2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

26

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Page 1: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

1

Caro Professor,

Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010.

As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes.

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.

Bom trabalho!

Equipe São Paulo faz escola.

Page 2: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

2

GABARITO

Caderno do Aluno de Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Páginas 3 - 4

1.

a) Isso se deve ao fato de que as informações não são excludentes, isto é, elas

possuem elementos em comum. Por exemplo, os 20 alunos que acertaram as duas

questões estão incluídos no resultado dos que acertaram a primeira questão (35).

Assim, a soma obtida contém dupla contagem de alunos, o que gera a diferença

observada.

b) 35 – 20 = 15 alunos

c) 25 – 20 = 5 alunos

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

CONJUNTOS E NÚMEROS

Acertaram a 2ª questão (25)

Acertaram apenas a 2ª questão (5)

Acertaram a 1ª e a 2ª questão (20)

Acertaram a 1ª questão (35)

Acertaram apenas a 1ª questão (15)

Acertaram a 1ª e a 2ª questão (20)

Page 3: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

3

d) % de alunos que acertaram apenas a primeira questão: 375,040

15 ou 37,5%.

% de alunos que acertaram apenas a segunda questão: 125,040

5 ou 12,5%.

Assim, a porcentagem de alunos que acertaram apenas uma questão é 50%.

Página 5

2.

a)

b)

Ensino Fundamental

• Renato

• Lucas

• Patrícia

• Reinaldo

• Rafael • Antônio

Paulistanos

• Luiz

• Renata

• André

• Júlio

Page 4: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

4

c)

Página 7

3.

a) III

b) III

c) II

d) III

e) I

f) II

Página 8

4.

a) d)

Corinthians

• Helena

• Marcus

• João

• Alberto

São Paulo

• Alice

• Tomás

• André

• Diego

• Laís

Page 5: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

5

b) e)

c) f)

g)

Páginas 9 - 13

5.

a) Apenas o diagrama III pode representar os argumentos dados. O diagrama I

contradiz a premissa de que todos os curitibanos são paranaenses. E o diagrama II

representa o contrário da premissa II, pois indica que todos os paranaenses são

curitibanos.

b) Apenas o diagrama II corresponde à argumentação dada. Tanto o diagrama I

como o III contradizem a primeira premissa.

c) O diagrama que representa a argumentação dada é o II. O diagrama I está errado,

pois não se afirma que todas as pirâmides são poliedros regulares. O diagrama III

também está em desacordo com as premissas, pois nem todos os poliedros regulares

são pirâmides.

Page 6: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

6

Problemas, conjuntos e diagramas

Página 11

6.

a)

b)

c)

7.

a)

b) O problema informa que 100 famílias assistem aos programas A e B. Desse

total, sabemos que 20 famílias assistem aos três programas. Portanto, o número de

famílias que só assiste aos programas A e B é a diferença entre 100 e 20, ou seja, 80.

O mesmo vale para as outras interseções.

c) No caso do programa A, esse número será a diferença entre o total de pessoas

que assiste ao programa A (370) e a soma das interseções

Page 7: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

7

A B, A C e A B C. A – (B + C) = 370 – (80 + 10 + 20) = 260. O mesmo

deve ser feito para os programas B e C.

d) Com base nos diagramas preenchidos, deve-se verificar se a soma das partes

corresponde ao total de entrevistados. Soma das partes: 260 + 160 + 290 + 80 + 40 +

10 + 20 = 860. Neste problema, a soma das partes (860) é menor que o total de

entrevistados (1 200). A diferença (340) corresponde ao número de entrevistados que

não assiste a nenhum dos três programas. Isso pode ser representado como o

conjunto complementar em relação ao total de entrevistados.

8.

a) 340 pessoas assistem ao programa A e não assistem ao programa

C: 260 + 80 = 340.

b) 40 pessoas.

Page 8: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

8

c) O programa com maior fidelidade é o C, com 290 espectadores, contra 260 do A

e 160 do B.

