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Capítulo 2

Vetores de força

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Objetivos do capítulo

Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo.

Expressar a força e sua posição na forma de um vetor cartesiano

e explicar como determinar a intensidade e a direção do vetor.

Introduzir o produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre outro.


Escalares e vetores

Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que pode ser completamente especificada por sua intensidade.

Exemplos de quantidades escalares:

Comprimento Massa Tempo


Escalares e vetores

Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma intensidade e uma direção para sua completa descrição.

Exemplos de vetores:

Força Posição Momento


Operações vetoriais



Adição de vetores

Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do paralelogramo da adição.



Adição de vetores

Também podemos somar B a A usando a regra do triângulo:



Adição de vetores

No caso especial em que os dois vetores A e B são colineares, a lei do paralelogramo reduz-se a uma adição algébrica ou escalar R = A + B:


Subtração de vetores

R' = A – B = A + (–B)



Determinando uma força resultante

Podemos aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o triângulo a fim de obter a intensidade da força resultante e sua direção.


Determinando as componentes de uma força

Algumas vezes é necessário decompor uma força em duas componentes para estudar seu efeito de ‘empurrão’ ou ‘puxão’ em duas direções específicas.


As componentes da força Fu e Fv são estabelecidas simplesmente unindo a origem de F com os pontos de interseção nos eixos u e v.



Esse paralelogramo pode então ser reduzido a um triângulo, que representa a regra do triângulo.



Procedimento para análise

Problemas que envolvem a soma de duas forças podem ser resolvidos da seguinte maneira:

Lei do paralelogramo: Duas forças ‘componentes’, F1 e F2 se somam conforme a lei

do paralelogramo, dando uma força resultante FR que forma a diagonal do paralelogramo.



Se uma força F precisar ser decomposta em componentes ao longo de dois eixos u e v, então, iniciando na extremidade da força F, construa linhas paralelas aos eixos, formando, assim, o paralelogramo. Os lados do paralelogramo representam as componentes, Fu e Fv.



Rotule todas as intensidades das forças conhecidas e desconhecidas e os ângulos no esquema e identifique as duas forças desconhecidas quanto à intensidade e à direção de FR ou às intensidades de suas componentes.


Trigonometria Redesenhe metade do paralelogramo para ilustrar a adição

triangular ‘extremidade-para-origem’ das componentes.

Por esse triângulo, a intensidade da força resultante é determinada pela lei dos cossenos, e sua direção, pela lei dos senos. As intensidades das duas componentes de força são determinadas pela lei dos senos.



Pontos importantes

Escalar é um número positivo ou negativo.

Vetor é uma quantidade que possui intensidade, direção e sentido.

A multiplicação ou divisão de um vetor por um escalar muda a intensidade do vetor. O sentido dele mudará se o escalar for negativo.

Como um caso especial, se os vetores forem colineares, a resultante será formada pela adição algébrica ou escalar.


Adição de um sistema de forças coplanares

Quando uma força é decomposta em duas componentes ao longo dos eixos x e y, as componentes são, então, chamadas de componentes retangulares.

notação escalar.

notação de vetor cartesiano.


Notação escalar

Como essas componentes formam um triângulo retângulo, suas intensidades podem ser determinadas por:


No entanto,

Como esse triângulo e o triângulo maior sombreado são semelhantes, o comprimento proporcional dos lados fornece:

e

Notação escalar


Notação vetorial cartesiana

Também é possível representar as componentes x e y de uma força em termos de vetores cartesianos unitários i e j.


Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma quantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) Fx e Fy, então, podemos expressar F como um vetor cartesiano.

Notação vetorial cartesiana


Resultante de forças coplanares

Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para determinar a resultante de várias forças coplanares. Por exemplo:



Usando a notação vetorial cartesiana, cada força é representada como um vetor cartesiano, ou seja,

F1 = F1xi + F1yjF2 = – F2xi + F2yjF3 = F3xi – F3yj

O vetor resultante é, portanto,

FR = F1 + F2 + F3= F1xi + F1yj – F2xi + F2yj + F3xi – F3yj

= (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j= (FRx) i + (FR y) j



Se for usada a notação escalar, temos então

(→ + ) FRx = F1x – F2x + F3x(+ ↑) FRy = F1y + F2y – F3y

As componentes da força resultante de qualquer número de forças coplanares podem ser representadas simbolicamente pela soma algébrica das componentes x e y de todas as forças, ou seja,



Uma vez que estas componentes são determinadas, elas podem ser esquematizadas ao longo dos eixos x e y com seus sentidos de direção apropriados, e a força resultante pode ser determinada pela adição vetorial.



