1

Caro Professor,

Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010.

As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes.

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.

Bom trabalho!

Equipe São Paulo faz escola.

2

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

INVESTIGANDO SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: DO EGITO AO COMPUTADOR

GABARITO

Caderno do Aluno de Matemática – 6ª série/7º ano – Volume 1

Página 4

1. Os “risquinhos” representam as unidades, o U de cabeça para baixo representa as

dezenas, o rolo de papiro representa as centenas, e a flor de lótus os milhares. Dez

“risquinhos” correspondem a um ∩, dez ∩ correspondem a um papiro, e dez papiros

a uma flor de lótus. Por exemplo, o número 253, por ser formado por 3 unidades,

5 dezenas e 2 centenas, será escrito no sistema egípcio com três “risquinhos”, cinco

∩ e dois rolos de papiros.

2. Não, como se pode ver no número 1 100, em que a centena foi escrita à esquerda do

milhar. Isso indica que o sistema egípcio não é posicional, o que é uma diferença em

relação ao nosso sistema.

3. 9 999 999.

4. Infinitos, sendo essa uma grande desvantagem desse sistema.

3

Página 4

Alguns dos elementos da fauna e da flora do Egito são: camelos, dromedários,

acácias, figus. Na região desértica, são encontrados espécimes acostumados a viver em

ambientes de água escassa, como escorpiões, alguns tipos de aranhas, cactos, etc.

Usando o símbolo para 10 milhões e para 100 milhões, a representação da

distância Terra-Sol seria:

Páginas 6 - 7

1.

2. Na posição da unidade, (1 = 60o) representaria o número 11; na posição do 60

representaria 660; na posição do 60², o número 39 600, etc. Poderíamos ainda

imaginar que cada um dos símbolos esteja ocupando uma posição diferente, o

que implicaria em mais possibilidades. Por exemplo, se ocupa a casa da unidade e

a casa do 60, o número representado seria o 601. Para saber qual número estaria

sendo representado, os mesopotâmicos levavam em consideração o contexto em que

ele havia sido escrito, o que gerava muitos erros ou ambiguidades.

4

3. O zero. Por exemplo, o número 43 203 representado no sistema mesopotâmico não

possui algarismos na posição do 60, o que só poderia ser corretamente indicado se o

sistema dispusesse de um símbolo gráfico especial para representar a ausência de

unidades naquela posição. É bem provável que os mesopotâmicos ignoraram o zero

porque, segundo suas concepções, não fazia sentido representar o “nada” por

“alguma coisa”. Uma primeira tentativa de resolver essa ambiguidade foi feita

deixando-se um espaço maior entre os símbolos quando eles representavam posições

diferentes, mas isso não se mostrou satisfatório porque muitas vezes um símbolo

aparecia sozinho. Na prática, as ambiguidades eram resolvidas pelo contexto em que

o número aparecia, identificando-se o que ele representaria pela ordem de grandeza

que deveria ser considerada naquele contexto.

Páginas 7 - 8

1. Admitindo-se que o símbolo do zero seja , então teremos 11 = , 660 = e

36 001 = .

5

2. Para operar no sistema decimal, 10 unidades transformam-se em 1 dezena, 10

dezenas em 1 centena e assim por diante. No sistema sexagesimal, como o

mesopotâmico, o “vai um” para a casa seguinte será feito em grupos de 60, e não de

dez. A seguir estão as contas armadas:

3. O sistema hora–minuto–segundo de medição do tempo utiliza base 60, já que

60 segundos formam 1 minuto e 60 minutos formam 1 hora. Esse é um resquício

mantido até hoje desde o passado distante. As hipóteses sobre as razões pelas quais

os mesopotâmicos estabeleceram um sistema de base 60 não estão comprovadas.

Algumas delas relacionam o fato a aspectos da Astronomia (um ano tem,

aproximadamente, 360 dias), outras admitem que tenha surgido da fusão de dois

sistemas de numeração de povos antigos, um de base 10 e outro de base 6.

6

Página 9

1. O número é 37 453.

5 . 7200 + 4 . 360 + 0 . 201 + 13 . 200 = 37 453

Páginas 11 - 12

1.

