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  • slide 1 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Captulo 4 Resultantes de um sistema de foras 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 1
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  • slide 2 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Objetivos do captulo Discutir o conceito do momento de uma fora e mostrar como calcul-lo em duas e trs dimenses. Fornecer um mtodo para determinao do momento de uma fora em relao a um eixo especfico. Definir o momento de um binrio. Apresentar mtodos para a determinao das resultantes de sistemas de foras no concorrentes. Mostrar como converter uma carga distribuda simples em uma fora resultante e seu ponto de aplicao.
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  • slide 3 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Momento de uma fora formao escalar Quando uma fora aplicada a um corpo, ela produzir uma tendncia de rotao do corpo em torno de um ponto que no est na linha de ao da fora. Essa tendncia de rotao algumas vezes chamada de torque, mas normalmente denominada momento de uma fora, ou simplesmente momento.
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  • slide 4 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Intensidade A intensidade do momento : M O = F d, onde d o brao do momento ou distncia perpendicular do eixo no ponto O at a linha de ao da fora. As unidades da intensidade do momento consistem da fora vezes a distncia, ou seja, N m ou lb ft.
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  • slide 5 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. A direo de M O definida pelo seu eixo do momento, o qual perpendicular ao plano que contm a fora F e seu brao do momento d. Direo
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  • slide 6 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Momento resultante O momento resultante nessa figura :
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  • slide 7 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Produto vetorial O produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C, que escrito: C = A x B e lido como C igual a A vetor B. A intensidade de C definida como o produto das intensidades de A e B e o seno do ngulo entre suas origens (0 180). Logo, C = AB sen .
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  • slide 8 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Direo Conhecendo a direo e a intensidade de C, podemos escrever: C = A B = (AB sen ) u C
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  • slide 9 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Propriedades de operao A propriedade comutativa no vlida; ou seja, A x B B x A. Em vez disso, A x B = B x A
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  • slide 10 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Se o produto vetorial for multiplicado por um escalar a, ele obedece propriedade associativa; a (A x B) = (aA) x B = A x (aB) = (A x B) a O produto vetorial tambm obedece propriedade distributiva da adio, A (B + D) = (A B) + (A D) Propriedades de operao
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  • slide 11 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Formulao do vetor cartesiano Como mostra a Figura a seguir, o vetor resultante aponta na direo +k. Portanto, i x j = (1)k.
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  • slide 12 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Formulao do vetor cartesiano Um esquema simples til para a obteno dos mesmos resultados quando for necessrio.
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  • slide 13 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Formulao do vetor cartesiano Para obter o produto vetorial de quaisquer vetores cartesianos A e B, necessrio expandir um determinante cuja primeira linha de elementos consiste dos vetores unitrios i, j e k; e a segunda e terceira linhas so as componentes x, y, z dos dois vetores A e B, respectivamente.
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  • slide 14 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Momento de uma fora formulao vetorial M O = r F
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  • slide 15 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Intensidade
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  • slide 16 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Direo A direo e o sentido do momento so determinados pela regra da mo direita do produto vetorial. Como o produto vetorial no obedece propriedade comutativa, a ordem de r F deve ser mantida para produzir o sentido da direo correta para M O.
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  • slide 17 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Podemos usar qualquer vetor posio r medido do ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ao da fora F. Assim, Princpio da transmissibilidade
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  • slide 18 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Formulao do vetor cartesiano Se estabelecermos os eixos coordenados x, y, z, ento o vetor posio r e a fora F podem ser expressos como vetores cartesianos:
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  • slide 19 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Formulao do vetor cartesiano Se o determinante for expandido, temos: M O = (r y F z r z F y ) i (r x F z r z F x ) j + (r x F y r y F x ) k O significado fsico dessas trs componentes do momento se torna evidente ao analisar a Figura:
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  • slide 20 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Momento resultante de um sistema de foras Essa resultante pode ser escrita simbolicamente como:
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  • slide 21 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. O princpio dos momentos Como F = F 1 + F 2, temos: M O = r F = r (F 1 + F 2 ) = r F 1 + r F 2
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  • slide 22 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Para os problemas bidimensionais: M O = F x y F y x O princpio dos momentos
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  • slide 23 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. O momento de uma fora cria a tendncia de um corpo girar em torno de um eixo passando por um ponto especfico O. Usando a regra da mo direita, o sentido da rotao indicado pela curva dos dedos, e o polegar direcionado ao longo do eixo do momento, ou linha de ao do momento. A intensidade do momento determinada atravs de MO = Fd, onde d chamado o brao do momento, que representa a distncia perpendicular ou mais curta do ponto O linha de ao da fora. Pontos importantes
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  • slide 24 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Em trs dimenses, o produto de vetorial usado para determinar o momento, ou seja, MO = r F. Lembre-se de que r est direcionado do ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ao de F. O princpio dos momentos afirma que o momento de uma fora em relao a um ponto igual soma dos momentos das componentes da fora em relao ao mesmo ponto. Pontos importantes
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  • slide 25 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Momento de uma fora sobre um eixo especificado Para determinar o efeito de rotao, apenas a componente y do momento necessria, e o momento total produzido no importante. Para determinar essa componente, podemos usar uma anlise escalar ou vetorial.
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  • slide 26 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Momento de uma fora sobre um eixo especificado
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  • slide 27 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Anlise escalar Em geral, para qualquer eixo a, o momento : M a = Fd a Anlise vetorial M y = j MO = j (r F)
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  • slide 28 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Essa combinao chamada de produto triplo escalar. Anlise vetorial
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  • slide 29 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Uma vez que Ma determinado, podemos expressar Ma como um vetor cartesiano, a saber, Anlise vetorial
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  • slide 30 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. O momento de uma fora em relao a um eixo especificado pode ser determinado desde que a distncia perpendicular da a partir da linha de ao da fora at o eixo possa ser determinada. M a = Fd a. Se usarmos anlise vetorial, M a = u a (r F), onde u a define a direo do eixo e r definido a partir de qualquer ponto sobre o eixo at qualquer ponto sobre a linha de ao da fora. Se M a calculado como um escalar negativo, ento o sentido da direo de M a oposto a u a. O momento M a expresso como um vetor cartesiano determinado a partir de M a = M a u a. Pontos importantes
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  • slide 31 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Momento de um binrio Um binrio definido como duas foras paralelas que tm a mesma intensidade, mas direes opostas, e so separadas por uma distncia perpendicular d.
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  • slide 32 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Por exemplo, os vetores posio r A e r B esto direcionados do ponto O para os pontos A e B situados na linha de ao de F e F. Momento de um binrio
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  • slide 33 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Portanto, o momento do binrio em relao a O M = r B F + r A F = (r B r A ) F Entretanto, r B = r A + r ou r = r B r A, tal que M = r F Momento de um binrio
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  • slide 34 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Formulao escalar O momento de um binrio M definido como tendo uma intensidade de: M = Fd
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