1

Caro Professor,

Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010.

As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes.

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.

Bom trabalho!

Equipe São Paulo faz escola.

2

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

A GEOMETRIA E O MÉTODO DAS COORDENADAS

GABARITO

Caderno do Aluno de Matemática – 3ª série – Volume 1

Páginas 3 - 10

1.

a) ud AB 525169)37()25( 22

b) 3

4

25

37

x

ym

2. y = 5

3. x = – 2

4. Resposta pessoal. Professor, discuta com os alunos as fórmulas e as propriedades que

foram envolvidas nos atividades de 1 a 3.

5.

a) y = x + 3

b) y = 2

1 x + 5

6.

a) m = 1 e h = 3

3

b) m = –2

1 e h = 5

7.

a) concorrentes (m1 ≠ m2)

b) paralelas (m1 = m2)

8.

a) A(–5; –5 3 ), B(5; –5 3 ), C(10; 0), D (5; 5 3 ); E(–5; 5 3 ); F (–10; 0);

M (0; 0).

b)

3

3,

3

3,0,3

,3,3,3,3

FBACEDFA

AMBCDCFE

mmmm

mmmm

c) AB: (0; –5 3 ), FC: (0; 0); FM: (–5; 0); AE: (–5; 0); BC: (7,5; 2

35 );

DC: (7,5; 2

35);

AD: (0; 0)

9.

a) A(5; 0), B(15; 0), C(20; 5 3 ), D(15; 10 3 ), E(5; 10 3 ), F(0; 5 3 )

b) M(10; 5 3 )

c) 3,3 BEAD mm

d) AE: (5; 5 3 ), BD: (15; 5 3 )

e) uddd FCBEAD 20300100)3100()155( 22

4

10.

a) Calculando as inclinações dos segmentos AB e CD, notamos que elas são iguais:

mAB = 313

28

mCD = 32

6

)2(4

82

Logo, AB e CD são paralelos. De modo análogo, mostramos que AD e BC também

são paralelos. Resulta, então, que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo.

b) ud AB 102436)13()28( 22

c) ud AC 53936)12()28( 22

d)

5

Basta lembrar que as diagonais do paralelogramo se cruzam no ponto médio de cada

uma delas, e achar o ponto médio de AC, por exemplo:

)5;2

1(5

2

82

22

1

2

)2(1

2

M

yyye

xxx CA

MCA

M

e) Verificando no desenho, a base de AMD tem comprimento 5 e altura 3; logo a

área de AMD é: 25,72

3.5

2

.u

hbAAMD

Páginas 11 - 12

1.

a) )2

13;1(

2

13

2

130

21

2

)2(0

2

M

yyye

xxx CA

MCA

M

)10;2

1(10

2

137

22

1

2

)2(3

2N

yyye

xxx CB

NCB

N

b) 3

7

)1(2

12

1310

3

7

MNAB mem

Como as inclinações são iguais, concluímos que os segmentos AB e MN são

paralelos.

6

c) ud AB 58499)07()03( 22

udMN 2

58

4

9

4

49)1(

2

1

2

1310

22

Ou seja, dAB = 2 dMN

Páginas 12 - 14

1.

a) Devemos ter mAB = mBC, logo: 972

4

34

7

13

37

kkk

b) A área do triângulo ABC será nula quando os três pontos estiverem alinhados,

ou seja, quando k = 9. É interessante aproximar essas duas informações: sempre que

três pontos estão alinhados, a área do triângulo formado por eles é nula, e vice-versa.

c) Vamos construir uma figura para orientar a solução.

Por inspeção direta na figura, verificamos que a base AC mede 3 e a altura relativa

mede 4, logo a área é: 262

43

2u

hbAABC

2. Basta seguir os passos do enunciado: calcular os pontos médios dos quatro

segmentos determinados pelos pontos escolhidos arbitrariamente, calcular as

7

inclinações dos segmentos determinados por esses quatro pontos médios, e verificar

que elas são iguais duas a duas. Converse com seus colegas e procure verificar que

isso vale para qualquer quadrilátero. Em outras palavras, os pontos médios dos lados

de um quadrilátero qualquer sempre formam um paralelogramo.

Desafio!

Página 15

Por inspeção direta, notamos que a distância de P até a reta y = 3 é igual a

15 – 3 = 12. Analogamente, notamos que a distância de P até a reta x = 9 é 9 – 2 = 7.

Para calcular a distância de P até a reta y = 3x + 1, observando na figura a

semelhança entre os triângulos PAB e MNQ, temos: QN

PA

QM

PB

Logo, uddd

5

104

10

108

10

8

13

8

1 22

8

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

A RETA, A INCLINAÇÃO CONSTANTE E A PROPORCIONALIDADE

Páginas 16 - 21

1. O aumento de y será de 473,5, pois esse valor é a taxa de variação do y para cada

unidade do x.

2.

9

3.

12.35 hhhmxy , a reta terá equação: y = 3x – 1.

4.

43434.16

1.7

xyhemhm

hmhmxy

5.

a) AB: y = 5,

BC: x = 5,

CD: y = 0,

DA: x = 0, AC: y = -x + 5,

BD: y = x

b) EF: y = – 3 x + 5 3 ,

FG: y = 0, GE: 353 xy ,

10

OM: xy 3

6.

AA ((00;; 00)) ((00;; 44)) ((00;; ––33)) ((00;; 77)) ((11;; 22))

rr y = 4 – 3x y = 2x – 5 y = 0,2x + 7 y = – 3 x + 2 y = 3x + 7

mmrr –3 2 0,2 = 5

1 – 3 3

mmtt 3

1

2

1– –5

3

3

3

1–

A(0; 0) e m = 3

1

y = x3

1+ h, como a reta passa pela origem (0; 0), h = 0 e temos: y = x

3

1

A(0; 4) e m = 2

1–

y = hx 2

1, como a reta passa pelo ponto (0; 4), temos:

42

140.

