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Capítulo 12Funções logarítmicas


Objetivos de aprendizagem Inversas das funções exponenciais. Logaritmos com base 10. Logaritmos com base e. Propriedade dos logaritmos. Mudança de base. Gráficos de funções logarítmicas. Resolução de equações exponenciais. Resolução de equações logarítmicas. Ordens de grandeza (ou magnitude) e modelos logarítmicos.


Inversas das funções exponenciais Uma função exponencial f (x) = bx tem uma inversa que também é função. Essa inversa é a função logarítmica de base b, denotada por logb x, isto é, se f (x) = bx, com b > 0 e b ≠ 1, então f –1(x) = logb x.


Inversas das funções exponenciaisTransformação entre a forma logarítmica e a forma exponencial Se x > 0 e 0 < b ≠ 1, então y = logb (x), se, e somente se, by = x.Propriedades básicas de logaritmos


Uma função exponencial e sua inversa


Logaritmos com base 10Propriedades básicas para logaritmos com base 10Sejam x e y números reais, e x é maior do que 0. log 1 = 0, porque 100 = 1 log 10 = 1, porque 101 = 10 log 10y = y, porque 10y = 10y 10log x = x, porque log x = log x


Logaritmos com base ePropriedades básicas para logaritmos com base e (logaritmos naturais)Sejam x e y números reais, e x é maior do que 0. ln 1 = 0, porque e0 = 1 ln e = 1, porque e1 = e ln ey = y, porque ey = ey eln x = x, porque ln x = ln x


Propriedades dos logaritmosSejam b, R e S números reais positivos com b ≠ 1 e c como um número real qualquer. Regra do produto: Regra do quociente: Regra da potência:


Mudança de baseFórmula de mudança de base para logaritmos Para números reais positivos a, b e x, com a ≠ 1 e b ≠ 1, temos: As calculadoras, em geral, têm duas teclas para logaritmo que são “LOG” e “LN”, as quais correspondem às bases 10 e e, respectivamente. Assim, utilizamos a fórmula de mudança de base com uma das formas:


Gráficos de funções logarítmicasPropriedades da função logarítmica natural f (x) = ln x. Domínio: ]0, + ∞[. Imagem: IR. É contínua em ]0, + ∞[. É crescente em ]0, + ∞[. Não é simétrica. Não é limitada inferior ou superiormente. Não tem extremos locais. Não tem assíntotas horizontais. Assíntota vertical é em x = 0. Comportamento no extremo do domínio:


Gráficos de funções logarítmicas Funções logarítmicas e exponenciais como funções inversas.


Gráficos de funções logarítmicas Gráficos de y = log x e y = ln x.


Resolução de equações exponenciaisPropriedadesPara qualquer função exponencial f (x) = bx: Se bu = bv, então u = v.Para qualquer função logarítmica f (x) = logb x: Se logb u = logb v, então u = v.


Resolução de equações logarítmicas Quando as equações logarítmicas são resolvidas algebricamente, é importante verificar o domínio de cada expressão na equação, para que não haja perda nem acréscimo de soluções no desenvolvimento.Ordens de grandeza (ou magnitude) e modelos logarítmicos O logaritmo na base 10 de uma quantidade positiva é sua ordem de grandeza (ou ordem de magnitude).


Ordens de grandeza (ou magnitude) e modelos logarítmicos Ordens de grandeza (ou ordens de magnitude) podem ser usadas para comparar quaisquer quantidades: Um quilômetro é 3 ordens de grandeza maior que um metro. Um cavalo pesando 400 kg é 4 ordens de grandeza mais pesado que um rato pesando 40 g. Ordens de grandeza são usadas para comparar, por exemplo, a força dos terremotos e a acidez de um líquido.

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