Páginas 13 - 14

9.

a) Apenas 5 alunos erraram as três questões.

b) 12 + 8 + 6 + 10 + 10 + 3 = 49 . 49 alunos acertaram a 1ª ou a 2ª questão.

c) 12 + 8 + 10 + 5 = 35 . 35 alunos erraram a 3ª questão.

U = 60

10

2ª 

3

8

6

12 10

6

5

Page 9: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

9

Desafio!

Página 14

Uma estratégia possível seria representar a interseção dos três conjuntos por x e

completar o diagrama com as informações dadas.

a) Sabendo que todos os subconjuntos totalizam 100%, basta resolver a seguinte

equação:

15 + x + 2 + x + 10 + x + 18 – x + 15 – x + 25 – x + x + 5 = 100

Obtém-se x = 10%. Portanto, 10% dos entrevistados consomem as três marcas.

Page 10: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

10

b) Substituindo os valores de x no diagrama, obtemos:

Os entrevistados que consomem apenas uma das três marcas são

25% + 12% + 20% = 57%.

Páginas 15 - 16

10. Diagrama c.

11.

12.

a) Verdadeira. Os naturais são um subconjunto dos inteiros, pois todo número

natural também é inteiro.

Page 11: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

11

b) Falsa. A reunião dos naturais com os inteiros é o próprio conjunto dos inteiros.

N Z = Z

c) Verdadeira. Os racionais são o complementar dos irracionais em relação aos

reais.

d) Falsa. A interseção entre inteiros e racionais é o próprio conjunto dos inteiros.

Z Q = Z

e) Falsa. Não há interseção entre racionais e irracionais, pois são conjuntos

mutuamente exclusivos. Q Ir =

Page 12: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

12

Páginas 17 - 19

1.

a) 5

4 b) 0,8

2.

a) 2

5

10

255,2 x = 2,4999... (1)

10x = 24,999... (2)

100x = 249,999... (3)

Fazendo (3) – (2) : x= 2

5

90

225

b) x= 0,999...(1)

10x = 9,999 (2)

Fazendo (2) – (1): x 19

9

c) 0,3225

8

100

32 x = 0,31999...(1)

10x = 3,1999...(2)

100x = 31,999... (3)

1 000x = 319,999...(4)

10 000x = 31999,999...(5)

Fazendo (5) – (4) : x= 25

8

0009

8802

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

NÚMEROS REAIS E AS FRAÇÕES CONTÍNUAS

Page 13: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

13

3. A atividade 1 sugere um processo geral para transformar decimais finitos em dízimas

periódicas. Sempre que o período de um número é formado por infinitos “noves”,

podemos encontrar uma representação decimal finita para esse número. Na outra

direção, sempre que temos um decimal finito, é possível escrevê-lo como uma

dízima periódica com período formado por infinitos “noves”. Exemplos de decimais

finitos transformados em dízimas:

35,43999... = 35,44 –726,999... = –727 0,0071= 0,0070999...

4.

a) ...000100

9

00010

9

0001

4

100

7

10

3...374999,0375,0

8

3

b) ...0001

3

100

3

10

32...333,2

3

7

Página 20

5.

165

396

5

12

165

395

33

79

:,165)33,5(5

12

10

244,2,

33

79

99

237:)1()3(

)3(...3939,239100

)2(...9393,2310

)1(....3939,2

e

entãommc

ladooutroPor

xFazendo

x

x

x

Page 14: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

14

Página 22

6.

a) Se o aluno utilizar uma calculadora de oito dígitos para fazer a conta 16 ÷ 7, vai

encontrar como resultado 2,2857142. Como não identificamos facilmente nessa

divisão um período que se repita, é possível que o aluno responda que o resultado é

um decimal finito. Nesse caso, é desejável que se retome a discussão feita na

Situação de Aprendizagem “As dízimas periódicas são previsíveis...”, do Caderno de