2

14 xyhh

Nos demais casos, temos, sucessivamente: y = –5x –3, 73

3 xy e

3

7

3

1 xy

7. A: y ≥ 3x + 5 B: y < 5 – 0,5x C: – 3 + 2x ≤ y ≤ 5 + 2x

D: 4 – 0,9x ≤ y < 7 – 0,5x E: 4 ≤ y ≤ 4 + x para 0 ≤ x ≤ 7 F: – 2 x < y ≤

para 0 ≤ x ≤ 5

8.

a) Sendo x a quantidade de gramas de A a ser ingerida, devemos ter x . 0,15 ≥ 75.

Concluímos, então, que x ≥ 500, ou seja, devem ser ingeridos no mínimo 500 g do

alimento A.

b) A quantidade y em gramas de proteína ingerida é uma função da quantidade x

em gramas ingerida do alimento A, temos y = 0,15x.

11

c) Os pares (x; y) do plano cartesiano que correspondem ao atendimento à

prescrição da dieta são os pontos da reta y = 0,15x tais que x ≥ 500, ou seja, são os

pontos à direita da reta x = 500.

d) Os pares (x: y) que correspondem a alimentos mais ricos em proteínas do que A

são tais que

y > 0,15x, ou seja, ingerindo-se x gramas, a quantidade y de proteínas será maior do

que 0,15x; trata-se da região acima da reta y = 0,15x. Como devemos ter a ingestão

de, no mínimo, 75g de proteína, então y ≥ 75, e devemos considerar apenas os pontos

acima da ou na reta y = 75.

12

Páginas 21 - 23

1.

a) Sabendo que existe a opção de não plantar todos os 18 alqueires, devemos ter,

então, a soma x + y menor ou igual a 18, ou seja, x + y ≤ 18.

b) Representando no plano cartesiano, obtemos o semiplano abaixo da reta

x + y = 18, e mais os pontos da reta x + y = 18; naturalmente, somente faz sentido

no problema em questão os pares (x; y) em que temos x ≥ 0 e y ≥ 0.

c) Sabendo que devem ser plantados no mínimo 5 alqueires de milho, temos, então,

x 5, no plano, teremos a região à direita da reta x = 5, e abaixo da reta x + y = 18.

d) Sabendo que devem ser plantados no mínimo 5 alqueires de milho e no mínimo

3 alqueires de alfafa, devemos ter, simultaneamente, x + y 18, x ≥ 5 e y ≥ 3; no

13

plano, trata-se da região acima da ou na reta y = 3, à direita da ou na reta x = 5, e

abaixo da ou na reta x + y = 18.

14

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

PROBLEMAS LINEARES – MÁXIMOS E MÍNIMOS

Páginas 24 - 28

1.

a)

b) O custo fixo é 3 000 e o custo variável é 150x, eles são iguais quando:

3 000 = 150x, ou seja, quando x = 20

15

c) O custo fixo passará a corresponder a 10% do custo total quando 3 000 = 10%

de (3 000 + 150x), ou seja, quando 3 000 = 0,1(3 000 + 150x) e então, x = 180.

2.

a) Para termos 2 400 = 5x + 8y, podemos ter x = 0 e y = 300, ou então, y = 0 e x =

480, ou ainda x = 400 e y = 50. Existem infinitos pares de valores de x e de y que

satisfazem a relação dada: são os correspondentes aos pontos da reta cuja equação

5x + 8y = 2 400 está representada a seguir:

b) Sendo C = 3 200, então temos: 5x + 8y = 3 200. Os pares (x; y) correspondentes

situam-se sobre a reta 5x + 8y = 3 200.

Quando y = 0, x assume o valor máximo possível: x = 640

Quando x = 0, y assume o valor máximo possível: y = 400

16

c) Teremos o custo C menor ou igual a 3 200 na região do primeiro quadrante

situada na reta 5x + 8y = 3 200 ou abaixo dela:

3.

a) Como cada pacote do alimento I fornece 1,2 mg de vitamina B2, x pacotes de I

fornecerão x.1,2 mg de vitamina B2; se cada pacote de II fornece 0,15 mg de B2,

então y pacotes de II fornecerão 0,15.y mg de vitamina B2. Logo, ingerindo x pacotes

de I e y pacotes de II, a quantidade ingerida de B2 será igual a 1,2x + 0,15y. Para a

dieta ser satisfeita, devemos ter

1,2x + 0,15y 6.

b) Os pontos (x;y) que satisfazem a relação 1,2x + 0,15y 6 são os pontos do

primeiro quadrante que se situam acima da ou na reta 1,2x + 0,15y = 6. Essa reta

corta o eixo OX no ponto (5;0) e o eixo OY no ponto (0;40):

17

4.

a) Como cada pacote de I custa R$ 5,00 e cada pacote de II custa R$ 2,00, o custo

C será igual a 5x + 2y, ou seja: C = 5x + 2y (C em reais).

b) Sendo o custo C1 = 40, os pares (x; y) que satisfazem a relação 40 = 5x + 2y são

os pontos da reta r1, representada a seguir.

Para representar tal reta, basta notar que quando x = 0, y = 20, e que quando

y = 0, x = 8, ou seja, os pontos (0;20) e (8;0) pertencem a r1.

c) Os pontos que correspondem ao custo C2 = 60 e C3 = 80 são pontos,

respectivamente, das retas r2: 5x + 2y = 60 e r3: 5x + 2y = 80, representadas a seguir.

Para representar r2, basta notar que: se x = 0 então y = 30 e se y = 0 então x = 12.

Para representar r3, analogamente, temos: x = 0, y = 40; y = 0, x = 16.

(As retas r2 e r3 são paralelas, pois têm a mesma inclinação m determinada pelos

coeficientes 5 e 2: m = 2

5– )

d) Para cada valor fixado de C, a reta C = 5x + 2y corta o eixo OY no ponto

(0; 2

C); assim, quanto menor o custo, menor o valor de

2

C. Podemos observar esse

fato nos exemplos dos itens anteriores, para C igual a 40, 60 e 80 (reais).