Pelo esquema, a intensidade de FR é determinada pelo teorema de Pitágoras, ou seja,

Além disso, o ângulo θ, que especifica a direção da força resultante, é determinado através da trigonometria:


Pontos importantes

A resultante de várias forças coplanares pode ser determinada facilmente se for estabelecido um sistema de coordenadas x e y e as forças forem decompostas ao longo dos eixos.

A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de ação forma com um dos eixos, ou por um triângulo da inclinação.

A orientação dos eixos x e y é arbitrária e sua direção positiva pode ser especificada pelos vetores cartesianos unitários i e j.


Pontos importantes

As componentes x e y da força resultante são simplesmente a soma algébrica das componentes de todas as forças coplanares.

A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema de Pitágoras e, quando as componentes são esquematizadas nos eixos x e y, a direção é determinada por meio da trigonometria.


Vetores cartesianos

As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas para resolver problemas em três dimensões, são enormemente simplificadas se os vetores forem primeiro representados na forma de um vetor cartesiano.

Sistema de coordenadas destro

Dizemos que um sistema de coordenadas retangular é destro desde que o polegar da mão direita aponte na direção positiva do eixo z, quando os dedos da mão direita estão curvados em relação a esse eixo e direcionados do eixo x positivo para o eixo y positivo.


Vetores cartesianos


Componentes retangulares de um vetor

Em geral, quando A está direcionado dentro de um octante do sistema x, y, z:


Componentes retangulares de um vetor

Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-se decompô-lo em componentes, como:

A = A’ + Az

e depois

A’ = Ax + Ay.

Combinando essas equações, para eliminar A', A é representado pela soma vetorial de suas três componentes retangulares,

A = Ax + Ay + Az


Vetores cartesianos unitários

Os vetores cartesianos unitários são mostrados na figura abaixo:


A = Axi + Ayj + Azk

Separando-se a intensidade e a direção de cada vetor componente, simplificam-se as operações da álgebra vetorial, particularmente em três dimensões.

Representação de um vetor cartesiano


Intensidade de um vetor cartesiano

É sempre possível obter a intensidade de A, desde que ele seja expresso sob a forma de um vetor cartesiano.

temos:


Direção de um vetor cartesiano

A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenados α (alfa), β (beta) e γ (gama), medidos entre a origem de A e os eixos x, y, z positivos, desde que estejam localizados na origem de A.



Para determinarmos α, β e γ, vamos considerar as projeções de A sobre os eixos x, y, z.



Com referência aos triângulos sombreados de cinza claros mostrados em cada figura, temos:



Um modo fácil de obter os cossenos diretores é criar um vetor unitário uA na direção de A.



Se A for expresso sob a forma de um vetor cartesiano, A = Axi + Ayj + Azk, então uA terá uma intensidade de um e será adimensional, desdeque A seja dividido pela sua intensidade, ou seja,

vemos que as componentes i, j, k de uA representam os cossenos diretores de A, ou seja,

uA = cos αi + cos βj + cos γk



Pode-se estabelecer uma relação importante entre os cossenos diretores como:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

A pode ser expresso sob a forma de vetor cartesiano como:

A = AuA

A = A cos α i + A cos β j + A cos γ kA = Axi + Ayj + Azk



Algumas vezes, a direção de A pode ser especificada usando dois ângulos, θ e ϕ (fi),


A adição de vetores cartesianos

A força resultante poderá ser escrita como:

FR = ΣF = ΣFxi + ΣFyj + ΣFzk


Pontos importantes

A análise vetorial cartesiana é usada frequentemente para resolver problemas em três dimensões.

As direções positivas dos eixos x, y, z são definidas pelos vetores cartesianos unitários i, j, k, respectivamente.

