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Capítulo 10Funções polinomiais


Objetivos de aprendizagem Gráficos de funções polinomiais. Comportamento das funções polinomiais nos extremos do domínio. Raízes das funções polinomiais. Divisão longa e algoritmo da divisão. Teorema do resto e teorema de D’Alembert. Divisão de polinômios pelo método de Briot Ruffini. Teorema das raízes racionais. Limites superior e inferior das raízes de uma função polinomial.


Gráficos de funções polinomiais Cada monômio na soma (anxn + an–1xn–1, …, a0) é um termo do polinômio. A forma padrão de escrever uma função polinomial é com seus termos apresentando graus decrescentes. As constantes an, an–1, …, a0 são os coeficientes do polinômio. O termo anxn é o termo principal, e a0 é o termo constante. Toda função polinomial está definida e é contínua para todos os números reais.


Gráficos de funções polinomiais Gráficos de quatro funções cúbicas típicas: (a) dois com coeficiente principal positivo e (b) dois com coeficiente principal negativo.


Gráficos de funções polinomiais Gráficos de quatro funções quárticas típicas: (a) dois com coeficiente principal positivo e (b) dois com coeficiente principal negativo.


Gráficos de funções polinomiaisTEOREMA - Extremos locais e raízes de funções polinomiaisUma função polinomial de grau n tem, no máximo, n - 1 extremos locais e, no máximo, n raízes. Uma característica importante das funções polinomiais é o seu comportamento nos extremos do domínio. Esse comportamento está relacionado com o comportamento do termo principal.


Gráficos de funções polinomiaisTeste do termo principal paracomportamento das funções polinomiais nos extremos do domínio


Raízes das funções polinomiais Encontrar as raízes de uma função f é equivalente a encontrar os valores de x por onde o gráfico de y = f (x) passa no eixo horizontal x, que são as soluções da equação f (x) = 0. Uma ideia é fatorar a função polinomial. Se f é uma função polinomial e (x - c)m é um fator de f, mas (x - c)m+1 não o é, então c é uma raiz de multiplicidade m de f, isto é, m é o número de vezes que c é raiz dessa função. Uma raiz de multiplicidade m > 2 é uma raiz repetida.


Raízes das funções polinomiais Gráfico de f (x) = (x - 2)3(x + 1)2.


Raízes de multiplicidade ímpar e par Se uma função polinomial f tem uma raiz real c de multiplicidade ímpar, então o gráfico de f cruza o eixo horizontal x em (c, 0), e o valor de f muda de sinal em x = c. Se uma função polinomial f tem uma raiz real c de multiplicidade par, então o gráfico de f não cruza o eixo horizontal x em (c, 0), e o valor de f não muda de sinal em x = c. O teorema do valor intermediário nos diz que a mudança de sinal da função implica a existência de uma raiz real dessa função.


Teorema do valor intermediário Se f (a) < 0 < f (b), então existe uma raiz x = c entre a e b.


Divisão longa e o algoritmo da divisão Veremos uma maneira de fatorar um polinômio utilizando a divisão de polinômios, bastante semelhante à divisão de números inteiros. Observe os exemplos a seguir:


Divisão longa e o algoritmo da divisão A divisão, seja de um número inteiro ou de um polinômio, envolve um dividendo dividido por um divisor para obter um quociente e um resto. Podemos verificar e resumir nosso resultado com uma equação da forma

(Divisor)(Quociente)+ Resto = Dividendo Das divisões longas expostas, são verdades:


Algoritmo da divisão para polinômios Existem os únicos polinômios q(x) e r(x), chamados de quociente e resto, respectivamente, tais que: A função f (x) no algoritmo da divisão é o dividendo, e d(x) é o divisor. A equação dada no algoritmo da divisão pode ser escrita na forma de fração como:


Teorema do resto e teorema de D’AlembertTeorema do resto Se um polinômio f (x) é dividido por x - k, então o resto é r = f (k).Teorema de D’Alembert O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto. Uma função polinomial f (x) tem um fator x - k se, e somente se, f (k) = 0, isto é, a divisão de f (x) por x - k é exata se, e somente se, f (k) = 0.


Divisão de polinômios pelo método de Briot Ruffini Um método mais curto para a divisão de um polinômio pelo divisor x - k é chamado método de Briot Ruffini.


Divisão de polinômios pelo método de Briot Ruffini Repetimos o coeficiente do termo de maior grau embaixo dele mesmo. Multiplicamos esse número pelo k e somamos com o próximo coeficiente da primeira linha; o resultado fica embaixo desse próximo coeficiente. Repetimos esses passos até o final: Logo, temos que:


Teorema das raízes racionais Seja f uma função polinomial de grau n > 1 da forma: p é um fator inteiro do termo independente a0; q é um fator inteiro do coeficiente principal an.Limites superior e inferior das raízes de uma função polinomial Um número k é um limite superior para raízes reais de f, se f (x) = y não for zero, quando x for maior do que k.


Limites superior e inferior das raízes de uma função polinomial c é um limite inferior e d é um limite superior para as raízes reais de f.


Teste dos limites superior e inferior de raízes reais Seja f uma função polinomial de grau n > 1 com um coeficiente principal positivo. Suponha f (x) dividido por x - k, usando o método de Briot Ruffini. Se k > 0 e todos os números na segunda linha não são negativos (sendo positivos ou zero), então k é um limite superior para as raízes reais de f. Se k < 0 e os números na segunda linha são alternadamente não negativos e não positivos, então k é um limite inferior para as raízes reais de f.

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