18

e) Recordemos da Atividade 3 que, para a dieta ser satisfeita, os pares (x; y) devem

pertencer à região do primeiro quadrante situada na reta 1,2x + 0,15y = 6 ou acima

dela. Estamos, agora, procurando o par (x; y) que corresponde ao custo mínimo,

dentre os pontos da região em que 1,2x + 0,15y ≥ 6.

Vamos observar como as retas que traduzem os custos da alimentação, representadas

anteriormente, situam-se na região que corresponde à satisfação da dieta.

Notamos que:

• para os diversos valores do custo, as retas representativas são paralelas

(inclinação igual a –2

5);

• quanto mais baixa for a reta que representa o custo, menor é ele

(seu valor determina o ponto em que a reta corta o eixo y, que é (0;C/2);

• o ponto mais baixo a que se pode chegar SEM SAIR DA REGIÃO QUE

SATISFAZ A DIETA (acima ou na reta 1,2x + 0,15y = 6) é o ponto (5; 0);

• nesse ponto, o custo será C = 5 . 5 + 2 . 0 = 25, que é o custo mínimo.

19

Todos esses fatos estão reunidos na figura a seguir:

Páginas 28 - 30

1.

a) Cada alqueire de milho renderá 20 000; logo, se forem plantados x alqueires, o

rendimento será 20 000x. Cada alqueire de cana renderá 15 000; logo, ao se plantar y

alqueires de cana, o rendimento será 15 000y. O rendimento total será R = 20 000x +

15 000y.

b) Sendo x a quantidade de alqueires a serem plantados de milho e y a quantidade

de alqueires plantados de cana, a soma x + y não pode ultrapassar os oito alqueires

disponíveis, ou seja; x + y ≤ 8.

20

c) Como cada alqueire de milho requer 20 000 L de água, x alqueires requererão

20 000x L; da mesma forma, y alqueires de cana utilizarão 10 000y L de água.

Assim, o total de litros de água utilizados será 20 000x + 10 000y, e não poderá

ultrapassar o limite de 120 000, ou seja:

20 000x + 10 000y 120 000. Isso corresponde aos pontos situados abaixo da ou na

reta 20 000x + 10 000y = 120 000. Confira a representação a seguir:

d) Os pontos do plano que satisfazem simultaneamente as duas restrições são os

pontos situados abaixo ou na reta x + y = 8 e abaixo ou na reta 2x + y = 12. Formam

o quadrilátero ABCD indicado na representação a seguir.

21

e) Os pontos (x; y) que correspondem ao rendimento R1 = 75 000 reais são os

pontos da reta r1 de equação 75 000 = 20 000x + 15 000y, ou seja, simplificando os

coeficientes, 4x + 3y = 15;

Os pontos que correspondem ao rendimento R2 = 120 000 são os pontos da reta r2 de

equação 120 000 = 20 000x + 15 000y, ou seja, simplificando os coeficientes, 24 =

4x + 3y. As duas retas são paralelas e estão representadas a seguir:

f) Para cada valor fixado do rendimento R, a reta R = 20 000x + 15 000y corta o

eixo OY no ponto em que x = 0, ou seja, em que y = 00015

R. Isso significa que

quanto maior o rendimento, mais alta a ordenada do ponto em que a reta que o

representa corta o eixo y.

g) Buscamos agora o ponto da região de viabilidade do problema, ou seja, a que foi

determinada no item d, no qual o rendimento total R era o maior possível. O mais

alto possível para a reta R = 20 000x + 15 000y cortar o eixo y SEM SAIR DA

REGIÃO DE VIABILIDADE corresponde à reta que passa pelo ponto de interseção

das retas x + y = 8 e 2x + y = 12. Calculando tal ponto, obtemos x = 4 e y = 4. No

22

ponto (4; 4), portanto, o valor de R é o maior possível, respeitadas as condições de x

+ y ≤ 8 e 2x + y ≤ 12. Calculando o valor de R nesse ponto, obtemos: R = 20 000.4 +

15 000.4, ou seja, R = 140 000 reais. Acompanhe o raciocínio desenvolvido na

figura a seguir:

Desafio!

Páginas 30 - 32

a) Cada unidade de P1 utiliza 2h de M1; cada unidade de P2 utiliza 1h de M1; logo,

produzindo-se x unidades de P1 e y unidades de P2, a máquina M1 ficará ocupada

x.2 + y.1 horas. Como M1 poderá trabalhar no máximo 10 h, devemos ter 2x + 1y

10. Corresponde à região do plano abaixo da ou na reta 2x + y = 10. Gráfico a seguir:

23

b) Analogamente ao item anterior, cada unidade de P1 utiliza 2h de M2 e cada unidade

de P2 utiliza 4h de M2. Logo, x unidades de P1 e y unidades de P2 utilizarão 2x + 4y

horas de M2, e devemos ter 2x + 4y 16. O gráfico está representado a seguir.

c) Trata-se da região do primeiro quadrante situada abaixo das ou nas retas 2x + y = 10

e 2x + 4y = 16; é o quadrilátero A de vértices (0; 0), (5; 0), (0; 4) e (4; 2).

Para encontrar o vértice (4; 2), basta achar a interseção das retas 2x + y = 10 e

2x + 4y = 16. Gráfico a seguir:

24

d) O lucro total L, que resulta da venda de todas as x unidades produzidas de P1 e y

unidades produzidas de P2, é igual a 40x + 60y, pois cada unidade de P1 gera um

lucro de R$ 40,00 e cada unidade de P2 gera um lucro de R$ 60,00. Assim, temos

L = 40x + 60y.

e) Se o lucro L for igual a 120 reais, temos: 120 = 40x + 60y. Os pontos que satisfazem

a essa relação pertencem a uma reta, representada a seguir:

f) Queremos agora encontrar o ponto da região A, indicada no item c para o qual o

lucro total L seja máximo. A região A é formada pelos pares (x;y) que obedecem a

duas restrições inicialmente apresentadas, constituindo, assim, a região de

viabilidade para o problema. Para descobrir tal ponto, vamos relacionar o lucro L

com a região A.