A intensidade de um vetor cartesiano é dada por


Pontos importantes

A direção de um vetor cartesiano é definida pelos ângulos de direção coordenados α, β, γ que a origem do vetor forma com os eixos x, y, z positivos, respectivamente. As componentes do vetor unitário uA = A/A representam os cossenos diretores de α, β, γ. Apenas dois dos ângulos α, β, γ precisam ser especificados. O terceiro ângulo é calculado pela relação: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

Algumas vezes, a direção de um vetor é definida usando os dois ângulos θ e ϕ. Nesse caso, as componentes vetoriais são obtidas por decomposição vetorial usando trigonometria.

Para determinar a resultante de um sistema de forças concorrentes, expresse cada força como um vetor cartesiano e adicione as componentes i, j, k de todas as forças do sistema.


Vetores padrão

Coordenadas x, y, z

As coordenadas do ponto A são obtidas a partir de O e medindo-se xA = +4 m ao longo do eixo x, depois yA = +2 m ao longo do eixo y e, finalmente, zA = –6 m ao longo do eixo z. Portanto, A (4 m, 2 m, –6 m). De modo semelhante, medidas ao longo dos eixos x, y, z de O para B resulta nas coordenadas de B, ou seja, B (6 m, –1 m, 4 m).


Vetor posição

Se r estende-se da origem de coordenadas, O, para o ponto P (x, y, z),

então r pode ser expresso na forma de um vetor cartesiano como:


Observe como a adição vetorial ‘extremidade para origem’ das três componentes produz o vetor r.

Vetor posição


Na maioria dos casos, o vetor posição podem ser direcionado de um ponto A para um ponto B no espaço. Também podemos formar essas componentes diretamente.

Vetor posição


Vetor de força orientado ao longo de uma reta

Muitas vezes, em problemas de estática tridimensionais, a direção de uma força é definida por dois pontos pelos quais passa sua linha de ação.


Pontos importantes

Um vetor posição localiza um ponto no espaço em relação a outro ponto.

A maneira mais simples de definir as componentes de um vetor posição é determinar a distância e a direção que devem ser percorridas ao longo das direções x, y, z, indo da origem para a extremidade do vetor.

Uma força F que atua na direção de um vetor posição r pode ser representada na forma cartesiana se o vetor unitário u do vetor posição for determinado e multiplicado pela intensidade da força, ou seja, F = Fu = F(r/r).


Produto escalar

O produto escalar dos vetores A e B, escrito A ∙ B e lido ‘A escalar B’, é definido como o produto das intensidades de A e B e do cosseno do ângulo θ entre suas origens. Expresso na forma de equação,

A ∙ B = AB cos θ


Leis das operações

1. Lei comutativa:

A ∙ B = B ∙ A

2. Multiplicação por escalar:

a(A ∙ B) = (aA) ∙ B = A ∙ (aB)

3. Lei distributiva:

A ∙ (B + D) = (A ∙ B) + (A ∙ D)


Formulação do vetor cartesiano

Se quisermos determinar o produto escalar de dois vetores A e B expressos na forma de um vetor cartesiano, teremos:

A ∙ B = (Axi + Ayj + Azk) ∙ (Bxi + Byj + Bzk)

= AxBx(i ∙ i) + AxBy(i ∙ j) + AxBz(i ∙ k)

+ AyBx(j ∙ i) + AyBy(j ∙ j) + AyBz(j ∙ k)

+ AzBx(k ∙ i) + AzBy(k ∙ j) + AzBz(k ∙ k)

Efetuando as operações do produto escalar, obtemos o resultado final:

A ∙ B = AxBx + AyBy + AzBz


Aplicações

O produto escalar tem duas aplicações importantes na mecânica.

O ângulo formado entre dois vetores ou linhas que se interceptam.

As componentes de um vetor paralelo e perpendicular a uma linha.

Aa = A cos θ = A ∙ ua


Pontos importantes

O produto escalar é usado para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor em uma direção especificada.

Se os vetores A e B são expressos na forma de vetores cartesianos, o produto escalar será determinado multiplicando-se as respectivas componentes escalares x, y, z e adicionando-se algebricamente os resultados, ou seja, A ∙ B = AxBx + AyBy + AzBz.

Da definição do produto escalar, o ângulo formado entre as origens dos vetores A e B é θ = cos–1 (A ∙ B/AB).

A intensidade da projeção do vetor A ao longo de uma linha aa, cuja direção é especificada por ua, é determinada pelo produto escalar Aa = A ∙ ua.

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