1

Caro Professor,

Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010.

As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes.

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.

Bom trabalho!

Equipe São Paulo faz escola.

2

GABARITO

Caderno do Aluno de Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1

Páginas 5 - 6

1.

a) As classes de equivalência seriam: o conjunto dos triângulos, o conjunto

dos quadriláteros, o conjunto dos pentágonos, o conjunto dos hexágonos, etc.

b) O mostruário seria o conjunto dos tipos de polígonos: {triângulos, quadriláteros,

pentágonos, hexágonos, etc.} ou

2.

a) As classes de equivalência seriam: {1, –1}, {2, –2}, {3, –3}, {4, – 4}, {5, –5}, e

assim por diante.

b) O mostruário seria o conjunto das distâncias possíveis de um inteiro na reta até a

origem, ou seja, seria o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Em outras palavras, estamos

escrevendo o conjunto do módulo dos números inteiros.

3.

a) As classes de equivalência seriam formadas por frações cuja soma do numerador

com o denominador é constante, começando pelo menor valor possível, que é 2,

depois 3, 4, e assim por diante:

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

OS RACIONAIS COMO MOSTRUÁRIO DAS FRAÇÕES

3

SSoommaa iigguuaall aa 22 1

1, ou seja, 1

SSoommaa iigguuaall aa 33 2

1,

1

2

SSoommaa iigguuaall aa 44 1

3,

2

2,

3

1

SSoommaa iigguuaall aa 55 1

4,

2

3,

3

2,

4

1

...... ...

SSoommaa iigguuaall aa 1133 1

12,

2

11,

3

10,

4

9,

5

8,

6

7,

7

6,

8

5,

10

3,

11

2,

12

1

... e assim por diante.

Assim sendo, podemos representar as classes de equivalência através do seguinte

conjunto:

4

Outra forma de responder à pergunta seria a construção da seguinte tabela:

b) O mostruário seria o conjunto dos valores possíveis para a soma numerador +

denominador: {2, 3, 4, 5, 6, ..., 13, 14, ...}.

A localização dos números racionais na reta

Páginas 6 - 8

4.

5.

a) 16

b) – 6

c) não existe

d) 5

e) infinitos

f) infinitos

5

6. Alguns exemplos de resposta são:

a) 8

5

24

5

24

3

2

1

b) 8

9

24

9

24

51

c) 0,881 ou 0,882 ou ainda 0,888

d) 1,0100100010000112 ou 1,0100100010000119

Página 8

1.

Algumas soluções possíveis são: 80

9,

160

19,

160

17.

2. Nos dois intervalos há uma infinidade de números racionais. É isso que caracteriza

um conjunto denso.

3. Alguns exemplos podem ser referentes às medidas de temperatura, de massa, de

volume, de comprimento, etc.

6

Desafio!

Página 10

Páginas 11 - 12

1. É possível constatar que frações irredutíveis em que o denominador é formado

apenas por fatores primos 2, 5 ou 2 e 5 geram decimais exatos quando o numerador é

dividido pelo denominador.

Para que se possa generalizar alguma conclusão obtida baseando-se na tabela, é

conveniente que sejam consideradas frações com numerador e denominador maiores

que 9, como 160

27ou

125

124.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

AS DÍZIMAS PERIÓDICAS SÃO PREVISÍVEIS...

7

2. Quando for possível simplificar os termos da fração, eliminando o fator 3 do

denominador, como em 5,12

3

6

9 .

3. Sim. Os dados observados na tabela indicam que os denominadores 3 geram dízimas

periódicas, quando o numerador não é múltiplo de 3.

4. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29.

5. Analisando os valores desse conjunto com os dados da tabela, observa-se que,

excetuando-se os fatores 2 e 5, todos os outros gerarão uma dízima periódica. Dessa

forma podemos concluir que, se o denominador tiver um fator diferente desses dois,

a fração irredutível gerará uma dízima.

6. Nesse caso, o aluno deve escrever frações irredutíveis, cujo denominador não seja

múltiplo de 2 ou de 5.

Páginas 12 - 14

1. Quando o denominador tem fatores primos que não são 2 ou 5.

2. Algumas possíveis soluções seriam: ,...25

3,

10

9,

4

7,

5

1

Desafio!

