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Transformada de Laplace

Prof. André Marcato

Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA

Aula 2 2

Introdução

Funções ComunsFunções ComunsSenoidaisSenoidaisSenoidais AmortecidasSenoidais AmortecidasExponenciaisExponenciaisOperação de DiferenciaçãoOperação de DiferenciaçãoOperação de IntegraçãoOperação de IntegraçãoEquação Diferencial LinearEquação Diferencial Linear

Funções Algébricas de 1 variável Funções Algébricas de 1 variável complexacomplexa££

Aula 2 3

Introdução

Solucionar Equações Diferenciais Lineares Diferenciação e Integração: Operações

Algébricas no Plano Complexo Técnicas Gráficas para prever o desempenho

do sistema sem necessidade de solucionar sistemas de equações diferenciais. Tanto a componente estacionária quanto a transitória da solução são obtidas simultaneamente

Aula 2 4

Revisão das Variáveis e Funções Complexas

Variáveis Complexas

Funções Complexas

Função Complexa Analítica Numa Dada Região G(s) e todas as suas derivadas existirem nessa

região

Aula 2 5

Existência da Derivada de Uma Função Analítica G(s)

Aula 2 6

Exemplo:

Satisfaz as condições de Cauchy-Riemann para todos

os pontos, exceto s = -1

Aula 2 7

Derivada de G(s) (1)

Aula 2 8

Derivada de G(s) (2)

Aula 2 9

Pólos e Zeros

Pólos: Pontos Singulares em que a função G(s) ou suas derivadas tendem ao infinito.

ZerosZeros: Pontos nos quais G(s) é nula.

Pontos Ordinários: Pontos do Plano s onde G(s) éé analítica

Pontos Singulares: Pontos do Plano s onde G(s) não énão é analítica.

Aula 2 10

Ilustração

Aula 2 11

Teorema de Euler

Aula 2 12

Transformada de Laplace (1)

Aula 2 13

Transformada de Laplace (2)

Aula 2 14

Transformada Inversa de Laplace

Aula 2 15

Função Exponencial

A e α são constantes.

Aula 2 16

Função Degrau

A é uma constante.

Aula 2 17

Função Rampa

A é uma constante.

Aula 2 18

Função Senoidal

A e ω são constantes.

Aula 2 19

Função Cossenoidal

Aula 2 20

Pares de Transformadas de Laplace(1)

Aula 2 21

Pares de Transformadas de Laplace(2)

Aula 2 22

Pares de Transformadas de Laplace(3)

Aula 2 23

Pares de Transformadas de Laplace(4)

Aula 2 24

Função Transladada(1)

Já que:

Temos que:

Aula 2 25

Função Transladada(2)

Aula 2 26

Função Pulso Retangular

Aula 2 27

Função Impulso

A Função Impulso em que a área é igual a unidade é chamada função impulso unitário ou função delta de Dirac. E a função impulso unitário que ocorre em t = t0 é normalmente representada por:

Aula 2 28

Multiplicação de f(t) por e-αt

Exemplos:

Aula 2 29

Mudança de Escala de Tempo

Aula 2 30

Exemplo Mudança Escala de Tempo

Alternativamente:

Aula 2 31

Comentários Sobre o Limite Inferior da Integral de Laplace