7ª série do volume 1. Naquele momento, foi discutido que, ao realizarmos a divisão

entre numerador e denominador de uma fração irredutível, o resultado só será dízima

periódica se ao menos um dos fatores do denominador da fração for diferente de 2 e

diferente de 5. Como o denominador da fração 7

16 apresenta fator primo 7, sabemos

que a representação decimal decorrente da conta de divisão será uma dízima

periódica. Uma vez que os oito dígitos da calculadora não foram suficientes para a

identificação do período, recomendamos que o professor solicite aos alunos que

façam a conta armada até que identifiquem com clareza o período

(16 ÷ 7 = 2,285714285714... = 285714,2 ).

b) Faremos agora o desenvolvimento de 7

16 com fração contínua:

(1) 7

16 está entre 2 e 3, portanto,

x

12

7

16 , com x > 1.

(2) De x

12

7

16 decorre que x =

2

7, ou seja,

(3) 2

7 está entre 3 e 4, portanto,

y

13

2

7 , com y > 1.

(4) De y

13

2

7 decorre que y = 2, ou seja, .

2

13

2

7

(5) Como y = , o processo está encerrado e a fração contínua procurada é:

.2

71

27

16

21

3

12

7

16

Page 15: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

15

Página 23

7. (1) 13

30 está entre 2 e 3, portanto,

x

12

13

30 , com x > 1.

(2) De x

12

13

30 decorre que x =

4

13, ou seja,

(5) 4

13 está entre 3 e 4, portanto,

y

13

4

13 , com y > 1.

(6) De y

13

4

13 decorre que y = 4, ou seja,

4

13

4

13 .

(8) Como y = , o processo está encerrado e a fração contínua procurada é:

Página 27

8. 24 está entre 4 e 5, portanto, 24 = 4x

1 , com x > 1.

(1) De 24 = 4x

1 decorre que:

24x

14

8

244

424

424.

424

1

424

1

x

x

x

4131

213

30

41

3

12

13

30

Page 16: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

16

Temos, portanto,

8

244

1424

(2) 8

244 = é um número entre 1 e 2, portanto,

y

11

8

244

, y > 1.

(3) De y

11

8

244

decorre que y = 244 e, portanto, temos:

244

11

8

244

Substituindo o resultado do passo 3 no resultado do passo 1 temos:

244

11

1424

(4) Como y = 244 é um número entre 8 e 9, temos w

18244 , com w >

1.

(5) De w

18244 decorre que

8

244w . Como w repetiu o valor de x, a

partir de agora o processo começa a se repetir novamente. Segue, portanto, que a

fração contínua que representa 24 será:

18

11

18

11

18

11

1424

Page 17: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

17

Páginas 30 - 33

1. O estabelecimento da unidade de medida é uma resposta pessoal (a figura na

atividade é apenas ilustrativa de uma possível resposta).

2. Atividade resolvida – o professor deve apenas orientar como se constrói e quais são

as propriedades da reta mediatriz.

3.

(1) Traçamos 2

1 (conforme já foi descrito).

(2) Traçamos a mediatriz do segmento que liga os números 0 e 2

1.

(3) O ponto de cruzamento entre a mediatriz e a reta real é o número 4

1.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA COM A RETA REAL

Page 18: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

18

4. Primeiro marcaríamos o 0 e o 1. Em seguida, encontraríamos 4

1,

2

1e

8

1 pela

construção de mediatrizes. De posse de 8

1, transportaríamos o segmento de extremos

em 0 e 8

1 sete vezes à esquerda da marcação do zero da reta.

5. As respostas dessa atividade são apresentadas no Caderno do Aluno para que ele

mesmo possa ir conferindo se sua construção está caminhando corretamente.

Página 34

6.

Páginas 35 - 37

7. As respostas dessa atividade são apresentadas no Caderno do Aluno para que ele

mesmo possa ir conferindo se sua construção está caminhando corretamente.

8.

a) 2

b) 4 2

c) 8 2

d) n 2 , com n potência inteira de 2 (n ≠ 1)

Page 19: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

19

Página 40

9.