25

       

Para cada valor de L, a expressão L = 40x + 60y representa uma reta; para valores

diferentes de L, as retas correspondentes são todas paralelas.

Por exemplo, para L = 240, temos 240 = 40x + 60y, que é uma reta que intercepta o

eixo x no ponto (6; 0), e o eixo y no ponto (0; 4). Para encontrar o lucro máximo,

basta procurar entre as retas paralelas L = 40x + 60y aquela que corta o eixo y o mais

alto possível, sem sair da região de viabilidade do problema. Tal reta é a que passa

pelo ponto (4; 2); o valor de L correspondente é L = 40 . 4 + 60 . 2 = 280. O lucro

total máximo é, portanto, R$ 280,00.

26

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

CIRCUNFERÊNCIAS E CÔNICAS: SIGNIFICADOS, EQUAÇÕES, APLICAÇÕES

Páginas 35 - 36

1.

a) 16)4()4(4)4()4( 22222 yxyx

b) A reta s que passa pela origem e pelo centro da circunferência tem inclinação

igual a 1, logo, sua equação é y = x.

c) Os pontos de interseção da reta s com a circunferência são as soluções do

sistema formado pelas equações y = x e (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16. Substituindo y por x

na segunda equação, obtemos:

2248)4(16)4(216)4()4( 2222 xxxxx

P1 (4 + 2 2 ; 4 + 2 2 ) e P2 (4 – 2 2 ; 4 – 2 2 )

y 

x

P1  

4

O 

 

4 

4

P2

s

27

d) A distância entre P1 e P2 é o diâmetro da circunferência, visto que a reta s passa

pelo centro da circunferência. Portanto d(P1P2) = 8 u.

Páginas 38 - 40

1. De fato, se os pontos (x; y’) de uma circunferência de centro na origem e raio a

satisfazem a equação x2 + y´2 = a2, os pontos (x; y) da elipse obtida reduzindo todas

as ordenadas na proporção de a para b (a > b > 0) são tais que b

a

y

y

`, ou seja,

y’ = y ·b

a.

Substituindo este valor de y' na equação da circunferência x2 + y'2 = a2, obtemos

22

2 . ab

ayx

, de onde resulta: 1

2

2

2

2

b

y

a

x, que é a equação da elipse.

2.

a) Observando o triângulo retângulo formado na figura, de hipotenusa a e catetos b

e c, concluímos que a2 = b2 + c2.

28

b) Como c = 22 ba , notamos que, sendo fixado o valor de a, quanto maior for o

valor de b, menor será c, e, portanto, menor a excentricidade, ou seja, a elipse se

aproxima de uma circunferência; quanto menor o valor de b, mais próximo de a é o

valor de c e, portanto, maior é a excentricidade, que se aproxima do valor 1, ou seja,

a elipse aproxima-se de um segmento de reta.

3.

a) 125169

1513

122

2

2

2

2

2

2

2

2

yxyx

b

y

a

x

b) A excentricidade da elipse é e = a

c, sendo c = 22 513 = 12. Calculando o

valor de e, temos: e = 923,013

12 .

c) Os focos da elipse são os pontos de coordenadas (c; 0) e (–c; 0), ou seja, são os

pontos (12; 0) e (–12; 0).

d)

13

60

169

144

25169

25

169

169

251

25169

51

25169

222222

kkkkyx

Sendo P do primeiro quadrante, segue que:

13

60;5

13

60Pyk .

e) Podemos calcular a soma das distâncias do ponto P (5; 13

60) até os focos obtidos

no item (c).

f) Mas sabemos, no entanto, que tal valor será igual a 2a, ou seja, a 26.

Páginas 42 - 46

1. Assíntotas: 2x – 3y = 0 e 2x + 3y = 0

29

2.

a) 1169

22

yx

b)

3. Em relação ao sistema de eixos XOY, em que o eixo Y corresponde à reta y = xa

b, e

o eixo X corresponde à reta y = xa

b, a equação da hipérbole seria: X.Y = K

(constante).

xy3

4xy

3

4

1169

22

yx

30

Em relação ao sistema ortogonal xOy, é possível mostrar que ao produto x.y = k

corresponde o produto: (y – xa

b).(y x

a

b ) = k. Um indício de tal fato é a

correspondência:

Y = 0 corresponde a y – xa

b = 0 e X = 0 corresponde a y + x

a

b = 0

(eixo X) (assíntota da hipérbole) (eixo Y) (assíntota da hipérbole)

Calculando o produto indicado, temos:

X.Y = K corresponde a (y – xa

b) . (y + x

a

b) = k, ou seja, y2 – 2

2

2

xa

b= k

Como a curva passa pelo ponto (a; 0), podemos calcular o valor de k: 02 – 22

2

aa

b = k,

ou seja, k = –b2.

Logo, a equação da hipérbole é y2 – 22

2

xa

b = – b2, de onde obtemos: 1

2

2

2

2

b

y

a

x.

4.

a) Temos a = 4, b = 3; logo, c = 22 ba = 5. Os focos são os pontos (5; 0) e

(–5; 0).

A diferença entre as distâncias de um ponto qualquer da hipérbole até os dois focos é

igual a 2a, ou seja, 8.

b) Analogamente, a = 5, b = 12 e c = 13. Focos: (13; 0) e (–13; 0)

A diferença entre as distâncias de um ponto qualquer da hipérbole até os dois focos é

2a = 10.

c) Nesse caso, os eixos estão invertidos e os focos estão no eixo y. Temos c = 5 2

e os focos (0; 5 2 ) e (0; –5 2 ).

A diferença entre as distâncias de um ponto qualquer da hipérbole até os dois focos é

2a = 10.

