2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

24
1 Caro Professor, Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010. As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes. Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas. Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento. Bom trabalho! Equipe São Paulo faz escola.

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Page 1: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

1

Caro Professor,

Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010.

As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes.

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.

Bom trabalho!

Equipe São Paulo faz escola.

Page 2: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

2

GABARITO

Caderno do Aluno de Matemática – 2ª série – Volume 1

Páginas 4 - 10

1. Uma possível resposta:

2. Amplitude: m45,02

9,0

2

1,01

.

Período: 1 ano.

3. Imagem: {y R / 0,1 ≤ y ≤ 1,0}.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE

Page 3: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

3

As sombras longas

4.

a) Não, pois ao nascer e ao pôr do sol, os raios solares que tocam o topo da estaca e

produzem a sombra são paralelos ao solo onde está a estaca, tornando o comprimento

da sombra muito grande, não podendo mais ser medido.

b) Uma possível resposta:

c) Período: 24 horas

5.

a) Período: 2, imagem: [–1; +1], amplitude: 1

b) Período: 4, imagem: [–4; +4], amplitude: 4

c) Período: 2, imagem: [–3; +3], amplitude: 3

Page 4: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

4

Páginas 10 - 11

1.

a) Uma possível resposta:

 

0

20

40

60

0,0 s 0,5 s 1,0 s 1,5 s 2,0 s 2,5 s 3,0 s 3,5 s 4,0 s

tempo

Comprimento da Mola

b) Período: 2 / Amplitude: 20

2.

a) Função 1 (período 8)

b) Função 2 (amplitude 2)

Page 5: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

5

Páginas 17 - 19

1.

2. = 135º e = 150º

3. = 300º e = 330º

4.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

A PERIODICIDADE E O MODELO DA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

Page 6: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

6

Páginas 20 - 21

1.

2. 210º e 240º

3. 45º e 225º

Páginas 21 - 26

1.

a) x = 2m 2

245 osen

2

245cos o

b) x = 2

3m

2

360 osen

2

160cos o

Page 7: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

7

c) x = 2

3m

2

130 osen

2

330cos o

2.

a) e b)

c)

ÂÂnngguulloo ((ºº)) 00 3300ºº 4455ºº 6600ºº 9900ºº 112200ºº 113355ºº 115500ºº 118800ºº

SSeennoo 0 0,5 0,7 0,9 1 0,9 0,7 0,5 0

CCoosssseennoo 1 0,9 0,7 0,5 0 –0,5 –0,7 –0,9 –1

Page 8: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

8

ÂÂnngguulloo ((ºº)) 221100ºº 222255ºº 224400ºº 227700ºº 330000ºº 331155ºº 333300ºº 336600ºº

SSeennoo –0,5 –0,7 –0,9 –1 –0,9 –0,7 –0,5 0

CCoosssseennoo –0,9 –0,7 –0,5 0 0,5 0,7 0,9 1

3.

Página 27

1.

a) 2

2 b) 0 c) 0

d) 2

3 e)

2

3 f)

2

3

2.

a) Não.

b) Sim.

c) Sim.

Page 9: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

9

d) Não.

Páginas 27 - 31

1.

a) 14159,3diâmetro

ocompriment

b) 28318,622

r

ocompriment

r

ocompriment

diâmetro

ocompriment

2.

a) Observando o desenho, meia circunferência equivale a, aproximadamente, 3,14

rad.

b) Uma semicircunferência é equivalente a meia circunferência, como verificamos

no item (a); a medida de meia circunferência equivale a, aproximadamente, 3,14 rad.

3.

a) 1,5 rad

b) 1,5 rad

4.

a) rad

b) 3

rad

c) 3

2rad

5.

a) 48

2 rad, isto é, 45º

b) AB = 4

rad AC =

24

2 rad AD =

4

3 rad

AF = rad AH = rad 4

54

7

Page 10: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

10

6.

a) A medida do arco AC é cerca de 3,14 vezes maior do que a medida do arco AB.

b) O arco AD mede 2

3 radianos, medida essa que é, aproximadamente, 4,7

radianos. Portanto, o arco AD é cerca de 4,7 vezes maior do que o arco AB.

c) Um arco de comprimento igual à circunferência mede 2 radianos, ou,

aproximadamente, 6,28 radianos. Assim, são necessários cerca de 6,28 arcos de

medida igual à do arco AB para completar uma volta da circunferência.