15 XV (justificativa do erro pela regra “b”)

49 XLIX (justificativa do erro pela regra “a”)

1 500 MD (justificativa do erro pela regra “b”)

999 CMXCIX (justificativa do erro pela regra “a”)

2.

99 XCIX

490 CDXC

995 CMXCV

3. No sistema romano, os símbolos usados em cada posição não necessariamente

definem o valor daquela posição, o que dificulta sua praticidade para fazer contas

armadas. Na verdade, os próprios romanos utilizavam seu sistema de numeração

apenas para o registro numérico, e não para as operações, que eram feitas com o

ábaco. Fazer a conta armada DCXCVIII CCLXXIX não é nada prático porque as

“posições” de cada símbolo não marcam exatamente unidade, dezena, centena,

milhar, etc.

.360.201

.360.200

.201

.200

7

4.

• O sistema romano não pode ser exatamente definido como decimal porque

utiliza símbolos para os números 5, 50 e 500, que não são potências de 10.

• O sistema romano não possui as posições dos agrupamentos muito bem

marcadas o que, dito de outra forma, significa que ele não é exatamente um

sistema posicional, como o nosso (esse aspecto dificulta a operacionalidade do

sistema para fazer contas).

• A escrita dos números em algarismos romanos é, em geral, mais extensa que a

escrita dos números no sistema indo-arábico de numeração, o que também é um

aspecto que torna menos práticos os registros numéricos.

Página 14

1.

Observação: outras infinitas possibilidades poderiam ser elaboradas se

incorporássemos espaçamentos com o significado de zero na posição correspondente ao

espaçamento.

2.

8

Páginas 15 - 17

1. Será um número par.

2. É um múltiplo de 4.

3. 1 . 128 + 1 . 64 + 0 . 32 + 0 . 16 + 1 . 8 + 1 . 4 + 0 . 2 + 1 . 1 = 205

4. 2 elevado a 8, ou seja, 256 possibilidades.

5. 11111011000

6. Aproximadamente, 1 509 949 B no disquete e 734 003 200 B no CD.

7.

P 16

E 5

R 18

I 9

G 7

O 15

2244 == 1166 2233 == 88 2222 == 44 2211 == 22 2200 == 11

1166 1 0 0 0 0

55 1 0 1

1188 1 0 0 1 0

99 1 0 0 1

77 1 1 1

1155 1 1 1 1

A sequência de formação da palavra PERIGO em

números no sistema binário é:

10000 – 101 – 10010 – 1001 – 111 – 1111

9

Desafio!

Página 18

Em um sistema posicional de base 3, três símbolos são suficientes para representar

todos os números. No caso do exemplo dado, os símbolos são: = 0, = 1 e = 2.

Usaremos na resolução do problema uma organização em tabela, como feito na

atividade anterior:

3344 == 8811 3333 == 2277 3322 == 99 3311 == 33 3300 == 11

1155 1 2 0

1199 2 0 1

2222 2 1 1

2277 1 0 0 0

9955 1 0 1 1 2

10

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

FRAÇÕES E DECIMAIS: UM CASAMENTO COM SIGNIFICADO

Páginas 19 - 20

1. Os três estão certos.

Observação: Ana encaminhou o problema para o número misto 5

33 .

2.

3.

As malhas pintadas mostram que se tratam de frações equivalentes.

11

4.

Página 21

1. Algumas possíveis soluções:

a) 86 e 25; 430 125; 86 25

b) 1 e 40; 5200; 1 40

c) 307 e 80; 1228 320; 30780

2.

a) 100

17

10

34

20100

17

100

340

b) 00010

0156

100

4062

4000010

0156

00010

600240

12

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

A MULTIPLICAÇÃO E A DIVISÃO COM FRAÇÕES

Página 22

1.

a) 2

1.

5

3

b) 7

2.

3

1

c) 6

5.

8

3

d) 3

1

5

4

2.

a) Ao utilizar 3

1 da lata, restam

3

2. Como da última vez utilizou-se “

4

1 de

3

2”, a

operação procurada é 4

1.

3

2.

b)

13

Desafio!

Página 23

Fazendo uma analogia com inteiros, se o problema se referisse a duas latas de tinta

dando para pintar seis paredes, com uma lata pintaríamos três paredes, o que pode ser

concluído por meio da conta 6 2 = 3. Transferindo-se essa interpretação para o caso

do problema, nossa resposta pode ser obtida por meio da divisão 3

2

4

3 , que também

pode ser denotada por 32

4

3

.