31

Página 48

1.

a) Consideremos a parábola y = k . x2.

Se o foco for o ponto F(0; c), então a diretriz r será a reta y = –c, pois o ponto (0; 0)

pertence à parábola e a distância dele ao foco deve ser a mesma que a distância dele à

diretriz.

Sendo P (x; y) um ponto qualquer da parábola, a distância de P ao foco deve ser igual

à distância até a diretriz, ou seja: d(P, F) = 22 )( cyx = y + c = d(P, r). Logo,

x2 + (y – c)2 = (y + c)2.

Substituindo y por kx2 e efetuando os cálculos, obtemos:

x2 + (kx2 – c)2 = (kx2 + c)2 x2 + k2x4 + c2 – 2kx2c = k2x4 + c2 + 2kcx2

x2 – x24kc = 0 c = kx

x

4.2

2

Daí segue que, para a igualdade valer para todo x, devemos ter c = k4

1

Logo, o foco é o ponto (0; k4

1) e a diretriz é a reta y = –

k4

1

32

b) Analogamente, se a parábola fosse x = ky2, teríamos: foco (k4

1;0) e diretriz

x = –k4

1

c) Para uma parábola de equação y = kx2 + h, o foco e a diretriz seriam

transladados na direção do eixo OY de um valor h, ou seja, teríamos

F(0; h +k4

1) e r: y = h –

k4

1

33

Página 48

Experiência Pessoal.

AJUSTES

Caderno do Professor de Matemática – 3ª série – Volume 1

Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada

página.

14

Para calcular a distância de um ponto a

uma reta, deixando de lado o caso mais sim-

ples, em que a reta é paralela a um dos eixos,

podemos explorar a semelhança de triângu-

los indicada na figura:

r : y = mx + h

yp – yr

yr = mxp+h

d (P, r)

m

yr

yP

xp

P

1

x

y

d P ry y m

d P ry y

m

d P ry

rp

rp

p

( ; ) – 

( ; ) – 

( ; )

=+

=+

=

1

1

1

2

2

  –  –m . x h

m

r

1 2+

Para continuar nosso estudo de Geometria

Analítica, três lembretes são importantes.

Em primeiro lugar, trata-se de uma retoma-

da de modo mais sistemático de um uso dos sis-

temas de coordenadas que, de fato, já se iniciou

bem anteriormente, na solução de sistemas de

equações lineares e no estudo das funções.

m1 = 0 r1

r2

não existe m2

r1 e r2 perpendiculares(caso particular)

x

y

r1

y1 = m1x + h1

y2 = m2x + h2

r2

r1 e r2 perpendiculares: m1 . m2 = –1

x

y

19

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

É interessante associar esse fato ao resul-

tado da Atividade 3, notando que os lados do

paralelogramo são os segmentos que unem os

pontos médios dos lados dos triângulos em que

o quadrilátero inicial se divide quando são tra-

çadas as suas diagonais.

Atividade 6

Calcule a distância do ponto P de coor-

denadas (2; 15) à reta r nos casos indicados

a seguir:

a) r: y = 3 b) r: x = 9 c) y = 3x + 1

Vamos fazer uma figura para orientar a solução:

Atividade 5

Em um sistema de coordenadas qualquer,

represente quatro pontos de modo a forma-

rem um quadrilátero ABCD. Pode escolher as

coordenadas à vontade. Analisando o quadri-

látero formado:

a) Calcule os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA.

b) Mostre que os quatro pontos médios obtidos formam um paralelogramo.

Basta seguir os passos do enunciado: calcular os

pontos médios dos quatro segmentos determi-

nados pelos pontos escolhidos arbitrariamente,

calcular as inclinações dos segmentos determi-

nados por esses quatro pontos médios, e veri-

ficar que elas são iguais duas a duas. Converse

com seus colegas e procure verificar que isso vale

para qualquer quadrilátero. Em outras palavras,

os pontos médios dos lados de um quadrilátero

qualquer sempre formam um paralelogramo.

yB

C

x

43

A

7

3

1

D

A

B

C

N

3

MQ

P

y

A

x

B

d

15

7

3

1

0 2 9

15 – 7 = 8

y2 = 3 . 2 + 1 = 7

y = 3

10

x = 9

y = 3x + 1

1

10

23

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

Para a familiarização com tais fatos são

apresentados a seguir alguns exercícios. As

questões formuladas são simples, mas repre-

sentam conhecimentos fundamentais. Com

os valores de h e m, podemos escrever direta-

mente a equação da reta (Atividade 1). Tam-

bém podemos facilmente escrever a equação

da reta que passa por um ponto dado, com

inclinação dada, ou que passa por dois pontos

dados (Atividades 2 e 3).

Atividade 1

Represente no plano cartesiano as retas

r1 a r9 correspondentes aos valores de h e m

tabelados abaixo:

m1 ≠ m2 r1 e r2 concorrentes

y

x0

r1

r2

y = m1 . x + h1

y = m2 . x + h2

Um esboço das nove retas, destacando-se os

valores relativos dos coeficientes m e h, é

indicado a seguir:

h m

r1 0 5

r2 3 –2

h m

r3 –3 –2

r4 –1 ∙∙∙5

r5∙∙∙3 –7

r6 – ∙∙∙5 6,4

r7 π 0

r8 –0,5 – ∙∙∙7

r9 –0,8 π

y = – 5 + 6,4x

y = – 0,5 – 7 x

y = 3 – 7x

y = – 0,8 + πx

y = 3 – 2x

y = 5x

y = – 3 – 2x

y = π

r1

r2

r3

r4

r5

r6

r7

r8

r9

y = –1 + 5 x

y

x

38

Os pontos do plano que satisfazem simulta-

neamente as duas restrições são os pontos

situados abaixo ou na reta x + y = 8, e abai-

xo ou na reta 2x + y = 12. Formam o qua-

drilátero ABCD indicado na representação

a seguir.

e) Determine o conjunto dos pontos (x; y) do plano que correspondem ao rendimento R1 = 75 000 reais e os que correspondem ao rendimento R2 = 120 000 reais.