7.

A: 6

B:

6

5

6

C: 6

7

6

D: 6

11

62

E: 4

F:

4

3

4

G: 4

5

4

H: 4

7

42

I: 3

J:

3

2

3

L: 3

4

3

M: 3

5

32

N: 5

P:

5

4

5

Q: 5

6

5

R: 5

9

52

Páginas 31 - 32

1.

a)

6

352

6

236

312

6

19

b)

6

472

6

356

432

6

31

Page 11: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

11

2.

a) 2

5

2

e b)

6

17

6

13,

6

5,

6

e

c) 3

8

3

7,

3

2,

3

e d) 43,2,,0 e

Page 12: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

12

Páginas 35 - 41

1.

Tabela 1

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

GRÁFICOS DE FUNÇÕES PERIÓDICAS ENVOLVENDO SENOS E COSSENOS

Page 13: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

13

Tabela 2

2 e 3. A constante A está relacionada à amplitude da onda, isto é, à distância entre o

eixo horizontal e o valor máximo ou mínimo da função. A imagem da função, nesse

caso, será o intervalo

[–A, +A], se A > 0.

4.

Page 14: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

14

5. O período da função y = cosx é 2, enquanto o período da função y = cos

2

x é 4.

6.

a)

Page 15: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

15

b)

7.

a)

Page 16: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

16

b)

CCoommppaarraaççããoo eennttrree ooss ddooiiss ggrrááffiiccooss

FFuunnççããoo y = senx y = –1 + 2sen

2

x

PPeerrííooddoo 2

2

12

= 4

IImmaaggeemm [–1; +1] [–3; +1]

AAmmpplliittuuddee 1 2

Páginas 41 - 42

1.

FFuunnççããoo y = 2 + senx y = 1 + 2cos

4

x

PPeerrííooddoo 2 8

IImmaaggeemm [+1; +3] [–1; +3]

AAmmpplliittuuddee 1 2

Page 17: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

17

2. A = 5

12

124

2 B

B

12

5x

seny

Páginas 43 - 47

1 e 2.

 

y = 5senx

y = ‐ 3senx

y = senx

3. Varia a amplitude do gráfico e, portanto, também a imagem da função.

4.

a) R

b) [–A; +A]

c) 2

Page 18: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

18

5.

y = senx

y = sen2x

y = sen4x

6. A diferença está no período das funções.

7.

y = senx y = sen(x/2) y = sen(x/4)

Page 19: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

19

8.

y = cos(x/2)

y = cosx

y = cos(2x)

9.

a) R

b) [–A; +A]

c) B

2

10.

a) R

b) [–5; +5]

c) 10

2e

Page 20: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

20

Página 48

1. A amplitude da projeção vertical é igual a 4 cm, correspondente à medida do raio da

circunferência. O período, isto é, o tempo para o corpo completar uma volta na

circunferência, é igual a 2 segundos, o que permite concluir que o valor da constante

B é, nesse caso, igual a . Associando a medida da projeção (P) sobre o eixo vertical

ao valor do seno do arco, podemos escrever a seguinte equação: P = 4sen(t), na

qual t é dado em segundos e P em centímetros.

O gráfico da situação, para três períodos do movimento, é este:

Page 21: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

21

Páginas 50 - 51

1.

a) Adotando x = 90, para facilitar os cálculos correspondentes ao número de dias

do período, tem-se:

365

90.2.

3

7

3

35 senN . Aproximando 365 360, temos:

23

7

3

35 senN . Portanto, N 14 horas.

b) Adotando x = –90, visto que junho antecede setembro em três meses, e adotando

a simplificação realizada no item anterior, temos:

horassenN 3,93

28)1(

3

7

3

35)

2(

3

7

3

35

c) 6,07

4

365

.2

365

2.

3

7

3

3513

xsen

xsen

. Precisamos responder: qual é

o arco, em radianos, cujo seno é igual a 0,6? A resposta, de acordo com a calculadora

científica, é 0,64. Assim, 2,3764,0365

.2 x

x Para encontrar o dia desejado,

precisamos contar 37 dias a partir de 23 de setembro. Feito isso, obteremos 30 de

outubro.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRIAS

Page 22: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

22

A periodicidade da pressão sanguínea

Página 51

2. Professor, solicite aos alunos que analisem o gráfico e indiquem a imagem,a

amplitude e o período da função. Imagem 120,80 ; amplitude 202

80120

; período

0,75 = 4

3

3.

a)

mmHgPP

PPt

tP

110)2(10100)2(

)5,0(.20100)2(3

2.8cos.20100)2(

3

.8cos.20100)(

b)

Zkk

tkt

kttt

tP

,16

63

23

.8

2cos

3

.8cos0

3

.8cos

3

.8cos.20100100)(

Os possíveis valores de k, neste caso, são 0, 1 e 2, de modo que os valores de t serão:

16

15

16

9,

16

3e segundos.