Se dividirmos a lata de tinta em três partes iguais, o problema nos diz que duas delas

foram utilizadas. Dividindo-se a parede em quatro partes iguais (linhas horizontais na

figura a seguir), e subdividirmos cada parte da parede em dois (pois foram utilizadas

duas partes de tinta), a parede estará dividida em 4 . 2 = 8 partes. Podemos imaginar,

portanto, que cada parte de tinta permite pintar três dessas partes da parede. Logo, a lata

inteira, que tem três partes, permite pintar 3 . 3 = 9 das partes da parede, ou seja 8

9 da

parede.

A fração 8

9 representa, então, o resultado da divisão de

4

3 por

3

2, ou seja,

3243

. Isto

pode ajudar a dar significado ao fato de que, para dividir uma fração por outra,

multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda:

8

9

2

3

4

3

3

24

3

14

Páginas 23 - 24

1.

8

9

2

3.

4

3

2.4

3.3

3

2.12

4

3.12

3

24

3

2.

8

9

16

18

2

3.

8

6

2.8

3.6

3

2.24

4

3.24

3

24

3

3.

Dadas as frações b

a e

d

c, temos que:

a) db

ca

d

c

b

a

.

..

b) cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

.

..

Páginas 24 - 25

1.

64

3

6

1

4

3

8

1

24

3

15

2.

112

1 de horas ou, ainda, sabendo-se que

12

1 de 60 minutos são 5 minutos, 1h05.

3.

R$ 9,60.

4.

8

7

3

2

7

8

3

2

21

16

16

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

NÚMEROS NEGATIVOS: DESVENDANDO AS REGRAS DE SINAIS

Página 28

1. O cliente tinha R$ 528,00 na conta; deu um cheque de R$ 145,00 e ficou, portanto,

com R$ 383,00. Em seguida, ele deu um cheque de valor desconhecido e ficou com

saldo de R$ 310,00. Fazendo a conta 383 – 310 = 73, descobre-se que o valor do

cheque 346 foi de R$ 73,00 (com sinal negativo). Após o depósito de R$ 295,00 o

cliente ficou com 310 + 295 = R$ 605,00. Após efetuar um saque de valor

desconhecido, seu saldo parcial de R$ 605,00 ficou negativo em R$ 420,00, o que

significa que o saque foi suficiente para esgotar os R$ 605,00 e ainda deixar negativa

a conta em R$ 420,00. Segue, portanto, que o valor do saque foi de: 605 + 420 =

= R$ 1 025,00. Esse valor (com sinal negativo) corresponde ao que deve ser

colocado no segundo espaço borrado do extrato.

2. A análise desse extrato deve começar de baixo para cima, a partir do saldo negativo

de R$ 250,00. Um depósito de R$ 560,00 e um cheque de R$ 380,00 equivalem a

uma operação de saldo positivo de R$ 180,00. A pergunta que nos cabe responder

agora é: qual é o saldo que, com um acréscimo de R$ 180,00 deixe como saldo final

–R$ 250,00? Certamente o saldo inicial era negativo em um valor que, quando

somado com R$ 180,00 resulta –R$ 250,00. O valor procurado é negativo e pode ser

obtido através da conta 180 + 250 = R$ 430,00. Segue, portanto, que o primeiro

valor borrado é –R$ 430,00. Partindo agora de um saldo negativo de R$ 250,00, o

banco devolveu R$ 400,00 para o cliente por meio de uma correção, e o cliente deu

um cheque de R$ 320,00, o que perfaz um saldo parcial de:

–250 –(–400) – 320 = –R$ 170,00.

Como o saldo final do cliente é negativo em R$ 80,00, segue que o depósito feito foi

suficiente para reduzir seu saldo parcial negativo de R$ 170,00 para um saldo

17

negativo de R$ 80,00. Fazendo a conta 170 – 80 = 90, descobrimos que o depósito

indicado no segundo espaço borrado foi de R$ 90,00.