Os pontos (x; y) que correspondem ao rendi-

mento R1 = 75 000 reais são os pontos da reta

r1 de equação 75 000 = 20 000x + 15 000y,

ou seja, simplificando os coeficientes,

4x + 3y = 15.

Os pontos que correspondem ao rendimento

R2 = 120 000 são os pontos da reta r2 de equa-

ção 120 000 = 20 000x + 15 000y, ou seja,

simplificando os coeficientes, 24 = 4x + 3y.

As duas retas são paralelas e estão represen-

tadas a seguir:

c) Qual a relação entre x e y que traduz a exigência de que o total de água a ser utilizado não pode superar os 120 000L? Represente no plano cartesiano os pon-tos (x; y) que satisfazem essa relação.

Como cada alqueire de milho requer 20 000L

de água, x alqueires requererão 20 000x L; da

mesma forma, y alqueires de cana utilizarão

10 000y L de água. Assim, o total de litros

de água utilizados será 20 000x + 10 000y, e

não poderá ultrapassar o limite de 120 000,

ou seja: 20 000x + 10 000y ≤ 120 000. Isso

corresponde aos pontos situados abaixo da

reta ou na reta 20 000x + 10 000y = 120 000.

Confira a representação:

Para representar a reta, podemos simplificar

os coeficientes, obtendo 2x + y = 12.

para x = 0, temos y = 12; f

para y = 0, temos x = 6. f

d) Represente no plano cartesiano o con-junto dos pontos que satisfazem simul-taneamente as duas exigências expressas nos itens b e c (lembrando que devemos ter x ≥ 0, y ≥ 0).

y

12

0 6 8

2x + y = 12

2x + y ≤ 12

x

y

12

8 A

D C

B

0 6 8

2x + y = 12

x + y = 8

x

39

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

r1: 4x + 3y = 15 r2: 4x + 3y = 24

x = 0 ⇒ y = 5 x = 0 ⇒ y = 8

y = 0 ⇒ x = 15

4 y = 0 ⇒ x = 6

f) Mostre que, quanto maior o rendimento R, maior a ordenada do ponto em que a reta que o representa corta o eixo OY.

Para cada valor fixado do rendimento R, a

reta R = 20 000x + 15 000y corta o eixo

OY no ponto em que x = 0, ou seja, em que

y = R

15 000. Isso significa que quanto maior o

rendimento, mais alta a ordenada do ponto em

que a reta que o representa corta o eixo y.

g) Determine o ponto da região do item d que corresponde ao rendimento total máximo.

Buscamos agora o ponto da região de viabi-

lidade do problema, ou seja, que foi deter-

minado no item d, no qual o rendimento total

R é o maior possível. O mais alto possível para

a reta R = 20 000x + 15 000y cortar o eixo y

sem sair da região de viabilidade corresponde

à reta que passa pelo ponto de interseção das

retas x + y = 8 e 2x + y = 12. Calculando tal

ponto, obtemos x = 4 e y = 4. No ponto (4; 4),

portanto, o valor de R é o maior possível, res-

peitadas as condições de x + y ≤ 8 e 2x + y ≤ 12.

Calculando o valor de R nesse ponto, obtemos:

R = 20 000.4 + 15 000.4, ou seja, R = 140 000

reais. Acompanhe o raciocínio que foi feito na

figura abaixo:

Atividade 6

Uma fábrica utiliza dois tipos de máquinas,

M1 e M2, para produzir dois tipos de produtos,

P1 e P2. Cada unidade de P1 exige 2 h de tra-

balho de M1 e 2 h de M2; cada unidade de P2

exige 1 h de trabalho de M1 e 4 h de M2. Sabe-

se que as máquinas M1 e M2 podem trabalhar

no máximo 10 h por dia e 16 h por dia, respec-

tivamente, e que o lucro unitário, na venda de

P1, é igual a 40 reais, enquanto na venda de P2,

o lucro unitário é de 60 reais. Representando

y

12

B

x + y = 8

86 15 ___ 4 x

C

R2 = 120 0002x + y = 12

R1 = 75 000

A

5

D

0 fora da região da viabilidade

Rmáximo

4

4

y

12

B

x + y = 8

86 15 ___ 4 x

C

R2 = 120 0002x + y = 12

R1 = 75 000

A

5

D

0

41

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

d) Qual a expressão do lucro total L que resulta da venda de todas as unidades produzidas de P1 e P2?

O lucro total L, que resulta da venda de todas

as x unidades produzidas de P1 e y unidades

produzidas de P2, é igual a 40x + 60y, pois

cada unidade de P1 gera um lucro de 40, e

cada unidade de P2 gera um lucro de 60. As-

sim, temos L = 40x + 60y.

e) Represente os pontos do plano que cor-respondem a um lucro total igual a 120 reais.

Se o lucro L for igual a 120 reais, temos:

120 = 40x + 60y. Os pontos que satisfazem

a essa relação pertencem a uma reta, repre-

sentada a seguir:

f) Qual o ponto da região do item c que corresponde ao lucro total máximo?

Queremos agora encontrar o ponto da re-

gião A, indicada no item c, para o qual o

lucro total L seja máximo. A região A é

formada pelos pares (x; y), que obede-

cem às duas restrições inicialmente apre-

sentadas, constituindo, assim, a região de

viabilidade para o problema. Para desco-

brir tal ponto, vamos relacionar o lucro L

com a região A.

Para cada valor de L, a expressão L = 40x

+ 60y representa uma reta; para valores

diferentes de L, as retas correspondentes

são todas paralelas. Por exemplo, para

L = 240, temos 240 = 40x + 60y, que é uma

reta que intercepta o eixo x no ponto (6;

0), e o eixo y no ponto (0; 4).

