS DAS IMAGENS REFERENTE AO ARQUIVO DASMAQUETES CITADAS NESTA APOSTILA

151


a correÇÃo nÃo foi finalizada - 3d3d.com.br

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