Páginas 29 - 31

1.

a) –R$ 2 200,00 (vale comentar com os alunos que podemos nos referir ao valor

negativo como “lucro negativo de R$ 2 200,00”, ou como “prejuízo de R$ 2 200,00”.

b) (2 200) ÷ 8 = R$ 275,00.

c) 2 200 12 000 = 14 200 (se o lucro em janeiro fosse zero, o saldo nos 8

meses seria negativo em R$ 14 200,00). Queremos um lucro em janeiro que liquide o

saldo negativo total de R$ 14 200,00, e que ainda deixe um lucro positivo no período

de R$ 1 500,00, ou seja, o valor procurado é 14 200 + 1 500 = R$ 15 700,00.

2.

Partida 1: –1

Partida 2: 3

Partida 3: – 2

Partida 4: – 2

Partida 5: 1

Partida 6: – 2

Partida 7: 0

Partida 8: – 3

Partida 9: 1

Partida 10: – 3

Saldo geral: – 8 gols

Páginas 32 - 35

1.

a) Mantém-se constante.

18

b) Está diminuindo em uma unidade.

c) O produto está aumentando em 3 unidades de uma linha para a seguinte (de cima

para baixo na tabela).

d) –1.(–3) = 3

2. Se os segmentos são paralelos, os lados dos triângulos formados pelos segmentos e

pelos eixos são proporcionais. Chamando de P o ponto verde, temos que: b

Pa

1

.

Multiplicando-se os dois membros da igualdade por (–b) concluímos que:

P = (–a).(–b). Esse resultado sugere (–3).(–2) = 6

3. “Retirar uma torneira de vazão –1 L/min” – (–1)

“Acrescentar uma torneira de vazão 1 L/min” +1

Portanto, segue –(–1) = 1.

4.

a) 1,05

b) 3

c) 3

5

d) 10

1

19

Páginas 36 - 38

1.

a) –6

b) –34

c) –7,5

d) –5

e) –10

f) 2

5

g) 6

7

h) 5

21

AJUSTES

Caderno do Professor de Matemática – 6ª série/7º ano – Volume 1

Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada

página.

32

calcular “ 4

5 de

3

4”. Compreendidos esses

aspectos de linguagem, veremos agora como

justificar um algoritmo para o produto de

frações por meio de argumentos geométricos

e, para isso, usaremos como exemplo o pro-

duto 3

4 ∙

4

5.

Utilizaremos retângulos para represen-

tar a unidade e, em seguida, os dividiremos

em 4 partes iguais (marcando 3) e em 5 par-

tes iguais (marcando 4). Se queremos 3

4 ∙

4

5,

então estamos interessados em encontrar

“ 3

4 de

4

5”, ou seja, devemos pegar

4

5 da re-

presentação correspondente aos 3

4, o que pode

ser obtido por uma intersecção, como mostra a

sequência de figuras:

Na contagem final de quadradinhos para

representar a fração resultante da operação, 12

20, o numerador 12 foi obtido do produto

das colunas marcadas em 3

4 pelas linhas

marcadas em 4

5, ou seja, pelo numerador da

primeira fração e o numerador da segunda.

Raciocínio análogo justifica o denominador

da fração resultante, 20, obtido do produ-

to de 4 por 5. A prática de situações seme-

lhantes a essa favorece a compreensão do

algoritmo do produto de frações e deve ser

trabalhada, mesmo sabendo-se que o objeti-

vo final ao longo do ano seja a mecanização

de procedimentos de cálculo sem o recurso

das barrinhas. É importante ainda destacar

que essa forma de abordagem também pode

ser feita com frações impróprias, bastando

para isso iniciar o problema separando a par-

te inteira da parte não inteira. Por exemplo, a

fração 7

3, que corresponde a 2 inteiros mais

1

3, pode ser representada por dois retângu-

los inteiros mais 1

3 de outro retângulo. Com

essa representação, basta repetir os procedi-

mentos descritos anteriormente que pode-

remos indicar o produto da fração 7

3 por

outra fração com o uso de figuras.

Também no que diz respeito à divisão de

frações, muitas estratégias podem ser uti-

lizadas. Apresentaremos na sequência um

problema que favorece a utilização de ar-

gumentos geométricos para a compreensão

do algoritmo.

Problema: Se 2

3 de uma lata de tinta dão

para pintar 3

4 de uma parede, que fração da

parede conseguirei pintar com 1 lata de tinta?