Para encontrar o lucro máximo, basta

procurar entre as retas paralelas L = 40x +

60 . y aquela que corta o eixo y o mais alto

possível, sem sair da região de viabilidade

do problema. Tal reta é a que passa pelo

ponto (4; 2); o valor de L correspondente é

L = 40 . 4 + 60 . 2 = 280. O lucro total má-

ximo é, portanto, 280 reais.

y

x3

2

0

120 = 40x + 60y

2x + 4y ≤ 16

y

10

8653 4x

2

2x + y ≤ 10

Lmáximo

L = 240

Lucro crescente

AL = 120

45

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

Atividade 1

Considere a circunferência de centro (4; 4)

e de raio 4.

a) Represente-a no plano cartesiano e de-termine sua equação.

A equação da circunferência é

(x – 4)2 + (y – 4)2 = 16; ver figura a seguir.

b) Determine a equação da reta s que pas-sa pela origem e pelo centro da circun-ferência.

A reta s que passa pela origem e pelo centro

da circunferência tem inclinação igual a 1;

logo, sua equação é y = x.

c) Calcule as coordenadas dos pontos P1 e P2, de interseção da reta s com a circun-ferência dada.

Os pontos de interseção da reta s com a circun-

ferência são as soluções do sistema formado

pelas equações y = x e (x – 4)2 + (y – 4)2 =

16. Substituindo y por x na segunda equa-

ção, obtemos x1 = 4 + 2∙∙∙2 e x2 = 4 – 2∙∙∙2 .

Logo, P1 = (4 + 2∙∙∙2 ; 4 + 2∙∙∙2 ) e

P2 = (4 – 2∙∙∙2 ; 4 – 2∙∙∙2 ).

d) Calcule a distância entre P1 e P2.

Calculando a distância entre P1 e P2, encon-

tramos 8, que é o diâmetro da circunferência.

Elipse

As curvas chamadas cônicas – a elipse, a

hipérbole e a parábola – ocorrem com muita

frequência na natureza e no dia-a-dia. Vamos

conhecer suas principais características, ini-

ciando pela elipse.

Quando inclinamos um recipiente cilíndri-

co aberto, de seção circular, contendo água em

repouso, o contorno da superfície da água é

uma elipse. Também é uma elipse a sombra

projetada de uma circunferência situada em

um plano vertical, quando a luz do Sol, ou

outra luz qualquer, incide obliquamente.

Foi Kepler (1571-1630), em seus estudos de

Astronomia, quem associou às trajetórias dos

planetas ao redor do Sol não mais circunferên-

cias, mas sim elipses, ou seja, circunferências

“achatadas”. Nessas elipses, Kepler destacou

Professor:

Outros exercícios poderiam ser propos-tos, articulando o reconhecimento da equação da circunferência e os resulta-dos já conhecidos sobre retas. Em virtu-de da limitação do espaço do Caderno, deixamos tal tarefa para o discernimento e a disponibilidade do professor.

y

x0

4

4

4

SP1

P2

46

a existência de dois pontos simetricamente

opostos em relação ao centro, chamados fo-

cos, em um dos quais o Sol se situava.

A partir desses dois pontos, uma proprieda-

de fundamental pode ser utilizada para caracte-

rizar uma elipse: qualquer ponto da elipse é tal

que a soma das distâncias até esses dois pontos

fixados, que são os focos, é constante. Jardineiros

utilizam frequentemente essa propriedade para

construir canteiros elípticos: fincando-se duas

estacas, uma em cada foco, e deslocando-se um

estilete, com um barbante de comprimento L

(maior do que a distância entre os focos) estica-

do, obtém-se uma elipse.

d(P, F1) + d(P, F2) = constante

Um coador de café de plástico pode ilus-

trar o fato de que as elipses podem ser con-

sideradas como curvas intermediárias entre a

circunferência e o segmento de reta:

Uma elipse apresenta dois eixos de sime-

tria: o semieixo maior costuma ser represen-

tado por a, o menor por b. Assim, os dois

eixos são 2a e 2b.

Como já foi dito anteriormente, a elipse é

como uma circunferência "achatada". Com

isso em mente, vamos obter a equação da elipse

com centro na origem na atividade seguinte.

F1 F20 x

y

Semieixos

a

�

–a

–b

b

52

Ou seja, y2 – b2

a2 x2 = k.

Como a curva passa pelo ponto (a; 0), pode-

mos calcular o valor de k:

02 – b2

a2 a2 = k, ou seja, k = – b2

Logo, a equação da hipérbole é

y2 – b2

a2 x2 = – b2, de onde obtemos:

x2

a2 –

y2

b2 = 1

Exemplo ilustrativo

A curva de equação x2

9 –

y2

16 = 1 é uma hi-

pérbole que passa pelo ponto (3; 0) e tem como

assíntotas as retas y = 4

3x e y = –

4

3x.

Atividade 6

Sendo y = b

a x e y =

–b

a x , com a e b posi-

tivos, as assíntotas de uma hipérbole que passa

por (a; 0), os pontos F1: (c; 0) e F2: (–c; 0), tais

que c2 = a2 + b2, são chamados focos da hipérbole.

Na figura a seguir, são mostrados os focos da

hipérbole. É possível mostrar que a diferença

Professor:

Neste ponto, seria interessante apresen-tar diversos exercícios de representação no plano cartesiano de hipérboles da-das por equações na forma apresentada acima, sempre destacando as assínto-tas, que podem ser obtidas pela simples fatoração da diferença de quadrados, característica da equação da hipérbole nessa forma.

entre as distâncias de um ponto qualquer da hi-

pérbole até F1 e até F2 é constante e igual a 2a.

Para cada uma das hipérboles a seguir, deter-

mine os focos e calcule o valor constante da di-

ferença das distâncias entre um ponto qualquer

da hipérbole e os focos. Confira o valor obtido

fazendo os cálculos diretamente para um ponto

da hipérbole arbitrariamente escolhido.

a)

Temos a = 4, b = 3; logo, c = a2 + b2 = 5.