10.

Page 20: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

20

Páginas 42 - 43

1.

a) 250 = 25 . 10 = 2,5 . 100 = 0,25 . 1 000 = 2 500 . 0,1

b) 0,004 = 4 . 0, 001 = 0,4 . 0,01 = 0,04 . 0,1 = 0,0004 . 10

c) 4,73 = 47,3 . 0,1 = 0, 473 . 10 = 473 . 0,01 = 0,0473 . 100

d) 0,125 = 125 . 310 = 12,5 . 210 = 1,25 . 110 = 0,0125 . 110

e) 25 300 = 2 530 . 110 = 253 . 210 = 25,3 . 310 = 253 000 . 110

2.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

POTÊNCIAS, NOTAÇÃO CIENTÍFICA E ORDEM DE GRANDEZA

Page 21: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

21

Páginas 43 - 44

Páginas 44 - 45

3.

a) Sete bilhões e trezentos milhões ou 7,3 . 910

b) Dois quintilhões, novecentos e oitenta quatrilhões ou 2,98 . 1810

c) Vinte e cinco centésimos ou 2,5 . 110

d) Quatro décimos de milésimos ou 4 . 410

e) Cento e vinte e cinco décimos de milionésimos ou 1,25 . 510

4.

a) (1,3 . 109 habitantes)

b) (7,045 . 106 km2) e (4,75 . 106 km2)

c) (3 . 510 km/s)

d) ( 410 m)

Page 22: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

22

Página 45

5.

a) 1,2 . 103 . 5 . 105 = 6 . 108

b) 1,5 . 10-4 . 2 . 10-3 = 3 . 10-7

c) 4,5 . 105 ÷ 9 . 10-3 = 0,5 . 108 = 5 . 107

d) (4 . 10-4)4 = 256 . 10-16 = 2,56 . 10-14

6.

a) 103 . (2,5 . 102 + 7) = 103 . (257) = 2,57 . 105

b) 2,5 . 107 – 0,5 . 107 = 2 . 107

c) 1 280 . 105 + 4 . 105 = 1 284 . 105 = 1,284 . 108

d) 75,4 . 106 – 3,2 . 106 = 72,2 . 106 = 7,22 . 107

Página 46

7.

Page 23: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

23

8.

Podemos resolver esse problema aplicando o Teorema de Pitágoras.

SatTerraTerraSolSatSol DDD 222

9816

162

16162

16182

22829

222

10.39,110.9,1310.04,194

10.04,194

10.96,110.196

10.96,110.96,1

)10.4,1()10.4,1(

SatTerra

SatTerra

SatTerra

SatTerra

SatTerra

SatTerraTerraSolSatSol

D

D

D

D

D

DDD

A distância entre a Terra e Saturno é de aproximadamente 1 390 000 000 km.

Páginas 47 - 48

9.

a) É da ordem de 1010 .

b) É da ordem de 1025 kg.

c) É da ordem de 10–27 g.

d) É da ordem de 104 m.

e) É da ordem de 1010 anos.

Page 24: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

24

AJUSTES

Caderno do Professor de Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada

página.

Page 25: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

13

Matemática – 8a série, 1o bimestre

esses dois conjuntos. Os elementos da inter-seção possuem as propriedades de A e de B

simultaneamente. Escrevemos A ∩ B.

Exemplo: os diagramas mostram que alguns

números ímpares são primos, como, por exem-

plo, 3, 5, 7, etc. O 9 é ímpar, mas não é primo.

Ímpares Primos

3. Reunião ou união: a ou b. O conjunto da reunião entre A e B contém todos os ele-mentos de A e de B. Escrevemos A ∪ B.

Exemplo: a reunião dos múltiplos de dois e

dos múltiplos de três. A interseção são os múl-

tiplos de seis.

