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Capítulo 17Derivada e integral de uma função


Objetivos de aprendizagem Retas tangentes a um gráfico. A derivada. Regras de derivação. Introdução à integral de uma função. A integral definida e a indefinida. Regras de integração.


Retas tangentes a um gráfico O gráfico de s = t 2 mostra a distância s percorrida pela bola na rampa como uma função do tempo transcorrido t.


Retas tangentes a um gráfico A reta tangente ao gráfico de s = t 2 no ponto (1,1).


DerivadaTaxa média de variação Se y = f (x), então a taxa média de variação de y com relação a x sobre o intervalo [a, b] é:Derivada em um ponto A derivada da função f em x = a, denotada por f ‘(a) (lê-se "f linha de a") pode ser definida através do limite:


DerivadaDerivada em um ponto A derivada da função f em x = a, denotada por f ‘(a), é: desde que o limite exista. As figuras a seguir mostram três casos para os quais f (0) existe, mas f ‘(0), não.


Derivada


DerivadaDerivada de uma função f (x) Se y = f (x), então a derivada da função f com relação a x é a função f ‘, cujo valor em x é:Regras de derivação Função constante: Função potência:


Regras de derivação Função produto: Função soma: Função diferença: Função produto com um dos fatores constante (dizemos constante multiplicada por função).


Regras de derivação Função quociente:

Função exponencial: Função logarítmica:


Introdução à integral de uma função Com as informações da velocidade de um objeto e do tempo transcorrido, podemos calcular a distância percorrida. Um automóvel viaja a uma velocidade média de 80 km/h durante 2h30. Qual é a distância percorrida pelo automóvel? SOLUÇÃO Δs = velocidade média • Δt = 80 • 2,5 = 200 km


Introdução à integral de uma função Velocidade constante do exemplo anterior em função do tempo.


Introdução à integral de uma função Agora suponha que a função velocidade varia constantemente como uma função do tempo.


Introdução à integral de uma função Perceba que a soma das áreas desses retângulos resulta, então, em um valor aproximado da área sob a curva e acima do eixo horizontal.


Introdução à integral de uma função As alturas dos retângulos são determinadas pela função aplicada nos valores extremos à esquerda de cada subintervalo.


Integral definida e indefinida Seja f uma função definida sobre o intervalo [a, b] e seja, como definida anteriormente. A integral definida de f sobre [a, b] denotada por é dada por desde que o limite exista. Se o limite existe, então dizemos que f é integrável sobre [a, b]. Uma definição informal para limite no infinito é:


Integral definida e indefinida Quando escrevemos , isso significa que f (x) fica cada vez mais próximo de L, na medida em que x assume valores arbitrariamente grandes. Integral indefinida Seja f uma função. A integral indefinida de f denotada por ∫ f (x)dx é dada por: de modo que a derivada de F (x) + C seja f (x).


Regras de integração Iniciaremos citando as propriedades de integrais indefinidas, ou seja, as propriedades das integrais sem determinação do intervalo real a que esteja fazendo referência.


Regras de integração Algumas regras:

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