Páginas 52 - 53

1.

a) 7360

)101146(2.50

senT 4274

.50

TsenT

ºF ou

CT º5,58,1

10 .

Page 23: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

23

b) A temperatura máxima ocorrerá quando o valor do seno for máximo, isto é, for

igual a 1. Portanto, a temperatura máxima será 57 ºF, ou Cº148,1

25 . Para que o

valor do seno seja igual a 1 é preciso que o arco seja igual a 2

rad.

Assim,

1912360

101.2

t

t . Assim, a temperatura máxima da cidade será de

14º C, 191 dias após 1º de janeiro, isto é, por volta de 10 de julho.

c) Não, pois a temperatura máxima da cidade é 14 ºC, no mês de julho. Portanto a

cidade está localizada em um país do Hemisfério Norte, em latitude alta, como, por

exemplo, Finlândia ou Noruega.

Desafio !

Página 56

1.

13

25,08,1

tseny

, com t em dias e y em metros.

2.

)6(5,08,1

13

39.25,08,1

senseny 1,8 m

3. 2,05 = 1,8 +

13

.25,0

tsen

13

.25,0

tsen

= 0,25

13

.2 tsen

= 0,5

kt 2

613

2 ou

kt 26

5

13

2 , isolando t, temos: t = k13

12

13 , ou t =

k1312

65 Atribuindo valores naturais para k, obtém-se os valores de t no intervalo

que se desejar.

AJUSTES

Caderno do Professor de Matemática – 2ª série – Volume 1

Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada

página.

Page 24: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito

54

desenhar um gráfico que reflita a periodici-

dade e que possa ser modelado por uma fun-

ção trigonométrica. Observe, por exemplo, o

gráfico do porto do Recife durante um perío-

do de dois meses. No eixo horizontal estão

assinalados os números de observações, cujo

valor máximo chega próximo de 120, o que é

razoável visto que ocorrem, em média, duas

marés altas por dia, e o período do gráfico

compreende 2 meses.

Podemos obter a equação desse gráfico,

do tipo y = C + AsenBx, se fizermos algumas

simplificações:

adotar que o gráfico é uma senoide. f

traçar uma linha horizontal para iden- f

tificar a constante C da equação. No

caso, C ≅ 1,8.

identificar o valor da amplitude A f ≅ 0,5.

deslocar a origem do sistema para o f

ponto de observação nº- 25, de maneira

que todos os demais valores de observa-

ção passem a ser subtraídos de 25.

identificar o período do gráfico, corres- f

pondente, nesse caso, a 26 observações.

Como, em média, são duas obser-

vações por dia, o período do grá-

fico, em dias, é aproximadamente

igual a 13 dias. Assim, a constante

B = 2π13

.

a) De acordo com as simplificações rea-lizadas, qual é a equação da função que pode ser representada por esse gráfico?

y = 1,8 + 0,5sen 2π13

t, com t em dias e y em

metros.

b) Qual será a altura da maré no 39º- dia de observação?

1,8 m.

c) Quais serão os dias em que a maré alta atingirá 2,05 m de altura?

2,05 = 1,8 + 0,5sen 2π13

t ⇒ sen 2π13

t = 0,5

⇒ 2π13

t = π6

+ 2kπ

ou 2π13

t = 5π6

+ 2kπ . (Isolando t, tem-se:

t = 13

12 + 13k, ou t =

65

12 + 13k. Atribuindo

altura (m)

Tábua de marés - Recifeagosto/setembro 2004

1

1019181716151413121111 111

2,5

2

1,5

0,5

0

altura (m)

Tábua de marés - Recifeagosto/setembro 2004

1

1019181716151413121111 111

2,5

2

1,5

0,5

0

51 – 25

mvicente
Oval
mvicente
Oval
mvicente
Oval
mvicente
Oval
mvicente
Oval