M(2) M(3)

Pares Primos

Pares

Animais

Ímpares

Minerais

M(5)

M(10)

4. Diferença: algum a não é b. Os elemen-

tos da diferença entre os conjuntos A e

B são aqueles que pertencem a A e não

pertencem a B. Escrevemos A – B.

Exemplo: a figura representa os números pares

que não são primos. Trata-se da diferença entre os

conjuntos. Pares – Primos = {0, 4, 6, 8, 10, ...}.

5. Complementar: caso particular da dife-

rença entre dois conjuntos, quando um

deles é subconjunto do outro. Contém

os elementos de A que não pertencem

ao subconjunto B.

C B AAB = – A – B

Exemplo: o complementar dos múltiplos

de 10 em relação aos múltiplos de 5 são 5, 15,

25, 35, 45, ...

6. Conjuntos mutuamente exclusivos ou dijuntos: nenhum a é b. Se nenhum ele-mento de um conjunto A pertence a outro conjunto B, então esses conjuntos são mu-tuamente exclusivos. A interseção entre os dois conjuntos é vazia. A ∩ B = ∅.

Exemplo: os números pares e os números

ímpares são mutuamente exclusivos, pois não

possuem elemento em comum.

Para representarmos as relações entre dois

ou mais conjuntos, recorremos a mais diagra-

mas. Por exemplo:

Mamíferos

apelegrini
Oval
Page 26: 2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito

48

Podemos resolver esse problema aplicando o

Teorema de Pitágoras.

D D DSol Sat Sol Terra Terra Sat- - -2 2 2= +

(1,4 . 109)2 = (1,4 . 108)2 + DTerra Sat–2

DTerra Sat-2

= 1,96 . 1018 – 1,96 . 1016

DTerra Sat-2

= 196 . 1016 – 1,96 . 1016

DTerra Sat-2

= 194,04 . 1016

DTerra Sat- , ,6 8194 04 10 13 9 10= . .� =

= 1,39 . 109

A distância entre a Terra e Saturno é de

aproximadamente 1 390 000 000 km.

Ordem de grandeza

Em muitas situações, quando trabalha-

mos com medidas muito grandes ou muito

pequenas, não há necessidade de conhecer

com precisão todos os algarismos que com-

põem o número. Nesses casos, basta conhe-

cer a potência de 10 que mais se aproxima

de um determinado valor. Essa potência é

denominada ordem de grandeza do número

que expressa a medida.

Exemplos:

a) o raio orbital médio do planeta Júpiter mede aproximadamente 778 547 200 km. Esse número pode ser escrito como 7,785472 . 108 km. Como 7 está mais próximo de 10 do que de 1, podemos aproximá-lo para 10, resultando no produto 10 . 108. Portanto, sua ordem de grandeza é de 109.

b) a ordem de grandeza do número 0,000031 é 10–5. Isso porque, escreven-do o número em notação científica, 3,1 . 10–5, notamos que o 3 está mais próximo do 1 do que do 10. Portanto, aproximamos o número para baixo, re-sultando em 1 . 10–5.

Conhecendo as ordens de grandezas de

diversas medidas, podemos facilmente dis-

tinguir qual é a menor ou a maior, bastando

comparar os expoentes das potências de 10.

Retomando a tabela da atividade 6, que infor-

ma as distâncias médias dos planetas ao Sol,

podemos constatar que a distância Terra-Sol é

da ordem de 108 km, enquanto a de Júpiter

é da ordem de 109 km, ou seja, é cerca de

10 vezes mais distante.

Atividade 8

Dê a ordem de grandeza das seguintes

medidas:

a) população mundial: aproximadamente 6,6 bilhões em 2007.

1010

b) massa da Terra: 5,9742 . 1024 kg

1025 kg

Atividade 7

Com base na tabela anterior, imagine o se-

guinte problema: Em determinado instante,

Sol, Terra e Saturno formam um triângu-

lo retângulo com o ângulo reto na Terra.

Neste momento, qual é a distância entre

Saturno e a Terra?

mvicente
Oval
mvicente
Oval