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Capítulo 15 Noções de trigonometria e funções trigonométricas


Objetivos de aprendizagem Graus e radianos. Comprimento de arco. Algumas medidas trigonométricas. O círculo trigonométrico. Algumas funções trigonométricas. Arcos trigonométricos inversos. Identidades fundamentais.


Graus e radianos O grau é representado pelo símbolo “°” e é o ângulo cuja medida é igual a de um ângulo raso. O radiano é o ângulo central formado quando um arco de comprimento s tem a mesma medida do raio r do círculo, no qual está inserido.


Comprimento de arcoFórmula do comprimento do arco (medida em radianos) Se q é um ângulo central em um círculo de raio r, e se q é medido em radianos, então o comprimento s do arco interceptado é dado por : s = rqFórmula do comprimento do arco (medida em graus) Se q é um ângulo central em um círculo de raio r, e se q é medido em graus, então o comprimento s do arco interceptado é dado por:


Algumas medidas trigonométricas Triângulo de vértices ABC e medidas trigonométricas do ângulo q .


Algumas medidas trigonométricas A posição inicial do raio, o lado inicial, é girado em torno de sua extremidade, chamada de vértice. A posição final é chamada de lado terminal. Ângulos positivos são gerados por rotações no sentido anti-horário, e ângulos negativos são gerados por rotações no sentido horário. Um ângulo com medida positiva a.


Algumas medidas trigonométricas Dois ângulos na posição padrão. Em (a) a rotação anti-horária gera um ângulo com medida positiva. Em (b) a rotação horária gera um ângulo com medida negativa.


Algumas medidas trigonométricas Ângulos equivalentes. Em (a) um ângulo positivo e um ângulo negativo são equivalentes, enquanto em (b) ambos os ângulos equivalentes são positivos.


O círculo trigonométricoTemos ao lado o círculo de raio 1; o eixo horizontal x fornece a medida do cosseno do ângulo formado, partindo do 0 no sentido anti-horário, e o eixo vertical y fornece a medida do seno do mesmo ângulo.


Funções trigonométricasA função seno: f (x) = sen x ou f(x) = sen (x) Domínio: conjunto de todos os números reais. Imagem: [-1, 1]. A função é contínua. É alternadamente crescente e decrescente. É periódica de período 2p. É simétrica com relação à origem (é uma função ímpar). É limitada. O máximo absoluto é 1. O mínimo absoluto é -1. Não tem assíntotas horizontais. Não tem assíntotas verticais.


Funções trigonométricasA função seno: Comportamento nos extremos do domínio: não existem. Os valores da função oscilam de -1 até 1.


Funções trigonométricasA função cosseno: f(x) = cos x ou f(x) = cos (x) Domínio: conjunto de todos os números reais. Imagem: [-1, 1]. A função é contínua. É alternadamente crescente e decrescente. É periódica de período 2p. É simétrica com relação ao eixo vertical y (é uma função par). É limitada. O máximo absoluto é 1. O mínimo absoluto é -1. Não tem assíntotas horizontais.


Funções trigonométricasA função cosseno: Não tem assíntotas verticais. Comportamento nos extremos do domínio: não existem. Os valores da função oscilam de -1 até 1.


Funções trigonométricasA função tangente: Domínio: conjunto dos números reais sem os múltiplos ímpares de Imagem: conjunto de todos os números reais. A função é contínua sobre o seu domínio. É crescente em cada intervalo do domínio. É simétrica com relação à origem (é uma função ímpar). Não é limitada superior nem inferiormente. Não tem extremos locais.


Funções trigonométricasA função tangente: Não tem assíntotas horizontais. As assíntotas verticais são da forma para todo k ímpar. Comportamento nos extremos do domínio não existem. Os valores da função oscilam no intervalo ]–∞, + ∞[.


Função cotangente A função cotangente é a recíproca da função tangente. Então: A cotangente tem assíntotas nos zeros da função seno e zeros nos zeros da função cosseno.