Página 14

Seguindo o processo discutido em sala, podemos deduzir que em 7

5, como o

primeiro resto é 5, seu desenvolvimento será: 7

5 = 0,714285…

8

Páginas 15 - 16

1.

a) 13

10 = 0,769230… c)

13

3 = 0,230769…

b) 13

9 = 0,692307… d)

13

4 = 0,307692…

2. Observando na tabela a coluna dos restos, como ela não apresenta o resto igual a 2,

ela não permite prever o desenvolvimento de 13

2 a partir de

13

1. Portanto, temos a

necessidade de efetuar a divisão de 13

2.

Nessa divisão, além do resto 2, aparecem outros restos que não estavam presentes na

primeira tabela: {2, 5, 6, 7, 8, 11}. Agora, de posse desse novo desenvolvimento,

podemos escrever as frações 13

7,

13

11 e

13

8 observando o caráter cíclico dos

quocientes:

13

7 = 0,538461…

13

11 = 0,846153… ou

13

8 = 06153846…

As tabelas juntas formam, agora, todos os restos que podem ser numeradores ou

frações irredutíveis de denominador 13: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

9

Diferente da fração 7

1, em que todos os possíveis restos apareceram na primeira

tabela, na fração 13

1 tivemos necessidade de construir duas tabelas.

3.

a) 9

25

b) 99

45

c) 990

2221

d) 99099

697316

Páginas 16 - 17

1. 2

7.

2. Inicialmente, coloca-se o x em evidência: x(3 + 0,1 + 0,05 + 0,005 + 0,0005 +...) = 4.

Observamos então que o coeficiente de x é uma dízima periódica: (3,15555...)x = 4.

Encontrando sua geratriz, podemos resolver o problema:

490

284x , isto é,

71

90x Solução

71

90

10

Páginas 18 - 19

1.

a) Considerando-se o ano com 365 dias de 24 horas, a resposta exigirá o seguinte

cálculo: 365 . 24 . 60 . 60 . 3 . 108 = 9 460 800 000 000 000 m = 9,4608 . 1015 metros.

b) Para responder a essa pergunta, se escrevermos os valores em notação científica,

teremos: 0000158,010.58,110.4608,9

10.5,1 515

11

anos-luz.

c) Como a distância da Terra ao Sol é de, aproximadamente, 1,5 . 1011 metros e a

velocidade da luz é de 3 . 108 m/s, um feixe de luz demorará

50010.3

10.5,18

11

segundos para atingir a Terra, o que é, aproximadamente, 8 minutos e

20 segundos. Para efeito de comparação, o professor pode comentar que um feixe de

luz, em um segundo, dá, aproximadamente, 7 voltas e meia em torno da Terra.

Página 19

Resposta pessoal. Exemplo: uma unidade de medida para medir grandes distancias é

a unidade astronômica abreviada por UA, que corresponde a distancia média entre a

Terra e Sole, cujo valor corresponde a 1,4 96 x 1011m = 1,496,108Km> Para calcular

algumas medidas em UA, utiliza-se o valor aproximado de 1,5 x 108 Km, ou seja,

150 000 000 Km. No entanto, a medidas mais utilizada pelos astrônomos é o ano luz

( 9,5 x 10 12 km) ou o parsec ( 3 x 1013 km)

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

DO GOOGOL AO ANGSTROM, UM CAMINHO PARA AS POTÊNCIAS

11

Página 20

1. Para medir distâncias grandes é mais prático o uso de uma unidade grande. Na

Astronomia existem unidades menores que o ano-luz, como a “unidade

astronômica”, que é a distância média entre a Terra e o Sol, ou seja, 150 000 000 km.

O parsec, que corresponde a cerca de 3,26 anos-luz, é usado normalmente para

indicar distâncias entre as estrelas ou as galáxias.

Páginas 20 - 21

1.

a) 6,7.109 pessoas.

b) 2,3.109 segundos.

c) 1,9.1012 de reais.

Página 22

1. Para resolver essa atividade, primeiro temos que converter km³ em cm³

(1 km³ = 1 . 1015 cm³), o que indicará a massa de água na Terra ( 2410.4,1 gramas).

Como sabemos (pela tabela) que 1g de água tem 2210.3 moléculas, então o número

de moléculas no total de água da Terra é, aproximadamente, igual a 4610.2,4 .