Os focos são os pontos (5; 0) e (–5; 0).

A diferença entre as distâncias de um pon-

to qualquer da hipérbole até os dois focos é

igual a 2a, ou seja, é 8.

∙∙∙∙∙∙∙

x

y

4

3

0

x5

b

y

c

ca0

– a– cF2 F1

y = ba

x

y = – ba

x

53

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

b)

Analogamente, a = 5, b = 12 e c = 13.Focos: (13; 0) e (–13; 0). A diferença entre

as distâncias de um ponto qualquer da hipér-

bole até os dois focos é 2a = 10.

c)

Neste caso, os eixos estão invertidos, e os fo-

cos estão no eixo y. Temos c = 5∙∙∙2 e os focos

(0; 5∙∙∙2) e (0; –5∙∙∙2). A diferença entre as

distâncias de um ponto qualquer da hipérbole

até os dois focos é 2a = 10.Um dos sistemas utilizados para a locali-

zação de automóveis utiliza a propriedade ca-

racterística da hipérbole anteriormente referi-

da, ou seja, a diferença das distâncias de um

ponto P qualquer da hipérbole a dois pontos

fixados F1 e F2 , que são seus focos, é constan-

te, ou seja, o valor absoluto da diferença PF1 –

PF2 = constante. Se um auto situado no ponto

P enviar um sinal para cada uma das centrais

F1 e F2, considerando a diferença dos tempos

de recepção dos sinais, e consequentemente,

das distâncias entre P e F1 e P e F2, pode-se

concluir que o ponto P situa-se em um dos

ramos de uma hipérbole H12. Se outro sinal

for enviado do auto para uma terceira cen-

tral F3, combinando-se os dados de F2 e F3 ,

pode-se concluir que o ponto P situa-se sobre

outra hipérbole H32. Os pontos de interseção

das duas hipérboles fornecem as posições pos-

síveis para o auto.

x

y

5

5

x

y

5

12

F1

F2

F3

P

P

H32

H32

H12

H12

??

54

Parábola

Em geral, quando representamos grafica-

mente pares (x; y) de grandezas tais que y é

diretamente proporcional ao quadrado de x

(y = kx2, k constante e k ≠ 0), a curva corres-

pondente no plano cartesiano é uma parábola.

É o que ocorre, por exemplo, quando uma

pedra é abandonada e registramos a relação

entre a distância percorrida verticalmente e o

tempo de queda livre. Também é uma pará-

bola a trajetória de todos os projéteis lança-

dos obliquamente em relação à superfície da

Terra, desconsiderados os efeitos do ar.

Além disso, quando, de um ponto fixado no

solo, lançamos projéteis sempre com a mesma

velocidade inicial vo, em todas as direções pos-

síveis, em um plano vertical dado, o contorno

da região determinada pelos pontos que podem

ser atingidos pelos projéteis é também uma pa-

rábola, chamada parábola de segurança.

Como registramos no início desta Situação

de Aprendizagem, quando seccionamos um

cone circular reto por um plano que forma

com a base um ângulo exatamente igual ao

que uma geratriz do cone forma com a base,

obtemos também uma parábola.

A parábola tem certas propriedades carac-

terísticas que podem ser utilizadas para defi-

ni-la. Uma delas é a existência de um ponto

F, fixado, e de uma reta r, fixada, tais que a

distância de cada ponto P da parábola até F

é igual à distância de P até r. F é o foco da

parábola e r é sua diretriz.

PII

d(P, F) = d(P,r)d(P', F) = d(P',r)d(PII, F) = d(PII,r)P'

P

F

Outra propriedade interessante das pará-

bolas é a seguinte: sendo P um ponto qual-

quer da parábola, a reta que passa pelo foco F

e por P forma com a tangente à parábola em

P um ângulo igual ao formado pela tangente

com a reta paralela ao eixo da parábola pas-

sando por P (ver figura).

0

y

0

y = kx2

x

F

56

F∙0; h + 1

4k ∙ e r: y = h – 1

4k

Considerações sobre a avaliação

Na grade de conteúdos proposta para

as três séries do Ensino Médio, pressupõe-

se que muitos dos temas se apóiam mutua-

mente, sendo mais fácil interessar os alunos

quando se apresenta um cenário de conteú-

dos mais abrangente do que quando se lhes

subtrai a possibilidade de contato com al-

guns dos temas. Na presente proposta, reser-

vou-se apenas um bimestre para a Geometria

Analítica Plana. Dependendo do número de

aulas disponíveis para o professor, nem

todos os temas podem ser tratados com a

mesma profundidade, cabendo ao professor

mesmo selecionar as ideias que serão mais

ou menos contempladas.

Na apresentação das circunferências e

das cônicas, buscou-se destacar mais o sig-

nificado e as ocorrências de cada uma delas

em diferentes contextos do que as manipu-

lações algébricas com as equações. Trata-se,

naturalmente, de uma escolha, em razão das

limitações do tempo disponível. Sugere-se,

portanto, que a avaliação concentre-se na ca-

racterização da circunferência, da elipse, da

hipérbole e da parábola em situações simplifi-

cadas, escrevendo as equações das curvas com

centro na origem, e adiando-se ou omitindo-

se uma exploração algébrica mais detida dos

casos mais gerais.

Quanto à forma de avaliação, também

aqui consideramos que o assunto favorece

uma utilização de múltiplos instrumentos,

não não devendo se limitar às provas. No

caso das cônicas, o reconhecimento destas

Professor:

Em função do tempo disponível, exercícios de identificação do foco e da diretriz de di-versas parábolas, expressas por meio de equações do tipo y = ax2 + bx + c, podem ser propostos. Para achar o foco, é funda-mental antes achar o vértice; a partir daí, determina-se a equação da diretriz.

y = kx2 + h

y

hr

x0

F (0; h + 14k )

14k

14k

x = ky2

x

0

yr

14k

x = – 14k