.

MAT_CP_6a_vol1_FINAL.indd 32 4/16/09 4:35:29 PM

39

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

4. O gráfico indica o número de gols que um time fez e sofreu em dez partidas do Campeonato Brasileiro de Futebol. Calcule o saldo de gols desse time por parti-da, e o saldo geral de gols nas dez partidas.

Partida 1: −1 Partida 2: 3 Partida 3: −2 Partida 4: −2 Partida 5: 1 Partida 6: −2 Partida 7: 0 Partida 8: –3 Partida 9: 1 Partida 10: –3

Saldo geral: –8 gols

Quanto à multiplicação e à divisão de nú-meros com sinais, caberá aqui uma análise mais detalhada e, de preferência, com o uso de abordagens diversificadas. Nós nos detere-mos em apresentar apenas algumas propostas para a discussão sobre o “produto de números negativos” tendo como resultado “um número positivo”, porque a divisão decorre natural-mente desse resultado, levando-se em conside-ração que toda divisão pode ser transformada em uma multiplicação, como se pode observar nos exemplos a seguir:

6

5

4

3

2

1

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gols Pró Gols Contra

Gol

s

3 ÷ 2 = 3 . 0,5 ou 3 . 1

2

5 ÷ 6 = 5 . 0,16 ou 5 . 1

6

3. O gráfico indica o lucro mensal da sorve-teria Ki-Fria ao longo dos oito primeiros meses de um ano. Analise o gráfico e res-ponda as perguntas abaixo.

a) Qual o lucro total da Ki-Fria nos

oito meses?

–R$ 2 200,00 (vale comentar com os alu-nos que podemos nos referir ao valor nega-tivo como “lucro negativo de R$ 2 200,00”, ou como “prejuízo de R$ 2 200,00”.

b) Qual o lucro médio mensal da sorve-

teria no período analisado?

(−2200) ÷ 8 = −R$ 275,00.

c) Sabe-se que o lucro de janeiro foi pu-blicado errado e que com a correção o lucro nos oito meses analisados passa a ser de R$ 1 500,00. Determine qual seria o lucro correto de janeiro após a correção.

−2 200 − 12 000 = −14 200 (se o lucro em janeiro fosse zero, o saldo nos oito meses seria negativo em R$ 14 200,00). Queremos um lucro em janeiro que liquide o saldo negativo total de R$ 14 200,00 e que ain-da deixe um lucro positivo no período de R$ 1 500,00, ou seja, o valor procurado é 14 200 + 1 500 = R$ 15 700,00.

15000

10000

5000

0

–5000

–10000

–15000

–20000

Lucro da sorveteria Ki-Fria

12 0007 500

4 000

2 400

–7 000

13 400

–18 000

Janeiro Fevereiro Março Abril Maio

Junho Julho Agosto

–16 500

40

Discutiremos três estratégias diferentes para a discussão sobre a regra de sinais na multiplicação de números negativos e, em se-guida, apresentaremos uma proposta lúdica para a fixação de ideias relacionadas às ope-rações e à ordenação de números com sinais.

1ª- estratégia: regularidades

Investigando regularidades na sequência a seguir o aluno deve perceber que:

a) estamos diminuindo sempre uma unida-de no primeiro fator da multiplicação;

b) estamos mantendo constante o segun-do fator da multiplicação;

c) o produto aumenta sempre 3 unidades.

Com isso, espera-se que ele preencha a lacu-na e possa concluir que multiplicar dois núme-ros negativos resulta em um número positivo.

2ª- estratégia: plano cartesiano e proporcionalidade8

1. Admita que os segmentos indicados em

vermelho sejam paralelos. Determine a

localização do ponto marcado em ver-

de e, em seguida, repita o procedimento

mostrando que –3 . (–2) = 6.

4 . (–3) = –12 3 . (–3) = –9 2 . (–3) = – 6

1 . (–3) = –3 0 . (–3) = 0 –1 . (–3) =

8 A situação descrita nesta atividade necessita de dois pré-requisitos de conteúdo: conhecimento sobre o plano ordenado e a localização de pontos, e conhecimento sobre proporcionalidade. Ambos são temas da 6a série que, se já tiverem sido discutidos pelo professor, possibilitarão o uso dessa estratégia. Vale lembrar também que, para o uso dessa estratégia, o professor terá de estabelecer a proporcionalidade não com a ideia de “distância” (valor positivo), mas sim com a de segmento orientado, em que o sinal deve ser levado em consideração.