Aproximando-se grosseiramente esse número para 1050, pode-se discutir com os

alunos que esse número é muito menor que 1 googol. Muitos alunos poderão pensar,

à primeira vista, que 1050 é metade de 1 googol, o que não é verdade. Se dividirmos 1

googol por 1050, o resultado será 1050, que é o número de vezes que o número de

moléculas na água da Terra caberia dentro de 1 googol.

12

Páginas 23 - 24

1. Resposta livre.

2.

3.

Página 25

Resposta pessoal.

13

4.

Página 26

1. 1 angstrom corresponde a 10–10 m.

2. Para determinar a quantidade de fios de cabelo que correspondem a 1 metro, basta

que façamos a divisão: 510.54,2

1 = 39 370 fios. O professor pode ainda discutir com

os alunos que, como, em média, o ser humano tem 100 000 fios de cabelo, podemos

também concluir que todos os fios de cabelo de um indivíduo, quando alinhados por

seus diâmetros, resultariam cerca de 2,54 metros (2,54 . 10–5 . 100 000).

3. A solução desse problema exige que efetuemos os seguintes cálculos:

5

2

10.6,1

10.3

= 1,875 . 103 horas, o que corresponde a 24

10.875,1 3

= 78,125 dias, ou seja,

78 dias e 3 horas.

14

Páginas 32 – 33

1. A tabela preenchida ficará da seguinte forma:

a) Como podemos observar, a última letra do alfabeto que pode ser representada

com 4 bits é a letra P. Daí para frente temos de acrescentar outros bits.

b) A letra representada pelo número 0111 é a letra H.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

AS POTÊNCIAS E A MEMÓRIA DO COMPUTADOR

15

2. 28 ou 256 informações.

3. Para responder a essa atividade, podemos aplicar não só o raciocínio inverso, como

também trabalhar com a estimativa. Seriam necessários ao menos 10 bits, pois 29 é

igual a 512 e 210 é igual a 1 024.

Múltiplos de byte

Páginas 33 - 34

4.

a) 10 . 106 = 107 bytes

b) 63

9

1010

10 quilobytes

c) 49

32

1010

10.10 gigabytes

d) 76

12

10.210

10.10.2 megabytes

e) 612

6

1010

10 terabytes

5.

a) 1110

201

22

2.2 quibibytes

b) 34304 22.2 bytes

c) 1020

10

22

2 mebibytes

d) 41401 2.52.2.5 bytes

e) 1530

105

22

2.2 gibibytes

6.

a) Basta transformar 700 mebibytes em megabytes.

16

73400010

5760481.7

10

2.7

10

2.10.74

20

6

202

megabytes.

Portanto, a capacidade efetiva do CD-ROM é de 734 MB.

b) Basta transformar 4,7 gigabytes em gibibytes.

4,48247410731

0000007004

2

10.47

2

10.10.4730

8

30

91

gibibytes.

Portanto, a capacidade em base binária do disco de DVD é de 4,4 gibibytes.

Páginas 35 - 39

1. 23 − 1 = 7

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1 0

1 0 1

0 1 1

1 1 1

2. 25 – 1 = 31

17

3.

nn 22 eelleevvaaddoo aa nn NNúúmmeerroo ddee aallggaarriissmmooss

0 1 1

1 2 1

2 4 1

3 8 1

4 16 2

5 32 2

6 64 2

7 128 3

8 256 3

9 512 3

10 1 024 4

11 2 048 4

12 4 096 4

13 8 192 4

14 16 384 5

15 32 768 5

16 65 536 5

17 131 072 6

18 262 144 6

19 524 288 6

20 1 048 576 7

21 2 097 152 7

22 4 194 304 7

23 8 388 608 7

24 16 777 216 8

25 33 554 432 8

26 67 108 864 8

18

4. Utilizando o recurso gráfico das planilhas eletrônicas, encontramos um gráfico

semelhante a esse:

5.

nn 22 eelleevvaaddoo aa nn NNúúmmeerroo ddee aallggaarriissmmooss

39 5,498E+11 12

40 1,100E+12 13

41 2,199E+12 13

42 4,398E+12 13

43 8,796E+12 13

44 1,759E+13 14

6. Para responder a essa pergunta, podemos proceder com algumas estratégias próprias,

como efetuar com a contagem da quantidade de algarismos baseando-se nos dados da

tabela na sequência: 4, 3, 3, 4,

19

Outra forma é utilizar o gráfico dos colegas e ajustar, pelo menos quatro deles,

fazendo coincidir os pontos iniciais e finais até encontrar o valor correspondente ao

expoente 100.

