GET00188 – Fundamentos de Matematica para EstatısticaLista de exercıcios - Permutacoes e Combinacoes Simples

1. Considere o numero N = 2a · 3b · 5c · 7d.

(a) Quantos sao os seus divisores?(b) Quantos dos seus divisores sao pares?(c) Quantos dos seus divisores sao multiplos de 5?

2. Sejam A e B dois conjuntos tais que #A = n e #B = r.

(a) Quantas funcoes f : A→ B existem?(b) Se 1 ≤ n ≤ r, quantas dessas funcoes sao injetoras?(c) Se n = r, quantas dessas funcoes sao bijetoras?

3. Considere um grupo de 10 pessoas, do qual fazem parte Joao e Maria.

(a) Quantas filas podem ser formadas com o grupo todo?(b) Em quantas dessas filas Joao e Maria nao estao juntos?

4. Considere todos os numeros que podem ser formados permutando-se os algarismos2,3,4,8,9. Colocando-os em ordem crescente, qual a posicao do numero 43892?

5. Cinco meninos e cinco meninas devem ser colocados em fila, de modo que meninos emeninas fiquem em posicoes alternadas. Quantas dessas filas podemos formar?

6. Prove os seguintes resultados:

(a) 1n! −

1(n + 1)! = n

(n + 1)! .

(b) (n!)2 = [(n + 1)!− n!] · (n− 1)!

7. Sao dados 12 pontos em um plano, dos quais 5, e apenas 5, estao alinhados. Quan-tos triangulos distintos podem ser formados com vertices em tres quaisquer desses 12pontos?

8. Sao dadas 2 retas paralelas. Marcam-se 10 pontos distintos sobre uma delas e 8 pontosdistintos SOBRE a outra. Quantos triangulos distintos podemos formar ligando 3 pontosquaisquer desses 18 pontos?

9. Quantos sao os numeros naturais pares que podemos formar com tres algarismos distin-tos?

10. Um vagao de metro tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frentes e 5 de costas. De 10passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais naotem preferencia. De quantos modos os passageiros podem se sentar, respeitando-se aspreferencias de cada um?

11. Quantas sao as palavras de 5 letras distintas que podem ser formadas a partir de umalfabeto de 26 letras nas quais a letra A figura mas nao e a letra inicial da palavra?

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12. De quantos modos e possıvel dividir 20 pessoas

(a) em dois grupos de 10?(b) em quatro grupos de 5?(c) e 3 grupos de 6 e 1 grupo de 2?

13. Calcule o valor das seguintes somas

(a) S = 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + · · ·+ 50 · 51 · 52.(b) S = 12 + 22 + · · ·+ n2.(c) S = 2 · 12 + 5 · 22 + 8 · 32 + · · ·+ (3n− 1) · n2.

Referencias

• Samuel Hazzan (1990) Fundamentos de Matematica Elementar: Combinatoria e Proba-bilidade. Atual Editora, 5a. edicao.

• Augusto Cesar de Oliveira Morgado et al. (2006) Analise Combinatoria e Probabilidadecom as solucoes dos exercıcios. Colecao do Professor de Matematica. SBM.

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