Se os segmentos são paralelos, os lados

dos triângulos formados pelos segmentos e

pelos eixos são proporcionais. Chamando de

P o ponto verde, temos que: –a

1 = P

–b . Multi-

plicando-se os dois membros da igualdade

por (–b), concluímos que P = (–a) . (–b).

Esse resultado sugere que (–3) . ( –2)= 6.

3ª- estratégia: busca de contexto

Imagine um tanque que possa ser esvaziado por torneira de vazão –1 litro por minuto (o si-nal de menos indica que o líquido é retirado do tanque) e enchido por torneiras de vazão 1 litro por minuto. Se podemos livremente colocar nes-se tanque qualquer quantidade dessas torneiras, fica evidente que, para efeito de manutenção do fluxo de água no tanque, “retirar uma torneira de vazão –1 l/min” é equivalente a “acrescentar uma torneira de vazão 1 l/min”.

y

Px

-a 0

-b

1

y

x–3 0

–2

1 (–3) . (–2) = 6

41

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

Utilizando a linguagem numérica, teremos:

“retirar uma torneira de vazão –1 l/min” ⇒ –(–1)

“acrescentar uma torneira de vazão 1 l/min” ⇒ +1

Portanto, segue que –(–1) = 1.

O fluxo de zero torneira de vazão –1, que é igual a zero, pode ser indicado da seguinte maneira: 0 . (–1) = 0.

Uma vez que podemos interpretar zero torneira como colocar e retirar uma torneira, podemos representar a nova expressão por: (1–1) . (–1) = 0.

Utilizando a propriedade distributiva no produto, sabemos que a expressão é equiva-lente a: 1 . (–1) –1 . (–1) = 0.

Uma vez que 1 . (–1) é igual a “um nega-tivo”9 e sabendo-se que o resultado da conta que está do lado esquerdo do sinal de igual tem de ser zero, então, necessariamente –1 . (–1) tem de ser igual a 1:

Além de contextualizar o produto de nú-meros negativos por meio da verificação de

Como 1 . (–1) é igual a –1, então, –1

(–1) tem que ser o simétrico de –1

para que a igualdade seja nula. Ocorre

que o simétrico de –1, que pode ser

representado por –1 . (–1) é 1.

1 . (–1) – 1 . (–1) = 0

–1

9 A contextualização do produto de positivo por negativo foi citada no início da atividade.

que –1 . (–1) = 1, e da ideia de que – (–1) = 1,

essa apresentação também tem a vantagem de

constituir uma reformulação numérica da de-

monstração formal de que (–a) . (–b) = a . b, encontrada em muitos livros.

Como dissemos anteriormente, a regra de

sinais da divisão de números negativos sai au-

tomaticamente da regra de sinais do produto

porque toda divisão pode ser convertida em

multiplicação. Por exemplo, sabemos que –12 ÷ (–4) = 3 porque –12 ÷ (–4) é equivalente a –12 . (–0,25), cujo resultado é 3 (trata-se de um produto de números negativos).

Na 6ª- série, além de ampliar seus conhe-

cimentos numéricos, o aluno aprende uma

série de novas representações de números e

operações numéricas. Em particular, as fra-

ções negativas são responsáveis por algumas

confusões por unirem duas novas linguagens

trabalhadas na série, a das frações e a dos nú-

meros negativos.

Assim, mostrar a equivalência entre – a

b ,

–a

b e

a

–b torna-se necessário e é uma interes-

sante oportunidade para retomar a ideia de fração como representação do resultado de uma divisão, e das regras de sinais nas opera-ções com inteiros. Observe como isso pode ser

feito em termos numéricos:

− =− ÷( )=− −=− ÷ =−

−= ÷ − =−

124

12 4 3 124

12 4 3 124

12 4 3( )− =− ÷( )=− −=− ÷ =−

−= ÷ − =−

124

12 4 3 124

12 4 3 124

12 4 3( )

− =− ÷( )=− −=− ÷ =−

−= ÷ − =−

124

12 4 3 124

12 4 3 124

12 4 3( )