Contudo, podemos buscar uma forma mais simples para se chegar à solução do

problema. Para isso, investigaremos, no gráfico, uma correspondência entre a

variação de algarismo e do expoente. A ideia é perceber que, a cada variação de 10

no expoente, há um acréscimo de 3 algarismos na escrita por extenso da potência de

2, isto é, há uma variação de 3 no número de algarismos. Basta, portanto, fazermos a

relação 10 para 3. Contudo, como a sequência parte do 1, devemos acrescentar uma

unidade no resultado dessa relação. Assim, para encontrarmos o número de

algarismos do desenvolvimento de 2100, devemos fazer a seguinte relação: se a cada

10 no expoente acrescentamos 3 no número de algarismos, quando o expoente for

100 teremos acrescentado 30 algarismos. Como a sequência da quantidade de

algarismos partiu do 1, teremos como solução 31 algarismos. Isso é o mesmo que

realizar as seguintes operações:

1010

100 10 . 3 = 30 30 + 1 = 31 algarismos

Agora vamos observar o que acontece quando o expoente não é múltiplo de 10, como

é o caso de 36 e 37.

6,310

36 3,6 . 3 = 10,8 10 + 1 = 11 algarismos

7,310

37 3,7 . 3 = 11,1 11 + 1 = 12 algarismos

Como vemos, a casa decimal resultante do produto por 3 é ignorada na determinação

do número de algarismos da escrita por extenso, o que percebemos quando ligamos

por um traço os pontos do gráfico.

AJUSTES

Caderno do Professor de Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1

Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada

página.

40

b) A letra representada pelo número 0111 é

a letra H.

Atividade 2

Um byte é composto por oito bits. Quan-

tas informações podem ser armazenadas em

um byte?

28 ou 256 informações.

Atividade 3

Quantos bytes seriam necessários para ar-

mazenar 1 000 informações?

Neste item o aluno deve aplicar não só o

raciocínio inverso, como também trabalhar

com a estimativa. Seriam necessários ao

menos 10 bytes, pois 29 é igual a 512 e 210 é

igual a 1 024.

Múltiplos de byte

No Sistema Internacional, os prefixos qui-

lo, mega e giga expressam diferentes potências

de dez. Assim, um quilobyte (Kb) equivale a

103 bytes, um megabyte (Mb) a 106 bytes, um

gigabyte (Gb) a 109 bytes, e assim por diante.

Atividade 4

Com base no Sistema Internacional, complete a tabela a seguir fazendo as transformações pedidas. Dê a resposta na forma de potência de dez.

a) 10 megabytes em bytes

10 . 106 = 107 bytes.

b) 1 gigabyte em quilobytes

109

103 = 106 quilobytes

c) 100 quilobytes em gigabytes102 . 103

109 = 10–4 gigabytes

d) 20 terabytes em megabytes

2 . 10 . 1012

106 = 2 . 107 megabytes

e) 1 megabyte em terabytes106

1012 = 10–6 terabytes

Atividade 5

Já no sistema binário, os prefixos usa-dos expressam potências de dois. Um quibi-byte (Kib) equivale a 210 bytes, um mebibyte (Mib) a 220 bytes, um gibibyte (Gib) a 230 bytes, e assim por diante. Faça as transfor-mações a seguir e dê as respostas na forma de potência de dois.

Configuração dos capacitores

Estado:D – desligado

L – ligado

Número binário

(4 casas)Letra

D –D – D –D 0000 A

D – D – D – L 0001 B

D – D – L – D 0010 C

D – D – L – L 0011 D

D – L – D – D 0100 E

D – L –D – L 0101 F

D – L – L – D 0110 G

D – L – L – L 0111 H

L – D – D – D 1000 I

L – D – D – L 1001 J

L – D – L – D 1010 K

L – D – L – L 1011 L

L – L – D – D 1100 M

L – L – D – L 1101 N

L – L – L – D 1110 O

L – L – L – L 1111 P

MAT_CP_7a_vol1_FINAL.indd 40 4/22/09 1:11:39 PM