Função secante As características da função secante são concluídas a partir do fato de ela ser a recíproca da função cosseno.


Função cossecante Características da função cossecante são concluídas a partir do fato de ela ser a recíproca da função seno.


Arcos trigonométricos inversos Se você restringir o domínio de y = sen x ao intervalo como mostrado na figura abaixo (a), a função restrita é injetora. A inversa da função seno, y = sen−1 x, é a inversa dessa porção restrita da função seno, vista na figura abaixo (b).


Arcos trigonométricos inversosFunção seno inverso (função arco-seno) O único ângulo y no intervalo tal que sen y = x é o seno inverso (ou arco-seno) de x, denotado sen−1 x ou arc sen x. O domínio de y = sen−1 x é [–1, 1], e a imagem é Figura a seguir: (a) A restrição de y = cos x é injetora e (b) tem uma inversa, y = cos-1 x.


Arcos trigonométricos inversos


Arcos trigonométricos inversosFunção cosseno inverso (função arco-cosseno) O único ângulo y no intervalo [0,p], tal que cos y = x, é a inversa do cosseno (ou arco-cosseno) de x, denotada cos-1 x ou arc cos x. O domínio de y = cos-1 x é [–1, 1], e a imagem é [0, p].

Figura a seguir: A (a) restrição de y = tg x é injetora e (b) tem uma inversa, y = tg-1 x.


Arcos trigonométricos inversos


Arcos trigonométricos inversosFunção tangente inversa (função arco-tangente) O único ângulo y no intervalo tal que tg y = x, é a tangente inversa (ou arco-tangente) de x, denotado tg-1 x ou arc tg x. O domínio de y = tg-1 x é (−∞, ∞), e a imagem é


Identidades fundamentaisIdentidades trigonométricas básicas Identidades recíprocas:

Identidades de quociente:


Identidades pitagóricas A identidade fundamental da trigonometria: A partir dessa identidade, podemos deduzir as identidades pitagóricas. Se dividirmos cada termo da identidade por (cos x)2, obtemos uma identidade que envolve tangente e secante:


Identidades pitagóricas Se dividirmos cada termo da identidade por (sen x)2, obtemos uma identidade que envolve cotangente e cossecante:

Identidades pitagóricas


Outras identidades úteis Identidades de cofunções

Identidades de cofunções 2 paridade e imparidade


Soma e diferença de arcosSeno de uma soma ou diferença sen (u v) = sen u cos v cos u sen v Note que o sinal não troca em nenhum dos casos.Cosseno de uma soma ou diferença cos (u v) = cos u cos v sen u sen v Note a mudança de sinal nos dois casos.


Soma e diferença de arcosTangente de uma soma ou diferença

Existe também uma fórmula para tg (u v), que é escrita inteiramente em termos de funções tangente.


Arcos múltiplosIdentidades de ângulo duplo


Arcos múltiplosIdentidades de redução de potência


Arcos múltiplosIdentidades de metade de ângulo


Lei dos senos Em qualquer ABC com ângulos A, B e C e lados opostos a, b e c, respectivamente, a equação a seguir é verdadeira:Resolução de triângulos (AAL, ALA) Dois ângulos e um lado de um triângulo, em qualquer ordem, determinam o tamanho e a forma de um triângulo. É claro, dois ângulos de um triângulo determinam o terceiro, assim, obtemos uma das três partes faltantes de graça. Resolvemos as duas partes restantes com a lei dos senos.


O caso ambíguo (LLA) Se o ângulo estiver incluído entre os dois lados (o caso LAL), então o triângulo será unicamente determinado a menos de congruência. Se o ângulo for oposto a um dos lados (o caso LLA), então poderão existir um, dois ou zero triângulos determinados.Lei dos cossenos Seja ABC qualquer triângulo com lados e ângulos indicados de modo usual. Então:


Área do triângulo

TEOREMA Fórmula de Herão Sejam a, b e c os lados do ABC, e seja s o semiperímetro: então, a área de ABC é dada por

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